函数的奇偶性题型及解析

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专题16 函数的奇偶性(解析版)

专题15 函数的奇偶性题组1 函数的奇偶性概念1.f（x）是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是（）A.f（－x）＋f（x）＝0B.f（－x）－f（x）＝－2f（x）C.f（－x）·f（x）≤0D.＝－1【答案】D【解析】由于f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（－x）＝－f（x），①由此可推A，B，C正确，由于f（－x）可能为0，由①不能推出D.2.下列说法错误的个数是（）①图象关于原点对称的函数是奇函数；②图象关于y轴对称的函数是偶函数；③奇函数的图象一定过原点；④偶函数的图象一定与y轴相交；⑤既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）.A.4B.3C.2D.0【答案】B3.已知函数y＝f（x）满足：f（－2）>f（－1），f（－1）<f（0），则下列结论正确的是（）A.函数y＝f（x）在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增B.函数y＝f（x）在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减C.函数y＝f（x）在区间[－2,0]上的最小值是f（－1）D.以上的三个结论都不正确【答案】D题组2 函数的奇偶性判定与证明4.下列函数中是偶函数的是（）A.y＝2|x|－1，x∈[－1,2]B.y＝x2＋xC.y＝x3D.y＝x2，x∈[－1,0）∪（0,1]【答案】D【解析】A中，函数的定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；B中，y＝x＋x2为非奇非偶函数；C中，y＝x3为奇函数；D中，y＝x2，x∈[－1,0）∪（0,1]的定义域关于原点对称且满足f（－x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数. 故选D.5.已知函数f（x）＝则函数f（x）的奇偶性为（）A.既是奇函数又是偶函数B.既不是奇函数又不是偶函数C.是奇函数不是偶函数D.是偶函数不是奇函数【答案】C【解析】若x＞0，则－x＜0，所以f（－x）＝－4x－x2＝－（4x＋x2）＝－f（x）.若x＜0，则－x＞0，所以f（－x）＝x2－4x＝－（4x－x2）＝－f（x）.综上，恒有f（－x）＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数.故选C.6.设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A.f（x）＋|g（x）|是偶函数B.f（x）－|g（x）|是奇函数C.|f（x）|＋g（x）是偶函数D.|f（x）|－g（x）是奇函数【答案】A【解析】由f（x）是偶函数，可得f（－x）＝f（x），由g（x）是奇函数可得g（－x）＝－g（x），故|g（x）|为偶函数，∴f（x）＋|g（x）|为偶函数.7.若函数f（x）（x∈R）是奇函数，函数g（x）（x∈R）是偶函数，则一定成立的是（）A.函数f[g（x）]是奇函数B.函数g[f（x）]是奇函数C.函数f[f（x）]是奇函数D.函数g[g（x）]是奇函数【答案】C【解析】∵函数f（x）（x∈R）是奇函数，函数g（x）（x∈R）是偶函数，则f[g（－x）]＝f[g（x）]为偶函数；g[f（－x）]＝g[－f（x）]＝g[f（x）]为偶函数；f[f（－x）]＝f[－f（x）]＝－f[f（x）]为奇函数；g[g（－x）]＝g[g（x）]是偶函数.故选C.8.已知集合M＝{f（x）|f2（x）－f2（y）＝f（x＋y）f（x－y），x，y∈R}，有下列命题：①若f（x）＝则f（x）∈M；②若f（x）＝2x，则f（x）∈M；③f（x）∈M，则y＝f（x）的图象关于原点对称；④f（x）∈M，则对于任意实数x1，x2（x1≠x2），总有<0成立.其中所有正确命题的序号是________.（写出所有正确命题的序号）【答案】②③【解析】对①：f2（3）－f2（3）＝1－1＝0，f（3＋3）f（3－3）＝1，左右不相等，故错.对②：f2（x）－f2（y）＝（2x）2－（2y）2＝（2x＋2y）（2x－2y）＝f（x＋y）f（x－y），x，y∈R，故正确.对③：令x＝y＝0，得f2（0）－f2（0）＝f（0）f（0）⇒f（0）＝0，再令x＝0得f2（0）－f2（y）＝f（y）f （－y）⇒－f（y）＝f（－y）或f（y）＝0，即f（－x）＝－f（x）或f（x）＝0，不论为何种情况，f（x）均关于原点对称，故正确.对④：若f（x）＝0，则＝0（x1≠x2），故错.9.奇函数f（x）在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f（－6）＋f（－3）＝________.【答案】－15【解析】由题意知f（3）＝－1，f（6）＝8，又∵f（x）为奇函数，∴2f（－6）＋f（－3）＝－2f（6）－f（3）＝－15.10.判断函数f（x）＝x＋（a为常数）的奇偶性，并证明你的结论.【答案】f（x）为奇函数，证明如下：f（x）的定义域为{x|x≠0}.对于任意x≠0，f（－x）＝－x＋＝－＝－f（x）.∴f（x）为奇函数.题组3 函数图像的对称性11.下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是（）A.答案AB.答案BC.答案CD.答案D【答案】B【解析】A，D不是函数；C不关于原点对称.12.定义在R上的函数f（x）的图象既关于点（1,1）对称，又关于点（3,2）对称，则f（0）＋f（2）＋f（4）＋…＋f（14）等于（）A.16B.24C.32D.48【答案】C【解析】定义在R上的函数f（x）的图象既关于点（1,1）对称，又关于点（3,2）对称，过点（1,1）、点（3,2）的直线方程为＝，即y＝（x＋1），显然函数f（x）＝（x＋1）满足题中条件，∴f（0）＋f（2）＋f（4）＋…＋f（14）＝（1＋3＋5＋…＋15）＝32，故选C.13.函数f（x）＝x3＋的图象（）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于y＝x对称D.关于原点对称【答案】D【解析】由于函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），∵f（－x）＝（－x）3＋＝－（x3＋）＝－f（x），∴f（x）为奇函数，∴函数的图象关于原点对称，故选D.14.已知对于函数f（x）＝x2＋ax定义域内任意x，有f（1－x）＝f（1＋x），则实数a等于（）A.1B.－1C.2D.－2【答案】D15.已知函数y＝f（2x＋1）是定义在R上的奇函数，函数y＝g（x）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，则g（x）＋g（－x）的值为（）A.2B.0C.1D.不能确定【答案】A【解析】∵函数y＝f（2x＋1）是定义在R上的奇函数，∴f（－2x＋1）＝－f（2x＋1）.令t＝1－2x代入可得f（t）＋f（2－t）＝0，∴函数f（x）关于（1,0）对称，∵函数y＝g（x）的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，∴函数g（x）关于（0,1）对称，从而有g（x）＋g（－x）＝2，故选A.16.函数y＝f（x）的图象与y＝f（－x）的图象的关系是（）A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y＝x对称【答案】B【解析】设（x，f（x））是函数y＝f（x）上的点，∵点（－x，f（x））一定在函数y＝f（－x）上，∴函数y＝f（x）的图象与y＝f（－x）的图象关于y轴对称，故选B.17.已知定义域为R的函数y＝f（x），则下列命题正确的是（）A.若f（x＋1）＋f（1－x）＝0恒成立，则函数y＝f（x）的图象关于（1,0）点对称B.若f（x－1）＝f（1－x）恒成立，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称C.函数y＝－f（x－1）的图象与函数y＝f（1－x）的图象关于原点对称D.函数y＝f（x＋1）的图象与函数y＝f（1－x）的图象关于y轴对称【答案】A【解析】A，由f（x＋1）＋f（1－x）＝0，得f（x＋1）＝－f（1－x），则函数y＝f（x）的图象关于（1,0）点对称，故A正确；B，由f（x－1）＝f（1－x），得函数y＝f（x）的图象关于直线x＝0对称，故B错误；C，函数y＝－f（x－1）的图象与函数y＝f（1－x）的图象关于点（1,0）对称，故C错误；D，函数y＝f（x＋1）的图象与函数y＝f（1－x）的图象关于x＝1对称，故D错误.故选A.18.设f（x）是定义在R上的奇函数，且y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＝________.【答案】【解析】∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0.又f（x）关于直线x＝对称，∴f＝f.①在①式中，当x＝时，f（0）＝f（1）＝0.在①式中，以＋x代替x，得f＝f，即f（－x）＝f（1＋x）.∴f（2）＝f（1＋1）＝f（－1）＝－f（1）＝0，f（3）＝f（1＋2）＝f（－2）＝－f（2）＝0，同理，f（4）＝f（5）＝0.∴f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＝0.19.判断函数f（x）＝的奇偶性.【答案】函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.①当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝（－x）3＋3（－x）2－1＝－x3＋3x2－1＝－（x3－3x2＋1）＝－f（x）；②当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝（－x）3－3（－x）2＋1＝－x3－3x2＋1＝－（x3＋3x2－1）＝－f（x）.由①②知，对任意x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数.20.f（x），g（x）是定义在R上的奇函数，试判断y＝f（x）＋g（x），y＝f（x）g（x），y＝f[g（x）]的奇偶性.【答案】∵f（x），g（x）是定义在R上的奇函数，∴f（－x）＋g（－x）＝－f（x）－g（x）＝－[f（x）＋g（x）]，y＝f（x）＋g（x）是奇函数.f（－x）g（－x）＝[－f（x）][－g（x）]＝f（x）g（x），y＝f（x）g（x）是偶函数.f[g（－x）]＝f[－g（x）]＝－f[g（x）]，y＝f[g（x）]是奇函数.。

奇偶性的试题及解析

绝密★启用前1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x 3－1x ； (2)f(x)＝|2|2x ＋－； (3)f(x)＝(x －(4)f(x). 【答案】（1）奇函数（2）奇函数（3）既不是奇函数也不是偶函数（4）既是奇函数也是偶函数解析:(1)定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，由f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)去掉绝对值符号，根据定义判断．由210|2|20x x ⎧≥⎨≠⎩－，＋－，得1104x x x ≤≤⎧⎨≠≠⎩－，且－.故f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且有x ＋2＞0.从而有f(x)＝22x x＝＋－，这时有f(－x)＝21(x x --)－＝－f(x)，故f(x)为奇函数． (3)因为f(x)定义域为[－1，1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)因为f(x)定义域为{，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数2．下列函数是奇函数的是（）A ．()||f x x =-B ．()22x x f x -=+C ．()lg(1)lg(1)f x x x =+--D ．3()1f x x =-【答案】C 解析：对于B ，()22()x x f x f x --=+=，函数()f x 为偶函数，所以B 错；对于C ，由1010x x +>⎧⎨->⎩，故11x -<<，关于原点对称，又()lg(1)lg(1)()f x x x f x -=--+=-对于D ，33()()11()()f x x x f x f x -=--=--≠≠-，函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数，3．已知函数)(x f y =是奇函数，当0>x 时，,lg )(x x f =则( )C.2lgD.-2lg 【答案】D.解析:4．已知函数(1)f x +是奇函数，(1)f x -是偶函数，且(0)2,(4)则f f ==（）A ．-2B ．0C ．2D ．3【答案】A 解析:因为函数(1)f x +是奇函数，所以)(x f 的对称中心为（1,0），因为(1)f x -是偶函数，所以)(x f 的对称轴为x=-1。

高二数学函数的奇偶性试题答案及解析

高二数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知是定义在R上的奇函数，当时（m为常数）,则的值为（）. A．B．6C．4D．【答案】D【解析】因为是定义在R上的奇函数且当时，所以.则.【考点】函数奇偶性的应用.2.以下命题正确的是（1）若；（2）若，则必要非充分条件；（3）函数；（4）若奇函数满足，则函数图象关于直线对称．【答案】（1）（2）．【解析】（1）,,故正确；（2），，，所以必要非充分条件，故正确；（3）令，则在上为减函数，所以；（4）为奇函数，，又因为，则，即函数图像关于对称．【考点】函数的性质．3.设是定义在上的奇函数，当时，，则 .【答案】-3【解析】由奇函数的定义可知，【考点】奇函数的应用.4.若是定义在R上的奇函数，且满足，给出下列4个结论：（1）；（2）是以4为周期的函数；（3）；（4）的图像关于直线对称；其中所有正确结论的序号是 .【答案】①②③【解析】①因为是定义在R上的奇函数，所以，则；②，，即周期为4；③因为是定义在R上的奇函数，所以，又，；④因为是定义在R上的奇函数，所以的图像关于直线对称；故选①②③.【考点】函数的奇偶性、周期性.5.设函数．若，则．【答案】【解析】因为，所以，即有，而．【考点】初等函数的性质及函数部分奇、偶性．6.设函数，若是奇函数，则的值是 .【答案】.【解析】由题意可知，又∵是奇函数，∴.【考点】函数的奇偶性与分段函数.7.下列函数是奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据奇偶函数的定义易知，A、B都满足，均为偶函数，C中，函数的定义域为，且，故C中的函数为奇函数，而D 中，定义域为，但，且，该函数为非奇非偶函数，综上可知，选C.【考点】函数的奇偶性.8.已知函数是定义在区间-2，2上的偶函数，当时，是减函数，如果不等式成立，则实数的取值范围（）A．B．1，2C．D．【答案】【解析】根据题意知,函数在上单调递增,在上单调递减.首先满足,可得.根据函数是偶函数可知:,所以分两种情况:当时,根据不等式成立,有,解得;当时,根据不等式成立,有,解得;综上可得.【考点】偶函数性质.9.现有四个函数:①;②;③; ④的图象(部分)如下,但顺序被打乱,则按照从左到右的顺序对应的函数序号是（）A．④①②③B．①④②③C．①④③②D．③④②①【答案】【解析】首先判断函数的奇偶性,显然①是偶函数, ②③奇函数, ④非奇非偶函数．所以从左到右①④②③或①④③②．③中当时,显然,当时,．所以其对应第四个图．所以从左到右①④②③．【考点】函数图像的观察,函数奇偶性的判断．10.设函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，则实数的值为【答案】【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，所以又因为当时，，所以【考点】偶函数性质11.观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则＝（）A．B．－C．D．－【答案】D【解析】由中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；…，同此可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在上的函数满足，则函数为偶函数．又∵为的导函数，则奇函数，所以，即，故选D．【考点】1、归纳推理；2、函数的奇偶性．12.已知偶函数f（x）在[0，∞）上是增函数，则不等式的解集是【答案】【解析】根据偶函数的性质：,所以,函数在[0，∞）上是增函数，所以,,解得【考点】1.偶函数的性质；2.解不等式.13.已知函数f(x)＝x3.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求证：f(x)>0.【答案】（1）偶函数（2）见解析【解析】(1)解∵2x－1≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．∵f(－x)－f(x)＝ (－x)3－x3＝ (－x)3－x3＝·x3－x3－·x3－x3＝x3－x3＝0，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)证明由题意知x≠0，当x>0时，∵2x－1>0，x3>0，∴f(x)>0；当x<0时，∵－x>0，∴f(－x)＝f(x)>0，∴f(x)>0.综上所述，f(x)>0.14.已知函数，，则。

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析1.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【答案】C【解析】设，则，因为是奇函数，是偶函数，故，即是奇函数，选C．【考点】函数的奇偶性．2.若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．【答案】－1【解析】∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.∴a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.3.若的图像是中心对称图形,则( )A．4B．C．2D．【答案】B【解析】，因为为偶函数，所以当且仅当，即时，为奇函数，图像关于原点对称．故选B.【考点】奇函数4.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于()A．-3B．-1C．1D．3【答案】A【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,即f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.故选A.5.已知函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝()A．－20B．－18C．－15D．17【答案】C【解析】由于函数f(x)是奇函数，所以g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x，g(－1)＝－3.故f(－3)＝g(－3)＝－15.6.若函数f(x)=(a+)cosx是奇函数,则常数a的值等于()A．-1B．1C．-D．【答案】D【解析】设g(x)=a+,t(x)=cosx,∵t(x)=cosx为偶函数,而f(x)=(a+)cosx为奇函数,∴g(x)=a+为奇函数,又∵g(-x)=a+=a+,∴a+=-(a+)对定义域内的一切实数都成立,解得:a=.7.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________.【答案】－2【解析】f(－1)＝－f(1)＝－2.8.已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.【答案】2【解析】因为函数f(x)＝是定义域为R的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，即＝－，解得a＝2.9.函数y＝sin22x是()．A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数【答案】D【解析】y＝sin22x＝＝－cos 4x，则周期为：＝，且为偶函数．10.已知，其中是常数．（1））当时，是奇函数；（2）当时，的图像上不存在两点、，使得直线平行于轴．【答案】证明见解析．【解析】(1)奇函数的问题，可以根据奇函数的定义，利用来解决，当然如果你代数式变形的能力较强，可以直接求然后化简变形为，从而获得证明；(2)要证明函数的图像上不存在两点A、B，使得直线AB平行于轴，即方程不可能有两个或以上的解，最多只有一个解，，，因此原方程最多只有一解，或者用反证法证明，设存在，即有两个，且，使，然后推理得到矛盾的结论，从而完成证明．试题解析：（1）由题意，函数定义域， 1分对定义域任意，有：4分所以，即是奇函数. 6分（2）假设存在不同的两点，使得平行轴，则9分化简得：，即，与不同矛盾。

高常考题—函数的性质(含解析)

函数的性质一、题型选讲题型一、函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（） A ．2x - B ．2x - C ．2x --D ．2x例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（）A ．-15B ．-7C ．3D ．15例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为（） A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为________．例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．题型三、函数的周期性1、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期2、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a = （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a = （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f(x)＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x≤2，log 2⎝⎛⎭⎫x －32，2<x≤4.则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．例9、(2017南京三模）已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．题型四函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。

函数的奇偶性的应用题型归纳

函数的奇偶性的应用题型归纳一、求函数值例1、已知函数5)(24+++=x cx ax x f ，若f （－3）＝－3，求f （3）的值。

分析：若将f （－3）＝－3展开，显然无法求出a ，c 的值，只能将81a ＋9c 视为整体来求f （3），进一步观察函数结构，可构造函数解题。

解：设5)(24++=cx ax x g ，则g （x ）为偶函数，且g （x ）＝f （x ）－x ，因为)()()(),()(x x f x g x g x g ---=-=-，所以x x f x x f -=---)()()(，所以x x f x f 2)()(=--，所以6)3()3(=--f f ，又因为3)3(-=-f ，所以.3)3(=f二、求函数解析式例2、已知f （x ）是R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，求f （x ）的解析式。

分析：要求f （x ）在R 上的解析式，条件已给出f （x ）在),0(+∞上的解析式，还需求当0≤x 时f （x ）对应的解析式。

解：方)0,(-∞∈x ，),0(+∞∈-x ，所以)1()1()(33x x x x x f --=-+-=-因为f （x ）是R 上的奇函数，所以)1()()(3x x x f x f -=--=，)0,(-∞∈x ，在)()(x f x f -=-中，令x ＝0，得f （0）＝0，所以⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=0),1(0,00),1()(33x x x x x x x x f 即⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0),1(0),1()(33x x x x x x x f 点评：利用函数的奇偶性求解析式是常见题型，其步骤为：（1）设，即将自变量x 设在未知区间上；（2）化，即将x 转化到已知区间上；（3）求，即根据函数的奇偶性求出解析式。

另外，若奇函数f （x ）在原点处有定义，则f （0）＝0.三、比较大小例3、已知f （x ）是偶函数，且在区间[0，1]上是单调增函数，比较)0(),1(),5.0(f f f -- 的大小。

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知函数为奇函数，且当时，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知有，故选Ａ．【考点】函数的奇偶性．2.已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和），则( )．A．B．C．D．【答案】C【解析】由定义在上的函数是奇函数且满足知，= = =，所以= = = =，所以的周期为3，由得，，当n≥2时，=，所以=，所以=-3，=-7，=-15，=-31，=-63，所以 ====3，故选C.【考点】函数的奇偶性、周期性，数列的递推公式，转化与化归思想3.下列函数在定义域内为奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据奇函数的定义：A选项：，所以函数为奇函数；B选项：，所以函数为偶函数；C选项：，所以函数为偶函数；D选项：，所以函数为偶函数；可知A正确。

【考点】函数的奇偶性.4.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【答案】C【解析】由函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，可得：和均为偶函数，根据一奇一偶函数相乘为奇函数和两偶函数相乘为偶函数的规律可知选C．【考点】函数的奇偶性5.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分.设常数，函数（1）若=4，求函数的反函数；（2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.【答案】（1），；（2）时为奇函数，当时为偶函数，当且时为非奇非偶函数．【解析】（1）求反函数，就是把函数式作为关于的方程，解出，得，再把此式中的互换，即得反函数的解析式，还要注意的是一般要求出原函数的值域，即为反函数的定义域；（2）讨论函数的奇偶性，我们可以根据奇偶性的定义求解，在，这两种情况下，由奇偶性的定义可知函数具有奇偶性，在时，函数的定义域是，不关于原点对称，因此函数既不是奇函数也不是偶函数．试题解析：（1）由，解得，从而，∴，∵且∴①当时，，∴对任意的都有，∴为偶函数②当时，，，∴对任意的且都有，∴为奇函数③当且时，定义域为，∴定义域不关于原定对称，∴为非奇非偶函数【考点】反函数，函数奇偶性．6.已知f(x)＝asinx＋bx＋c(a，b，c∈R)，若f(0)＝－2，f()＝1，则f(－)＝________.【答案】－5【解析】由题设f(0)＝c＝－2，f()＝a＋b－2＝1所以f(－)＝－a－b－2＝－5.7.若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是()A．(－1,0)B．(－∞，0)∪(1,2)C．(1,2)D．(0,2)【答案】D【解析】根据函数的性质作出函数f(x)的图象如图．把函数f(x)向右平移1个单位，得到函数f(x－1)，如图，则不等式f(x－1)<0的解集为(0,2)，选D.8.已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.【解析】当x>0时，－x<0，由题意得f(－x)＝－f(x)，所以x2－x＝－ax2－bx，从而a＝－1，b＝1，a＋b＝0.9.下面四个命题：①已知函数f(x)＝sin x，在区间[0，π]上任取一点x0，则使得f(x)>的概率为；②函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到函数y＝sin的图象；③命题“∀x∈R，x2－x＋1≥”的否定是“∃x0∈R，x2－x＋1<”；④若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x＋4)＝f(x)，则f(2 012)＝0．其中所有正确命题的序号是________．【答案】①③④【解析】②错误，应该向左平移；①使得f(x)>的概率为p＝＝；④f(2 012)＝f(0)＝0．10.函数的图象大致是()A．B．C．D．【答案】A【解析】易知函数是偶函数，当x=0时，. 所以选A.11.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足 (，且)，若，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】由条件，，即，由此解得，，所以选B．12.函数的图像大致为( ).【答案】A【解析】由条件，得函数的定义域为，排除C、D；又＝＝，所以函数为奇函数，排除B，故选A．【考点】函数图象．13.设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且︱AB︱=︱BC︱=,则直线l的方程为（）A.y=5x+1B.y=4x+1C.y=3x+1D.y=x+1【答案】C【解析】由曲线关于（0,1）中心对称,则B（0，1），设直线l的方程为y=kx+1，代入y=x3+2x+1，可得x3=（k-2）x，∴x=0或x=±，∴不妨设A（,k·+1）(k >2）,∵|AB|＝|BC|＝∴(-0)2+（k·+1-1）2=10∴k3-2k2+k-12=0,∴（k-3）（k2+k+4）=0，解得k=3，∴直线l的方程为y=3x+1,故选C.【考点】1.函数的周期性；2.函数奇偶性的性质．14.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，则函数（）A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数【答案】B【解析】，由题意知，因此函数为偶函数，故选B.【考点】1.三角函数图像变换；2.辅助角公式；3.三角函数的奇偶性15.设函数的定义域为，如果存在正实数，对于任意，都有，且恒成立，则称函数为上的“型增函数”，已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若为上的“2014型增函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是定义在上的奇函数，设,则．，．．①当时，由，可得，化为，由绝对值的几何意义可得，解得②当时，由f（2014+x）＞f（x），分为以下两类研究：当时，可得，化为，由绝对值的几何意义可得，解得．当，，化为，故时成立．当时，，③当时，由可得，当时成立，当时，.综上可知：的取值范围是,故选C.【考点】1.奇函数的性质；2.绝对值的意义；3.分类讨论思想.16.设偶函数满足，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】的解集为,因为是偶函数，关于轴对称，所以的解集为或,那么的解集为或,故解集为或,故选B.【考点】1.函数的奇偶性；2.解不等式.17.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)＝________．【答案】x3＋x－1【解析】若x<0，则－x>0，f(－x)＝－x3－x＋1，由于f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x3＋x－1.18.设函数f(x)＝x(e x＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为______________．【答案】－1【解析】由题意可得g(x)＝e x＋ae－x为奇函数，由g(0)＝0，得a＝－1.19.已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对∀x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x1，x2∈[0,2]，且x1≠x2时，都有<0，给出下列命题：①f(2)＝0；②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[－4,4]上有四个零点；④f(2 014)＝0.其中所有正确命题的序号为________．【答案】①②④【解析】令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，解得f(－2)＝0，因为函数f(x)为偶函数，所以f(2)＝0，①正确；因为f(－4＋x)＝f(－4＋x＋4)＝f(x)，f(－4－x)＝f(－4－x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以f(－4＋x)＝f(－4－x)，即x＝－4是函数f(x)的一条对称轴，②正确；当x1，x2∈[0,2]，且x 1≠x2时，都有<0，说明函数f(x)在[0,2]上是单调递减函数，又f(2)＝0，因此函数f(x)在[0,2]上只有一个零点，由偶函数知函数f(x)在[－2,0]上也只有一个零点，由f(x＋4)＝f(x)，知函数的周期为4，所以函数f(x)在(2,6]与[－6，－2)上也单调且有f(6)＝f(－6)＝0，因此，函数在[－4,4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(2 014)＝0，④正确．20.已知函数f(x)是定义域为R上的奇函数，且周期为2.若当x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(的值是 ()．A．－B．－5C．－D．－6【答案】C【解析】∵f(x)是在R上的奇函数，且周期为2.∴f＝－f(log26)＝－f(log26－2)＝－f(log2)，又x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，从而f＝＋1＝－＋1＝－21.设函数f(x)＝x(e x＋a e－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝________.【答案】－1【解析】g(x)＝e x＋a e－x为奇函数，由g(0)＝0得a＝－1.22.设为实常数，是定义在上的奇函数，且当时，．若对一切成立，则的取值范围是 .【答案】【解析】因为是定义在上的奇函数，所以当时，；当时，，因此且对一切成立所以且，即.【考点】函数奇偶性，不等式恒成立23.函数的图象大致为( )【答案】A【解析】观察函数可知，該函数是偶函数，其图像关于轴对称，据此可排除B,D.又在轴附近，函数值接近1，所以C不符合.选A.【考点】函数的奇偶性，函数的图像.24.设偶函数满足,则不等式的解集为（）A．或B．或C．或D．或【答案】Ｂ【解析】画出的图象，再关于轴对称，得到偶函数左侧的图象，再将所得图象向右平移2个单位，得到的图象，由图观察得的解集为或．【考点】１偶函数的图象和性质；2、图象的变换；3、不等式解法.25.．定义在上的偶函数，当x≥0时，，则满足的x取值范围是（）A．（-1,2）B．（-2,1）C．[-1,2]D．（-2,1]【答案】A【解析】设，则，因为当时，，所以，又因为函数定义在上的偶函数，所以．所以当时，，如图所示：因为，所以，解得：．故选A．【考点】函数的奇偶性，抽象函数及其应用．26.已知函数为奇函数，且当时，则当时，的解析式( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为求当时，的解析式时的解析式，设在任意的则，.又因为函数为奇函数.所以.故选B.本小题考查的分段函数的奇偶性问题.【考点】1.分段函数的解析式.2.函数的奇偶性.27.设函数，其中为已知实数，，则下列各命题中错误的是（）A．若，则对任意实数恒成立;B．若，则函数为奇函数;C．若，则函数为偶函数;D．当时，若，则【答案】D【解析】由函数，可化简得：，则，，则在中，若，则，即正确;在中，若，则函数，有是奇函数，即正确; 在中，若，则函数，有是偶函数，即正确;在中，由知不同时为，则函数的最小正周期为，若，则，即错误．【考点】1.三角化简;2.函数的奇偶性;3.函数的同周期性28.若为偶函数，且是的一个零点，则－一定是下列哪个函数的零点（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数为偶函数.所以f(-x)=f(x).是的一个零点所以.又因为.所以.即.所以是函数的零点.即是函数的零点.因为.所以是函数的零点.故选D.【考点】1.函数的奇偶性.2.函数的零点问题.3.函数的对称性.29. R上的奇函数满足，当时，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】据题意得，这是一个周期为3的周期函数，且为奇函数.所以.选A.【考点】函数的性质.30.是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是 .【答案】【解析】因为函数是周期为的偶函数，所以由可知，，，所以有，，所以在区间内，方程至少有，，，四个解.【考点】1.函数的周期性；2.偶函数31.若函数，则函数（）A．是偶函数，在是增函数B．是偶函数，在是减函数C．是奇函数，在是增函数D．是奇函数，在是减函数【答案】A【解析】由定义易得，函数为奇函数.求导得：.（这里之所以在分子提出来，目的是便于将分子求导）再令，则.当时，，所以在时单调递减，，从而.所以在上是减函数，由偶函数的对称性知，在上是增函数.巧解：由定义易得，函数为奇函数.结合选项来看，函数在上必单调，故取特殊值来判断其单调性. ，，所以在上是减函数，由偶函数的对称性知，在上是增函数.选A【考点】函数的性质.32.已定义在上的偶函数满足时，成立，若，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解析】构造函数，由函数是R上的偶函数，函数是R上的奇函数可得是R上的奇函数，又当时，所以函数在时的单调性为单调递减函数；所以在时的单调性为单调递减函数，因为，，，故，即：，故选Ｃ．【考点】函数奇偶性的性质，简单复合函数的导数，函数的单调性与导数的关系．33.设函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，则实数的值为【答案】【解析】当时，由有，得，又由函数是定义在R上的偶函数，根据对称性知，当时，由，应有，所以实数的值为.【考点】函数的奇偶性.34.若为奇函数且在）上递增，又，则的解集是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】为奇函数且在上递增，则在上递减.又，所以等价于.根据题设作出的大致图象如图所示：由图可知，的解集是：.所以选D.【考点】1、抽象函数；2、函数的单调性和奇偶性；3、解不等式.35.已知可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和，若不等式对于恒成立，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】依题意，g(x)+h(x)= .....（1），∵g(x)是奇函数，∴g(-x)=-g(x)；∵h(x)是偶函数，∴h(-x)=h(x)；∴g(-x)+h(-x)="h(x)-g(x)=" (2)解(1)和(2)组成的方程组得h(x)=，g(x)=∴ag(x)+h(2x)=a +，∴a· +≥0在x∈[1,2]恒成立令t=，∴=，当x∈[1,2]时，t∈[2,4]，∴原不等式化为a(t－)+(t2+)≥0在t∈[2,4]上恒成立，由不等式a(t－)+(t2+)≥0，可得a(t－)≥－(t2+)，∵当t∈[2,4]时，t－t>0恒成立，∴a≥ == ，即a≥在t∈[2,4]上恒成立，令u=t－,求导得=1+>0恒成立，∴u=t-在t∈[2,4]上单调递增∴u∈[ ]，令f(u)=u+，u∈[]，求导得(u)=1->0在u∈[]上恒成立，∴f(u)在u∈[]上单调递增即当u=，f(u)取最小值f()= ，当u=时，可解得t=2（另一根不在t∈[2,4]内故舍去）∴当t=2时，取最小值为，即取最大值为－，∴a≥－，当t=2，x=1时取等号，∴a的最小值为－．【考点】１.函数的奇偶性；２.不等式的性质；3.导数的性质.36.已知是奇函数,且.若,则_______ .【答案】【解析】令为奇函数, ,,从而,.【考点】函数的奇偶性.37.设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为 .【答案】.【解析】当时，，解得；当时，，由于函数是偶函数，，解得，综上所述，.【考点】函数的奇偶性38.已知偶函数满足，且在区间上单调递增.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为偶函数在区间上是增函数且，所以可化为，则有，解得的取值范围是，选B.【考点】函数的性质。

函数的奇偶性题型解析(含答案)

函数奇偶性的判定问题1. 判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·xx -+11；（3）f （x ）=2|2|12-+-x x ；（4）f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x （5）xx x f 2)21()(2+= 2.判断下列函数的奇偶性2211(0)2()11(0)2x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩3.判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－3x 2＋1x ＞0x 3＋3x 2－1x ＜0的奇偶性．4.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递增的函数是( )答案：BA. B.C. D.1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （）AA ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数5.已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 47．若y ＝（m +1）x 2＋8mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．0【例15】若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间。

2.已知函数是偶函数，那么是( )答案：A A.奇函数 B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数已知函数121)(+-=x a x f )(R x ∈,若)(x f 为奇函数，则=a ___；9.若f （x ）=1222+-+⋅x x a a 为奇函数，求实数a 的值.2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） AA ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝01.设函数的定义域为，且是奇函数，则实数a 的值是( )答案：CA. B.1 C.D.36.已知函数是偶函数，且，则的值为( )答案：DA.-1B.1C.-5D.54．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（）AA ．－26B ．－18C ．－10D ．102.已知函数)(x f y =为R 上的奇函数，若1)2()3(=-f f ，则=---)3()2(f f ____；5．函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（）BA ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数8．函数2122)(x x x f ---=奇偶性为_____奇函数___（填奇函数或偶函数）)(x f 是定义在R 上的奇函数,则)0(f =___；若有3)2(=-f ，则=)2(f ___；若7)5(=f ；则=-)5(f ___；已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f 。

高一数学函数的奇偶性试题答案及解析

高一数学函数的奇偶性试题答案及解析1.若函数是偶函数，则的递减区间是【答案】【解析】偶函数的图像关于轴对称，故，则，则的递减区间是。

【考点】（1）偶函数图像的性质；（2）二次函数单调区间的求法。

2.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【答案】A【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定故选A【考点】函数奇偶性的判断3.设函数为奇函数，,，则=（）A．0B．C．D．-【答案】C．【解析】由题意知，，又因为函数为奇函数，所以，且，再令中得，，即，所以，故选C．【考点】函数的奇偶性；抽象函数．4.已知为偶函数，当时，，则满足的实数的个数为（）．A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】令，则，解得；又因为为偶函数，所以当时，，则或；当时，，方程无解；，方程有两解；，方程有一解；，方程有一解；即当时，有四解，由偶函数的性质，得当时，也有四解；综上，有8解.【考点】函数的性质、方程的解.5.偶函数满足，且在时，，若直线与函数的图像有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以函数的图像关于直线对称，又是偶函数，所以，即有，所以是周期为2的函数，由，得，即，画出函数和直线的示意图因为直线与函数的图像有且仅有三个交点，所以根据示意图易知：由直线与半圆相切，可计算得到，由直线与半圆相切可计算得到，所以，选B.【考点】1.函数的对称性、奇偶性、周期性；2.函数图像；3.直线与圆的位置关系；4.点到直线的距离公式.6.若函数在其定义域上为奇函数，则实数 .【答案】【解析】小题可采用带特殊值法求得，检验此时在处有定义.【考点】奇函数定义及特殊值法.7.已知函数是偶函数（1）求k的值；（2）若函数的图象与直线没有交点，求b的取值范围；（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）；(3)【解析】（1）因为函数是偶函数，所以根据偶函数的定义，得到一个关于x,k的等式.由于对于任意的x都成立，相当于恒过定点的问题，所以求得k的值.（2）因为函数的图象与直线没有交点，所以对应的方程没有解，利用分离变量的思维可得到一个等式，该方程无解.所以等价两个函数与没有交点，所以求出函数的最值.即可得到b的取值范围.(3)因为，若函数与的图象有且只有一个公共点，所以等价于方程有且只有一个实数根.通过换元将原方程化为含参的二次方程的形式，即等价于该二次方程仅有一个大于零的实根，通过讨论即可得到结论.试题解析：（1）因为为偶函数，所以，即对于任意恒成立.于是恒成立,而不恒为零，所以. 4分（2）由题意知方程即方程无解.令，则函数的图象与直线无交点.因为，由，则，所以的取值范围是 . 8分（3）由题意知方程有且只有一个实数根．令，则关于的方程 (记为(*))有且只有一个正根.若，则，不合题意, 舍去；若，则方程(*)的两根异号或有两相等正根.由或；但，不合题意，舍去；而；若方程(*)的两根异号综上所述，实数的取值范围是． 12分【考点】1.函数的奇偶性.2.函数的与方程的思想的转化.3.换元法的应用.4.含参数的方程的根的讨论.8.设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为 .【答案】【解析】若，则由，得，，解得成立．若，则由，得，即，，得，即，所以．【考点】函数的奇偶性．9.定义在上的函数,对任意都有,当时,,则________.【答案】【解析】由可知函数是周期函数且周期为；所以，而当时，，故.【考点】1.函数的周期性；2.抽象函数；3.函数的解析式.10.已知是定义在上的奇函数，当时，,那么的值是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数，所以.【考点】奇函数的定义.11.已知函数的定义域为,且为偶函数,则实数的值可以是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数的定义域为，所以在函数中，，则函数的定义域为，又因为为偶函数，所以，故选A．【考点】本题主要考查了抽象函数的定义域，以及偶函数的性质．12.已知定义在R上的单调递增函数满足,且。

函数奇偶性的知识点及例题解析

函数的奇偶性知识点及例题解析一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。

理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。

这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。

奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。

偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增） ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称；②、比较)(x f -与)(x f 的关系。

高一数学函数的奇偶性试题答案及解析

高一数学函数的奇偶性试题答案及解析1.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【答案】A【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定故选A【考点】函数奇偶性的判断2.若定义在上的奇函数和偶函数满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】为奇函数和为偶函数，由可得，即，，可解得.故选A.【考点】函数的奇偶性.3.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，如图所示，那么不等式f(x)cosx＜0的解集是( ).A．B．C．D．【解析】图1图2如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx图象，要求得的解集，只需转化为在寻找满足如下两个关系的区间即可：，结合图象易知当时，，当时，，当时，，故选B.【考点】奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想.4.已知函数为偶函数，且若函数，则= ．【答案】2014【解析】由函数为偶函数，且得从而，故应填入2014．【考点】函数的奇偶性．5.若函数在其定义域上为奇函数，则实数 .【答案】【解析】小题可采用带特殊值法求得，检验此时在处有定义.【考点】奇函数定义及特殊值法.6.函数的图像大致是（）【答案】A【解析】因为的定义域为且，所以为上的偶函数，该函数的图像关于轴对称，只能是图像A、C选项之一，而，故选A.【考点】1.函数的图像；2.函数的奇偶性.7.已知，，则_ ____．【答案】5【解析】函数，，又为奇函数，所以.【考点】函数奇偶性.8.已知是奇函数，且，则．【解析】令，因为此函数是奇函数，所以。

归纳函数奇偶性题型及解法

归纳函数奇偶性题型及解法我们知道，如果对于函数()x f 的定义域内的任意一个x ，都有()()x f x f =-，则称函数()x f y =是偶函数；如果对于函数()x f 的定义域内的任意一个x ，都有()()x f x f -=-，则称函数()x f y =是奇函数．下面来谈谈典型问题：题型一：一般函数奇偶性的判断与证明例1：判断函数()2212---=x x x f 的奇偶性．分析：应该首先判断函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的情况下，利用奇偶函数的定义判断．解：函数的定义域为⎪⎩⎪⎨⎧≠--≥-022012x x ，得到为01<≤-x 或10≤<x ，定义域关于原点对称，∵()2212---=x x x f =x x --21，此时有()()()x f x x x f -=--=-21，则函数()x f 为奇函数．点评：在判断一个函数的奇偶性之前，要先求定义域，看其是否关于原点对称，其次，能将解析式化简的则需要化简好再作判断．题型二：抽象函数奇偶性的判断例2：已知函数()x f ，R x ∈，若对于任意实数a 、b ，都有()()()b f a f b a f +=+，求证：()x f 为奇函数．分析：因为对于任意的实数a 、b ，都有()()()b f a f b a f +=+，则可以令a 、b 为某些特殊值，得出()x f -()x f -=．解：设0=a ，则()()()b f f b f +=0，则()00=f ．又设x a -=，x b =，则()()()x f x f f +-=0，∴()x f -()x f -=．∴()x f 是奇函数．点评：涉及抽象函数的奇偶性证明，通常用赋值法，结合条件中恒成立的式子，通过赋值，令解析式满足的式子中出现x 和x -，依据函数奇偶性的定义进行证明．题型三：分段函数奇偶性的判断例3：判断函数()()()⎩⎨⎧<-≥+=0)1(0)1(x x x x x x x f 的奇偶性．分析：对于本题中，要注意分段来考虑函数的奇偶性，特别需要注意的是在奇偶性的定义中，涉及到()x f -与()x f 的关系时，都是以对方的存在为前提．解：当0>x 时，有0<-x ，所以())()1(x f x x x f -=+-=-；当0<x 时，有0>-x ，所以())()1(x f x x x f -=--=-；当0=x 时，()0=x f 显然有()()x f x f -==-0，综合上面所述，对任意的R x ∈，都有()()x f x f -=-成立，所以()x f 是奇函数．点评：本题中除了要分段进行考虑之外，还需要注意的是不要漏掉了对0=x 的判断．题型四：利用函数的奇偶性求函数解析式例4：已知()x f 是奇函数，且当0>x 时，()2-=x x x f ，求0<x 时()x f 的表达式．分析：求0<x 的解析式，将自变量转化为其相反数的范围，即得0>-x ，由0>x 的解析式及()x f 是奇函数的性质求出()x f ．解：设0<x ，且满足表达式()2-=x x x f ，∴()2---=-x x x f =2+-x x ，又()x f 是奇函数，则()()x f x f -=-， ∴()2+-=-x x x f ，∴()2+=x x x f ，则当0<x 时()2+=x x x f ．点评：（1）在哪个区间求解析式，就设在哪个区间里；（2）转化为已知的解析式进行代入；（3）利用()x f 的奇偶性把()x f -写成()x f -或()x f ，从而求出()x f ．题型五：函数单调性和奇偶性综合性问题例5：设函数()x f 在R 上是偶函数，在区间()0,∞-上递增，且()<++122a a f ()3222+-a a f ，求a 的取值范围．分析：要求a 的取值范围，就要列关于a 的不等式组，因而利用函数的单调性，奇偶性化“抽象的不等式”为具体的代数不等式则是关键．解：由于()x f 在R 上是偶函数，()x f 在R 上是偶函数，则()x f 在()+∞,0上递减， ∵874121222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++a a a 0>，025********>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-a a a ，且()<++122a a f ()3222+-a a f ，∴3221222+->++a a a a ，即023>-a ，解之得32>a ．点评：给出函数的奇偶性及y 轴一侧的单调性，结合函数奇偶性的性质，可得到其关于y 轴对称区间上的单调性，由此可以脱掉函数符号“f ”，则问题可以迎刃而解．对于奇偶性问题，理解了定义的特征，掌握了判断的方法，则不论题型如何变化，则始终能轻松解决．。

函数奇偶性知识点和经典题型归纳

函数奇偶性例题精讲【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值.解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx.∴2bx=0. ∴b ＝0.【例3】已知函数21()f x x=在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象.题型一判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性.（1）2()||(1)f x x x =+；（2）1()f x x x=；（3）()|1||1|f x x x =+--；（4）()22f x x x =--（5）22()11f x x x =--（6）22,0(),0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩ 解：（1）2()||(1)f x x x =+的定义域为 R ，关于原点对称．∵22()||[()1]||(1)()f x x x x x f x -=--+=+=∴()()f x f x -=，即 ()f x 是偶函数．（2）1()f x x x=的定义域为{|0}x x > 由于定义域关于原点不对称故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（3）()|1||1|f x x x =+--的定义域为 R ，关于原点对称．∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f(x)，∴f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．（4）()22f x x x =--{2}，由于定义域关于原点不对称，故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（5）22()11f x x x =--的定义域为{1，－1}，由(1)0f =且(1)0f -=，所以()0f x =所以()f x 图象既关于原点对称，又关于 y 轴对称故()f x 既是奇函数又是偶函数．（6）显然定义域关于原点对称．当 x >0 时，－x <0，f (－x )＝x 2－x ＝－(x －x 2)；当 x <0 时，－x >0，f (－x )＝－x －x 2＝－(x 2＋x )．即22(),0()(),0x x x f x x x x ⎧-+<⎪-=⎨-->⎪⎩即()()f x f x -=-∴()f x 为奇函数．题型二利用函数的奇偶性求函数值【例2】若 f (x )是定义在 R 上的奇函数，f (3)＝2，求 f (－3)和f (0)的值.解：∵f (x )是定义在 R 上的奇函数，∴f (－3)＝－f (3)＝－2，f (0)＝0.【例5】已知 f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且 f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，求g (1). 解：由 f (x )是奇函数，g (x )是偶函数得()()f x f x -=-，()()g x g x -=所以－f (1)＋g (1)＝2 ①f (1)＋g (1)＝4 ②由①②消掉 f (1)，得 g (1)＝3.题型三利用函数的奇偶性求函数解析式【例6】已知函数()f x 是定义在 R 上的偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x 3－x 2，当 x>0 时，求f(x)的解析式.解：当0x >时，有0x -<所以3232()()()f x x x x x -=---=--又因为()f x 在 R 上为偶函数所以32()()f x f x x x =-=--所以当0x >时，32()f x x x =--.【例7】若定义在 R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()x f x g x e +=，求()g x . 解：因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-因为()()x f x g x e += ①所以()()x f x g x e --+-=所以()()x f x g x e -+-= ②由①②式消去()f x ，得()2x xe e g x --=.随堂检测仔细读题，一定要选择最佳答案哟！单调性及奇函数偶函数阶段检测卷 1. 函数()11f x x x =-- ） A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（） A.2 B.1 C.0 D.-2 3. f (x )为偶函数，且当 x ≥0 时，f (x )≥2，则当 x ≤0时，有（）A ．f (x )≤2B ．f (x )≥2C ．f (x )≤－2 D.f (x )∈R4. 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则（）A.f （0）＜f （－1）＜f （2）B.f （－1）＜f （0）＜f （2）C.f （－1）＜f （2）＜f （0）D.f （2）＜f （－1）＜f （0）5.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是（） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数 6. 定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为（）A.（－3，0）∪（0，3）B.（－∞，－3）∪（3，+∞）C.（－3，0）∪（3，+∞）D.（－∞，－3）∪（0，3） 7. 若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)<f(1)，则下列各式中一定成立的是( )A ．f(－1)<f(－3)B ．f(0)>f(1)C ．f(2)>f(3)D ．f(－3)<f(5)8. 设f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1,2]上( )A ．为减函数，最大值为3B ．为减函数，最小值为－3C ．为增函数，最大值为－3D ．为增函数，最小值为39.下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x^3B ．y ＝－x^2＋1C ．y ＝|x|＋1D ．y ＝2－|x| 10.若函数f(x)＝(x ＋1)(x ＋a)为偶函数，则a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．不存在11.偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________． 12.如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.13. 已知函数()(0)p f x x m p x=++≠是奇函数，求m 的值. 14. 已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式． 15.定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．16.函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，求函数f (x )的解析式 xyO – 3 2 – 117.判断函数()(1f x x =+.。

函数奇偶性的知识点及例题解析

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。

理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。

这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。

高一数学函数的奇偶性试题答案及解析

高一数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知是定义在上的奇函数，当时，则当时___________.【答案】【解析】设，则，又是定义在上的奇函数，则，故填.【考点】函数的奇偶性.2.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则=________【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x).又因为的图象关于直线对称.所以f(x)=f(1-x).所以由上两式可得f(1-x)=-f(-x)即f(-x)="-" f(1-x)=f(2-x).所以函数是一个周期为2的函数.所以.又因为函数是R上的奇函数所以，.所以填0.【考点】1.函数的周期性.2.函数的对称性.3.函数的奇偶性.3.已知偶函数满足，且当时，，则．【答案】2【解析】由知此函数周期 4，因为为偶函数，所以【考点】函数奇偶性周期性4.已知函数，下列叙述（1）是奇函数；（2）是奇函数；（3）的解为（4）的解为；其中正确的是________（填序号）．【答案】（1）（3）【解析】这类问题，必须对每个命题都判断其真假，根据的解析式，显然对任意的都有，即是奇函数，（1）正确；当然此时函数是偶函数，（2）错误；对（3）按照分类讨论，可解得不等式的解是，（3）正确；而对不等式来讲，时，不等式就不成立，故（4）错误．填（1）（3）．【考点】分段函数，函数的奇偶性，分类讨论.5.已知是定义在上的偶函数，那么=【答案】【解析】是定义在上的偶函数，因为偶函数定义域关于原点对称，，又由偶函数关于轴对称得：，所以【考点】偶函数的性质应用6.已知函数是定义在上的偶函数.当时，，则当时，.【答案】【解析】把转化为，利用偶函数的定义即可得所求.试题解析：时，.所以，.因为是是定义在上的偶函数，所以.【考点】偶函数，转化与化归思想7.定义在上的奇函数,当时,,则方程的所有解之和为．【答案】【解析】利用奇函数的图象关于原点对称的性质，通过观察图象可知方程的解是及的解的相反数.试题解析：作出时的图象，如下所示：方程的解等价于的图象与直线的交点的横坐标，因为奇函数的图象关于原点对称，所以等价于（）的图象与直线的交点的横坐标和（）的图象与直线的交点的横坐标的相反数，.由得.所以方程的所有解之和为.【考点】奇函数，方程与函数思想8.函数f(x)＝x5＋x3的图象关于()对称()．A．y轴B．直线y＝x C．坐标原点D．直线y＝－x【答案】C【解析】∵,∴函数是奇函数，它的图象关于原点对称.图象关于y轴对称的函数是偶函数。

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析

高三数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知函数是定义在R上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是A．B．C．D．【答案】A【解析】由当时，有成立,知函数的导函数在上恒成立,所以函数在上是增函数,又因为函数是定义在R上的奇函数,所以函数是定义域上的偶函数,且由得,由此可得函数的大致图象为:由图可知不等式的解集是.故选A.【考点】1.函数导数的求导法则;2.函数的奇偶性;3. 利用函数的单调性解不等式.2.若为偶函数,则实数 .【答案】.【解析】∵为偶函数，∴，.【考点】偶函数的性质.3.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f（x）＝3x，则f（log94）的值为（）A．－2B．C．D．2【答案】B【解析】根据对数性质，f（log94）＝f（log32）因为f（x）是奇函数，于是f（log32）＝－f（－log32）＝－f（log3），且log3<0故f（log94）＝－f（log3）＝－【考点】函数的奇偶性，分段函数4.对于函数，若存在常数，使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由为准偶函数的定义可知，若的图象关于对称，则为准偶函数.在D 中，的图象关于对称，故选D.【考点】新定义，函数的图象和性质.5.下列函数为奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对于A选项中的函数，函数定义域为，，故A选项中的函数为奇函数；对于B选项中的函数，由于函数与函数均为奇函数，则函数为偶函数；对于C选项中的函数，定义域为，，故函数为偶函数；对于D选项中的函数，，，则，因此函数为非奇非偶函数，故选A.【考点】本题考查函数的奇偶性的判定，着重考查利用定义来进行判断，属于中等题.6.已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是定义在上的奇函数，当时，，所以，所以，由解得或；由解得，所以函数的零点的集合为，故选D.【考点】函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等.7.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围图形的面积．【答案】（1）π－4. （2）4【解析】解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，从而得f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，＝4×(×2×1)＝4.则S＝4S△OAB8. x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]的最小正周期是________．【答案】1【解析】如图，当x∈[0,1)时，画出函数图像，再左右扩展知f(x)为周期函数．9.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．【答案】3【解析】由已知可得，－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，两式相加解得，g(1)＝3.10.已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.【解析】当x>0时，－x<0，由题意得f(－x)＝－f(x)，所以x2－x＝－ax2－bx，从而a＝－1，b＝1，a＋b＝0.11.已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )A．－2B．0C．1D．2【答案】A【解析】当x＞0时，f(x)＝x2＋，∴f(1)＝12＋＝2.∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.12.函数的图象大致是()A．B．C．D．【答案】A【解析】易知函数是偶函数，当x=0时，. 所以选A.13.设为定义在R上的奇函数，当时，(b为常数)，则（）A．3B．1C．D．【答案】D【解析】因为为定义在R上的奇函数，所以有，解得，所以当时，，即．14.设是上的奇函数，且，下面关于的判定：其中正确命题的序号为_______．①;②是以4为周期的函数；③的图象关于对称；④的图象关于对称．【答案】①②③【解析】∵，∴，即的周期为4，②正确．∴(∵为奇函数)，即①正确．又∵，∴的图象关于对称，∴③正确，又∵，当时，显然的图象不关于对称，∴④错误．15.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，则函数（）A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数【答案】B【解析】，由题意知，因此函数为偶函数，故选B.【考点】1.三角函数图像变换；2.辅助角公式；3.三角函数的奇偶性16.已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．【答案】(－5，0)∪(5，＋∞)【解析】作出f(x)＝x2－4x(x>0)的图象，如图所示．由于f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出x<0的图象．不等式f(x)>x表示函数y＝f(x)的图象在y＝x的上方，观察图象易得，原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)17.函数y=f(x-1)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数(定义域均为R).若0≤x<1时,f(x)=2x,则f(10)=.【答案】1【解析】依题意得f(-x-1)=-f(x-1),f(-x+1)=f(x+1),所以f(x+4)=-f(x),f(x+8)=f(x),故函数周期为8.f(10)=f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=1.18.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是()A．f(x)+|g(x)|是偶函数B．f(x)-|g(x)|是奇函数C．|f(x)|+g(x)是偶函数D．|f(x)|-g(x)是奇函数【答案】A【解析】∵g(x)是R上的奇函数,∴|g(x)|是R上的偶函数,从而f(x)+|g(x)|是偶函数,故选A.19.若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.【解析】由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，故1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，所以a＝0.20.函数是上的奇函数，是上的周期为4的周期函数，已知,且,则的值为___________．【答案】2【解析】本题就是要待计算式中的每个式子计算化简，由已知，，因此，，，，，从而已知式为，∴.【考点】奇函数与周期函数的定义.21.已知,函数且，且.(1) 如果实数满足且，函数是否具有奇偶性? 如果有,求出相应的值;如果没有,说明原因；(2) 如果，讨论函数的单调性。

函数的奇偶性题型及解析

函数的奇偶性题型及解析1.给定四个函数；；y=x 3+1；其中是奇函数的有几个分析：利用奇函数的定义，对每个函数进行验证，可得结论．解：∵，∴是奇函数；∵定义域不关于原点对称，∴不是奇函数；∵（﹣x ）3+1≠﹣（x 3+1），∴不是奇函数；函数的定义域为{x|x ≠0}，=，∴是奇函数综上，奇函数的个数为2个 2.若一个函数图象的对称轴是y 轴，则该函数称为偶函数．那么在下列四个函数：①y=2|x|；②y=6／x ；③y=x 2；④y=（x ﹣1）2+2中，其中是偶函数的有几个分析：对于y=2|x|分类讨论：当x ＞0，则y=2x ；当x ＜0，则y=﹣2x ，根据正比例函数的性质可判断y=2|x|的对称轴是y 轴；根据反比例函数得到y=6／x 关于直线y=x 和y=﹣x 对称；根据二次函数的性质得到y=x 2的对称轴为y 轴，y=（x ﹣1）2+2的对称轴为直线x=1，然后根据新定义进行判断．解：y=2|x|，当x ＞0，则y=2x ；当x ＜0，则y=﹣2x ，所以y=2|x|的对称轴是y 轴，该函数为偶函数；y=6／x 关于直线y=x 和y=﹣x 对称，所以y=不是偶函数；y=x 2的对称轴为y 轴，所以y=x 2为偶函数；y=（x ﹣1）2+2的对称轴为直线x=1，所以y=（x ﹣1）2+2不是偶函数，偶函数的个数为2个3.函数y=|x+3|﹣|3﹣x|是奇函数还是偶函数分析：根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解：∵f （﹣x ）=|﹣x+3|﹣|3+x|=﹣（|x+3|﹣|3﹣x|）=﹣f （x ），∴函数f （x ）是奇函数，[4.如果函数y=x 2﹣2ax+6是偶函数，求a 的值分析：运用偶函数的定义得出f （﹣x ）=f （x ），即x 2+2ax+6=x 2﹣2ax+6恒成立，得出2a=﹣2a ，即可解：∵函数y=x 2﹣2ax+6是偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ），即x 2+2ax+6=x 2﹣2ax+6恒成立，2a=﹣2a ，解得a=05.①已知函数f （x ）=ax 2+2x 是奇函数，求实数分析：由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法解：由奇函数定义有f （﹣x ）=﹣f （x ），则f （﹣1）=a ﹣2=﹣f （1）=﹣（a+2），解得a=0②如果函数f （x ）=+a 是奇函数，求a 的值分析：函数的定义域为R ，利用奇函数f （0）=0，得到a解：因为函数的定义域为R ，并且函数是奇函数，所以f （0）=0，即1220++a=0，解得a=-1； ③已知f （x ）=121-x +a 是奇函数，求a 的值及函数值域、分析：本题考察函数奇偶性的性质，由题意可得f （﹣1）+f （1）=0，可得a 值，再由定义域和反比例函数以及不等式的性质可得函数的值域解：由2x ﹣1=≠0可得x ≠0，可得函数的定义域为{x|x ≠0}，∵f （x ）=121-x +a 是奇函数，∴f （﹣1）+f （1）=0，∴1211--+a+1211-+a=0，解得a=，∴f （x ）=121-x +，∵x ≠0，∴2x ＞0且2x ≠1，∴2x ﹣1＞﹣1且2x ﹣1≠0，∴121-x ＞0或121-x ＜﹣1，∴121-x +＞或121-x +＜﹣，∴函数的值域为（-∞，-）∪（，+∞）④函数y=f （x ）是定义在[2a+1，a+5]上的偶函数，求a 的值分析：由偶函数的定义域关于原点对称得，2a+1+a+5=0，再求出a 的值解：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴2a+1+a+5=0，解得a=﹣2，6.①已知函数y=f （x ）是奇函数，当x ＜0时，f （x ）=x 2+ax （a ∈R ），f （2）=6，求a分析：先根据函数的奇偶性求出f （﹣2）的值，然后将x=﹣2代入小于0的解析式，建立等量关系，解之即可．解：∵函数y=f （x ）是奇函数，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），而f （2）=6，则f （﹣2）=﹣f （2）=﹣6，将x=﹣2代入小于0的解析式得f （﹣2）=4﹣2a=﹣6，解得a=5…②已知函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f （x ）=x 2﹣2x ，求f （﹣2）的值．分析：首先，根据函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，得到f （﹣2）=f （2）=22﹣2×2=0，从而得到结果．解：∵函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，∴f （-2）=f （2）=22﹣2×2=0，∴f （-2）=0，∴f （-2）的值07.①已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=3x 2﹣5x+2，求f （x ）在R 上的表达式．分析：设x ＜0，则﹣x ＞0．利用当x ＞0时，f （x ）=3x 2﹣5x+2，可得f （﹣x ）=3x 2+5x+2．再利用奇函数的性质即可得出解：设x ＜0，则-x ＞0．∵当x ＞0时，f （x ）=3x 2﹣5x+2，∴f （﹣x ）=3x 2+5x+2．∵函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，∴f （x ）=﹣f （﹣x ）=﹣3x 2﹣5x ﹣2，又f （0）=0．∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧---=+-025300025322 x x x x x x x ②已知函数y=f （x ）是偶函数，当x ≥0时，f （x ）=x ﹣1，求f （x ﹣1）＜0的解集分析：由函数y=f （x ）为偶函数可得f （﹣x ）=f （x ），由x ≥0时，f （x ）=x ﹣1可得x ＜0，f （x ）=﹣x ﹣1即f （x ）=，而f （x ﹣1）＜0时，有﹣1＜x ﹣1＜1，解不等式可得解：由函数y=f （x ）为偶函数可得f （﹣x ）=f （x ），∵x ≥0时，f （x ）=x ﹣1，设x ＜0，则﹣x ＞0，f （﹣x ）=﹣x ﹣1=f （x ），f （x ）=，当f （x ﹣1）＜0时，有﹣1＜x ﹣1＜1，∴0＜x ＜28.（1）定义在[﹣1，1]上的奇函数y=f （x ）是增函数，若f （a ﹣1）+f （4a ﹣5）＞0，求a 的取值范围 "（2）定义在[﹣2，2]上的偶函数f （x ）在区间[0，2]上单调递减，若f （1﹣m ）＜f （m ），求m 的取值范围分析：（1）利用函数的奇偶性可把不等式f （a ﹣1）+f （4a ﹣5）＞0化为f （a ﹣1）＞f （5﹣4a ），根据单调性可去掉符号“f”，考虑到定义域即可求出a 的范围；（2）利用偶函数的性质，可得f （|1﹣m|）＜f （|m|），根据定义在[﹣2，2]上的偶函数f （x ）在区间[0，2]上单调递减，可得不等式组，即可得出结论．解：（1）∵函数y=f （x ）是奇函数，f （a ﹣1）+f （4a ﹣5）＞0，∴f （a ﹣1）＞f （5﹣4a ），∵定义在[﹣1，1]上的函数y=f （x ）是增函数，∴，∴；（2）∵偶函数f （x ），f （1﹣m ）＜f （m ），∴f （|1﹣m|）＜f （|m|），∵定义在[﹣2，2]上的偶函数f （x ）在区间[0，2]上单调递减，∴，∴9.（1）已知定义在[﹣2，2]上的奇函数，f （x ）在区间[0，2]上单调递减，若f （m ）+f （m ﹣1）＞0，求实数m 的取值范围；（2）已知定义在[﹣2，2]上的偶函数，f （x ）在区间[0，2]上单调递减，若f （1﹣m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．分析：（1）根据定义域得出m 的范围为﹣1≤m ≤2，由奇函数的性质，结合单调性可知m ＜1﹣m ，得出m 的范围；（2）根据定义域得出m 的范围为﹣1≤m ≤2，由偶函数的性质可知距离y 轴越进，函数值越大，得出|1﹣m|＞|m|，进而求出m 的范围．解：（1）定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴﹣1≤m ≤2，∵f （m ）+f （m ﹣1）＞0，∴f （m ）＞﹣f （m ﹣1）=f （1﹣m ），∴m ＜1﹣m ，∴m ＜，∴﹣1≤m ＜（2）已知定义在[﹣2，2]上的偶函数，f（x）在区间[0，2]上单调递减，∴﹣1≤m≤2，∵f（1﹣m）＜f（m），∴|1﹣m|＞|m|，∴m＜，∴﹣1≤m＜[10.函数y=﹣x2+2ax+1在﹣1≤x≤2上的最大值是4，求a的值分析：二次函数y=﹣x2+2ax+1 的对称轴方程为x=a，分对称轴在闭区间的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得函数的最大值．解：二次函数y=﹣x2+2ax+1 的对称轴方程为x=a，当a＜﹣1时，函数y=﹣x2+2ax+1在区间[﹣1，2]上单调递减，故函数的最大值为f（﹣1）=﹣1﹣2a+1=4，解得a=﹣2；当﹣1≤a≤2时，函数的最大值为f（a）=a2+1=4，解得a=；当a≥2时，函数y=﹣x2+2ax+1在区间[﹣1，2]上单调递增，故函数的最大值为f（2）=﹣4+4a+1=4，解得a=，舍去．综合知：a的值为﹣2或．11.已知函数f（x）的定义域是一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时f（x）＞0．（1）试判断f（x）的奇偶性；（2）试判断f（x）的单调性，并证明．分析：（1）利用赋值法先求出f（0）=0，然后根据函数奇偶性的定义进行判断即可得到f（x）的奇偶性；（2）结合函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性．解：（1）令x1=0，x2=0，则f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，令x1=x，x2=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），则函数为奇函数．（2）函数在定义域上为增函数．证明：当x1＜x2时，则x2﹣x1＞0，此时f（x2﹣x1）＞0则f（x2）﹣f（x1）=f （x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＞0，可得f（x2）＞f（x1）由此，得到y=f（x）是R上的增函数12.已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2，都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，（1）求证：f（x）是偶函数；（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；分析：（1）先令x1=x2=1，得到f（1）=0，再令x1=x2=﹣1，得f（﹣1）=0．然后用主条件证明f（﹣x）=f（﹣1•x）=f（﹣1）+f（x）=f（x）得证．（2）先任取两个变量，界定大小，再作差变形看符号．(解：（1）证明：令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），∴f（1）=0．令x1=x2=﹣1，得f（﹣1）=0．∴f（﹣x）=f（﹣1•x）=f（﹣1）+f（x）=f（x），∴f（x）是偶函数（2）证明：设x2＞x1＞0，则f（x2）﹣f（x1）=f（x1•）﹣f（x1）=f（x1）+f（）﹣f（x1）=f（）．∵x2＞x1＞0，∴＞1．∴f（）＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0．∴f（x2）＞f（x1）．∴f（x）在（0，+∞）上是增函数13.已知定义域为x∈R|x≠0的函数f（x）满足；①对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（﹣x）+f（x）=0；②当x＞0时，f（x）=x2﹣2．（Ⅰ）求f（x）定义域上的解析式；（Ⅱ）解不等式：f（x）＜x．分析：（I）根据条件①变形，得到f（x）在定义域内是奇函数，设x小于0，得到﹣x大于0，代入②中f（x）的解析式中化简后即可得到x小于0时f（x）的解析式，综上，得到f（x）在x大于0和小于0上的分段函数解析式；（II）当x大于0时和小于0时，把（I）得到的相应的解析式代入不等式中，分别求出相应的解集，然后求出两解集的并集即为原不等式的解集解：（I）∵对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（﹣x）+f（x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）在其定义域为{x∈R|x≠0}内是奇函数，∵当x＞0时，f（x）=x2﹣2，设x＜0，所以﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣f（x）=x2﹣2，即f（x）=2﹣x2，则；（II）∵当x＞0时，x2﹣2＜x，化简得（x﹣2）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜2，所以不等式的解集为0＜x＜2；当x＜0时，2﹣x2＜x，化简得：（x﹣1）（x+2）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，所以不等式的解集为x＜﹣2，综上，不等式f（x）＜x的解集为{x|0＜x＜2或x＜﹣2}14. 已知定义域为R的函数f（x）满足：①f（x+y）=f（x）•f（y）对任何实数x、y都成立；②存在实数x1、x2使，f（x1）≠f（x2），求证：（1）f（0）=1；（2）f（x）＞0．分析：（1）令x=y=0，求出f（0），注意条件②的运用，舍去一个；（2）将x，y均换成，得到f（x）=f2（）即f（x）≥0，注意运用条件②，舍去f（x）=0，即可得证．证明：（1）令x=y=0则f（0）=f2（0），∴f（0）=0或f（0）=1，若f（0）=0则令y=0，即有f（x）=f（x）•f（0）=0对x∈R均成立，与②矛盾，故f（0）≠0，若f（0）=1，则f（x）=f（x）成立，∴f（0）=1；（2）将x，y均换成，则f（x）=f2（）即f（x）≥0，若f（x）=0这与②矛盾，∴f（x）＞0成立。