必修对数函数的运算法则全
对数函数加减运算法则公式
对数函数加减运算法则公式好的，以下是为您生成的文章：咱们今天来好好聊聊对数函数的加减运算法则公式，这玩意儿在数学里可重要着呢！先给您讲讲对数函数的基本概念哈。
就说对数函数y = logₐx ，其中a 是底数，x 是真数。
这底数 a 得大于 0 且不等于 1 ，真数 x 也得大于0 。
您可别嫌我啰嗦，把这些基础弄清楚了，后面理解运算法则就容易多啦。
那咱们进入正题，说说对数函数的加减运算法则。
logₐM + logₐN = logₐ(MN) ，这就好比把两个数的对数加起来，就等于这两个数相乘的对数。
举个例子吧，比如说 log₂4 + log₂8 ，咱们先分别算出 log₂4 = 2 ，log₂8 = 3 ，那按照这个法则，log₂4 + log₂8 就等于 log₂(4×8) =log₂32 = 5 。
再看这个法则logₐM - logₐN = logₐ(M/N) ，这就是说两个数的对数相减，等于这两个数相除的对数。
我给您讲个我曾经遇到的事儿，有一次我在课堂上讲这个知识点，有个同学特别较真儿，就问我：“老师，这法则到底咋用啊？”我就给他举了个例子，我说假如你有 8 个苹果，要平均分给 4 个人，那每人能分到几个？这就是 8÷4 = 2 嘛。
那换成对数函数，log₂8 - log₂4 就等于 log₂(8÷4) = log₂2 = 1 。
这么一解释，那同学恍然大悟。
咱们接着说哈，在运用这些法则的时候，一定要注意底数得相同。
要是底数不同，那得先想办法把底数变成相同的，这就可能要用到换底公式啦。
还有啊，有时候题目里给的不是对数的形式，而是指数的形式，那您就得灵活转换。
比如说 a^m = N ，那logₐN = m 。
这就像变魔术一样，换个形式，问题可能就迎刃而解啦。
总之，对数函数的加减运算法则公式虽然看起来有点复杂，但只要您多做几道题，多琢磨琢磨，肯定能掌握得牢牢的。
就像学骑自行车，一开始可能摇摇晃晃，但练得多了，就能骑得又稳又快！相信您在数学的海洋里，也能凭借这些法则乘风破浪，勇往直前！。
对数的运算法则
对数的运算法则
. 用口诀法记忆对数的运算法则
（1）乘除变加减，指数提到前：
log a M·N＝log a M＋log a N
log a M/N ＝log a M－log a N
log a Mn＝nlog a M
（2）底真倒变，对数不变；
底真互换，对数倒变；
底真同方，对数一样。
（3）底是正数不为1（在log a N ＝b中，a＞0，a≠1），底的对数等于1（log a a＝1），
1的对数等于零（log a 1＝0），
零和负数无对数（在log a N＝b中，Ｎ＞０）。
【附】
１．用口诀法记忆实数的绝对值
“正”本身，“负”相反，“０”为圈。
２.用口诀法记忆有理数的加减运算规则
. 同号相加一边倒；
异号相加“大”减“小”，
符号跟着“大”的跑。
3.用口诀法记忆因式分解的常用方法
首先提取公因式，
其次考虑用公式，
十字相乘排第三，
分组分解排第四，
几法若都行不通，
拆项添项试一试。
4.用口诀法记忆数学中三角函数的诱导公式
奇变偶不变，
符号看象限。
5.用口诀法记忆负指数幂的运算法则
底倒指反幂不变：a-p ＝ 1/ap （a≠0，p为正整数）。
对数函数的运算与性质
对数函数的运算与性质对数函数是数学中常见的一类函数，具有独特的运算性质和特点。
本文将探讨对数函数的运算规则、性质以及其在实际应用中的重要意义。
一、对数函数的定义和性质对数函数的定义如下：对于任意实数x>0和正实数a (a ≠ 1)，称满足a^x = y的x为以a为底y的对数，记作x=log_a y。
对数函数有以下基本运算性质：1. 对数与指数的互为反函数关系：log_a a^x = x，a^log_a y = y。
2. 对数的运算法则：log_a (xy) = log_a x + log_a y，log_a (x/y) =log_a x - log_a y，log_a x^m = mlog_a x。
3. 对数函数的定义域和值域：对数函数log_a x的定义域是x>0，值域是实数集。
4. 对数函数的图像特点：不同底数的对数函数在x轴的正半轴上有不同的图像特点。
以e为底的自然对数函数y=lnx是单调递增函数，底数大于1的对数函数是增函数，底数在0和1之间的对数函数是减函数。
二、对数函数的运算法则1. 对数的乘方法则：log_a x^p = plog_a x。
其中，对于底数相同的对数函数，指数相加等于原来两个数的乘积的对数。
例如，log_a (x^2y^3) = 2 log_a x + 3 log_a y。
2. 对数的换底公式：log_a x = log_b x / log_b a。
该公式用于将一个底数为a的对数转化为底数为b的对数。
例如，log_3 2 = log_10 2 / log_10 3。
3. 对数的消去法则：如果log_a x = log_a y，则x=y。
该法则用于解方程时，当两个对数底相同时，如果其对数相等，那么其底数也相等。
三、对数函数的应用对数函数在实际应用中有广泛的用途，以下介绍几个常见的应用领域：1. 科学计算与统计学：对数函数可以简化复杂计算和数据分析过程，特别适用于大数据的处理和处理结果的可视化呈现。
对数函数运算法则
对数函数运算法则对数函数是指以固定底数为基的函数，常用的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。
1.对数函数的定义：假设a是一个正数且a≠1，那么对于任意一个正数x，a的对数函数定义为：logₐ(x) = y ，其中 a^y = x。
其中，a称为底数，x称为真数，y称为指数。
2.对数函数的主要性质：性质1：对数函数的定义域和值域常用对数函数log₁₀(x)：定义域：(0，+∞)值域：(-∞，+∞)自然对数函数ln(x)：定义域：(0，+∞)值域：(-∞，+∞)性质2：对数函数的对数关系对于任意的正数a，b以及正整数m，n，有如下对数关系：(1) logₐ(a*b) = logₐ(a) + logₐ(b)(2) logₐ(a/b) = logₐ(a) - logₐ(b)(3) logₐ(a^m) = m * logₐ(a)(4) logₐ(a^n) = n * logₐ(a)性质3：对数函数的换底公式logₐ(b) = logᵦ(b) / logᵦ(a)常用的换底公式：(1) logₐ(b) = logᵦ(b) / logᵦ(a) = ln(b) / ln(a)(2) logₐ(b) = (logc(b) / logc(a))性质4：对数函数的性质(1)对数函数是单调递增函数，当底数大于1时，递增性体现在定义域上，当底数小于1时，递增性体现在定义域的补集上。
(2) 对数函数在x轴上有一个特殊点x=1，对于常用对数函数log₁₀(x)，有log₁₀(1) = 0，对于自然对数函数ln(x)，有ln(1) = 0。
3.对数函数的应用：(1)对数函数在数学中的应用包括解方程、化简复杂式子以及处理与指数相关的问题。
(2)在经济学、生物学、物理学、化学等科学领域中，对数函数被广泛应用于模型的建立、数据的处理以及分析中。
(3)在工程学中，对数函数常用于描述信号的强度、放大倍数等参数。
(4)对数函数还被应用于金融领域，如货币的增长、股票的涨幅等问题。
对数函数运算公式大全
对数函数运算公式大全对数函数是数学中的一种重要函数。
它主要由幂函数的逆运算演变而来，可以描述幂函数的指数部分。
对数函数的定义如下：对于任意的正实数 a 和正实数 x，我们将 b 称为以 a 为底 x 的对数，记作 logₐ(x) = b，如果且仅如果 a^b = x。
在实际问题中，对数函数常被用于解决各种指数增长和指数衰减的问题。
我们先来看一下对数函数的基本特性。
1.对数函数的定义域是正实数集，即x∈(0,+∞)。
2.对数函数的值域是全部实数集，即y∈(-∞,+∞)。
3. 对数函数的图像是由直线 y = x 和平行于 x 轴的直线 y =logₐx 组成。
当a>1时，对数函数是增函数；当0<a<1时，对数函数是减函数。
4.对数函数的性质：(a) logₐ(xy) = logₐx + logₐy(b) logₐ(x/y) = logₐx - logₐy(c) logₐ(x^n) = nlogₐx(d) logₐ(1/x) = -logₐx(e) logₐ1 = 0(f) logₐa = 1(g) log₁₀x = loga(x)/loga(10)下面我们来看一些常见的对数函数运算公式。
1. 换底公式：logₐb = logc(b) / logc(a)，其中 c 是任意的正实数。
2. 对数的乘法运算公式：logₐ(xy) = logₐx + logₐy3. 对数的除法运算公式：logₐ(x/y) = logₐx - logₐy4. 对数的幂运算公式：logₐ(x^n) = nlogₐx5. 对数的倒数运算公式：logₐ(1/x) = -logₐx6. 底数为 10 的对数与底数为 a 的对数的转换关系：log₁₀x = loga(x) / loga(10)7. 自然对数和常用对数的转换关系：logₑx = ln(x) / ln(ₑ10)8. 对数函数与指数函数的逆运算关系：a^logₐx = x有了以上的对数函数运算公式，在解决实际问题中，我们可以更方便地进行计算和分析。
对数函数计算全
§2.2 对数函数 2．2.1 对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)根据对数的定义，对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N >0； ②1的对数为零，即log a 1＝0； ③底的对数等于1，即log a a ＝1. 2．对数的运算法则 (1)基本公式①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)②log a MN＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R ) 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c Nlog c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N ＝1log N b 或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)；(2)log bn N m ＝mnlog b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R ).题型一 正确理解对数运算性质对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①与③B ．②与④C ．②D ．①、②、③、④题型二 对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)log 52·log 79log 513·log 734.题型三 对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，求实数x 的值．对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(上海高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________．2．(辽宁高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝____.1．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，7) B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7)D ．(3，＋∞)2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2 D ．－a 2＋3a －1 3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )A ．1B ．lg5 C.1lg5D ．1＋lg24．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1，＋∞)5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )A ．4 B.14 C ．3 D.136．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( )A ．lg7·lg5B ．lg35C ．35 D.1357．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 8．log (2－1)(2＋1)＝________.9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2xy的值；(2)已知log 189＝a,18b＝5，试用a ，b 表示log 365.11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，试判定△ABC 的形状．2．2.1 对数与对数运算(一)自学导引 1．如果a (a >0且a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(1)1的对数为零； (2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5 D ．3<a <4二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3.变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)；(2)412(log 29－log 25)．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝52．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( ) A ．log 6a ＝a B ．log 6b ＝a C ．log a b ＝6 D ．log b a ＝63．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) A.5－2 B.5＋2C.5－2或5＋2 D ．2－ 54．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．3105．2·log 25＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．25 5C ．2＋52D ．1＋52二、填空题6．若5lg x ＝25，则x 的值为________．7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________． 8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 三、解答题9．求下列各式中x 的值(1)若log 3⎝⎛⎭⎫1－2x 9＝1，则求x 值； (2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值．10．求x 的值：(1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75；(4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.对数与对数运算(二)自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.三、换底公式的应用例3 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645. 变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值．1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg ab 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________.7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 三、解答题9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.10．若26a ＝33b ＝62c ，求证：1a ＋2b ＝3c.。
对数函数的运算法则
loa N gq
∴ M∙N=aq+p
pqlo a M •N glo a M g lo a Ng
练习：证明 ② loa M gNloa M gloa N g
2、应用举例：
例1、用 loaxg, lo表ayg,示l下oazg列各式：
xy
x2 y
(1 ) log z a
( 2 ) log 3 z a
(2 )log 74 8 lo1g 2 1 lo4g 1 2
2
2 22
知识回顾1） ：公 （式
① lo( a M g•N )loa M g loa N g ② loa M gNloa M gloa N g
③ loa M gnnloa M g(nR)
aloga N N
(2)公式的作用:
化简；求值；证明。
解：
xy
(1) log z log(xy) logz
a
a
a
logx logy logz
a
a
a
x2 y
(2) log3z logx2 ylo3gz
a
a
a
loxg 2logylo3gz aa a
2lo x g1loyg1loxg a 2 a3 a
练习：用对数的法则计 算下列各式。来自（1）log解 ： (2 l)2 g 原 l2 g (5 l式 1 g ) 0 l5 g 2 (l2 ) g 2 lg 2 (l5 g 1 ) 2 l5 g (lg2)2lg2lg5lg22lg10 2 (lg2)2lg2（ 1lg2） lg22（ 1lg2）
2
练习：计算
(1l)g252lg8lg5lg20(l2g)2 3
二、对数运算法则 1、运算公式：a>0, a≠1, M>0;N>0 则：
对数函数运算法则公式
对数函数运算法则公式一、什么是对数函数对数函数，又称为指数函数，是一类常见的数学函数，它可以用来表达不同系数的多次方之间的关系。
它的基本形式为y=loga x (a>0, a≠1)，其中 a 为底数，x 为真数，y 为对数。
二、对数函数运算法则1. 同底数相加/减法则：若 y1=loga x，y2=loga m，则有：y1+y2=loga x+loga m =loga (xm)y1-y2=loga x-loga m =loga (x/m)2. 同底数乘/除法则：若 y1=loga x，y2=loga m，则有：y1*y2=loga x*loga m =loga (x^m)y1/y2=loga x/loga m =loga (x^(1/m))3. 相乘/除法则：若 y1=loga x，y2=logb m，则有：y1*y2=loga x*logb m =loga (x^b)y1/y2=loga x/logb m =loga (x^(1/b))4. 幂函数的对数运算法则：若 y=ax，则有：loga y=x*loga a5. 指数函数的对数运算法则：若 y=a^x，则有：loga y=x*loga a6. 反函数的对数运算法则：若 y=f-1(x)，则有：loga y=loga f-1(x)=loga x7. 同余式的对数运算法则：若y=a^x ≡ b^x mod c，则有：loga y=x*loga a ≡ x*loga b mod c三、总结以上就是关于“对数函数运算法则公式” 的详细介绍，它是一类常见的数学函数，可以用来表达不同系数的多次方之间的关系，它有 7 种运算法则，即同底数相加/减法、同底数乘/除法、相乘/除法、幂函数的对数运算法则、指数函数的对数运算法则、反函数的对数运算法则以及同余式的对数运算法则。
对数函数运算公式
对数函数运算公式对数函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和科学运算中都有广泛的应用。
对数函数有着丰富的性质和运算规则，下面将介绍对数函数的运算公式。
1.对数函数的定义：对数函数是指关于求对数的函数，一般表示为y = logₐx，其中a是底数，x是真数，y是对数。
对数函数的定义域是x > 0，值域是实数集。
2.对数的含义：对数的含义是指一个数相对于一个给定底数的幂次。
对数函数的运算公式是以底数为底的指数函数的反函数。
即x = a^y，y = logₐx。
3.基本对数函数的性质和运算规则：- logₐa = 1：任何数以自己为底的对数都等于1- logₐ1 = 0：任何底数为自然数的对数都等于0。
- logₐaⁿ = n：任何底数为幂的对数等于指数。
- logₐxy = logₐx + logₐy：两个数的乘积的对数等于它们的对数之和。
- logₐ(x/y) = logₐx - logₐy：两个数的商的对数等于它们的对数之差。
- logₐxⁿ = nlogₐx：一个数的幂的对数等于幂次与对数的乘积。
- logₐa = 1/logₐa：对数函数的互逆性，任何数以底数为底的对数等于指数函数的互逆。
4.对数函数的换底公式：换底公式是指当给定一个对数的底不是我们所熟悉的常用底数，需要将其换成我们所熟悉的底数的公式。
换底公式如下：logₐx = logᵦx / logᵦa其中，a,b,x为正实数，且a≠1,b≠15.对数函数与指数函数的关系：对数函数和指数函数是互为反函数的关系，即对数函数是指数函数的反函数，反之亦然。
对数函数可以用来求解指数方程，而指数函数可以通过对数函数求解指数方程的解。
6.常用对数函数：在实际应用中，常用的对数函数是以10为底的常用对数函数（log₁₀x），以及以自然对数e为底的自然对数函数（lnx）。
常用的对数函数主要用于科学计算、对数缩尺、音量、酸碱度等方面。
总结起来，对数函数的运算公式包括对数函数的性质和运算规则、换底公式、对数函数与指数函数的关系等。
必修对数函数的运算法则全
【一.教学内容：对数运算、对数函数二.重点、难点：1.对数运算（1）x N a =log N a x =⇔（2）01log =a（3）1log =a a[例215151515（3）=+⋅+18log 3log 2log )2(log 66626；（4）=⋅81log 16log 329； （5）=+⋅++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384；（6）=+⋅+2)2(lg 50lg 2lg 25lg 。
解：（1）原式491733)3(27log 7log 27log 22333=====---- （2）原式115log 15==（3）原式18log )3log 2(log 2log 6666++⋅=（4）原式58)3log 54()2log 24(23=⋅= （5）原式815)2log 23()5log 23()3log 65(532=⋅⋅= （6）原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++=[例2]若z y x ,,满足)](log [log log )](log [log log 33132212y x =)]z (log [log log 5515=0=，试比较z y x 、、的大小关系。
解：log 2〔log 21(log 2x)〕＝0⇒log 21(log 2x)＝1⇒log 2x ＝21⇒x ＝2＝(215)301.11[例[例C 1，C 2[例[例（1）1log 2-=x y（2）)82(log 221--=x x y解：（1）↑=t y 2log 1-=x t ↑+∞↓-∞),1()1,(∴)(x f y =在（+∞,1）↑（2）↓=t y 21log 822--=x x t ↑+∞↓--∞),4()2,(∴)(x f y =在↑--∞)2,([例7]研究函数)1(log )(22x x x f y -+==的定义域、值域、奇偶性、单调性。
必修1第三章对数函数的运算法则(全)57308
一. 教学内容：对数运算、对数函数 二. 重点、难点： 1. 对数运算（1）x N a =log N a x=⇔（2）01log =a （3）1log =a a（4）N a Na =log（5）N M N M a a a log log )(log +=⋅（6）N M N Ma a alog log log -= （7）M x M a xa log log ⋅=（8）a M M b b a log /log log =（9）b xyb a ya x log log =（10）1log log =⋅a b b a2. 对数函数x y a log =，0>a 且1≠a 定义域 （+∞,0）值域 R单调性 ↓∈)1,0(a ↑+∞∈),1(a奇偶性 非奇非偶 过定点 （1，0）图象x y a log =与x y a1log =关于x 轴对称 【典型例题】[例1] 求值（1）=7log 3)91( ；（2）=-++4log 20log 23log 2log 15151515 ； （3）=+⋅+18log 3log 2log )2(log 66626 ；（4）=⋅81log 16log 329 ；（5）=+⋅++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384 ； （6）=+⋅+2)2(lg 50lg 2lg 25lg 。
解：（1）原式491733)3(27log 7log 27log 22333=====---- （2）原式115log 15==（3）原式18log )3log 2(log 2log 6666++⋅=（4）原式58)3log 54()2log 24(23=⋅=（5）原式815)2log 23()5log 23()3log 65(532=⋅⋅=（6）原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++=[例2] 若z y x ,,满足)](log [log log )](log [log log 33132212y x =)]z (log [log log 5515=0=，试比较z y x 、、的大小关系。
对数函数的运算公式
对数函数的运算公式对数函数是数论中的重要概念，它描述了一个数在一些底数下所对应的指数。
在解决复杂数学问题时，对数函数的运算公式是必不可少的。
本文将介绍基本的对数函数运算公式，并以实际问题为例，进一步说明如何运用这些公式。
一、定义与性质如果 a^x = b，那么 x = log_a(b)其中a为底数，x为指数，b为对数的真数。
1.对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集；2. 对于 a > 1，log_a(x) 是递增函数；对于 0 < a < 1，log_a(x) 是递减函数；3. 对于 a > 1，log_a(a) = 1；对于 0 < a < 1，log_a(a) = 1二、基本运算公式1.换底公式：log_b(x) = log_a(x) / log_a(b)其中a,b为底数，x为对数的真数。
换底公式是对数函数中应用最广泛的公式之一，它在计算对数时可以选择任意底数，通常选择底数为10（常用对数）或底数为e（自然对数）进行计算。
2.对数相等的性质：如果 log_a(b) = log_c(b)，则 a = c。
这个性质说明了对数函数在底数相等的情况下，当两个对数的真数相等时，它们的底数一定相等。
3.对数乘法公式：log_a(b * c) = log_a(b) + log_a(c)其中a为底数，b,c为对数的真数。
对数乘法公式表示，对数函数在真数相乘时，对数相加。
4.对数除法公式：log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)其中a为底数，b,c为对数的真数。
对数除法公式表示，对数函数在真数相除时，对数相减。
5.对数的幂运算公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)其中a为底数，b为对数的真数，c为幂数。
对数的幂运算公式表示，对数函数在真数进行幂运算时，对数乘以幂数。
6.指数函数与对数函数的关系：a^log_a(b) = b其中a为底数，b为对数的真数。
对数的基本性质和运算公式
对数的运算性质
复习重要公式
⑴ 负数与零没有对数
⑵ loga 1 0 ， loga a 1
a loga N N ⑶对数恒等式
对数四则运算公式
loga (MN ) loga M loga N
对数实际上就是指数，把真数化 成指数幂的形式就明显啦！乘积 与加法运算联系起来了（降级）。 注意既能从左到右，又能从右到 左。 除法与减法联系起来了（降级）。
计算
(1)lg14-2lg
7 +lg7-lg18 3
32 ×2) lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(
lg 243 (2) lg 9
=lg2+lg7-2(lg7-lg3)+lg7-(2lg 3 +lg2)
=0 lg 27 lg 8 3 lg 10 (3) lg1.2
lg 243 lg 35 5 lg 3 5 2 lg 9 lg 3 2 lg 3 2
log2 8 3
1 log 3 9
-2
23 8
定义 一般地，如果a 的b次幂等于N, 就是: ab=N 那么数 b叫做 a为底 N的对数
记作： loga N b 对数符号 底数 以a为底N的对数 真数
对数的值 和底数，真数有关。
常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 记作 lgN 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数 记作 lnN
对数的基本性质和运算公式对数运算公式对数函数运算公式对数的运算公式对数的运算性质对数运算性质对数的性质与运算法则对数函数运算性质对数基本公式对数运算法则
对
数
对数定义公式
对 数 运 算 法 则
对数函数对数函数对数函数对数的性质对数函数的运算法则指数函数与对数函数指数函数和对数函数恰似青梅竹马，形影不离，讲完了指数函数，不讲对数函数，似乎有点不厚道，同时，对数函数和指数函数互为反函数，简单说其中一个是用x来表示y，那么反过来便是用y表示x，请看下面的数学表达式y=axy=a^xy=ax两边取以a为底的对数，即logay=logaaxlog_ay=log_a a^xloga?y=loga?ax得到 logay=xlog_ay=xloga?y=x【后面运算法则会证明等式右边】，只是习惯上，我们喜欢用x来表示自变量，y表示因变量，而用什么字母符号来表示无所谓，于是改写成y=logaxy=log_axy=loga?x，刚开始接触这个是有点别扭不适应，回去照着多写几遍就自然理解了。
对数函数一般的把形如y=logaxy=log_axy=loga?x叫做对数函数，其中a叫做对数函数的底数，a0，且a≠1。
通常我们把以10为底的对数叫常用对数（common logarithm），即log10xlog_{10}xlog10?x，简记为lgxlgxlgx，把以自然数e=2.71828···为底的对数称为自然对数（natural logarithm），即logexlog_e xloge?x，简记为lnxln xlnx，因为这两个在自然科学研究和对数变换方面经常用到，所以单独拎出来给一个简便记号。
对数的性质为了描述对数的性质，我们还是先把对数的图像画出来，然后直接看图说话比较简单些。
分a1 和 0a1两种情况(1) 当 a1时从图像看到此时指数函数定义域为（0，+∞），值域为全体实数单调增函数，即随着自变量 x 的增加，函数值也跟着增大，最后趋向无穷大过固定点（1，0）函数图像向右上倾斜，且越来越平缓左端无限接近Y轴，但是不相交（2）当0a1时从图像看到此时指数函数定义域为（0，+∞），值域为全体实数R单调减函数，即随着自变量 x 的增加，函数值反而减小，最后趋向负无穷大过固定点（1，0）函数图像向右下倾斜，且越来越平缓左端无限接近Y轴，但始终不相交知道对数函数有哪些基本性质之后，我们就要来进一步探究其运算法则对数函数的运算法则若根据指数函数，定义ab=xa^b=xab=x，则 b=logaxb=log_a xb=loga?x，对数函数有如下运算法则（0）alogax=xa^{log_a x}=xaloga?x=x（1）logaxc=c?logaxlog_a x^c=c*log_a xloga?xc=c?loga?x（2）logaM+logaN=logaMNlog_a M+log_a N=log_a MNloga?M+loga?N=loga?MN（3）logaM?logaN=logaMNlog_a M-log_a N=log_a frac{M}{N}loga?M?loga?N=loga?NM?（4）logax=logqxlogqalog_a x= frac{log_q x}{log_q a}loga?x=logq?alogq?x?其中（0）称为恒等式，结论非常直观，（1）称为对数函数线性变换，（2）和（3）称为对数函数的加减法，（4）称为对数函数换底公式，现在先来证明（1）,（2）和（4）。
对数函数运算公式
对数函数运算公式对数函数是指以一个常数为底数的指数函数。
对数组的运算公式包括对数函数的性质和对数函数的运算法则。
下面是关于对数函数运算公式的详细解释。
1.对数函数的性质：(1) 对于对数函数y=log_a(x)，其中a>0,a≠1，x>0，y是实数。
底数a称为常数底，x称为对数函数的自变量，y称为对数函数的因变量。
(2) 对于对数函数y=log_a(x)，x=a^y。
这个性质表示对数函数和指数函数互为逆运算。
(3) 对数函数y=log_a(x)的图像是一个增长趋缓的曲线，曲线上的点的坐标是(x,y)。
(4) 对数函数y=log_a(x)在a<1时是递增函数，在a>1时是递减函数。
(5) 对数函数y=log_a(x)的定义域是x>0，值域是实数集。
(6) 对数函数y=log_a(x)在底数a>1时，正值有限，负值无限；在0<a<1时，正值无限，负值有限。
(7) 对数函数y=log_a(x)与曲线y=x在点(1,0)处相交。
2.对数函数的运算法则：(1) 对数函数的乘法法则：log_a(x*y)=log_a(x)+log_a(y)。
即两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。
(2) 对数函数的除法法则：log_a(x/y)=log_a(x)-log_a(y)。
即两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
(3) 对数函数的幂法则：log_a(x^n)=n*log_a(x)。
即一个数的幂的对数等于这个幂与这个数的对数之积。
(4) 对数函数的换底公式：log_a(x)=log_b(x)/log_b(a)。
即可以通过换底公式将以任意底数的对数转化为以其他底数的对数。
(5) 对数函数与指数函数的关系：log_a(x)的定义和底数为a的指数函数a^x的定义相对应，是互为逆运算的。
3.例题：(1) 计算log_2(8)/log_2(4)解：根据换底公式(2) 化简log_3(27^2)解：根据幂法则，log_3(27^2)=2*log_3(27)=2*3=6对数函数的运算公式是数学中重要的概念，它在解决各种实际问题和数学推导中都有广泛应用。
log-a函数运算法则
log-a函数运算法则在数学中，对数函数是指以一些正数为底的指数函数的反函数。
对数函数的运算法则是指对数函数进行数学运算时所遵循的规则，它包括对数函数的运算规律和对数运算的性质。
以下是对数函数的运算法则：1. 对数函数的复合函数关系：对于任意的正数a、b和任意的x，有loga[loga(x)] = x。
也就是说，先使用一个底数为a的对数函数处理x，然后再使用以a为底的对数函数处理结果，得到原始的x。
2. 对数函数的乘法法则：对任意的正数a、b和任意的x，有loga(x * b) = loga(x) + loga(b)。
也就是说，对数函数的底数不变，对两个数的乘积取对数等于对两个数分别取对数再相加。
3. 对数函数的除法法则：对任意的正数a、b和任意的x，有loga(x / b) = loga(x) - loga(b)。
也就是说，对数函数的底数不变，对两个数的商取对数等于对两个数分别取对数再相减。
4. 对数函数的幂法法则：对于任意的正数a、b和任意的x，有loga(b^x) = x * loga(b)。
也就是说，对数函数的底数不变，对一个数的幂次取对数等于对该数取对数后再乘以指数。
5. 对数函数的换底公式：对于任意的正数a、b和n，有loga(b) = logn(b) / logn(a)。
也就是说，对数函数的底数可以先换成其他底数，然后再计算对应的对数。
6. 对数函数的特殊值：loga(1) = 0，其中a大于0且不等于1、这是因为任何数的以自身为底的对数等于17.对数函数的性质：对数函数的图像是递增的，随着自变量的增大，函数值也增大。
这些对数函数运算法则是在数学中对对数函数进行运算和推导所使用的基本法则。
对数函数的数学性质和运算法则可以帮助我们在计算和解决实际问题时更灵活地使用对数函数，并简化计算过程。
对数函数运算法则
对数函数运算法则f971对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.由定义知：①负数和零没有对数;②a>0且a≠1,N>0;③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN.(2)logaMN=logaM-logaN.(3)logaMn=nlogaM (n∈R).问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0?②logaan=? (n∈R)③对数式与指数式的比较.(学生填表)式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数b—N—a—对数的底数b—N—运算性质am·an=am+nam÷an=(am)n=(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMn=(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1?理由如下：①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28?②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数?为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?解题方法技巧1(1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=5?73.（2）将下列对数式写成指数式：①log1216=-4；②log2128=7；③log327=x；④lg0.01=-2；⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.解析由对数定义：ab=N?logaN=b.解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.③log327=x.④log135.73=m.解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N?logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.2根据下列条件分别求x的值：(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?(2)log5x=20=1. x=?(3)31+log32=3×3log32=?27=x?(4)2+3=x-1=1x. x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.(2)log5x=20=1，x=51=5.(3)logx27=3×3log32=3×2=6，∴x6=27=33=(3)6,故x=3.(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化.②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值.解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?解答解法一∵logax=4,logay=5,∴x=a4,y=a5,∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x512y-13)=512logax-13logay=512×4-13×5=0,∴A=1.解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4设x,y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).5求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3329+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;(4)求7lg20·12lg0.7的值.解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.(2)转化为log32的关系式.(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢?(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x?解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.(2)原式=2log3fc12-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9=-7.(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.∴ab=1或ab=4，这里a>0,b>0.若ab=1，则a-2b<0, ∴ab=1（舍去）.∴ab=4,∴log2a-log2b=log2ab=log24=2.(4)设x=7lg20·12lg0.7,则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)=lg7+lg2=14,∴x=14, 故原式=14.解题规律①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3).②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；(2)logab·logbc=logac；(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；(4)loganbm=mnlogab.解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.(2)由(1)logbc=logaclogab.所以logab·logbc=logab·logaclogab=logac.(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.解题规律(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.7已知log67=a,3b=4,求log127.解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢?解答已知log67=a,log34=b,∴log127=log67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32,由log34=b,得2log32=b.∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧?8已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z.(1)求满足2x=py的p值；(2)求与p最接近的整数值；(3)求证：12y=1z-1x.解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答?解答（1）解法一3x=4y?log33x=log34y?x=ylog34?2x=2ylog34=ylog316, ∴p=log316.解法二设3x=4y=m,取对数得：x·lg3=lgm，ylg4=lgm,∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4,∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.(2)∵2=log39 ∴2 又3-p=log327-log316=log32716,p-2=log316-log39=log3169,而2716<169,∴log327163-p.∴与p最接近的整数是3.解题思想①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢?②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，z∈R+，∴k>1，则 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm，故12y=1z-1x.解法二3x=4y=6z=m，则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.∴1z-1x=12y.9已知正数a,b满足a2+b2=7ab.求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1).解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?解答logma+b3=logm(a+b3)212=解题技巧①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.∵a2+b2=7ab,∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+log mb),即logma+b3=12(logma+logmb).思维拓展发散1数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.解析由已知，对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系?解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z,1≤a<10，∴lga∈〔0,1).我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0.小结：①lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0≤lga<1;②有效数字相同的不同正数它们的常用1037允奈彩嗤皇鞘资煌③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.师生互动什么叫做科学记数法？N>0,lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系？有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？2若lgx的首数比lg1x的首数大9，lgx的尾数比lg1x的尾数小0?380 4，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值.解析①lg0.203 4=1?308 3,即lg0.203 4=1+0.308 3，1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出.解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4).又lg1x=-lgx=-(n+lga),∴(n-9)+(lga+0?380 4)=-n-lga，其中n-9是首数，lga+0?380 4是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以：n-9=-(n+1)lga+0.380 4=1-lga?n=4,lga=0.308 3.∴lgx=4+0.308 3=4.308 3,∵lg0.203 4=1.308 3,∴x=2.034×104.∴lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解题规律把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3计算：(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);(2)2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号，如何化简?(2)中分母已无法化简，分子能化简吗?解题方法认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2=-1+12log6(4+22+3·2-3)=-1+12log66=-12.(2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2.4已知log2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z的大小.解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式.解答设log2x=log3y=log5z=m<0.则x=2m,y=3m,z=5m.x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m.下面只需比较2与33,55的大小：(2)6=23=8,(33)6=32=9，所以2<33.又(2)10=25=32,(55)10=52=25,∴2>55.∴55<2<33. 又m<0,图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x在第二象限的图像，如图2-7-1?解题规律①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较?①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x.指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m<(2)m<(55)m,故3y 潜能挑战测试1(1)将下列指数式化为对数式:①73=343;②14-2=16;③e-5=m.(2)将下列对数式化为指数式：①log128=-3;②lg10000=4;③ln3.5=p.2计算：(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2log52.3(1)已知lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，求lg45;(2)若lg3.127=a，求lg0.031 27.4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是()A已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=x，则logMa的值为() A若log63=0.673 1，log6x=-0.326 9, 则x为()A若log5〔log3(log2x)〕=0，则x=.98log87·log76·log65=.10如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2·lg3=0的两根为x1、x2,那么x1·x2的值为.11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中 (Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量?12已知x，y，z∈R+且3x=4y=6z，比较3x，4y，6z的大小.13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2.14已知2a·5b=2c·5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).15设集合M=｛x|lg〔ax2-2(a+1)x-1〕>0｝，若M≠?，M?｛x|x<0｝，求实数a的取值范围.16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x 倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.名师助你成长1.(1)①log7343=3.②log1416=-2.③lnm=-5.(2)①12-3=8.②104=10 000.③ep=3.5.2.(1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式.(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.3.(1)0.826 6点拨：lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2).(2)lg0.031 27=lg(3.127×10-2)=-2+lg3.127=-2+a4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对7e1数运算性质要注意对数都有意义.5.B点拨：底x+1>0且x+1≠1;真数x+1>0.6.A点拨：对ab=M取以M为底的对数.7.C点拨：注意0.673 1+0.326 9=1,log61x=0.326 9，所以log63+log61x=log63x=1.∴3x=6, x=12.8.x=8点拨：由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.9.5点拨：log87·log76·log65=log85, 8log85=5.10.16点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是lgx1,lgx2.由lgx1=-lg2,lgx2=-lg3，得x1=12,x2=13.11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，依题意:106·10100n-1=100,化简得:107-n=102,利用同底幂相等，得7-n=2,或者两边取常用对数也得7-n=2.∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.12?设3x=4y=6z=k,因为x，y，z∈R+，所以k>1.取以k为底的对数，得：x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6.∴3x=3logk3=113logk3=1logk33,同理得：4y=1logk44,6z=1logk66.而33=1281,44=1264,66=1236,∴logk33>logk44>logk66.又k>1,33>44>66>1,∴logk33>logk44>logk66>0,∴3x<4y<6z.13.∵axby=aybx=1,∴lg(axby)=lg(aybx)=0,即xlga+ylgb=ylga+xlgb=0.(※)两式相加,得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0.即(lga+lgb)(x+y)=0.∴lga+lgb=0 或x+y=0.当lga+lgb=0时,代入xlga+ylgb=0,得:(x-y)lga=0, a是不为1的正数lga≠0,∴x-y=0.∴x+y=0或x-y=0,∴x2=y2.14.∵2a5b=10,∴2a-1=51-b.两边取以2为底的对数,得：a-1=(1-b)log25.∴log25=a-11-b(b≠1). 同理得log25=c-11-d(d≠1).即b≠1,d≠1时,a-11-b=c-11-d.∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b),∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).当b=1,c=1时显然成立.15.设lg〔ax2-2(a+1)x-1〕=t (t>0),则ax2-2(a+1)x-1=10t(t>0).∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0.①当a=0时,解集｛x|x<-1｝?｛x|x<0｝;当a≠0时,M≠?且M?｛x|x<0｝.∴方程ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1,x2且x1 ②当a>0时,M=｛x|xx2｝,显然不是｛x|x<0｝的子集；③当a<0时，M=｛x|x1 a<0，Δ=4(a+1)2+8a>0，x1+x2=2(a+1)a<0，x1·x2=-2a>0.解得3-2 16.N=3.840×1011, lgN=11.584 3.17.设经过x年，成本降为原来的40%.则(1-10%)x=40%,两边取常用对数，得：x·lg(1-10%)=lg40% ，即x=lg0.4lg0.9=lg4-1lg9-1=2lg2-12lg3-1=10.所以经过10年成本降低为原来的40%.18.f(x)=log1.104x〔或f(x)=lgxlg1.104〕.点拨：设原来一个季度产品为a，则a(1+10.4%)y=xa,∴y=log1.104x.。
必修对数函数的运算法则全
必修对数函数的运算法则全一、对数函数的定义和性质回顾对数函数是指以其中一个正数为底数的对数函数。
常用的对数函数有自然对数函数和常用对数函数。
自然对数函数：以e（自然对数的底数）为底数常用对数函数：以10为底数定义：自然对数函数为y=lnx，x∈R⁺常用对数函数为y=logx，x∈R⁺性质：1. 对数函数与指数函数互为反函数，即ln(e^x)=x，log10(10^x)=x2.对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集3.对数函数的图像都是经过点(1,0)且单调递增的4. 对数函数满足性质f(x)=f(a)+f(b)，其中x=ab5. 对数函数满足性质f(x)=cf(a)，其中c为常数二、对数函数的运算法则1.对数函数的乘法法则ln(x*y) = ln(x) + ln(y)log(a*b) = log(a) + log(b)这个法则说明，在底数不变的情况下，对数函数的乘法操作可以转化为对数函数的加法操作。
2.对数函数的除法法则ln(x/y) = ln(x) - ln(y)log(a/b) = log(a) - log(b)这个法则说明，在底数不变的情况下，对数函数的除法操作可以转化为对数函数的减法操作。
3.对数函数的幂法法则ln(x^a) = a * ln(x)log(a^b) = b * log(a)这个法则说明，在底数不变的情况下，对数函数的幂操作可以转化为对数函数的乘法操作。
4.对数函数的换底公式loga(x) = logb(x) / logb(a)这个公式可以用来将一个对数函数的底数换为另一个底数。
5.对数函数的倒数法则ln(1/x) = -ln(x)log(1/x) = -log(x)这个法则说明，对数函数的倒数等于对数函数的相反数。
三、实例演算例1：计算ln(2*7)根据对数函数的乘法法则，可以将ln(2*7)转化为ln(2)+ln(7)。
计算得到ln(2)=0.693，ln(7)=1.946，因此ln(2*7)=0.693+1.946=2.639例2：计算log(100/10)根据对数函数的除法法则，可以将log(100/10)转化为log(100)-log(10)。
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一.教学内容：
对数运算、对数函数
二.重点、难点：
1.对数运算
（1）x N a =log N a x =⇔
（2）01log =a
（3）1log =a a
（4）N a N a =log
（5）N M N M a a a log log )(log +=⋅
（6）N M N
M a a a log log log -= （7）M x M a x a log log ⋅=
（8）a M M b b a log /log log =
（9）b x
y b a y a x log log = （10）1log log =⋅a b b a
2.对数函数x y a log =，0>a 且1≠a
定义域 （+∞,0）
值域 R
单调性 ↓∈)1,0(a ↑+∞∈),1(a
奇偶性 非奇非偶
过定点 （1，0）
图象 x y a log =与x y a 1log =关于x 轴对称
【典型例题】
[例1]求值
（1）=7log 3)9
1(； （2）=-++4log 20log 2
3log 2log 151515
15； （3）=+⋅+18log 3log 2log )2(log 66626； （4）=⋅81log 16log 329；
（5）=+⋅++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384；
（6）=+⋅+2)2(lg 50lg 2lg 25lg 。
解：
（1）原式49
1733)3(27log 7log 27log 22333=
====---- （2）原式115log 15==
（3）原式18log )3log 2(log 2log 6666++⋅=
（4）原式5
8)3log 54()2log 24(23=⋅= （5）原式8
15)2log 23()5log 23()3log 65(532=⋅⋅= （6）原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++=
[例2]若z y x ,,满足)](log [log log )](log [log log 33132212y x =)]z (log [log log 55
15=
0=，试比较z y x 、、的大小关系。
解：log 2〔log 21(log 2x)〕＝0⇒log 2
1(log 2x)＝1⇒log 2x ＝21⇒x ＝2＝(215)301. 同理可得y ＝33＝(310)301,z ＝55＝(56)301. ∵310>215>56，由幂函数y ＝x 301
在(0，+∞)上递增知，y>x>z.
[例3]若==2121log log b b a a ……λ==n a b n log ，则=⋅)(log 21)(21n a a a b b b n 。
解：由已知λ11a b =，λλn n a b a b == 22
∴λ)()(11n n a a b b =
∴λ=)(log 21)(1n a a b b b n
[例4]图中四条对数函数x y a log =图象，底数a 为10
1,53,34,3这四个值，则相对应的C 1，C 2，C 3，C 4的值依次为（） A.101,53,34,3 B.53,101,34,3 C.101,53,3,34 D.5
3,101,3,34 答案：A
[例5]求下列函数定义域
（1）)]lg[lg(lg x y =
（2）)43lg(2--=x x y
（3）)1(log 2
1-=x y
解：
（1）1lg 0]lg[lg =>x ∴1lg >x ∴),10(+∞∈x
（2）0432>--x x ),4()1,(+∞⋃--∞∈x
（3）110≤-<x ]2,1(∈x
[例6]求下列函数的增区间
（1）1log 2-=x y
（2）)82(log 22
1--=x x y
解：
（1）↑=t y 2log 1-=x t ↑+∞↓-∞),1()1,(
∴)(x f y =在（+∞,1）↑
（2）↓=t y 2
1log 822--=x x t ↑+∞↓--∞),4()2,(
∴)(x f y =在↑--∞)2,(
[例7]研究函数)1(log )(22x x x f y -+==的定义域、值域、奇偶性、单调性。
解：（1）x x x x ≥=>+221∴012>-+x x ∴定义域为R
（2）R x ∈),0(12+∞∈-+x x ∴R y ∈为值域
（3）)1(log )](1)([log )(2222x x x x x f ++=--+-=- ∴奇函数
（4）),0(+∞∈x 时，x
x x x y ++=-+=11log )1(log 2222 ↓++=x
x t 112t y 2log =↑∴)(x f y =在),0(+∞上↓ ∵奇函数∴)(x f y =为R 上↓
[例8]已知)1,0(∈x ，0>a 且1≠a ，试比较)1(log x a +与)1(log x a -的大小关系。
解：
（1）)1,0(∈a 时，)1(log )1(log x x a a --+
（2）),1(+∞∈a 时，)1(log )1(log x x a a --+)1(log )1(log x x a a -++= 综上所述，)1(log )1(log x x a a -<+
[例9]函数)34(log )(22++==kx kx x f y
（1）若定义域为R ，求k 的取值范围。
（2）若值域为R ，求k 的取值范围。
解：
（1）0=k 时，3log 2=y R x ∈
4300121602<<⇒⎩
⎨⎧<-=∆>k k k k ∴)43,0[∈k （2）⎩
⎨⎧≥-=∆>0121602k k k ),43[+∞∈⇒k 【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.求值：
（1）=-2log 5)125
1(； （2）=+-+8
lg 5.0lg 215lg 4lg ； （3）=+-)2log 3(log )6)(log 6(log 3232；
（4）=-+++6lg 26lg )6(lg 3lg 2lg 62。
2.正实数y x ,满足z y x 643==
（1）求证：y
x z 2111=- （2）比较y y x 6,4,3的大小关系
3.已知a =2log 3，b =2log 5试用b a ,表示90log 30
4.),1(d x ∈，x a d 2log =，2log x b d =，)(log log x c d d =，
试比较c b a ,,大小关系。
5.若12>>>a b a ，则b a a
b b a a b b a log ,log ,log ,log 的大小关系是。
6.1>>m n ，试比较n m log 与n m 2log 2的大小关系。
7.研究函数)1(log )(-==x a a x f y （0>a 且1≠a ）的定义域及单调性。
【试题答案】
1.
（1）8558log )2log (355==--
（2）原式1lg
lg 22
== （3）2)2log 3(log )2log 1)(3log 1(3232=+-++
（4）16lg 16lg )16(lg 3lg 2lg 2=-+=-++
2.
（1）令010643>===k z y x ∴6
lg 4lg 3lg k z k y k x === 2lg 124lg 21k
k y ==∴成立 （2）k k k y x =-=-4lg 43lg 3434
lg 3lg 3lg 44lg 3⋅-⋅ ∴z y x 643<< 3.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5log 13log 122b
a
4.x x a d d log log ⋅=x b d log 2⋅=∵)1,0(log ∈x d
∴c a b >>>0 5.0log 1log <-=b b a a a )2
1,0(0log 1log ∈>-=a a b b b )1,21(log ∈a b )2,1(log ∈b a ∴b
a a
b a b a b b a log log log log >>> 6.m n m n n n m m 22222log 1log 1log log 2log log ++-=-0)
log 1(log log log 2222>+-=m m m n 7.
（1）)1,0(∈a 01a a x =>∴定义域为)0,(-∞↓=t y a log ↓-=1x a t ∴↑=)(x f y
（2）),1(+∞∈a 01a a x =>∴定义域为),0(+∞
↑=t y a log ↑-=1x a t ∴↑=)(x f y。