线性代数 向量组的线性相关性

分布图示
★ 线性相关与线性无关
★ 例1
★ 例2
★ 证明线性无关的一种方法
线性相关性的判定
★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5
★ 例7
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题3-3
内容要点
一、线性相关性概念
定义1 给定向量组,,,,:21s A αααΛ 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k Λ 使
,02211=+++s s k k k αααΛ (1)
则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.
注: ① 当且仅当021====s k k k Λ时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21Λ线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;
③ 向量组只含有一个向量α时，则
（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；
④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.
二、线性相关性的判定
定理1 向量组)2(,,,21≥s s αααΛ线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.
定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j ΛM =⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21Λ线性相关的充要
条件是: 是矩阵),,,(21s A αααΛ=的秩小于向量的个数s .
推论 1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵
),,,(21n A αααΛ= 的秩等于（小于）向量的个数n .
推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵),,,(21n A αααΛ= 的行列式不等于（等于）零.
注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.
推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关. 定理3 如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关. 推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.
定理4 若向量组βαα,,,1s Λ线性相关, 而向量组s ααα,,,21Λ线性无关, 则向量β可由s ααα,,,21Λ线性表示且表示法唯一.
定理5 设有两向量组
,,,,:;
,,,:2121t s B A βββαααΛΛ
向量组B 能由向量组A 线性表示, 若t s <, 则向量组B 线性相关.
推论5 向量组B 能由向量组A 线性表示, 若向量组B 线性无关, 则.t s ≥
推论6 设向量组A 与B 可以相互线性表示, 若A 与B 都是线性无关的, 则.t s =
例题选讲
例1 设有3个向量(列向量):
,421,221,101221⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα
不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.
例2 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使
,02211=+e e λλ
也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ 即 .0002121=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ
于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个
向量.
例3 (E01) n 维向量组
T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21ΛΛΛΛ===εεε
称为n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.
解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵
)(21n E εεε,,,Λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=10
0010
001Λ
ΛΛΛΛΛΛ 是n 阶单位矩阵.
由,01≠=E 知.n E r =即E r 等于向量组中向量的个数, 故由推论2知此向量是线性无关的.
例 4 (E02) 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性
相关性.
解 对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵A 及),(21αα=B 的秩，利用定理2即可得出结论.
),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-212
5r r ,000220201⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛ 易见，,2)(=A r ,2)(=B r 故向量组,,,321ααα线性相关. 向量组21a a ,线性无关.
例5 判断下列向量组是否线性相关:
.11134,1112,5121321⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα
解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛---111511131242
1 ⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛000000110421
秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.
例6 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使
0)()()(321=+++++αγγββαk k k （1）
成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关，故
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=+0
0032
2131k k k k k k （2） 因为1
100111
01,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）式才成立.
因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.
例7 (E03) 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明 (1) 1a 能由32,a a 线性表示; (2) 4a 不能由321,,a a a 线性表示.
证明（1）因432ααα,,线性无关，故32,αα线性无关，而321ααα,,线性相关，从而1α能由32αα,线性表示；
（2）用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示，而由（1）知1α能由32αα,线性表示，因此4α能由32αα,表示，这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.
课堂练习
1. 试证明:
(1) 一个向量α线性相关的充要条件是0=α; (2) 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;
(3) 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =（两式不一定同时成立）。

2. 判断向量组
T T T )0,1,1,1(,)1,0,3,1(,)1,0,2,1(321--=-==ααα
是否线性相关.
3. 判断向量组
T T T )11,1,3,4(,)1,1,1,2(,)5,1,2,1(321-=-=-=ααα
是否线性相关.。