求中心天体的质量与密度

求天体的加速度、质量、密度
一．知识聚焦 1。

加速度：
表面上 mg Mm
G
=2
R
得2g R GM = 非表面 ()m a R Mm
G
=+2
h 得)(2R a h GM +=
万有引力与航天 ）
基础知识：
一、研究对象：绕中心天体的行星或卫星
r m v r Mm G 22= G r v M 2= (已知线速度与半径）
2
2ωmr r Mm G = G r M 32ω= （已知角线速度与半径） 22)2(T mr r Mm G π= G
T r M 2
32)2(π= (已知周期与半径） 总结：
线速度v
r ，这三个物理量中，任意组合二个,一定能求出中心天体的质量M 。

或者说：中心天体的质量M 、及三个物理量中，只要知道其中的两个，可求出其它物理量。

二、研究对象：绕中心天体表面运行的行星或卫星
R m v R
Mm G 22= G R v M 2= (已知线速度与半径）
2
2ωmR R Mm G = G R M 32ω= （已知角线速度与半径) G πωρ432=(已知角速度） 22)2(T mR R Mm G π=
已知周期与半径
已知周期)
如果绕中心天体表面运转,
三、研究对象：距离地面h 高处的物体，万有引力等于重力
mg h R Mm
G =+2
)
( G h R g M 2)(+= （已知某高度处的重力加速度与距离)
四、研究对象：地球表面的物体，万有引力等于重力
mg R Mm G =2 G gR M 2= （已知中心天体表面的重力加速度与半径) GR
g
πρ43=
训练题(真题）
1宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t,小球落在星球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为
3L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G,求该星球的质量M 和密度ρ.
图21
[解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度．
根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为221
gt y =
设初始平抛小球的初速度为v ，则水平位移为x=vt ．有2222)()21
(L vt gt =+ 错误!
当以2v 的速度平抛小球时，水平位移为x'= 2vt ．所以有2222)3()2()21
(L vt gt =+ ②
在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G 2R
Mm
③
联立以上三个方程解得22
332Gt LR M =
而天体的体积为334R V π=,由密度公式V M =ρ得天体的密度为R
Gt L 223πρ=。

2某一物体在地球表面时，由弹簧测力计测得重160N ，把此物体放在航天器中,若航天器以加速度2
g
a =
（g 为地球表面的重力加速度）垂直地面上升，这时再用同一弹簧测力计测得物体的重力为90N ，忽略地球自转的影响,已知地球半径R ，求此航天器距地面的高度。

解析：物体在地球表面时,重力为=mg 160N ①根据万有引力定律，在地面附近有
2
R GMm
mg =
② 在距地面某一高度h 时，由牛顿定律得ma g m F N ='- ③根据万有引力定律,得2
)
(h R GMm
g m +=' ④①②③④式并代入数据解得R h 3=。

1、 已知地球的半径为R ,地面的重力加速度为g ，引力常量为G 。

可求得地球的平均密度ρ=________。

答案 3g /4πGR
【解析】 由mg =G
2
R Mm 和ρ=33
4R M
V
M π=得ρ=GR g π43。

1．根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力,由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量
由mg=G 2R Mm 得 G g
R M 2=。

（式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径．）
2．根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量
卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得
222224T
mr mr r v m r Mm G πω===
若已知卫星的轨道半径r 和卫星的运行周期T 、角速度ω或线速度v ,可求得中心天体的质量为
G r GT r G rv M 3
22
3224ωπ===
1.下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ ） A 。

地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离r B 。

月球绕地球运行的周期T 和地球的半径r
C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r
D.月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r
[解析］解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径．已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以A 项不对．已知月球绕地球运行的周期和地球的半径，不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，所以B 项
不对．已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由22ωmr r
Mm
G =可以求出中心天体地球的质量，所以C
项正确．由2224T mr r Mm G π=求得地球质量为2
3
24GT r M π=，所以D 项正确
2。

2010·全国卷Ⅱ·21已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍.若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为 A ．6小时 B 。

12小时 C. 24小时 D 。

36小时 【答案】B
【解析】地球的同步卫星的周期为T 1=24小时，轨道半径为r 1=7R 1，密度ρ1.某行星的同步卫星周期为T 2，轨道半径为r 2=3.5R 2，密度ρ2。

根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有
1211
2
13
111)2(34r T m r R Gm ππρ=⨯
2222
2
23
2
2
2)2(34r T m r R Gm ππρ=⨯ 两式化简得122
1
2==
T T 小时 3. （2009届山东邹城二中高三模拟)2008年9月25日21时10分，载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航
员的神舟七号飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功，9月27日翟志刚成功实施了太空行走。

已知神舟七号飞船在离地球表面h 高处的轨道上做周期为T 的匀速圆周运动，地球的半径R ，万有引力常量为G .在该轨道上,神舟七号航天飞船（.BCD ） A ．运行的线速度大小为
T
R
π2 B ．运行的线速度小于第一宇宙速度
C ．运行时的向心加速度大小2
2)
(4T h R +π
D ．地球表面的重力加速度大小为2
23
2)(4R
T h R +π 4.（05天津理综21)土星周围有美丽壮观的“光环"，组成环的颗粒是大小不等、线度从1μm 到10 m 的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104
km 延伸到1.4×105
km.已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h,引力常量为6.67×10-11
N ·m 2/kg 2
,则土星的质量约为（估算时不考虑环
中颗粒间的相互
作
用
）
（ ） A 。

9。

0×1016
kg B 。

6。

4×1017
kg C.9。

0×1025 kg
D 。

6。

4×1026
kg
答案 D
解析 由万有引力作用提供向心力得222π4T
r m r GMm =
所以M=2
113
822
32)600314(1067.6)104.1(π4π4⨯⨯⨯⨯⨯=-GT r
=6。

4×1026
kg
5。

（09·全国Ⅰ·19）天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。

这颗行星的体积是地球的4.7倍，是地球的25倍。

已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1。

4小时，引力常量G=6.67×10—11
N ·m 2/kg 2,
，由此估算该
行星的平均密度
为
( D )
A.1.8×103
kg/m 3
B 。

5。

6×103
kg/m
3
C 。

1。

1×104
kg/m 3
D 。

2。

9×104
kg/m 3
解析：本题考查天体运动的知识。

首先根据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供2224T R
m R Mm G π=,
可求出地球的质量.然后根据3
43R
M πρ=
,可得该行星的密度约为2。

9×104kg/m 3
.
6、(06北京卷）24 。

一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行.认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量C
A 。

飞船的轨道半径
B 。

飞船的运行速度 C.飞船的运行周期 D 。

行星的质量
7. 北京市昌平一中高三年级第二次月考有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍,则该星球的质量将是地球质量的（ D ) A 。

4
1
; B.4倍； C.16倍; D 。

64倍. 8.(05北京理综20)已知地球质量大约是月球质量的81倍,地球半径大约是月球半径的4倍。

不考虑地球、月球自转的影响,由以上数据可推算出
( ）
A 。

地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8
B.地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9∶4
C 。

靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8∶9
D 。

靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为81∶4
答案 C 解析 ①3
3π3
4
r m r m m ∝
=
=ρρ得V
∴
64
81
)41(81)(33=
⋅==地月月地月地r r m m ρρ ②由mg=2
2r
M
r GMm ∝g 得 ∴
16
81)41(81)(22=⋅=⋅=地月月地月地r r M M g g ③由mg=mr g
r T T
∝
得22
π4 ∴
9
881164=⨯=⋅=地月月地月地g g r r T T ④由r
M ∝=v r v 得22m r GMm
∴
2
94181=⨯=⋅=地月月地月地r r M M v v
9。

(04北京理综20）1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星,该小行星的半径为16 km 。

若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体,小行星密度与地球相同.已知地球半径R=
6 400 km,地球表面重力加速度为g 。

这个小行星表面的重力加速度为 （ ） A.400g B 。

400
1
g C.20g D.
20
1g 答案 B
解析 质量分布均匀的球体的密度ρ=3M/4πR 3
地球表面的重力加速度：g=GM/R 2
=
3
4ρ
GR π 吴健雄星表面的重力加速度：g ′=GM/r 2=34
ρGr π
g/g ′=R/r=400，故选项B 正确.
10．湖南省长沙市一中2010届高三第五次月考随着太空技术的飞速发展，地球上的人们登陆其它星球成为可能.假设未来的某一天，宇航员登上某一星球后,测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球质量大约是地球质量的 ( D ) A ．0。

5倍 B ．2倍 C ．4倍 D ．8倍
11、(05河北、河南、安徽、山西） 把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周.由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求 得（ CD ） B ．火星和太阳的质量之比 C ．火星和地球到太阳的距离之比 D ．火星和地球绕太阳运行速度大小之比
12、(05四川、陕西、贵州、云南、新疆、宁夏、甘肃、内蒙） 最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星,并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200 年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100 倍。

假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有 AD
A ．恒星质量与太阳质量之比
B ．恒星密度与太阳密度之比
C ．行星质量与地球质量之比
D ．行星运行速度与地球公转速度之比
13、（05黑龙江、吉林、广西） 已知引力常量G 、月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T 。

仅利用 这三个数据，可以估算出的物理量有 BD
A ．月球的质量
B ．地球的质量
C ．地球的半径
D ．月球绕地球运行速度的大小
14、（08北京卷） ．据媒体报道,嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km,运用周期127分钟。

若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是
A ．月球表面的重力加速度
B ．月球对卫星的吸引力
C ．卫星绕月球运行的速度
D ．卫星绕月运行的加速度
答案：B
15。

(09年安徽卷）2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙—2251”卫星和美国的“铱—33”卫星在西伯利亚上空约805km 处发生碰撞。

这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。

碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。

假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆,甲的运行速率比乙的大,则下列说法中正确的是
A 。

甲的运行周期一定比乙的长
B 。

甲距地面的高度一定比乙的高
C 。

甲的向心力一定比乙的小
D 。

甲的加速度一定比乙的大 答案：D
解析：由
r GM v =可知，甲的速率大，甲碎片的轨道半径小，故B 错;由公式GM R 2T 3
π
=可知甲的周期小故A 错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C 错;碎片的加速度是指引力加速度由
ma R m
GM =2
得a R GM =2,可知甲的加速度比乙大，故D 对. 16.(08江苏1)火星的质量和半径分别约为地球的101和21
，地球表面的重力加速度为g,则火星表面的重力加速
度
约
为
（ ） A.0。

2 g
B.0。

4 g
C 。

2。

5 g
D 。

5 g
答案
B
解析 在星球表面万有引力近似等于所受的重力.
由.4.0,,2
2
22g g R M R M g g R GM
g mg R GMm ====火火
地地火火得所以得 17.(07宁夏理综14）天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动,并测出了行星的轨道半径和
运
行
周
期。

由
此
可
推
算
出
（ ）
A 。

行星的质量
B.行星的半径
C 。

恒星的质量
D.恒星的半径
答案 C
18.（07昆明第一次教学质检)据报道:我国第一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”将于2007年在西昌卫星发射中心由“长征三号甲”运载火箭发射升空。

假设该卫星的轨道是圆形的,且贴近月球表面。

若已知该卫星的运行周期、月球的半径、万有引力常量，则可求出 A 。

月球的质量
B 。

月球的密度
C.探测卫星的质量
D.月球表面的重力加速度
答案 ABD 19.(07
连云港一调)关于航天飞机与空间站对接问题，下列说法正确的是
（ ）
A 。

先让航天飞机进入较低的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接
B 。

先让航天飞机进入较高的轨道,然后再对其进行加速，即可实现对接
C 。

若要从空间站的后方对接,应先让航天飞机与空间站在同一轨道上，然后让航天飞机加速，即可实现对接
D.若要从空间站的前方对接，应先让航天飞机与空间站在同一轨道上,然后让航天飞机减速。

即可实现对接
答案 A
20。

(07四川理综17）我国探月的“嫦娥工程”已经启动,在不久的将来，我国宇航员将登上月球。

假如宇航员在月球上测得摆长为l 的单摆做小振幅振动的周期为T ，将月球视为密度均匀、半径为r 的球体，则月球的密度为 （ ) A.
2
3πGrT
l
B 。

2
π3GrT
l
C.
2
3π16GrT
l
D 。

2
16π3GrT
l
答案 B
解析 由T=2πg l 得：mg r GMm T l g ==222,π4由得：GM=gr 2
，而M=3π34r ⋅ρ,联立得：2π3GrT l =ρ。

21。

(05全国卷Ⅰ16)把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周，由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得( )
A.火星和地球的质量之比
B 。

火星和太阳的质量之比 C.火星和地球到太阳的距离之比
D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比
答案 CD
解析 设火星和地球质量分别为m 1、m 2，它们到太阳的距离分别为r 1、r 2,它们绕太阳的运行速度分别为v 1、v 2,
由万有引力提供向心力得
r m T r m r GMm 2
222π4v == 1
2
2
1222121,3r r T T r r ==v v 由上式可知C 、D 正确。

22.(05全国卷Ⅱ18）已知引力常量G 、月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T 。

仅利用这三
个
数
据
,
可
以
估
算
出
的
物
理
量
有
（ )
A 。

月球的质量 B.地球的质量
C 。

地球的半径
D 。

月球绕地球运行速度的大小
答案 BD
解析 由万有引力提供向心力2222π4T
R
m R m R Mm G ==v 得:R
GM
v =
=
2
3
2π4GT R M 23．安徽省两地2010届高三第一次联考检测组成星球的物质是靠引力吸引在一起的,这样的星球有一个最大的自转速率。

如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动,由此能得到
半径为R 、密度为ρ、质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T 。

下列表达式中正确的是 （ A D ）
A ．GM R T /23π=
B ．GM R T /323π=
C ．ρπG T /=
D ．ρπG T /3=
24。

上海市建平中学2010届高三摸底测试1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径为R ，地球上一个昼夜的时间为T 1(地球自转周期），一年的时间T 2（地球公转的周期）,地球中心到月球中心的距离L 1,地球中心到太阳中心的距离为L 2．你估算出（ AB ）
A 、地球的质量G
gR m 2=地
B 、太阳的质量2
2
32
24GT L m π=太 C 、月球的质量2
1
3
1
24GT L m π=月 D 、可求月球、地球及太阳的密度
25。

我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号"已于2007年10月24日在西昌卫星发射中心由“长征三号甲”运载火箭成功发射升空.假设该卫星的绕月轨道是圆形的，且距离月球表面高度为h,并已知该卫星的运行周期为T,月球的直径为d,万有引力常量为G,则可求出（ )
A 。

月球质量2
3
22)2(GT
h d M +=π
B.月球探测卫星“嫦娥一号”在离月球表面h 高度轨道上运行的速度v =πd/T C 。

月球探测卫星“嫦娥一号”绕月轨道的半径r = d + h
D 。

月球表面的重力加速度223
)2(2T d h d g +=π
答案 A
26.发射航天器带来的轨道碎片等被人们称为太空垃圾,太空垃圾给航天事业带来巨大隐患，一颗迎面而来的
直径0。

5毫米的金属微粒,足以戳穿密封的航天服,太空垃圾不仅给航天事业带来巨大隐患,还污染宇宙空间,尤其是核动力发动机脱落，会造成放射性污染,有些太空垃圾能逐渐落回地面,在重返大气层的过程中烧毁.则这些太空垃圾在逐渐落回地面的过程中
（ ）
A.角速度逐渐增大
B.线速度逐渐减小 C 。

向心加速度逐渐减小
D 。

周期逐渐减小
答案 AD
27。

新华网11月7日报道：北京时间2007年11月7日早上8时34分,“嫦娥一号"成功完成第三次近月制动,进入127分钟圆形越极轨道。

经过调整后的127分钟圆形越极轨道将是“嫦娥一号”的最终工作轨道，这条轨道距离月面200公里高度，运行速度约1。

6千米/秒，经过月球的南北极上空,由于月球的自转作用，处于越极轨道的“嫦娥一号”可以完成包括月球南北极、月球背面的全月探测工作.“嫦娥一号”进入科学探测的工作轨道稳定后,其上的科学探测仪器将全一一展开.（已知万有引力常量G=6。

67×10-11
N · m 2
/kg 2
，月球可视为球体）根据上述报道可以估算下列哪些物理量
（ )
A.“嫦娥一号"与月球的引力 B 。

“嫦娥一号”的总质量 C 。

月球的平均密度
D 。

月球表面的物质结构
答案 C
28。

宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球,经过时间t ，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为3L,已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G,求该星球的质量M 和密度ρ。

[解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度．
根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为221
gt y =
设初始平抛小球的初速度为v ，则水平位移为x=vt ．有2222)()21
(L vt gt =+ 错误!
当以2v 的速度平抛小球时，水平位移为x'= 2vt ．所以有2222)3()2()21
(L vt gt =+ ②
在星球表面上物体的重力近似等于万有引力,有mg=G 2R
Mm
③
联立以上三个方程解得2
2
332Gt LR M = 而天体的体积为334R V π=
，由密度公式V M =ρ得天体的密度为R
Gt L 223πρ=
29。

(09·全国卷Ⅱ·26) (21分)如图，P 、Q 为某地区水平地面上的两点，在P 点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。

如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。

重力加速度在
原
坚直方向（即PO 方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。

为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P 点附近重力加速度反常现象.已知引力常数为G.
(1）设球形空腔体积为V,球心深度为d （远小于地球半径）,PQ =x ，求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常
（2)若在水平地面上半径L 的范围内发现：重力加速度反常值在δ与k δ（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L 的范围的中心，如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的,试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。

答案：(1）223/2
()G Vd
d x ρ+；（2）1
3/2-=k L d ，)1(3
/22-=k G k L V ρδ
解析:本题考查万有引力部分的知识。

（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值.因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力g m r Mm
G
∆=2
………①来计算，式中的m 是Q 点处某质点的质量，M 是填充后球形区域的质量，V M ρ=……………② 而r 是球形空腔中心O 至Q 点的距离22x d r +=………③
g ∆在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q 点处重力加速度改变的大小。

Q 点处重力加速度改变的方向沿OQ 方向，重力加速度反常g '∆是这一改变在竖直方向上的投影g r
d
g ∆='∆………④ 联立以上式子得
2
/322)(x d Vd
G g +=
'∆ρ,…………⑤
(2）由⑤式得，重力加速度反常g '∆的最大值和最小值分别为()2
max d V
G g ρ=
'∆……⑥ ()2
/322min )(L d Vd
G g +=
'∆ρ……………⑦
由提设有()δk g ='∆max 、()δ='∆min g ……⑧
联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为
1
3/2-=
k L d ,)1(3
/22-=k G k L V ρδ。