解三角形的实际应用

解三角形的实际应用

1．实际应用中的常用术语 设坡角为α，坡比度为则i ＝h ＝tan_α 2.(1)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为]2

,0[

.(×) (2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√)

(3)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)

(4)若点P 在Q 的北偏东44°，则Q 在P 的东偏北46°.(×)

(5)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为34，设α为坡角，那么cos α＝34.(×)

(6)仰角与俯角都是目标视线与水平线的夹角，因此二者没有区别．(×)

(7)如图，为了测量隧道口AB 的长度，可测量数据a ，b ，γ进行计算．(√)

(8)若点A 在点C 的北偏东30°方向上，则C 点在A 点南偏西60°方向上．( )

(9)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为3a km.(√

)

(10)如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB 等于3a (×

)

考点一 测量距离

[例1] (1)要测量对岸D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A ，B 之间的距离为________km. 解析：如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，

∴AC ＝CD ＝3(km)．

在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°.

∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.

在△ABC 中，由余弦定理，得

AB 2＝(3)2＋2)2

26( －2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝5(km)

，即A ，B 之间的距离为5km.

答案： 5

(2)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测量A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝

45°.则A ，B 两点的距离为________m.

解析：由正弦定理得AB sin ∠BCA ＝BC sin ∠CAB ，∴AB ＝BC ·sin ∠BCA sin ∠CAB ＝50×2212

＝502(m)． 答案：50 2

(3)已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km.

解析：如图，由已知得

∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3.

设BC ＝x ，则由余弦定理得AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos 120°，

即32＝22＋x 2－2×2x cos 120°即x 2＋2x －5＝0

，解得x ＝6－1.

答案：6－1

[方法引航

] 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题.首先是明确题意，根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解.

1．如图，为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从点D 可以观察到点A 、C ；找到一个点E ，从点E 可以观察到点

B 、

C .并测量得到一些数据：C

D ＝2，C

E ＝23，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB ＝48.19°，∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A 、B 两点之间的距离为______.(其中019.48cos 取近似值3

2

)

解析：依题意知，在△ACD 中，∠A ＝30°，由正弦定理得AC ＝CD sin 45°sin 30°＝2 2.在△BCE 中，

∠CBE ＝45°，由正弦定理得BC ＝CE sin 60°sin 45°＝3 2.

在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC cos ∠ACB ＝10，所以AB ＝10. 答案：10

2．在本例(2)中，若已知条件不变，求A 、C 两点间的距离．

解析：AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ∴AC ＝BC ·sin ∠ABC sin ∠BAC

＝50×sin 105°sin 30°＝50×6＋2412＝25(6＋2)． 答案：25(6＋2)

3．如图，一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h

后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°.求此时船与灯塔间的距离．

解：BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC

，且∠BAC ＝30°，AC ＝60，∠ABC ＝180°－30°－105°＝45°.∴BC ＝30 2.即船与灯塔间的距离为302km.

考点二 测量高度

[例2] (1)某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶D 到其正上方A 点的距离，他站在地面C 处，利用皮尺量得BC ＝9米，利用测角仪测得仰角∠ACB ＝45°，测得仰角∠

BCD 后通过计算得到sin ∠ACD ＝2626，则AD

的距离为________米．

解析：设AD ＝x ，则BD ＝9－x ，CD ＝92＋(9－x )2，在△ACD 中应用正弦定理得

CD sin ∠DAC

＝AD sin ∠ACD ，即92＋(9－x )222＝x 26

26

， 所以2[92＋(9－x )2]＝26x 2，即81＋81－18x ＋x 2＝13x 2，所以2x 2＋3x －27＝0，

即(2x ＋9)(x －3)＝0，所以x ＝3米．

答案：3

(2)如图，地面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB ，测得AB ＝20 m ，在A 处测得点P 的仰角为30°，在B 处测得点P

的仰角为45°，同时可测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度(结果保留1位小数)．

解：设旗杆的高度为h ，由题意，知∠OAP ＝30°，∠OBP ＝45°.

在Rt △AOP 中，OA ＝OP tan 30°＝3h .在Rt △BOP 中，OB ＝OP tan 45°＝h .

在△AOB 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos 60°，

即202＝(3h )2＋h 2－23h ×h ×12.解得h 2＝4004－3

≈

176.4. ∴h ≈13.3(m)．

∴旗杆的高度约为13.3 m.

[方法引航] 高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.