几类特殊N阶行列式的计算
n阶行列式的计算方法
n阶行列式的计算方法n 阶行列式的计算方法1．利用对角线法则“对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含2项，三阶行列式每项含3项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。
例1计算二阶行列式4231=D 。
解：223414231?=×?×==D 例2计算三阶行列式210834021??=D 。
解：)1(812420)3(0)1(400822)3(1210834021?××?××?×?×??××+××+×?×=??=D 14=2．利用n 阶行列式的定义n 阶行列式==nnn n nn a a a a a a a a a D 212222111211nn np p p p p p a a a ??212121)()1(∑?τ其中)(21n p p p ?ττ=，求和式中共有!n 项。
显然有上三角形行列式nnnn nn a a a a a a a a a D ?? 221122211211==下三角形行列式nnnnn n a a a a a a a a a D 221121222111==对角阵nnD λλλλλλ??2121==另外nn n nD λλλλλλ??212)1(21)1(??==例3计算行列式001002001000000n D n n=解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n =?.该项列标排列的逆序数t （n －1n －2…1n ）等于(1)(2)2n n ??，故(1)(2)2(1)!.n n n D n ??=?3．利用行列式的性质计算性质1行列式与它的转置行列式相等,即TD D =。
注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和求解线性方程组。
行列式的计算方法有多种，下面将详细介绍几种常用的计算方法。
一、按定义式计算行列式：按照定义式计算行列式是最基本的一种方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记作det(A)，可以按照以下公式进行计算：det(A) = Σ(−1)^σ(π_1,π_2,…,π_n)a_{1π_1}a_{2π_2}⋯a_{nπ_n}σ(π_1,π_2,…,π_n)是排列(π_1,π_2,…,π_n)的符号，a_{iπ_i}表示矩阵A的第i行第π_i列的元素，Σ表示对所有可能的排列进行求和。
按照定义式计算行列式需要对所有可能的排列进行求和，计算量较大，对于较大阶的矩阵来说并不实用。
我们通常会采用其他方法来计算行列式。
计算行列式时，我们可以利用其性质来简化计算过程。
行列式有一些基本的性质，如行列式中某一行（列）所有元素都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k；行列式中某一行（列）元素乘以某个数加到另一行（列）上去后，行列式的值不变等。
利用这些性质，我们可以通过变换行列式中的元素或行列式本身，从而简化计算过程。
对于一个3阶矩阵A，我们可以利用做行列变换将其变换为上三角矩阵，这样计算其行列式就会变得非常简单。
具体地，我们可以通过交换行或列，将矩阵A变换为上三角矩阵，然后利用上三角矩阵的行列式的性质求解行列式的值。
三、按矩阵的余子式和代数余子式计算行列式：对于一个n阶矩阵A，其(i,j)位置的余子式M_{ij}定义为将A的第i行第j列划去后，剩下的元素按原来的次序组成的(n-1)阶行列式。
即M_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})其中A_{ij}是将矩阵A的第i行第j列元素划掉后得到的(n-1)阶子式矩阵。
矩阵的代数余子式A_{ij}定义为A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}。
计算n阶行列式的若干方法举例
9．拆开法 例14 计算n阶行列式
1 x 1y 1 D n
2 x 1y 2
nx 1y n nx2yn nxn yn
1x2 y 2x2 y2 1 1xn y 2xn y2 1
a 0 D 0 1 0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 1 0 0 a
解： 按第一行展开，得
a 0 D a 0 a 0 0 0 0 0 0 0 a 1
1 n
0 a 0 0 0 a 0 0 0 1 0 0
0 0 a 0
再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展 开，则可得到
1 12 31
112 31
D
0 2 0 4 1 0 21 53 00 2 2 2
0 2 0 4 1 02 0 41 4 2 00 10 2 0010 2 0 21 53 00 2 2 2 00 112 00 2 22
1 12 31 1 12 31 4 3 03 0 4 1 02 0 4 1 5 2 3 5 2 4 1 2 1 1 6 1 2 . 00 10 2 00 10 2 00 0 10 00 0 10 00 0 2 6 00 0 0 6
0 1 0
0 0 x a2
0 0 1 a1 x
an1 an2
例13 计算行列式
cos 1 D n 0 0 0 1 2cos 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2cos
2cos
2cos
cos 1 1 2 cos Dn 2 cos Dn1 (1)
2 xn xn
n 1 n2 n 1 n2 x x x x 1 1 2 2
行列式的计算方法及一些特殊行列式的计算
～
Ｄ
ｘ 一１ … ０
０
一
●
Ｏ Ｄ＝ ０
ｌ Ｏ
Ｏ … ０ １ … ０
一
●
０
Ｏ …
＿ ．
。 ２
■■
加
行 列 式 的 计 算 方 法 及 一 些 特 殊 行 列 式 的 计 算
陈 洁
（ 湖北 工 业 大 学 理 学 院 ， 湖北 武汉 摘
一
４ ３ ０ ０ ６ ８ ）
１ ＋ａ
引 Ｉ １
１ ｌ ＋ａ ２
● ● ●
０
１ １
● ● ●
递 推 法 是 根 据 行 列 式 的性 质 ， 建 立 阶行 列 式 和 阶 行 列 式 的关 系．
４ ３
●墨
１ ２ ３ … ｎ
２
１
０ … ０ ｌ … Ｏ
例５ ． 计 算 行 列 式
Ｘ
Ｏ 例７ ． 计算Ｄ ＝ ３ ｎ
一
要： 行 列 式 的 计 算 是 线 性 代 数 的 基 础 和 重要 内容 之
本 文 通过 一 些 具 体 的 例 子 ， 介 绍 了 计 算 行 列 式 的 一般 方 法 ７ ２ ． 一 些特 殊行 列 式 的计 算．
．
例３ ． 计算行列式Ｄ ＝
●
１
● ●
关键 词 ： 行 列式 降 阶 法 升 阶 法
一
１
１
、
１ ． 化为“ 三 角形 ”
Ｉ
化为 “ 三角形 ” 是利 用行列式 的性质 ， 把 所 求 行 列 式 的 主
对 角 线 下 方 的 元 素 全化 为零 ．
３
n阶行列式的计算方法
n阶行列式的计算方法姓名：学号：学院：专业：指导老师：完成时间：n阶行列式的计算方法【摘要】本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，提供了几种计算行列式的常用方法。
例如：利用行列式定义直接计算法，根据行列式性质化为三角形列式法，按一行（列）展开以及利用已知公式法，数学归纳法与递推法，加边法，利用多项式性质法，拉普拉斯定理的应用。
但这几种方法之间不是相互独立，而是相互联系的.一个行列式可能有几种解法，或者在同一个行列式的计算中将同时用到几种方法以简便计算。
这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化。
【关键词】 n阶行列式行列式的性质数学归纳法递推法加边法Some methods of an n-order determinant calculation【Abstract】In this paper, considering the characteristics ofdeterminant, it provides several commonly used methods to calculate the determinant by applying the properties of the determinant . For example ：The direct method of calculation by using the determinant definition . The method of changing the determinant into a triangular determinant According to the properties of the determinant. The method of expanding the determinant by line (column) .using the known formula , the mathematical induction, recursive Method , adding the edge method, using the properties of polynomial , the application of Laplace theorem. These methods are not independent of each other ,but interrelated. There is probably that a determinant has several solutions, or in the calculation of the same determinant there will be used several methods to calculate simply. This requires us to grasp several solution of the determinant，and to find the easiest ways after, so simplify complex issues .【Key words】n-order determinant the property of the determinant the mathematical induction adding the edge method目录1引言 (1)2 计算行列式的基础方法 (2)2.1利用行列式的定义来计算....................... 错误!未定义书签。
n阶三角行列式的计算
n阶三角行列式的计算要计算n阶三角形矩阵的行列式，需要使用行列式的定义和递归的方法。
行列式是一个数，它由矩阵中的元素决定。
一个n阶的三角形矩阵具有以下形式：```a11a12a13 (1)0a22a23 (2)00a33 (3)...............0 0 0 ... ann```其中，对角线上的元素a11, a22, ..., ann 称为主对角线元素。
零元素的个数会随着对角线的位置增加而增加。
为了计算这种矩阵的行列式，可以使用以下公式：det(A) = a11 * det(A11)其中，A11是由删除矩阵的第一行和第一列得到的n-1阶矩阵。
例如，对于一个3阶三角形矩阵：```a11a12a130a22a2300a33```它的行列式可以通过以下方法计算：det(A) = a11 * det(A11)=a11*(a22*a33-a23*0)=a11*a22*a33因此，对于一个n阶的三角形矩阵，它的行列式可以通过递归地计算剩余的n-1阶矩阵的行列式乘以主对角线元素的乘积来计算。
接下来，我们将详细解释如何递归计算三角形矩阵的行列式。
1.首先，我们需要确定递归的结束条件。
对于一个1阶的三角形矩阵（即只有一个元素的矩阵），它的行列式就等于这个元素本身：det(A) = a112.对于一个n阶的三角形矩阵，我们可以使用以下公式来计算它的行列式：det(A) = a11 * det(A11)其中，A11是剩余的n-1阶矩阵。
3.为了计算A11，我们需要删除矩阵的第一行和第一列，得到一个n-1阶的矩阵。
我们可以使用以下方法来计算它的行列式：det(A11) = a22 * det(A22)其中，A22是剩余的n-2阶矩阵。
4.通过不断递归地应用这个过程，我们最终会得到一个1阶矩阵的行列式，这个过程称为行列式的展开。
展开后，我们可以得到一个由所有主对角线元素的乘积构成的表达式。
例如，对于一个3阶三角形矩阵，展开的过程如下：det(A) = a11 * det(A11)= a11 * (a22 * det(A22))= a11 * a22 * det(A22)最后，我们可以计算出A22的行列式，也就是一个1阶矩阵的行列式：det(A22) = a33因此，最终的行列式为：det(A) = a11 * a22 * a33通过以上的步骤，我们可以递归地计算n阶三角形矩阵的行列式。
N阶行列式的计算
例4： = = =…
练习：(1) 【160】(2) 【 】
(5)逐行（列）相加（减）（适用于行列式相邻两行相加减后有共同特点时）
例5： =…=0
例6：
= 。
练习： 【 】
(6)拆项计算行列式（适用于行列式中的行（列）元素是两项之和）
例7： = + =
题设行列式正是 ，即y的系数，展开(1)式，得到y的系数为
所以： = 。
7、观察一次因式法
例13：计算 =
解：当 时，第一、第二行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式， ，当 时，第三、第四行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式 。
由于 中关于 的最高次数是4，所以
中含 的项是 ，
比较上面两式中 的系数，得 ，故 。
N阶行列式的计算
N阶行列式的计算方法主要有以下几种：
1、直接按定义计算：（适用于行列式中非零元素非常少的情形）
例1：计算 = 解：由定义知 = ，因为 ，所以 的非零项中 只能取2或3，同理，有 = = =0，可推出 只能取2或3，又因为 要求各不相同，故 项中至少有一个必须取零，所以 =0.
练习：用行列式的定义计算下列行列式：【1， ， 0， 0】
例14：解方程 =0
解：当 =0,1,2， 时，行列式的两列对应元素相等，行列式的值为0，因此左边行列式可写成 ，
于是原方程变为 ，
所以原方程的解为 。
8、利用数学归纳法进行证明或计算。
例15：证明n阶范德蒙行列式的正确性
+ =0练习:证明 =
3、降阶法：利用行列式按行（列）展开定理进行降阶，这种方法适用于行列式中某一行（列）非零元素较少。
N阶行列式的几种常见的计算方法
·１２·
山 西 大 同 大 学 学 报（自 然 科 学 版）
２００８ 年
就有 Ｄｎ ＝［ａ＋（ｎ－ １）ｂ］×
１ ｂ ｂ …ｂ ０ ａ－ ｂ ０ … ０ ０ ０ ａ－ ｂ … ０ ＝ …… ……… ０ ０ ０ … ａ－ ｂ ［ａ＋（ｎ－ １）ｂ］（ａ－ ｂ）ｎ－１．
３ 降阶法
运 用 行 列 式 按 行（ 列） 展 开 的 相 关 定 理 使 高 阶 行列式转化为低阶行列式来计算其值．
２ 化为三角形的方法
运用行列式的性质把行列式变换成位于主对 角线一侧的所有元素全等于零， 这样得到的行列式 等于主对角线上元素的乘积， 对于次对角线的情
ｎ（ｎ－ １）
形， 行列式的值等于（ － １） ２ 与次 对角线上所 有元
素的乘积． 例 ２． 计算 ｎ 阶行列式 ａ ｂ ｂ …ｂ ｂ ａ ｂ …ｂ Ｄｎ ＝ ｂ ｂ ａ … ｂ …………… ｂ ｂ ｂ …ａ ．
利用范德蒙行列式的结果计算 ｎ 阶行列式． 例 ６． 计算 ｎ 阶行列式
２
ｎ
１＋ｘ１ １＋ｘ１ … １＋ｘ１
２
ｎ
Ｄｎ ＝
１＋ｘ２ …
１＋ｘ２ …
… …
１＋ｘ２ …
２
ｎ
１＋ｘｎ １＋ｘｎ … １＋ｘｎ ．
解： 加边得
１ ０ ０ …０
１ Ｄｎ ＝ １
２
ｎ
１＋ｘ１ １＋ｘ１ … １＋ｘ１
２
ｎ
１＋ｘ２ ＋ｘ２ … ＋ｘ２
参考文献 ［１］张禾瑞， 郝新． 高等代数［Ｍ］． 北京： 高等教育出版社， １９８３． １３０． ［２］北京大学数学系． 高等代数［Ｍ］． 北京： 高等教育出版社， １９８８． ［３］王向东， 周士藩． 高等代数常用方法［Ｍ］． 北京： 科学出版社， １９８９． １１． ［４］毛纲源． 线性代数解题方法技巧归纳［Ｍ］． 武汉： 华中理工大学出版社， ２０００． ３４－ ４０． ［５］古家虹． 关于行列式的计算方法［Ｊ］． 广西大学学报（自然科学版）， ２００５， ３０（增刊）： １７４－ １７６．
N阶行列式的计算方法
N阶行列式的计算方法行列式是矩阵的一个特征值，在线性代数中占有重要地位。
它可以帮助我们解决求解线性方程组和矩阵的逆等问题。
其中，N阶行列式的计算方法是非常重要并且复杂的。
在这篇文章中，我们将详细解释N阶行列式的计算方法，包括定义、性质和计算公式等内容。
一、定义行列式是一个正方形矩阵的一个数值特征，用来描述该矩阵的线性无关性和相似性，在代数中被广泛应用。
假设A是一个N阶方阵，即A为一个N×N的矩阵。
那么A的行列式用det(A)或者，A，表示，它可以通过递归定义来求解。
当N=1时，det(A)=，A，=a11，即一个1×1矩阵的行列式为这个元素本身。
当N=2时，det(A)=，A，=a11×a22-a12×a21，即一个2×2矩阵的行列式为主对角元素的乘积减去副对角线元素的乘积。
当N>2时，行列式的定义是一个递归定义，如下所示：det(A)=，A，=Σ（-1）^i+ja1i·det(M[ij])其中M[ij]是A删去第i行第j列后得到的N-1阶子式，i表示剩下的元素里的其中一行，j表示剩下的元素里的其中一列，i+j为奇数时前面带负号。
二、性质1.如果矩阵A的两行（列）互换位置，那么行列式的值取相反数。
det(A)=，A，=-，A2.如果矩阵A的其中一行（列）的元素都分别是两个矩阵B和C对应行（列）的元素之和，那么行列式的值是这两个矩阵行列式之和。
det(A)=，A，=，B，+，C3.如果矩阵A的其中一行（列）的元素都等于一个数k与另一个矩阵B对应行（列）的元素相乘，那么行列式的值等于k乘以矩阵B的行列式。
det(A)=，A，=k，B4.如果矩阵A的其中一行（列）的元素都是同一个矩阵B对应行（列）的元素的倍数，那么行列式的值等于矩阵B的行列式的N次方。
det(A)=，A，=，B，^N5.如果矩阵A的其中一行（列）是两个矩阵B和C对应行（列）相加或者相减，那么行列式的值是这两个矩阵的行列式之差。
几种特殊类型行列式及其计算(修正版)
引言行列式不仅是高等代数的重要内容之一，也是学习其它学科的基础，成为很多学科和领域相当重要的工具，例如在物理学、化学、运筹学等探讨最优化方案时，正是因为成功的应用了行列式来解方程组，才使得问题简单化了，由此可见行列式的计算是一个重要的问题，但同时它也是个比较复杂的问题，特别是高阶行列式，是工程计算中不可或缺的一部分，所以有必要深入研究和归纳高级行列式的计算方法.对这一重要问题，很多文献资料已经做了一些讨论，并给出了相应的结论，如文献[3]讨论了行列式的基本计算方法和技巧，给出了“化零”和“降阶”的基本思想，即先利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式中出现较多零元素，文献[1][10]等具体概括了一些有相同规律的行列式的计算方法，如三线型行列式、两三角型行列式、范德蒙德行列式等.文献[2][9]等通过一些实例的研究，给出了一些重要方法如化三角形法、降阶法、加边法、递推法、数学归纳法等.大部分行列式可以通过变换化为具有某种特点的行列式，进而用相对简便的方法进行计算.本文在上述文献的基础上，首先根据行列式的形态特征对行列式进行分类，总结出几种有某种特点的特殊行列式，再根据不同类型行列式的特点给出相应的计算方法.这样使高阶行列式的计算得到进一步的归纳总结.具有一定的理论意义及应用价值.特别声明:本文是根据原文档修正而来，只为弥补前人的一点笔误，不涉及版权问题；另外本人从各种线性代数资料对比发现，此文档特别适合解决江西高校出版社出版的第一版线性代数教材的第一章课后习题修正人：刘传钦学习单位：东华理工大学修正时间：2017年9月17日1 行列式的定义及性质1.1 定义[3]n 级行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积1212n j j nj a a a (1)的代数和,这里12n j j j 是1,2,,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成()()121212111212122212121n n nn j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑这里12nj j j ∑表示对所有n 级排列求和.1.2 性质[4]性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变.性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外.性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同.性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零.性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.2 行列式的分类及其计算方法2.1 箭形（爪形）行列式这类行列式的特征是除了第1行(列)或第n 行(列)及主(次)对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上(下)三角形行列式来计算.即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零.例1 计算n 阶行列式()1232311110010001n nna a D a a a a a =≠.解 将第一列减去第二列的21a 倍，第三列的31a 倍第n 列的1na 倍，得1223111110000000n n na a a a D a a ⎛⎫---⎪⎝⎭=1221nni i i i a a a ==⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∏. 2.2 两三角型行列式这类行列式的特征是对角线上方的元素都是c ,对角线下方的元素都是b 的行列式，初看，这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当b c =时可以化为上面列举的爪形来计算，当b c ≠时则用拆行(列)法[9]来计算.例2 计算行列式123n na c c cb ac c D bb ac bbba =.解 当b c =时123n na b b b b a b b D bb a b bbba =. 将第2行到第行n 都减去第1行，则n D 化为以上所述的爪形，即11213100000n n a b b b b a a b D b a a b b a a b--=----.用上述特征1的方法，则有()11212131100000000ni i n n a b ba abb a a b D b a a b b a a b=-----=----∑()()()()()11111nni i i n i i a b b a b a b a b a b-+===-+----∑∏. 当b c ≠时，用拆行(列)法[9]，则112233000n nn x a a a x a a a b x a a bx a a D bb x a b b x a b b b x bb b b x b ++==++-112233000n x a a x a a a b x a b x a ab b x b b x a bbbx bbbbb=+-()1211000n n n x a ab a x a ax b D a b a b a x a a b-----=+----.化简得()()()()1211n n nn D b x axa xax b D --=---+-. ()1而若一开始将n x 拆为n a x a +-，则得()()()()1211n n nn D a x bxb xbx a D --=---+-. ()2由()()()()12n n x b x a ⨯--⨯-，得()()111nn n i ji j D a x b b x a a b ==⎡⎤=---⎢⎥-⎣⎦∏∏. 有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列式进行计算.例3 计算行列式()2n d b b b c xa aD n ca x a caax=≥. 解 将第一行a b ⨯，第一列ac⨯，得22n a d a a a bc a x a a bc D aa x a a aaax=.即化为上()21-情形，计算得()()()()121n n n D d x a n ad bc x a --=-+---.而对于一些每行(列)上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公共因子的，则用升阶法[8]来简化.例4 计算行列式2112122122212111n n n n n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=+.解 将行列式升阶，得1221121221222121010101n n n n n n n x x x x x x x x D x x x x x x x x x x +=++. 将第i 行减去第一行的i x ()2,,i n =倍，得1212110001001n n nx x x x D x x -=--.这就化为了爪形，按上述特征1的方法计算可得212110100001001ni n i n x x x x D =+=∑ 211ni i x ==+∑.2.3 两条线型行列式这类行列式的特征是除了主(次)对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元素全为0的，自然也直接展开降阶计算.例5 计算行列式112211n n n nna b a b D a b b a --=.解 按第一列展开可得()2213322111111111nn n n n n n nn n a b b a b a b D a b a b a b a a b +------=+-()112121n n n a a a b b b +=+-.例6 计算行列式111121111nnn n n n n nna b a b a b D c d c d c d ----=.解 方法1 直接展开可得()11111111122111111110010n n n n nn nn n n n n nna b a b a b a b D a c d b c d c d c d d c ----+----=+-()()11112111111111111111n n n n n n nn n n n n n a b a b a b a b a d b c c d c d c d c d -----+----=--()()21n n n n n a d b c D -=-.则()()()()()()2111121221nn n n n n n n n n n n n n i i i i n n i D a d b c D a d b c a d b c D a d b c ------==-=--==-∏.方法 2 (拉普拉斯定理法[3]) 按第一行和第2n 行展开得()11121211211111n n n nnn n nnn n a b a b a b D c d c d c d --+++--=-()()21n n n n n a d b c D -=-. 其余的同法1.2.4Hessenberg型行列式这类行列式的特征是除主(次)对角线及与其相邻的斜线，再加上第1或第n 行外，其他元素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行(列)元素化简到只有一个非零元素，以便于这一行或列的展开降阶计算.例7 计算行列式123111000022002200011n n n D n n n n---=----.解 将各列加到第一列得()123120100022022000011n n n n n D n nn n+---=----. 按第一列展开得()1000220122200011n n n D n n n n --+=----()()()111!(1)(2)(1)122n n n n -++=---=-.2.5 三对角型行列式形如n a b c abD cb ca=的行列式，这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外，其他元素均为零，这是一递推结构的行列式，所有主子式都有同样的结构，从而以最后一列展开，将所得的1n -阶行列式再展开即得递推公式. 对这类行列式用递推法[5].例8 计算行列式n a b c a bD cb ca=.解 按第一列展开有12n n n D aD bcD --=-解特征方程20x ax bc -+=得再将各列加到第一列(重复操作)221244,22a a bc a a bc x x +---==.则()()11121212,n n nx x D x x x x ++-=≠-.例9 计算行列式95499549n D =.解 按第一行展开得19200n n D D --+=.解特征方程得124,5x x ==.则1145n n n D a b --=+.分别使1,2n =得16,25,a b =-=则1154n n n D ++=-.2.6 各行(列)元素和相等的行列式这类行列式的特征是其所有行(列)对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有行(列)加到第一行(列)或第n 行(列)，提取公因式后，再把每一行(列)都减去第一行(列)，即可使行列式中出现大量的零元素.例10 计算行列式111222111n nnna a a a a a D a a a ++=+.解 将第2行到第n 行都加到第1行，得11122211111n n nn nnna a a a a a a a a D a a a ++++++++++=+()2221111111n n n n a a a a a a a a +=++++()2110010101n na a a a =+++()11n a a =+++.2.7 相邻两行(列)对应元素相差1的行列式这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行(列)元素相差1的行列式，对这类行列式，自第一行(列)开始，前行(列)减去后行(列)，或自第行n (列)开始，后行(列)减去前行(列)，即可出现大量元素为1或1-的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素.若相邻两行(列)元素相差倍数k ，则前(后)行(列)减去后(前)行(列)的k -倍，可使行列式出现大量的零元素.例11 计算行列式122110132210432340112310n n n n n n n D n n n n n n ------=------. 解 依次用前行减去后行，可得1111111111111111111112310n D n n n ------=-------.现将第1列加到第2列至第n 列，得每一列都减去第一按第一行展开10000120001220012220123241n D n n n n n ------=--------()221n n -=--.例11 计算n 阶行列式221132214323423111111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a aa a a ----------=.解 这是相邻两行(列)相差倍数a ，可采用前行减去后行的a -倍的方法化简得23110000010000010000101nnn n n n a a a D a aaaa ----=-()11n n a -=-.2.8 范德蒙德型行列式这类行列式的特征是有逐行(列)元素按方幂递增或递减，对这类行列式可以转化为范德蒙德行列式来计算.例12 计算行列式1111111111222222111111111nn n n nn n nn n n n n nn n nn n n n n n a a b a b b a a b a b b D a b a a b a b b ----+--++++++=.解 将第i 行提出n i a ，得111122112211111111nnn nn i i nn n n n b b a a b b D a a a b b a a ++=++++⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪=⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∏()11iji j i j n a bb a ≤≤≤+=-∏.结束语实际上在行列式的计算中，不同题目可以有相同解法，相同题目可以有不同的方法，特别指出的是还有很多其他不宜归纳为某种特征的行列式，即可能是以上几种的综合变形，可能需要多种方法相结合来计算，这就需要在掌握以上基本行列式的基础上认真观察，一步一步简化所要计算的行列式，这里就不一一列举了.参考文献[1]胡适耕,刘先忠.高等代数.定理.问题.方法[M].北京：科学出版社,2007,23-48.[2]张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].高等教育出版社,1999,38-48.[3]王萼芳,石生明.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社,2003,50-89.[4]徐仲,陆全等.高等代数考研教案[M].西北工业大学出版社,2007,45-86.[5]李晓琴.用“分拆法、参量法、分解法”计算行列式[J].甘肃高师学报,2008,(6):8-12.[6]李佐根.行列式的常用计算方法[J].郴州师专学报,1987,(7):6-13.[7]胡乔林.关于行列式的定义及其计算[J].苏州大学科技信息学报,2007,(25):156-159.[8]古家虹.关于行列式的计算方法[J].广西大学学报(自然科学版),2005,(30):174-176[9]李桂贞.一类行列式的计算及应用[J].惠州学院学报,2009,(5):3-15.[10]刘建中.范德蒙德行列式的再推广[J].数学通报,1999,(6):2-19.。
几类特殊N阶行列式的计算
几类特殊N阶行列式的计算在线性代数中，N阶行列式是一个非常重要的概念。
行列式可以看作是一个矩阵的一种特殊性质，它在很多数学和应用问题中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将讨论一些特殊的N阶行列式的计算方法。
一、对称行列式对称行列式是指行列式中的每个元素都关于主对角线镜像对称。
例如，一个3阶对称行列式可以写成如下形式：$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}$$对称行列式的计算方法有很多，以下是其中几种常用的方法。
1.代数余子式法代数余子式法是一种常用的计算对称行列式的方法。
首先，我们可以按照主对角线元素展开行列式，得到：$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33}\end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{23} \\ a_{13}& a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{22}\\ a_{13} & a_{23} \end{vmatrix}$$然后，继续按照代数余子式展开行列式，直到得到一个2阶行列式。
最后，根据2阶行列式的计算公式计算出最终的结果。
2.克拉默法则克拉默法则是一种利用行列式计算方程组的方法。
n阶行列式的计算方法
n 阶行列式的计算方法1．利用对角线法则“对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含2项，三阶行列式每项含3项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。
例1计算二阶行列式4231=D 。
解：223414231−=×−×==D 例2计算三阶行列式210834021−−=D 。
解：)1(812420)3(0)1(400822)3(1210834021−××−××−×−×−−××+××+×−×=−−=D 14−=2．利用n 阶行列式的定义n 阶行列式==nnn n nn a a a a a a a a a D ⋯⋮⋮⋮⋯⋯212222111211nn np p p p p p a a a ⋯⋯212121)()1(∑−τ其中)(21n p p p ⋯ττ=，求和式中共有!n 项。
显然有上三角形行列式nnnn nn a a a a a a a a a D ⋯⋮⋱⋯⋯221122211211==下三角形行列式nnnnn n a a a a a a a a a D ⋯⋯⋱⋮⋮221121222111==对角阵nnD λλλλλλ⋯⋱2121==另外nn n nD λλλλλλ⋯⋰212)1(21)1(−−==例3计算行列式001002001000000n D n n=−⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n −−−=⋯.该项列标排列的逆序数t （n －1n －2…1n ）等于(1)(2)2n n −−，故(1)(2)2(1)!.n n n D n −−=−3．利用行列式的性质计算性质1行列式与它的转置行列式相等,即TD D =。
n阶行列式的计算方法总结及例题
n阶行列式的计算方法总结及例题n阶行列式的计算方法总结及例题一、引言行列式是线性代数中的重要概念，它是一个数学对象，用来表示一个n阶方阵的一种性质。
在实际应用中，我们经常需要计算n阶行列式来解决各种数学和工程问题。
本文将对n阶行列式的计算方法进行总结，并且通过例题来加深理解。
二、行列式的基本定义在n阶行列式中，其中一个基本概念是排列。
一个排列是指1, 2, ..., n 的一种次序。
当n=3时，有6个排列{1,2,3}、{1,3,2}、{2,1,3}、{2,3,1}、{3,1,2}和{3,2,1}。
在行列式中，每个排列的正负号是由该排列的逆序数来决定的。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。
若逆序数为奇数，则该排列为负排列；若逆序数为偶数，则该排列为正排列。
三、n阶行列式的计算方法1. 代数余子式法代数余子式法是一种递归的方法，可以用来计算n阶行列式。
我们选择矩阵的某一行（或某一列），然后对该行（或列）中的每个元素，每个元素对应一个代数余子式。
根据代数余子式的定义和符号来计算每个元素的代数余子式。
将这些代数余子式与对应的元素相乘，并相加起来，即得到行列式的值。
2. 公式法当n=2时，行列式的计算方法非常简单，即ad-bc。
当n>2时，可以利用展开定理，将n阶行列式展开为n-1阶行列式的和。
通过递归的方法，最终可以将n阶行列式转化为2阶行列式的组合。
3. 三角形法三角形法是一种几何方法，通过对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为上（下）三角矩阵。
根据上（下）三角矩阵的特殊性，可以直接求出行列式的值。
四、例题我们通过以下例题来加深对n阶行列式计算方法的理解：例题1：计算3阶行列式给定矩阵 A =\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix} \]我们可以使用代数余子式法，按照第一行展开，得到\[ |A| = 1*|M11| - 2*|M12| + 3*|M13| \]其中，M11、M12、M13分别为A的三个元素对应的代数余子式，根据代数余子式的定义和符号，可以计算得到|A|的值。
n阶行列式的计算方法
n阶行列式的计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域中有着广泛的应用。
n阶行列式是一个n×n的方阵所对应的一个数，它的计算方法有很多种。
在本文中，我们将介绍n阶行列式的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
首先，我们来介绍n阶行列式的定义。
对于一个n×n的方阵A，它的行列式记作|A|，定义为所有由n个不同行和n个不同列所组成的乘积之和，其中每个乘积的符号取决于排列的奇偶性。
换句话说，行列式是一个数，它是方阵中元素按照一定规律排列所得到的一个表达式。
接下来，我们将介绍如何计算n阶行列式。
在实际计算中，有几种常用的方法，包括按行（列）展开、化为三角形式、利用性质等。
首先是按行（列）展开的方法。
这种方法是最基本的计算行列式的方法，它的思想是利用代数余子式的概念，将n阶行列式转化为n-1阶行列式的计算。
具体来说，我们可以选择某一行（列）的元素，计算出对应的代数余子式，然后将这些代数余子式与对应元素相乘再求和，就可以得到n阶行列式的值。
其次是化为三角形式的方法。
这种方法的思想是通过初等变换，将原始的n阶行列式化为上（下）三角形形式，然后利用三角形矩阵的性质直接求出行列式的值。
这种方法的优点是计算简单，适用于一些特殊的矩阵。
另外，我们还可以利用行列式的性质来计算。
行列式有许多性质，比如行（列）互换会改变行列式的符号、某一行（列）乘以一个数会使行列式的值乘以这个数等等。
利用这些性质，我们可以通过变换矩阵的形式来简化行列式的计算过程。
除了上述方法外，还有一些其他的计算方法，比如利用特征值和特征向量、利用逆矩阵等。
这些方法在特定的情况下可能更加高效，但在一般情况下，按行（列）展开、化为三角形式和利用性质是最常用的计算方法。
总的来说，n阶行列式的计算方法有很多种，每种方法都有其适用的场景和特点。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和矩阵的性质来选择合适的计算方法，从而更加高效地求解行列式的值。
计算n阶行列式的几个特殊方法
计算n阶行列式的几个特殊方法
陈海涛
【期刊名称】《张家口职业技术学院学报》
【年(卷),期】2000(13)2
【摘要】在高等代数课程中,关于行列式的计算常规的方法无外乎按行(列)展开和化三角行列式这样两种方法:但这两种方法对一般的文字行列往往无能为力。
本文试图对一些特殊的n阶行列式归纳介绍几种常用的特殊方法。
【总页数】4页(P32-35)
【关键词】n阶行列式计算;析因子法;高等代数;计算
【作者】陈海涛
【作者单位】张家口职业技术学院应用数理系
【正文语种】中文
【中图分类】O15
【相关文献】
1.行列式的计算方法及一些特殊行列式的计算 [J], 陈洁
2.n阶行列式的几种特殊计算方法 [J], 黄娟霞;
3.基于行列式计算的几种特殊计算方法解析 [J], 王俊花
4.基于行列式计算的几种特殊计算方法解析 [J], 王俊花;
5.计算n阶行列式的若干方法 [J], 邵明月;刘倩
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目录1 引言 (2)2 文献综述 (2)2.1 国内研究现状 (2)2.2 国内研究现状评价 (3)2.3 提出问题 (3)3 预备知识 (3)3.1 N阶行列式的定义 (3)3.2 行列式的性质 (4)3.3 行列式的行(列)展开和拉普拉斯定理 (4)3.3.1 行列式按一行(列)展开 (4)3.3.2 拉普拉斯定理 (5)4 几类特殊N阶行列式的计算 (5)4.1 三角形行列式的计算 (6)4.2 两条线型行列式的计算 (7)4.3 箭形行列式的计算 (8)4.4 三对角行列式的计算 (8)4.5 Hessenberg型行列式的计算 (10)4.6 行（列）和相等的行列式的计算 (11)4.7 相邻行（列）元素差1的行列式的计算 (12)4.8 范德蒙型行列式的计算 (13)5 结论 (15)5.1 主要发现 (15)5.2 启示 (15)5.3 局限性 (15)5.4 努力方向 (15)参考文献 (16)1 引言行列式是代数学中的一个重要内容,在数学理论上有十分重要的地位.早在17世纪和18世纪初,行列式就在解线性方程组中出现.1772年法国数学家范德蒙(1735-1796)首先把行列式作为专门理论独立于线性方程之外研究.到了19世纪,是行列式理论形成和发展的重要时期,19世纪中叶出现了行列式的大量定理.因此,到19世纪末行列式基本面貌已经勾画清楚.行列式的计算是高等代数的重要内容之一,也是理工科线性代数的重要内容之一,同时也是学习中的一个难点.在数学和现实中有着广泛的应用,懂得如何计算行列式尤为重要.对于阶数较低的行列式,一般可直接利用行列式的定义和性质计算出结果.对于一般的N阶行列式,特别是当N较大时，直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐的，因此研究行列式的计算方法则显得十分必要.通常需灵活运用一些计算技巧和方法，使计算大大简化，从而得出结果.本文归纳了几类特殊N阶行列式的计算方法,从这几类特殊的N阶行列式的计算中,可以总结出归纳出一些行列式的计算方法,只要将这些方法与传统方法结合起来，就可以基本上解决n阶行列式的计算问题.本文先阐述行列式的定义及其基本性质,然后介绍了几类特殊行列式的计算方法,并结合了相关例题讨论了行列式的求解方法.2 文献综述2.1 国内研究现状现查阅到的文献资料中,大部分只是简单的介绍了行列式的定义、行列式的性质、行列式按行（列）展开、克拉默法则等.其中[1]、[3]介绍了行列式的定义、性质、行列式按行（列）展开，[2]、[4]介绍了利用行列式的性质计算行列式，[4]、[8]直接介绍行列式的计算，主要讲解了行列式的计算在Matlab上的实现，[7]、[9]、[10]介绍了行列式的简单计算和行列式的常用计算方法，[11]、[12]、[13]同样也是介绍了行列式的性质、定义和克拉默法则，[14]在行列式的定义、性质、按行（列）展开克拉默法则等方面介绍得比较完整，[15]-[18]系统介绍了行列式计算中和各种方法,如定义法、降阶法、升降法、拆开法、目标行列式法、乘积法、化三角开法、消去法、加边法、归纳法、递推法、特征值法等行列式的计算方法.2.2 国内研究现状评价现查阅到的参考资料、文献中,在行列式的计算方面已经做到相当不错的成绩，特别是在用行列式的定义和性质去计算高阶行列式方面,而对于一些特殊行列式的计算还有所欠缺.2.3 提出问题行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一,而在一些特殊行列式的计算上还有所欠缺,本文将从几类特殊N 阶行列式的计算方面入手,对特殊N 阶行列式的计算归纳总结出一些固定的计算方法,以便在今后的计算中较为方便、快速,以便达到事半功倍的效果.3 预备知识为了更好的计算行列式,我们先要对行列式的一些性质有一些了解.下面我们来回顾一下行列式的定义和相关的行列式的性质.可参见文献资料[1].3.1 N 阶行列式的定义 由一个n 行n 列的正方形数表⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A 1111（称为n 阵方阵）按以下规则确定的数称为n 阶行列式，记为D,或A ，或det A,det ()n ij a ，即D=det ()n ij a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A 1111其中为n 个数，1，2，n 的一个排列，为此排列的逆序数.而符号表示对所有的n 无排列求和，共有n!项.3.2 行列式的性质行列式的计算是一个重要的问题,也是一个麻烦的问题.当N 较小时,可以由定义去计算行列式的值,但当N 较大时,按定义去计算就很困难了.因此,行列式的性质在行列式中的地位就非常特别要了,我们通常总是利用行列式的性质,把一个复杂的行列式化成简单的,易算的行列式,最终计算出结果.在行列式的诸多性质中,以下几条是最基本的,其他性质都可以通过它们推导出来.该部分性质可参见文献[14].性质1 行与列互换,行列式不变.性质2 某行(列)的公因子可以提到行列式符号外.性质 3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项之和,则该行列式可以写成两个行列式之和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)元素与原行列式相同.性质4 两行(列)的对应元素相同,行列式的值为零. 性质5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零. 性质6 某行(列)的倍数加到另一行(列),行列式的值不变. 性质7 交换两行(列)的位置,行列式的值反号.3.3 行列式的行(列)展开和拉普拉斯定理行列式按行(列)展开的定理是行列式的一条非常重要的性质,是行列式常用计算方法的重要依据,特别是在行列式降阶的过程中,将行列式按行(列)展开,是计算行列式的一种行之有效的方法之一,可参见文献[7]. 3.3.1 行列式按一行(列)展开(1)在N 阶行列式的中，将元素ij a 所在的第i 行第j 列的元素划去后剩下的元素按照原来位置次序构成的n-1阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，即111,11,111,11,11,11,1,11,11,1,1,1,j j n i i j i j i n ij i i j i j ii n n n j n j inna a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=， 而(1)i j ij ij A M +=-称为元素ij a 的代数余子式.(2) 行列式的值等于它的某一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即111112211122(1,2,,)(1,2,,)ni i i i in in n nnj j j j nj nj a a D a A a A a A i n a a a A a A a A j n ==+++==+++=(3)n 阶行列式中某一行（列）的每个元素与另一行（列）相应元素的代数余子式乘积之和等于零. 3.3.2 拉普拉斯定理拉普拉斯定理可以看成是行列式按行(列)展开公式的推广,在行列式的计算中也是一个不可或缺的定理之一,下面将该定理陈述如下:拉普拉斯定理 任意取定n 阶行列式D 的某k 行（列）（1≤k<n ）,由这k 行（列）元素所组成的一切k 阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.4 几类特殊N 阶行列式的计算除了较简单的行列式可以用定义直接计算和少数几类行列式可利用行列式性质直接计算外,一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简,使行列式中出现较多的零元素,然后直接上(下)三角行列式或利用行列式按行展开定理降阶.在化简时,必须根据行列式的特点和元素的规律性,运用适当的步骤来进行,所以研究行列式的规律性是重要的.下面是对一些典型行列式的计算方法的探究,并举例说明其求解方法和技巧.4.1 三角形行列式的计算在行列式的计算中,有一类特殊的行列式是除主对角线以外的元素全为零的行列式,我们称为对角行列式或三角行列式,该行列式的计算是很有规律的,也即(1)上(下)三角行列式等于其主对角线上元素的乘积,即a⎛a =. （2）次三角行列式的值等于添加适当正、负号的对角线元素的乘积，即. (3) 分块三角行列式可化为低级行列式的乘积,即.4．2两条线型行列式的计算在行列式的计算中,遇见两条线型的行列的情况很多,对于形如，，的两条线型行列式，我们的计算方法是先展开看看该行列式能否可以降阶,化为三角或次三角行列式,由三角行列式的计算性质算出该类行列式.例1 计算n 阶行列式1211n n n nna b a b D a b b a --=.分析:本题中所给的行列式,我们先观察一下行列式的元素间的规律,显然,这是一个两条线型的行列式,根据行列式的性质,把行列式按第一行或第一列展开得到两个三角行列式,由三角行列式的性质即可算出该行列式. 解: 按第1列展开得22122111111(1)nn n n n nn n a b b a b D a b a b a a b +----=+-11212(1)n n n a a a b b b +=+-总结:由该题的分析与解答过程,易得出解两条线型行列式的规律:按某一(列)展开,化简为三角行列式或次三角行列式,再根据三角行列式的计算方法求出所给的行列式.4.3 箭形行列式的计算在平时所遇见的行列式中,有许多形如，的箭形行列式, 这类行列式不易下手,得想办法化简,从行列式的相关性质和定理上入手.这样的行列式成箭形,只要我们把一边消去就能转化为三角或次三角行列式,从而就能用相关三角行列式的计算性质去计算该类行列式了.例2 计算n+1阶行列式01121111001001n na a D a a +=12(0)n a a a ≠ 分析:题中所给的n+1阶行列式，显然是一个箭形行列式，对于这样的行列式，得相办法变为三角或次三角行列式，把每一列的ia 1倍加到第一列即可得到一个三角行列式，本题即可算出. 解：把每一列的（ia 1-）加到第一列，得)1(101∑∏==-=ni ii ni a a a 总结:对于箭形行列式的计算,可以直接利用行列式性质化为三角或次三角行列式来计算,即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零.4.4 三对角行列式的计算对于形如的三对角行列式,. 计算就比较复杂一点了,因为这样的行列式要想办法消去主对角线外的两条线上的元素,这样一来计算量上就比较大了,但是在展开的过程中,我们易发现,在展开的过程中会得到一个递推公式,从代数方面的角度出发,就能解出这样的行列式.例3 计算n 阶“三对角”行列式D n =000100010001αβαβαβαβαβαβ+++＋分析:把该行列式展开,我们会发现,逐渐展开后得到一个递推公式,根据递推公式的特点,应用相关的代数方法,即可求出行列式的值. 解: 把行列式展开,得到D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3)故 1n n D D α--＝12()n n D D βα--- 递推得到1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝ ＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D 2-n ＋1n n αββ-+＝＝n α＋1n αβ-＋ ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n总结:对于三对角线行列式的计算,可直接展开得到两项的递推关系21--+=n n n D D D βα,然后根据递推关系的特点采用相应的一些代数方法去求解出行列式.4.5 Hessenberg 型行列式的计算对于形如，的行列式,我们叫做Hessenberg 型行列式，这类行列式类似于箭形行列式,但差别又有一定的差别.对于这类行列式可直接展开得到递推公式，也可以利用行列式性质化简并降阶.例4 计算N 阶行列式分析:对于该行列式,将每一列都加到第N 列,能化为三角行列式,即可算出该行列式.解:将第1,2,…，n-1列加到第n 列，得总结:对于Hessenberg型行列式的计算,可直接展开得到递推公式,根据递推公式的特点从代数方面即可算出,也可利用行列式性质化简并降阶,利用三角行列式或次三角行列式的性质计算.4.6 行（列）和相等的行列式的计算在平时的行列式计算中,行(列)和相等的行列式不在少数,也是行列式计算中的一个难点.对于这样的行列式,我们就可以很好的去利用它的这个行(列)和相等的特点了,把每一行(列)都加到一行(列),再提出公因式,这样就能出现大量的零或1的行列式,从而利用行列式的相关性质就能算出该类行列式了.例5 计算行列式.分析:因为第行(例)的和都相等,所以把每一列都加到第一列利用行列式的性质提出公因式,把每一行都减去第一行即可行到三角行列式,根据三角行列式的性质即可算出该行列式.解: 把每一列都加到第一列提出公因式得总结:对于各行（列）这和相等的行列式，将其各列（或行）加到第1列（或行）或第N 列（或行），然后再利用行列式的性质,化为三(或次三角)行列式,根据行列式的性质计算出行列式的值.4.7 相邻行（列）元素差1的行列式的计算计算完行(列)和相等的行列式,现在来看一下行(列)元素差1的行列式的计算.同样,这样的行列式他们的行(列)元素差1,我们可以利用它的这一特点,每一行(列)递减,得到大量元素是1的行列式,进一步运用行列式的性质就能很好的解出这类行列式了.例6 计算元素满足j i a ij -=的N 阶行列式n D . 分析: 根据题设写出N 阶行列式这是相邻两行(列)元素差1的行列式,用前行减去后行可出现大量元素为1或-1的行列式,进一步化为三角行列式,即可算出该行列式. 解:前行（列）减去后行（列）,得(=总结:以数字1,2,…，n 为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素差1的N 阶行列式可以如下计算：自第1行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或自第N 行（列）开始，后行（列）减去前行（列），即可出现大量元素为1或-1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素.对于相邻两行（列）元素相差倍数K 的行列式,采用前行（列）减去后行（列）的-K 倍,或后行（列）减去前行（列）得-K 倍的步骤,即可使行列式中出现大量的零元素.4.8 范德蒙型行列式的计算范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点,在行列式的计算中,如果有这样特点的行列式或类似的行列式,我们就可以想办法与范德蒙行列式联系起来,利用行列式的计算方法去计算了.首先,先来回顾一下范德蒙行列式的一些定义和性质.可参见文献[17]. 范德蒙行列式122221212221211112111()nnn i j j i nn n n n n n n nx x x x x x D x x x x x x x x ≤<≤------==-∏即等于这N 个数的所有可能的差的乘积.例7 计算行列式12222122221212111n n n n n n n n n n nx x x x x x D x x x x x x ---=(1)分析:和范德蒙行列式相比较,发现本行列式缺少n-2次幂行,所以我们能补成范德蒙行列式,利用范德蒙行列式就能求出了.解：比较范德蒙行列式，缺少2n -次幂行，所以应补之．于是考察1n +阶范德蒙行列式122222121111121211111()nnn n n n nn n n nnn x x x x x x x x f x x x x x x x x x ----+=(2)121()()()()n i j j i nx x x x x x x x ≤<≤=----∏视x 文字，一方面，由（1）知n D 是行列式()f x 中元素1n x -的余子式.1n n M +，即：1,1,1,1(1)n n n n n n n n n D M A A +++++==-=-于是将()f x 按其第1n +列展开可得()f x 中1n x -的系数为n D -．另一方面，从()f x 的表达式（2）及根与系数的关系知，()f x 中1n x -的系数为：121()().n i j j i nx x x x x ≤<≤-+++-∏所以 121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤-=-+++-∏所以 121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤=+++-∏总结: 范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点,因此遇到具有逐行（或列）元素言幂递增或递减的范德蒙行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值.5 结论5.1 主要发现行列式的计算是高等代数和线性代数里面的一个重难点之一,在平时的考式计算中,灵活多变,有较大的难度,特别是对于特殊N阶行列式的计算,这类行列式的计算技巧性非常大,在我们掌握这些技巧和计算方法之前,对于这些行列式的计算有相当大的难度.5.2 启示和意义在行列式的计算中,特别是对于特殊N阶行列式的计算,有一定的技巧性.从特殊到一般,能把各种特殊行列式的计算技巧融会贯通,领悟渗透,那么在将来的行列式计算中将会取得事半功倍的效果. 特别是学生在平时的学习中,应熟悉行列式的一些计算方法,达到举一反三.掌握了这几类特殊行列式的计算方法,并将其融会贯通后,那么行列式的计算问题将能够迎刃而解，尤其在计算N阶行列式时，能做到思路清晰，计算上快速，准确.5.3 局限性本文只介绍了几类特殊N阶行列式的计算方法与技巧,对于一般普通行列式的计算还有待补充和完善,特别对于像行列式这样题型多变的计算部分更需进一步的探讨与研究.5.4 努力方向行列式的计算方法多种多样,而行列式也是变化繁多,并不是短时间内学习就可以掌握的,需要长时间的积累探讨,除了本文介绍的这几类特殊N阶行列式外，对于一般普通的行列式的计算也应该归纳总结出相关的计算方法与技巧.参考文献[1] 陈治中.线性代数[M].北京:科学出出版社,2009:6-23.[2] 邵建峰、刘彬. 线性代数[M].北京：化学工业出版社，2007：1-18.[3] 张翠莲. 线性代数[M].北京:中国水利水电出版社，2007：4-16.[4] 李小刚.线性代数能及其应用[M].北京:科学出出版社,2006:37-61.[5] 郭立焕、汤琴芳. 线性代数[M]. 北京：科学技术文献出版社，1988：1-32.[6] 俞正光、王飞燕. 线性代数[M]. 北京：清华大学出版社，2005；1-26.[7] 郑素文.线性代数与应用名师导学[M]. 北京: 中国水利水电出版社,2004:1-45.[8] 刘剑平、施劲松.线性代数[M].上海:华东理工大学出版社,2011:35-53.[9] 贾兰香、张建华.线性代数[M].天津:南开大学生出版社,2004:1-42.[10] 居余马.线性代数[M]. 北京:清华大学出版社,2002:1-32..[11] 詹耀华.线性代数[M]. 北京:中国金融出版社,2007:1-17.[12] 宋光艾、刘玉凤、姚光同、陈卫星.高等代数[M]. 北京:清华大学出版社,2012:1-15.[13] 蓝以中.高等代数简明教程[M]. 北京:北京大学出版社,2002:147-203.[14] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M]. 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