(精心整理)用平移旋转解题

用平移、旋转、对称巧解几何问题

谈静

在证明和求值的诸多几何问题中，往往不能直接找到解题的突破口，那么我们就要另壁蹊径，就是要借助图形转换的方法来解题了。

以下介绍三种方法：

一、平移：将图形沿着一个方向移动一段距离

例1 如图1，在六边形ABCDEF中，AB//ED，AF//CD，BC//FE，AB=ED，AF=CD，BC=EF，又知对角线FD⊥BD，FD=24cm，BD=18cm，则六边形ABCDEF的面积为多少？

此题显然不能直接运算，但只要将图形适当地分割并平移一下就可以了。

解：本题初看无法下手，但仔细观察，题中彼此平行且相等的线段有三组，于是产生将△DEF平移到△BAG，将△BCD平移到△GAF的位置。

则长方形BDFG的面积等于六边形的面积。

即S六ABCDEF=S正BDFG=18×24=432cm2

二、旋转：将某图形绕着一个固定点转动到另一个位置，以此重新组合图形

例2如图2，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a（a>0），求：

（1）∠APB的度数；

（2）正方形的边长。

解：将△APB绕点B顺时针转90°，得△CQB，显然△CQB≌△APB，连接PQ，

∠PBQ=90°，

PB=QB=2a ，

所以∠PQB=∠QPB=45°， PQ=︒=∠⇒9022PQC a 于是∠

APB=90°＋45°=135°．

（2）⎭

⎬⎫︒=∠︒=∠45135PBQ APB a AC AB a

a a AC Q P A 2252

22410])221[(2

2+==

⇒+⇒++=⇒⇒三点共线

、、

例3 如图3，P 是等边△ABC 内一点，PA=2，PB 32=，PC=4，求BC 的长。

此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来解题，就十分容易了。

解：将△BPA 绕点B 旋转60°，

则BA 与BC 重合，

BP=BM ，PA=MC ，

连接MP ，则△MBP 为正三角形，

即32=MP ，PC=4，

，

︒=∠⇒=+⇒=9022

22CMP PC MC MP MC 因为PC MC 2

1=， 所以∠MPC=30°，

又因为∠MPB=60°，

所以∠CPB=90°，

得BC 7222=+=PC PB ．

可见，经过旋转后的图形给我们的解题带来了很大的好处，是一种捷径．因此，我们应多多利用旋转的方法来解决更多的问题．

三、对称（也可理解为翻折）：某图形对于某条线对称的图形

例4 作图设计，村庄A 、B 位于不平行的两条小河的两侧，若要在两条小河上各架设一座与河岸垂直的桥，并要使A 到B 的路程最近，问桥应架在何处？

解：此题看来很复杂，但利用对称的原理来稍做改变，问题就可以迎刃而解了。 设河岸为L 1、L 2、L 3、L 4，L 1//L 2，L 3//L 4，作AA 1⊥L 1，BB 1⊥L 3，使AA 1的长为L 1与L 2之间的距离．连接A 1B 1交L 2于A 2，交L 3于B 2，则A 2、B 2就是加桥的地址，再从A 2、B 2出发作两座桥。

例5 如图5，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，∠ECF=45°，求证：EF 2=EA 2＋BF 2。

解：将△AEC 和△BCF 向内翻折，所以

AE=EO ，BF=OF ，

因为∠ECF=45°，

所以AC 与BC 重合于OC ，

且∠EOF=90°。

则2

22FO EO EF +=，

即222BF EA EF +=。

可见，对称和翻折的方法可以有利地把条件集中在一起，这样就能很好地利用每一个条件来解题了。

运用以上三种方法可以巧妙地把几何元素集中到一起，构成新的图形，也同时可以做到化复杂为简洁，化不规则图形为规则图形，更加一目了然．这样可以省去多不必要的过程，少走几个弯路，而同样达到解题的目的。

几何问题往往是巧妙的，只要我们善于发现它的规律和特殊性，将图形稍做改变，往往会产生意想不到的效果。

因此在做题时我们也应该细心观察图形，抓住一些重要的条件（例如：线段和角度），从而考虑怎样让图形的转换更为简洁一些。