解三角形的实际应用

解三角形的实际应用1．实际应用中的常用术语 设坡角为α，坡比度为则i ＝h ＝tan_α 2.(1)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为]2,0[.(×) (2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(√)(3)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(×)(4)若点P 在Q 的北偏东44°，则Q 在P 的东偏北46°.(×)(5)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为34，设α为坡角，那么cos α＝34.(×)(6)仰角与俯角都是目标视线与水平线的夹角，因此二者没有区别．(×)(7)如图，为了测量隧道口AB 的长度，可测量数据a ，b ，γ进行计算．(√)(8)若点A 在点C 的北偏东30°方向上，则C 点在A 点南偏西60°方向上．( )(9)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为3a km.(√)(10)如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB 等于3a (×)考点一 测量距离[例1] (1)要测量对岸D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A ，B 之间的距离为________km. 解析：如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝3(km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°.∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋2)226( －2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝5(km)，即A ，B 之间的距离为5km.答案： 5(2)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测量A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°.则A ，B 两点的距离为________m.解析：由正弦定理得AB sin ∠BCA ＝BC sin ∠CAB ，∴AB ＝BC ·sin ∠BCA sin ∠CAB ＝50×2212＝502(m)． 答案：50 2(3)已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km.解析：如图，由已知得∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3.设BC ＝x ，则由余弦定理得AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos 120°，即32＝22＋x 2－2×2x cos 120°即x 2＋2x －5＝0，解得x ＝6－1.答案：6－1[方法引航] 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题.首先是明确题意，根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解.1．如图，为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从点C 可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从点D 可以观察到点A 、C ；找到一个点E ，从点E 可以观察到点B 、C .并测量得到一些数据：CD ＝2，CE ＝23，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB ＝48.19°，∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A 、B 两点之间的距离为______.(其中019.48cos 取近似值32)解析：依题意知，在△ACD 中，∠A ＝30°，由正弦定理得AC ＝CD sin 45°sin 30°＝2 2.在△BCE 中，∠CBE ＝45°，由正弦定理得BC ＝CE sin 60°sin 45°＝3 2.在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC cos ∠ACB ＝10，所以AB ＝10. 答案：102．在本例(2)中，若已知条件不变，求A 、C 两点间的距离．解析：AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ∴AC ＝BC ·sin ∠ABC sin ∠BAC＝50×sin 105°sin 30°＝50×6＋2412＝25(6＋2)． 答案：25(6＋2)3．如图，一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°.求此时船与灯塔间的距离．解：BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC，且∠BAC ＝30°，AC ＝60，∠ABC ＝180°－30°－105°＝45°.∴BC ＝30 2.即船与灯塔间的距离为302km.考点二 测量高度[例2] (1)某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶D 到其正上方A 点的距离，他站在地面C 处，利用皮尺量得BC ＝9米，利用测角仪测得仰角∠ACB ＝45°，测得仰角∠BCD 后通过计算得到sin ∠ACD ＝2626，则AD的距离为________米．解析：设AD ＝x ，则BD ＝9－x ，CD ＝92＋(9－x )2，在△ACD 中应用正弦定理得CD sin ∠DAC＝AD sin ∠ACD ，即92＋(9－x )222＝x 2626， 所以2[92＋(9－x )2]＝26x 2，即81＋81－18x ＋x 2＝13x 2，所以2x 2＋3x －27＝0，即(2x ＋9)(x －3)＝0，所以x ＝3米．答案：3(2)如图，地面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB ，测得AB ＝20 m ，在A 处测得点P 的仰角为30°，在B 处测得点P的仰角为45°，同时可测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度(结果保留1位小数)．解：设旗杆的高度为h ，由题意，知∠OAP ＝30°，∠OBP ＝45°.在Rt △AOP 中，OA ＝OP tan 30°＝3h .在Rt △BOP 中，OB ＝OP tan 45°＝h .在△AOB 中，由余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos 60°，即202＝(3h )2＋h 2－23h ×h ×12.解得h 2＝4004－3≈176.4. ∴h ≈13.3(m)．∴旗杆的高度约为13.3 m.[方法引航] 高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.1．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为()A．(30＋303)m B．(30＋153)m C．(15＋303)m D．(15＋153)m解析：选A.在△P AB中，∠P AB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos30°－cos 45°sin 30°＝6－2 4.由正弦定理得PB＝AB sin 30°sin 15°＝30(6＋2)，∴建筑物的高度为PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)m.故选A.2．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．102m B．20 m C．203m D．40 m解析：选D.设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40 m.考点三测量角度[例3](1)如图所示，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角的大小是________．解析：依题意，得AD ＝2010 m ，AC ＝305m.在△ACD 中，CD ＝50 m ，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝ 6 0006 0002＝22，由0°＜∠CAD ＜180°，知∠CAD ＝45°. 答案：45°(2)某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 nmile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．(参考数据sin 21.8°＝3314)解：如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋92t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB＝AB sin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314， 即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)．即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．[方法引航] 求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长.解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错.1．如图所示，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处．然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．(1)求A，C两岛之间的距离；(2)求∠BAC的正弦值．解：(1)在△ABC中，由已知，得AB＝10×5＝50(海里)，BC＝10×3＝30(海里)，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，由余弦定理，得AC2＝502＋302－2×50×30 cos 120°＝4 900，所以AC＝70(海里)．故A，C两岛之间的距离是70海里．(2)在△ABC中，由正弦定理，得BCsin∠BAC＝ACsin∠ABC，所以sin∠BAC＝BC·sin∠ABCAC＝30sin 120°70＝3314.故∠BAC的正弦值是3314.2．在本例(1)中，若已知条件不变从A点看C点的仰角的正弦值是多少？解析：作AE⊥CD于E点．从A看C点的仰角为∠CAE.在Rt△ACE中，CE＝50－20＝30，AC＝30 5∴sin∠CAE＝CECA＝30305＝55.即从A看C点的仰角的正弦值为55.[思想方法]函数方程思想在解三角形实际问题中的应用[典例]某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．[解] (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400＝300)31(9002+-t 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 故v 2＝900－600t ＋400t 2.∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30， 故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[回顾反思] (1)三角形中的最值问题，可利用正、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题．(2)求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义．[高考真题体验]1．(2014·高考四川卷)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C.由题图知AB ＝60sin 75°＝2406＋2，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝45°，在△ABC 中，由正弦定理得AB sin 30°＝BC sin 45°，可得BC ＝120(3－1)．2．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝____________m.解析：根据题图所示，AC ＝1002m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝1003m.在△AMN 中，MN AM ＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)．答案：1503．(2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解：依题意，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°.在△ABC 中，由∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACB ＝45°，因为AB ＝600 m ．由正弦定理可得600sin 45°＝BC sin 30°，即BC ＝3002m.在Rt△BCD 中，因为∠CBD ＝30°，BC ＝3002m ，所以tan 30°＝CD BC ＝CD 3002，所以CD ＝1006m. 答案：100 64．(2013·高考江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040m.(2)设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d m ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在]14625431250[，(单位：m/min)范围内． 课时规范训练A 组 基础演练1．在某次测量中，在A 处测得同一方向的B 点的仰角为60°，C 点的俯角为70°，则∠BAC 等于( )A．10°B．50°C．120°D．130°解析：选D.如图，∠BAC等于A观察B点的仰角与观察C点的俯角和，即60°＋70°＝130°.2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速率是每小时()A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里解析：选C.如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10海里/小时．3．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°夹角的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过3h，该船的实际航程为()A．215km B．6 km C．221km D．8 km解析：选B.v实＝22＋42－2×4×2×cos 60°＝2 3.∴实际航程＝23×3＝6(km)．故选B.4．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为()A．10 km B．103kmC．105km D．107km解析：选D.由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC.又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，∴AC2＝102＋202－2×10×20×cos 120°＝700.∴AC＝107.5．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且AB距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( )A ．28海里/小时B ．14海里/小时C ．142海里/小时D ．20海里/小时解析：选B.如图，设我舰在C 处追上敌舰，速度为v ，则在△ABC 中，AC ＝10×2＝20(海里)，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°＝784，∴BC ＝28海里，∴v ＝14海里/小时．6．在一座20 m 高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是________m.解析：h ＝20＋20tan 60°＝20(1＋3)m.答案：20(1＋3)7．为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析：在△BCD 中，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠DBC，解得BC ＝102米，∴在Rt △ABC 中，塔AB 的高是106米．答案：10 68．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是________m.解析：如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，所以∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin 45°＝20sin 60°，解得AO ＝2063m.答案：206 39．某观测站C在目标A的南偏西25°方向上，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A处走，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？解：如题图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，cos B＝312＋202－2122×31×20＝2331，所以sin B＝12331.在△ABC中，AC＝BC sin Bsin A＝24，由BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A，得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35，所以AD＝AB－BD＝15.故此人在D处距A有15千米．10.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC 中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28(海里)．所以渔船甲的速度为BC2＝282＝14(海里/时)．(2)由(1)知BC＝28海里，在△ABC中，∠BCA＝α，由正弦定理得ABsin α＝BCsin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.B 组 能力突破1．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( )A ．1002米B ．400米C ．2003米D ．500米解析：选D.由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ，在Rt △ABD 中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD ，得 3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解之得h ＝500(米)．2．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，则B 城市处于危险区内的持续时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时 解析：选B.设t 小时后，B 市处于危险区内，则由余弦定理得：(20t )2＋402－2×20t ×40cos 45°≤302.化简得：4t 2－82t ＋7≤0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.从而|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝1.3．如图所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B 处营救，sin θ的值为( )A.217 B.22 C.32 D.5714解析：选A.连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos 120°＝700，∴BC＝107，再由正弦定理，得BCsin∠BAC＝ABsin θ，∴sin θ＝217.4．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船即可到达商船．解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20分钟后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC22AD·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC＝60°，在△ABD中由已知得∠ABD＝30°.∠BAD＝60°－30°＝30°，∴BD＝AD＝20，2090×60＝403(分钟)．答案：40 35．如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速率为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB ＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5(3＋3)·sin 45°sin 105°＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝203(海里)．在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900.∴CD＝30(海里)．则需要的时间t＝3030＝1(小时)．高考规范答题三角形类考题[典例](本题满分12分)在△ABC中，点D是BC边上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.(1)求sin Bsin C；(2)若∠BAC＝60°，求B.标准答案·满分模板[解](1)由正弦定理，得ADsin B＝BDsin∠BAD，ADsin C＝DCsin∠CAD，2分得分点①因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，………………1分得分点②所以sin Bsin C＝DCBD＝12.………………2分得分点③(2)因为C＝180°－(∠BAC＋B)，∠BAC＝60°，………………2分得分点④所以sin C＝sin(∠BAC＋B)＝32cos B＋12sin B．………………2分得分点⑤由(1)知2sin B＝sin C，………………1分得分点⑥所以tan B＝33，B＝30°.………………2分得分点⑦.[规范答题](1)踩点说明①只要写对两个正弦定理表达式，就得2分．③只要得出结果sin B sin C ＝12，就得2分．⑤只要写对sin C ＝32cos B ＋12sin B 得2分．⑦只要得出结果B ＝30°，不管过程，得2分．(2)答题要求①解题过程分步表达：分步列式表达是争取满分的好习惯．如第(1)问，正确列出两个正弦定理表达式，得2分．如第(2)问用三角形内角和代换得1分，得出B ，C 关系，得1分．②充分挖掘隐含条件：解题过程中用上隐含条件，是得满分的根本保证如第(1)问中由sin ∠BAD ＝sin ∠CAD ，就能顺利得出sin B sin C ＝DC BD ＝12.③充分利用第(1)问结果：若第(1)问与第(2)问有关系，可直接利用第(1)问结果来简化计算，如第(1)问sin B ∶sin C ＝1∶2④利用定理、公式．评分细则针对解题中用到的定理，公式给分，如第(1)问利用正弦定理；第(2)问要用到三角公式．专题测试二 三角函数与解三角形(时间90分钟，满分100分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点A (m ，3m )，则sin 2α＝( )A ．±34 B.34 C ．±32 D.32解析：选D.本题考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦．由题意得tan α＝3，则sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝233＋1＝32. 2.已知sin )2(απ+＝cos(π－α)，则α的取值范围是( ) A ．{α|α＝2k π＋π4，k ∈Z }B ．{α|α＝2k π－π4，k ∈Z }C ．{α|α＝k π＋π2，k ∈Z }D ．{α|α＝k π，k ∈Z }解析：选C.根据诱导公式可知，sin )2(απ+＝cos α， cos(π－α)＝－cos α，∵sin )2(απ+＝cos(π－α)， ∴cos α＝－cos α，∴cos α＝0，∴α＝k π＋π2，k ∈Z .3．函数y ＝sin 24x 是( )A ．最小正周期为π4的奇函数B ．最小正周期为π4的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数解析：选B.∵y ＝sin 24x ＝1－cos 8x 2＝12－12cos 8x ， ∴函数y ＝sin 24x 是最小正周期为π4的偶函数．4．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则ω和φ的取值是()A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6解析：选C.由题图可知T 4＝2π3－)3(π-＝π，∴T ＝4π，∴ω＝2πT ＝12，∴f (x )＝sin )21(ϕ+x ，将)1,32(π代入可求得φ＝π6. 5．已知tan(α＋β)＝25，tan )4(πβ-＝14，则tan )4(πα+＝( ) A.318 B.1318 C.322 D.1322解析：选C.本题主要考查两角差的正切公式．因为α＋π4＝(α＋β)－)4(πβ-，所以tan )4(πα+＝tan )]4()[(πββα--+＝)4tan()tan(1)4tan()tan(πββαπββα-++--+＝322. 6．已知函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)的周期是π，将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π8个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝3sin )82(π-xB ．g (x )＝3sin )42(π-x C ．g (x )＝－3sin )82(π+x D ．g (x )＝－3sin )42(π+x 解析：选B.由题意知2πω＝π，∴ω＝2，则f (x )＝3sin 2x ，将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π8个单位，得到函数y ＝3sin )42(π-x 的图象，则g (x )＝3sin )42(π-x . 7．函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小正周期和最小值分别为( )A ．π，2－ 2B ．π，0C ．2π，0D ．2π，2－ 2 解析：选A.y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin )42(π+x ＋2.∵ω＝2，∴T ＝2π2＝π，则函数的最小正周期为π.令2x ＋π4＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－3π8(k ∈Z )时，y min ＝2－2，则函数的最小值为2－ 2.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c＝( )A ．4 B.15 C ．3 D.17解析：选D.由题意求出cos C ，利用余弦定理求出c 即可．∵cos(A ＋B )＝13，∴cos C ＝－13.在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，cos C ＝－13，根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×)31(-＝17，∴c ＝17. 9．已知函数f (x )＝sin )4(πϖ+x (ω＞0)在),2(ππ上单调递减，则ω的取值范围可以是( ) A. ]45,21[ B.]45,0[ C.]21,0( D. (0,2] 解析：选A.本题考查三角函数单调性的应用．法一：通过取特殊值ω＝2，ω＝13，验证三角函数自变量的范围，排除选项，得到结果．令ω＝2⇒ωx ＋π4∈)49,45(ππ，不符合题意，排除D ；令ω＝13⇒ωx ＋π4∈)127,125(ππ，不符合题意，排除B ，C.故选A.法二：y ＝sin x 的单调递减区间为]232,22[ππππ++k k ，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ ωπ2＋π4≥2k π＋π2ωπ＋π4≤2k π＋3π2k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z ，又由4k ＋12－)452(+k ＝2k －34＜0，k ∈Z 得k ＝0，所以ω∈]45,21[，故选A. 10．将函数y ＝3sin )32(π+x 的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间]127,12[ππ上单调递减 B ．在区间]127,12[ππ上单调递增 C ．在区间]3,6[ππ-上单调递减D ．在区间]3,6[ππ-上单调递增 解析：选B.本题考查三角函数的图象变换、三角函数的性质等知识．由题意可得平移后的函数为y ＝3sin ]3)2(2[ππ+-x ＝3sin )322(π-x ，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，故该函数在]127,12[ππππ++k k (k ∈Z )上单调递增，当k ＝0时，选项B 满足条件． 11．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，且2sin(A ＋B )－3＝0，则c ＝( )A ．4 B.6 C ．2 3 D ．3 2解析：选B.∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.又2sin(A ＋B )－3＝0，即sin(A ＋B )＝32，∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝32，又C 为锐角，∴cos C ＝1－sin 2C ＝12.根据余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝6，∴c ＝6(负值舍去)．12．已知函数y ＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则函数y ＝a sin x ＋cos x 的图象关于直线( )A ．x ＝π3对称B ．x ＝2π3对称C ．x ＝11π6对称D ．x ＝π对称 解析：选C.y ＝sin x ＋a cos x ＝1＋a 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a .因为函数y ＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，所以5π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－7π6，k ∈Z .由此可得a ＝tan φ＝tan )67(ππ-k ＝－33，k ∈Z ， 则函数y ＝a sin x ＋cos x ＝－33sin x ＋cos x ＝－233sin )3(π-x ，其对称轴方程是x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，当k ＝1时，对称轴方程为x ＝11π6.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上．)13．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．解析：本题主要考查两角和的正弦公式的应用和三角函数最值的求解．f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1.答案：114．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos )62(π+x ，④y ＝tan )42(π-x 中，最小正周期为π的所有函数为________．解析：本题主要考查三角函数的周期和函数图象的翻折变换等知识，数形结合是解题的关键．①y ＝cos|2x |的最小正周期为π；②y ＝|cos x |的最小正周期为π；③y ＝cos )62(π+x 的最小正周期为π；④y ＝tan )42(π-x 的最小正周期为π2.所以最小正周期为π的所有函数为①②③. 答案：①②③15．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M ，N 两点，则MN 的最大值为________．解析：本题考查三角函数的图象和性质．设直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 图象的交点为M (a ，y 1)，直线x ＝a 与函数g (x )＝cos x 图象的交点为N (a ，y 2)，则MN ＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a |＝2|sin )4(π-a |≤ 2. 答案： 216．如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________.解析：本题主要考查解三角形的实际应用．在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD，即BC sin 30°＝30sin 135°，所以BC ＝152(m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152×3＝156(m)．答案：156m三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝3cos 4x －2cos 2)42(π+x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间]4,6[ππ-上的取值范围． 解：(1)由题意知，f (x )＝3cos 4x －cos )24(π+x ＝3cos 4x ＋sin 4x ＝2sin )34(π+x ，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2.(2)∵－π6≤x ≤π4，∴－π3≤4x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin )34(π+x ≤1，∴函数f (x )的取值范围为[－3，2]． 18．(本小题满分10分)三角形的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋c 2－b 2＝3ac .(1)求角B 的大小；(2)若2b cos A ＝3(c cos A ＋a cos C )，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32.因为B 是三角形的内角，所以B ＝π6.(2)由正弦定理得asin A＝bsin B＝csin C，代入2b cos A＝3(c cos A＋a cos C)∴2sin B cos A＝3sin(A＋C)．∴cos A＝32，A∈(0，π)，A＝π6设CM＝m，则AC＝2m.在△ACM中，7＝4m2＋m2＋2m2，∴m2＝1，m＝1，m＝－1(舍去)，∴AC＝BC＝2∴S△ABC ＝12CA·CB·sin23π＝12×2×2×32＝ 3.。