函数的最大值最小值问题

§4 函数的最大值最小值问题

最值与极值的重要区别： 极值是一点0x 局部的形态； 最值是某区间整体的形态。

先讨论必要性： 0x 是()f x 在(,)

a b 内的最大(小)值， ⇒0x 必是()f x 在(,)a b 的极大(小)值点， ⇒0x 是()f x 的稳定点或不可导点．

稳定点

()f x 在],[b a 的可能的最值点： 不可导点

区间端点

下面就两种常见的情形给出判别法，以最大值为例说明． 1．闭区间情形

设()f x 在[],a b 连续，这时()f x 在[],a b 必有最大值．

则将所有稳定点、不可导点和区间端点的函数值进行比较（如果可能的话），最大者即是最大值．

2．开区间情形

设()f x 在(,)a b 可导，且在(,)a b 有最大值．若在(,)a b 内有唯一的稳定点0x ，则0x 是最大值点．

注意强调最值的存在性

例1 一块边长为a 的正方形，在四个角上截去同样大小的正方形，做成无盖的盒，问截去多大的小方块能使盒的容积最大？

解 设x 为截去的小方块的边长，则盒的容积为

2()(2),(0,)2

a V x x a x x

=-∈。 显然，()V x 在(0,)2

a

可导，且

'2()(2)4(2)(2)(6)V x a x x a x a x a x =---=--

令'()0V x =得2a x =

或6a x =。因此在(0,)2a 中有唯一的稳定点6

a 。 由实际问题本身知()V x 在(0,)2

a

中必有最大值，故知最大值为

32()627a V a =。即截去的小的方块边长为6a 时，盒的容积最大。

例2 求函数32()2912f x x x x =-+在[]1,3-的最大值和最小值

解 32291529122()48x x x x x ⎡

⎤-+=-+⎢⎥⎣

⎦，

因此 []32()(2912)sgn ,1,3f x x x x x x =-+∈-，

'2()(61812)sgn 6(1)(2)sgn ,(1,0)(0,3)f x x x x x x x x =-+=--∈-⋃

故()f x 的稳定点为1,2x x ==，不可导为0x =。 比较所有可能的最值点的函数值：

(1)23

,(0)0,(1)

5,(2)4,

f f f f f -===== 即得最大值为(1)23f -=，最小值为(0)0f =。

例3 在正午时，甲船恰在乙船正南82处，以速度120km v h

=向正东开

出；乙船也正以速度216km v h =向正南开去(图5—15)．已知两船

航向不变，试证：下午二时，两船相距最近．

证明 设t 小时后，两船相距)(t y 公里，则显然有

22)1682()20()(t t t y -+=，0>t

求)(t y 的最小值等价于求)(ˆ)(2t f t y =的最小值。 =--=')1682(32800)(t t t f 令0)(='t f 的唯一稳定点2t =。 比较0t =和2t =点的值：

672482)0(2==f ，4100)2(=f ，+∞=+∞

→)(lim t f t

故2t =时函数达到最小值，即下午二时，两船相距最近4110)2(⨯=y ．

例4 做一个圆柱形无盖铁桶，容积一定，设为0V ．问铁桶的底半径与高的比例应为多少，才能最省铁皮?

解 设铁桶底半径为r ，高为h (见图5—14)，则所需铁皮面积为

22s rh r ππ=+

利用巳知条件20V r h π=，得0

2

V h r

π=．则面积s 可化为r 的函数 20

2(),0V s r r r r

π=

+<<+∞ 于是问题化为求函数s 在(0,)+∞内的最小值问题．

3'

00

22

222()2V r V s r r r r

ππ-=-+=。

令'()0s r =，得到唯一的稳定点0

3

0V r π

=

，又由实际问题本身知()s r 在

(0,)+∞必有最小值，从而唯一的稳定点0r 必是最小值点，此时有

00

3

02

r r V V h r r ππ

==

=

=，

即当底半径r 与高h 相等，均为0

3V π

时，最省铁皮。

例4 根据物理学的费马原理，光线沿着所需时间为最少的路线传播．今有Ⅰ,Ⅱ两种介质，以L 为分界线．光在介质I 与介质Ⅱ中的传播速度分别为1v 和2v 。问：光线由介质I 中的点A 到介质Ⅱ中的点B ，应走哪一条路线?

解 取分界线L 所在直线为Ox 轴．过A ，B 作L 的垂线，设垂足

为1A ，1B ，设1111,,AA a BB b A B c ===，并选定1A 为坐标原点O （图5-16）。

光线在同一介质中的传播途径应当是直线。设想光线从点A 到点B 所走的路线通过L 上的点M ，M 的坐标为x 。于是问题化为，当x 取何值时，折线AMB 才是光线所有的路线。

光线从点A 到达点B 所需的时间为

2222

1212

()()b c x AM BM a x t x v v v v +-+=+=+-∞<<+∞

根据费马原理，我们要求的是上述函数()t f x =的最小值．

'222212()()dt x c x

f x dx v a x v b c x -==-

++-, 22

2

''332

22

222

2

21()()()

d y

a b f x dx

v b c x v a x ==+

⎡⎤+-+⎣⎦

因为''()f x 恒为正，所以'()f x 在(,)-∞+∞上严格单调上升，从而方程

'()0f x =至多有一个根，即函数()t f x =至多有一个稳定点．又因为''()f x 是x 的连续函数，且

'2

2

2(0)0c f v b c

-=

<+， '2

2

()0c f c a x

=

>+，

所以方程'()0f x =的根位于区间(0,)c 内，记作0x ．这就是函数()t f x =的唯一稳定点．已知''()f x 恒为正，因此''0()0f x >，于是由极值第二充分条件，0()f x 为函数()t f x =的极小值．又lim ()x f x →+∞

=+∞，

lim ()x f x →-∞

=+∞

因而连续函数()t f x =的最小值必在(,)-∞+∞内部达到．于是可以断定，唯一的极小值0()f x 就是最小值．这表明，当点M 的横坐标0x x =时，折线就是AMB 光线所走的路线．