导数压轴题双变量问题题型归纳总结
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
导数应用之双变量问题
(一)构造齐次式,换元
【例】已知函数()2
ln f x x ax b x =++,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =.
(1)求实数,a b 的值;
(2)设()()()()2
1212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x
的两个零点,求证:0F '
<.
【解析】(1)1,1a b ==-;
(2)()2
ln f x x x x =+-,()()1ln F x m x x =+-,()11F x m x
'=+-
, 因为12,x x 分别是函数()F x 的两个零点,所以()()11
221ln 1ln m x x m x x +=⎧⎪⎨
+=⎪⎩
, 两式相减,得1212ln ln 1x x m x x -+=-,
1212ln ln 1x x F m x x -'
=+=-
0F '<
,只需证
12
12ln ln x x x x -<
-. 思路一:因为120x x <<
,只需证
1122ln ln ln 0
x x x x ->
⇔>.
令()0,1t =
,即证12ln 0t t t -+>. 令()()12ln 01h t t t t t =-+<<,则()()2
2212110t h t t t t
-'=--=-<, 所以函数()h t 在()0,1上单调递减,()()10h t h >=,即证1
2ln 0t t t
-+>.
由上述分析可知0F '
<.
【规律总结】这是极值点偏移问题,此类问题往往利用换元把12,x x 转化为t 的函数,常把12,x x 的关系变形
为齐次式,设12111222
,ln ,,x x x x
t t t x x t e x x -=
==-=等,构造函数来解决,可称之为构造比较函数法. 思路二:因为120x x <<
,只需证12ln ln 0x x -, 设(
))22ln ln 0Q x x x x x =-<<,则
()
2110
Q x x
x '=
==<, 所以函数()Q x 在()20,x 上单调递减,()()2
0Q x Q x >=,即证2ln ln x
x -. 由上述分析可知0F '
<.
【规律总结】极值点偏移问题中,由于两个变量的地位相同,将待证不等式进行变形,可以构造关于1x (或2x )的一元函数来处理.应用导数研究其单调性,并借助于单调性,达到待证不等式的证明.此乃主元法.
【变式训练】 已知函数()()2
1f x x axlnx ax 2a R 2
=
-++∈有两个不同的极值点x 1,x 2,且x 1<x 2. (1)求实数a 的取值范围;(2)求证:x 1x 2<a 2
.
【分析】(1)先求导数,再根据导函数有两个不同的零点,确定实数a 所需满足的条件,解得结果,(2)
先根据极值点解得a ,再代入化简不等式x 1x 2<a 2
,设2
1
x x t =,构造一元函数,利用导数研究函数单调性,最后构造单调性证明不等式.
【解析】(1)略
(2)f′(x )=x-a lnx ,g (x )=x-a lnx ,由x 1,x 2是g (x )=x-a lnx=0的两个根,
则22
11
lnx x lnx x a a =⎧⎨
=⎩,两式相减,得a (lnx 2-lnx 1)=x 2-x 1),
即a =2121x x lnx lnx --,即证x 1x 2<2
21221
(x x )x (ln )x -,即证22221121
x (x x )(ln )x x x -<=2
112x x 2x x -+,
由x 1<x 2,得21x x =t >1,只需证ln 2t-t-120t +<,设g (t )=ln 2
t-t-12t
+,
则g′(t )=221lnt 1t t -+
=112lnt t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
,
令h (t )=2lnt-t+
t
1,∴h′(t )=2211t t --=-(11t -)2
<0,
∴h(t )在(1,+∞)上单调递减,∴h(t )<h (1)=0,
∴g′(t )<0,即g (t )在(1,+∞)上是减函数,∴g(t )<g (1)=0,
即ln 2t <t-2+
t
1
在(1,+∞)上恒成立,∴x 1x 2<a 2. 【变式训练】 已知函数()1
2ln f x x a x x
=-+⋅. (1)讨论()f x 的单调性;
(2)设()2
ln g x x bx cx =--,若函数()f x 的两个极值点()1212,x x x x <恰为函数()g x 的两个零点,且
()12122x x y x x g +⎛⎫'=-⋅ ⎪⎝⎭的范围是2ln 2,3⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
,求实数a 的取值范围.
【解析】(1)()f x 的定义域为()0,∞+,()222
1221
1a x ax f x x x x
--+'=-+=-. (i )若1a ≤,则()0f x '≤,当且仅当1a =,1x =时,()0f x '=
(ii )若1a >,令()0f x '=得12x a x a ==
当(
()
20,x a a a ∈+
+∞时,()0f x '<;
当(x a a ∈时,()0f x '>,
所以,当1a ≤时,()f x 单调递减区间为()0,∞+,无单调递增区间;
当1a >时,()f x 单调递减区间为(()
0,,a a +∞;
单调递增区间为(
a a .