《结构力学教程》

§8-3
杆端力与杆端位移的关系
为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及 荷载作用下的杆端弯矩用力法求出，然后列出表格， 以供查用。
弯矩正负号的规定与原来不同了，现在是以使杆 端顺时针转为正。剪力和轴力的规定与原来相同。
正弯矩：对杆端是顺 时针转的，对结点是 逆时针转的。
下面开始对单跨超静定梁在支座位移及荷载作用 下的杆端弯矩用力法进行逐个求解。
§8-4
例：
B q EI A L/2
利用平衡条件建立位移法方程
FP
2EI C
BA杆：杆端弯矩表达式：
M
BA
4 2
EI L EI L
B B
6EI L
2
BC BC
qL
2
L
M
AB
12 qL
2
6EI L
2
12
L/2
BC杆：端弯矩表达式：
M
BC
未知量2个： B B C 建立位移法方程：
F

§8-3
杆端力与杆端位移的关系
一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下 的杆端弯矩表达式：
M M
AB
BA
3 i A 3 i M A B L 0
F

一端固定一端滑动单元在荷载、支座位移共同作用下 的杆端弯矩表达式：
M M
AB
BA
F i A M B A
§8-1
位移法概述
总结一下位移法解题的步骤： ① 确定结点位移的数量； ② 写出杆端力与杆端位移的关系式； ③ 由结点平衡或截面平衡，建立方程； ④ 解方程，得到结点位移； ⑤ 结点位移回代，得到杆端力。
B
§8-2
位移法未知量的确定
● 位移法是以结点的位移作为的未知量的。 ● 结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点 （初学时）。 ● 杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。 例1： 例2：
● 为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=∞。
B C
B
C
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
A
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
§8-2
例3：
B
位移法未知量的确定
C
有两个刚结点B、C，由于忽略轴向 变形，B、C点的竖向位移为零，B、C 点的水平位移相等，因此该结构的未 知量为： B C B C
A
45o D
△
B 45o
C
结点位移与杆端位移分析 BD伸长：

2
D结点有 一向下的 位移
DA伸长： 2 DC伸长：
FP
EA L
2 2
由材料力学可知：
FNDB FN D A FN D C
EA 2L 2 2

杆 端 位 移 分 析 杆端力与杆端 位移的关系

§8-1
NDB NDA D Fp
F AB
i A M
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
利用前面得到的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式， 就可写出结构中每根杆件的杆端力与杆端位移的表达式。
例：
q B EI A
EI
C 杆长为：L 未知量为： B
BA杆： 可看作两端固定的梁，但是在B端 支座发生了转角 B ，方向假设 为顺时针，杆端弯矩表达式：
M
BA
4
EI L
B
M
AB
2
EI L
B
BC杆： 可看作一端固定，一端铰结的梁， 在B端发生了转角 B 以及在均布 M B c 荷载作用下，杆端弯矩表达式：
3
EI L
B
qL 8
2
M
AB
0
§8-3
例：
B
q 2EI
杆端力与杆端位移的关系
FP C L L/2
EI
A L/2
BA杆： 可看作两端固定的梁，在B端支座发 生了转角 B 水平位移 B C ，还有均 布荷载作用下，杆端弯矩表达式：
6EI
M CB 0
§8-4
利用平衡条件建立位移法方程
基本思路 ——先拆、后装，即： 1）化整为零——逐杆写出杆端弯矩式表达式；
2）拼零为整——汇交于刚结点的各杆端弯矩 应满足 M 0 ，对于任意 的脱离体都应满足 X 0 或 Y 0 。
§8-4
例:
B
EI EI
利用平衡条件建立位移法方程
C
杆长为：L 未知量为： B
q
B
EI
C
BC杆
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
B
B
对于BA杆 ：其变形与受力情况相
当于：一根两端固定的单跨超静定 梁，在B端发生了角位移 B 的结果, 其杆端力也可以用力法求解。
A
BA杆
结论： 在杆端力与杆端位移分析时，可以把结构中的杆件，看作 一根根单跨的超静定梁，其杆端力可以由力法求解。
《结构力学教程》（I）
第8章 位移法
主要内容
§8-1 位移法概述
§8-2 位移法未知量的确定
§8-3 杆端力与杆端位移的关系 §8-4 利用平衡条件建立位移法方程 §8-5 位移法举例 §8-6 基本体系和典型方程法
§8-7 对称性的利用
§8-8 其它各种情况的处理
§8-1
位移法概述
内力 产生 变形 内力与变形间存在关系
§8-2
例10： △
B’ B
位移法未知量的确定
C’

C D
结论： 该题有两个未知量： B 其中BA杆的线位移为：△ BC杆的线位移为：
S in
A
分析方法：
该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移 的分析方法：假设B结点向左有一个水平位移△，BC杆平 移至B’C’，然后它绕B’转至D点。
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
EI L 2 EI L
1、两端固定单元，在A端 发生一个顺时针的转角 A 。
A
M
AB
4
A 4 i A A 2 i A
MAB A
EI,L
由力法求得：
B MBA
M
BA
2、两端固定单元，在B端 发生一个顺时针的转角 B 。
B
M
BA
4 2
F
例4：
E
A
D
D
C
有两个刚结点E、F、D、C，由于忽 略轴向变形， E、F、D、C 点的竖向 位移为零， E、F 点及D、C 点的水平 位移相等，因此该结构的未知量为：
E F C D EF CD
A
B
§8-2
结论：
位移法未知量的确定
刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。
EI L EI L
B 4 i B B 2 i B
由力法求得：
M
AB
MAB A
EI,L
B MBA§ຫໍສະໝຸດ -3杆端力与杆端位移的关系
3、两端固定单元，在B端 发生一个向下的位移 。
A MAB EI,L
B
△
MBA
M M
由力法求得：
AB

6 EI L L
2

6i L 6i L
MBA FQBA q B
求FQBA,取BA杆,由
M
A
0
FQ B A
M
BA
M L
AB

qL 2 qL 2
A
MAB FQAB
6i L
把FQBA代入②式,得:
6i L
B
12i L
2
B
12i L
2

qL 2
0
----位移法方程②
§8-5
例1:
位移法举例
q
EI
q C
BA杆：杆端弯矩表达式：
M
BA
4
EI L
B
M
AB
2
EI L
B
杆长为：L A 未知量为： B
BC杆：杆端弯矩表达式：
M
Bc
3
EI L
B
qL 8
2
M
AB
0
0
建立位移法方程：取B结点，应该满足:
B MBC
M
B
M
BC
M
BA
2
0
0
MBA
7 i B
qL 8
——位移法方程

6 EI
2
BA
4、一端固定一端铰结单元，在A端 发生一个顺时针的转角 A 。
A
MAB
A
EI,L
B
由力法求得：
MBA
M M
AB
3 0
EI L
B 3 i B
BA
§8-3
杆端力与杆端位移的关系
5、一端固定一端铰结单元，在B端 发生一个向下的位移 。
MAB
A
EI,L
B
△ 由力法求得：
M
BA
4
EI L EI
B
6EI L
2
BC
qL
2
12 qL
2
M AB 2 B 2 BC 未知量2个： B B C L L 12 BC杆： 可看作一端固定，一端铰结的梁， 3 FP L 2EI 在B端发生了转角 B 、以及在集 M B C 3 L B 1 6 中力作用下，杆端弯矩表达式：
位移法概述