理论力学 第2版 06静力学专题_1摩擦

3）根据物块 B 的临界状态确定 F1 的最大值
选取物块 B 为研究对象，作受力图 取坐标轴，列平衡方程
Fix 0,
FCB cos P sin FBmax 0
A
F1
C
B

Fiy 0,
FCB sin P cos FNB 0
补充方程 其中 联立解得
F1max 150 N
P
A
Fs
FN
[例7] 如图，两个重量均为 100 N 的物块 A 和 B 用两根无重刚性杆
连接。杆 AC 平行于倾角 = 30°的斜面，杆 BC 平行于水平面。
已知两物块与地面间的静摩擦因数 fs = 0.5 ，试确定使系统保持平 衡的竖直力 F1 的最大值。 解： 当竖直力 F1 为最大值时，物块 A 处于向左滑动前的临界状态或者 物块 B 处于向右滑动前的临界状态 1）首先选取节点 C 为研究对象 作受力图 取坐标轴，列平衡方程
FN
x
1 F1 P 160 N 3
1m
F1
4
3
2）设物体处于绕点 A 倾倒前的临界状态 研究物块，作受力图 列平衡方程
M A Fi 0,
4 l F1 2l P 0 5 2
5 F1 P 150 N 16
2m
P
A
解得
F1
由此可见，物体在 F1 作用下将先倾倒 故使物体保持平衡的 F1 的最大值为
B
C
π π 2 f ≤ ≤ 2 2
此题亦可利用摩擦角来求解
P

A FsA
FNA
[例6] 如图，重 P = 480 N 的匀质物块置于水平面上，已知 l = 1 m ， 接触面间的静摩擦因数 fs = 1/3 ，试问物块在力 F1 的作用下是先滑
动还是先倾倒？并求出使物体保持静止的 F1 的最大值。
第六章
静力学专题
F
P
Fs FN
第一节 滑动摩擦
一、滑动摩擦力
1. 滑动摩擦力的概念
静滑动摩擦力： 阻碍相对滑动趋势，记作 Fs ，简称静摩擦力 动滑动摩擦力： 阻碍相对滑动，记作 Fk ，简称动摩擦力 2. 滑动摩擦力的方向
P
沿接触面的公切线，与相对滑动或相对滑动
趋势方向相反
v Fk
FN
P F
FN
P
与接触 只要物体平衡，就有全主动力 FR
面法线间的夹角
F
FN

Fs FR
≤ f
与接触面法线间的夹角 反之，只要全主动力 FR
≤ f
则无论全主动力有多大，物体必能保持静止 上述现象称为自锁现象 产生自锁现象的条件 ≤ f 称为自锁条件
[例1] 如图，已知物块重 P = 5 kN，与地面间的摩擦角 f = 30°， 作用力 F = 5 kN，试问物块处于何种状态？ 解： 由于全主动力 FR 与接触面 法向间的夹角
Fiy 0,
Fix 0,
y
F1
C
B
A

F1

FAC sin F1 0
FBC FAC cos 0
FAC
x
C
FBC
解得
FAC
F1 sin
FBC
F1 tan
F1
C
2）根据物块 A 的临界状态确定 F1 的最大值 选取物块 A 为研究对象，作受力图 取坐标轴，列平衡方程
解得
2）再求力 F1 的最小值 F1min
取分离体，作受力图
y
当力F1 达到最小值 F1min 时，物体
处于将要向下滑动的临界状态 取坐标系，列平衡方程
Fix 0,
Fiy 0,
F1min
P
x
Fsmax
FN
0 F1min cos P sin Fsmax
F1 min sin P cos 0 FN
一、滑动摩擦力
P
Fs FN
v Fk
3. 滑动摩擦力的大小 静摩擦力： 由平衡方程确定 最大静摩擦力： Fmax fs FN
其中，fs 为静摩擦因数，FN 为法向反力 动摩擦力：
Fk f FN
其中，f 为动摩擦因数，FN 为法向反力
二、摩擦角 如图，全约束力 FR 与法向间所夹锐角
P F
FN

Fs FR
Fs arctan FN
显然有，Fs
Fs Fmax f
其中，f 为 角的最大值，称为接触面的摩擦角
易得，摩擦角
f arctan fs
或者
tan f fs
◆ 摩擦角f 为取决于接触面材料及其表面状况的常数
三、自锁现象
FR
解： 1）设物体处于滑动前的临界状态
F1 F1
4
3
研究物块，作受力图 取坐标轴，列平衡方程
Fix 0,
4 F1 Fsmax 0 5
1m
2m
P
Fiy 0,
3 FN F1 P 0 5
P
Fs max
y
补充方程 联立解得
Fsmax fs FN
1 F1 P 160 N 3
Pr a b Rl fs
A
FA x
FA y
[例5] 如图，均质梯子 AB 的长为 2a，重量为 P ，其一端放在水平地 面上，另一端靠在铅垂墙面上。已知接触面间的摩擦角均为 f ，试 求梯子平衡时与地面间的夹角 。 解： 选取梯子为研究对象 作受力图 取坐标系， 列平衡方程
F
解： 设制动力 F 足够大，使鼓轮保持静止 分别选取鼓轮连同重物、制动手柄为研究 对象，并作出各自的受力图
F
O
B
R r
l
a
B
Fs
FN
P
A
FOx
O
FN Fs
b
FOy
P
A
FA x
FA y
对于鼓轮连同重物，列平衡方程
MO Fi 0, M A Fi 0,
Fs R P r 0
Fix 0,
Fiy 0,
A
B
FCA cos FAmax 0
FNA FCA sin P 0
P
y

补充方程 其中 联立解得
FAmax fs FNA
FCA FAC F1 sin
A

FCA
FA max
x
FNA
F1
fs sin P 40.58 N cos fs sin
Fix 0,
O
B
a a

A
C
P
FNB FsA 0
FNA FsB P 0
FNB
FsB
y
Fiy 0,
B
C
M B Fi 0,
FNA 2a cos FsA 2a sin P a cos 0
P

A FsA
另有补充方程
FsA ≤ fs FNA tan f FNA FsB ≤ fs FNB tan f FNB
来替代，物体在三力作用下 全反力 FR
F1min
Fsmax P

f FN
FR
平衡 根据平面汇交力系平衡的几何条件， 作封闭的力三角形 根据力三角形易得
P
f
F1min P tan f
FR F1min
F1max P tan f
F1min P tan f
根据自锁条件，欲使 梯子不滑动，应有
B
B
60
≤f arctan fs
故得
FR

fs tan f ≥ tan tan30 0.577
四、求解考虑摩擦的平衡问题 注意点： 1）静摩擦力除了满足平衡方程，还应满足下列物理条件
Fs ≤ Fmax fs FN
或者
≤ f arctan fs
用全反力 FR 来替代，物体在三力作 用下平衡 根据平面汇交力系平衡的几何条件， 作封闭的力三角形 根据力三角形易得
F1max
P
+f
FR
F1max P tan f
2）再求力 F1 的最小值 F1min
当力F1 达到最小值 F1min 时，物体 处于将要向下滑动的临界状态 此时，将摩擦力与法向反力合成后用
F1

P
y
处于将要向上滑动的临界状态
取坐标系，列平衡方程
Fix 0,
Fiy 0,
F1max
x
F1 max cos P sin Fsmax 0
Fs max
P
FN
FN F1 max sin P cos 0
另有
Fsmax fs FN
F1max sin tan f cos sin fs cos P P P tan f cos fs sin cos tan f sin
x
百度文库
FNA
联立求解，得
2 1 fs 2 1 tan f π tan ≥ cot 2 f tan 2 f 2 fs 2 tan f 2
π ≥ 2 f 2 再考虑到梯子平衡时，应有
B
a a

A
≤
π 2
FNB
FsB
C O
P
故得梯子平衡时与地面间的 夹角 应满足的条件为
FBmax fs FNB
FCB FBC F 1 tan
y
P
FCB
B
FB max
x
sin fs cos F1 tan P 87.44 N cos fs sin
FNB
综上所述，使系统保持平衡的竖直力 F1 的最大值为
F1max 40.58 N
故当物体处于平衡时，水平主动力 F1 的大小范围为
P tan f ≤ F ≤ P tan f
两种方法计算的结果完全相同
[例4] 图示为起重装置的制动器。已知重物重量为 P ，制动块与鼓
轮间的静摩擦因数为 fs 。试问在手柄上作用的制动力 F 至少应为多
大时才能保持鼓轮静止？
其中，在临界状态下等号成立 2）正确判断摩擦力的指向，一般不要随意假定
[例3] 如图，一重力为 P 的物块放在倾角为 的斜面上，它与斜 面间的静摩擦因数为 fs ，当物体处于平衡时，试求水平主动力F1 的大小，假设 ＜ f 。 解： 1）先求力 F1 的最大值 F1max 取物块为研究对象 作受力图 当力F1 达到最大值 F1max 时，物体
F
60
P
30 f
所以，物块处于临界状态
FR
30
P
F
[例2] 如图，假设墙壁光滑并不计梯子自重，试问：若人能够攀
登至梯子顶部而使梯子不滑动，地面与梯子间的静摩擦因数 fs
至少应为多大？ 解： 研究梯子，画受力图 当人攀登至梯子顶部时，地面 的全反力与法向间夹角
A
P
FA
A
30
P tan f ≤ F ≤ P tan f
本题亦可利用摩擦角的概念来求解 —— 1）先求力 F1 的最大值 F1max 当力F1 达到最大值 F1max 时，物体 处于将要向上滑动的临界状态
F1max
P f FN
Fs max
FR
此时，将摩擦力与法向反力合成后
另有 解得
F1min
fs FN Fsmax
sin tan f cos sin fs cos P P P tan f cos fs sin cos tan f sin
故当物体处于平衡时，水平主动力 F1 的大小范围为
FOx
O
FN Fs
对于制动手柄，列平衡方程
a 0 F l Fs b FN
FOy
P
当制动力 F 为最小值时，鼓轮处于临界 平衡状态，有补充方程
Fs Fmax fs FN
F
Fs
B
FN 其中， FN
Fs Fs
FN
联立求解，得所需制动力的最小值为
Fmin