八年级数学上册第5章《几何证明初步》专题专练(青岛版)

《几何证明初步》专题专练

专题一定义与命题

一、知识要点

1.定义：对术语和名称的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.如“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离的定义.

2.命题：判断一件事情的句子叫做命题，每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题一般写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.

3.真命题、假命题与反例

真命题：正确的命题称为真命题.

假命题：不正确的命题称为假命题.

反例：要说明一个命题是假命题，通常可以举出一二例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这个例子称为反例.

4.公理、定理、证明

公理：人们公认的真命题称为公理.

定理：经过证明了的真命题称为定理.

证明：推理的过程称为证明.

二、考点分析：该考点主要涉及命题的概念和命题的结构形式、判断命题的真假等. 多以选择题的形式出现，以判断真假命题类型题为主要考点.

三、复习策略：应结合具体实例来理解命题的定义，体会寻找命题的题设和结论的常用方法----将命题改写成“如果……，那么……”的形式，能举反例说明一个命题是假命题，能利用推理的方法证明一个命题是真命题等.

四、典例分析

例1 判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题还是假命题？

（1）两点之间，线段最短；（2）作线段AB=CD；（3）你今天上数学课了吗？（4）熊猫没有翅膀；（5）对于角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.

解析：判断一个句子是否为命题需抓住两点：（1）命题必须是一个完整的语句，且是陈述句，不是疑问句、祈使句；（2）要对事情作出判断.根据这两条可知（2）、（3）不是命题，（1）、（4）、（5）是命题，且都是真命题.

例2 写出下列命题的条件和结论.

（1）如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形.

（2）对顶角相等.

解析：（1）命题一般写成“如果A，那么B”的形式，A部分为条件，B部分为结论，所以（1）中的条件“一个三角形中有两条边相等”，结论为“这个三角形是等腰三角形”.

（2）对于命题本身不含“如果”，“那么”词语，此时需将其改写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论，便不易错，所以（2）中可改成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，故条件为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”.

专题练习一定义和命题

1.把“垂线段最短”改写成“如果……，那么……”的形式是________.

2.下列语句中，不是命题的是（）

A.直角都相等

B.如果ab=0，那么a=0

C.不是对顶角的两个角相等

D.连接两点A、B

3.下列命题中，是真命题是是（）

A.互补的两角若相等，则此两角都是直角

B.直线是平角

C.不相交的两条直线叫平行线

D.和为180°的两个角叫邻补角

4.下列命题中，是真命题的是（）

（1）所有菱形都相似；

（2）任意两个等边三角形都相似；

（3）任意两个等腰三角形都相似；

（4）有一个角相等的两个直角三角形相似；

（5）同位角相等.

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

5.判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例：

（1）若|a|=|b|，则a=b；

（2）两个锐角之和一定是钝角；

（3）实数与数轴上的点一一对应.

专题二平行线的判定和性质

一、知识要点

1.平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行.

2.平行线的判定定理1：同旁内角互补，两直线平行.

3.平行线的判定定理2：内错角相等，两直线平行.

平行线的性质公理：两直线平行，同位角相等.

4.平行线的性质定理1：两直线平行，内错角相等.

平行线的性质定理2：两直线平行，同旁内角互补.

注意：对于平行线的判定与性质，一定不要混淆它们的条件和结论，平行线的条件是由角的数量关系来确定直线的位置关系，平行线的性质是由平行线的位置关系来确定角的数量关系.对平行线的判定而言，“两直线平行”是结论，对平行线的性质而言，“两直线平行”是条件.因此，不能随便说“同位角相等”“同旁内角互补”.

二、考点分析：该考点主要涉及：（1）与两直线平行条件有关的开放题、探究题等；（2）运用平行线的性质进行计算或说理，解决生活中的一些实际问题等.在中考中多以填空题或选择题形式出现难度不大，但非常重要，在大题中，经常用到.

三、复习策略：应理解并熟记两直线平行的判定和性质，注意平行线的判定和性质的区别，同时也可进行适当的探究性问题的训练.

例1 如图1，在△AFD和△BEC中，点A，E，F，C在同一直线上，有下面4个论断：①AD=CB；②BE=DF；③∠B=∠D；④AD//BC.

请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出一个真命题，并证明.

分析：本题是一道开放性问题，在写命题时，要根据题意找一个比较简单的，这样解答起来也较容易. A

B C

D

E

F

图1

解：如，已知：BE=DF ，∠B=∠D ，AD=CB. 求证：AD//BC.

证明：因为AD=CB ，∠B=∠D ，BE=DF ， 所以△ADF ≌△CBE. 所以∠A=∠C ，所以AD//BC.

点评：证明两条直线平行，主要根据图形找同位角相等或内错角相等或同旁内角互补.

例2 如图2，AB//CD ，EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，∠EMB=50°，MG 平分∠BMF ，MG 交CD 于G .

求：∠1的度数.

分析：由AB//CD ，得∠1=∠2，所以要求∠1的度数，可求∠2的度数.由条件知BMF ∠=

∠2

1

2，而∠BMF 与∠EMB 是邻补角，所以∠BMF=180°-50°=130°.于是可求得∠2的度数，进而得出∠1的度数.

解：因为AB//CD ，所以∠1=∠2.

又因为∠EMB=50°，所以∠BMF=180°-50°=130°. 因为MG 平分∠BNF ，所以.651302

1

21200=⨯=∠=

∠BMF 所以∠1=65°

. 点评：根据平行条件求角的度数，一般借助平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等或同旁内角互补）解决问题.

专题练习二

1.如图3，△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝50°，BD ∥AC ，则∠CBD 的度数是_____.

2.如图2，直线a b ∥，则A ∠的度数是（ ） A.28o

B.31o

C.39o

D.42o

A

C B

D

A

B

C

D

a

b

70° 31°

图3

图4

A B M

E F

C N G D

1

2

图2