弹性力学及有限元大作业

1、已知平面应力问题（单连通域）的应变场为：)(22y x C x +=ε，
Dx
Cx y +=2ε，
Cxy
xy 2=γ（C 、D 为常数） 当无体力时，试判断它们是
否为可能的应变场。

（10分）
解：将)(22y x C x +=ε，Dx Cx y +=2ε，Cxy xy 2=γ代入到应变表示的相容
方程 y
x x y xy
y x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε2
2222
因为 C y
x
22
2=∂∂ε , C x y 222
=∂∂ε , C y x xy 22=∂∂∂γ 即： 02222-2
2222≠=-+=∂∂∂∂∂+∂∂C C C C y
x x y xy
y x γεε
因为不满足相容方程，所以它们不是可能的应变场。

2、试推导弹性力学平面问题的平衡微分方程（须画出受力分析图）。

（10分）
解：取微元体PABC （P 点附近），x PA d =，dy PB =，Z 方向取单位长度。

设PA 面受到的应力为yx y τσ,；PB 面上受到的应力为xy x τσ,；微单元体的体力为X ,Y 。

因正应力分量是位置坐标的函数，所以：
x z y x f σ=),,(
dx
x
dx
x f
z y x f K dx x
f
dx x f z y x f z y dx x f x
x ∂∂+≈∂∂+≈+∂∂+∂∂+=+σσ),,()(!21),,(),,(22
2 同理可求得AC 面的切应力为：
dx x
dx x dx x xy xy xy xy
xy ∂∂+≈+∂∂+∂∂+τττττ 2
2
2
)(!21 同理可得BC 面上的正应力和切应力为：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
∂∂+∂∂+dy y dy y yx yx y y ττσσ 由微元体PABC 平衡，可得：
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧===∑∑∑000y y D F F M
由0=∑D M 可得：
2
121)(2121)(=⨯⨯-⨯⨯∂∂+-⨯⨯+⨯⨯∂∂+dy dx dy dx dy y dx dy dx dy dx x yx yx yx xy xy
xy ττττττ整理得：dy y dx x yx
yx xy xy ∂∂+=∂∂+ττττ2121
当0,0→→dy dx 时，有yx xy ττ= 由0=∑x F 可得：
111)(11)(=⨯⨯+⨯-⨯∂∂++⨯-⨯∂∂+dy Xdx dx dx dy y
dy dy dx x yx yx yx x x
x τττσσσ两边同除以dx 、dy ，并整理得：0=+∂∂+∂∂X y
x yx
x τσ 由0=∑y F 可得：
111)(11)(=⨯⨯+⨯-⨯∂∂+
+⨯-⨯∂∂+
dy Ydx dy dx dy x
dx dx dy y
xy xy xy y y y τττσσσ两边同除以dx 、dy ，并整理得：0=+∂∂+∂∂Y x y xy
y τσ 综上可求得平面问题的平衡微分方程：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x y xy yx
x σττσ
3、以三节点三角形单元为例，给出单元位移模式及单元应力分析的基本求解步骤。

（10分） 解：以三节点三角形单元为例 单元节点力列阵：
假设单元e 有虚位移，则节点虚位移：
设单元内点的虚位移为{*f },并具有与真实位移相同的位移模式，则
有：
{}[][]
T
m
m j j i i
T
T
m
T j T
i e V U V U V U
F F F F =={}[]{}
e
N f **
=δ{}[]
T
m
m
j
j
i
i
e
v u v u v u
**
*
*
*
*
δδδδδδδ=*
单元内的虚应变及虚应力： 虚应变： 虚应力：
作用在单元体上的外力在虚位移上所做的虚功：
单元应力在虚应变上所做的功：
其中，t 为单元厚度。

虚功方程：
由上式可得单元刚度方程为：
从而可得单元刚度矩阵：
{}[]{}
e
B **
=δε{}[]{}[][]{}[]{}
e
e
S B D D δδεσ==={}
e
T
e F )}({*δ{}{}[][][]{}⎰⎰
⎰⎰**=tdxdy B D B tdxdy e
T T
e T
δδ
σε)
}({{}[][][]{}⎰⎰**=tdxdy
B D B F e
T
T e e
T e δδδ)}({)}({{}[][][]{}e
T e tdxdy B D B F δ⎰⎰=[][][][]⎰⎰=tdxdy
B D B K T e。