人教版高中数学-对数的概念与运算性质
人教版高中数学必修一对数与对数运算对数及对数的性质课件PPT
讲授新课
1.对数的定义： 一般地，如果ax=N ( a > 0 , 且a ≠ 1 )
那么数x叫做以a为底N的对数，记作: 其中a叫做对数的底数, N叫做真数.
注意：限制条件是a > 0 , 且a ≠ 1
填写学案，题1
讲授新课
练习1：将下列指数式写成对数式：
① 52 = 25
（2）log
1 a
=
0
即：1的．对数是0
（3）log
a a
=
1
即：底数的对数是1
（4）对数恒等式：aloga N = N
（5）对数恒等式：loga an = n
巩固练习
1、指数式b2 = a(b 0,且b 1)相应的对数式是（D）
A log2a = b B log2 b = a
C logab=2
解：(1)64
-
2 3
=
(43
)
-
2 3
= 4-2 =
1
(4) ln e2 = -x
16
1
1
1
e-x = e2
(2)x6 = 8所以x = 86 = (23 )6 = 22 = 2 - x = 2
(3)10 x = 100所以x = 2
x = -2
讲授新课 4.对数的性质 探究活动 1、试求下列各式的值：
。
简记作
。如 loge 9 简记为 ln 9.
填写学案，题4
例题分析
例1．将下列指数式写成对数式：
(1) 54 = 625
(2)
e-6
=
1
b
(3) 10 a = 27 (4) ( 1 )m = 5.73
高中数学对数的知识点总结
高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。
设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。
其中a称为底数，b称为真数。
即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。
例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。
2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。
（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。
即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。
⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。
⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。
3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。
4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。
在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。
例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。
二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。
分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。
（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。
2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。
对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。
3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。
高中数学人教版必修1课件：2.2.1对数与对数运算运算性质
1.定义：一般地，如果 a x N a 0, a 1
那么数 x叫做 以a为底 N的对数，记作 loga N x
a叫做对数的底数，N叫做真数。
2.对数的基本性质:
① 零和负数没有对数. ② loga1= 0 ③ logaa = 1
3.对数恒等式：aloga N N
2.2.1对数与对数运算(2)
(2)
log M aN
loga M
loga N;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ两数商的对数，等于对数的差；
(3) loga M n n loga M (n R).
幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．
例1 用logax，logay，logaz表示下列各式：
(1)
xy loga z
;
(2)
loga
x2
3
y. z
解 : 1原式 loga xy loga z
对数运算
学习目标：
1.掌握对数的运算性质。 2.能熟练运用运算性质解题。
重、难点：
对数的运算性质的理解与应用。
(自主学习P64~65,记忆对数运算性质) 对数运算性质：
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0 ,那么：
(1) loga (M N ) loga M loga N;
两数积的对数，等于对数的和；
loga x loga y loga z
2原式 loga x2 y loga 3 z
1
loga x2 loga y 2 loga 3 z
2 loga
x
1 2
loga
y
1 3
log
a
z
例2 求下列各式的值：
(1)log2（47×25）； (2) lg 5 100 ；
对数知识点总结高中
对数知识点总结高中一、概念对数是指数运算的逆运算，是一种用来求解指数方程的运算方法。
对数可以帮助我们快速计算复杂的指数运算，简化数学问题的求解过程。
二、对数的定义1.定义：设a是一个大于0且不等于1的实数，a ≠ 1，且a≠0。
若aⁿ=x（n∈R），则称n 是以a为底x的对数，记作n=logₐx，其中a称为底数，x称为真数，n称为指数。
2.对数的性质：（1）logₐa = 1（2）aⁿ=x（n∈R），则x>0（3）a>1时，n>0 <=> logₐx>0a<1时，n>0 <=> logₐx<0（4）a>1时，m>n <=> logₐm>logₐna<1时，m>n <=> logₐm<logₐn（5）logₐmn=logₐm+logₐn（6）logₐm/n=logₐm-logₐn（7）log_a(x^n)=nlog_ax（8）logₐ1=0,logₐa=1三、对数的运算1.换底公式若已知log_bx的值，要求log_ax的值时，可以利用换底公式来求解。
设log_bx=y，则x=b^y则log_ax=log_ab^y=ylog_ab2.对数的加减法logₐm+logₐn=logₐmnlogₐm-logₐn＝logₐ(m/n)3.对数的乘方法则logₐ(x^m)=mlogₐx4.对数的除法法则logₐ(x/n)=logₐx-logₐn四、对数方程对数方程是指含有对数的方程，形式为logₐx=b。
求解对数方程时，我们需要根据对数的性质和换底公式来化简方程，从而得到方程的解。
五、对数不等式对数不等式是含有对数的不等式，形式为logₐx>b。
求解对数不等式时，我们需要根据对数的性质来化简不等式，然后利用不等式的性质来解决问题。
六、对数函数对数函数是指y=logₐx（a>0且a≠1）这样的函数。
对数的基本性质和运算公式
对数的基本性质和运算公式对数是数学中非常重要和常用的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
对数的基本性质和运算公式包括对数的定义、对数的性质、对数的运算规则以及一些常用的对数公式等。
本文将详细介绍这些基本性质和运算公式。
一、对数的定义：对数是指数运算的逆运算。
设a为一个正实数，b为一个正实数且不等于1，若满足b^x = a，其中x为实数，则称x为以b为底a的对数，记作x = log_b a。
其中，a称为真数，b称为底数，x称为对数。
在对数的定义中，底数和真数的位置可以互换，即x = log_b a等价于 a = b^x。
二、对数的性质：1.对数的定义保证了对数的唯一性，即对于给定的底数和真数，对数是唯一的。
2.对于不同的底数，同一个真数的对数是不同的。
3.当底数为1时，对数不存在，因为1的任何次幂都等于14. 当真数为1时，对数等于0，即log_b 1 = 0。
5.当底数为0时，对数不存在，因为0无法作为一个数的底数。
6.当0<b<1时，对数是负数；当b>1时，对数是正数；当b=1时，对数等于0。
三、对数的运算规则：1.对数的乘法法则：log_b (a * c) = log_b a + log_b c2.对数的除法法则：log_b (a / c) = log_b a - log_b c3.对数的幂法法则：log_b (a^p) = p * log_b a，其中p是任意实数。
这些运算规则可以用来简化对数运算或者将对数转化成乘法和除法的形式。
四、常用的对数公式：1.自然对数和常用对数之间的换底公式：log_b a = log_c a / log_c b，其中b和c是底数。
2.e为底的自然对数：自然对数是以e (自然常数)为底的对数，记作ln(x)。
3.常用对数：常用对数是以10为底的对数，记作log(x)。
4.对数性质的推广：log_b a^n = n * log_b alog_b √(a) = 1/2 * log_b a这些对数公式在计算和解决问题时都有常用的作用。
人教版高一对数概念知识点
人教版高一对数概念知识点高一对数概念知识点对数是数学中常见的一个概念，我们经常在数学课本中见到它的身影。
那么，什么是对数呢？在这篇文章中，我们将详细介绍人教版高一对数概念知识点，让大家对对数有一个更加深入的理解。
一、对数的定义对数是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们简化计算，并解决一些复杂的数学问题。
在定义对数之前，我们先来了解指数的概念。
指数，是用来表示重复乘积的运算法则。
例如，2的3次方可以表示为2³，意思是2乘以2乘以2，即2x2x2=8。
指数运算的反运算即为对数运算。
对数可以这样定义：设正整数a大于1，且不等于1。
如果aⁿ=x，那么数n叫做以底数a的对数。
用符号logₐ(x)表示，其中n 叫做x的对数，a叫做底数，x叫做真数。
二、常见对数与自然对数在数学中，我们通常使用常见对数和自然对数。
常见对数以10为底，自然对数以e（约等于2.71828）为底。
常见对数可以写作log₁₀(x)，它表示以10为底数，真数是x 的对数。
自然对数可以写作logₑ(x)或ln(x)，其中e是自然对数的底数。
常见对数和自然对数在计算中都经常被使用，具体使用哪一个取决于问题本身的特点和要求。
三、对数的性质对数有许多重要的性质，了解并熟练运用这些性质，能够在计算中事半功倍。
下面是对数的几个重要性质：1. logₐ(mn) = logₐm + logₐn这个性质叫做乘法公式，它表明两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。
2. logₐ(m/n) = logₐm - logₐn这个性质称为除法公式，它表明两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
3. logₐ(mⁿ) = n * logₐm这个性质称为幂公式，它表明一个数的指数幂的对数等于指数乘以这个数的对数。
4. logₐa = 1这个性质表明任何数以其自身为底的对数都等于1。
四、对数的应用对数在数学中有着广泛的应用，下面是一些常见的应用场景：1. 对数函数对数函数是一类常用的基本函数，如y = log(x)，它在很多科学领域中都有重要的应用，如物理学、化学等。
高一对数知识点高中总结
高一对数知识点高中总结对数是数学中的一个重要概念，它在高中数学中扮演着重要角色。
在高一阶段，我们学习了许多关于对数的知识点，通过总结和归纳，可以更好地理解和应用这些知识。
本文将对高一阶段的对数知识点进行整理和总结。
一、对数的定义和性质对数的定义是：如果一个正数a不等于1，且b大于0，那么称符号logₐb为以a为底b的对数，记作logₐb=c。
对数具有以下性质：1. logₐ1=0，因为a的0次方等于1。
2. logₐa=1，因为a的1次方等于a。
3. logₐ(㏑ₐb+㏑ₐc)=logₐb+c，对数的乘法公式。
4. logₐ(b/c)=logₐb-logₐc，对数的除法公式。
二、换底公式和常用对数对数的底数可以是任意正数，但常用的对数底数是10和e（自然对数）。
1. 换底公式：如果知道了一个数的对数以及底数，可以通过换底公式将其转化为另一个底数的对数。
换底公式为：logₐb=㏑b/㏑a。
2. 常用对数：以10为底的对数称为常用对数，常用对数的符号是㏑，常用对数表是我们常用的工具之一。
三、对数方程和对数不等式对数方程和对数不等式是对数的应用之一，要解决对数方程和对数不等式，需要利用对数的性质和换底公式，通过变量的替换和代数运算来求解。
1. 对数方程：是形如logₐx=b的方程，其中a、b为已知常数，x为未知数。
求解对数方程时，可以通过对数的性质和换底公式进行变换，最终得出x的值。
2. 对数不等式：是形如㏑ₐx>b的不等式，其中a、b为已知常数，x为未知数。
求解对数不等式时，需要注意不等式的取值范围，并通过对数的性质和换底公式进行变换，找到x的取值范围。
四、指数函数与对数函数的图像和性质在高一阶段，我们学习了指数函数和对数函数的图像和性质，这对我们理解对数与指数的关系、解决相关问题非常有帮助。
1. 指数函数的图像和性质：指数函数y=a^x的图像呈现出递增或递减的特点，且过原点。
指数函数具有指数遇加法、指数遇乘法和指数函数的值域等性质。
人教版高中数学知识点解析指数与对数函数的性质与运算法则
人教版高中数学知识点解析指数与对数函数的性质与运算法则指数与对数函数是高中数学中的重要概念，对于学生来说，掌握其性质与运算法则是非常关键的。
本文将对人教版高中数学教材中关于指数与对数函数的性质与运算法则进行解析。
希望通过本文的讲解，能够帮助学生更好地理解并掌握这部分内容，提高数学学习的效果。
一、指数函数的性质与运算法则指数函数是以一个固定的正常数作为底数，自变量为指数的函数。
在人教版高中数学教材中，指数函数的性质与运算法则如下：1. 指数函数的定义域与值域对于指数函数 y=a^x 而言，其定义域为全体实数，即 x∈R。
对于指数函数的值域与底数 a 相关，当 a>0 且a≠1 时，值域为 (0，+∞)；当0<a<1 时，值域为 (0，+∞)；当 a<0 时，值域为无解。
2. 指数函数的性质a) 当 a>1 时，指数函数 y=a^x 在 x 趋于正无穷和负无穷时，分别趋于正无穷和零。
b) 当 0<a<1 时，指数函数 y=a^x 在 x 趋于正无穷和负无穷时，分别趋于零和正无穷。
c) 无论 a 的值为何，指数函数 y=a^x 的图像必过点 (0，1)。
3. 指数函数的运算法则a) a^m * a^n = a^(m+n)b) (a^m)^n = a^(m*n)c) (a*b)^n = a^n * b^nd) a^-n = 1/(a^n)e) (a/b)^n = (a^n)/(b^n)二、对数函数的性质与运算法则对数函数是指数函数的逆运算，即 y=log(a, x)，其中底数 a 为正常数且a≠1，x 为正常数。
在人教版高中数学教材中，对数函数的性质与运算法则如下：1. 对数函数的定义域与值域对于对数函数 y=log(a, x) 而言，其定义域为 x>0 且x≠1；值域为全体实数。
2. 对数函数的性质a) log(a, 1) = 0b) log(a, a) = 1c) log(a^m, a^n) = (m/n)，其中 a>0 且a≠1，m、n 为任意实数。
4.3.1对数的概念课件高一上学期数学人教A版
D.3
10
.
(3)2 2 3 +2log31-3log77+3ln 1=
解析 原式=3+2×0-3×1+3×0=0.
0
.
重难探究·能力素养速提升
探究点一
对数式与指数式的互化
【例1】 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
2
(1)10 =100;(2)ln a=b;(3)7
1
=343;(4)log6 =-2.
人教A版 数学必修第一册
课程标准
1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.
2.掌握指数式与对数式的互化,能够应用对数的定义和性质解方程.
3.理解常用对数和自然对数的定义形式以及在科学实践中的应用.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1 对数的概念
1.对数的定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,
4
(1)2 =16;(2)3
1
1 b
a
= ;(3)5 =20;(4)
=0.45.
27
2
-3
解 (1)log216=4.
1
(2)log327 =-3.
(3)log520=a.
(4)log 1 0.45=b.
2
知识点2 对数的基本性质
1.对数与指数间的关系
(1)当a>0,a≠1时,ax=N⇔x=logaN.
25
x=-1;(5)logx64=2;(6)2lo g 2 3 =x.
解 由对数的定义,得
(1)x=34=81;
(2)5
1
= =5-2,所以
25
x
x=-2;
(3)x=log35;
人教版高中数学必修第一册4.3对数的概念 第2课时 对数的运算【课件】
初探新知
【活动1】 探究对数运算性质
【问题1】我们学过的对数的性质有哪些？
【问题2】我们知道了对数和指数间的关系，你打算怎么研究对数运算性质？
【问题3】计算log24,log216,log264的值，你有什么发现？
【问题4】对于logaM,logaN,loga(MN),你有何猜想？
【问题5】上述猜想是否具有一般性？如何证明？
【解】
(1) 原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝ 2－3＝－1.
(2)
原式＝12
lg
25 72
－43
3
lg 2 2 ＋ lg 5 72
1 2
＝1
2
×(5lg 2－2lg 7)－43
×32
lg 2＋12
(lg 5＋
那么1a
＋1b
＝1 log 2 10
1 log5 10
＝lg 2＋lg 5＝1.
【方法规律】 当底数不同时，考虑使用换底公式将不同底的对数化成 同底，然后使用同底对数的运算性质解决问题．在数学 运算中，常将底数转换为以e为底的自然对数或以10为底 的常用对数，方便计算．
【变式训练2】
(1) 设 lg 2＝a，lg 3＝b，则 log512 等于( C )
学科核心素养
运用类比和联想的方法,根据对 数的定义推导出对数的基本性质 和运算性质
在运用对数的定义推导对数的基 本性质的过程中,培养数学抽象素 养
能根据对数的运算性质推导出换 底公式,并理解对数的运算性质 与换底公式
在根据对数的运算性质推导对数 的换底公式的过程中,培养逻辑推 理素养
学会运用对数的基本性质、运算 性质和换底公式进行对数式的恒 等变形
人教版高中数学新教材必修第一册课件：4.3.2对数的运算性质
尝试练习
解：(1) log8 4 log8 2 log8 2 4 log8 8 1 (2) log5 10 log5 2 log5 10 2 log5 5 1 (3) log2 (47 25 ) log2 47 log2 25 log2 214 log2 25 =14+5=19
解设示：设llooggloaa (gMMa(M·N·mN）)，=；lxloo,gg则aa (NMNax)=nM，·N试log用a Mm,nn 表 又因为 logaM=m,logaN=n 所以 M=am , N=an 所以 ax＝am ·an
即ax＝am＋n ， 所以x=m＋n，即loga(M·N)=logaM＋logaN
由对数的定义可以得：M a p , ∴ M n anp log a M n np 即证得 logaMn nlogaM(n R) (3)
学习新知 上述证明是运用转化的思想，先通过假设，
将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等 变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。
loga (MN) logaM logaN (1)
⑶对数恒等式 a loga N N
l oga am m
a 0,a 1, N 0,mR
复习引入
⑷常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作lgN。
⑸自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……
为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。
A. 1
3 B. 2
C. 90
D.2＋lg9
1.解:lg12 =lg(4×3) =lg4＋lg3 =2lg2＋lg3 =2a ＋b
2.解: lg ( 103－102) ＝ lg [102( 10－1)]＝ lg(102× 9) ＝lg102＋lg9＝2＋lg9
高中数学人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件
(1)
log64
x
2 3
(3) lg100 x
(2) logx 8 6 (4) ln e2 x
解：(1)x
64
2 3
1
2
64 3
1
2
43 3
1 16
1
1
(2)x6 8, x 86 22 2
(3)10x 100, x 2
(4) ln e2 x ln e2 x e2 ex 2 x x 2
（1）54 625
(4) log1 16 4
2
（2）26 1 64
(5) lg 0.01 2
（3） 1 m 5.73 3
(6) ln10 2.303
其实指数式与对数式，虽然从情势上看， 两者不同，但本质上是一致的。 这个一致就是底数、指数（对数）、幂（真数） 三者之间的关系。
典例解析
例2.求下列各式中x的值：
3.求下列各式中x的值：
(1) log1 x 3
3
(2) logx 49 4
(3) lg 0.00001 x
(4) ln e x
知识拓展
对数恒等式: aloga N N (a 0，且a 1, N 0)
令 loga N x
ax N
即
aloga N N
请同学们记在课本里
巩固练习 金版P86-88 P88 A级 练习5
课堂练习 P123练习
1.把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
（1）23 8 (4) log3 9 2
（2）e 3 m (5) lg n 2.3
（3）27
1 3
1
3
(6)
log3
1 81
4
2.求下列各式的值：
关于对数函数对数的概念
关于对数函数对数的概念一、对数的定义对数函数是一种特殊的函数，它表示以给定的底数为底的数的对数。
在数学中，如果 a 的 b 次方等于 c，那么我们称 b 为以 a 为底 c 的对数，记作log_a(c) = b。
在这里，a 是底数，b 是指数，c 是真数。
二、对数的性质1. 对数的定义域和值域：对数的定义域是正实数集，值域是实数集。
2. 对数的性质：对数具有以下性质：(1) log_a(1) = 0；(2) log_a(a) = 1；(3) log_a(mn) = log_a(m) + log_a(n)；(4) log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)；(5) log_a(m^n) = n * log_a(m)。
三、对数函数的概念对数函数是一种函数，它的定义域是正实数集，值域是实数集。
对于任意底数 a > 0 且 a ≠ 1 和任意正实数 x，都有 y = log_a(x)。
四、对数函数的图像和性质1. 对数函数的图像：对数函数的图像是一条过原点的单调递增或递减的直线。
2. 对数函数的基本性质：(1) 对数函数的定义域为正实数集；(2) 对数函数的值域为实数集；(3) 对数函数在定义域上是单调的；(4) 对数函数是连续的；(5) 对数函数的导数为 1/(xlna)。
五、对数函数的应用1. 在数学中的应用：对数函数在数学中有着广泛的应用，如解方程、求幂、求三角函数值等。
同时，对数也是复变函数中自然对数的底。
2. 在实际生活中的应用：在经济学中，复利计算是一种常见应用，涉及到对数的计算。
此外，在计算机科学中，二进制的基数为2，与自然对数的底数e 有关。
在物理学中，热力学温度与自然对数的底数e有关。
人教版高中数学必修1：2.2.1《对数》课件【精品课件】
20
例2
求下列各式的值：
(1) log2（47×25）；
(2) lg5
31log3 2
100
；
(3) log318 -log32 ；
(4)
3
1 log 3 2
.
21
例3 计算：
2 log 5 2 log 5 3 1 1 log 5 10 log 5 0.36 log 5 8 2 3
对数与对数运算
第二课时
对数的运算
13
问题提出
1.对数源于指数，对数与指数是怎样互 化的？
2.指数与对数都是一种运算，而且它们 互为逆运算，指数运算有一系列性质， 那么对数运算有那些性质呢？
14
15
知识探究（一）：积与商的对数
思考1:求下列三个对数的值：log232， log24 ， log28．你能发现这三个对数之 间有哪些内在联系？ 思考2:将log232＝log24十log28推广到一 般情形有什么结论？
48
思考3:点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样的 位置关系？由此说明对数函数 y log a x x 的图象与指数函数 y a 的图象有怎样 的位置关系？ y Q P o x
49
思考4:一般地，对数函数的图象可分为 几类？其大致形状如何？ y 0 <a <1 y a >1
1 0 1 x 1 0 1
(5) lg0.01=－２;
化为指数式：
3
(6) ln10＝2.303.
10
2
例2.求下列各式中ｘ的值：
2 (1)log64x＝ ; (2) logx8＝6 ; 3
(3)lg100=x;
(4)－lne2＝ｘ .
4.3对数的概念及运算课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
练习·1
1、将下列指数式、对数式互化：(1) (2) (3) (4 (5 (6) 2、对数式中，实数的取值范围是（ ）A.(-∞,7) B.(3,7) C.(3,4)∪(4,+∞) D.(3,+∞)
C
1.已知 ，则实数 ______；已知 ，则 ______.
解析：因为 ，所以 ；因为 ，所以 .
例2：求下列各式中x的值
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） ;
书本P123：练习第3题
对数的性质和恒等式
知识点二 对数的基本性质
1.对数的性质
对数的概念及运算
目 录COMPANY
01
对数的定义
03
对数的性质和恒等式
02
指数式与对数式互化
04
积、商、幂的对数
04
05
换底公式
对数的定义
新课探究
01
03
观察数的运算过程，思考问题：（1）已知+=，则= ；（2）已知=，则= ； （3）已知,则= ；（4）已知，则= ； （5）已知，则=
知, ,那么
（1） _______________;
（2） _______________;
（3） ________ .
书本P124.例3、例4
练习1 计算下列各式:
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） .
【解】 原式 .
（1）负数和0______对数.
（2） ___ ,且 .
（3） ___ ,且 .
没有
0
1
2.对数恒等式
（1） ，且 ， .
（2） ，且 ， .
人教版高中数学必修第一册4.3.1对数的概念【课件】
(1) 设 x＝log7
7
，则 7x＝
1
7 ， 即 7x＝72 ，
所以 x＝12 .
(2) 设 x＝log927，根据对数的定义知 9x＝27，即 32x＝33，所以 2x＝3，得 x＝32 ， 所以 log927＝32 .
(3)
设 x＝log 1
16
1 8
，所以
1 16
x
＝18
，即
1 2
4
;(5) log33=
;(6) logaa=
.
你从上述结果中能得出怎样的结论?
【活动3】 指数式与对数式的互化
【问题6】 对比 2x=3 和 log23=x,你发现了什么?
【问题7】 能否将指数式与对数式的互化写成一般形式?
【问题8】 求下列各式的值.
(1)
;(2)
. ;(3) log334;(4) lne-2.
解：(1) 因为 log3(lgx)=1,所以 lgx=31=3,所以 x=103=1 000. (2) 由 log3[log4(log5x)]=0 可
得 log4(log5x)=1,故 log5x=4,所以 x=54=625.
【方法规律】
(1) 求多重对数式的值的方法是由内到外,如求 loga(logbc) 时,先
【问题3】 对于等式ax＝N (a>0，且a≠1)，如何表示这里的x?
【活动2】 认识和理解对数的概念 【问题4】 对数的真数可以取哪些值?能为零吗?可以为负数吗?
【问题5】
试说出下列各对数的值(a>0,a≠1):
(1) log51=
;(2) log31=
;(3) loga1=
;
(4) log55=
4.3.1对数的概念与对数运算(两课时)课件(人教版)
x=㏒aN
※性质
0和负数没有对数，即N > 0；
1的对数等于0，即loga1=0；
底数的对数等于1，即logaa=1；
④对数恒等式 a
log a N
N.
探究角度1 对数式与指数式的互化
[例1] 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式.
(1)lo
x=3;
(2)logx64=-6;
对数定律说明书》中阐明了对数原理,后人称为纳皮尔对数
.
对数的主要作用是简化运算
解下列方程
(1)2 8
x
(3)1.11 2
x
(2)2
x
2
(4)1.11 3
x
一般地，
对数概念
如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N 的对数,记
作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数
loga N
N (对数恒等式）
对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么：
（1）logaM n = n logaM (n∈R)
（2）loga(MN)=logaM+logaN
M
(3) log a
log a M log a N
N
探究点一
对数运算法则
[例1] 计算:
(2)
+
+
解:(1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1,即log2x=7,所以x=27.
(2)log2[log3(log2x)]=1.
解:(2)由log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2,所以log2x=9,所以x=29.
人教版高中数学精讲精练必修一4.3 对数运算(精讲)(解析版)
4.3对数运算（精讲）一.对数的概念1.对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.常用对数与自然对数名称定义符号常用对数以10为底的对数叫做常用对数log10N记为lg N自然对数以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e＝2.71828…log e N记为ln N二.对数与指数的关系与性质1．对数与指数的关系(1)若a>0，且a≠1，则a x＝N⇒log a N＝x.(2)对数恒等式：a log a N＝N；log a a x＝x(a>0，且a≠1，N>0)．2．对数的性质(1)log a1＝0(a>0，且a≠1)．(2)log a a＝1(a>0，且a≠1)．(3)零和负数没有对数．三.对数运算性质1.如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R).拓展：log am M n ＝nm log a M (n ∈R ，m ≠0).2.换底公式对数换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1).特别地：（1）log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1).(2)log a b ·log b c ·log c a ＝1(a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ，b ，c ≠1)．一．对数与指数的关系示意图．二．指数式与对数式互化1.指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．三．利用对数运算性质化简与求值1.基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.2.两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).考点一对数的概念【例1】（2022秋·上海徐汇）若()1log 11x x ++=，则x 的取值范围是.【答案】()()1,00,-⋃+∞【解析】对于等式()1log 11x x ++=，有1011x x +>⎧⎨+≠⎩，解得1x >-且0x ≠，因此，x 的取值范围是()()1,00,-⋃+∞.故答案为：()()1,00,-⋃+∞.【一隅三反】1．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若代数式()23log 34x x -++有意义，则实数x 的取值范围是.【答案】()1,4-【解析】根据真数大于0得2340x x -++>，解得14x -<<，故答案为：()1,4-.2．（2022秋·上海虹口）使得表达式()22log 12x -有意义的x 范围是．【答案】2222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】式子()22log 12x -要有意义，则2120x ->，解得2222x -<<，所以x 范围是22⎛ ⎝⎭.故答案为：2222⎛ ⎝⎭.考点二指数式与对数式的互化【例2】（2023秋·高一课时练习）将下列指数式与对数式进行互化．(1)125-=(2)44=(3)lg 0.0013=-.(4)2139-=；(5)21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(6)13log 273=-；(7)646=-.【答案】(1)51log2=-(2)44=(3)3100.001-=(4)31log 29=-；（5)14log 162=-；(6)31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(7)664-=.【解析】（1）由125-=可得1log 2=-.（2）由44=，可得44=.（3）由lg 0.0013=-，可得3100.001-=.（4）由2139-=，可得31log 29=-；（5）由21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得14log 162=-；（6）由13log 273=-，可得31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（7）由6=-，可得664-=.【一隅三反】（2023·江苏）将下列指数式与对数式互化．(1)2log 164=；(2)6x =；(3)3464=；(4)31327-=.(5)2log 64=6；(6)31log 481=-；(7)3182-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(8)21636-=．(9)210100=；(10)ln a b =；(11)37343=；(12)61log 236=-．【答案】(1)4216=(2)6x =(3)4log 643=(4)31log 327=-(5)6264=(6)41381-=(7)12log 83=-(8)61log 236=-(9)lg1002=(10)e b a =(11)7log 3433=(12)21636-=【解析】（1）因为2log 164=，所以4216=；（2）因为6x =，所以6x =；（3）因为3464=，所以4log 643=；（4）因为31327-=，所以31log 327=-.（5）2log 64=6，可得6264=.（6）31log 481=-，可得41381-=.（7）3182-⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得12log 83=-.（8）21636-=，可得61log 236=-.（9）lg1002=（10）e b a =（11）7log 3433=（12）21636-=考点三对数运算性质【例3-1】（2023·江苏·）求下列各式中x 的值．(1)()25log log 0x =；(2)()3log lg 1=x ；(3)()()345l 0log lo og g x =.【答案】(1)5；(2)1000；(3)625.【解析】（1）∵()25log log 0x =，∴501log 2x ==，∴155x ==；（2）∵()3log lg 1=x ，∴1lg 33x ==，∴3101000x ==；（3）由()()345l 0log lo og g x =可得，()45log log 1x =，故5log 4x =，所以45625x ==.【例3-2】（2023·江苏）求下列各式的值．(1)7524log 2⨯（）；(2)(3)7lg142lg lg 7lg183-+-；(4)()222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 23++⋅+.【答案】(1)19；(2)25；(3)0；(4)3.【解析】（1）()757522222424log 27log 45log 2725119log log =⨯=⨯+⨯+==＋；（2）15112lg100lg1002555===⨯=；（3）7lg142lg lg 7lg183-+-()()()2lg 272lg 7lg 3lg 7lg 23=⨯--+-⨯lg 2lg72lg72lg3lg7lg 22lg3=+-++--0=（4）()222lg 5lg8lg 5lg 20lg 23++⋅+()()22lg52lg 2lg52lg 2lg5lg 2=++⋅++()22lg10lg 5lg 2=++21=+3=【例3-3】（2023广东潮州）计算下列各式的值：(1)1324lg lg lg 2493-(2)(21lg 2lg 52+⋅(3)(2lg 5lg 400lg ⋅+；(4)21230.2551log 3log 9log 4⎛⎫++ ⎪⎝⎭(5)3log 21233lg5log 2lg2log 3+-⨯⨯．【答案】(1)12(2)()211lg 24-(3)2(4)234（5）3【解析】（1）解法一：原式()()315222214lg 2lg 7lg 2lg 7523=--+⨯51lg 2lg 72lg 2lg 7lg 522=--++()11lg 2lg 522=+=.解法二：原式1lglg 4lg lg lg 72=-+=.（2）原式()()221111lg 2lg 2lg5lg 2lg 2lg512242⎛⎫=+⋅=+⋅- ⎪⎝⎭()()21111lg 2lg 2lg 5lg 21lg 2lg 22lg 5214224=+⋅-+=+-+()()211lg 2lg 50211lg 244=-+=-.（3）原式2lg 522lg 2()2g )⋅=＋＋()22lg52lg 2lg52lg 2⋅＝＋＋()2lg52lg 2lg5lg 2⋅＝＋＋2lg 52lg 2＝＋2＝．（4）原式2125119log 502⎛⎫=++- ⎪⎝⎭19231424=++=（5）原式2lg5lg21lg103=++=+=．【一隅三反】1．（2023·广东深圳）计算下列各式的值（或x 的值）：(1)log 83x =(2)()lg 211035x -=(3)()234log log log 0x ⎡⎤=⎣⎦(4)2log 321lg22log ln1162++++【答案】(1)2x =(2)18x =(3)64x =(4)12-【解析】（1）由log 83x =，得38x =，所以2x =；（2）由()lg 211035x -=两边取以10为底对数，得lg(21g 3)l 5x -=，即2351x -=，解得18x =；（3）由()234log log log 0x ⎡⎤=⎣⎦，得()34log log 1x =，所以4log 3x =，即64x =；（4）2log 321lg212log ln134011622+++=+-+=-=-.2．（2023广东湛江）计算下列各式的值．(1)()722222632log 3log log 77log 28-+-；(2)()322log lg 25lg 4log log 16+-．(3)()222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 23++⋅+；(4)lg 2lg 3lg 10lg1.8-．(5)12038110.25()lg162lg 5()2722--+--+.(6)()()2lg1112log432162lg 20lg 2log 2log 31)9-⎛⎫++--⨯+- ⎪⎝⎭.；(8)()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯- ⎪⎝⎭(9)2ln38916log 27log 6log 6e ⨯÷+；(10)419log 8log 34--(11))32log 2lg13181lg 13271000⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,(12)()222lg 5lg8lg 5lg 20lg 23+++,【答案】(1)1(2)12(3)3(4)12(5)332(6)2(7)4-(8)1(9)11(10)2-(11)1918-(12)3【解析】（1）原式可化为：()722222263log 3log log 77log 28-+-222632log 977log 2log 8232187⎛⎫=÷⨯-⨯=-=-= ⎪⎝⎭（2）原式可化为：()()222111log lg 25lg 4log log 16lg 254log 422222+-=+⨯-=+-=（3()()()2222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 22lg 52lg 2lg 52lg 2lg 5lg 23++⋅+=++⋅++()()22lg 5lg 2lg 5lg 2213=+++=+=.（4）11lg 2lg 3lg10lg 3lg 22lg 3lg10lg 2lg 9lg1022lg1.8lg1.82lg1.82lg1.8+--+-+-===18lg lg1.81102lg1.82lg1.82===.（5）10328110.25lg162lg52722--⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()13322222lg2lg513---⎡⎤⎛⎫+-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝1422213-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭＝31612+-＝332（6）()()2lg1112log 432162lg 20lg 2log 2log 31)9-⎛⎫++--⨯+- ⎪⎝⎭()13239201g 142l log 21)162log ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13lg101144=++-+1111=+-+=2（71128125lg25lg10lg10-⨯⨯=⨯()2lg10112=⨯-4=-；（8）()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯- ⎪⎝⎭()()226666log 2log 33log 2log =++⨯()()22666log 2log 33log 2log =++⨯()()226666log 2log 32log 2log 3=++⨯()266log 2log 3=+1=．（9）2ln38916log 27log 6log 6e ⨯÷+ln 92361log 3log 64log 2e2=⨯⨯+62236log 22log 392log 3log 2911log 3=⨯+=⨯+=；（10）419log 8log 34--2331log 2log 34log22=---314222=+-=-.（11）)32log 2lg13181lg 13271000⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭())3233log 2323lg 1013--⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭143129=+-+1918=-（12）原式为:()222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 23+++()()()22lg 52lg 21lg 21lg 2lg 2=++-++()2lg5lg 21=++3=考点四对数与指数的综合应用【例4-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知8215,log 3==a b，则32a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．53【答案】B【解析】由题意可得2215log 15aa =⇒=，38221log 3log 3log 33b ===，所以2222221153log 153log 3log 15log 3log log 533a b ⎛⎫-=-⨯=-==⎪⎝⎭，所以2log 53225a b -==.故选：B.【例4-2】（2023秋·高一课时练习）已知,a b 均为正实数，若5log log 2b aa b b a a b +==，则a b＝（）A ．12或2B ．2CD ．2或12【答案】D【解析】令log a t b =，则152t t +=，所以22520t t -+=，解得12t =或2t =，所以1log 2a b =或log 2a b =，所以12a b =或2a b =，因为b a a b =，所以()22bb a b b b ==或2b a a a =，所以2b a =或2b a =，所以2a b =或12a b =，故选：D【例4-3】（2023秋·高一课前预习）已知a ，b ，c 均为正数，且346a b c ==，求证：212a b c+=；【答案】证明见解析【解析】设346a b c k ===，则1k >.∴346log ,log ,log a k b k c k ===，∴3421212log 3log 4log 9log 4log 362log 6log log k k k k k k a b k k +=+=+=+==，而6222log 6log k c k ==，∴212a b c+=，得证.【一隅三反】1．（2023春·天津）已知326x y ==，则()222x y x y +的值（）A ．12B ．14C ．1D ．2【答案】C【解析】因为326x y ==，所以32log 6,log 6x y ==，所以()()222666221111log 3,log 2,log 61x y x y x y x y +⎛⎫===+== ⎪⎝⎭，故选：C 2．（2023秋·广东）已知436a b ==，则2a b ab +=.【答案】2【解析】由题意可得4log 6a =，3log 6b =，则61log 4a =，61log 3b =，故66212log 42log 3a b ab a b+=+=+=666log 4log 9log 362+==.故答案为：2.3．（2023·全国·高一课堂例题）已知7.23x =，0.83y =，则11x y -的值为．【答案】2【解析】因为7.23x =，0.83y =，所以7.2log 3x =，0.8log 3y =，所以33337.20.811117.2log 7.2log 0.8log log 92log 3log 30.8x y -=-=-===．故答案为：24．（2023秋·高一课前预习）下列计算恒成立的是A ．()2log 2log a a x x =B ．log log ()log a a a xx y y-=C ．log log log ()a a a x y x y -=-D．10103log log 5x =【答案】D【解析】因为()222log log log a a a x x x =≠，所以A 不对；因为log log log ()log a y a a x x x y y =≠-，所以B 不对；因为log log log log ()a a aa x x y x y y -=≠-，所以C 不对；因为351010103log log log 5x x ==，D 正确.故选D.考点五对数的实际应用【例5】（2023·全国·高一专题练习）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对21p -（p 为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在257p ≤的素数中，当2p =，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，21p -是素数，其它都是合数.除了67p =和257p =两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在21p -型素数研究中所做的开创性工作，就把21p -型的素数称为“梅森素数”，记为21p Mp =-.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数191921M =-，第8个梅森素数313121M =-，则131lg 119M M ++约等于（参考数据：lg50.7≈）（）A ．17.1B ．8.4C ．6.6D ．3.6【答案】D 【解析】由已知可得()3112191312lg lg lg 212lg 2121lg 5 3.61192M M +====⨯-≈+.故选：D【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C ．动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原来的14C 会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中14C 含量占原来的15，推算该古物约是m 年前的遗物（参考数据：1lg 2 3.3219-≈（）），则m 的值为（）A ．12302B ．13304C ．23004D ．24034【答案】B【解析】设原始量为x ，每年衰变率为a ，573012xa x =∴，157301()2a ∴=，57301(2)15m ma ==∴，()1221lg511log log 5lg10lg 21 2.321957305lg2lg2lg2m ∴====-=-≈，5730 2.321913304m ∴≈⨯≈.故选：B.2．（2023·全国·高一专题练习）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（）（lg 20.301≈，lg 30.477≈）A ．11710万年B ．11810万年C ．11910万年D ．20010万年【答案】A【解析】1 万年用掉15310⨯个二维码，∴大约能用441152310⨯万年，设441152310x =⨯，则()44144115152lg lg lg2lg3lg10441lg2lg315310x ==-+=--⨯4410.3010.47715117,≈⨯--≈即11710x ≈万年，故选：A3．（2023秋·江苏南通）已知声强级（单位：分贝）010lg I L I =，其中常数()000I I >是能够引起听觉的最弱的声强，I 是实际声强.当声强级降低1分贝时，实际声强是原来的（）A ．110倍B ．11010倍C ．1010-倍D ．11010-倍【答案】D【解析】121L L -=，则120010lg 10lg 1I I I I -=，所以1110210I I =，∴1102110I I -=.故选：D.。
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课题：2.2.1对数与对数运算一、教学内容解析本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学1（必修）》中第二章第二节内容，属于单元教学课。
之前学生已经学习了指数的相关内容，对于数的研究思路也有了一定的了解，对数是在指数基础上定义的一种新数，所以这节课既是对指数的概念、运算性质、指数函数的深化与理解，又为学习对数函数打下基础。
同时也为今后复数的学习提供了研究思路与方法。
对数与对数运算主要内容包括：对数的概念、对数的运算性质、换底公式，如何将三块内容融合到一节课中，意味要抓住这一节的核心知识，舍弃细枝末节，要从整体上去研究这节课。
具体体现为借助已有经验，从“研究一个代数对象”的“基本套路”出发，发现和提出对数的研究内容，构建研究路径，得出结论，并用于解决问题。
让学生完整经历“现实背景——定义——性质——运算性质”过程，学生在整体框架下自主探究，合作学习。
基于上述分析，将本节课的教学重点确定为：对数的概念、性质与运算性质。
二、教学目标设置1．经历对数概念的形成过程，掌握对数的概念；2．从研究一个数的“基本套路”出发，能够将指数中相关的性质和运算性质转化为对数的性质和运算性质；3．知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；4．感受转化与化归、数形结合、类比、从特殊到一般的数学思想，提升学生的数学抽象，数学运算素养。
三、学生学情分析知识结构上学生已经学习了指数与指数幂运算，指数函数，经历过研究一种新数的基本套路，这为学生研究“对数与对数运算”提供了理论基础与探究方向。
能力水平上，学生已经具备一定的抽象概括能力以及类比，转化和分析问题的能力，可是如何使学生将已有的知识成功迁移到新知识的学习上，自主探究获得对数的运算性质，从而提高发现问题，探索问题和解决问题的能力，实现学习方式的转变，这是本节课需要突破的。
本节课的难点是：对数概念的理解，对数运算性质的探究与证明。
四、教学策略分析本节课始终从学生最近发展区设置问题，遵循自主探究，合作交流的学习方式，充分发挥学生的主观能动性，在探究活动中培养学生的数学素养。
1．通过创设恰当的问题情境：如何解指数式方程中“已知底和幂求指数”问题。
引发认知冲突，让学生明确对数产生的背景，初步感受引入对数的必要性，为抽象出对数的定义提供先行组织者。
2．在整节课中始终抓住对数定义这一条主线。
本节课看似知识点零散，对数的概念、性质和运算性质好像是不同的知识人为拼凑在一节课中，但实质上性质和运算性质都可以看作是对数定义的一个深化理解。
具体体现在：探究对数的性质和运算性质时实质上是将指数式转化为对数式，探究换底公式时是将对数式转化为指数式，都体现了定义中指对数式可以互化这一核心思想。
3．本节课坚持在整体观的引领下探究问题。
首先回忆研究一种新数的基本套路，在方法的指引下学生进行主动探究；其次，探究的理论基础是定义中指对数式相互等价的关系，在这种关系下可以通过类比思想，不断通过学生熟悉的指数相关性质来探究对数相关的性质，自主探究，合作交流。
最后，由于本节课内容多，所以要抓大放小，不易过多进行技能训练，但在关键的地方又要舍得花时间让学生思考。
五、教学过程设计1．提出问题，明确思路问题1、对于一种新的数，我们一般如何研究它呢？【设计意图】通过回顾旧知总结出研究一种新数的基本思路，即“现实背景——定义——性质——运算性质”，整体上为对数的学习提供了一条路线图。
2．创设情境，引入新知引例：解方程：（1）644=x ；（2）931=⎪⎭⎫ ⎝⎛x；（3）52=x . 师生活动：（1）抽象出三个方程的共同结构，形如)10(≠>=a a N a x 且的式子称之为指数式，明确每个字母的名称；（2这三个方程都是已知什么？求什么？你会解吗？【设计意图】通过熟悉的解方程问题切入新课，一方面让学生明确对数产生的背景是解决指数式中“已知底数与幂求指数”的问题，另一方面通过方程（3）的不会解引发认知冲突，从而形成引入对数的必要性。
3．引导探索，形成概念问题2:对于方程52=x ，这里的x 存在吗？为什么？师生活动：（1）通过画图发现这里的x 存在且唯一；（2）既然x 存在且唯一，如何表示这个数呢？（3）引入对数符号：5log 522=⇒=x x 。
【设计意图】通过数形结合得出方程的解存在且唯一，让学生感受到对数定义的合理性，并初步了解对数源出于指数，为抽象出对数定义打下认知基础。
问题3:对于等式)10(≠>=a a N a x 且，如何表示这里的x ？师生活动：得出对数的定义，书写格式，读法，字母名称的变化等，明确指数式与对数式的等价关系。
【设计意图】由特殊到一般，培养学生的抽象与概括能力，定义是这节课的核心概念，让学生经历定义的形成过程，为对数的性质与运算性质的探究提供理论支持。
4．探究性质，理解概念问题4：如何研究对数的性质与运算性质呢？师生活动：通过指数式与对数式的等价关系，可以将指数中的相关性质与运算性质转化为对数的性质与运算性质。
【设计意图】明确方法，为对数的性质与运算性质的探究提供思路，提高探究效率。
活动一、对数性质的探究师生活动：教师提供指数中的性质10=a ，a a =1，幂为正，指数可取一切实数,希望学生得出对数中对应的性质：1log =a a ，01log =a ,真数为正，对数可取一切实数。
【设计意图】熟悉对数定义中将指数式化为对数式的转化思路，深化对数的概念理解，同时为对数运算性质的探究作铺垫。
活动二、对数运算性质的探究师生活动：通过自主探究，使学生得出对数对应的三条运算性质。
有三种预设：（1）通过取一些特殊的对数，从特殊到一般，最后归纳猜想得出对数的运算性质；（2）通过与指数结构的类比发现性质，抓住指数式中的指数就是对数式中的对数，指数式中的幂就是对数式中的真数这一联系猜想结论；（3）通过严格的证明并总结出转化的三个步骤：首先将指数转化为指数式：MN a N a M a n m n m ===+则令,,；其次将指数式转化为对数式：)(log ,log ,log MN n m N n M m a a a =+==；最后由指数的性质转化为对数的性质:N M MN a a a log log )(log +=.思考：对数是苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的运算而发明了的。
同学们从这三条运算性质有没有体会到“对数”对于简化运算的作用？【设计意图】通过探究对数运算性质让学生不断的回归定义思考问题，这里放足够多的时间给学生，让学生亲历探究过程，通过交流，展示不同学生的想法，充分体现教师是主导，学生是主体的新课程理念，最后通过思考让学生感受对数的发展史，进一步加深对数三条运算性质的记忆与理解。
5．引例再探，解决问题活动三、如何利用常用对数表或自然对数表计算：5log 2？（参考数据：69897.05lg =，30103.02lg =，60944.15ln =，693147.02ln =）师生活动：（1）介绍两个特殊的对数：常用对数与自然对数，通常将以10为底的对数叫做常用对数，简记为N N lg log 10=，以后在物理、化学，建筑学等自然学科中还经常用到以（e=2.71828…）为底的对数，叫做自然对数，简记为N N e ln log =。
（2）数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数。
现在还可以用计算器或计算机计算这两个对数值，用给定的数据如何计算对数值呢？（3）学生合作交流得出解法：令525log 2=⇒=x x ，两边取常用对数可得：5lg 2lg =x 即：5lg 2lg =x ，所以2lg 5lg =x ，通过查常用对数表可得69897.05lg =，30103.02lg =解得x ≈2.32193，或通过自然对数表可得60944.15ln =，693147.02ln =解得x ≈2.32193。
思考：?log =b a 能否转化为以c （10≠>c c 且）为底的对数？【设计意图】呼应引例教学，解决学生心中疑惑，同时体现转化与化归思想，体会所学知识的应用价值。
6．回顾反思，布置作业问题5：请从知识、思想方法等方面谈一下你的收获和体会。
师生活动：（1）知识上：对数的概念，性质，运算性质；（2）思想方法上：转化与化归、数形结合、类比、特殊到一般等；（3）研究一个“代数对象”的基本套路：实际背景——定义——性质——运算性质。
【设计意图】学生小结，不仅是单纯的知识罗列，而且是提炼出在知识形成过程中所体现的数学思想方法以及研究数学问题的一般方法，培养学生反思的习惯。
历史上许多科学家对纳皮尔的对数给予了高度评价：拉普拉斯说：对数用缩短计算时间延长了天文学家的寿命；伽利略说：给我空间、时间、及对数，我就可以创造一个宇宙；恩格斯把对数的发明、解析几何的创始、微积分的建立并称为17世纪数学三大成就；ln为世界上“十个重要的数学公1971年，尼加拉瓜发行了一套邮票，还尊崇Ne N式”之一。
【设计意图】感受对数的数学文化和应用价值。
作业：1、习题2.2 A组1、2、3、4；2、阅读课本68-69页，了解对数的发展史；3、阅读课本，进一步完善对数与对数运算中“基本套路”的每一个步骤。
六、课堂教学目标检测在本节课的教学中，为了达成教学目标，我注意了教学环节的设计与教学目标的达成相呼应，做到目标确定环节，在环节中实现目标，具体如下：本课的教学目标达成情况如下：。