《结构力学教程》
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F AB
i A M
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
利用前面得到的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式， 就可写出结构中每根杆件的杆端力与杆端位移的表达式。
例：
q B EI A
EI
C 杆长为：L 未知量为： B
BA杆： 可看作两端固定的梁，但是在B端 支座发生了转角 B ，方向假设 为顺时针，杆端弯矩表达式：
M
BA
4
EI L
B
M
AB
2
EI L
B
BC杆： 可看作一端固定，一端铰结的梁， 在B端发生了转角 B 以及在均布 M B c 荷载作用下，杆端弯矩表达式：
3
EI L
B
qL 8
2
M
AB
0
§8-3
例：
B
q 2EI
杆端力与杆端位移的关系
FP C L L/2
EI
A L/2
BA杆： 可看作两端固定的梁，在B端支座发 生了转角 B 水平位移 B C ，还有均 布荷载作用下，杆端弯矩表达式：
6EI
M CB 0
§8-4
利用平衡条件建立位移法方程
基本思路 ——先拆、后装，即： 1）化整为零——逐杆写出杆端弯矩式表达式；
2）拼零为整——汇交于刚结点的各杆端弯矩 应满足 M 0 ，对于任意 的脱离体都应满足 X 0 或 Y 0 。
§8-4
例:
B
EI EI
利用平衡条件建立位移法方程
B
EI
BA杆 M B A 4
C
M
AB
EI L EI L
B B
2
杆长为：L
A
1. 确定未知量 未知量为: B
3. 建立位移法方程
取B结点，由
7 i B qL 8
2
M
B
0
3
2EI L
B
3 FP L 16
取B结点由 M
M
BC
B
0
:
6i L
M CB 0
qL
2
M
BA
0
1 0 i B
3PL 16
0
12
—位移法方程①
§8-4
利用平衡条件建立位移法方程
X 0
建立位移法方程： 取BC截面由
B MBA F QBA FNBA C FP
: FQ B A 0 ……②
● 前面研究的是：单个超静定梁在支座位移作用下的
弯矩，至于在荷载作用下的情况，可以查书上的表格。
● 前面研究的是：单个超静定梁在一个支座位移作用
下的弯矩，至于有多个支座位移同时作用的情况可以采 用叠加原理进行。
两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端 弯矩表达式：
M M
AB
BA
AB L F 4 i B 2 i A 6 i M B A L 4 i A 2 i B 6 i M
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及 荷载作用下的杆端弯矩用力法求出，然后列出表格， 以供查用。
弯矩正负号的规定与原来不同了，现在是以使杆 端顺时针转为正。剪力和轴力的规定与原来相同。
正弯矩：对杆端是顺 时针转的，对结点是 逆时针转的。
下面开始对单跨超静定梁在支座位移及荷载作用 下的杆端弯矩用力法进行逐个求解。
F
例4：
E
A
D
D
C
有两个刚结点E、F、D、C，由于忽 略轴向变形， E、F、D、C 点的竖向 位移为零， E、F 点及D、C 点的水平 位移相等，因此该结构的未知量为：
E F C D EF CD
A
B
§8-2
结论：
位移法未知量的确定
刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。
● 位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。
结构
在外因作用下
分析超静定结构时，有两种基本方法：
第一种：
以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然 后计算位移——力法。
第二种：
以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再 计算内力——位移法。
§8-1
位移法概述
● 位移法是以力法作为基础的。 ● 位移法是以结点的位移作为的未知量的。 下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。
位移法概述
0 2 2 FN D C FP 2 2 FN D A FP FN D B EA(2 2L
2PL (2 2 )EA
由结点平衡： Y
NDC
建立力的 平衡方程
2)
位移法方程
由方程解得：
把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：
FN D B 2 FP 2 2 FN D A FN D C P 2 2
M
BA
4
EI L EI
B
6EI L
2
BC
qL
2
12 qL
2
M AB 2 B 2 BC 未知量2个： B B C L L 12 BC杆： 可看作一端固定，一端铰结的梁， 3 FP L 2EI 在B端发生了转角 B 、以及在集 M B C 3 L B 1 6 中力作用下，杆端弯矩表达式：
● 为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=∞。
B C
B
C
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
A
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
§8-2
例3：
B
位移法未知量的确定
C
有两个刚结点B、C，由于忽略轴向 变形，B、C点的竖向位移为零，B、C 点的水平位移相等，因此该结构的未 知量为： B C B C
《结构力学教程》（I）
第8章 位移法
主要内容
§8-1 位移法概述
§8-2 位移法未知量的确定
§8-3 杆端力与杆端位移的关系 §8-4 利用平衡条件建立位移法方程 §8-5 位移法举例 §8-6 基本体系和典型方程法
§8-7 对称性的利用
§8-8 其它各种情况的处理
§8-1
位移法概述
内力 产生 变形 内力与变形间存在关系
EI L EI L
B 4 i B B 2 i B
由力法求得：
M
AB
MAB A
EI,L
B MBA
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
3、两端固定单元，在B端 发生一个向下的位移 。
A MAB EI,L
B
△
MBA
M M
由力法求得：
AB
6 EI L L
2
6i L 6i L
C
杆长为：L 未知量为： B
q
B
EI
C
BC杆
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
B
B
对于BA杆 ：其变形与受力情况相
当于：一根两端固定的单跨超静定 梁，在B端发生了角位移 B 的结果, 其杆端力也可以用力法求解。
A
BA杆
结论： 在杆端力与杆端位移分析时，可以把结构中的杆件，看作 一根根单跨的超静定梁，其杆端力可以由力法求解。
§8-2
例10： △
B’ B
位移法未知量的确定
C’
C D
结论： 该题有两个未知量： B 其中BA杆的线位移为：△ BC杆的线位移为：
S in
A
分析方法：
该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移 的分析方法：假设B结点向左有一个水平位移△，BC杆平 移至B’C’，然后它绕B’转至D点。
A
45o D
△
B 45o
C
结点位移与杆端位移分析 BD伸长：
2
D结点有 一向下的 位移
DA伸长： 2 DC伸长：
FP
EA L
2 2
由材料力学可知：
FNDB FN D A FN D C
EA 2L 2 2
杆 端 位 移 分 析 杆端力与杆端 位移的关系
§8-1
NDB NDA D Fp
F
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下 的杆端弯矩表达式：
M M
AB
BA
3 i A 3 i M A B L 0
F
一端固定一端滑动单元在荷载、支座位移共同作用下 的杆端弯矩表达式：
M M
AB
BA
F i A M B A
§8-1
位移法概述
总结一下位移法解题的步骤： ① 确定结点位移的数量； ② 写出杆端力与杆端位移的关系式； ③ 由结点平衡或截面平衡，建立方程； ④ 解方程，得到结点位移； ⑤ 结点位移回代，得到杆端力。
B
§8-2
位移法未知量的确定
● 位移法是以结点的位移作为的未知量的。 ● 结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点 （初学时）。 ● 杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。 例1： 例2：
例5：
A
B
C
D
例6：
A
B
有两个刚结点B、C，由于 忽略轴向变形及B、C点的约 束，B、C点的竖向、水平位 移均为零，因此该结构的未 知量为： B C
桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个 结点有两个线位移。该结构的未知量为：
D C
AH AV BH BV DH .
§8-2
例7：
q C
BA杆：杆端弯矩表达式：
M
BA
4
EI L
B
M
AB
2
EI L
B
杆长为：L A 未知量为： B
BC杆：杆端弯矩表达式：
M
Bc
3
EI L
B
qL 8
2
M
AB
0
0
建立位移法方程：取B结点，应该满足:
B MBC
M
B
M
BC
M
BA
2
0
0
MBA
7 i B
qL 8
——位移法方程
6 EI
2
BA
4、一端固定一端铰结单元，在A端 发生一个顺时针的转角 A 。
A
MAB
A
EI,L
B
由力法求得：
MBA
M M
AB
3 0
EI L
B 3 i B
BA
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
5、一端固定一端铰结单元，在B端 发生一个向下的位移 。
MAB
A
EI,L
B
△ 由力法求得：
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
q B EI A
B
刚架在均布荷载作用下，产 生如图曲线所示的变形。
EI
刚结点B处：两杆杆端都发生了
角位移 B ； 对于BC杆：其变形及受力情况 与：一根一端固定一端铰结的 单跨超静定梁，在均布荷载 q 以及在固定端B处有一角位移 B 作用下的情况相同，其杆端力 可以用力法求解。
AB DC D
F
§8-2
例9：
C D
位移法未知量的确定
D E C E
该题的未知量为
C D E CH DV
A
B
A
B
对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角 位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位 移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其 变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几 个线位移。
M M
AB
0
3EI L
2
3i L
MBA
BA
6、一端固定一端滑动单元，在A端 发生一个顺时针的转角 A 。
A
M
AB
EI L
A i B A i A
MAB
A
EI,L
B
由力法求得：
MBA
M
BA
EI L
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
EA L EA L
§8-4
例：
B q EI A L/2
利用平衡条件建立位移法方程
FP
2EI C
BA杆：杆端弯矩表达式：
M
BA
4 2
EI L EI L
B B
6EI L
2
BC BC
qL
2
L
M
AB
12 qL
2
6EI L
2
12
L/2
BC杆：端弯矩表达式：
M
BC
未知量2个： B B C 建立位移法方程：
7、两端铰结单元，在A端 发生一个轴向位移 。
EA△ L △ A EA△ L 由材力可知： B
FNAB
EA,L
FNBA
8、两端铰结单元，在B端 发生一个轴向位移△。
△ A B EA,L
FNAB EA L
由力法求得：
EA△ L
FNBA
EA△ L
EA L
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
MBA FQBA q B
求FQBA,取BA杆,由
M
A
0
FQ B A
M
BA
来自百度文库M L
AB
qL 2 qL 2
A
MAB FQAB
6i L
把FQBA代入②式,得:
6i L
B
12i L
2
B
12i L
2
qL 2
0
----位移法方程②
§8-5
例1:
位移法举例
q
EI
A EA=∞
位移法未知量的确定
B
C
D
排架结构，有两个铰结点A、B， 由于忽略轴向变形，A、B两点的竖 向位移为零，A、B两点的水平位移 相等，因此该结构的未知量为： A B
例8：
A EA=∞ C E B
D
G
两跨排架结构，有四个结点 A、B、C、D，同理A与B点、D与 C点的水平位移相同，各结点的 竖向位移为零，但D结点有一转 角，因此该结构的未知量为：
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
EI L 2 EI L
1、两端固定单元，在A端 发生一个顺时针的转角 A 。
A
M
AB
4
A 4 i A A 2 i A
MAB A
EI,L
由力法求得：
B MBA
M
BA
2、两端固定单元，在B端 发生一个顺时针的转角 B 。
B
M
BA
4 2
i A M
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
利用前面得到的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式， 就可写出结构中每根杆件的杆端力与杆端位移的表达式。
例：
q B EI A
EI
C 杆长为：L 未知量为： B
BA杆： 可看作两端固定的梁，但是在B端 支座发生了转角 B ，方向假设 为顺时针，杆端弯矩表达式：
M
BA
4
EI L
B
M
AB
2
EI L
B
BC杆： 可看作一端固定，一端铰结的梁， 在B端发生了转角 B 以及在均布 M B c 荷载作用下，杆端弯矩表达式：
3
EI L
B
qL 8
2
M
AB
0
§8-3
例：
B
q 2EI
杆端力与杆端位移的关系
FP C L L/2
EI
A L/2
BA杆： 可看作两端固定的梁，在B端支座发 生了转角 B 水平位移 B C ，还有均 布荷载作用下，杆端弯矩表达式：
6EI
M CB 0
§8-4
利用平衡条件建立位移法方程
基本思路 ——先拆、后装，即： 1）化整为零——逐杆写出杆端弯矩式表达式；
2）拼零为整——汇交于刚结点的各杆端弯矩 应满足 M 0 ，对于任意 的脱离体都应满足 X 0 或 Y 0 。
§8-4
例:
B
EI EI
利用平衡条件建立位移法方程
B
EI
BA杆 M B A 4
C
M
AB
EI L EI L
B B
2
杆长为：L
A
1. 确定未知量 未知量为: B
3. 建立位移法方程
取B结点，由
7 i B qL 8
2
M
B
0
3
2EI L
B
3 FP L 16
取B结点由 M
M
BC
B
0
:
6i L
M CB 0
qL
2
M
BA
0
1 0 i B
3PL 16
0
12
—位移法方程①
§8-4
利用平衡条件建立位移法方程
X 0
建立位移法方程： 取BC截面由
B MBA F QBA FNBA C FP
: FQ B A 0 ……②
● 前面研究的是：单个超静定梁在支座位移作用下的
弯矩，至于在荷载作用下的情况，可以查书上的表格。
● 前面研究的是：单个超静定梁在一个支座位移作用
下的弯矩，至于有多个支座位移同时作用的情况可以采 用叠加原理进行。
两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端 弯矩表达式：
M M
AB
BA
AB L F 4 i B 2 i A 6 i M B A L 4 i A 2 i B 6 i M
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及 荷载作用下的杆端弯矩用力法求出，然后列出表格， 以供查用。
弯矩正负号的规定与原来不同了，现在是以使杆 端顺时针转为正。剪力和轴力的规定与原来相同。
正弯矩：对杆端是顺 时针转的，对结点是 逆时针转的。
下面开始对单跨超静定梁在支座位移及荷载作用 下的杆端弯矩用力法进行逐个求解。
F
例4：
E
A
D
D
C
有两个刚结点E、F、D、C，由于忽 略轴向变形， E、F、D、C 点的竖向 位移为零， E、F 点及D、C 点的水平 位移相等，因此该结构的未知量为：
E F C D EF CD
A
B
§8-2
结论：
位移法未知量的确定
刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。
● 位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。
结构
在外因作用下
分析超静定结构时，有两种基本方法：
第一种：
以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然 后计算位移——力法。
第二种：
以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再 计算内力——位移法。
§8-1
位移法概述
● 位移法是以力法作为基础的。 ● 位移法是以结点的位移作为的未知量的。 下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。
位移法概述
0 2 2 FN D C FP 2 2 FN D A FP FN D B EA(2 2L
2PL (2 2 )EA
由结点平衡： Y
NDC
建立力的 平衡方程
2)
位移法方程
由方程解得：
把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：
FN D B 2 FP 2 2 FN D A FN D C P 2 2
M
BA
4
EI L EI
B
6EI L
2
BC
qL
2
12 qL
2
M AB 2 B 2 BC 未知量2个： B B C L L 12 BC杆： 可看作一端固定，一端铰结的梁， 3 FP L 2EI 在B端发生了转角 B 、以及在集 M B C 3 L B 1 6 中力作用下，杆端弯矩表达式：
● 为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=∞。
B C
B
C
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
A
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
§8-2
例3：
B
位移法未知量的确定
C
有两个刚结点B、C，由于忽略轴向 变形，B、C点的竖向位移为零，B、C 点的水平位移相等，因此该结构的未 知量为： B C B C
《结构力学教程》（I）
第8章 位移法
主要内容
§8-1 位移法概述
§8-2 位移法未知量的确定
§8-3 杆端力与杆端位移的关系 §8-4 利用平衡条件建立位移法方程 §8-5 位移法举例 §8-6 基本体系和典型方程法
§8-7 对称性的利用
§8-8 其它各种情况的处理
§8-1
位移法概述
内力 产生 变形 内力与变形间存在关系
EI L EI L
B 4 i B B 2 i B
由力法求得：
M
AB
MAB A
EI,L
B MBA
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
3、两端固定单元，在B端 发生一个向下的位移 。
A MAB EI,L
B
△
MBA
M M
由力法求得：
AB
6 EI L L
2
6i L 6i L
C
杆长为：L 未知量为： B
q
B
EI
C
BC杆
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
B
B
对于BA杆 ：其变形与受力情况相
当于：一根两端固定的单跨超静定 梁，在B端发生了角位移 B 的结果, 其杆端力也可以用力法求解。
A
BA杆
结论： 在杆端力与杆端位移分析时，可以把结构中的杆件，看作 一根根单跨的超静定梁，其杆端力可以由力法求解。
§8-2
例10： △
B’ B
位移法未知量的确定
C’
C D
结论： 该题有两个未知量： B 其中BA杆的线位移为：△ BC杆的线位移为：
S in
A
分析方法：
该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移 的分析方法：假设B结点向左有一个水平位移△，BC杆平 移至B’C’，然后它绕B’转至D点。
A
45o D
△
B 45o
C
结点位移与杆端位移分析 BD伸长：
2
D结点有 一向下的 位移
DA伸长： 2 DC伸长：
FP
EA L
2 2
由材料力学可知：
FNDB FN D A FN D C
EA 2L 2 2
杆 端 位 移 分 析 杆端力与杆端 位移的关系
§8-1
NDB NDA D Fp
F
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下 的杆端弯矩表达式：
M M
AB
BA
3 i A 3 i M A B L 0
F
一端固定一端滑动单元在荷载、支座位移共同作用下 的杆端弯矩表达式：
M M
AB
BA
F i A M B A
§8-1
位移法概述
总结一下位移法解题的步骤： ① 确定结点位移的数量； ② 写出杆端力与杆端位移的关系式； ③ 由结点平衡或截面平衡，建立方程； ④ 解方程，得到结点位移； ⑤ 结点位移回代，得到杆端力。
B
§8-2
位移法未知量的确定
● 位移法是以结点的位移作为的未知量的。 ● 结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点 （初学时）。 ● 杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。 例1： 例2：
例5：
A
B
C
D
例6：
A
B
有两个刚结点B、C，由于 忽略轴向变形及B、C点的约 束，B、C点的竖向、水平位 移均为零，因此该结构的未 知量为： B C
桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个 结点有两个线位移。该结构的未知量为：
D C
AH AV BH BV DH .
§8-2
例7：
q C
BA杆：杆端弯矩表达式：
M
BA
4
EI L
B
M
AB
2
EI L
B
杆长为：L A 未知量为： B
BC杆：杆端弯矩表达式：
M
Bc
3
EI L
B
qL 8
2
M
AB
0
0
建立位移法方程：取B结点，应该满足:
B MBC
M
B
M
BC
M
BA
2
0
0
MBA
7 i B
qL 8
——位移法方程
6 EI
2
BA
4、一端固定一端铰结单元，在A端 发生一个顺时针的转角 A 。
A
MAB
A
EI,L
B
由力法求得：
MBA
M M
AB
3 0
EI L
B 3 i B
BA
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
5、一端固定一端铰结单元，在B端 发生一个向下的位移 。
MAB
A
EI,L
B
△ 由力法求得：
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
q B EI A
B
刚架在均布荷载作用下，产 生如图曲线所示的变形。
EI
刚结点B处：两杆杆端都发生了
角位移 B ； 对于BC杆：其变形及受力情况 与：一根一端固定一端铰结的 单跨超静定梁，在均布荷载 q 以及在固定端B处有一角位移 B 作用下的情况相同，其杆端力 可以用力法求解。
AB DC D
F
§8-2
例9：
C D
位移法未知量的确定
D E C E
该题的未知量为
C D E CH DV
A
B
A
B
对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角 位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位 移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其 变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几 个线位移。
M M
AB
0
3EI L
2
3i L
MBA
BA
6、一端固定一端滑动单元，在A端 发生一个顺时针的转角 A 。
A
M
AB
EI L
A i B A i A
MAB
A
EI,L
B
由力法求得：
MBA
M
BA
EI L
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
EA L EA L
§8-4
例：
B q EI A L/2
利用平衡条件建立位移法方程
FP
2EI C
BA杆：杆端弯矩表达式：
M
BA
4 2
EI L EI L
B B
6EI L
2
BC BC
qL
2
L
M
AB
12 qL
2
6EI L
2
12
L/2
BC杆：端弯矩表达式：
M
BC
未知量2个： B B C 建立位移法方程：
7、两端铰结单元，在A端 发生一个轴向位移 。
EA△ L △ A EA△ L 由材力可知： B
FNAB
EA,L
FNBA
8、两端铰结单元，在B端 发生一个轴向位移△。
△ A B EA,L
FNAB EA L
由力法求得：
EA△ L
FNBA
EA△ L
EA L
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
MBA FQBA q B
求FQBA,取BA杆,由
M
A
0
FQ B A
M
BA
来自百度文库M L
AB
qL 2 qL 2
A
MAB FQAB
6i L
把FQBA代入②式,得:
6i L
B
12i L
2
B
12i L
2
qL 2
0
----位移法方程②
§8-5
例1:
位移法举例
q
EI
A EA=∞
位移法未知量的确定
B
C
D
排架结构，有两个铰结点A、B， 由于忽略轴向变形，A、B两点的竖 向位移为零，A、B两点的水平位移 相等，因此该结构的未知量为： A B
例8：
A EA=∞ C E B
D
G
两跨排架结构，有四个结点 A、B、C、D，同理A与B点、D与 C点的水平位移相同，各结点的 竖向位移为零，但D结点有一转 角，因此该结构的未知量为：
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
EI L 2 EI L
1、两端固定单元，在A端 发生一个顺时针的转角 A 。
A
M
AB
4
A 4 i A A 2 i A
MAB A
EI,L
由力法求得：
B MBA
M
BA
2、两端固定单元，在B端 发生一个顺时针的转角 B 。
B
M
BA
4 2