弹性力学及有限元大作业

1、已知平面应力问题（单连通域）的应变场为：)(22y x C x +=ε，

Dx

Cx y +=2ε，

Cxy

xy 2=γ（C 、D 为常数） 当无体力时，试判断它们是

否为可能的应变场。（10分）

解：将)(22y x C x +=ε，Dx Cx y +=2ε，Cxy xy 2=γ代入到应变表示的相容

方程 y

x x y xy

y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε2

2222

因为 C y

x

22

2=∂∂ε , C x y 222

=∂∂ε , C y x xy 22=∂∂∂γ 即： 02222-2

2222≠=-+=∂∂∂∂∂+∂∂C C C C y

x x y xy

y x γεε

因为不满足相容方程，所以它们不是可能的应变场。

2、试推导弹性力学平面问题的平衡微分方程（须画出受力分析图）。（10分）

解：取微元体PABC （P 点附近），x PA d =，dy PB =，Z 方向取单位长度。

设PA 面受到的应力为yx y τσ,；PB 面上受到的应力为xy x τσ,；微单元体的体力为X ,Y 。

因正应力分量是位置坐标的函数，所以：

x z y x f σ=),,(

dx

x

dx

x f

z y x f K dx x

f

dx x f z y x f z y dx x f x

x ∂∂+≈∂∂+≈+∂∂+∂∂+=+σσ),,()(!21),,(),,(22

2 同理可求得AC 面的切应力为：

dx x

dx x dx x xy xy xy xy

xy ∂∂+≈+∂∂+∂∂+τττττ 2

2

2

)(!21 同理可得BC 面上的正应力和切应力为：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

∂∂+∂∂+dy y dy y yx yx y y ττσσ 由微元体PABC 平衡，可得：

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧===∑∑∑000y y D F F M

由0=∑D M 可得：

2

121)(2121)(=⨯⨯-⨯⨯∂∂+-⨯⨯+⨯⨯∂∂+dy dx dy dx dy y dx dy dx dy dx x yx yx yx xy xy

xy ττττττ整理得：dy y dx x yx

yx xy xy ∂∂+=∂∂+ττττ2121

当0,0→→dy dx 时，有yx xy ττ= 由0=∑x F 可得：

111)(11)(=⨯⨯+⨯-⨯∂∂++⨯-⨯∂∂+dy Xdx dx dx dy y

dy dy dx x yx yx yx x x

x τττσσσ两边同除以dx 、dy ，并整理得：0=+∂∂+∂∂X y

x yx

x τσ 由0=∑y F 可得：

111)(11)(=⨯⨯+⨯-⨯∂∂+

+⨯-⨯∂∂+

dy Ydx dy dx dy x

dx dx dy y

xy xy xy y y y τττσσσ两边同除以dx 、dy ，并整理得：0=+∂∂+∂∂Y x y xy

y τσ 综上可求得平面问题的平衡微分方程：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x y xy yx

x σττσ

3、以三节点三角形单元为例，给出单元位移模式及单元应力分析的基本求解步骤。（10分） 解：以三节点三角形单元为例 单元节点力列阵：

假设单元e 有虚位移，则节点虚位移：

设单元内点的虚位移为{*f },并具有与真实位移相同的位移模式，则

有：

{}[][]

T

m

m j j i i

T

T

m

T j T

i e V U V U V U

F F F F =={}[]{}

e

N f **

=δ{}[]

T

m

m

j

j

i

i

e

v u v u v u

**

*

*

*

*

δδδδδδδ=*

单元内的虚应变及虚应力： 虚应变： 虚应力：

作用在单元体上的外力在虚位移上所做的虚功：

单元应力在虚应变上所做的功：

其中，t 为单元厚度。 虚功方程：

由上式可得单元刚度方程为：

从而可得单元刚度矩阵：

{}[]{}

e

B **

=δε{}[]{}[][]{}[]{}

e

e

S B D D δδεσ==={}

e

T

e F )}({*δ{}{}[][][]{}⎰⎰

⎰⎰**=tdxdy B D B tdxdy e

T T

e T

δδ

σε)

}({{}[][][]{}⎰⎰**=tdxdy

B D B F e

T

T e e

T e δδδ)}({)}({{}[][][]{}e

T e tdxdy B D B F δ⎰⎰=[][][][]⎰⎰=tdxdy

B D B K T e