中考数学 第一轮 系统复习 夯实基础 第六章 基本图形(二)第23讲 圆的基本性质

垂径定理：垂直于弦的直径________这条弦，并且平分弦 ______________．
(1)平分弦(不是直径)的直径________，并且________弦所对的弧． (2)平分弧的________垂直平分弧所对的弦． 答案：平分；所对的弧；(1)垂直于这条弦；平分；(2)直径
8．如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB， 垂足为D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件 可以是( B) A．AD＝BD B．OD＝CD C．∠CAD＝∠CBD D．∠OCA＝∠OCB 【解析】考查菱形的特性，A，C，D均由已知条件可以得出，并不是 判断其为菱形的必要条件．
【解析】∵E 是△ABC 的内心，∴AE 平分∠BAC 同理 BE 平分 ∠ABC，CE 平分∠ACB，∵∠CBD＝32°，∴∠CAD＝∠CBD＝32°， ∴∠BAC＝2∠CBD＝64°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－64°＝116°，
∴
∠
ABE
＋
∠ACE
＝
1 2
×116
°
＝
58
°
，
∠
BEC
＝
∠BAC
A．60° B．45° C．35° D．30°
2．(2016·丽水)如图，已知⊙O 是等腰 Rt△ABC 的外接圆，点 D 是A︵C上一 点，BD 交 AC 于点 E，若 BC＝4，AD＝45，求 AE 的长．
解：∵等腰 Rt△ABC，BC＝4，∴AB 为⊙O 的直径，AC＝4，AB＝4 2， ∴∠D＝90°，在 Rt△ABD 中，AD＝45，
(1)求证：△ADC∽△EBA； (2)如果 AB＝8，CD＝5，求 tan∠CAD 的值．
解：(1)∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE.∵A︵D＝B︵F， ∴∠DCA＝∠BAE.∴△ADC∽△EBA (2)∵A 是B︵DC的中点，∴A︵B＝
A︵C，∴AB＝AC＝8，∵△ADC∽△EBA，∴∠CAD＝∠AEB，DACB＝AACE， 即58＝A8E，∴AE＝654，∴tan∠CAD＝tan∠AEB＝AACE＝684＝58
11．如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为 2，∠ B＝135°，求A︵BC的长为__π__．
解析：第 10 题利用圆内接四边形，得出∠ABC＋∠ADC＝180°，及 ∠AOC＝2∠ADC 即可求出∠ADC 的度数；第 11 题利用圆内接四边形的 性质求出∠D 的度数，进一步求出∠AOC 的度数，再利用弧长公式求解．
2．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，点A在⊙B上．如果⊙D与 ⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于 _1_4_(_在__1_3_＜__r_＜__1_8_之__间__的__数__即__可__)_．(只需写出一个符合要求的数)
【解析】⊙O与⊙D相交，且B在⊙D内部．①若B 恰好在⊙D上，此 时BD＝13，即两圆圆心距即为⊙D最短半径；②若⊙B内切与⊙D，此 时⊙D半径最大为13＋5＝18，∴⊙D的半径长13＜r＜18.
5
作辅助线形成圆内接四边形，从而用圆周角定理以及圆内接四边形的 性质解题．
＋
∠ABE
＋
∠ACE＝64°＋58°＝122°.
与圆有关的角一般指圆周角和圆心角，这些角的计算，通常用到由角转 化为所对的弧，由弧转化为所对的角的方法．常常把圆中直径与90°的 圆周角联系在一起作辅助线：其作用一是构造直径上的圆周角，二是构 造同弧所对的圆周角．
7．(原创题)⊙O 的半径为 1，弦 AB＝ 2，弦 AC＝ 3，求∠BAC 度 数．
5．(2017·预测)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB＝70°，AB ＝AC，则∠ABC＝__3_5_°___．
【解析】∵⊙O 是△ABC 的外接圆，∴∠C＝12∠AOB＝35°；又∵AB ＝AC，∴∠ABC＝∠C ＝35°.
6．(2017·预测)如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点 D，连结 BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，求∠BEC 的度数__122_°_．
第23讲 圆的基本性质
1．理解圆的有关概念和性质，了解弧、弦、圆心角的关系，了解点 与圆的位置关系．
2．探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆． 3．掌握垂径定理及其推论，并能够解决简单的实际问题． 4．理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系，直径所对圆周角的特征 ，以及圆内接四边形的概念、性质等．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC 边相切于点E，试求⊙O的半径．
解：连结 EO 并延长交 AD 于点 H，连结 AO，∵四边形 ABCD 是 矩形，⊙O 与 BC 边相切于点 E，∴EH⊥BC，即 EH⊥AD.∴根据垂径 定理，AH＝DH.∵AB＝8，AD＝12，∴AH＝6，HE＝8.设⊙O 的半径为 r，则 AO＝r，OH＝8－r.在 Rt△OAH 中，由勾股定理得(8－r)2＋62＝r2， 解得 r＝245，∴⊙O 的半径为245
【解析】连结 OA，过 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F，根据垂径 定理求出 AE，FA 值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB 和∠OAC， 然后分两Βιβλιοθήκη Baidu情况求出∠BAC 即可．
解：有两种情况：①如图 1，连结 OA，过 O 作 OE⊥AC 于 E，OF ⊥AB 于 F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，由垂径定理得 AE＝CE＝ 23， AF＝BF＝ 22，cos∠OAE＝OAEA＝ 23，cos∠OAF＝OAAF＝ 22，∴∠OAE ＝30°，∠OAF＝45°，∴∠BAC＝30°＋45°＝75°；②如图 2，连 结 OA，过 O 作 OE⊥AC 于 E，OF⊥AB 于 F，∴∠OEA＝∠OFA＝90 °，由垂径定理得 AE＝CE＝ 23，AF＝BF＝ 22，cos∠OAE＝OAEA＝ 23， cos∠OAF＝OAAF＝ 22，∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，∴∠BAC＝45 °－30°＝15°
6 A. 2 B. 2 C. 3 D．2 【解析】连结 BD，AC，OF，AC 交 EF 于点 I，设⊙O 半径为 r，则 OF＝r，∵AO 是∠EAF 的平分线，∴∠OAF＝30°，∵OA＝OF，∴∠ OFA＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°＋30°＝60°，∴IF＝r·sin60°＝ 23r，∴EF＝ 23r×2＝ 3r. ∵OA＝2OI，∴OI＝21r, CI＝r－12r＝12r，∴GBDH
＝CCOI ＝12，∴GH＝12BD＝12×2r＝r，∴GEFH＝ r3r＝ 3.故选 C.
4．(2015·台州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上， EC＝BC＝DC.
(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数． (2)求证：∠1＝∠2. 解：(1)∵BC＝DC，∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°， ∴∠BAC＝∠CAD＝39°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78° (2)∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB.∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝ ∠2＋∠BAC，∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC＝∠CBD， ∴∠1＝∠2
1．圆的概念：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一 周，________所经过的封闭曲线叫做圆，定点O为________，线段OP叫 做________．
2．点与圆的位置：一般地，如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到 圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：
(1)d<r⇔____________；(2)d＝r⇔____________； (3)d>r⇔____________． 答案：1.点P；圆心；半径 2.(1)P在圆内；P在圆上；(3)P在圆外
注意圆的特征，圆周上的点到圆心距离都相等．
3．(2017·预测)如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于( B )
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
4．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋ ∠E＝__2_1_5_°____．
解析：第3题根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等 边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF＝∠AOF＝30°，根 据圆周角定理计算即可；第4题连结BD，将∠B分成两个角．
1．圆的确定：__________________的三个点确定一个圆． 2．圆是轴对称图形，其对称轴是________；圆是中心对称图形， ________是它的对称中心． 3．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的________的一半 ． ①直径所对圆周角是________；90°的圆周角所对的弦是________． ②在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角________，都等于该弧所对 的圆心角的________，相等的圆周角所对的弧相等． 答案：1.不在同一条直线上 2.经过圆心的直线；圆心 3．圆心角；①直角；直径；②相等；一半
1．圆内接四边形概念：如果一个四边形的各个顶点在________，那 么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的________．
2．圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角________． 答案：1.圆上；外接圆 2.互补
12．(2017·预测)如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O，A 是B︵DC的 中点，AE⊥AC 于 A，与⊙O 及 CB 的延长线交于点 F，E，且B︵F＝A︵D.
中考题型以选择题、填空题为主： 1．利用垂径定理及其推论来证明线段相等、角相等、弧相等、垂直 关系，或者利用圆的半径、弦长、圆心角、弦心距和弓形高与这几者之 间的关系来设计计算题或作图题． 2．在同圆中，借助基本图形，通过圆心角、圆周角的转化来设计计 算题，往往与平行线、三角形结合在一起．
1．(2016·绍兴)如图，BD 是⊙O 的直径，点 A，C 在⊙O 上，A︵B ＝ B︵C，∠AOB＝60°，则∠BDC 的度数是( D )
1．(原创题)木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑 时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木 杆中点P随之下落的路线，其中正确的是( D)
【解析】先连结 OP，易知 OP 是 Rt△AOB 斜边上的中线，根据直角 三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 OP＝21AB，由于木杆不管如 何滑动，长度都不变，那么 OP 就是一个定值，那么 P 点就在以 O 为圆 心的圆弧上．故选 D.
AB＝4 2，∴BD＝258，∵∠D＝∠C，∠DAC＝∠CBE，∴△ADE∽△BCE， 设 AE＝x，∵AD∶BC＝45∶4＝1∶5，∴BE＝5x，∴DE＝258－5x，∴CE＝28 －25x，∵AC＝4，∴x＋28－25x＝4，解得 x＝1，即 AE＝1
3．(2015·金华)如图，正方形 ABCD 和正△AEF 都内接于⊙O，EF 与 BC，CD 分别相交于点 G，H，则GEHF 的值是( C )
画弦心距是圆中常见的辅助线，半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三 角形是研究与圆有关问题的主要思路，通常结合“勾股定理”将有关弦 长、半径的实际计算问题转化为方程解决．
10．(2017·预测)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O, 四边形 ABCO 是平 行四边形，则∠ADC＝ ( C )
A．45° B. 50° C. 60° D. 75° 【解析】∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠AOC＝∠ABC，∵∠AOC ＝2∠ADC，∴∠ABC＝2∠ADC，又∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC ＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，故选C.