(精心整理)用平移旋转解题
四下第1讲 平移、旋转和轴对称(解题思路)
第1讲平移、旋转和轴对称考点1：平移的两要素例1．如图所示：图形（1）向平移了格．图形（2）向平移了格．图形（3）向平移了格．【思路分析】找出各个图形平移后的对应关键点，即可得到平移的方向和距离，由此得解．【规范解答】解：如图所示：图形（1）向上平移了2格．图形（2）向左平移了4格．图形（3）向右平移了6格．故答案为：上，2，左，4，右，6．【名师点评】此题考查了利用平移进行图形变化的方法的灵活应用．练习1．（1）长方形向上平移了格．（2）六边形向平移了格．（3）五角星向平移了格．【思路分析】根据题意，结合图形，由平移的概念找出图形平移的方向，和平移的格数，即可求解．【规范解答】解：观察图形可知：（1）长方形向上平移了6格．（2）六边形向左平移了5格．（3）五角星向下平移了6格．故答案为：上，6，左，5，下，6．【名师点评】本题考查平移的基本概念及平移规律，关键是要观察比较平移前后物体的位置．2．填一填．（1）①向上平移了格．（2）②向平移了格．（3）③向平移了格．【思路分析】先找清楚方向，看原图到现在的图是向哪个方向平移的，然后在原图中选择一个点，找出这个点在后来图中的位置，然后数出这两个点之间的小格数即可．【规范解答】解：（1）①向上平移了2格．（2）②向左平移了4格．（3）③向右平移了6格．故答案为：上、2；左、4；右、6．【名师点评】解决本题关键是要数清楚平移的格子数．考点2：作平移后的图形例2．画出网格中图形向上平移1格，再向右平移3格后的图形．【思路分析】根据平移图形的特征，把平行图形的各个顶点分别向上平移1格，再向右平移3格，然后顺次连接各点即可．【规范解答】解：【名师点评】作平移后的图形关键是把对应点的位置画正确．练习1.（1）房子向右平移5格．（2）小船向下平移4格，再向左5格．【思路分析】（1）根据平移的特征，把小房子的各顶点分别向右平移5格，再依次连结即可得到向右平移5格后的图形．（2）同理即可画出小船向下平移4格，再向左平移5格后的图形．【规范解答】解：（1）房子向右平移5格（下图）:（2）小船向下平移4格，再向左5格（下图）:【名师点评】平移作图要注意：①方向；②距离．整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动．考点3：运用平移的知识解决问题例3．一块平行四边形地底是18m，高是12m，地中间有两条1米宽的小路（如图），在这块地里种菜，种菜的面积是多少？【思路分析】将小路两旁部分向中间平移，直至小路消失，那么种菜的面积就是底为(181)--米，高为(121)米的平行四边形的面积，根据平行四边形的面积=底⨯高计算即可得出种菜的面积．【规范解答】解：(181)(121)-⨯-=⨯1711=（平方米）187答：种菜的面积是187平方米．【名师点评】此题主要考查平行四边形面积的计算．关键是求出图形切拼后平行四边形的底和高．练习1．如图，求图中阴影部分的面积．（单位：厘米）【思路分析】如图所示：阴影部分①和空白部分②的面积相等，将①平移到②的位置，则阴影部分就变成了一个长方形，利用长方形的面积公式S ab=即可求解．【规范解答】解：据思路分析可知，阴影部分的面积为：(12)2+⨯=⨯32=（平方厘米）6答：阴影部分的面积是6平方厘米．【名师点评】规范解答此题的关键是：利用平移的方法，将不规则图形转化成规则图形，再根据规则图形的面积公式即可求解．2．一块草地形状如图的阴影部分，阴影部分的面积是多少平方米？【思路分析】把草地上左边的半圆放在右边就变成了一个长为10米，宽为6米的长方形，这个长方形的面积就是草地的面积．【规范解答】解：把左边的半圆平移到右边的半圆上后草地就变成了一个长方形，它的面积是：10660⨯=（平方米）；答：阴影部分的面积是60平方米．【名师点评】求组合图形的面积时经常用平移、旋转、填补、切割等方法把复杂的图形变成较简单的图形来算．考点4：旋转的三要素例4．根据图，回答问题．①号三角形是绕A点按顺时针方向旋转了度．②号梯形是绕B点按时针方向旋转了度．③号三角形是绕C点按时针方向旋转了度．④号平行四边形是绕D点按时针方向旋转了度．【思路分析】根据图形旋转的特征，一个图形绕某点顺时针（或逆时针）旋转一定的度数，某点的位置不动，其余各点（边)均绕某点按相同的方向旋转相同的度数．【规范解答】解：①号三角形绕A点按顺时针方向旋转了90度．②号梯形绕B点按逆时针方向旋转了90度．③号三角形绕C点按逆时针方向旋转了90度．④号平行四边形绕D点按顺时针方向旋转了90度．故答案为：顺，90，逆，90，逆，90，顺，90．【名师点评】本题是考查图形的旋转，关键是弄清旋转的方向与角度．练习1．①图形D绕点O按方向旋转︒到图形A所在的位置．②图形A绕点O按方向旋转︒到图形C所在的位置．③图形C绕点O按方向旋转︒到图形B所在的位置．【思路分析】旋转的要素是旋转方向，旋转中心，旋转角，据此即可解决问题．【规范解答】解：①图形D绕点O按逆时针方向旋转90︒到图形A所在的位置．②图形A绕点O按逆时针方向旋转180︒到图形C所在的位置．③图形C绕点O按顺时针方向旋转90︒到图形B所在的位置．故答案为：逆时针，90；逆时针，180；顺时针，90．【名师点评】本题主要考查了旋转的要素，是需要熟记的内容．3．如图：（1）指针从“1”绕点O顺时针旋转60︒后指向．（2）指针从“1”绕点O逆时针旋转90︒后指向．（3）指针从“12”绕点O顺时针旋转︒后指向“3”．（4）指针从“12”绕点O逆时针旋转︒后指向“8”．（5）指针从7:15到7:40绕点O顺时针旋转度．【思路分析】钟面上12个数字把钟面平均分成12份，每份所对应的圆心角是3601230︒÷=︒，即每两个相邻数字间的夹角是30︒，即指针从一个数字走到下一个数字时，绕中心轴旋转了30︒，由此规范解答即可．【规范解答】解：（1）指针从“1”绕点O顺时针旋转60︒后指向3．（2）指针从“1”绕点O逆时针旋转90︒后指向9．（3）指针从“12”绕点O顺时针旋转90︒后指向“3”．（4）指针从“12”绕点O逆时针旋转120︒后指向“8”．（5）指针从7:15到7:40绕点O顺时针旋转150度．故答案为：3，9，90，120，150．【名师点评】关键弄清在钟面上指针绕中心从一个数字旋转到相邻的另一个数字旋转了多少度．考点5：作旋转一定角度后的图形例5．我会操作．（1）画出三角形绕点“A”顺时针旋转90度后的图形，并标为图1．（2）画出三角形绕点“B”逆时针旋转180度后的图形，并标为图2．【思路分析】（1）根据旋转的特征，三角形ABO绕点“A”顺时针旋转90︒，点“A”的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形1．（2）同理，三角形ABO绕点“B”逆时针旋转180︒，点“B”的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形2．【规范解答】解：（1）画出三角形绕点“A”顺时针旋转90度后的图形，并标为图1（图中红色部分）．（2）画出三角形绕点“B”逆时针旋转180度后的图形，并标为图2（图中绿色部分）．【名师点评】经过旋转，图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等．练习1．画出小旗绕点O逆时针旋转90︒后得到的图形．【思路分析】根据旋转的意义，找出图中三角旗3个关键处，再画出绕O点按逆时针方向旋转90度后的形状即可．【规范解答】解：作图如下：【名师点评】本题考查了图形的旋转变化，学生主要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．考点6：轴对称图形的辨识例6．下面图形不是轴对称图形的是()A．B．C．【思路分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．【规范解答】解：根据轴对称图形的意义可知：选项A、B都是轴对称图形，而C不是轴对称图形；故选：C．【名师点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．练习1．下面9个交通标志图案中，有()个图形是轴对称图形．A．4B．5C．6D．7【思路分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．【规范解答】解：根据轴对称图形的意义可知：是轴对称图形；故选：A．【名师点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．2．成轴对称的两个数字是()A．B．C．【思路分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．【规范解答】解：根据轴对称图形的意义可知：选项A、B都不是轴对称图形，只有C是轴对称图形；故选：C．【名师点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．考点7：画轴对称图形的对称轴例7.按要求画出下面轴对称图形的对称轴．【思路分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此画图规范解答即可．【规范解答】解：【名师点评】本题考查了轴对称图形的对称轴的确定，根据轴对称图形的对称轴两边的部分关于对称轴折叠能够完全重合作图即可，比较简单．练习1．画出下列图形的所有对称轴．【思路分析】（1）有三条对称轴，即过每个圆圆心与另外两个圆交点的直线．（2）有两条对称轴，即过个两个箭头顶点的直线，及箭头两个顶点间线段的垂直平分线．（3）等腰有一条对称轴，底边高所在的直线．【规范解答】解：【名师点评】此题是考查确定轴对称图形对称轴的条数及位置．关键是轴对称图形的意义及各图形的特征．考点8：作轴对称图形的另一半例8．动手画一画：以虚线为对称轴，画出下列图形的轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出原图的关键对称点，依次连结即可．【规范解答】解：【名师点评】求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条直线对称的点，然后依次连结各对称点即可．练习1.先画出下面这个轴对称图形的另一半，再画出这个轴对称图形向右平移8格后的图形．【思路分析】根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的下边画出图形的关键对称点，顺次连结．然后根据平移的特征，把图形的各点分别向右平移8格，再依次连结即可．【规范解答】解：先画出下面这个轴对称图形的另一半，再画出这个轴对称图形向右平移8格后的图形，作图如下：【名师点评】本题是考查作轴对称图形、作平移的图形．关键是确定对称点（对应点）的位置．2.下面的图形都是由相同的小正方形组成的，请分别在各图形上画一个同样大小的小正方形，使它们成为轴对称图形．【思路分析】因为如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此规范解答．【规范解答】解：作图如下【名师点评】此题是考查了轴对称图形的意义．考点9：镜面对称问题例9．如图是小明在平面镜中看到时钟形成的像，它的实际时间是()A．21:05B．12:02C．12:05D．15:02【思路分析】根据镜面对称的特征，镜中的景物与实际景物上下前后方向一致，左右方向相反，大小不变，且关于镜面对称．【规范解答】解：如图实际时间是12:05．故选：C．【名师点评】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反，镜中与实际景物大小不变．练习1．如图的钟面是从镜子里看到的，实际钟面上的时刻是．【思路分析】镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反；图中镜子里看到的时间是6:40，由镜面对称左右方向相反特点，镜中时针在6与7之间，实际是在5与6之间，是5时，镜中分针指刻度8，实际中是指刻度4，即20分；据此规范解答．【规范解答】解：因为镜中时针在6与7之间，实际是在5与6之间，是5时，镜中分针指着刻度8，实际中是指刻度4，即20分，所以实际钟面上的时刻是5:20．故答案为：5:20．【名师点评】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．2．一位司机从反光镜中看到后面汽车的车牌是，这个车牌号实际是浙F．8765A．【思路分析】根据镜面对称的特征，镜中的景物与实际景物上下前后方向一致，左右方向相反，大小不变，且关于镜面对称．【规范解答】解：如图，这个车牌实际是：浙F．8765A．故答案为：浙F．8765A．【名师点评】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反，镜中与实际景物大小不变．3．从镜子里看的样子是()A．B．C．【思路分析】镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反，在镜中的样子，上下前后的样子不变，只有左右方向相反，所以．【规范解答】解：从镜子里看的样子是；故选：C．【名师点评】此题考查了镜面对称的特点：上下前后方向一致，左右方向相反．注意左右方向是相反的．考点10：运用平移、对称和旋转综合作图例10．按要求在方格纸上画一画．①把三角形先向右平移10格，再向上平移4格．②把长方形绕点A顺时针旋转90︒．③把最右边的图形补全，使它成为轴对称图形．【思路分析】①根据平移的特征，把三角形的各顶点分别向右平移10格，依次连结即可得到向右平移10格后的图形；用同样的方法即可把平移后的图形再向上平移4格．②根据旋转的特征，长方形绕点A顺时针旋转90︒，点A的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形．③根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的左边画出右半图的关键对称点，依次连结即可．【规范解答】解：①把三角形先向右平移10格（图中灰色部分），再向上平移4格（图中红色部分）．②把长方形绕点A顺时针旋转90︒（图中绿色部分）．③把最右边的图形补全，使它成为轴对称图形（图中蓝色部分）．【名师点评】作平移后的图形、作旋转一定度数后的图形、作轴对称图形的关键是确定对应点（对称点）的位置．练习1．如图（1）将图形A先绕点O顺时针旋转90 ，再向左平移6格，得到图形C．（2）将图形B向右平移5格后得到图形D．（3）以直线l为对称轴作图形D的轴对称图形E．【思路分析】（1）以点O为旋转中心，把图形A的另外几个顶点，分别绕点O顺时针旋转90后，再依次连接起来，得到的图形再把各个顶点分别向左平移6格，依次连接起来即可得出图形C；（2）把图形B的各个顶点分别向左平移5格，再依次连接起来，即可得出图形D．（3）据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，画出图形D的轴对称图形E即可规范解答问题．【规范解答】解：根据题干思路分析可得：【名师点评】此题考查利用轴对称、旋转、平移进行图形变换的方法．。
小学综合算式专项测题利用平移旋转与翻转解决问题的技巧
小学综合算式专项测题利用平移旋转与翻转解决问题的技巧算式是小学数学学习过程中必不可少的一部分，通过掌握算式的解题技巧，能够更好地解决数学问题。
而在解决算式问题时，我们可以利用平移、旋转和翻转等几何变换的概念来帮助我们更好地理解和解决问题。
下面将介绍一些小学综合算式专项测题中利用平移、旋转与翻转解决问题的技巧。
一、平移解决算式问题平移是几何变换中的一种，它可以将一个图形按照一定的方向和距离进行移动，而不改变其形状和大小。
在解决算式问题时，我们可以利用平移来进行简化和转化，从而更好地理解和解决问题。
例如，如果题目给出一个算式：“3 + 4 = ?”，我们可以通过平移的方式来解决问题。
首先，我们可以将数字“3”平移到数字“4”的右边，这样就变成了“4 + 3 = ?”。
接下来，我们可以利用加法的交换律来计算，“4 + 3 = 7”，所以答案是7。
通过平移的方式，我们可以将问题简化成一个更容易计算的式子，从而更快地得到答案。
二、旋转解决算式问题旋转也是几何变换中的一种，它可以将一个图形按照一定的角度进行旋转，而不改变其形状和大小。
在解决算式问题时，我们可以利用旋转来进行问题的转化和变形，从而更好地理解和解决问题。
例如，如果题目给出一个算式：“5 × 6 = ?”，我们可以通过旋转的方式来解决问题。
首先，我们可以将数字“5”旋转90度，变成一个倒置的“2”，这样算式就变成了“2 × 6 = ?”。
接下来，我们可以利用乘法的交换律来计算，“2 × 6 = 12”，所以答案是12。
通过旋转的方式，我们可以将问题转化成一个我们更熟悉的算式，更好地理解和解决问题。
三、翻转解决算式问题翻转是几何变换中的一种，它可以将一个图形按照某条轴进行对称翻转，从而得到一个关于这条轴对称的图形。
在解决算式问题时，我们可以利用翻转来进行问题的转化和变形，从而更好地理解和解决问题。
例如，如果题目给出一个算式：“8 ÷ 4 = ?”，我们可以通过翻转的方式来解决问题。
专题05二次函数中的平移、旋转、对称(五大题型)解析版
专题05二次函数中的平移、旋转、对称（五大题型）通用的解题思路：1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.3.二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。
4.二次函数图象的翻折与旋转y=a(x-h)²+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-k a、h、k 均变号沿x 轴翻折y=-a(x-h)²-k a、k 变号，h 不变沿y 轴翻折y=a(x+h)²+ka、h 不变，h 变号题型一：二次函数中的平移问题1．（2024•牡丹区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(0)y ax bx a a=+-<与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）．（2）当B 的纵坐标为3时，求a 的值；（3）已知点11(,2P a-，(2,2)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，请结合函数图象求出a 的取值范围．【分析】（1）令0x =，求出点A 坐标根据平移得出结论；（2）将B 的纵坐标为3代入求出即可；（3）由对称轴为直线1x =得出212y ax ax a =--，当2y =时，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，结合图象得出结论；【解答】解：（1）在21(0)y ax bx a a =+-<中，令0x =，则1y a =-，∴1(0,)A a-，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，则1(2,)B a-．（2）B 的纵坐标为3，∴13a-=，∴13a =-．（3）由题意得：抛物线的对称轴为直线1x =，2b a ∴=-，∴212y ax ax a=--，当2y =时，2122ax ax a=--，解得1|1|a a x a ++=，2|1|a a x a-+=，当|1|2a a a -+≤时，结合函数图象可得12a ≤-，抛物线与PQ 恰有一个公共点，综上所述，a 的取值范围为12a ≤-．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．2．（2024•平原县模拟）已知抛物线212:23C y ax ax a =++-．（1）写出抛物线1C 的对称轴：．（2）将抛物线1C 平移，使其顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，且抛物线2C 经过点(2,2)A --和点B （点B 在点A 的左侧），若ABO ∆的面积为4，求点B 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线1:2l y kx =-与抛物线2C 交于点M ，N ，分别过点M ，N 的两条直线2l ，3l 交于点P ，且2l ，3l 与y 轴不平行，当直线2l ，3l 与抛物线2C 均只有一个公共点时，请说明点P 在一条定直线上．【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接可得出答案．（2）根据抛物线2C 的顶点坐标在原点上可设其解析式为2y ax =，然后将点A 的坐标代入求得2C 的解析式，于是可设B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，利用4ABO OBN OAM ABNM S S S S ∆∆∆=--=梯形可求得t 的值，于是可求得点B 的坐标．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立抛物线与直线1l 的方程可得出12x x k +=-，124x x =-．再利用直线2l 、直线3l 分别与抛物线相切可求得直线2l 、直线3l 的解析式，再联立组成方程组可求得交点P 的纵坐标为一定值，于是可说明点P 在一条定直线上．【解答】解：（1）抛物线1C 的对称轴为：212ax a=-=-．故答案为：1x =-．故答案为：1x =-．（2） 抛物线1C 平移到顶点是坐标原点O ，得到抛物线2C ，∴可设抛物线2C 的解析式为：2y ax = 点(2,2)A --有抛物线2C 上，22(2)a ∴-=⋅-，解得：12a =-．∴抛物线2C 的解析式为：212y x =-．点B 在抛物线2C 上，且在点A 的左侧，∴设点B 的坐标为21(,)2t t -且(2)t <-，如图，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为点M 、N ．ABO OBN OAM ABNMS S S S ∆∆∆=-- 梯形2211111()()22(2)(2)22222t t t t =⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯--32311122424t t t t =--++++212t t =+，又4ABO S ∆=，∴2142t t +=，解得：13t +=±，4(2t t ∴=-=不合题意，舍去），则2211(4)822t -=-⨯-=-，(4,8)B ∴--．（3）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组：2122y xy kx ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，整理得：2240x kx +-=，122x x k ∴+=-，124x x =-．设过点M 的直线解析式为y mx n =+，联立得方程组212y xy mx n⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，整理得2220x mx n ++=．①过点M 的直线与抛物线只有一个公共点，∴△2480m n =-=，∴212n m =．∴由①式可得：221112202x mx m ++⨯=，解得：1m x =-．∴2112n x =．∴过M 点的直线2l 的解析式为21112y x x x =-+．用以上同样的方法可以求得：过N 点的直线3l 的解析式为22212y x x x =-+，联立上两式可得方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1212212x x x y x x +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，12x x k +=- ，124x x =-．∴(,2)2k P -∴点P 在定直线2y =上．（如图）【点评】本题考查了抛物线的对称轴、求二次函数的解析式、解一元二次方程、一元二次方程的根的情况、求直线交点坐标等知识点，解题的关键是利用所画图形帮助探索解法思路．3．（2024•和平区一模）已知抛物线21(y ax bx a =+-，b 为常数．0)a ≠经过(2,3)，(1,0)两个点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）抛物线的顶点为；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线．【分析】（Ⅰ）利用待定系数法即可求解；（Ⅱ）根据抛物线的顶点式即可求得；（Ⅲ）利用平移的规律即可求得．【解答】解：（1） 抛物线21y ax bx =+-经过(2,3)，(1,0)两个点，∴421310a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为21y x =-；（Ⅱ） 抛物线21y x =-，∴抛物线的顶点为(0,1)-，故答案为：(0,1)-；（Ⅲ）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线2(1)12y x =---，即2(1)3y x =--．故答案为：2(1)3y x =--．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．4．（2024•礼县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，且过点(1,2)B -，(3,0)C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC ∆的面积；（3）将抛物线向左平移(0)m m >个单位，当抛物线经过点B 时，求m的值．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出点A 的坐标，然后切成直线BC 的解析式，求出点D 的坐标，再根据ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+求出ABC ∆的面积；（3）由（1）解析式求出对称轴，再求出点B 关于对称轴的对称点B '，求出BB '的长度即可；【解答】解：（1）把(1,2)B -，(3,0)C 代入23y ax bx =++，则933032a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为211322y x x =-++；（2） 抛物线23y ax bx =++交y 轴于点A ，(0,3)A ∴，设直线BC 的解析式为y kx n =+，把(1,2)B -，(3,0)C 代入y kx n =+得230k n k n -+=⎧⎨+=⎩，解得1232k n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为1322y x =-+，设BC 交y 于点D，如图：则点D 的坐标为3(0,)2，33322AD ∴=-=，113()(31)3222ABC ABD ACD C B S S S AD x x ∆∆∆∴=+=-=⨯⨯+=，（3）211322y x x =-++ ，∴对称轴为直线122b x a =-=，令B 点关于对称轴的对称点为B '，(2,2)B ∴'，3BB ∴'=，抛物线向左平移(0)m m >个单位经过点B ，3m ∴=．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、三角形面积等知识，关键是掌握二次函数的性质和平移的性质．5．（2024•珠海校级一模）已知抛物线223y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）化成顶点是即可求解；（2）根据平移的规律得到2(1)4y x m =-+-+，把原点代入即可求得m 的值．【解答】解：（1）2223(1)4y x x x =+-=+- ，∴抛物线的顶点坐标为(1,4)--．（2）该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，得到的新抛物线对应的函数表达式为2(1)4y x m =+--， 新抛物线经过原点，20(01)4m ∴=+--，解得3m =或1m =-（舍去），3m ∴=，故m 的值为3．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，求得平移后的抛物线的解析式是解题的关键．6．（2024•关岭县一模）如图，二次函数212y x bx c =++与x 轴有两个交点，其中一个交点为(1,0)A -，且图象过点(1,2)B ，过A ，B 两点作直线AB ．（1）求该二次函数的表达式，并用顶点式来表示；（2）将二次函数212y x bx c =++向左平移1个单位，得函数2y =；函数2y 与坐标轴的交点坐标为；（3）在（2）的条件下，将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后与函数2y 的图象有唯一交点，求n 的值．【分析】（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式即可求出b 、c 值，再转化为顶点式即可；（2）根据抛物线平移规则“左加右减”得到2y 解析式，令20y =求出与x 轴的交点坐标即可；（3）利用待定系数法求出直线AB 解析式，再根据直线平移法则“上加下减”得到直线平移后解析式，联立消去y ，根据判别式为0解出n 值即可．【解答】解：（1）将点(1,0)A -，点(1,2)B 坐标代入抛物线解析式得：2022b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得11b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2219212()48y x x x =+-=+-．∴抛物线解析式为：21192()48y x =+-．（2）将二次函数1y 向左平移1个单位，得函数22592()48y x =+-，令20y =，则2592(048x +-=，解得112x =-，22x =-，∴平移后的抛物线与x 轴的交点坐标为1(2-，0)(2-，0)．故答案为：22592()48y x =+-，1(2-，0)(2-，0)．（3）设直线AB 的解析式为y kx b =+，将(1,0)A -，点(1,2)B 代入得：02k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 解析式为：1y x =+．将直线AB 向下平移(0)n n >个单位后的解析式为1y x n =+-，与函数2y 联立消去y 得：2592(148x x n +-=+-，整理得：22410x x n +++=，直线AB 与抛物线有唯一交点，△1642(1))0n =-⨯+=，解得1n =．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握函数的平移法则是解答本题的关键．7．（2024•温州模拟）如图，直线122y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，抛物线2y x mx =-+经过点A ．（1）求点B 的坐标和抛物线的函数表达式．（2）若抛物线向左平移n 个单位后经过点B ，求n 的值．【分析】（1）由题意可得点A 、B 的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再代入B 的坐标求解即可．【解答】解：（1）令0x =，则1222y x =-+=，(0,2)B ∴，令0y =，则1202y x =-+=，解得4x =，(4,0)A ∴，抛物线2y x mx =-+经过点A ，1640m ∴-+=，解得4m =，∴二次函数的表达式为24y x x =-+；（2）224(2)4y x x x =-+=--+ ，∴抛物线向左平移n 个单位后得到2(2)4y x n =--++，经过点(0,2)B ，22(2)4n ∴=--++，解得2n =±，故n 的值为2-2+【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键．8．（2024•巴东县模拟）已知二次函数2y ax bx c =++图象经过(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -三点．（1）求该二次函数解析式；（2）将该二次函数2y ax bx c =++图象平移使其经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，求平移后的二次函数的解析式．【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．【解答】解：（1）把(2,3)A ，(3,6)B 、(1,6)C -代入2y ax bx c =++，得：4239366a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴该二次函数的解析式为223y x x =-+；（2）若将该二次函数2y ax bx c =++图象平移后经过点(5,0)D ，且对称轴为直线4x =，设平移后的二次函数的解析式为2(4)y x k =-+，将点(5,0)D 代入2(4)y x k =-+，得2(54)0k -+=，解得，1k =-．∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为22(4)1815y x x x =--=-+．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．9．（2024•郑州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y x m =+经过点A ，判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（3）平移抛物线2y x bx c =-++使其顶点仍在直线y x m =+上，若平移后抛物线与y 轴交点的纵坐标为n ，求n 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）利用待定系数法求得直线y x m =+的解析式，然后代入点B 判断即可；（3）设平移后的抛物线为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +，根据题意得出2221511()24n p q p p p =-++=-++=-++，得出n 的最大值．【解答】解：（1） 抛物线2y x bx c =-++经过点(1,2)A ，(2,1)B ，∴12421b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得21b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为：221y x x =-++；（2）点B 不在直线y x m =+上，理由：直线y x m =+经过点A ，12m ∴+=，1m ∴=，1y x ∴=+，把2x =代入1y x =+得，3y =，∴点(2,1)B 不在直线y x m =+上；（3）∴平移抛物线221y x x =-++，使其顶点仍在直线1y x =+上，设平移后的抛物线的解析式为2()1y x p q =--++，其顶点坐标为(,1)p q +， 顶点仍在直线1y x =+上，11p q ∴+=+，p q ∴=，抛物线2()1y x p q =--++与y 轴的交点的纵坐标为21n p q =-++，2221511(24n p q p p p ∴=-++=-++=-++，∴当12p =-时，n 有最大值为54．54n ∴ ．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．10．（2024•鞍山模拟）已知抛物线2246y x x =+-．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m 的值．【分析】（1）将二次函数的解析式改写成顶点式即可．（2）将抛物线与x 轴的交点平移到原点即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，2222462(21)82(1)8y x x x x x =+-=++-=+-，所以抛物线的顶点坐标为(1,8)--．（2）令0y =得，22460x x +-=，解得11x =，23x =-．又因为将该抛物线向右平移(0)m m >个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，所以30m -+=，解得3m =．故m 的值为3．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟知利用配方法求二次函数解析式的顶点式及二次函数的图象与性质是解题的关键．11．（2023•原平市模拟）（1）计算：3211()(5)|2|3--+---⨯-；（2）观察表格，完成相应任务：x3-2-1-012221A x x =+-21-2-1-①72(1)2(1)1B x x =-+--721-2-②2任务一：补全表格；任务二：观察表格不难发现，当x m =时代数式A 的值与当1x m =+时代数式B 的值相等，我们称这种现象为代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1：换个角度来看，将代数式A ，B 变形，得到(A =③2)2-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象④（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式P =⑤．【分析】（1）先算乘方，负整数指数幂，绝对值，再算乘法，最后算加减法即可求解；（2）①把1x =分别代入代数式A ，B 即可求得；②根据代数式B 参照代数式A 取值延后，相应的延后值为1，即可得出二次函数A 、B 平移的规律是向右平移1个单位，据此即可得出代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3的P 的代数式．【解答】解：（1）原式19(5)2=-+--⨯19(10)=-+--1910=-++18=；（2）任务一：将1x =代入2212A x x =+-=；代入2(1)2(1)11B x x =-+--=-，故答案为：①2，②1-；任务二：将代数式A ，B 变形，得到2(1)2A x =+-，22B x =-将A 与B 看成二次函数，则将A 的图象向右平移1个单位（描述平移方式），可得到B 的图象．若代数式P 参照代数式A 取值延后，延后值为3，则代数式22(13)2(2)2P x x =+--=--．故答案为：①2；②1-；③1x +；④向右平移1个单位；⑤2(2)2P x =--．【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，理解题意，能够准确地列出解析式，并进行求解即可．12．（2024•南山区校级模拟）数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：【观察探究】：方程2(||1)1x --=-的解为：；【问题解决】：若方程2(||1)x a --=有四个实数根，分别为1x 、2x 、3x 、4x ．①a 的取值范围是；②计算1234x x x x +++=；【拓展延伸】：①将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？画出平移后的图象并写出平移过程；②观察平移后的图象，当123y时，直接写出自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数21(|21)3y x =---+的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①由图象可知，当函数值为1-时，直线1y =-与图象交点的横坐标就是方程2(||1)1x --=-的解．故答案为：2x =-或0x =或2x =．（2）问题解决：①若方程2(|1)x a --=有四个实数根，由图象可知a 的取值范围是10a -<<．故答案为：10a -<<．②由图象可知：四个根是两对互为相反数．所以12340x x x x +++=．故答案为：0．（3）拓展延伸：①将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象，②当123y 时，自变量x 的取值范围是04x ．故答案为：04x．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．13．（2023•花山区一模）已知抛物线2y x ax b =++的顶点坐标为(1,2)．（1）求a ，b 的值；（2）将抛物线2y x ax b =++向下平移m 个单位得到抛物线1C ，存在点(,1)c 在1C 上，求m 的取值范围；（3）抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，直线(2)y n n =>与抛物线2y x ax b =++相交于A 、B （点A 在点B 的左侧），与2C 相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），求AD BC -的值．【分析】（1）根据对称轴公式以及当1x =时2y =，用待定系数法求函数解析式；（2）根据（1）可知抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，再由平移性质得出抛物线1C 解析式，然后把点(,1)c 代入抛物线1C ，再根据方程有解得出m 的取值范围；（3）先求出抛物线2C 解析式，再求出A ，B ，C ，D 坐标，然后求值即可．【解答】解：（1）由题意得，1212aa b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得23a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）知，抛物线2223(1)2y x x x =-+=-+，将其向下平移m 个单位得到抛物线1C ，∴抛物线1C 的解析式为2(1)2y x m =-+-，存在点(,1)c 在1C 上，2(1)21c m ∴-+-=，即2(1)1c m -=-有实数根，10m ∴- ，解得1m，m ∴的取值范围为1m；（3） 抛物线22:(3)C y x k =-+经过点(1,2)，2(13)2k ∴-+=，解得2k =-，∴抛物线2C 的解析式为2(3)2y x =--，把(2)y n n =>代入到2(1)2y x =-+中，得2(1)2n x =-+，解得1x =1x =(1A ∴-，)n ，(1B +)n ，把(2)y n n =>代入到2(3)2y x =--中，得2(3)2n x =--，解得3x =或3x =+(3C ∴)n ，(3D +，)n ，(3(12AD ∴=+--=+，(1(32BC =+--=-+，(2(24AD BC ∴-=+--+=．【点评】本题考查二次函数的几何变换，二次函数的性质以及待定系数法求函数解析式，直线和抛物线交点，关键对平移性质的应用．14．（2023•环翠区一模）已知抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)．（1）求此抛物线的解析式；（2）当自变量x 满足13x -时，求函数值y 的取值范围；（3）将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，求m 的值．【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出1x =-及3x =时的函数值，结合函数的性质得到答案；（3）设此抛物线沿x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)2y x m l =---，利用二次函数的性质，当25m +>，此时5x =时，5y =，即(52)215m ---=，设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)21y x m =-+-，利用二次函数的性质得到2m l -<，此时1x =时，5y =，即(12)215m ---=，然后分别解关于m 的方程即可．【解答】解：（1） 抛物线2y x bx c =++经过点(1,0)和点(0,3)，∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴此抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）当1x =-时，1438y =++=，当3x =时，91230y =-+=，2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴函数图象的顶点坐标为(2,1)-，∴当13x -时，y 的取值范围是18y - ；（3）设此抛物线x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =--21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，25m ∴+>，即3m >，此时5x =时，5y =，即(52)m --215-=，解得13m =+，23m =-（舍去）；设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为(2)y x m =-+21-，当自变量x 满足15x时，y 的最小值为5，21m ∴-<，即1m >，此时1x =时，5y =，即2(12)15m ---=，解得11m =-+，21m =--（舍去），综上所述，m 的值为3+1+【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质．15．（2023•南宁一模）如图1，抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)．（1）求c 的值及抛物线1y 的顶点坐标；（2）当132x - 时，求1y 的最大值与最小值的和；（3）如图2，将抛物线1y 向右平移m 个单位(0)m >，再向上平移2m 个单位得到新的抛物线2y ，点N 为抛物线1y 与2y 的交点．设点N 到x 轴的距离为n ，求n 关于m 的函数关系式，并直接写出当n 随m 的增大而减小时，m 的取值范围．【分析】（1）把(1,3)代入抛物线解析式求得c 的值；根据抛物线解析式可以直接得到顶点坐标；（2）根据抛物线的性质知：当0x =时，1y 有最大值为4，当3x =-时，1y 有最小值为5-．然后求1y 的最大值与最小值的和；（3）根据平移的性质“左加右减，上加下减”即可得出抛物线2y 的函数解析式；然后根据抛物线的性质分两种情况进行解答：当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．【解答】解：（1）抛物线21y x c =-+的图象经过(1,3)，∴当0x =时，2113y c =-+=，解得4c =．∴214y x =-+．顶点坐标为(0,4)；（2）10-< ，∴抛物线开口向下．当0x =时，1y 有最大值为4．当3x =-时，21(3)45y =--+=-．当12x =时，21115()424y =-+=．∴当3x =-时，1y 有最小值为5-．∴最大值与最小值的和为4(5)1+-=-；（3）由题意知，新抛物线2y 的顶点为(,42)m m +，∴22()42y x m m =--++．当12y y =时，22()424x m m x --++=-+，化简得：2220mx m m -+=．又0m > ，∴112x m =-．∴2211(1)4(2)424y m m =--+=--+．当21(2)404m --+=时，解得12m =-；26m =， 104-<，∴抛物线开口向下．当06m < 时，0y ，2211(2)4344n m m m =--+=-++．当6m >时，0y <，2211(2)4344n y m m m =-=--=--．∴综上所述2213,06413,64m m m n m m m ⎧-++<⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩ （或21|(2)4|)4n m =--+．当26m <<时，n 随m 的增大而减小．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质以及二次函数最值的求法．难度偏大．16．（2023•奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，顶点为A ，与x 轴分别交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），与y 轴交于点D ，其中点C 的坐标为(3,0)．（1）求抛物线的表达式；（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E ，联结DE ．①如果//DE AC ，求四边形ACDE 的面积；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，当DQE CDQ ∠=∠时，求点Q的坐标．【分析】（1）利用待定系数法解答即可；（2）①依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质和平行线的性质求得点E ，F 坐标，再利用四边形ACDE 的面积DFC EFCA S S ∆=+平行四边形解答即可；②依据题意画出图形，利用A ，C ，D 的坐标，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理求得点E 坐标和线段DE ，再利用等腰三角形的判定与性质求得线段FQ ，则结论可求．【解答】解：（1） 抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =，经过点(3,0)C ，∴229330b a a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为243y x x =-+；（2）①2243(2)1y x x x =-+=-- ，(2,1)A ∴-．设抛物线的对称轴交x 轴于点G ，1AG ∴=．令0x =，则3y =，(0,3)D ∴，3OD ∴=．令0y =，则2430x x -+=，解得：1x =或3x =，(1,0)B ∴．如果//DE AC ，需将抛物线向左平移，设DE 交x 轴于点F ，平移后的抛物线对称轴交x 轴于点H ，如图， 点C 的坐标为(3,0)，3OC ∴=．由题意：45ACB ∠=︒，//DE AC ，45DFC ACB ∴∠=∠=︒．3OF OD ∴==，(3,0)F ∴-，由题意：1EH =，1FH EH ∴==，(4,1)E ∴--．//AE x 轴，//DE AC ，∴四边形EFCA 为平行四边形，2(4)6AE =--= ，616EFCA S ∴=⨯=平行四边形．1163922DFC S FC OD ∆=⨯⋅=⨯⨯= ，∴四边形ACDE 的面积6915DFC EFCA S S ∆=+=+=平行四边形；②如果点E 在直线DC 上，点Q 在平移后抛物线的对称轴上，DQE CDQ ∠=∠，如图，当点Q 在x 轴的下方时，设平移后的抛物线的对称轴交x 轴于F ，由题意：1EF =．3OD OC == ，45ODC OCD ∴∠=∠=︒，45FCE OCD ∴∠=∠=︒，1CF EF ∴==，(4,1)E ∴-．CD ==，CE ==DE CD CE ∴=+=DQE CDQ ∠=∠ ，EQ DE ∴==1QF EF EQ ∴=+=，(4,1)Q ∴-；当点Q 在x 轴的上方时，此时为点Q '，DQ E CDQ ∠'=∠' ，EQ DE ∴'==，1Q F EQ EF ∴'='-=，(4Q ∴'，1)-．综上，当DQE CDQ ∠=∠时，点Q 的坐标为(4,1)--或(4，1)-．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．17．（2023•下城区校级模拟）如图已知二次函数2(y x bx c b =++，c 为常数）的图象经过点(3,1)A -，点(0,4)C -，顶点为点M ，过点A 作//AB x 轴，交y 轴于点D ，交二次函数2y x bx c =++的图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的表达式及点M 的坐标：（2）若将该二次函数图象向上平移(0)m m >个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC ∆的内部（不包括ABC ∆的边界），求m 的取值范围；（3）若E 为y 轴上且位于点C 下方的一点，P 为直线AC 上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，即可求解；（2）求出平移后的抛物线的顶点(1,5)m -，再求出直线AC 的解析式4y x =-，当顶点在直线AC 上时，2m =，当M 点在AB 上时，4m =，则24m <<；（3）设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，分三种情况讨论：当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，Q 点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，Q 点横坐标为2；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，Q点横坐标为3【解答】解：（1）将点(3,1)A -，点(0,4)C -代入2y x bx c =++，∴4931c b c =-⎧⎨++=-⎩，解得24b c =-⎧⎨=-⎩，224y x x ∴=--，2224(1)5y x x x =--=-- ，∴顶点(1,5)M -；（2）由题可得平移后的函数解析式为2(1)5y x m =--+，∴抛物线的顶点为(1,5)m -，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴431b k b =-⎧⎨+=-⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩，4y x ∴=-，当顶点在直线AC 上时，53m -=-，2m ∴=，//AB x 轴，(1,1)B ∴--，当M 点在AB 上时，51m -=-，4m ∴=，24m ∴<<；（3）存在一点Q ，使以C 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，理由如下：设(0,)E t ，(,4)P p p -，2(,24)Q q q q --，点E 在点C 下方，4t ∴<-，Q点在第四象限，01q ∴<<，①当CE 为菱形对角线时，CP CQ =，∴22222342(2)p q t q q q q q q =-⎧⎪=--⎨⎪=+-⎩，解得334q p t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（舍)或116p q t =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为1；②当CP 为对角线时，CE CQ =，∴22222824(4)(2)p q p t q q t q q q =⎧⎪-=+--⎨⎪+=+-⎩，解得222q p t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，Q ∴点横坐标为2，不符合题意；③当CQ 为菱形对角线时，CE CP =，∴222284(4)2p q q q t p t q =⎧⎪--=+-⎨⎪+=⎩，解得332p q t ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-+⎪⎩（舍)或332p q t ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=--⎪⎩，Q ∴点横坐标为3-综上所述：Q 点横坐标为1或3-【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键．18．（2023•即墨区一模）如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，该二次函数的解析式为243y x x =-+．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(0,3)A ，(1,0)B ，．求该二次函数的解析式．（1）请根据已有信息添加一个适当的条件：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）当函数值6y <时，自变量x 的取值范围：；（3）如图1，将函数243(0)y x x x =-+<的图象向右平移4个单位长度，与243(4)y x x x =-+ 的图象组成一个新的函数图象，记为L ．若点(3,)P m 在L 上，求m 的值；（4）如图2，在（3）的条件下，点A 的坐标为(2,0)，在L 上是否存在点Q ，使得9OAQ S ∆=．若存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）只需填一个在抛物线图象上的点的坐标即可；（2）求出6y =时，对应的x 值，再结合图象写出x 的取值范围即可；（3）求出抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)3y x =--，根据题意可知3x =时，P 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上，再求m 的值即可；（4）分两种情况讨论：当Q 点在抛物线2(6)3y x =--的部分上时，设2(,1233)Q t t t -+，由212(1233)92OAQ S t t ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,41)Q m m m -+，由212(41)92OAQ S m m ∆=⨯⨯-+=，求出Q 点坐标即可．【解答】解：（1）(2,1)C -，故答案为：(2,1)C -（答案不唯一）；（2）243y x x =-+ ，∴当2436x x -+=时，解得2x =2x =-∴当6y <时，22x <<+，故答案为：22x -<<+；（3）2243(2)1y x x x =-+=-- ，∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为2(6)1y x =--，当3x =时，点P 在抛物线2(6)1y x =--的部分上，8m ∴=；（4）存在点Q ，使得9OAQ S ∆=，理由如下：当Q 点在抛物线2(6)1y x =--的部分上时，设2(,1235)Q t t t -+，212(1235)92OAQ S t t ∆∴=⨯⨯-+=，解得6t =+6t =，4t ∴<，6t ∴=-(6Q ∴-，9)；当Q 点在抛物线243y x x =-+的部分上时，设2(,43)Q m m m -+，212(43)92OAQ S m m ∆∴=⨯⨯-+=，解得2m =+或2m =-4m ，2m ∴=+，2Q ∴，9)；综上所述：Q 点坐标为(6，9)或2+，9)．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，数形结合解题是关键．19．（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l 的图象沿x 轴向右平移t ，再沿x 轴翻折，得到新函数l '的图象，则称函数l '是函数l 的“t 值衍生抛物线”．已知2:23l y x x =--．（1）当2t =-时，①求衍生抛物线l '的函数解析式；②如图1，函数l 与l '的图象交于(M ，)n ，(,N m -两点，连接MN ．点P 为抛物线l '上一点，且位于线段MN 上方，过点P 作//PQ y 轴，交MN 于点Q ，交抛物线l 于点G ，求QNG S ∆与PNG S ∆存在的数量关系．（2）当2t =时，如图2，函数l 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ．函数l '与x 轴交于D ，E 两点，与y 轴交于点F ．点K 在抛物线l '上，且EFK OCA ∠=∠．请直接写出点K 的横坐标．【分析】（1）①利用抛物线的性质和衍生抛物线的定义解答即可；②利用待定系数法求得直线MN 的解析式，设2(,23)P m m m --+，则得到(,2)Q m m -，2(,23)G m m m --，利用m 的代数式分别表示出PQ ，QG 的长，再利用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论；（2）利用函数解析式求得点A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标，进而得出线段OA ，OC ，OD ，OE ，AC ，OF 的长，设直线FK 的解析式为5y kx =-，设直线FK 交x 轴于点M ，过点M 作MN EF ⊥于点N ，用k 的代数式表示出线段OM ．FM ，ME 的长，利用EFK OCA ∠=∠，得到sin sin EFK OCA ∠=∠，列出关于k 的方程，解方程求得k 值，将直线FK 的解析式与衍生抛物线l '的函数解析式联立即可得出结论．。
平移与旋转常见题型
平移与旋转常见题型1、一块白色正方形，边长是18cm，上面横竖各有两道黑条，如图所示，黑条宽都是2cm，请利用平移的知识，求出图中白色部分的面积。
分析：图中白色部分的面积是由9个小图形组合而成的，通即可求。
过将黑条平移到四周把这些小图形组合成一个图形。
或2、振华公司想购买一块土地发展生产，现有一块如图的矩形草地，草地上有一条两岸平行的河流，河流的水平宽度为50m，矩形的长度为500m，宽度为200m，问振华公司购买的土地面积是多少？分析：若将图形ABA1A2 右平移50m，与B1B2CD拼到一起，可得到一个新的矩形，面积即为所求面积。
变式：（1）若河流两岸是两条水平距离是50m的折线，其土地面积是多少？（2）若河流两岸是三道、四道五道，甚至是弯曲的河流，其土地面积是多少呢？分析：不论中间是什么图形，只要水平距离相同，都可通过平移将所求面积集中到一起。
3、如图，从红星村A到幸福村B 要修一条公路，中间隔着一条河，河宽为d，河两岸平行，在河上需要架一座桥，桥与河两岸必须红星村·垂直，要使从红星村到幸福村的总路程最短，桥应修在何处？分析：如果没有河流的阻碍，我们都知道两点之间线段最短。
而桥与河岸必须垂直，即桥的长度是一定的。
如果将河平移至路的一端，即把总路程“路+桥+路”次序调换一下，·幸福村 变为“桥+路+路”，问题就解决了。
作法：过A 作河岸的垂线段AC ，使AC 等于河宽，连接BC ，交河的一岸于点D ，过D 作河岸的垂线，交河的另一岸于点E ，则DE 就是修桥的位置。
AEDB 就是从红星村到幸福村的路线。
红星村A ·幸福村4、如图，△ABC 中，AD=8，AC=6，AD 是BC 是多少？分析：求线段的取值范围，一定用三角形的三边关系。
需将要求的AD 、已知的AB 、AC 一个三角形中，因为BD=CD ，所以将△ADC 绕旋转180º，此时C 与B 重合，A 点旋转到E 则可求出AE 的取值范围：AB-AE ＜AE ＜AB+AE ，然后左右两边的都除以2，即求出AD 的取值范围。
平移旋转轴对称经典题目
平移旋转轴对称经典题目平移旋转轴对称是几何中的基本概念，它在解决许多问题时都发挥了重要作用。
下面将介绍一些经典的与平移旋转轴对称相关的题目。
平移对称1. 问题：在平面上画一个矩形ABCD，点E是BC的中点，连接AE并延长到交F于F点。
试证明F是矩形ABCD的一个对称点。
问题：在平面上画一个矩形ABCD，点E是BC的中点，连接AE并延长到交F于F点。
试证明F是矩形ABCD的一个对称点。
问题：在平面上画一个矩形ABCD，点E是BC的中点，连接AE并延长到交F于F点。
试证明F是矩形ABCD的一个对称点。
证明：首先，连接BD并延长到交G于G点。
我们注意到BC是平移BD得来的，而E是BC的中点，所以AE也是平移AG得来的。
因此，FE是平移FG得来的，所以F是矩形ABCD的一个对称点。
首先，连接BD并延长到交G于G点。
我们注意到BC是平移BD得来的，而E是BC的中点，所以AE也是平移AG得来的。
因此，FE是平移FG得来的，所以F是矩形ABCD的一个对称点。
首先，连接BD并延长到交G于G点。
我们注意到BC 是平移BD得来的，而E是BC的中点，所以AE也是平移AG得来的。
因此，FE是平移FG得来的，所以F是矩形ABCD的一个对称点。
2. 问题：给定梯形ABCD，其中AD平行于BC。
点M是AB 的中点，点N是CD的中点。
试证明MN平行于AD，并且MN的中点是梯形ABCD的一个对称点。
问题：给定梯形ABCD，其中AD平行于BC。
点M是AB的中点，点N是CD的中点。
试证明MN平行于AD，并且MN的中点是梯形ABCD的一个对称点。
问题：给定梯形ABCD，其中AD平行于BC。
点M是AB的中点，点N是CD的中点。
试证明MN平行于AD，并且MN的中点是梯形ABCD的一个对称点。
证明：因为M是AB的中点，N是CD的中点，所以MN平行于AD。
另外，由于MN是平移MC得来的，所以MN的中点也是平移梯形ABCD的中线AD得来的，即MN的中点是梯形ABCD的一个对称点。
培优专题5 平移与旋转 (含解答)-
培优专题5 平移与旋转平移是几何变换中最常用的变换之一，用它可以将一些不在同一三角形中要证的两条线段或两角，进行“搬家”，把它们搬到同一个三角形（或平行四边形）中，再利用图形的性质与题设条件，找到解（或比）的途径．平移法能把分散的条件集中起来，收到事半功倍的效果．旋转也是几何变换中较常用的变换之一，在解决问题中主要应用在以下两个方面：一是在题设条件和结论间联系不易沟通或条件不易集中利用的情形下，通过旋转起到铺路架桥作用；二是图形错综复杂，但图形中的量与量之间的关系多，这时也可以看能否使用旋转的办法，移动部分图形，使题目中隐蔽着的关系明朗起来，从而找到解题途径．平移、旋转两种变换在使用中，一定要善于观察变换前后哪些量变了，哪些量没变．只有这样，我们才能充分发挥两种变换的功能，达到有效解决相关问题的目的．例1如图，在△ABC中，D、E是BC边上两点，BD=CE，试说明AB+AC>AD+AE．分析利用平移变换，•将图中已知条件转化为梯形的对角线之和大于两腰之和．解：把△ABD作平移，使BD与EC重合，分别过点E作AB的平行线，过点A作BC•的平行线，两线交于点F，连结CF．再连结EF交AC于O．则AB=EF，∠ABD=∠FEC．∵BD=CE，∴△ABD≌△FEC．∴AD=CF．在梯形AECF中，AO+OE>AE，FO+OC>CF，∴AO+OE+FO+OC>AE+CF．即AC+EF>AE+CF．∴AB+AC>AD+AE．练习11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD+BC=3，AC=3，BD=6，求此梯形的面积．2．如图，长方形花园ABCD中，AB=a，AD=b，花园中建有一条长方形道路LMPQ•及一条平行四边形道路RSTK，若LM=RS=c，求花园中可绿化部分的面积．3．如图，△ABC中，E、F分别为AB、AC边上的点，且BE=CF，试说明EF<BC．例2 如图，△ABC中，∠ACB=90°，M是AB的中点，∠PMQ=90°，请说明PQ2=•AP2+BQ2．分析本题中PQ、AP、BQ不在同一个三角形中，•如果将它们平移，•使PQ、BQ分别转化为PD、AD，将三线段转化在同一三角形中，巧妙运用直角三角形中的勾股定理求解．解：将BQ平移到AD，连结PD、MD．∵BQ∥AD，∴∠BAD=∠ABC．∵MA=MB，BQ=AD，∴△AMD≌△BMQ，∴∠AMD=∠BMQ．而∠AMQ+∠BMQ=180°，∴∠AMQ+∠AMD=180°．∴D、M、Q三点共线．∴∠PMD=∠PMQ=90°，MD=MQ．∴PQ=PD．∵∠PAD=∠BAC+∠BAD=∠BAC+∠ABC=90°．∴△PAD为直角三角形，PD2=AP2+AD2．∴PQ2=AP2+BQ2．1．如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，∠BEG与∠CFH都是锐角，•已知EG=3，FH=4，四边形EFGH的面积为5，求正方形ABCD的面积．2．如图，△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，AN、CM•交于点P，•若BC=AM，BM=CN，求∠APM的度数．3．如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，且AB-ED=CD-AF=EF-BC>0，请问，六边形ABCDEF的六个角是否都相等．例3如图，在正方形ABCD的边BC和CD上分别取点M和点K，并且∠BAM=∠MAK．求证：BM+KD=KA．分析把Rt△BAM绕点A顺时针旋转90°到△ADM′，使BM与DN拼成一条线段的KM′，只要证明KM′=KA即可．证明：把Rt△ABM绕点A旋转90°，则点B变为点D，M变为M′，则Rt•△BAM•≌Rt•△ADM′，∴∠M′=∠BMA∴DM′=BM．∵∠BAM=∠MAK，∴∠KAM′=∠MAD．∴∠KAM′=∠M′．∴AK=KM′．∴BM+KD=AM．1．如图，在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D•的点，•且∠NMB=∠MBC，求AMAB的值．2．如图，P是等边△ABC内一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比为5：6：7，•求以PA、PB、PC之比为边的三角形三内角之比（从小到大）．3．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，AH⊥BC，且AH=1，•求四边形ABCD的面积．例4如图，在等腰三角形ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，且PA=1，PB=3，PC=7，求∠APC 的度数．分析本题将△BAP绕点A旋转90°，得到△CAQ，构造直角三角形，利用勾股定理求解解：将△BAP绕点A旋转90°，使AB与AC重合，得△CAQ，则△CAQ≌△BAP．∴AQ=AP=1，CQ=BP=3，∠CAQ=∠PAB，∴∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=∠PAC+∠PAB=90°Rt△AQP中，PQ2=AQ2+AP2=2，∴PQ=2，∴∠APQ=45°．在△CPQ中，PQ=2，CQ=3CP=7，CQ2=CP2+PQ2．∴△CPQ是直角三角形，∠CPQ=90°．∴∠APC=∠CPQ+∠APQ=135°．练习41．等边三角形内一点到三个顶点距离分别为3、4、5，则此等边三角形边长的平方为________．2．如图，P是正方形内的点，若PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数．3．如图，正方形ABCD的边长为1，AB、AD各有一点P、Q，若△APQ的周长为2，•求∠PCQ．例5 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，以BC为边的三角形BPC是等边三角形，求AP的最大、最小值．分析通过旋转把AP转移到有两条边确定的三角形中，利用三角形的性质求最值．解：把△ABP绕B点顺时针旋转60°得△DBC，则△ABP≌△DBC．∴DC=AP，BD=BA，∠DBA=60°．∴△ABD是等边三角形，AD=AB=3．在△ACD中，有DC<AD+AC=5，当C在DA的延长线上时才有DC=AD+AC=5，说明DC≤5，•即AP≤5．……①在△ACD中，有DC>AD-AC=1时，当C在DA线段上时才有DC=AD-AC=1，说明DC≥1，•即AP≥1．……②由①②得AP最大值为5，最小值为1．练习51．如图，正方形ABCD中，有一个内接三角形AEF，若∠EAF=45°，AB=8，EF=7，•求△EFC的面积．2．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，过BC上的中线AD=6，求BC的长．3．如图，已知△ABC中，AB=AC，D为三角形内一点，∠ADB>∠ADC．试证明：•CD>BD．答案:练习11．解：将BD 平移到CE 交AD 延长线于点E ， 则四边形BDEC 为平行四边形∴DE=BC ，CE=BD ，S △BCD =S △CDE ∵△ABC 与△DBC 同底等高， ∴S △ABC = S △BCD = S △CDE∵S 梯形ABCD = S △ABC + S △ACD = S △CDE + S △ACD = S △ACE ． 又AE=AD+DE=3=2236AC CE +=+，∴△ACE 为直角三角形，∠ACE=90°． ∴S 梯形ABCD = S △ACE =12·AC·CE=322．2．解：把长方形和平行四边形道路平移，在移动过程中道路面积不变，如图，则四块空白可组成长（b-c ），宽（a-c ）的空白长方形，其面积为（b-c ）（a-c ）=ab-bc-ac+c 2．3．解：将EF 平移为BG ，BF 平移为FG ，作∠CFG 的角平分线交BC 于D ，连结DG ，•则由平移知四边形BEFG 是平行四边形． ∴EF=BG ，BE=FG ． ∵BE=CF ，∴FG=CF ． ∵∠1=∠2，FD=FD ． ∴△FGD ≌△FCD （SAS ）． ∴DG=CD ．在△BGD 中， ∵BG<BD+DG ，∴EF<BC ．练习21．解：过E 、F 、G 、H 分别平移AD 、AB ，交点分别为P 、Q 、R 、T ，则四边形PQRT•为矩形．设正方形边长为a ，PQ=b ，PT=c ，由勾股定理得b= 223a -，c=224a -， ∵S △AEH =S △TEH ，S △BEF =S △PEF ， S △CFG =S △QFG ， S △DGH =S △RGH 则S 正方形ABCD +S 矩形PQRT =2S 四边形EFGH ∴a 2+b·c=10． 即a 2+223a -·224a -=10．∴5a2=44，a2=445．∴S正方形ABCD=445．2．解：把MC平移，使点M至A点，过A作MC的平行线，过点C作AB的平行线，•两线交于点D，则MC=AD．∠APM=∠NPC=∠NAD……①∵BM=NC，CD=AM=BC，∠DCN=∠CBM=90°，∴△DCN≌△CBM．从而DN=MC，∴DN=DA……②∴∠CMB=∠DNC．∵∠BCM+∠DMB=90°，∴∠BCM+∠DNC=90°．即MC∥AD．∴ND⊥AD．……③由①，②，③得∠APM=45°．3．解：六个角都相等且都等于120°．将AB沿着BC平移到QC，CD沿着DE平移到ER，EF沿着FA平移到AP，∵AB∥ED，BC∥EF，CD∥AF，∴AB=QC，BC=AQ，CD=ER，DE=CR，EF=AP，FA=PE．∵AB-ED=CD-AF=EF-BC，∴QC-CR=ER-PE=AP-AQ．即PQ=PR=QR．∴∠1=∠2=∠3=60°．由平行线性质知：∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°．练习31．解：将△BAM绕B点旋转90°，A点变为C点，M点变为P点，连结MP，则△BAM≌△BCP．∴∠BPC=∠BMA=∠CBM=∠NMB．∵BM=BP，∴∠NMP=∠NPM．∴MN=NP=NC+CP=NC+AM．设AB=1，AM=x，在Rt△MND中，则有12+x=221()(1)2x+-．∴x=13．即AMAB=13．2．解：将△ABP绕B点顺时针旋转60°得△BCP′，连结PP′，则△ABP≌△CBP′．∴AP=P′C，BP=BP′，∠APB=∠CP′B．∵∠PBP′=60°，∴△BPP′是等边三角形．∴PP′=BP，∠BPP′=60°=∠BP′P．∵∠APB：∠BPC：∠CAP=5：6：7，又∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠1=120°-60°=60°，∠2=100°-60°=40°，∠PCP′=180°-60°-40°=80°．由PA=P′C，PP′=PB，∴△PP′C是由PA、PB、PC组成的三角形．∴三内角之比为2：3：4．3．解：将△ABH绕A点旋转90°得△ADP，则△ABH≌△ADP．∴∠APD=∠AHB=90°，AH=AP．∵∠BAD=∠BCD=90°，∠HAP=90°．∴四边形AHCP是正方形．∵AH=1，∴S正方形AHCP=1=S四边形AHCD+S△ADP．S四边形ABCD=S四边形AHCD+S△ABH．又∵S△AOP =S△ABH．∴S四边形ABCD=S正方形AHCP=1．练习41．解：如图，以A为中心将△ACP绕A顺时针旋转60°，则C与B重合，P与P′重合，连结AP′，BP′，PP′则AP′=AP，BP′=CP，∠PAP′=60°．∴△APP′是等边三角形，PP′=3．△BPP′中，BP=4，PP′=3，BP′=CP=5．由32+42=52．∴△BPP′为直角三角形，∠BPP′=90°．∴∠BPA=150°．过B作BE⊥AP，交AP延长线于E．∵∠EPB=180°-150°=30°，在Rt△BEP中，BP=4，BE=2，EP=23，Rt△ABE中，BE=2，AE=23+3，AB2=22+（23+3）2=25+123．2．解：将△ABP绕B点旋转90°，得△CBP′，连结PP′，则△ABP≌△CBP′．∴PB=BP′=2，AP=P′C=1，∠APB=∠CP′B．在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，∴PP′=22，∠BP′P=45°．在△PP′C中，PC=3，P′C=1，PP′=22．有PC2=P′C2+P′P2，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°．∴∠APB=∠CP′B=∠BP′P+∠PP′C=135°．3．解：将△CDQ绕C点旋转90°，得△CBM，则△CDO≌△CBM，∠QCM=90°．∵∠D=90°，∠CBA=90°，∴P、B、M在一条直线上．∵QA+AP+QP=2，DQ+AQ+AP+BP=2，∴QP=DQ+BP．∵BM=DQ，PM=PB+BM，∴QP=PM．又CP=CP，CQ=CM．∴△CQP≌△CMP．∴∠QCP=∠PCM．又∠QCP+∠PCM=∠QCM=900∴∠PCQ=45°．练习51．解：把△ADF绕A点旋转到△ABD′的位置．∵∠D和∠ABC均为直角，∴D′、B、E三点在一条直线上，∵∠EAF=45°，∴∠D′AE=45°．在△AD′E和△AEF中，AD′=AF，AE=AE，∠D′AE=∠EAF，∴△AD′E≌△AFE．∴S△D`EF =2S△AD`E =S ABEFD=S正方形ABCD-S△EFC．∴S△EFC =S正方形ABCD-S ABEFD=S正方形ABCD-2S△AD`E =82-2×12×8×7=8．2．解：将△ADC绕D点旋转180°得△BDE．∵BD=CD．- 11 - ∴C 与B 重合，设A 落到E 处，显然A 、D 、E 共线．在△ABE 中，BE=AC=13，AB=5，AE=2AD=12． 则有132=122+52．∴△ABE 为直角三角形，∠BAE=90°． 在Rt △ABD 中，AB=5，AD=6，则有BD=2256 =61．∴BC=2BD=261．3．证明：将△ABD 绕A 点旋转∠BAC 的度数， 得△ACE ，连结DE ．由于AB=AC ． ∴B 与C 重合，则△ABD ≌△ACE ． ∵AD=AE ，∴∠1=∠2．∵∠AEC=∠ADB>∠ADC ．∴∠4>∠3，∴CE<DC ．∵BD=CE ，∴CD>BD ．。
12平移与旋转--知识讲解及其练习 含答案
平移与旋转--知识讲解【学习目标】1.理解平移、旋转的基本概念，掌握平移、旋转的基本特征，并能利用平移与旋转的性质进行证明有关问题；2.知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计；理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；3.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计.【要点梳理】要点一、平移1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；（4）平移后，新图形与原图形的形状与大小不变.要点诠释：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.3. 作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．(1)定：确定平移的方向和距离；(2)找：找出表示图形的关键点；(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)连：按原图形顺次连接对应点．要点二、旋转的概念把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AOA′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.要点三、旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形的形状与大小不变.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点四、旋转的作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.【典型例题】类型一、平移1．如图所示，平移△ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的△A′B′C′．【思路点拨】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离，连接AA′后这个问题便获得解决．根据平移后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在一条直线上)且相等，容易画出所求的线段．【答案与解析】解：如图所示，（1）连接AA′，过点B作AA′的平行线l，在l上截取BB′＝AA′，则点B′就是点B的对应点．（2）用同样的方法做出点C的对应点C′，连接A′B′、B′C′、C′A′，就得到平移后的三角形A′B′C′．【总结升华】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离．连接AA′，这个问题就解决了，然后分别把B、C按AA′的方向平移AA′的长度，便可得到其对应点B′、C′，这就是确定了关键点平移后的位置，依次连接A′B′，B′C′，C′A′便得到平移后的三角形A′B′C′．2．（•东台市模拟）如图，将△ABC平移到△A′B′C′的位置（点B′在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB′A′的度数为______．【答案】25°【解析】∵∠B=55°，∠C=100°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣55°﹣100°=25°，∵△ABC平移得到△A′B′C′，∴AB∥A′B′，∴∠AB′A′=∠A=25°．【总结升华】图形在平移的过程有“一变两不变”、“一变”是位置的变化，“两不变”是形状和大小不变．本例中由△ABC经过平移得到△A′B′C′．则有AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′，∠C＝∠C，∠B＝∠B′．举一反三：【变式】（•临淄区一模）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为．【答案】20；解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，∴CF=AD=2cm，AC=DF，∵△ABC的周长为16cm，∴AB+BC+A C=16cm，∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+AC+CF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm．故答案为：20cm．类型二、旋转的概念及性质3.如图，把四边形AOBC绕点O旋转得到四边形DOEF.在这个旋转过程中：（1）旋转中心是谁?（2）旋转方向如何?（3）经过旋转,点A、B的对应点分别是谁？（4）图中哪个角是旋转角？（5）四边形AOBC与四边形DOEF的形状、大小有何关系？（6）AO与DO的长度有什么关系？ BO与EO呢？（7）∠AOD与∠BOE的大小有什么关系？【答案与解析】（1）旋转中心是点O；（2）旋转方向是顺时针方向；（3）点A的对应点是点D,点B的对应点是点E；(4)∠AOD和∠BOE；(5)四边形AOBC与四边形DOEF的图形全等，即形状一致，大小相等；（6）AO=DO,BO=EO；(7)∠AOD=∠BOE.【总结升华】通过具体实例认识旋转，了解旋转的概念和性质.举一反三【变式】如图所示：O为正三角形ABC的中心．你能用旋转的方法将△ABC分成面积相等的三部分吗？如果能，设计出分割方案，并画出示意图．【答案】下面给出几种解法：解法一：连接OA、OB、OC即可．如图甲所示；解法二：在AB边上任取一点D，将D分别绕点O旋转120°和240°得到D1、D2，连接OD、OD1、 OD2即得，如图乙所示．解法三：在解法二中，用相同的曲线连结OD、OD1、OD2即得如图丙所示4.如图，将图(1)中的正方形图案绕中心旋转180°后，得到的图案是( )【答案】C.【解析】抓住图形特征，观察图中的每个小的图形绕中心点旋转180°后能否与自身重合.【总结升华】在解题的过程中，可看出如果选取的基本图形不同，可得到不同的形成过程，甚至所选取的基本图形相同，也有不同的形成过程，因此分析图案的形成过程旨在了解图形的变化规律，而不必强求分析的一致性．类型三、旋转的作图5. 如图，已知△ABC与△DEF关于某一点对称，作出对称中心.【答案与解析】【总结升华】确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法：⑴利用中心对称的性质：对称点所连线段被对称中心所平分，所以连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点即为对称中心；⑵利用中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，所以连接任意两对对称点，则这两条线段的交点即为对称中心.6.（•南宁）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90°后得到△A 2BC 2，请在图中画出△A 2BC 2，并求出线段BC 旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）根据题意画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1即可；（2）根据题意画出△ABC 绕着点B 顺时针旋转90°后得到△A 2BC 2，线段BC 旋转过程中扫过的面积为扇形BCC 2的面积，求出即可． 【答案与解析】解：（1）如图所示，画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）如图所示，画出△ABC 绕着点B 顺时针旋转90°后得到△A 2BC 2，由勾股定理得，BC=222+3=13，线段BC 旋转过程中所扫过得面积S=π21134⨯（）=．【总结升华】此题考查了作图﹣旋转变换，对称轴变换，以及扇形面积，作出正确的图形是解本题的关键． 举一反三【变式】如图，画出ABC ∆绕点O 逆时针旋转100︒所得到的图形．【答案】(∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=100°)平移与旋转--巩固练习【巩固练习】一、选择题1．如图所示的图形中的小三角形可以由△ABC平移得到的有 ( )A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2.（•株洲）如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°3.下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是（）．（1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）摇动的大绳；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）．A．（1）（3） B．（4）（5） C．（3）（5） D．（2）（6）4.如图，4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是( )．A．点A B．点B C．点C D．点D5．如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为 ( )A．600m2 B．551m2 C．550m2 D．500m26.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为( )A.10°B.15°C.20°D.25°二、填空题7.（春•博野县期末）图形在平移时，下列特征中不发生改变的有（把你认为正确的序号都填上），①图形的形状；②图形的位置；③线段的长度；④角的大小；⑤垂直关系；⑥平行关系．8.如图所示，△ABC经过平移得到△A′B′C′，图中△_________与△_________大小形状不变，线段AB与A′B′的位置关系是________，线段CC′与BB′的位置关系是________．9.（•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为cm．10.（春•新化县期末）钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了_______度.11.如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′,则等于__________度.12.如图，△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得△AB′C′，则△ABB′是______三角形.三.解答题13.如图，将四边形ABCD平移到四边形EFGH的位置，根据平移后对应点所连的线段平行且相等，写出图中平行的线段和相等的线段．14.（吉安校级期中）等边△OAB在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），将△OAB绕点O顺时针方向旋转a°（0＜a＜360）得△OA1B1．（1）求出点B的坐标；（2）当A1与B1的纵坐标相同时，求出a的值；（3）在（2）的条件下直接写出点B1的坐标．15.如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】图中小三角形△BDE ，△CEF ，△DGH ，△EHI ，△FIJ 都可以由△ABC 平移得到．2.【答案】B ；【解析】解：∵在三角形ABC 中，∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=180°﹣∠ACB ﹣∠B=40°．由旋转的性质可知：BC=B′C，∴∠B=∠BB′C=50°．又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′，∴∠ACB′=10°，∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C +∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°．故选B ．3．【答案】D ；【解析】（1）摆动的钟摆，方向发生改变，不属于平移；（2）在笔直的公路上行驶的汽车沿直线运动，属于平移；（3）随风摆动的旗帜，形状发生改变，不属于平移；（4）摇动的大绳，方向发生改变，不属于平移；（5）汽车玻璃上雨刷的运动，方向发生改变，不属于平移；（6）从楼顶自由落下的球沿直线运动，属于平移．∴可以看成平移的是（2）（6）．故选D.4．【答案】B ；【解析】连接对应点111,,PP MM NN ,做三条线段的垂直平分线，交点即是旋转中心.5．【答案】B ；6．【答案】B ；【解析】因为△BCE 旋转90°得到△DCF ，所以EC=CF,∠CFD=∠CEB=60°,即∠EFC=45°，所以∠EFD=60°-45°=15°.二、填空题7.【答案】①③④⑤⑥；【解析】解：由图形平移的性质，知图形在平移时，其特征不发生改变的有①③④⑤⑥．8.【答案】ABC ， A ′B ′C ′，平行，平行；【解析】平移的性质．9.【答案】42；【解析】解：∵将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE，∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，∴BD=BC=12cm，∴△BCD为等边三角形，∴CD=BC=CD=12cm，在Rt△ACB中，AB==13，△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），故答案为：42．10.【答案】120°；【解析】2036012060⨯︒=︒.11.【答案】105°；【解析】∠BAC′=∠BAB′+∠B′AC′=60°+45°=105°.12.【答案】等边三角形；【解析】因为△ABC旋转60°得到△''ABC，则AB= AB′,∠BAB′=60°，所以是等边三角形.三、解答题13.【解析】解：平行的线段：AE∥BG∥DH，相等的线段：AE＝BF＝OG＝DH．14.【解析】解：（1）如图1所示过点B作BC⊥OA，垂足为C．∵△OAB为等边三角形，∴∠BOC=60°，OB=BA．∵OB=AB，BC⊥OA，∴OC=CA=1．在Rt△OBC中，，∴BC=．∴点B的坐标为（1，）．（2）如图2所示：∵点B1与点A1的纵坐标相同，∴A1B1∥OA．①如图2所示：当a=300°时，点A1与点B1纵坐标相同．如图3所示：当a=120°时，点A1与点B1纵坐标相同．∴当a=120°或a=300°时，点A1与点B1纵坐标相同．（3）如图2所示：由旋转的性质可知A1B1=AB=2，点B的坐标为（1，2），∴点B1的坐标为（﹣1，）．如图3所示：由旋转的性质可知：点B1的坐标为（1，﹣）．∴点B1的坐标为（﹣1，）或（1，﹣）．15.【解析】解：如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，显然，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝960(m2)．。
利用平移、旋转解填空题.doc
静中思动小题速解——利用平移、旋转解填空题中考中的一些填空题乍看起来或计算繁琐，或无从下手.若结合问题本身，利用平移、旋转则往往能有所突破•下面举例说明.一、面积问题1.问题呈现（2017年盐城中考题）如图1,曲线/是由函数y = @在第一象限内的图象绕坐标原点OX逆时针旋转45。
得到的.过点4（7血,如）与点B（2血,2应）的直线与曲线/相交于点M、N，则AMON的面积为___________________ .2.解法探究本题题干清晰，表述简洁，将曲线进行旋转，操作过程明确，但计算多，让学生感到无从下手，要顺利解决本题需学生对函数图象旋转有深刻地理解.3.巧用旋转水到渠成本题常规思路是求出I的解析式，与直线AB的解析式联立方程组，解出M点和N点的坐标，然后再求三角形面积.但若如此，学生就会走入一个“死胡同”即曲线/的解析式利用初中阶段所学的知识无法求解.换个思路：求y = @逆时针旋转之后图象的表达式较为困难，那么可以转而求直线ABx绕坐标原点。
顺时针旋转45。
形成的新的直线解析式.甚至于就图1中由/和直线AB复合图形而言，旋转只会改变图形的位置并不能改变图形的形状和大小，可以直接将这个复合图象顺时针旋转45。
，使/恢复成y = @在第一象限的图象这样一来y = °的解析式便可以x x直接在解题中使用了.解法如下:如图2,通过计算我们会发现4绕O点顺时针旋转45°后恰好落在y轴上, 记该点为4',如图3.图3所以直线4®的解析式为v = -2x+8,它与y = ©联立方程组，可以解出XM'(l,6), N'(3,2).如图4,过点N'作兀轴的垂线段N'E,于是= 6x4x ------- 2x4x — = 8.2 2V4.关于方法的再思考初中阶段的解析几何是建立在平面直角坐标系之中的，函数解析式的最终确立也有赖于坐标系的建立方法.建系最初的目的是为了更好的研究点、线之间的关系，并且尝试用代数方法去解决几何问题.根据上面的求解，发现按照题目中的坐标系来求解，这道题中直线的解析式也并不简洁.再观察04和0B ,就会发现OALOB,那么以04和0B为y轴和x轴可以建立起一个新的直角坐标系，如图5.事实上此时再看图4和图5,其实是一样的图象，只是角度不同.也就是说反比例函数y = @的图象和坐标系都绕原点逆时针旋转了45。
巧用平移旋转解数学题
巧用平移旋转解数学题平移旋转是初中数学教材改革后新添的内容，这部分知识的引进为我们解决问题带来很大的方便。
下面是笔者在多年教学中的一些积累，愿与大家共同分享。
类型一：平移对角线例1：如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，对角线AC⊥BD，若中位线MN＝8cm，求此梯形的面积.分析：由于梯形的面积等于中位线乘以高，只要能求出高，则问题就可以解决，于是可以作出高线CF。
解：作高线CF，平移BD到EC，则BD∥EC∵AB∥DC ∴BE∥DC∴四边形BECD是平行四边形，∵AD＝BC，AC⊥BD∴△ACE是等腰直角三角形∴CF是斜边上的中线，即AE=2CF，而AE=AB+BE=AB+DC=2MN∴CF=MN＝8cm∴梯形的面积=MN€證F=64cm2例2：已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，对角线AC=5，BD=3，求此梯形的面积。
解：平移DB到AE，则BD∥AE，并作高线AF∴四边形AEBD是平行四边形，∴AE=BD=3，BE=AD=2∴CE=6设EF=x在直角△AFE和直角△ACF中由勾股定理得：AE2－EF2=AF2=AC2－CF2即32－x2=52－（6－x）2 x=∴AF=∴S梯=AF（AD+BC）=点评：通过平移对角线，将梯形问题这转化为三角形和四边形问题，并运用勾股定理构造方程来解决，体现了转化思想和数形结合思想的重要作用。
类型二：平移腰例3：如图所示：在梯形ABCD中，AD∥BC，B+C=90€癆D=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，求EF的长解：平移AB到EM，CD到NE∴∠B=∠EMC ∠C=∠ENB∵∠B+∠C=90€?∴∠EMC+∠ENB=90€啊唷螹EN=90€?∵E、F分别是AD、BC的中点∴F是MN的中点∴EF=MN=1点评：通过平移腰，可以充分利用题目的条件转化为直角三角形，将问提简单化。
类型三：旋转图形例4：如图，正方形ABCD中，E、F分别为CD、DA上的点，BF平分∠AFE，并有EF=AF+CE，求∠EBF解：以B点为旋转中心，将△BCE按逆时针旋转使得C点与A点重合，得△BAM≌△BCE∵EF=AF+CE∴EF=AF+AM即：EF=FM又∵BF平分∠AFE∴∠BFE=∠BFM∴△BFM≌△BFE ∴∠EBF=∠FBM又∵∠CBE=∠ABM∴∠EBM=90€?∴∠EBF=45€?点评：通过旋转将问题这转化为三角形全等，解决问题非常方便。
数学人教版五年级下册用平移旋转解决问题
怎样判断每块板的位置？
七巧板经过平移或旋转后得到了鱼图。
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请在鱼图中画出 相应的每块板的轮 廓线，标出序号同 时说明每块板是怎 样平移或旋转的。
怎样判断每块板的位置？
பைடு நூலகம்
用平移旋转解决问题
七巧板经过平移或旋转后得到了鱼图。
请在鱼图中画出相应 的每块板的轮廓线，标 出序号同时说明每块板 是怎样平移或旋转的。
新人教版数学五年级下册
图形的运动（三）
例4 用平移旋转解决问题
新城小学 潘琪 2015.5.7
用平移旋转解决问题
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用平移旋转解决问题
关于七巧板你知道哪些知识？
七巧板拼图
七巧板经过平移或旋转后得到了鱼图。
请在鱼图中画出相 应的每块板的轮廓线， 标出序号同时说明每块 板是怎样平移或旋转的。
七巧板经过平移或旋转后得到了鱼图。
请在鱼图中画出
相应的每块板的轮
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廓线，标出序号同 时说明每块板是怎
问题：1.还有其他答案吗？
样平移或旋转的。
2.这时每块板是怎样平移或旋转的？
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用平移旋转解决问题 拼图问题
1、左图是被打乱的4张图片，怎样才能还原成右图？
通过读题你知道了哪些信息？
说说你打算怎么做。
用平移旋转解决问题
鱼图只有一个外形的轮廓。 ①先把鱼图分割出七巧板中的七块。 ②再判断每块板平移或旋转后的位置。 ③然后看每块板是如何运动的。
七巧板经过平移或旋转后得到了鱼图。
图形的平移与旋转练习题及答案全套
情景再现：你对以上图片熟悉吗？请你答复以下几个问题：〔1〕汽车中的乘客在乘车过程中，身高、体重改变了吗？乘客所处的地理位置改变了吗？〔2〕传送带上的物品，比方带有图标的长方体纸箱，向前移动了20米，它上面的图标移动了多少米？〔3〕以上都是我们常见的平移问题，认真想一想，你还能举一些平移的例子吗？1.如图1，面积为5平方厘米的梯形A′B′C′D′是梯形ABCD经过平移得到的且∠ABC=90°.那么梯形ABCD的面积为________，∠A′B′C =________.图12.在下面的六幅图中，〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕中的图案_________可以通过平移图案〔1〕得到的.图2“小鱼〞向左平移5格.图34.请欣赏下面的图形4，它是由假设干个体积相等的正方体拼成的.你能用平移分析这个图形是如何形成的吗？§图形的平移与旋转一、填空：1、如下左图，△ABC经过平移到△A′B′C′的位置，那么平移的方向是______，平移的距离是______，约厘米______.2、如下中图，线段AB是线段CD经过平移得到的，那么线段AC与BC的关系为〔〕3、如下右图，△ABC经过平移得到△DEF，请写出图中相等的线段______，互相平行的线段______，相等的角______.〔在两个三角形的内角中找〕4、如下左图，四边形ABCD平移后得到四边形EFGH，那么：①画出平移方向，平移距离是_______；〔准确到0.1cm〕②HE=_________，∠A=_______,∠A=_______.③DH=_________=_______A=_______.5、如下右图，△ABC平移后得到了△DEF，〔1〕假设∠A=28º，∠E=72º，BC=2，那么∠1=____º，∠F=____º，EF=____º；〔2〕在图中A、B、C、D、E、F六点中，选取点_______和点_______，使连结两点的线段与AE平行.6、如图，请画出△ABC向左平移4格后的△A1B1C1，然后再画出△A1B1C1向上平移3格后的△A2B2C2，假设把△A2B2C2看成是△ABC经过一次平移而得到的，那么平移的方向是______，距离是____的长度.二、选择题：7、如下左图，△ABC经过平移到△DEF的位置，那么以下说法：①AB∥DE，AD=CF=BE；②∠ACB=∠DEF；③平移的方向是点C到点E的方向；④平移距离为线段BE的长.其中说法正确的有〔〕8、如下右图，在等边△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，那么△AFE经过平移可以得到〔〕A.△DEFB.△FBDC.△EDCD.△FBD和△EDC三、探究升级：1、如图，△ABC上的点A平移到点A1，请画出平移后的图形△A1B1C1.3、△ABC经过平移后得到△DEF，这时，我们可以说△ABC与△DEF是两个全等三角形，请你说出全等三角形的一些特征，并与同伴交流.4、如以下图中，有一块长32米，宽24米的草坪，其中有两条宽2米的直道把草坪分为四块，那么草坪的面积是______.5、利用如图的图形，通过平移设计图案，并用一句诙谐、幽默的词语概括你所画的图形.§图形的平移与旋转一、填空、选择题：1、图形的旋转是由____和____决定的，在旋转过程中位置保持不动的点叫做____，任意一对对应点与旋转中心连线所成的角叫做_____.2、如以下图，如果线段MO绕点O旋转90°得到线段NO，在这个旋转过程中，旋转中心是_______，旋转角是_______，它时______°.3、如图，在以下四张图中不能看成由一个平面图形旋转而产生的是〔〕4、请你先观察图，然后确定第四张图为( )4、如下左图，△ABC绕着点O旋转后得到△DEF，那么点A的对应点是_______，线段AB 的对应线段是_____，_____的对应角是∠F. 6、如下中图，△ABC与△BDE都是等腰三角形，假设△ABC经旋转后能与△BDE重合，那么旋转中心是________，旋转了______°.7、如下右图，C是AB上一点，△ACD和△BCE 都是等边三角形，如果△ACE经过旋转后能与△DCB重合，那么旋转中心是_______，旋转了______°，点A的对应点是_______.二、解答题：8、如图11.4.7，△ABC绕顶点C旋转某一个角度后得到△A′B′C，问：〔1〕旋转中心是哪一点？〔2〕旋转角是什么？〔3〕如果点M是BC的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？9、观察以下图形，它可以看作是什么“根本图形〞通过怎样的旋转而得到的？三、探究升级10、如图，△ACE、△ABF都是等腰三角形，∠BAF=∠CAE=90°，那么△AFC是哪一点为旋转中心，旋转多少度之后能与另一个三角形重合？点F的对应点是什么？§图形的平移与旋转一、选择题1.平面图形的旋转一般情况下改变图形的〔 〕° ° ° °ABCD 旋转到平行四边形A ′B ′C ′D ′的位置，以下结论错误的选项是〔 〕A.AB =A ′B ′B.AB ∥A ′B ′C.∠A =∠A ′D.△ABC ≌△A ′B ′C ′ 二、填空题4.钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的_______.ABCD 绕点O 沿逆时针方向旋转到四边形D C B A '''',那么四边形D C B A ''''是________. 6.△ABC 绕一点旋转到△A ′B ′C ′，那么△ABC 和△A ′B ′C ′的关系是_______.7.钟表的时针经过20分钟，旋转了_______度. 8.图形的旋转只改变图形的_______，而不改变图形的_______. 三、解答题9.以下图中的两个正方形的边长相等，请你指出可以通过绕点O 旋转而相互得到的图形并说明旋转的角度.10.在图中，将大写字母H 绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，请作出旋转后的图案.11.如图，菱形A ′B ′C ′D ′是菱形ABCD 绕点O 顺时针旋转90°后得到的，你能作出旋转前的图形吗？△ABC ，绕它的锐角顶点A 分别逆时针旋转90°、180°和顺时针旋转90°，〔1〕试作出Rt △ABC 旋转后的三角形； 〔2〕将所得的所有三角形看成一个图形，你将得到怎样的图形？13.如图，将右面的扇形绕点O 按顺时针方向旋转，分别作出旋转以下角度后的图形： 〔1〕90°；〔2〕180°；〔3〕270°.你能发现将扇形旋转多少度后能与原图形重合吗？14.如图，分析图中的旋转现象，并仿照此图案设计一个图案.§图形的平移与旋转看一看：以下三幅图案分别是由什么“根本图形〞经过平移或旋转而得到的？1.2.3.试一试：怎样将以下图中的甲图变成乙图？做一做：1、如图①，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上的一点，AF =21AB ， 〔1〕△ABE ≌△ADF .吗？说明理由。
初中数学知识归纳向量的平移和旋转
初中数学知识归纳向量的平移和旋转初中数学知识归纳：向量的平移和旋转向量是数学中的一种基本概念，它可以用来描述物体的位移、速度和力等概念。
在初中数学中，学生会学习到如何进行向量的平移和旋转操作。
本文将对这两个概念进行归纳，介绍它们的定义、性质和一些相关的解题方法。
一、向量的平移向量的平移是指在平面上将向量沿着指定的方向和距离进行移动的操作。
平移操作可以通过将向量的起点和终点同时平移相同的距离来实现。
1. 定义：给定向量a，并设定平移向量b，将向量a沿着b的方向和长度进行平移后得到新的向量c。
新向量c与向量a具有相同的方向和长度，它们的起点和终点位置发生了改变。
2. 性质：a. 平移操作不改变向量的方向和长度。
b. 平移操作满足平移的运算法则，即a+ b = c，其中c是向量a平移b得到的结果向量。
c. 相反向量的平移结果相反，即-a平移b的结果向量为-(a平移b)。
d. 多次平移可以合并为一次平移，即a平移b后再平移c等于a平移(c+b)。
3. 解题方法：a. 通过画图可视化，将向量的起点和终点进行平移，利用平移的性质求解问题。
b. 利用向量的平移性质进行符号运算，化简表达式并求解。
二、向量的旋转向量的旋转是指将向量绕定点旋转一定的角度。
旋转操作可以改变向量的方向和长度。
1. 定义：给定向量a，并设定旋转角度θ，将向量a绕定点O逆时针旋转θ度后得到新的向量b。
新向量b与向量a具有相同的长度，但方向发生了改变。
2. 性质：a. 向量的旋转不改变其长度，只改变方向。
b. 向量的旋转满足旋转的运算法则，即a+ b = c，其中c是向量a 逆时针旋转θ度得到的结果向量。
c. 相反向量的旋转结果相反，即向量-a逆时针旋转θ度得到的结果向量为-（向量a逆时针旋转θ度）。
3. 解题方法：a. 利用向量的旋转性质进行角度运算，结合平面几何的知识求解问题。
b. 利用向量的分解和复原进行旋转操作。
综上所述，初中数学中的向量平移和旋转是两个重要的概念和操作。
高中物理 专题06 平移圆、放缩圆、旋转圆问题 学习和解析
高中物理解题能力提升 平移圆、放缩圆、旋转圆问题题型1 平移圆问题1．适用条件(1)速度大小一定，方向一定，入射点不同但在同一直线上粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v 0，则圆周运动半径R ＝mv 0qB，如图所示(图中只画出粒子带负电的情景)。
(2)轨迹圆圆心共线带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行。
2．界定方法将半径为R ＝mv 0qB 的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆法”。
[例1] (多选)利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子。
图中板MN 上方是磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d 和d 的缝，两缝近端相距为L 。
一群质量为m 、电荷量为q 、速度不同的粒子，从宽度为2d 的缝垂直于板MN 进入磁场，对于能够从宽度为d 的缝射出的粒子，下列说法正确的是( )A ．射出粒子带正电B ．射出粒子的最大速度为qB (3d ＋L )2mC ．保持d 和L 不变，增大B ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大D ．保持d 和B 不变，增大L ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大题型2 放缩圆问题1．适用条件(1)速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化。
(2)轨迹圆圆心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。
带电粒子沿同一方向射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP ′上。
2．界定方法以入射点P 为定点，圆心位于PP ′直线上，将半径放缩做轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆法”。
[例2] (多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd 区域内，O 点是cd 边的中点。
小学数学平移旋转练习题讲解
小学数学平移旋转练习题讲解平移和旋转是小学数学中重要的概念，通过练习题的讲解，可以帮助学生更好地理解和掌握这些概念。
下面将以几个具体的练习题为例，详细解析平移和旋转的应用。
练习题1：平移图形已知下图中的三角形ABC，向右平移3个单位，得到新的三角形A'B'C'，请问A'、B'、C'的坐标分别是多少？解析：首先，我们可以写出原始三角形ABC的坐标：A(1,2)，B(2,4)，C(3,1)接下来，将三角形ABC向右平移3个单位。
平移的规律是将所有的横坐标都增加平移的单位数，纵坐标保持不变。
所以，新的三角形A'B'C'的坐标是：A'(4,2)，B'(5,4)，C'(6,1)练习题2：旋转图形已知下图中的矩形ABCD，以点O为旋转中心将其逆时针旋转90°，得到新的矩形A'B'C'D'，请问A'、B'、C'、D'的坐标分别是多少？解析：首先，我们可以写出原始矩形ABCD的坐标：A(1,1)，B(3,1)，C(3,3)，D(1,3)接下来，以点O(2,2)为旋转中心，逆时针旋转90°。
旋转的规律是根据旋转中心、旋转角度和原始图形的坐标关系，通过变换公式来计算旋转后的新坐标。
经过逆时针旋转90°后，新的点坐标计算公式为：A'(x', y') = (xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ)其中，(x, y)为原始点的坐标，(x', y')为旋转后点的坐标，θ为旋转角度。
将每个点都代入公式进行计算，得到新的矩形A'B'C'D'的坐标为：A'(3,1)，B'(3,3)，C'(1,3)，D'(1,1)练习题3：平移和旋转综合已知下图中的正方形ABCD，先向右平移2个单位，然后以点O(2,2)为旋转中心逆时针旋转60°，得到新的图形，请问新图形的坐标是多少？解析：首先，我们可以写出原始正方形ABCD的坐标：A(1,1)，B(3,1)，C(3,3)，D(1,3)接下来，将正方形ABCD向右平移2个单位。
专题05 图形的平移与旋转五种考法(老师版)
专题05图形的平移与旋转五种考法【考法一利用平移的性质求解】例题：（2022·浙江·义乌市绣湖中学教育集团七年级阶段练习）在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6．将三角形ABC 沿射线BC 方向平移至三角形DEF 处．若AG ＝2，BE ＝83，则EC ＝_____【答案】163【解析】【分析】由平移的性质可知，AC ＝DF ＝6，AC ∥DF ，BE ＝CF ＝83，设EC ＝x ，利用面积法求解即可．【详解】解：由平移的性质可知，AC ＝DF ＝6，AC ∥DF ，BE ＝CF ＝83，设EC ＝x ，∵AC ＝6，AG ＝2，∴CG ＝4，∵ECG EFD DFCG S S S =-梯形，∴()8461183462232x x +⨯⎛⎫⨯=+⨯- ⎪⎝⎭，解得：x ＝163，∴EC ＝163．故答案为163．【点睛】本题考查平移的性质，用一元一次方程解决几何问题，解题的关键是学会利用面积法构建方程解决问题．【变式训练】1．（2022·广东·汕头市龙湖实验中学七年级期中）如图，把一个三角形纸板的一边紧靠数轴平移，点P 平移的距离PP ′为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】根据平移的性质即可解答．【详解】∵三角形纸板的一边紧靠数轴平移∴点P 平移的距离()415P A P A '=--=='故本题选D ．【点睛】本题考查了平移的性质及数轴上两点的距离等知识点，掌握平移的性质是解答本题的关键．2．（2021·浙江省衢州市衢江区实验中学七年级开学考试）如图，直角△ABC 沿射线BC 的方向平移3个单位长度，得到△DEF ，线段DE 交AC 于点H ，已知AB ＝5，DH ＝2，则图中阴影部分的面积为（）A ．12B ．24C ．48D ．不能确定【答案】A【解析】【分析】根据平移得DE =AB =5，BE =3，ABC DEF SS =，求出EH ，利用CEH CEH ABEH S S S S +=+阴影梯形得到ABEH S S =阴影梯形，再代入数值计算．【详解】解：由平移得DE =AB =5，BE =3，ABC DEF SS =，∴EH =DE -DH =5-2=3，∵CEH CEH ABEH S S S S +=+阴影梯形∴()()115331222ABEH S S AB EH BE ==+⋅=⨯+⨯=阴影梯形，故选：A ．【点睛】此题考查了平移的性质：平移前后图形的对应边相等，对应角相等，对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等．3．（2022·湖北黄石·七年级阶段练习）如图，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，5BC =，将ABC 沿直线BC 向右平移2个单位长度得到DEF ，连接AD 、AE ，则下列结论：①AC DF ∥，AC DF =；②ED DF ⊥；③四边形ABFD 的周长是16；④点D 到线段BF 的距离是2.4．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】【分析】由平移的性质判断①正确；利用AB ⊥AC ，AB //DE ，AC //DF ，即可判断②正确；由平移得到AD =CF =2，DF =AC =4，求出四边形周长判断③正确；过点D 作DG ⊥EF ，由平移得DE =AB =3，DF =AC =4，EF =BC =5，90EDF BAC ∠=∠=︒，利用面积公式求出DG ，由此判断④正确．【详解】解：AC 平移得到DF ，∴AC DF ∥，AC DF =，故①正确；由平移得，//,AB DE AB DE =，∵90BAC ∠=︒，∴AB ⊥AC ，∵AC DF ∥，∴ED DF ⊥，故②正确；∵将ABC 沿直线BC 向右平移2个单位长度得到DEF ，∴AD =CF =2，∵3AB =，4AC =，5BC =，∴DF =AC =4，∴四边形ABFD 的周长＝AB +BC +CF +DF +AD =3+5+2+4+2=16，故③正确；过点D 作DG ⊥EF ，由平移得DE =AB =3，DF =AC =4，EF =BC =5，90EDF BAC ∠=∠=︒．∵1122DEF S DE DF EF DG =⋅=⋅．∴345DG ⨯=．∴DG =2.4，即点D 到线段BF 的距离是2.4．故④正确；．故选D ．【点睛】此题考查了平移的性质：对应边相等且平行，对应角相等，熟记平移的性质是解题的关键．4．（2022·广东·惠东县多祝中学七年级阶段练习）如图，三角形DEF 是由三角形ABC 通过平移得到，且点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，若BF ＝10，EC ＝4，则BE 的长度是________．【答案】3【解析】【分析】根据平移的性质可得BC =EF ，从而得到BE =CF ，即可求解．【详解】解：∵三角形DEF 是由三角形ABC 通过平移得到，∴BC =EF ，∴BC -CE =EF -CE ，即BE =CF ，∵BF ＝10，EC ＝4，∴BE +CF =BF -CE =6，∴BE =3．故答案为：3【点睛】本题主要考查了图形的平移，熟练掌握图形平移前后对应线段相等，对应角相等是解题的关键．5．（2021·广东·珠海市凤凰中学七年级期中）如图，点A （-4，0），B （-1，0），将线段AB 平移后得到线段CD ，点A 的对应点C 恰好落在y 轴上，且四边形ABDC 的面积为9，则D 点坐标为_________．【答案】(3,3)【解析】【分析】根据A （-4，0），B （-1，0）可得3,4AB OA ==，根据平移可得四边形ABDC 是平行四边形，再由平行四边形的面积求出D 点纵坐标，即可得到答案．【详解】点A （-4，0），B （-1，0）3,4AB OA ∴==设C 点的纵坐标为a线段AB 平移后得到线段CD,CD AB CD AB∴=∥∴四边形ABDC 是平行四边形四边形ABDC 的面积为939D AB y a ∴⋅==3a ∴=(3,3)D \故答案为：(3,3)．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中图形平移时对应点坐标的变化规律，能够运用属数形结合的思想是解题的关键．6．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，己知ABC 的面积是12，将ABC 沿BC 平移到A B C '''V ，使B '和C 重合，连接AC 交A C '于点D ，则C DC '的面积是___________．【答案】6【解析】【分析】根据平移的性质可证得ADC C DA ''≌，从而可得CD A D '=，则C DC '的面积为A B C '''V 的一半，即可得结果．【详解】∵ABC 沿BC 平移到A B C '''V ∴AC A C ''=，//AC A C ''，12A B C ABC SS '''==∴ACD C A D ''∠=∠在ADC 与C DA ''△中ACD C A D ADC C DA AC A C ''∠=∠⎧⎪''∠=∠⎨⎪''=⎩∴ADC C DA ''≌(AAS )∴CD A D'=即点D 是A C '的中点∴1112622C DC A B C S S ''''==⨯=故答案为：6【点睛】本题考查了平移的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中线平分三角形的面积的性质等知识，证明三角形全等是关键．7．（2021·河北唐山·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，DEF 是由ABC 平移得到的．若()1,4A t -，()3,0E ，()5,0C．(1)指出图中线段AD 的长以及与线段AD 相等的线段；(2)若点A 到y 轴的距离为1，直接写出t 的值与点D 的坐标；(3)求ABC 的面积；(4)如果将点A 平移到点(),0P m ，直接写出点P 所在位置以及满足条件的点P 的个数．【答案】(1)3，BE 、CF(2)2t =，()44D ,(3)10(4)在x 轴上，无数个【解析】【分析】（1）根据平移的性质可得结论；（2）由点A 的纵坐标与点D 的纵坐标相等可得AD //x 轴，由点A 到y 轴的距离是点A 的横坐标可得结论；（3）求出OC 的长，运用三角形面积公式可求解；（4）由点P 的纵坐标是0可知点P 在x 轴上，有无数个点P ．(1)∵点E （3，0）∴3OE =由平移可得，3,AD OE AD CF===∴线段AD 的长为3，与线段AD 相等的线段有()BE OE 、CF ；(2)∵点A 到y 轴的距离为1，∴11t -=解得，2t =∴A （1，4）∵AD =OE =3∴点A （4，4）(3)∵()5,0C ，()1,4A t -，∴5BC =，点A 到BC 的距离为4，145102ABC S =⨯⨯=；(4)∵点P 的纵坐标是0∴点P 在x 轴上，有无数个点P ．【点睛】本题主要考查了平移，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．【考法二利用平移解决实际问题】例题：（2022·福建·龙岩二中七年级阶段练习）某宾馆在重新装修后，考虑在大厅内的主楼梯铺设地毯，已知楼梯宽3m ，如图，请计算一下，铺此楼梯需购______2m 的地毯．【答案】10.8【解析】【分析】把楼梯的水平线段向上平移、竖直线段向左平移可得到一个长方形，长是2.4m ，宽是1.2m ，由此求解即可．【详解】解：由平移可得，楼梯展开之后就是长方形的长和宽的和，即地毯的长度应该是1.2+2.4=3.6(m )，楼梯宽3m ，∴铺此楼梯需要用到地毯的面积()23.6310.8m ⨯=．故答案为：10.8．【点睛】本题主要考查了生活中的平移及平移的性质，根据已知得出地毯的长度应等于截面长与宽的和是解题关键．【变式训练】1．（2021·山东烟台·模拟预测）如图是一块矩形ABCD 的场地，长AB ＝99米，宽AD ＝41米，从A ，B 两处入口的路宽都为1米，两小路汇合处路口宽为2米，其余部分种植草坪面积为（）A ．3783米2B ．3880米2C ．3920米2D ．4000米2【答案】B【解析】【分析】根据平移的性质可得，种植草坪的部分可以看作是长为（99﹣2）米，宽为（41﹣1）米的矩形，然后进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：（99﹣2）×（41﹣1）＝97×40＝3880（平方米），∴种植草坪面积为3880平方米，故选：B ．【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．2．（2022·山东泰安·八年级期末）如图所示，一块长为18m ，宽为12m 的草地上有一条宽为2m 的曲折的小路，则这块草地的绿地面积是______．【答案】160m 2【解析】【分析】通过平移，两块绿地可以拼成一个新矩形，求出长和宽即可．【详解】解：通过平移，两块绿地可以合成一个新矩形，新矩形的长为（18-2）m ，宽为（12-2）m ，故绿地的面积为：(18−2)(12−2)=160(m 2)，故答案为：160m 2．【点睛】本题主要考查图形的平移，通过平移将两块不规则的形状合成一个基本图形是解题问题的关键．3．（2021·湖北武汉·七年级期中）如图，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路，余下部分作绿化，当道路宽为2米时，绿化的面积为_____平方米．【答案】540【解析】【分析】利用平移将道路平移到边缘后可得道路的长和宽，再利用矩形的面积公式进行计算即可．【详解】解：将道路平移到边缘，平移后得耕地长为()322-米，宽为()202-米，面积为()()2023221830540-⨯-=⨯=（平方米）．故答案为：540．【点睛】本题主要考查利用平移解决实际问题，有理数的乘法实际应用，熟练掌握平移的性质是解题的关键．4．（2022·浙江金华·七年级阶段练习）如图，在一块长AB ＝15m ，宽BC ＝11m 的长方形草地上，修建三条宽均为1m 的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为_____m 2．【答案】130【解析】【分析】直接利用草地的绿地面积＝长方形面积-三条小路面积+2平米的小路面积，进而得出答案．【详解】解：由图形可得，这块草地的绿地面积为：()2151115121112130m ⨯-⨯-⨯⨯+=．故答案为：130．【点睛】此题主要考查了长方形面积，正确求出小路面积是解题关键．5．（2022·山东烟台·八年级期末）在边长为8cm 的正方形ABCD 底座中，放置两张大小相同的正方形纸板，边EF 在AB 上，点K ，I 分别在BC ，CD 上，若区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大4cm ，则正方形纸板的边长为______cm ．【答案】143【解析】【分析】过点O 作OG ⊥EF 于点G ，作OH ⊥BC 于点H ，可得区域Ⅰ的周长等于长方形ADIG 的周长，区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和等于正方形纸板的周长，然后设正方形纸板的边长为xcm ，则DI =（8-x ）cm ，可得区域Ⅰ的周长为()322x cm -，再根据区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大4cm ，即可求解．【详解】如图，过点O 作OG ⊥EF 于点G ，作OH ⊥BC 于点H ，则区域Ⅰ的周长等于长方形ADIG 的周长，区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和等于正方形纸板的周长，设正方形纸板的边长为xcm ，则DI =（8-x ）cm ，∴长方形ADIG 的周长为()()288322x x cm +-=-，即区域Ⅰ的周长为()322x cm-∵区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大4cm ，∴32244x x --=，解得：143x =．故答案为：143．【点睛】本题主要考查了平移的性质，利用平移的性质得到区域Ⅰ的周长等于长方形ADIG 的周长，区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和等于正方形纸板的周长是解题的关键．6．（2022·安徽·合肥市五十中学西校七年级期中）如图，有一长方形空地，其长为a、宽为b，现要在该空地种植两条防风带（图中阴影部分），防风带一边长为c，其中横向防风带为长方形，纵向防风带为平行四边形．(1)用代数式表示剩余空地的面积；(2)若a=2b、c=2，且防风带的面积为116，求原长方形空地的长和宽．【答案】(1)ab-ac-bc+c ；(2)长40，宽20【解析】【分析】（1）利用平移可知，剩余空地面积为边长分别为（a-c）和（b-c）的长方形面积，代入表示即可；（2）防风带面积=小长方形面积+平行四边形面积-重叠平行四边形面积，进而值即可.(1)解：由平移，可知剩余空地面积为（a-c）×（b-c）=ab-ac-bc+c2答：剩余空地面积为ab-ac-bc+c2.(2)解：防风带面积为：bc+ac-c2∵a=2b，c=2，且防风带的面积为116∴2b+2b×2-4=116解得b=20∴a=2×20=40答：原长方形空地的长为40，宽为20.【点睛】此题考查了平移变换的运用，以及整式的化简求值，解题的关键是根据平移的性质求对应面积.【考法三平移、中心对称作图】例题：（2022·重庆市第十一中学校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．(1)将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；(3)判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状，并说明理由．【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；OA B的形状为等腰直角三角形，理由见解析．(3)1【解析】【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，（3）根据勾股定理逆定理解答即可．(1)解：△A1B1C1如图1所示：(2)解：△A2B2C2如图2所示：(3)解：1OA B 的形状为等腰直角三角形，理由如下：如图3所示，2214117OB OA ==+=2215334A B =+=∴OB 2+OA 12=A 1B 2，∴1OA B 的形状为等腰直角三角形．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换以及勾股定理的逆定理，熟记旋转前与旋转后的图形中，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等是解题的关键．【变式训练】1．（2020·四川泸州·九年级期末）在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．(1)将△ABC 沿x 轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB 2C 2，并直接写出点B 2、C 2的坐标．【答案】(1)见解析(2)见解析，点22(4,2),(1,3)B C --【解析】【分析】（1）利用点平移的规律写出点A 、B 、C 的对应点A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可得到△A 1B 1C 1；（2B 、C 的对应点B 2、C 2，从而得到△AB 2C 2，再写出点B 2、C 2的坐标．(1)解：如图，△A 1B 1C 1即为所求；(2)解：如图，△AB 2C 2即为所求，点B 2（4，﹣2），C 2（1，﹣3）．【点睛】本题考查了图形的对称作图和旋转作图，解题的关键是理解题意根据要求找到对应点．2．（2022·广东·平洲一中八年级期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点分别为A（2，﹣2），B（0，﹣5），C（0，﹣2）．(1)画△A1B1C1，使它与△ABC关于点C成中心对称．(2)平移△ABC，使点B的对应点B2的坐标为（2，3），画出平移后对应的△A2B2C2．(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)（1，2）．【解析】【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可．（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．（3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．(1)如图，△A1B1C1即为所求，(2)如图，△A2B2C2即为所求，(3)旋转中心P 的坐标为（1，2），故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．3．（2022·江苏·靖江市实验学校八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，即ABC 的三个顶点分别是()3,2A -，()1,4B -，()0,2C ．(1)将ABC 以点O 为旋转中心旋转180︒，画出旋转后对应的111A B C △；(2)平移ABC ，若点A 的对应点2A 的坐标为()5,2--，画出平移后对应的222A B C △，求线段BC 在平移过程中扫过的面积；(3)若将111A B C △绕某一点旋转可以得到222A B C △，请直接写出旋转中心的坐标为______．【答案】(1)见解析(2)见解析，8(3)()1,2--．【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据平移前后A 点坐标的变化得到平移方式，从而作图即可；（3）根据旋转中心必在对应点连线的垂直平分线上，连接12B B ，12C C ，两者的交点即为所求．(1)如图所示，111A B C △即为所求；(2)如图所示，222A B C △即为所求，线段BC 在平移过程中扫过的面积为1163212224822⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=；(3)如图所示，点P 即为旋转中心，其坐标为()1,2--，故答案为：()1,2--．【点睛】本题最要考查了画旋转图形，画平移图形，图形扫过的面积，坐标与图形，找旋转中心等等，熟知相关知识是解题的关键．【考法四图形的旋转综合】例题：（2022·湖北·房县教学研究中心一模）把两个等腰直角ABC 和ADE 按如图1所示的位置摆放，将ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD ，EC ，设旋转角()0360a α︒<<︒．(1)当DE AC ⊥时，旋转角α=______度，AD 与BC 的位置关系是______，AE 与BC 的位置关系是______；(2)当点D 在线段BE 上时，请画出图形并求BEC ∠的度数；(3)当旋转角α是多少时，ABD △的面积最大？（直接写出答案，不用推理和证明）．【答案】(1)45；垂直；平行；(2)作图见解析，90BEC ∠=︒；(3)90°或270°【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，由等腰直角三角形的性质和DE AC ⊥即可求出旋转角α的度数，再利用角度之间的关系求出90AGB ∠=︒，即可得到AD 与BC 的位置关系，再根据平行线的判定即可求出AE 与BC 的位置关系；（2）利用全等三角形的判定得出ABD ACE △≌△，从而得出ADB AEC ∠=∠，再根据角之间的关系得出135AEC ∠=︒，从而得出BEC ∠的度数；（3）由题意可知，点D 在以点A 为圆心，AD 长为半径的圆周上运动，在ABD △中，当AB 以为底边，点D 到AB 的距离最大时，ABD △的面积最大，即AD AB ⊥时ABD △的面积最大，从而求出旋转角的度数．(1)解：如图所示，∵ADE 为等腰直角三角形，∴45ADE ∠=︒，90DAE ∠=︒，∵DE AC ⊥，∴90AFD ∠=︒，∴45DAF ∠=︒，∵ABC 为等腰直角三角形，∴90BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，∴45BAD ∠=︒∴旋转角45α=︒，∵45BAD ∠=︒，45ABC ∠=︒，∴90AGB ∠=︒，∴AD BC ⊥，∴AD 与BC 的位置关系是垂直，∵90DAE ∠=︒，45DAF ∠=︒，∴45EAF ∠=︒，∴45ACB ∠=︒，∴AE BC ∥；(2)解：如图所示∵90BAC ∠=︒，90DAE ∠=︒，∴BAD CAE ∠=∠，∵ABC 与ADE 为等腰直角三角形，∴AD AE =，45AED ∠=︒，在ABD △与ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACE SAS △≌△，∴ADB AEC ∠=∠，∵180********ADB ADE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴135AEC ∠=︒，∴1354590BEC AEC AED ∠=∠-∠=︒-︒=︒；(3)解：如图3、图4所示∵ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，∴点D 在以点A 为圆心，AD 长为半径的圆周上运动，∴当AB 以为底边，点D 到AB 的距离最大时，ABD △的面积最大，∴当AD AB ⊥时ABD △的面积最大，∴旋转角90α=︒或270α=︒时ABD △的面积最大．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角的判定与性质，熟练掌握旋转的性质以及全等的判定，根据题意画出相应图形是解答此题的关键【变式训练】1．（2022·广东·佛山市南海区狮山镇罗村第二初级中学八年级阶段练习）如图，在△ABC 中，∠CAB =70°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△A B C ''的位置，使得CC AB '∥．(1)请判断△ACC '的形状，并说明理由．(2)求∠BAB '的度数．【答案】(1)ACC '为等腰三角形，理由见详解(2)40︒【解析】【分析】（1）利用平行线的性质得C CA CAB ∠'=∠，再由旋转中心为点A ，B 与B ′，C 与C '分别是对应点，根据旋转的性质可知AC AC ='即可求解；（2）根据旋转的性质得到70B AC BAC ''∠=∠=︒，进而得到CAC BAB ''∠=∠，由（1）得AC AC ='，70C CA CAB ∠'=∠=︒，进而得到CAC '∠的度数即可求解．(1)解：ACC '为等腰三角形．理由如下：∵CC AB '∥，70CAB ∠=︒，∴70C CA CAB ∠'=∠=︒．又∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△A B C ''的位置，C 、C ′为对应点，点A 为旋转中心，∴AC AC ='，∴ACC '为等腰三角形；(2)解：∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△A B C ''的位置，70CAB ∠=︒，∴70B AC BAC ''∠=∠=︒，∴B AC B AC BAC B AC ''''∠-∠=∠-∠，∴CAC BAB ''∠=∠由（1）得AC AC ='，70C CA CAB ∠'=∠=︒，∴180218027040CAC CC A C CA '''∠=∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒，∴40BAB CAC ''∠=∠=︒．【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角，同时考查了平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定．2．（2022·江西赣州·九年级期末）已知△ABC 中，∠ACB ＝135°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△AED ，连接CD ，CE ．(1)求证：△ACD 为等腰直角三角形；(2)若BC ＝1，AC ＝2，求四边形ACED 的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)2．【解析】【分析】(1)由于△AED 是△ABC 旋转90°得到的，根据旋转的性质易得∠CAD ＝90°，AC ＝AD ，∠ADE ＝∠ACB ＝135°，易证△ACD 是等腰直角三角形；(2)根据(1)知△ACD 是等腰直角三角形，那么∠ADC ＝∠ACD ＝45°，AC ＝AD ＝2，根据勾股定理可求CD ，又由∠ADE ＝135°，易求∠CDE ＝90°，那么易知ADEC S =四边形ACD CDE S S +△△，再根据三角形面积公式易求四边形的面积．(1)证明：∵△AED 是△ABC 旋转90°得到的，ABC AED ∴≌△△，∠CAD ＝90°，∴AC ＝AD ，∴△ACD 是等腰直角三角形；(2)解：∵△ACD 是等腰直角三角形，∴∠ADC ＝∠ACD ＝45°，AC ＝AD ＝2，CD ∴=由(1)知，∠ADE ＝∠ACB ＝135°，∴∠CDE ＝∠ADE －∠ADC ＝90°，∵DE ＝BC ＝1，∴11221222ACD CDE ADEC S S S =+=⨯⨯+⨯=△△四边形【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是先证明△ACD 是等腰直角三角形，并证明△CDE 是直角三角形．3．（2022·河南·罗山县实验中学三模）（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ．求证：△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，使点D 落在BC 边上，试探索线段DE ，BD ，CD 之间满足的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，若BD ＝6，CD ＝2，则AD ＝．【答案】（1）证明见解析；（2）222DE BD CD =+，理由见解析；（3）4【解析】【分析】（1）由旋转可知=90AD AE DAE =∠︒，．根据90BAC ∠=︒即可证明BAD CAE ∠=∠，从而可由“SAS ”证明△ABD ≌△ACE ；（2）连接CE ，即易证()BAD CAE SAS ≅，得出BD CE =，45ACB ABD ACE ∠=∠=∠=︒，从而可求出90DCE ∠=︒，结合勾股定理即得出答案；（3）将AD 绕点A 顺时针旋转90︒，得到AE ，连接BE ，DE ．根据旋转可求出45AED ADE ADC ∠=∠=∠=︒，即证明E 、C 、D 三点共线．由（1）同理可证：()BAE CAD SAS ≅V V ，即得出45AEB ADC ∠=∠=︒，2BE CD ==，从而可求出90BED ∠=︒．再结合勾股定理可求出DE =ADE 为等腰直角三角形即可求出4AD ==．【详解】（1）证明：由旋转可知=90AD AE DAE =∠︒，，∵90BAC ∠=︒，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠．又∵AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACE (SAS )；（2）222DE BD CD =+，理由如下：如图，连接CE ，由题意可知ABC 为等腰直角三角形，∴45ABC ACB ∠=∠=︒．∵90BAC DAE ∠=∠=︒，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠．又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴()BAD CAE SAS ≅，∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠，∴45ACB ACE ∠=∠=︒，∴90DCE ∠=︒，∴222DE DC CE =+，∴222DE BD CD =+；（3）如图，将AD 绕点A 顺时针旋转90︒，得到AE ，连接BE ，DE ．由旋转可知ADE 为等腰直角三角形，∴45AED ADE ∠=∠=︒．又∵45ADC ∠=︒，∴E 、C 、D 三点共线．由（1）同理可证：()BAE CAD SAS ≅V V ，∴45AEB ADC ∠=∠=︒，2BE CD ==，∴90BED AEB AED ∠=∠+∠=︒．∴22226242DE BD BE =--=∴24AD ==．故答案为：4．【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．4．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，在等边△ABC 中，D 为BC 上一点，DE ∥AB ，且DE ＝BD ．(1)如图1，若点E 在AC 边上，求证：AE ＝CE ；(2)如图2，若点E 在△ABC 内，连接CE ，F 为CE 的中点，连接AF 、DF ，求证：AF ⊥DF ；(3)如图3，点N 为AB 边上一点，连接BE ，AN ＝BE ．若CN ＋CE 的值最小时，∠NCE 的度数为___________°（直接写出结果）．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)30【解析】【分析】（1）连接BE ，等边ABC 中，根据DE AB ∥，得到∠EDC =∠ABC =60°，根据DE BD =，得到30DBE DEB ∠=∠=︒，得到BE 平分ABC ∠，得到AE CE =；（2）连接AD ，延长DF 到点G ，使FG DF =，连接AG ，CG ，根据F 为CE 的中点，得到EF FC =，根据EFD CFG ∠=∠，推出()DEF GCF SAS ≅△△，得到DE CG =，EDF CGF =∠∠，得到DE CG ∥，根据DE AB ∥，得到AB CG ∥，证明60ACG ACB ABC =∠=∠=∠︒，根据DE BD =，得到CG BD =，根据AB AC =，推出()ABD ACG SAS ≅△△，得到AD AG =，AF DF ⊥；（3）将△CAN 绕点C 逆时针旋转60°，到△CBM ，点N 的对应点为点M ，连接ME ，MN ，EN ，得到∠A =∠CMB =60°，AN =BM ，∠EBM =∠EBC +∠CBM =30°+60°=90°，根据AN =BE ，得到BM =BE ，推出△BEM 是等腰直角三角形，根据∠MCN =∠ACB =60°，CM =CN ，推出△CMN 是等边三角形，得到CM =CN ，得到CE +CN =CE +CM ，∠MCE ==90°时，CE +CM 的值最小，CE +CN 的值就最小，推出∠ECN =∠MCE -∠MCN =30°．(1)证明：连接BE ，在等边ABC 中，∠ABC =60°，∵DE AB ∥，∴∠EDC =∠ABC =60°，且DE BD =，∴30DBE DEB ∠=∠=︒，∴BE 平分ABC ∠，∴AE CE =；(2)证明：连接AD ，延长DF 到点G ，使FG DF =，连接AG ，CG ，∵F 为CE 的中点，∴EF FC =，又EFD CFG ∠=∠，∴()DEF GCF SAS ≅△△，∴DE CG =，EDF CGF =∠∠，∴DE CG ∥，又DE AB ∥，∴AB CG ∥，∴∠ABC +∠BCG =180°，∵∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ACG =60°，∴∠ABC =∠ACB =∠ACG =60°，又DE BD =，∴CG BD =，又AB AC =，∴()ABD ACG SAS ≅△△，∴AD AG =，AF DF ⊥；(3)将△CAN 绕点C 逆时针旋转60°，到△CBM ，点N 的对应点为点M ，连接ME ，MN ，EN ，则∠A =∠CMB =60°,AN =BM ，∴∠EBM =∠EBC +∠CBM =30°+60°=90°，∵AN =BE ，∴BM =BE ，∴△BEM 是等腰直角三角形，∵∠MCN =∠ACB =60°，CM =CN ，∴△CMN 是等边三角形，∴CM =CN ，∴CE +CN =CE +CM ，当△CEM 是直角三角形，∠MCE ==90°时，CE +CM 的值最小，CE +CN 的值就最小，此时∠ECN =∠MCE -∠MCN =30°，故当CE+CN的值最小时，∠ECN=30°．故答案为30【点睛】本题主要考查了等腰三角形，等边三角形，全等三角形，旋转．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，旋转性质，是解决此类问题的关键．5．（2022·重庆一中九年级阶段练习）如图，在等边ABC中，点D为BC的中点，连接AD，点E为AD上一点，连接EB、CE，将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，使点F落在BA的延长线上．(1)如图1，求∠CEF的度数：(2)如图1，探宄线段AB，AE，AF之间的数量关系，并加以证明；(3)如图2，若AB＝4，点G为AC的中点，连DG，将CDG绕点C顺时针旋转得到CMN，直线BM、AN交于点P，连CP，在CDG旋转一周过程中，请直接写出BCP的面积的最大值．【答案】(1)120°(2)AB-AF3AE，理由见解析(383【解析】【分析】（1）根据△ABC是等边三角形，推出∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，延长BE到H，由∠FEH=∠FBE+∠F，∠CEH=∠CBE+∠BCE，得到∠CEF=∠FEH+∠CEH=∠FBE+∠F+∠CBE+∠BCE=60°+∠F+∠BCE，由∠F+∠BCE=∠ACE+∠BCE=60°，推出∠CEF=120°；（2）过点E作EQ⊥AB于点Q，由∠BAD=12∠BAC=30°，得到AQ=32AE，由BE=EF，推出BQ=FQ=12BF=12(AB+AF)，推出AQ=FQ-AF=12(AB+AF)-AF=12(AB-AF)，得到(AB+AF3AE；（3）连接BG ，设AC 与BM 交点为K ，根据△ABC 与△CMN 都是等边三角形，得到AC =BC ，CN =CM ，∠ACB =∠MCN =60°，推出∠ACN =∠BCM ，推出△ACN ≌△BCM (SAA )，得到∠CAN =∠CBM ，根据∠AKP =∠BKC ，得到∠APB =∠ACB =60°，推出点P 在△ABC 的外接圆上，得到∠BPC =∠BAC =60°，根据G 是AC 的中点，得到AG =CG ，推出∠GBC =12∠ABC =30°，根据CM =CG ，知道△CMN 绕点C 旋转一周的过程中，恒有∠MBC ≤∠GBC =30°，故当点M 与点G 重合时，∠MBC =∠GBC =30°，PC 最大，∠BCP =90°，PC =3BC ，△BCP 的面积最大，2211=422BCP S BC PC BC ⋅====V 最大．(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，如图，延长BE 到H ，则∠FEH =∠FBE +∠F ，∠CEH =∠CBE +∠BCE ，∴∠CEF =∠FEH +∠CEH =∠FBE +∠F +∠CBE +∠BCE =60°+∠F +∠BCE ，∵点D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC∴BE =CE ，∴∠EBC =∠ECB ，∴∠ABE =∠ACE ，由旋转知，BE =EF ，∴∠ABE =∠F ，∴∠F =∠ACE ，∴∠F +∠BCE =∠ACE +∠BCE =60°，∴∠CEF =120°；(2)AB -AFAE ，理由：过点E 作EQ ⊥AB 于点Q ，∵∠BAD =12∠BAC =30°，∴AQ AE ，∵BE =EF ，∴BQ =FQ =12BF =12(AB +AF )，∴AQ =FQ -AF =12(AB +AF )-AF =12(AB -AF )∴12(AB -AF )=2AE ，∴AB -AFAE ；(3)连接BG ，设AC 与BM 交点为K ，∵△ABC 与△CMN 都是等边三角形，∴AC =BC ，CN =CM ，∠ACB =∠MCN =60°，∴∠ACN =∠BCM ，∴△ACN ≌△BCM (SAA )，∴∠CAN =∠CBM ，∵∠AKP =∠BKC ，∴∠APB =∠ACB =60°，∴点P 在△ABC 的外接圆上，∴∠BPC =∠BAC =60°，∵G 是AC 的中点，∴AG =CG ，∴∠GBC =12∠ABC =30°，∵CM =CG ，∴△CMN 绕点C 旋转一周的过程中，恒有∠MBC ≤∠GBC =30°，当点M 与点G 重合时，∠MBC =∠GBC =30°，PC 最大，此时∠BCP =90°，PC ，△BCP 的面积最大，22118=4223663BCP S BC PC BC BC BC ⋅===⨯=V 最大．【点睛】本题主要考查了等边三角形，旋转，三角形外角，全等三角形，含30°角的直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的边角性质，旋转全等性质，三角形是外角性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形三边的性质．6．（2021·浙江温州·一模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝135°，E 为BC 边上一点，连结AE ，将点E 绕点A 逆时针旋转135°至点，连结AD ，DE ，CD ．(1)求证：CD ＝BE ．(2)若DE ⊥BC ，BE ＝，求BC 的长．【答案】(1)证明见解析(2)3+【解析】【分析】（1）由点E 绕点A 逆时针旋转135°至点D 得到135,EAD AE AD ∠=︒=，可证()ABE ACD SAS ∆≅∆，即可得到结论；（2）通过等腰三角形的性质可知22.5B ACB ∠=∠=︒，再由全等三角形的性质得到B ACD ∠=∠，即可得45DCE ∠=︒，再根据勾股定理求出CE 的长度，即可求解．(1)将点E 绕点A 逆时针旋转135°至点D135,EAD AE AD∴∠=︒=∠BAC ＝135°BAC EAC EAD EAC∴∠-∠=∠-∠即BAE CAD∠=∠又AB AC=()ABE ACD SAS ∴∆≅∆CD BE∴=(2)在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝135°22.5B ACB ∴∠=∠=︒由（1）得()ABE ACD SAS ∆≅∆B ACD∴∠=∠22.522.545DCE ∴∠=︒+︒=︒DE ⊥BC ，BE ＝CD =DE CE∴=由勾股定理得3CE =3BC BE CE ∴=+=【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．7．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，在ABC ∆和DCE ∆中，,,90AC BC DC EC ACB DCE ==∠=∠=︒，将DCE ∆绕点C 旋转（其中0180ACD ︒<∠<︒），连接BD 和AE ，BD 与AE AC 、分别交于点O 和点H．(1)求证：BCD ACE ∆≅∆；(2)试确定线段BD 和AE 的数量关系和位置关系；(3)连接AD 和BE ，在旋转过程中，ACD ∆的面积记为1S ，BCE ∆的面积记为2S ，试判断1S 和2S 的大小，并给予证明．【答案】(1)见解析(2)BD AE =，BD AE ⊥，理由见解析(3)12S S =，证明见解析【解析】【分析】（1）由∠ACB =∠DCE =90°得∠ACB +∠ACD =∠DCE +∠ACD ，所以∠BCD =∠ACE ，进一步命题得证；（2）根据（1）中结论：△BCD ≌△ACE 得BD =AE ，∠DBC =∠EAC ，进一步可得出结果；（3）作DM ⊥AC 于M ，EN ⊥BC 于N ，可证得△DCM ≌△ECN ，进而可得出结果．(1)证明：∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACB ACD DCE ACD ∠+∠=∠+∠，∴BCD ACE ∠=∠，在BCD ∆与ACE ∆中BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCD ACE SAS ∆≅∆；(2)解：∵BCD ACE ∆≅∆，∴BD AE =，DBC EAC ∠=∠，∵AHO BHC ∠=∠，∴90AHO EAC BHC DBC ∠+∠=∠+∠=︒∴90AOH =︒∠，∴BD AE ⊥．(3)解：如图，作DM AC ⊥于M ，EN BC ⊥于N ，90,ACB DCE Ð=Ð=°Q。
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用平移、旋转、对称巧解几何问题
谈静
在证明和求值的诸多几何问题中，往往不能直接找到解题的突破口，那么我们就要另壁蹊径，就是要借助图形转换的方法来解题了。
以下介绍三种方法：
一、平移：将图形沿着一个方向移动一段距离
例1 如图1，在六边形ABCDEF中，AB//ED，AF//CD，BC//FE，AB=ED，AF=CD，BC=EF，又知对角线FD⊥BD，FD=24cm，BD=18cm，则六边形ABCDEF的面积为多少？
此题显然不能直接运算，但只要将图形适当地分割并平移一下就可以了。
解：本题初看无法下手，但仔细观察，题中彼此平行且相等的线段有三组，于是产生将△DEF平移到△BAG，将△BCD平移到△GAF的位置。
则长方形BDFG的面积等于六边形的面积。
即S六ABCDEF=S正BDFG=18×24=432cm2
二、旋转：将某图形绕着一个固定点转动到另一个位置，以此重新组合图形
例2如图2，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a（a>0），求：
（1）∠APB的度数；
（2）正方形的边长。
解：将△APB绕点B顺时针转90°，得△CQB，显然△CQB≌△APB，连接PQ，
∠PBQ=90°，
PB=QB=2a ，
所以∠PQB=∠QPB=45°， PQ=︒=∠⇒9022PQC a 于是∠
APB=90°＋45°=135°．
（2）⎭
⎬⎫︒=∠︒=∠45135PBQ APB a AC AB a
a a AC Q P A 2252
22410])221[(2
2+==
⇒+⇒++=⇒⇒三点共线
、、
例3 如图3，P 是等边△ABC 内一点，PA=2，PB 32=，PC=4，求BC 的长。
此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来解题，就十分容易了。
解：将△BPA 绕点B 旋转60°，
则BA 与BC 重合，
BP=BM ，PA=MC ，
连接MP ，则△MBP 为正三角形，
即32=MP ，PC=4，
，
︒=∠⇒=+⇒=9022
22CMP PC MC MP MC 因为PC MC 2
1=， 所以∠MPC=30°，
又因为∠MPB=60°，
所以∠CPB=90°，
得BC 7222=+=PC PB ．
可见，经过旋转后的图形给我们的解题带来了很大的好处，是一种捷径．因此，我们应多多利用旋转的方法来解决更多的问题．
三、对称（也可理解为翻折）：某图形对于某条线对称的图形
例4 作图设计，村庄A 、B 位于不平行的两条小河的两侧，若要在两条小河上各架设一座与河岸垂直的桥，并要使A 到B 的路程最近，问桥应架在何处？
解：此题看来很复杂，但利用对称的原理来稍做改变，问题就可以迎刃而解了。
设河岸为L 1、L 2、L 3、L 4，L 1//L 2，L 3//L 4，作AA 1⊥L 1，BB 1⊥L 3，使AA 1的长为L 1与L 2之间的距离．连接A 1B 1交L 2于A 2，交L 3于B 2，则A 2、B 2就是加桥的地址，再从A 2、B 2出发作两座桥。
例5 如图5，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠C=90°，∠ECF=45°，求证：EF 2=EA 2＋BF 2。
解：将△AEC 和△BCF 向内翻折，所以
AE=EO ，BF=OF ，
因为∠ECF=45°，
所以AC 与BC 重合于OC ，
且∠EOF=90°。
则2
22FO EO EF +=，
即222BF EA EF +=。
可见，对称和翻折的方法可以有利地把条件集中在一起，这样就能很好地利用每一个条件来解题了。
运用以上三种方法可以巧妙地把几何元素集中到一起，构成新的图形，也同时可以做到化复杂为简洁，化不规则图形为规则图形，更加一目了然．这样可以省去多不必要的过程，少走几个弯路，而同样达到解题的目的。
几何问题往往是巧妙的，只要我们善于发现它的规律和特殊性，将图形稍做改变，往往会产生意想不到的效果。
因此在做题时我们也应该细心观察图形，抓住一些重要的条件（例如：线段和角度），从而考虑怎样让图形的转换更为简洁一些。