拉氏变换及应用

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拉氏变换及其在电路应用

拉氏变换与电路设计计算
要用好拉氏变换，先了解S的物理含义和其用途。

信号分析有时域分析、频域分析两种，时域是指时间变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；频域则是指频率变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；而S则是连接时域与频域分析的一座桥梁。

在电路中，用到的线性元件为阻性，用R表示；用到的非线性元件，主要指感性特性和容性特性，分别用SL和1/SC表示，然后将其看成一个纯粹的电阻，只不过其阻值为SL（电感）和1/SC（电容）；
其他特性（如开关特性）则均可通过画出等效电路的方式，将一个复杂的特性分解成一系列阻性、感性、容性相结合的方式。

并将其中的感性和容性分别用SL和1/SC表示。

然后，就可以用初中学过的电阻串、并联阻抗计算的方式来进行分压、分流的计算，这当然很简单了。

计算完后，最后一定会成一个如下四种之一的函数：Vo=Vi（s） --------------------（1）
Io=Vi（s） --------------------（2）
Vo=Ii（s） --------------------（3）
Io=Ii（s） --------------------（4）
下一步，如果是做时域分析，则将S=d/dt代入上述1-4其中之一的式子中，随后做微分方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G（t）；
而如果做的是频域分析，则将S=jw代入上述1-4其中之一的式子中，随后做复变函数方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G（w）、和相位对时间的变化式θ（w）；
至于求出来时域和频域的特性之后，您再想把数据用于什么用途，那就不是我能关心得了的了。

例子：。

2第二章拉普拉斯变换及其应用

斜坡函数的定义式为：
f
(t)
0 Kt
(t 0) (t 0)
式中k为常数
在自动控制原理中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号。
在研究随动系统时，常以斜坡信号作为典型的输入信号。同理，
根据拉氏变换的定义式有：
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2.1 拉氏变换的概念
F (s) LKt Ktestdt 0
L
f
(t
)(dt
)2
F(s) s2
L
n
f
(t)(dt)n
F(s) sn
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2.2 拉氏变换的运算定理
上式同样表明，在零初始条件下，原函数的重积分的拉氏式等于其象函数除以。它是微分的逆运算，与微分定理同样是十分重要的运算定理。
五、位移定理 L et f (t) F(s )
即
0
(t)dt lim 0
0
(t)dt 1
（2.2）
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2.1 拉氏变换的概念
在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动信号。它的变换式由式（2.1）有
F (s) L (t) (t)estdt 0
lim
0
0
(t
)e
st
dt
(t
)e
st
dt
存在（收敛），应满足下列条件：
当 t 0 ， f (t) 0 ；
当 t 0 ， f (t) 分段连续；
当 t ，est 较 f (t) 衰减得更快。
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2.1 拉氏变换的概念
由于
f (t)est dt
0
是一个定积分，t 将在新函数中消失。
因此， F(s) 只取决于s，它是复变数s的函数。拉氏变换将原

常微分方程课件：拉普拉斯变换及应用

estdt 1 est 1
0
0
s 0s
当a 0时 eat (t ) (t )
(3)单位冲激函数
L[ (t)]
(t )e st dt
0 (t)es0dt 1
0
0
2 拉普拉斯变换的基本性质一、线性
若L[ f1(t )] F1(S ) , L[ f2(t )] F2(S )
00
SF (S) f (0)
例3 应用导数性质求下列函数的象函数：
1) f (t) cos(t);
2) f (t) (t).
解 : 1)L[cos(t)] L[ 1 d (sin(t))] dt
1
(s
s2
2
0)
s2
s
2
2)由于 (t) d (t), L[ (t)] 1
dt
s
上述函数的定义域为[0， ∞)，求其象函数。
解： 1)L[sin(t )] L[ 1 (e jt e jt )]
2j 1[ 1 1 ]
2 j S j S j
S2 2
2)L[K (1 eat )] L[K ] L[Ke at ] K K Ka s s a s(s a)
设：L[ f (t)] F (S) 当t t0时，f (t t0 ) 0
则：L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(S)
证：L[ f (t t0 )]
0
f
(t
t0 )estdt
令t t0
t0
est0
f (t t0 )estdt
f ( )es d
则 L[af1(t) bf2(t)] aF1(S ) bF2(S )
证：0[af1(t ) bf2 (t )]est dt

7.4 拉氏变换的应用举例

2 t
由例7-19可知，用拉氏变换解常系数线性
微分方程的方法的运算过程如图7-6：
常系数线性微分方程作拉氏变换象函数的代数方程解代数方程象原函数求拉氏逆变（微分方程的解）换图7-6 象函数
例7-20 求微分方程 y 3 y 2 y 2e
t
满足初值条件 y(0) 2，y(0) 1 的解．解对所给微分方程的两边分别作拉氏变
第4节拉氏变换应用举例
下面举例说明拉氏变换在解常微分方程中
的应用．
例7-19 求微分方程 x(t ) 2 x(t ) 0 满足初值条件x(0)=3的解．解第一步 ,对方程两边取拉氏变换,并设 L[x(t)]=X(p).
L[ x' ( t ) 2 x(t )] L[0]
L[ x(t )] 2 L[ x(t )] 0 pX( p) x(0) 2 X ( p) 0
将初始条件x(0)=3代入上式，得
( p 2) X ( p) 3
这样，原来的微分方程经过拉氏变换后，就得到了一个像函数的代数方程．
第二步
3 . 解出X(p): X ( p) p2
第三步求象函数的拉氏逆变换： 3 1 1 x( t ) L [ X ( p)] L [ ] 3e 2 t p2 这样就得到了微分方程的解 x(t ) 3e
1 t 7 2t t y( t ) e 4e e 3 3
用拉氏变换还可以解常系数线性微分方程组．
2 2 p 5p5 2 即( p 3 p 2)Y p1
解出 Y ，得
2 p2 5 p 5 Y ( p 1)( p 2)( p 1)
将上式分解为部分分式

拉氏变换在工程中的应用

拉氏变换在工程中的应用
拉氏变换在工程中有很多应用，包括系统分析与设计、信号处理、控制系统、通信系统等等。

1. 系统分析与设计：拉氏变换可以将微分方程转化为代数方程，从而方便对系统的稳定性、频率响应和传递函数等进行分析和设计。

2. 信号处理：拉氏变换可以将时域信号转化为频域信号，从而可以进行频谱分析、滤波、降噪等处理。

3. 控制系统：拉氏变换可以将输入与输出之间的关系转化为传递函数，从而方便对系统的稳定性、响应速度、误差等进行分析和设计。

4. 通信系统：拉氏变换可以对传输信号进行频域分析和设计，从而优化通信系统的频谱利用率和传输性能。

总之，拉氏变换在工程中的应用非常广泛，可以帮助工程师进行系统分析与设计、信号处理、控制系统、通信系统等方面的工作。

拉氏变换

拉氏变换的基本性质及其应用举例
一、拉氏变换的性质
(1)线性定理：拉氏变换是线性变换，即：
(2)卷积定理：
称为、的卷积，记为
(3)乘积定理：设、的拉氏变换为、，则：的拉氏变换为：
(4)导数定理：
如果：
则：
(5)不定积分定理：
(6)象的导数定理：
(7)象的积分定理：设的象为,且积分收敛，则：
(8)相似定理：设，则：
(9)位移定理：
(10)延迟定理：设，则：
二、用拉氏变换求解常微分方程及积分方程举例
例1、求解初值问题：
解：对方程两端作拉普拉斯变换：
即：
将上式两端反演，即：
从例1中可得出运用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程的步骤可归纳为：
(1)对方程施行拉普拉斯变换，这变换把初始条件一同考虑。

(2)从变换后的方程中解出象函数。

(3)对求出的象函数进行反演，原函数就是原方程的解。

例2 求解交流RL电路的方程：
解：对方程两边作拉普拉斯变换
将上式两端反演得：
由卷积定理得：
所得结果第一部分代表一个稳定的(幅度不变的)振荡，第二部分则是随时间而衰减的．例3 求解
解：对该方程施行拉普拉斯变换后得：
记
将上式反演，设：
则
则由卷积定理得：
而：
例4 求解方程组：
解：对方程组施行拉氏变换得：
记：
两式相加减得：
将上方程组反演：
例5 求解积分方程
解：对方程两端施行拉氏变换
即：
进行反演：
例6 用拉普拉斯变换求积分：
解：当
进：对积分进行拉普拉斯变换
反演得：
当
时，作变换。

电路分析基础第10章拉氏变换及其应用

达式直接求出
11
11
s (1 esT / 2 ) s (1 es )
f (t) (t) (t 1) (t 2) (t 3)
(1)k (t k)
k0
F(s) L
f (t)
( 1) k e ks
k0
1 s
1 s
1 1 es
等比（ es）级数
6. 拉氏逆变换 (Inversion of Laplace Transform)
2. 反变换
f (t ) 1
2 j
j
F
(
s
)e
st
ds
j
简写为：f (t)
L1[F (s)]
对应关系：f (t) F(s)
3.常用函数的拉氏变换
L[eat (t )] 1
sa L[ (t)] 1
s
L[ (t)] = 1
sin(t) (t) s2 2
cos(t) (t)
s
s2 2
uLd
为
电
感
中
电流的初 Nhomakorabea值
UL (s)
u( 1 L
)
(
0
)
Ls
Ls
UL (s) iL (0 )
Ls
s
时域平移性质设：L[ f (t)] F (S)
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F ( S ) est0为延迟因子
f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
f(t)(t-t0)
F1 ( S )
例设周期函数T=2S，求其象函数F(s)。
f(t)
解方法一：第一个周期可描述为
1 01 方法二

第2章拉普拉斯变换及其应用

(式1)
(式2) （式3）
2）将式2分解为部分分式：
3）用待定系数法可求得A=1，B=-T，代入式3，得
（式4） 4）对式4进行拉氏反变换有：（式5）
惯性环节单位阶跃响应曲线
小
结
st F ( S ) L f (t ) dt (1) 拉氏变换定义式： 0 f (t )e
（2）常用典型输入信号的拉氏式
s2 c c 1 2 (s 1)(s 3) s 1 s 3
c1 lim (s 1)
s 1
s2 1 2 1 (s 1)(s 3) 1 3 2
c 2 lim (s 3)
s 3
s2 3 2 1 (s 1)(s 3) 3 1 2
12 12 F(s) s 1 s 3
f (t) 1 t 1 3t e e 2 2
2.4用拉氏变换方法解微分方程
应用拉氏变换求解微分方程的一般步骤: 微分方程求待定系数系统微分方程
y '' (t ) a1. y ' (t ) a2 y (t ) 1(t ) ' y ( 0 ) y (0) 0
1 (t )
1 0 t
单位阶跃函数定义为：
令：
1(t ) lim 1 (t )
0
有:
由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为:
【2】求单位脉冲函数（Unit Pluse Function)
的象函数
单位脉冲函数
定义为：
在自动控制系统中，单位脉冲函数相当于一个瞬时的扰动信号，拉氏变换为：

0(t 0) f (t ) sin t ( t 0 )

拉氏变换的基本性质

频移性质的意义
频移性质表明信号在时域中乘以指数函数对应于频域中的平移。
微分性质
微分定理
若$f(t)$的拉氏变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉氏变换为$sF(s)-f(0^-)$。
微分性质的意义
微分性质建立了信号时域微分与频域之间的关系，便于通过拉氏变换求解微分方程的初值问题。
积分性质
积分定理
拉氏变换的基本性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的基本性质 • 拉氏变换的收敛域 • 拉氏反变换 • 拉氏变换在电路分析中的应用 • 拉氏变换在信号处理中的应用
01 引言
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种线性积分变换
它将一个有实数变量t（t≥0）的函数转换为一个复数变量s的函数。
转换公式
对于实数变量t的函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为F(s)=∫[0,∞)f(t)e^(-st)dt，其中s为复数
电路分析
在电路分析中，拉氏反变换常用于将电路的频率响应转换回时域响应，以便分析电路的动态行为。
控制系统
在控制系统中，拉氏反变换可用于将控制系统的传递函数转换回时域，以便分析系统的稳定性和性能。
信号处理
在信号处理中，拉氏反变换可用于将信号的频谱转换回时域信号，以便进行信号的重构和分析。
05 拉氏变换在电路分析中的应用
确定收敛域。
收敛域与函数性质的关系
函数增长性与收敛域
函数增长越快，其拉氏变换的收敛域越小；反之，函数增长越慢，其收敛域越大。
函数奇偶性与收敛域
对于偶函数，其拉氏变换的收敛域关于实轴对称；对于奇函数，其收敛域关于原点对称。
函数周期性与收敛域
周期性函数的拉氏变换在相应的周期内收敛，而在其他区域可能发散。

Laplace变换

t
设：L[ f ( t )] F ( S ) 当t t 0时，f ( t t 0 ) 0
则：L[ f ( t t 0 ) ( t t 0 )] e st F ( S )
0
证：L[ f ( t t 0 )]
0

0

f ( t t 0 )e st dt
st

0
2 Laplace变换的基本性质
一、线性
若L[ f1 ( t )] F1 ( S ) , L[ f 2 ( t )] F2 ( S )
则 L[af1 (t ) bf2 (t )] aF1 ( S ) bF2 ( S )
证： 0 [af1 ( t ) bf2 ( t )]e dt 0 af1 ( t )e dt 0 bf2 ( t )e dt aF1 ( S ) bF2 ( S )
d 1 1 例1：L[t (t )] ( ) 2 dS S S
d 1 n! ( ) n1 例2：L[t ( t )] ( 1) (n) dS S S
nnຫໍສະໝຸດ (n)例3：L[te
at
d 1 1 ) ] ( 2 dS S a ( S a)
三、积分性质
设：L[ f (t )] F ( S )
拉氏变换存在条件：对于一个函数f(t)，若存在正的有限值 M和c，使得对于所有t 满足：
f ( t ) Me
则f(t)的拉氏变换F(s)总存在。
ct
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换。 0 0 积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换。
积分下限从0 开始，可以计及 t=0时 f(t)所包含的冲激。

第十三章拉氏变换在电路分析中的应用

下面我们来看一看真分式的部分分式展开。
一、当有n个不同的实根，，…，时
其中：
例题：
已知：
求：
而：
因此：
所以：
二、当有m个重实根时
其中：
例题：
已知：
求：
解：
那么：
因此：
所以：
三、当有两个共轭的复根，时
其中：，
而：，
例题：P297
再以13.1.4中的例题为例：
，即：，
，
V
13-2
13
13.1.4
以一个典型的二阶电路为例：，，，，，
该电路的电路方程为：
其中且：，
两边同时拉氏变换：

一般不再使用原始定义式，而采用部分分式展开，然后查表的方法。
电路响应往往为两个实系数的s的多项式之比。即，而在电路分析中，该式一般为真分式。（如果计算式不为真分式，可以将其化成多项式与一个真分式的和）
4．借助拉时变换表及部分分式展开，对响应的象函数进行反变换，得出时域响应。
二、例题
1．已知：
求：电路的零状态响应
解：绘出电路对应的复频域模型（运算电路）
其中：
所以：
2．已知：
求：，
解：，
因此可以绘出原电路对应的复频域模型
所以
所以：，
3．已知：，
求：电路的零状态响应
解：绘出电路对应的复频域模型（运算电路）。
各种基本元件的VCR，即元件的电压象函数与电流象函数之间的关系。
一、电阻
因为：，两边同时取拉氏变换：L =L 。这样
即：
二、电容
因为：
两边同时取拉氏变换：L =L
这样：

2拉氏变换及其应用

0 0 0

t
0
1
2
1
2
t

t时，f1 (t ) 1(t ) 0 f1 (t ) f 2 ( )d f1 (t ) 1(t ) f 2 ( )d
0 0 t
L[ f 1 (t ) f 2 ( ) 氏变换等于其象函数除以 s n。
5、终值定理
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。证：由微分定理 L[ f (t )] f (t )e st dt sF ( s) f (0)
0
lim f ( t ) lim sF ( s ) t s0
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏变换 L[ f n (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n 2 f (0) f n 1(0)
L[af1(t ) bf 2 (t )] aL[ f1(t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 2、比例定理
L[ Kf (t )] KF (s)
2-2 拉氏变换的运算定理
3、微分性质
若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。零初始条件下 L[ f n (t )] s n F ( s)

f (t )dt f (t ) lim f (t ) f (0) 0

拉普拉斯(Laplace)变换及其应用

2s 1
1
1
1
t
2.4 应用拉氏变换求解微分方程
S (t=0)
R + UC -
+
Ｕs
-
C
这是一个一阶ＲＣ电路，我们取电容两端的电压为输出电压，设开关S闭合前，电路处于零初始状态，即： uc (0 ) 0 在t=0时，开关S闭合，电路接入直流电源Us。则根据KVL 定理，有：
u R uc U s

t 0
f ( ) d
p L( p)
1
0
性质3（相似性质） L
pt 性质4（延迟性质） L f ( t t 0 ) e L ( p )
p f ( a t ) L a a 1
性质5（位移性质） L
e
t
f ( t ) L ( p )
st 0

【例2-1】求单位阶跃函数(Unit Step Function) 1(t)的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合(或断开)。
在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义式。
在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作用信号。它的拉氏式由定义式有：
F (t ) L[2 e
at
at
]
2 s

1 sa

3s 2a s ( s a)
例2-2 求
2s 1 s ( s 1)
的原函数。
解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：
2s 1 s( s 1) A s B s 1 A s B s 1 ( A B) s A s( s 1)

《拉氏变换》课件

介绍拉氏变换在控制系统设计和稳定性分析中的重要性。
六、总结
拉氏变换是一种强大的工具，具有许多优点和应用。通过学习拉氏变换，我们也能培养出思考和解决问题的能力。
1 拉氏变换的优点和缺点
总结拉氏变换的优点和限制。
ห้องสมุดไป่ตู้
2 学习拉氏变换的思考方式
分享学习拉氏变换的思考方式和技巧。
七、参考文献
提供拉氏变换相关领域的参考文献，供进一步学习和研究之用。
拉氏变换具有许多有用的性质，理解这些性质将有助于我们更好地理解和应用拉氏变换。
线性性质
探讨拉氏变换的线性性质和叠加原则。
移位性质
解释拉氏变换中的时移、频移和频率缩放。
放大性质
讨论拉氏变换中的放大和缩小效应。
模拟性质
研究拉氏变换的模拟性质和与连续时间信号的关系。
四、拉氏变换的逆变换
逆变换是拉氏变换的逆过程，将频率域的信号还原回时间域中的信号。
1 逆变换的表达式
探讨拉氏逆变换的数学表达式和符号。
2 逆变换的性质
讨论逆变换的性质以及逆变换在实际应用中的作用。
五、拉氏变换的应用
拉氏变换在信号处理、电路分析和控制系统设计等领域中有广泛的应用。
信号处理
探索拉氏变换在数字信号处理中的作用。
电路分析
研究拉氏变换在电路分析和设计中的应用。
控制系统设计
探索拉氏变换在信号处理、电路分析和控制系统设计等领域的重要作用。
二、拉氏变换的定义
拉氏变换将信号从时间域转换到频率域，使我们能够以频域的角度来分析和处理信号。
1 时间域和频率域
解释时间域和频率域的概念，并探索两者之间的关系。
2 拉氏变换的表达式

拉氏变换定义

拉氏变换定义拉氏变换是数学中的一种重要工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析等领域。

它是将时域信号转换为复频域信号的一种方法，可以用于分析信号的频谱特性、系统的稳定性以及系统的传递函数等问题。

拉氏变换的定义如下：设函数f(t)在区间[0,∞)上绝对可积，即∫|f(t)|dt<∞，则称函数F(s) = L{f(t)}=∫f(t)e^(-st)dt为f(t)的拉氏变换，其中s为复变量。

通过拉氏变换，我们可以将一个复杂的时域信号转换为在复频域中的表示，从而更方便地进行分析。

通过对拉氏变换的运算和性质的研究，我们可以得到许多有用的结论和定理，进而解决各种与信号与系统相关的问题。

拉氏变换的一个重要性质是线性性质。

即对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)。

这个性质使得我们可以将复杂的信号分解为更简单的部分进行处理，从而简化问题的求解过程。

拉氏变换还有平移性质和尺度变换性质。

平移性质表明，如果f(t)的拉氏变换为F(s)，则e^(-at)f(t)的拉氏变换为F(s+a)。

尺度变换性质表明，如果f(at)的拉氏变换为F(s)，则f(t)的拉氏变换为(1/a)F(s/a)。

这两个性质使得我们可以通过对信号进行平移和尺度变换，来获得不同频率和幅度的信号的拉氏变换。

拉氏变换还有微分和积分性质。

微分性质表明，如果f(t)的导数为f'(t)，则f'(t)的拉氏变换为sF(s) - f(0)。

积分性质表明，如果f(t)的积分为∫f(t)dt，则∫f(t)dt的拉氏变换为F(s)/s。

这两个性质使得我们可以通过对信号进行微分和积分操作，来得到信号的导数和积分的拉氏变换。

拉氏变换的应用非常广泛。

在信号与系统中，我们可以利用拉氏变换来分析信号的频谱特性，如频率响应、带宽等。

在控制理论中，拉氏变换可以用于分析系统的稳定性和动态响应。

拉氏逆变换及拉氏变换的应用

2sY 1 0 ，
sX
Y
0．
例x(50)求 1微，分y(方0)程 1的xx解 y2。y
x 0，
0
，满足初始条件
x(0)
3
，
解此代数方程组，得
X
(s)
1， s2 1
Y
(s)
s． s2 1
取拉氏逆变换，得所求解 x(t) sin t ，
y(t)
1 s3
e2t 2
L1
2! s3
1 t2e2t 2
例1 求下列象函数的逆变换。
(1)F (s) 1 ;(2)F (s) 1 ;
s3
(s 2)3
(3)F (s) 2s 5 ;(4)F (s) 4s 3 .
s2
s2 4
（3）由性质1，得
f
(t)
L1
2s s2
5
2L1
1 s
二、拉氏变换的应用举例
例4 求微分方程 x(t) 2x(t) 0 满足初始条件 x(0) 3 的解。
解第一步，对方程两边取拉氏变换，并设 L[x(t)] X (s) L[x(t) 2x(t)] L[0]， L[x(t)] 2L[x(t)] 0， sX (s) x(0) 2X (s) 0
解
f
(t)
L1[F
(s)]
L1
s2
3s 4 4s
5
L1
3(s 2) (s 2)2
2 1
3L1
(s (s
2) 2)2
1
2L1
(s
1 2)2
1
3e2t
L1
s
2
s
1
2e2t
L1
s
1 2