四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角〞结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，那么体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++=【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，假设该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的外表积。

解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++=1663142222=++=R 所以2=R 球的外表积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

球心为直角三角形斜边中点。

【例题】：三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。

解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ∆中斜边为AC 在PAC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点O ，在ABC Rt ∆中OC OB OA == 在PAC Rt ∆中OC OB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心521==AC R所以该外接球的体积为3500343ππ==R V【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。

AC三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。

解：由建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D )031(，，-C设球心坐标为),,(z y x O 那么AO =距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++222222)2(-++=++z y x z y x222222)3()1(z y x z y x +-+-=++ 解得 1331===z y x所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四、四面体是正四面体处理球的“切〞“外接〞问题与球有关的组合体问题，一种是切，一种是外接。

作为这种特殊的位置关系在高考中也是考察的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。

解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。

一、棱锥的切、外接球问题例1.正四面体的外接球和切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。

解：如图1所示，设点O 是切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设切球半径为r ，外接球半径为R ．正四面体的外表积223434a a S =⨯=表． 正四面体的体积22221234331BE AB a AE a V BCDA -=⨯⨯=- Cy图1322212233123a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= BCD A V r S -=⋅表31，a aaS V r BCD A 12631223323=⨯==∴-表在BEO Rt ∆中，222EO BE BO +=，即22233r a R +⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，得a R 46=，得r R 3= 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即切球的半径为4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径43h ，从而可以通过截面图中OBE Rt ∆建立棱长与半径之间的关系。

例2．设棱锥ABCD M -的底面是正方形，且MD MA =，AB MA ⊥，如果AMD ∆的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解： ⊥∴⊥⊥AB MA AB AD AB ,, 平面MAD ， 由此，面⊥MAD 面AC .记E 是AD 的中点， 从而AD ME ⊥.⊥∴ME 平面AC ，EF ME ⊥设球O 是与平面MAD 、平面AC 、平面MBC 都相切的球.如图2，得截面图MEF ∆及切圆O不妨设∈O 平面MEF ，于是O 是MEF ∆的心. 设球O 的半径为r ，那么MFEM EF S r MEF++=∆2，设a EF AD ==,1=∆AMD S .222,2⎪⎭⎫⎝⎛+==∴a a MF a EM ,12222222222-=+≤⎪⎭⎫⎝⎛+++=a a a a r当且仅当aa 2=，即2=a 时，等号成立. ∴当2==ME AD 时，满足条件的球最大半径为12-.练习：一个正四面体切球的外表积为π3，求正四面体的棱长。

〔答案为：2〕 【点评】根据棱锥的对称性确定切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。

二、球与棱柱的组合体问题 1． 正方体的切球： 球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然图2球心为正方体的中心。

设正方体的棱长为a ，球半径为R 。

如图3，截面图为正方形EFGH 的切圆，得2a R =； 2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。

3． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。

例3.在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,那么这个球的外表积是______.解：由可得PA 、PB 、PC 实际上就是球接正方体于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C 的一条对角线CD ，那么CD 过球心O ，对角线a CD 3=223234a a S ⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=∴ππ球表面积练习：一棱长为a 2的框架型正方体，放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。

〔答案为()3326243a a V ==〕 4．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。

例4.三棱柱111C B A ABC -的六个顶点在球1O 上，又知球2O 与此正三棱柱的5个面都相切，求球1O 与球2O 的体积之比与外表积之比。

分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。

解：如图6，由题意得两球心1O 、2O 是重合的，过正三棱柱的一条侧棱1AA 和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a ，那么a R 632=，正三棱柱的高为a R h 3322==，由O D A Rt 11∆中，得 22222221125633333a a a R a R =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，a R 1251=∴1:5::222121==∴R R S S ，1:55:21=V V 图6练习：正四棱柱1111D C B A ABCD -的各顶点都在半径为R 的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。

〔答案为：224R 〕【点评】“切〞和“外接〞等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出适宜的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最正确途径。

勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为a 46。

平面向量重点知识回忆1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向一样的两个单位向量i 、j 作为基底。

任作一个向量a，由平面向量根本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得axi yj =+，),(y x 叫做向量a 的〔直角〕坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=。

2a x y =+假设),(11y x A ，),(22y x B ，那么()1212,y y x x --=，AB =3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.||a4.平行向量：①方向一样或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向一样的向量叫相等向量. 6．向量的根本运算（1） 向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法那么或三角形法那么进展。

坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)那么a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 )a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2) (2) 平面向量的数量积 ： a •b=ab cos θ设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)那么a •b=x 1x 2+y 1y 2〔3〕两个向量平行的充要条件 ∥ =λ假设 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，那么 ∥ x 1y 2-x 2y 1=0 〔4〕．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥ · =0 设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，那么 ⊥ x 1x 2+y 1y 2=0.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么。

②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。

即：a b = a + (b )； 差向量的意义： OA = a , OB =b , 那么BA =ab③平面向量的坐标运算：假设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ=。

④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa〔1〕|λa |=|λ||a |；〔2〕λ>0时λa 与a 方向一样；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0；〔3〕运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa+λb8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线〔也是平行〕的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa 。