初中数学根与系数关系的应用及拓展专题辅导

根与系数关系的应用及拓展

崔现昌

一元二次方程不仅是初中的重点知识，而且也是学生后续学习不可缺少的，其中根与系数的关系应用十分广泛，现就应用及拓展做简单介绍.

应用一、已知方程及方程的一根求另一根

例1 已知方程06kx x 52

=-+的一根是2，求它的另一根及k 的值。

解：设方程的另一根为1x ，则 5/3x ,5/6x 211-=-=.

又因为5/k 25/3-=+-，

所以7k -=.

思考：如果条件变为0k x 6x 52=-+的一根是2，如何用根与系数的关系求另一根和

k 的值.

应用二、求根的代数式的值

例2 已知一元二次方程01x 3x 2

=+-的两根为βα,，求β+α/1/1的值. 解：因为1,3=β⨯α=β+α，

所以3/)(/1/1=β⨯αβ+α=β+α.

中考链接：（2004年宁夏）已知一元二次方程01x 3x 2

=++的两根为21x x 、，那么)x 1()x 1(21+⨯+的值等于（ ）

答案：1-.

奥数链接：（2002年全国）设21x x 、是关于x 的一元二次方程2a ax x 2

=++的两个实数根，则)x 2x )(x 2x (1221--的最大值为______. (提示：由方程判别式

0≥∆知a 取全体实数，

（18a 9a 2)x 2x )(x 2x 21221-+-=--）看作a 的二次函数，求顶点纵坐标)

应用三、求作新的一元二次方程

例3 已知βα、是方程02x 7x 22

=+-的两根，求作两根为β+αβ+α/1,/1的一元二次方程.

解：由题意知：1,2/7=β⨯α=β+α.

则)/1()/1(β+α+β+α

7

2/72/7/)()(=+=β⨯αβ+α+β+α= 4

2112)/(1)

/1()/1(=++=+β⨯α+β⨯α=β+α⨯β+α

所求新方程为04x 7x 2=+-.

中考链接：（2006年黄冈市）若方程02x 3x 2

=--的两个实根为βα,，那么下列说法正确的是（ ）

（A ）3-=β+α

（B ）β≠α

（C ）2/3/1/1=β+α

（D ）以22βα、为根的一元二次方程是04y 13y 2

=+- 答案：（B ）、（D ）

应用四、求方程中字母的值

例4 已知方程01k 2kx x 22

=+-+的两个实数根的平方和为29/4，求k 的值. 解：设方程的两根为21x x 、，则

4

/292/)1k 2(2)2/k (x x 2)x x (x x 2212212

221=+-⨯--=-+=+

解得3k ,11k 21-==.

把3k ,11k 21-==代入

)1k 2(8k 2+--=∆，

当3k 2-=时，0<∆舍去，所以11k =.

总结：求出的k 的值要保证判别式0≥∆所以要检验.

中考链接：（2007年淄博市）已知关于x 的一元二次方程03k 4kx x 22=-++，设

方程的两个实数根分别为21x ,x ，且满足2121x x x x =+，则k 的值是（ ）

（A ）1-或4

3 （B ）1- （C ）4

3 （D ）不存在 答案：（C ）.

奥数链接：（2005年山东省）一元二次方程0q px x 2=++的两个根分别为q ,p ，则q p ⨯等于（ ）

（A ）0

（B ）1 （C ）0或2-

（D ）0或1

答案：（C ）. 拓展一 若实数)n m (n m ≠、分别满足等式0c bn an ,0c bm am 22=++=++则

可以把n m 、看作是一元二次方程0c bx ax 2=++的两个根，从而用

a /c mn ,a /

b n m =-==去解决问题.

例5

已知n m ≠且满足1m 2m 2=-和1n 2n 2=-，求代数式n /m m /n +的

值。 解：因为n m ≠，所以可以把n m 、看作是一元二次方程01x 2x 2=--的两个根.

则1mn ,2n m -==+，

所以n /m m /n +

[]

.

6mn mn 2)n m (2-=÷-+= 中考链接：（2003年青岛市）已知01,0122=-β+β=-α+α且β≠α，则β+α+β⨯α的值为（ ）

奥数链接1：（2001年全国）如果b ,a 为质数，且0m b 13b ,0m a 13a 2

2=+-=+-，那么b /a a /b +的值为（ ）

（A ）123/22 （B ）125/22或2

（C ）125/22 （D ）123/22或2

答案：（B ）.

点拨：当b a =时，b ,a 就成了一元二次方程0m x 13x 2

=+-的同一个根，那么代数式211b /a a /b =+=+，所以题设中没有b a ≠这个条件时，要分两种情况讨论.

奥数链接2：（1999年全国）设实数t ,s 分别满足019t 99t ,01s 99s 1922=++=++，

并且1st ≠，求t /)1s 4st (++的值.

点拨：因为0t ≠，所以第二个等式可以变形为：01t /99t /192=++.又因为1st ≠，

所以t /1,s 是一元二次方程01x 99x 192=++的两个不同的实根.所以t /s 4t /1s t /)1s 4st (++=++.

拓展二 若能根据已知条件构造q mn ,p n m ==+的式子，那么可以把n m 、看作是一元二次方程0q pz z 2

=+-的两个根，再利用判别式进行有关的运算或证明.

例6 （2004年全国竞赛题）实数z y x 、、满足3zx yz xy ,5z y x =++=++，则z 的最大值是（ ）

解：因为z 5y x -=+， ,

3z 5z )z 5(z 3)

y x (z 3xy 2+-=--=+-=

所以y x 、是关于t 的一元二次方程03z 5z t )z 5(t 22=+-+--的两实根.

因为3z 5z (4)z 5(22+---=∆

,0≥

即 ,013z 10z 32≤--

,0)1z )(13z 3(≤+-

所以3/13z ≤，故z 的最大值为13/3.

奥数链接：（2007年全国）已知c ,b ,a 满足c b a ≤≤且1abc ,0ca bc ab ==++，求最大的实数k 使得不等式|c |k |b a |≥+恒成立.

提示：由已知条件得到0c /1b a 2<-=+，0c /1ab >=，构造一元二次方程求c 的范围（k 最大值为4）.

根与系数的关系在各地的中考和全国初中数学竞赛中几乎历年都能考查到，类型比较多，方法也比较灵活，在这里做一些简单的阐述，希望能对同学们有些帮助.