隔项成等差或等比

隔项成等差或等比引言在数学中，数列是一系列按照特定规律排列的数字。

其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。

本文将详细讨论隔项成等差或等比数列的特性、求和公式以及一些应用。

等差数列定义等差数列是指数列中任意两项之间的差值都相等的数列。

数列中每一项都可以通过前一项加上一个常数得到。

等差数列的公差表示了相邻两项之间的差值。

性质•等差数列的通项公式：如果等差数列的首项为a，公差为d，那么第n项（记作an）可以表示为an = a +(n-1)d。

•等差数列的前n项和公式：对于等差数列的前n项和（记作Sn），可以使用公式Sn = (n/2)(a + an)来计算。

•等差数列的性质：等差数列的任意三项可以构成一个等差数列。

隔项成等差数列定义隔项成等差数列是指数列中每隔一项构成的新数列为等差数列的情况。

数列中每一项都可以通过前一项加上一个固定的常数得到。

性质•隔项成等差数列的公差：如果原数列的公差为d，那么隔项成等差数列的公差为2d。

•隔项成等差数列的通项公式：如果原数列的首项为a，公差为d，那么隔项成等差数列的第n项（记作An）可以表示为An = a + (n-1)2d。

•隔项成等差数列的前n项和公式：对于隔项成等差数列的前n项和（记作Sn），可以使用公式Sn = n(a + An)/2来计算。

等比数列定义等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。

数列中每一项都可以通过前一项乘以一个常数得到。

等比数列的公比表示了相邻两项之间的比值。

性质•等比数列的通项公式：如果等比数列的首项为a，公比为r，那么第n项（记作an）可以表示为an =ar^(n-1)。

•等比数列的前n项和公式：对于等比数列的前n项和（记作Sn），可以使用公式Sn = (a(r^n - 1))/(r - 1)来计算。

•等比数列的性质：等比数列的任意三项可以构成一个等比数列。

隔项成等比数列定义隔项成等比数列是指数列中每隔一项构成的新数列为等比数列的情况。

行政职业能力测验辅导之数字推理精选例题

数字推理的主要是通过加、减、乘、除、平方、开方等方法来寻找数列中各个数字之间的规律，从而得出最后的答案。

在实际解题过程中，根据相邻数之间的关系分为两大类：一、相邻数之间通过加、减、乘、除、平方、开方等方式发生联系，产生规律，主要有以下几种规律：1、相邻两个数加、减、乘、除等于第三数2、相邻两个数加、减、乘、除后再加或者减一个常数等于第三数3、等差数列：数列中各个数字成等差数列4、二级等差：数列中相邻两个数相减后的差值成等差数列5、等比数列：数列中相邻两个数的比值相等6、二级等比：数列中相邻两个数相减后的差值成等比数列7、前一个数的平方等于第二个数8、前一个数的平方再加或者减一个常数等于第二个数;9、前一个数乘一个倍数加减一个常数等于第二个数;10、隔项数列：数列相隔两项呈现一定规律，11、全奇、全偶数列12、排序数列二、数列中每一个数字本身构成特点形成各个数字之间的规律。

1、数列中每一个数字都是n 的平方构成或者是n 的平方加减一个常数构成，或者是n的平方加减n构成2、每一个数字都是n的立方构成或者是n的立方加减一个常数构成，或者是n的立方加减n3、数列中每一个数字都是n的倍数加减一个常数以上是数字推理的一些基本规律，必须掌握。

但掌握这些规律后，怎样运用这些规律以最快的方式来解决问题呢?这就需要在对各种题型认真练习的基础上，应逐步形成自己的一套解题思路和技巧。

第一步，观察数列特点，看是否存是隔项数列，如果是，那么相隔各项按照数列的各种规律来解答第二步，如果不是隔项数列，那么从数字的相邻关系入手，看数列中相邻数字在加减乘除后符合上述的哪种规律，然后得出答案。

第三步，如果上述办法行不通，那么寻找数列中每一个数字在构成上的特点，寻找规律。

当然，也可以先寻找数字构成的规律，在从数字相邻关系上规律。

这里所介绍的是数字推理的一般规律，在对各种基本题型和规律掌握后，很多题是可以直接通过观察和心算得出答案。

1. 256 ，269 ，286 ，302 ，（）A.254B.307C.294D.316解析： 2+5+6=13256+13=2692+6+9=17269+17=2862+8+6=16286+16=302?=302+3+2=3072. 72 , 36 , 24 , 18 , ( )A.12B.16C.14.4D.16.4解析：（方法一）相邻两项相除,72 36 24 18\ / \ / \ /2/1 3/2 4/3(分子与分母相差1 且前一项的分子是后一项的分母)接下来貌似该轮到5/4,而18/14.4=5/4. 选C（方法二）6×12=72，6×6=36，6×4=24，6×3 =18，6×X 现在转化为求X12，6，4，3，X12/6 ，6/4 ， 4/3 ，3/X 化简得2/1，3/2，4/3，3/X，注意前三项有规律，即分子比分母大一，则3/X=5/4可解得：X=12/5再用6×12/5=14.43. 5 ，6 ，19 ，17 ，（），-55A.15B.344C.343D.11解析：前一项的平方减后一项等于第三项5^2 - 6 = 196^2 - 19 = 1719^2 - 17 = 34417^2 - 344 = -554. 3 , 11 , 13 , 29 , 31 ,（）A.52B.53C.54D.55解析：奇偶项分别相差11－3＝8，29－13＝16＝8×2，？－31＝24＝8×3；？=>55,选D5. -2/5，1/5，-8/750，（）。

数列中的奇偶项问题教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习

数列中的奇偶项问题一、新高考Ⅰ卷、全国Ⅰ卷数列考点分布新高考Ⅰ卷考点分布与考查概况全国Ⅰ卷理科考点分布与考查概况年份题号分数涉及知识点题号分数涉及知识点202014 5 两等差数列的公共项问题、等差数列的前n 项和公式；核心素养：逻辑推理、数学运算 1712等差中项、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的前n 项和；核心素养：逻辑推理、数学运算18 12 等比数列的通项公式、数列求和；核心素养：逻辑推理、数学运算202116 5 构建数列模型，归纳通项公式错位相减法求数列的前n 项和；逻辑推理、数学运算、数学建模 1912等差数列的通项公式、数列的通项与前n 项和、积之间的关系；核心素养：逻辑推理、数学运算1710数列的递推公式、等差数列的定义、等差数列的前n 项和；核心素养：逻辑推理、数学运算二、真题回眸1．(2020·高考数学课标Ⅰ卷)数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = ______________．2．（2021·全国高考）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.三、例题分析例1：已知数列)12()1(+-=n a nn ，求数列{}n a 的前n 项和n S .变式1：已知数列12sin )12()1(++-=πn n a nn ，求数列{}n a 的前n 项和=100S .{}n a 11a =11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数2n n b a =1b 2b {}n b {}n a变式2：已知数列12sin )12()1(++-=πn n a nn ，求数列{}n a 的前n 项和=102S .例2：已知数列{}n a 的前n 项和为2*4().n S n n n N =+∈ （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n c 满足,11=c ，1n n n c c a ++=，求数列{c n }的通项公式及前n 项和．拓展：已知数列()，21+=n a n ().114321n n n a a a a a S +-++-+-= 求四、课堂小结：有关数列的奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的关键在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差（比）等，涉及求通项公式、求和等。

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介绍一些小技巧，助你秒杀资料分析，绝对原创以我反复做真题的感受来看，资料分析难度是相对中等的。

在这里介绍几个技巧给大家：第一，列出式子不要算。

例子，09年真题，外出打工男性为A万人，占总外出打工人数的64%，问女性外出打工为多少人？一般常规解法你是不是需要用A除以64%得出总人数，然后用总人数乘以（100%-64%）。

最少要50秒吧。

那如何秒杀此题呢？男占64%，那女应该占36%，大约是男性人数的一半多一点，直接A除以2。

很多很多列出式子不用算的情况，要自己琢磨。

找出不用算的办法！第二，正误判断看选项。

正误判断时有些选项计算量非常之大，一般要连续做5 -6个乘除，如果你一开始看到需要计算就开始计算，那你真的是在耽误时间，因为往往计算量大的选项一般不需要计算，你只需要找出其他正确或者错误的选项即可，而其他选项很直观一眼就能看出是对是错。

第三，实在要算只取三位数。

特别是除法，取多无益。

李永新的题我也做过N 多，选项差距没有那么小，只要你正确取舍，答案还是会水落石出的。

答案差距比较小的行测题有：浙江、山东的真题，这个需要硬算了，但是也不是没有技巧。

除法看着答案去商，如果答案的第二位出现分歧，那你只需要商到第二位即可无需多除。

第四，比较大小找基准。

从资料中找出几个项目叫你比较大小是常出的题型，而且需要经过计算。

先列式子，别算，然后找基准点，有些项可能大于四分之一，有些项小于四分之一，一眼观去，大小一目了然，何必算呢。

第五，加减互换乘除互换，灵活掌握。

例如：选项指标A占指标B的三分之一强，一般思维用指标B除以3。

但是如果用指标A乘以三是不是要快得多呢？指标A 与指标B的差距超过900，一般思维指标B减去指标A得出结果与900相比较，那用900加指标A是不是更快呢？08，09年国考真题很多这样的例子，表面上看需要大量计算，实际上一些小技巧即可秒杀。

第六，大家是不是常常碰到这样的题：整体指标N年度增长A%，构成整体指标的局部指标N年度增长B%，已知N年度的整体指标与局部指标，求N-1年度的局部指标占整体指标的比重？或者已知N年度的局部指标占整体指标的比重，求N年度这个比重比N-1年度的比重上升（下降）多少个百分点？呵呵，这个暂且不说，交由大家自己思考吧，不过可以告诉大家，这样的题是可以秒杀的。

数字推理题库道及详解

数字推理最新题库180道及详解1、5，10，17，26，()A、30；B、43；C、37；D、41解答：相邻两数之差为5、7、9、11，构成等差数列2、，3，，，()A、2；B、；C、4；D、3解答：把四个数全部化为根号，则根号里新的数是2、9、28、65、（），这明显是1、2、3、4、5的立方加1，所以括号中应为5的立方加1，即126的开方，故选D。

3、1，13，45，97，()A、169；B、125；C、137；D、189解答：相邻两数之差构成12、32、52这样的等差数列，故下一个数就应该是97+72=169，选A。

4、1，01，2，002，3，0003，()…A、40003；B、4003；C、400004；D、40004解答：隔项为自然数列和等比数列，故选D。

5、2，3，6，36，()A、48；B、54；C、72；D、1296解答：从第三项开始，每一项都是前几项的乘积。

故选D6、3，6，9，()A、12；B、14；C、16；D、24解答：等比数列。

7、1，312，623，()A、718；B、934；C、819；D、518解答：个位数分别是1、2、3、4，十位数分别是0、1、2、3，百位数分别是0、3、6、9，所以选B。

8、8，7，15，22，()A、37；B、25；C、44；D、39解答：从第三项开始，后一项是前两项的和。

故选A。

9、3，5，9，17，()A、25；B、33；C、29；D、37解答：相邻两项的差构成等比数列。

故选B。

10、20，31，43，56，()A、68；B、72；C、80；D、70解答：相邻两项的差构成等差数列。

故选D。

11、+1，-1，1，-1，()A、+1；B、1；C、-1；D、-1解答：从第三项开始，后一项是前两项的乘积。

12、+1，4，3+1，()A、10；B、4+1；C、11；D、解答：选A13、144，72，18，3，()A、1；B、1/3；C、3/8；D、2解答：相邻两数的商构成2、4、6、（），是等差数列。

银行数字推理口诀

行政职业能力测验数字推理口诀整体观察分AB，线性趋势明走A，增幅一般做加减，做差不会超三级，减幅同样此道理，典型数列熟记心。

增幅较大做乘除，做商同样不超三。

增幅很大想幂次，常用幂数要熟悉。

线性趋势弱走B，要找视觉冲击点，何为此点如何找，特殊数字勿放过。

列长项多６以上，考虑分组或隔项。

摇摆数列忽大小，基本思路是隔项，若要见到双括号，一定隔项成规律。

摇摆双括同时出，义无反顾找隔项。

整数分数混着搭，提示要做乘除法。

全是分数先约分，能划一时先划一，突破口在固定数，分子、母与项有关。

正负交叠要做商，肯定没错不夸张。

根数整数混搭时，先将整数化根数，号外数字移号里，此为一定是药方。

遇到根数加减式，平方差公式帮忙。

递推数列很难做，五则运算和乘方。

看到纯小数数列，整、小部分分开想。

似连续而不连贯，考虑质数或合数。

数字很大３位上，考虑微观是抓手。

数列如有公约数，约去公因是正法。

相邻项有公约数，因式分解可办好。

以上方法皆受挫，除3 除5看余数。

如若还是想不出，蒙猜办法可帮忙。

选项整数小数混，小数多半是答案。

数项负数选项同，负数多半是选择。

另外直猜接近值，肯定八九不离十。

原来数列题也有套路可循！咱不怕了！公务员考试行政能力测验解题心得数列篇第一步：整体观察，若有线性趋势则走思路A，若没有线性趋势或线性趋势不明显则走思路B。

注：线性趋势是指数列总体上往一个方向发展，即数值越来越大，或越来越小，且直观上数值的大小变化跟项数本身有直接关联（别觉得太玄乎，其实大家做过一些题后都能有这个直觉）第二步思路A：分析趋势1，增幅（包括减幅）一般做加减。

基本方法是做差，但如果做差超过三级仍找不到规律，立即转换思路，因为公考没有考过三级以上的等差数列及其变式。

例1：-8，15，39，65，94，128，170，（）A．180 B.210 C. 225 D 256解：观察呈线性规律，数值逐渐增大，且增幅一般，考虑做差，得出差23,24,26,29,34,42，再度形成一个增幅很小的线性数列，再做差得出1，2，3，5，8，很明显的一个和递推数列，下一项是5+8=13，因而二级差数列的下一项是42+13=55，因此一级数列的下一项是170+55=225，选C。

对数列隔项成等差问题的浅谈

�� 2 +�� 2
�� 2 −�� 2 �� 2 −�� 2 �� 2 +�� 2
+�� +�� +2�� − 2
然后综上,画个大括号写个结论这里不打了哈. 求和其实也是遵循着最基本的等差数列求和的原则 ,在这里我选择了分组求的办法 (只是个人见解而已,更优解等你来想哦),用这种方法时,先把最简单的一种情况算出来,然后结合通项, 加加减减就可以得到所有情况下的前 n 项和了.(注意计算) 再强调一下,这类问题还是蛮常见的,掌握这里讲的方法后,就可以轻轻松松的多拿点分数了. 新浪微博@邵爷很霸气
��−�� 13 7
× �� ( 以首项为
�� 的为例的话)
很简单,是么?那我们再玩点大的,顺便求个和玩玩儿.
例3、若数列 �� 满足��1 = ��且�� +1 +(−1)�� =2n-1(其中 a 为常数),�� 是数列 �� 的前 n 项和,数列 �� 满足�� =��2�� . (1) 求��1 + ��3 的值; (2) 试判断 �� 是否为等差数列,并说明理由; (3) 求�� . 解:(1)没啥好说,代代数字就行了.答案为 2. (2)分就讨论进行了,不讲啦╮(╯▽╰)╭ (3)’照样需要讨论当 n 为偶数时,有�� +1 +�� =2n-1 �� +2 -�� +1 =2n+1 二式相加得�� + �� +2 =4n �� +2 + �� +4 =4n+8 二式相减,得�� +4 − �� =8 当 n 为奇数时,�� +1 -�� =2n-1 �� +2 +�� +1 =2n+1 ‘发现这次是隔了三项的等差,爽!

数字找规律类型总结

数字找规律类型总结在实际解题过程中，根据相邻数之间的关系分为两大类：一、相邻数之间通过加、减、乘、除、平方、开方等方式发生联系，产生规律，主要有以下几种规律：1、相邻两个数加、减、乘、除等于第三数2、相邻两个数加、减、乘、除后再加或者减一个常数等于第三数3、等差数列：数列中各个数字成等差数列4、二级等差：数列中相邻两个数相减后的差值成等差数列5、等比数列：数列中相邻两个数的比值相等6、二级等比：数列中相邻两个数相减后的差值成等比数列7、前一个数的平方等于第二个数8、前一个数的平方再加或者减一个常数等于第二个数;9、前一个数乘一个倍数加减一个常数等于第二个数;10、隔项数列：数列相隔两项呈现一定规律，11、全奇、全偶数列12、排序数列二、数列中每一个数字本身构成特点形成各个数字之间的规律。

1、数列中每一个数字都是n 的平方构成或者是n 的平方加减一个常数构成，或者是n的平方加减n构成2、每一个数字都是n的立方构成或者是n的立方加减一个常数构成，或者是n的立方加减n3、数列中每一个数字都是n的倍数加减一个常数以上是数字推理的一些基本规律，必须掌握。

但掌握这些规律后，怎样运用这些规律以最快的方式来解决问题呢?这就需要在对各种题型认真练习的基础上，应逐步形成自己的一套解题思路和技巧。

第一步，观察数列特点，看是否存是隔项数列，如果是，那么相隔各项按照数列的各种规律来解答第二步，如果不是隔项数列，那么从数字的相邻关系入手，看数列中相邻数字在加减乘除后符合上述的哪种规律，然后得出答案。

第三步，如果上述办法行不通，那么寻找数列中每一个数字在构成上的特点，寻找规律。

当然，也可以先寻找数字构成的规律，在从数字相邻关系上规律。

这里所介绍的是数字推理的一般规律，在对各种基本题型和规律掌握后，很多题是可以直接通过观察和心算得出答案。

数字推理题的一些经验1)等差，等比这种最简单的不用多说，深一点就是在等差，等比上再加、减一个数列，如24,70,208,622，规律为a*3-2=b2)深一点模式，各数之间的差有规律，如 1、2、5、10、17。

认识·隔项等差数列

认识隔项等差数列一、升降维法引例：已知数列{}n a 满足：∀n ＞2，222-++=n n n a a a ①，以及∀n ＞3，332-++=n n n a a a ②.试问：数列{}n a 是否是等差数列？（注意：为叙述方便，本专题将222-++=n n n a a a 称为隔两项等差，将332-++=n n n a a a 称为隔三项等差，n a 称为中心.）解：不难发现，①式中右侧两项“距离”中心较近，而②式中右侧两项“距离”中心较远，所以应使“距离”中心较远的项不断接近中心.套路如下：由①式可得222-+-=n n n a a a 和222+--=n n n a a a ，所以有1132-++-=n n n a a a (n ＞1)和1132+---=n n n a a a (n ＞3)，代入②式，有112-++=n n n a a a (n ＞3)，即数列{}n a 从第三项起成等差数列.下证明数列{}n a 从第一项起成等差数列.设x a =3，公差d ，则令①式中n=3，变形得d x a a a 22531-=-=，同理有d x a -=2，所以3122a a a +=，4232a a a +=，所以数列{}n a 是等差数列.例：设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…），证明}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）. 证明：必要性. 设}{n a 是公差为d 1的等差数列，则0)()()()(112312311=-=---=---=-+++++++d d a a a a a a a a b b n n n n n n n n n n 所以 ,3,2,1(1=≤+n b b n n ）成立.又)(3)(2)(231211++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c1111632d d d d =++=（常数）（n =1，2，3，…），所以数列}{n c 为等差数列.充分性.设数列}{n c 是公差d 2的等差数列，且1b b n ≤（n =1，2，3，…）..32,32432221++++++++=∴++=n n n n n n n n a a a c a a a c ①－②得)(3)(2)(423122++++++-+-+-=-n n n n n n n n a a a a a a c c ,3221++++=n n n b b b ，221122)()(d c c c c c c n n n n n n -=-+-=-++++ 221232d b b b n n n -=++∴++， ③从而有.2322321d b b b n n n -=+++++ ④④－③得.0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ⑤ 0,0,023121≥-≥-≥-+++++n n n n n n b b b b b b ， ∴由⑤得).,3,2,1(01 ==-+n b b n n由此不妨设323),,3,2,1(d a a n d b n n n =-==+则（常数）. 由此312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++，从而313211524324d a a d a a c n n n n n -+=-+=++++，两式相减得3112)(2d a a c a n n n n --=-++，因此),3,2,1)((21)(2132311 =+==-=-++n d d d c c a a n n n n 常数，所以数列}{n a 是等差数列.二、分组拼凑法（利用n a 的双重身份）再看引例：已知数列{}n a 满足：∀n ＞2，222-++=n n n a a a ①，以及∀n ＞3，332-++=n n n a a a ②.试问：数列{}n a 是否是等差数列？解：①②由表一，1173d a a +=，由表二，1172D a a +=，所以113D d =.（利用1a ，7a 的双重身份）同理，利用4a ，10a 的双重身份，有1232D d =，所以21d d =，设d d d ==21. 下只需证212d a a =-. 由表二，12141a d a a a D -+=-=，所以d d d d D a a 2123112=-=-=-，所以数列{}n a 是以2d 为公差的等差数列，证毕. 练习：（2017江苏T19）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．解：（1）略（2）数列{}n a 既是“()P 2数列”，又是“()3P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④ 将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'. 在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列.。

【专题训练】数列(等差、等比) 知识点总结及题型归纳

基本量法求数列的通项公式11.复习等差数列(1)定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常．数．，那么这个数列就叫等差数列, 1(2)n n a a d n --=≥d a a n n =1--d a a n n =2-1--（由定义，累加法推得通项公式）…… d a a =12-(2)通项公式1(1)n a a n d =+-(3)性质: 在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；(4)前项和公式d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=等比数列(1)定义 : 如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，1n a +：(0)n a q q =≠ (2)通项公式11-⋅=n n q a a(3)性质:在等比数列{}n a 中，q p n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若),,,(*∈N q p n m 其中(4)前项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a qq a q na S n nn例1（2015年全国卷I ） n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知20,243n n n n a a a S >+=+，（1）求{}n a 的通项公式：变式1：（湖北省武汉部分重点中学2020届高三起点考试）已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 3＝9 （1）求数列{a n }的通项公式；变式2：已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；例2已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2n n S a n =-.（1）证明数列{1n a +}是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式；变式1：（湖北省黄冈中学2019届高三数学模拟试题1）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝14，a 3＋a 5＝564.(1)求数列{a n }的通项公式；变式3：已知数列{}n a ，{}n b ，其中1,511-==b a ，且满足)3(2111---=n n n b a a ，)3(2111----=n n n b a b ，2*,≥∈n N n .（1）求证：数列{}n n b a -为等比数列，并求数列{a n }、{b n }的通项公式；例3 .已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；变式（浙江省名校联盟2020届高三第一次联考试题）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项．数列{}n b的通项公式nn b =Νn *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；数列（等差、等比）知识点清单一、数列的概念1.数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

2022年高中数学选择性必修第二册第四章等差数列的性质

2022年高中数学第2课时等差数列的性质学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算．知识点一等差数列通项公式的变形及推广设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则 ①a n ＝dn ＋(a 1－d )(n ∈N *)， ②a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)， ③d ＝a n －a mn －m(m ，n ∈N *，且m ≠n )．其中，①的几何意义是点(n ，a n )均在直线y ＝dx ＋(a 1－d )上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a 1. ③可用来由等差数列任两项求公差．知识点二等差数列的性质1．若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有数列结论{c ＋a n } 公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c ·a n } 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数) {a n ＋a n ＋k } 公差为kd 的等差数列(k 为常数，k ∈N *) {pa n ＋qb n }公差为pd ＋qd ′的等差数列(p ，q 为常数)2.下标性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 特别地，若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则有a m ＋a n ＝2a p .3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 4．等差数列{a n }的公差为d ，则d >0⇔{a n }为递增数列； d <0⇔{a n }为递减数列；d ＝0⇔{a n }为常数列．思考若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p 一定成立吗？答案不一定．如常数列{a n },1＋2＝3，而a 1＋a 2＝2a 3.1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝10，则a 1＋a 7等于( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．14答案 C解析 a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10.2．在等差数列{a n }中，a 100＝120，a 90＝100，则公差d 等于( ) A ．2 B ．20 C ．100 D ．不确定答案 A解析 ∵a 100－a 90＝10d ， ∴10d ＝20，即d ＝2.3．在等差数列{a n }中，若a 5＝6，a 8＝15，则a 14＝________. 答案 33解析由题意得d ＝a 8－a 58－5＝15－68－5＝3.∴a 14＝a 8＋6d ＝15＋18＝33.4．已知在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________. 答案 15解析由等差数列的性质，得a 7＋a 9＝a 4＋a 12＝16，又∵a 4＝1， ∴a 12＝15.一、a n ＝a m ＋(n －m )d 的应用例1 已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75. 解方法一 (利用a n ＝a m ＋(n －m )d ) 设数列 {a n }的公差为d ，则a 60＝a 15＋(60－15)d ＝8＋45d ，所以d ＝20－845＝1245＝415，所以a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.方法二 (利用隔项成等差数列) 因为{a n }为等差数列，所以a 15，a 30，a 45，a 60，a 75也成等差数列，设其公差为d ，a 15为首项，则a 60为第四项，所以a 60＝a 15＋3d ，得d ＝4，所以a 75＝a 60＋d ＝24.反思感悟灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m ＝1，a n ＝a m ＋(n －m )d 即变为a n ＝a 1＋(n －1)d ，可以减少记忆负担．跟踪训练1 已知{b n }为等差数列，若b 3＝－2，b 10＝12，则b 8＝________. 答案 8解析方法一 ∵{b n }为等差数列，∴可设其公差为d ，则d ＝b 10－b 310－3＝12－(－2)7＝2，∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8. ∴b 8＝2×8－8＝8.方法二由b 8－b 38－3＝b 10－b 310－3＝d ，得b 8＝b 10－b 310－3×5＋b 3＝2×5＋(－2)＝8.二、等差数列性质的应用例2 (1)已知数列{a n }是等差数列，若a 1－a 9＋a 17＝7，则a 3＋a 15等于( ) A ．7 B ．14 C ．21 D ．7(n －1) 答案 B解析因为a 1－a 9＋a 17＝(a 1＋a 17)－a 9＝2a 9－a 9＝a 9＝7，所以a 3＋a 15＝2a 9＝2×7＝14.(2)已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n }的第37项为( )A ．0B ．37C ．100D ．－37 答案 C解析设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，所以数列{a n ＋b n }仍然是等差数列．又d 1＋d 2＝(a 2＋b 2)－(a 1＋b 1)＝100－(25＋75)＝0，所以a 37＋b 37＝a 1＋b 1＝100.反思感悟等差数列运算的两种常用思路(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a 1，d 的方程(组)，确定a 1，d ，然后求其他量． (2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a r .跟踪训练2 (1)数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 6(a 5＋a 7＋a 9)的值是( ) A ．－2 B ．－12 C ．2 D.12答案 C解析由3＋a n ＝a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝3.所以{a n }是公差为3的等差数列．又a 2＋a 4＋a 6＝9，且a 2＋a 6＝2a 4，所以3a 4＝9，则a 4＝3，所以a 7＝a 4＋3d ＝3＋3×3＝12，故log 6(a 5＋a 7＋a 9)＝log 6(3a 7)＝log 636＝2.(2)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________. 答案 35解析因为数列{a n }，{b n }都是等差数列，所以数列{a n ＋b n }也构成等差数列，所以2(a 3＋b 3)＝(a 1＋b 1)＋(a 5＋b 5)，所以2×21＝7＋a 5＋b 5，所以a 5＋b 5＝35.三、等差数列中对称设项法的应用例3 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解 (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1，所以这三个数为4,3,2.(2)设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意得2a ＝2且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，所以d 2＝1，所以d ＝1或d ＝－1. 又四个数成递增等差数列，所以d >0，所以d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4. 反思感悟等差数列的设项方法和技巧(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a 1，公差为d ，利用已知条件建立方程(组)求出a 1和d ，即可确定此等差数列的通项公式．(2)当已知数列有3项时，可设为a －d ，a ，a ＋d ，此时公差为d .若有5项、7项、…时，可同理设出．(3)当已知数列有4项时，可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，此时公差为2d .若有6项、8项、…时，可同理设出．跟踪训练3 已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．解设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d . 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859，整理得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859. 解得a ＝1，d ＝±23.当d ＝23时，这5个数分别是－13，13，1，53，73；当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.数列问题如何选择运算方法典例在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＋2a 15＝40，求a 10. 解方法一设数列{a n }的公差为d . 则a 3＋a 7＋2a 15＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋2(a 1＋14d ) ＝4a 1＋36d ＝4(a 1＋9d )＝4a 10＝40， ∴a 10＝10.方法二 ∵a 3＋a 7＋2a 15＝a 3＋a 7＋a 15＋a 15＝a 10＋a 10＋a 10＋a 10＝40， ∴a 10＝10.[素养提升] (1)等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量(a 1，d ，n )，然后解方程(组)；二是借助等差数列的性质简化计算．前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法．(2)本例中明确题目的运算对象，选择适当的运算方法，灵活运用运算技巧，充分体现数学运算的数学核心素养．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( ) A ．3 B ．－6 C ．4 D ．－3 答案 B解析由等差数列的性质得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ，所以d ＝－20－105＝－6.2．在等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A ．3 B ．－3 C.32 D ．－32答案 A解析由数列的性质，得a 4＋a 5＝a 2＋a 7，所以a 2＝15－12＝3.3．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则a 1＋a 13的值为( ) A ．20 B ．30 C ．40 D ．50 答案 C解析 ∵a 3＋a 11＝a 5＋a 9＝2a 7， ∴a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝5a 7＝100， ∴a 7＝20.∴a 1＋a 13＝2a 7＝40.4．由公差d ≠0的等差数列a 1，a 2，…，a n 组成一个新的数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…，下列说法正确的是( ) A ．新数列不是等差数列 B ．新数列是公差为d 的等差数列 C ．新数列是公差为2d 的等差数列 D ．新数列是公差为3d 的等差数列答案 C解析因为(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝2d ，所以数列a 1＋a 3，a 2＋a 4，a 3＋a 5，…是公差为2d 的等差数列．5．在等差数列{a n }中，已知5是a 3和a 6的等差中项，则a 1＋a 8＝________. 答案 10解析由5是a 3和a 6的等差中项，可得a 3＋a 6＝2×5＝10，则由等差数列的性质可得a 1＋a 8＝a 3＋a 6＝10.1．知识清单：(1)等差数列通项公式的变形运用．(2)等差数列的性质．(3)等差数列中项的设法.2．方法归纳：解方程组法．3．常见误区：(1)对等差数列的性质不理解而致错．(2)不注意运用性质而出错或解法烦琐．1．已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m的值为() A．12 B．8 C．6 D．4答案 B解析由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.2．已知数列{a n}，{b n}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2a n－3b n}的公差为()A．7 B．5C．3 D．1答案 D解析由于{a n}，{b n}为等差数列，故数列{2a n－3b n}的公差d＝(2a n＋1－3b n＋1)－(2a n－3b n)＝2(a n＋1－a n)－3(b n＋1－b n)＝2d1－3d2＝1.3．若等差数列{a n}的首项a1＝5，a m＝3，则a m＋2等于()A．13 B．3－4 m－1C．3－2m－1D．5－2m－1答案 B解析设等差数列{a n}的公差为d，因为a1＝5，a m＝3，所以d ＝a m －a 1m －1＝－2m －1.所以a m ＋2＝a m ＋2d ＝3＋－4m －1＝3－4m －1.4．(多选)若{a n }是等差数列，下列数列中仍为等差数列的是( ) A ．{|a n |}B ．{a n ＋1－a n }C ．{pa n ＋q }(p ，q 为常数)D ．{2a n ＋n }答案 BCD解析数列－1,1,3是等差数列，取绝对值后：1,1,3不是等差数列，A 不成立．若{a n }是等差数列，利用等差数列的定义， {a n ＋1－a n }为常数列，故是等差数列，B 成立．若{a n }的公差为d ，则(pa n ＋1＋q )－(pa n ＋q )＝p (a n ＋1－a n )＝pd 为常数，故{pa n ＋q }是等差数列，C 成立．(2a n ＋1＋n ＋1)－(2a n ＋n )＝2(a n ＋1－a n )＋1＝2d ＋1，故{2a n ＋n }是等差数列，D 成立．5．已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根B ．有两个相等的实根C ．有两个不等的实根D ．不能确定有无实根答案 A解析因为a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝9，所以a 5＝3，则方程为x 2＋6x ＋10＝0，因为Δ＝62－4×10＝－4<0，所以方程无实根．6．已知数列{a n }是等差数列，若a 4＋a 7＋a 10＝17，a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77，则a 15 ＝________，若a k ＝15，则k ＝________. 答案 11 21解析 ∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝17，∴a 7＝173.又∵a 4＋a 5＋…＋a 13＋a 14＝11a 9＝77， ∴a 9＝7.故d ＝a 9－a 79－7＝7－1732＝23.∴a 15＝a 9＋(15－9)d ＝7＋6×23＝11，∵a k ＝a 9＋(k －9)d ＝15， ∴15－7＝(k －9)×23，∴k ＝21.7．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．答案－21解析设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1. ∴它们的积为－21.8．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________．答案 1或2解析 ∵a ，b ，c 成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2. 9．在等差数列{a n }中．(1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13；(2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求公差d . 解 (1)根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，得4a 13＝48，∴a 13＝12. (2)由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，得2(a 2＋a 5)＝34，即a 2＋a 5＝17，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 5＝52，a 2＋a 5＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4.∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.10．四个数成递减等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40.求这四个数．解设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.又四个数成递减等差数列，所以d <0，所以d ＝－32，故所求的四个数为11,8,5,2.11．设等差数列的公差为d ，若数列{}12na a 为递减数列，则( )A ．d >0B ．d <0C ．a 1d >0D ．a 1d <0答案 D 解析由数列{}12na a 为递减数列，得11122,nn a a a a <－再由指数函数性质得a 1a n －1>a 1a n ，由等差数列的公差为d 知，a n －a n －1＝d ，所以a 1a n －1>a 1a n ⇒a 1a n －a 1a n －1<0⇒a 1(a n －a n －1)<0⇒a 1d <0. 12．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案 C解析设公差为d ，∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120， ∴5a 8＝120，a 8＝24，∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.13．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 101<0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51答案 C解析由等差数列的性质得：a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝…＝a 50＋a 52＝2a 51，由于a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，所以a 51＝0，故a 3＋a 99＝2a 51＝0.14．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17等于较小的两份之和，则最小的一份为( )A.53B.103C.56D.116答案 A解析设五个人所分得的面包个数为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，其中d >0，则(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5a ＝100，∴a ＝20.由17(a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d ，得3a ＋3d ＝7(2a －3d )，∴24d ＝11a ，∴d ＝556， ∴最小的一份为a －2d ＝20－1106＝53.15．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R ，且m ≠n )的四个根组成首项为14的等差数列，则数列的公差d ＝________，m ＋n 的值为________．答案 16 3172解析设x 2－x ＋m ＝0，x 2－x ＋n ＝0的根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＝x 3＋x 4＝1(且1－4m >0,1－4n >0)．设数列的首项为x 1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x 2.由题意知x 1＝14， ∴x 2＝34，数列的公差d ＝34－144－1＝16， ∴数列的中间两项分别为14＋16＝512，512＋16＝712. ∴x 1·x 2＝m ＝316，x 3·x 4＝n ＝512×712＝35144. ∴m ＋n ＝316＋35144＝3172.16．已知两个等差数列{a n }：5,8,11，…与{b k }：3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？解由题意，知a n ＝3n ＋2(n ∈N *)，b k ＝4k －1(k ∈N *)，两数列的共同项可由3n ＋2＝4k －1求得，所以n ＝43k －1.而n ∈N *，k ∈N *，所以设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1. 由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤3r ≤100，1≤4r －1≤100，且r ∈N *，可得1≤r ≤25.所以共有25个相同数值的项.。

例说隔项等差_等比数列

*
n
an =
an =
已知数列 { an } 中, a 1 = 4 , a2 = 5, 因为 an+ 2 = (- 2 ) an, 所以当 n 是奇
n
an+ 2 = ( - 2) an. 求 {an } 的通项公式 an. an+ 2 an+ 2 数时, = - 2; 当 n 是偶数时, = 2, 从而 an an 有数列 { an } 的通项公式为 an = 评析 4 ∀ ( - 2)
足 a1 = 1, a2 = 2, an+ 2 = s in
2
n 2
an +
所以 Sn = 2 -
-
n n+ 2 = 2. n n 2 2 1 成立, n
n , n = 1, 2, 3, ∃ 2 ( 1 ) 求 a3, a4 并求数列 { an } 的通项公式; ( 2 ) 设 bn = a2n- 1 , S = b1 + b2 + ∃ + bn, a2n n
2
2k - 1 a2k - 1 + s in = 2
2
a2k- 1 + 1 , 即 a2k+ 1 - a2k- 1 = 1. 所以数列 {a2k- 1 } 是首项为 1、公差为 1 的等差数列, 因此 a2k - 1 = k. 当 n = 1 + cos
2
2k( k & a2k + s in
2
N ) 时, a2k + 2 2k 2
, 2 2 3 7 (C) , 4 4 5. 已知 sin ! =
零的数列 { ak } 的前 k 项和为 S k, 且 Sk = 1 * a a ( k & N ), 其中 a1 = 1. 2 k k+ 1 ( 1 ) 求数列 { ak } 的通项公式; ( 2 ) 对任意给定的正整数 n (n ! 2), 数列 { bk } 满足 bk+ 1 k- n = ( k = 1, 2, ∃, n - 1), b1 ak + 1 bk

高中数学 2.4.2等比数列的性质新人教A版必修5

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【解】设所求之数为a－d，a，a＋d，则由题设，得 a－d＋a＋a＋d＝15， a＋32＝a－d＋1a＋d＋9，解此方程组得ad＝＝52，，或ad＝＝5－，10. (舍去) ∴所求三数为3,5,7.
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规律技巧此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列知识建立等式求解.另外，对本题若设所求三数为a，b，c，则列出三个方程求解，运算过程将很复杂.因此，在计算过程中，设的未知数个数应尽可能少.
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课前热身等比数列的常用性质．由通项公式an＝a1qn－1易推得： (1)在等比数列中，任两项之间的关系an＝amqn－m(m，n∈ N*)． (2)在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项积相等．即有 a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝….
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(3)若m，n，p，k∈N*，且m＋n＝p＋k，则有am·an＝ap·ak. 其中am，an，ap，ak是数列中的项．特别地，若m＋n＝2p，则有am·an＝a2p.
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(2)数列{λan}(λ为不等于0的常数)仍是公比为q的等比数列；若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{anbn}是公比为 qq′的等比数列；数列{a1n}是公比为1q的等比数列；数列{|an|}是公比为|q|的等比数列． (3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.
(4)在等比数列{an}中，an≠0，当公比q>0时，an>0或 an<0；当q<0时，anan＋1<0，称为摆动数列(正、负项相间隔)．
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名师讲解等比数列还有如下性质

高一下期数学常用公式结论

高一下期数学常用公式结论1．三角函数 (1)同角三角函数①平方关系： sin 2 α＋cos 2 α＝1 (又叫 1字替换式)； ②商数关系： sin αcos α＝tan α (又叫切弦互化式)；(2)和差倍角关系①cos(α±β)＝ cos αcos β∓sin αsin β___； ②sin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β； ③tan(α±β)＝ tan α±tan β1∓tan αtan β；④sin 2α＝__ __2sin αcos α_ _；⑤cos 2α＝cos 2α－sin 2α ＝1－2sin 2α＝2cos 2α－1；⑥tan 2α＝________2tan α1－tan 2 α__________；(3)，其中， tan φ＝b a ， |φ|＜π2 ， a ＞0 ．2．正余弦定理 (1)正弦定理：a sin A ＝b sinB ＝csin C＝2R，其中R 为外接圆半径；注意：正弦定理变式与性质：①边化正弦：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②正弦化边：sin A sin B sin C ＝c2R ；③a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；④a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin A= 2R ；(2) 余弦定理：①a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ；②b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ； ③c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C注意：变式：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；②cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab(3) 三角形面积：①S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc4R②S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是切圆的半径)3．平面向量：(1)两点间向量表示：若A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则AB →＝ (x 2－x 1，y 2－y 1) ； (2)向量运算公式：若a ＝(x 1，y 1)、b ＝(x 2，y 2) ，则： ①a ±b ＝ (x 1±x 2，y 1±y 2) ；②λa ＝ (λx 1，λy 1) ； ③a·b ＝ |a ||b |cos θ ＝ x 1x 2＋y 1y2 ；④|a |⑤cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝ ⑥a 在b 方向上的投影为： |a |cos θ ＝a·b|b|； (3)平行与垂直定理：①共线定理：a ∥b ⇔___ a ＝λb ___⇔___ x 1y 2＝x 2y 1 _； ②垂直定理：a ⊥b ⇔___a ·b ＝0___⇔__ x 1x 2＋y 1y 2＝0_. （4）二级结论①a|a |是与a 同方向的单位向量． ②共线第二定理：若A 、B 、C 三点共线⇔OC →＝xOA →＋yOB →且x ＋y ＝1． ③两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，且不共线。

2019国家公务员行测必考必会之数字推理题规律【陕西华图】

2015国家公务员行测必考必会之数字推理题规律【陕西华图】公务员考试的数字推理题主要是通过加、减、乘、除、平方、开方等方法来寻找数列中各个数字之间的规律，从而得出最后的答案。

在实际解题过程中，根据相邻数之间的关系分为两大类：一、相邻数之间通过加、减、乘、除、平方、开方等方式发生联系，产生规律，主要有以下几种规律： 1、相邻两个数加、减、乘、除等于第三数2、相邻两个数加、减、乘、除后再加或者减一个常数等于第三数3、等差数列：数列中各个数字成等差数列4、二级等差：数列中相邻两个数相减后的差值成等差数列5、等比数列：数列中相邻两个数的比值相等6、二级等比：数列中相邻两个数相减后的差值成等比数列7、前一个数的平方等于第二个数8、前一个数的平方再加或者减一个常数等于第二个数；9、前一个数乘一个倍数加减一个常数等于第二个数；10、隔项数列：数列相隔两项呈现一定规律，11、全奇、全偶数列12、排序数列二、数列中每一个数字本身构成特点形成各个数字之间的规律 1、数列中每一个数字都是n 的平方构成或者是n 的平方加减一个常数构成，或者是n的平方加减n构成。

2、每一个数字都是n的立方构成或者是n的立方加减一个常数构成，或者是n的立方加减n。

3、数列中每一个数字都是n的倍数加减一个常数。

以上是数字推理的一些基本规律，必须掌握。

但掌握这些规律后，怎样运用这些规律以最快的方式来解决问题呢？这就需要在对各种题型认真练习的基础上，应逐步形成自己的一套解题思路和技巧。

第一步，观察数列特点，看是否存是隔项数列，如果是，那么相隔各项按照数列的各种规律来解答第二步，如果不是隔项数列，那么从数字的相邻关系入手，看数列中相邻数字在加减乘除后符合上述的哪种规律，然后得出答案。

第三步，如果上述办法行不通，那么寻找数列中每一个数字在构成上的特点，寻找规律。

当然，也可以先寻找数字构成的规律，在从数字相邻关系上规律。

这里所介绍的是数字推理的一般规律，在对各种基本题型和规律掌握后，很多题是可以直接通过观察和心算得出答案。

数字找规律类型总结

数字找规律类型总结在实际解题过程中，根据相邻数之间的关系分为两大类：一、相邻数之间通过加、减、乘、除、平方、开方等方式发生联系，产生规律，主要有以下几种规律：1、相邻两个数加、减、乘、除等于第三数2、相邻两个数加、减、乘、除后再加或者减一个常数等于第三数3、等差数列：数列中各个数字成等差数列4、二级等差：数列中相邻两个数相减后的差值成等差数列5、等比数列：数列中相邻两个数的比值相等6、二级等比：数列中相邻两个数相减后的差值成等比数列7、前一个数的平方等于第二个数8、前一个数的平方再加或者减一个常数等于第二个数;9、前一个数乘一个倍数加减一个常数等于第二个数;10、隔项数列：数列相隔两项呈现一定规律，11、全奇、全偶数列12、排序数列二、数列中每一个数字本身构成特点形成各个数字之间的规律。

1、数列中每一个数字都是n 的平方构成或者是n 的平方加减一个常数构成，或者是n的平方加减n构成2、每一个数字都是n的立方构成或者是n的立方加减一个常数构成，或者是n的立方加减n3、数列中每一个数字都是n的倍数加减一个常数以上是数字推理的一些基本规律，必须掌握。

但掌握这些规律后，怎样运用这些规律以最快的方式来解决问题呢?这就需要在对各种题型认真练习的基础上，应逐步形成自己的一套解题思路和技巧。

第一步，观察数列特点，看是否存是隔项数列，如果是，那么相隔各项按照数列的各种规律来解答第二步，如果不是隔项数列，那么从数字的相邻关系入手，看数列中相邻数字在加减乘除后符合上述的哪种规律，然后得出答案。

第三步，如果上述办法行不通，那么寻找数列中每一个数字在构成上的特点，寻找规律。

当然，也可以先寻找数字构成的规律，在从数字相邻关系上规律。

这里所介绍的是数字推理的一般规律，在对各种基本题型和规律掌握后，很多题是可以直接通过观察和心算得出答案。

数字推理题的一些经验1)等差，等比这种最简单的不用多说，深一点就是在等差，等比上再加、减一个数列，如24,70,208,622，规律为a*3-2=b2)深一点模式，各数之间的差有规律，如 1、2、5、10、17。

中共历史重要会议总结

(一)党的创建时期1.中共“一大”(1921年，上海)：中国共产党成立。

2.中共“二大”(1922年，上海)：制定了党的革命纲领：反帝、反封、反军阀。

3.中共“三大”(1923年，广州)：提出建立国共合作革命统一战线的策略，促进了第一次国共合作的实现。

(二)土地革命时期1.八七会议(1927年，汉口)(1)内容：①纠正了陈独秀的右倾投降主义错误；②通过了开展土地革命和武装反抗国民党反动统治的总方针；③决定发动秋收起义。

(2)意义：是由大革命失败到土地革命兴起的转折点。

2.古田会议（1929年，古田）即中国共产党红军第四军第九次代表大会,会议的主要任务在于克服由于红四军的组织成分和长期处于艰苦的战斗环境而出现的各种非无产阶级思想，加强党对军队的领导。

3.遵义会议(1935年，遵义)(1)内容：①解决博古等人军事上和组织上的“左”倾错误；②肯定了毛泽东的正确主张，选举毛泽东为中央政治局常委。

(2)意义：结束了王明“左”倾错误在中央的统治，确立了毛泽东在党和红军中的领导地位。

在革命的关键时刻挽救了党，挽救了红军，挽救了中国革命，是中国共产党从幼稚走向成熟的标志，是党的历史上生死攸关的转折点。

4.瓦窑堡会议(1935年，瓦窑堡)：确定建立抗日民族统一战线的方针。

(三)抗日战争时期1.洛川会议(1937年)：通过《抗日救国十大纲领》，决定实行全面抗战路线(即人民战争路线)，决定开辟敌后抗日根据地。

2.中共“七大”(1945年，延安)(1)内容：①毛泽东作《论联合政府》报告，提出废除国民党一党专政，建立民主的联合政府。

②制定了党的政治路线：放手发动群众，壮大人民力量，在中国共产党的领导下，打败日本侵略者，解放全国人民，建立一个新民主主义的中国。

③确定毛泽东思想为党的指导思想。

(2)意义：为争取抗日战争的胜利和实现中国的光明前途准备了条件。

(四)解放战争时期1.中共七届二中全会(1949年，河北平山县西柏坡)(1)内容：①提出党的工作重心由乡村转移到城市，开始城市领导乡村时期；②指出党的总任务是迅速恢复发展生产，使中国由农业国变为工业国；③告诫共产党人要警惕资产阶级“糖衣炮弹”的进攻。

数字推理众高手心得杂谈(12页)

数字推理.高手心得〔12页〕5,尝试把各数间差,及二重差列出,寻找规律;1,6、8项,首先考虑隔项数列;2,由小到大再到小,必与指数有关;3,注意观察是否平方/立方的变形(或者不同数的平方/立方相加/相减等);要求对以上前提篇的纯熟运用4,跳跃较大那么考虑乘积/次方,跳跃较小那么考虑差/二重差;6,尝试把各数变化成某平方式,看是否存在规律;7.6项就可以有三项关系，各项关系8.5项就可以有自身运算得到下项关系以上皆不可行,建议放弃一、先加减，后乘除，根据数字大小变化的规律判断属于何种数列类型１、数字快速增减的２、数字平稳增减的３、数字上下起伏的４、数字非常接近的二、分析项数，确定关键项，注意项与项之间关系，注意数列的级数〔确定是几项关联、几级数列或组合还是间隔〕１、项数低于或等于５项的２、项数为６项的３、项数大于６项的４、项数超多的三、抓住关键项，分析敏感数字１、平方数、立方数及其相邻数２、０、１及其相邻数以及常见变化３、根本数列４、分数题注意通分后的变化，关注小分子分母项四、找准起步点１、特别注意１、２项之间的关系五、寻找薄弱环节，确定关键数字，一举打破１、数列的不和谐局部、与众不同局部２、敏感数字，如０或１及其附近数３、从选项中找打破口数列有6项以上，考虑运用奇偶交替、分段分组。

数列少于3项，考虑乘方。

数字变化幅度平缓，考虑二级等差、ABC加减法。

数字变化幅度较大，考虑乘方〔平方、立方、幂〕、二级等比、乘法。

数字变化呈抛物线，考虑乘方〔平方、立方、幂〕、质数。

数字变化呈U型线，考虑乘方〔平方、立方、幂〕、除法、减法。

数字变化呈波浪线，考虑交替和分组。

其它：质数、分数、小数、无理数、数字各位数本身特征。

进入正题，今天想谈谈自己对数字推理的一些认识和看法，只要你认真看了，绝对有收获！其实数字推理重点是要明白为什么这样做，而不是怎么做。

说到低，一是对数字的敏感，二是方法。

自然数平方数列：4，1，0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400……自然数立方数列：-64，-27，-8，-1，0，1，8，27，64，125，216，343〔特别重要！！〕减一：-65，-28，-9，-2，-1，0，7，，26，63，124，215，342加一：-63，-26，-7，0，1，2，9，28，65，126，217，344加减一：-65，-26，-9，0，-1，2，7，28，63，126，215，344减加一：-63，-28，-7，-2，1，0，9，26，65，124，217，342质数数列：2，3，5，7，11，13，17……〔注意倒序，如17,13,11,7,5,3,2〕合数数列：4，6，8，9，10，12，14…….〔注意倒序〕● 2，3，4，5，6，7的屡次方●关于几个常见数字的分解81=3^4=9^226=5^2+1=3^3-1512=2^9=8^3729=9^3=27^2常见的几种题型1数字从小到大到小，与指数有关1，32，81，64，25，6，1，1/80，12，24，14，120，16〔7^3－7〕2连续出现两个0 0的情况处理方法：1〕+1 2 3 4 5 。

隔项成等差或等比