指数函数图象及性质

(0,1) y= 1
y= 1 (0,1)
0
x
0
x
指数函数的图象和性质
y=ax
a＞1
y
0 ＜a ＜1
y
图 象
(1)定义域 (2)值域
性 (3)定点 质 (4)单调性
(5)函数值 的分布情 况
1
o
x
1
o
x
R ( 0 , + ∞)
在R上是增函数
当x＞0时，y＞1 当x＜0时，0＜y＜1
在R上是减函数
当x＞0时， 0＜y＜1 当x＜0时， y＞1
②、0 . 8 ? 2 , 0 . 8 ? 3
④ a 0.8 , a 0.6 ( a ? 0 , a ? 1)
解.（1） 函数 y ? 1.7 x 在 R 上是增函数； ? 2.5 ? 3, ? 1 .7 2.5 ? 1 .7 3
(2) 函数y ? 0.8x在R上是减函数；? ? 2 ? ? 3 ? 0.8?2 ? 0.8?3
例1、求下列函数的定义域 1 (1) y? 3 x?2； (2) y ? ?? 1 ?? x . ?2?
解:（1）由 x? 2 有意义，得x-2≥0即x ≥2，
∴原函数定义域为{x | x ≥2 } .
（2）由
1 x
有意义，得x≠0，
∴原函数定义域为{x | x ∈R且x≠0}.
π0 例2、已知指数函数 f (x) ? a x(a ? 0，且a ? 1) 的图 象经过点（3，?）,求 f (0), f (1), f (?3)的值.
分析:
函数
y?
2x
和
y
?
?? 1 ?? x ?2?
的结构特征。
指数函数的定义 ：
一般，函数 y ? a x (a ? 0，且a ? 1) 叫做指数函数，其中x是自变量，定义域 为R.
为什么规定 a ? 0，且 a ? 1 ？
判断：下列函数中哪些是指数函数？
（1） y ? 4 x （2） y ? x4 （3） y ? ? 4x
(4)数形结合、分类讨论、
由特殊到一般
（2）指数函数图像和性质
（3）“指数型”函数增长模型 ? 定义域
2、研究函数的一般方法：
概念
图象
性质
? ?? ? ? ?
值域 特殊点 单调性
应用
?? 奇偶性
P59 A组 习题2.1
B组 3
5、7、8、
（4） y ? 4 x?1 （5） y ? 3? x （6） y ? 2 ?3x
（1）、（5）
指数函数的图象
用描点法画出函数 y ? 2 x 和 y ? ?? 1 ??x的图象.
表1：
?2?
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y =2x
…
1 8
1 4
1 2
1
2
4
8…
表2：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
指数函数单调性比较； （2）引入中间量，比如“1”
例4、截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人 口年平均增长率控制在1℅，那么经过20年后，我国人口数 最多为多少（精确到亿）？
Βιβλιοθήκη Baidu
解：设今后人口年平均增长率为1℅，经过 x年后，我国
人口数为 y亿。
年份
人口数
1999年底 2000年底 2001年底 2002年底
答：经过20年后，我国人口数约为16亿。
点评：有关“增长率”问题：
设该： 量原增有长量到为yN，，则每次y增?长N率(为1p?
，经过 x
p)x (x ?
次增长，
N)
即： y ? ka x (k ? R, k ? 0; a ? 0, a ? 1)
“指数型函数”模型
1.本节课学了哪些知识?
（1）指数函数概念
…
13亿
13+13×1℅=13×(1+1℅)(亿)
13×(1+1℅)+13×(1+1℅)
×1℅= 13?(1?1℅) 2(亿)
13×(1+1℅ ) 2 +13×(1+1℅ ) 2 ×1℅ =13×(1+1℅) 3(亿)
…
经过 x 年
y ? 13×(1+1℅) x (亿)
∴ 经过20年，人口约为13×（1+1℅ ) 20 ? 16（亿）
( 3 ) 由指数函数性质知：
1 .7 0.3 ? 1 .7 0 ? 1而 0 .9 3.1 ? 0 .9 0 ? 1
? 1.7 0.3 ? 0.9 3.1
④ a 0.8 , a 0.6
当 0 ? a ? 1时 , a 0.8 ? a 0.6
当 a ? 1时 , a 0 .8 ? a 0 .6
比较两个指数式大小方法： （1）构造指数函数，利用
解：因为 f (x) ? a x的图象经过点（3，?），所以
f (3) ? ?，
1
即a3 ? ? ,解得 a ? ? 3，于是
x
f ( x) ? ? 3，
所以，f (0)
?
?
0
? 1，f (1)
?
?
1 3
?
3
? ，f (?3)
??
?1
?
1
?
.
例3、比较下列各式大小
①、 1.7 2.5 ,1.7 3 ③、 1.7 0.3 ,0.9 3.1
次数 1次
2次
3次 4次 …
x次
剩下长度
1
2
1 ? 1 ? ?? 1 ??2 2 2 ?2?
??1 ??2 ? 1 ? ??1 ??3 ?2? 2 ?2?
?? 1 ??3 ? 1 ? ?? 1 ??4 ?2? 2 ?2?
…
( 1 )x?1 ? 1 ? ( 1 )x 2 22
该木棒截x次后，剩下的木棒长度y与x的关系式是 y ? (1)x 2
?2?
么关系？可否利用 y ? 2 x 的图象画出
y ? ?? 1 ??x 的图象？
?2?
（2）两个函数图象有什么共同点？
（3）两个函数的图象有何不同之处？
通过作图，我们发现y=a x的图象大致分两 种类型，即0＜a＜1和a＞1，图象如下：
y =a x y (0＜a ＜1)
y
y=a x
(a＞ 1)
8 4 2 y ? ??1 ??x …
1
?2 ?
1 2
11 48
…
y
y ? ?? 1 ??x ?2?
y ? 2x
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y
y ? ?? 1 ??x ?2?
y ? ?? 1 ??x ?3?
y ? 3x y ? 2x
y=1 1
0
1
x
（1）函数 y ? 2 x 的图象与函数 y ? ??1 ??x 有什
问题1:
某种细胞分裂时, 由1个分裂成2个,2 个分 裂成4个…一个这样的细胞分裂 x次后, 得到 的细胞分裂的个数y与x的函数关系是什么?
细胞分裂过程
细胞个数
第一次
21
第二次
22
第三次
…………
23
第x次
……
2x
细胞个数 y与分裂次数 x之间的关系式为 y =2x
问题2：
将一根长度为1的木棒每次截去一半, 依次截下 去, 问截取x次后, 剩下的木棒长度y.