【精品】初中数学 05平方根与立方根 讲义+练习题

讲义主题： 平方根与立方根
一：课前纠错与课前回顾
1、作业检查与知识回顾
2、错题分析讲解
（1）
（2）
（3）
···
二、课程内容讲解与课堂练习
题模一：平方根
例1.1.1±3是9的（ ）
A ．平方根
B ．相反数
C ．绝对值
D ．算术平方根 例1.1.2
的平方根是（ ） A ．2 B ．±2 C ． D ．±
例1.1.3若12-a 和5-a 是一个正数m 的两个平方根，则a ＝__________，m ＝__________．
【讲透例题】
题模一：平方根
例1.1.1【答案】A
【解析】∵（±3）2=9，
∴±3是9的平方根，
故选；A ．
例1.1.2【答案】D
【解析】∵
=2，∴的平方根是±．
例1.1.3
【答案】2；9
【解析】该题考查的是平方根的性质．
∵一个数的平方根互为相反数
∴2150a a -+-=，解得：2a =
∴()()22212219m a =-=⨯-=
【讲透考点】
平方根
平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．
平方根的表示方法：若2x a =，则x 就叫做a 的平方根．一个非负数a 的平方根可用符号表示 为“a ±”．
平方根的特征：
1．正数有两个平方根，且互为相反数；
2．0的平方根是它本身；
3．负数没有平方根．
【相似题练习】
随练81________．
随练1.2若225a =，9b =a b +=（ ）
A ．8
B ．8±
C ．8或2-
D ．2或8-
题模二：算术平方根
例1.2.14的算术平方根是（ ）
A ．2
B ．-2
C ．±2
D 2
例1.2.229的算术平方根是__________．
例1.2.3下列说法正确的是（ ）
A 42
B ．0和1的相反数都是它本身
C ．将5、4、3依次重复写两遍得到的6个数的平均数是4
D 2
是分数
例1.2.4一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（
）
A ．a+1
B ．a 2+1
C 2a 1+
D a 1+例1.2.5 若12-x 有意义，则x 的取值范围是__________．
【讲透例题】
题模二：算术平方根
例1.2.1【答案】A
【解析】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． ∵2的平方为4，
∴4的算术平方根为2．
故选A ．
例1.2.2 29【解析】2929
例1.2.3
【答案】C
【解析】
A 42
B 、1的相反数不是它本身，故本选项错误；
C 、5、4、3依次重复写两遍得到的6个数的平均数是（5×2+4×2+3×2）÷6=4，故本选项正确；
D 2是无理数，不是分数，故本选项错误． 故选C ．
例1.2.4【答案】B
【解析】
∵一个自然数的算术平方根为a ，
∴这个自然数是a 2．
∴和这个自然数相邻的下一个自然数是a 2+1．
故选B ．
例1.2.5 【答案】1
2x ≥
【解析】双重非负性可得210x -≥，解得
1
2x ≥
【讲透考点】
二．算术平方根
算术平方根的概念: 如果一个非负数x的平方等于a，即2x a
=，那么非负数x是a的算术平方根．
算术平方根的表示方法：a a a叫做被开方数．
算术平方根的性质：双重非负性，在x a
=0
x≥，0
a≥．
【相似题练习】
随练1.3一个数的算术平方根是2，则这个数是____．
随练()28-
）
A．8-B．8C．8±D．8
±
题模三：开平方
例()22-的平方根为( )
A．2-B．2C．2±D．2
±
例1.3.2如果a是121的平方根，那么
2
4
a
的算术平方根的相反数的倒数的是__________．
例1.3.37
例1.3.4 1.718721 1.31117.197609 4.147，那么0.0001718721
-，1719760900=__________．
【讲透例题】
题模三：开平方
例1.3.1【答案】D
【解析】该题考查的是平方根的概念和根式的性质．
一个正数有两个平方根．
()222
-=，2的平方根有两个，2
所以本题的答案是D．
例1.3.2 【答案】2
11-
【解析】2212111442a ⎛⎫==± ⎪⎝⎭,24a 的算术平方根为112，112的相反数的倒数的是211-
例1.3.3
【答案】2和3之间 479273<<
例1.3.4
【答案】0.0311-，41470
【解析】被开方数扩大(或缩小)2
n 倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0n ≥）．
【讲透考点】
开平方
开平方的概念：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．
开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．
开平方运算的性质：
1．当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0n ≥）．
2．平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：
（1）若0a ≥，则2(a a =；
（2）不管a 2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩注意二者之间的区别及联系． 【相似题练习】
随练1.5已知实数x 、y 231220x y x y ---+=，求85x y +的平方根．
随练1.6已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6，则这个数是
(___)(___)．
题模四：立方根
例2.1.127的立方根是__________．
例2.1.23
3
8的立方根是__________． 例2.1.364
27-
的立方根是__________． 例2.1.49的立方根是__________．
例2.1.5下列说法正确的是（ ）
A ．16的算术平方根是4-
B ．25的平方根是5
C ．1的立方根是1±
D ．27-的立方根是3-
【讲透例题】
题模四：立方根
例2.1.1
【答案】3
【解析】3
273=
例2.1.2 【答案】3
2 【解析】332733882⎛⎫== ⎪⎝⎭ 例2.1.
3 【答案】4
3-
【解析】3
644273⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 例2.1.4 39 39
例2.1.5【答案】D
【解析】该题考查的是平方根和立方根的概念．
A ：错误，16的算术平方根为4；
B ：错误，25的平方根为5±；
C ：错误，1的立方根为1；
D ：正确，所以本题的答案是D ．
【讲透考点】
立方根
立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根； 若3,x a =则x 就叫做a 的立方根，一个数a 3a ，其中“3”叫做根指数，不能省略．
立方根的特点：
1．任意一个数都有立方根；
2．正数立方根是正值；
3．负数的立方根是负值；
4．0的立方根是0．
【相似题练习】
随练2.1如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ）
A ．0
B ．正整数
C ．0和1
D ．1
随练2.2下列说法正确的是（ ）
A ．如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零
B ．一个数的立方根不是正数就是负数
C ．负数没有立方根
D ．一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零
随练2.3下列各式中，正确的是（ ）
A ．93=±
B ()222-=-
C 393-=-
D ．233-= 随练2.4()255--255±42=382-=-
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
题模五：开立方
例2.2.1求符合下列各条件中的x 的值．
（1）2104
x -=
（2）31108x +=
例2.2.2已知343的立方根是7，那么343000的立方根是__________．
例2.2.3324a -343b -a
b ． 例2.2.42n m -+是4322m +8的立方根，求1mn +的平方根
【讲透例题】
题模五：开立方
例2.2.1
【答案】（1）12
x =±（2）2-=x 【解析】该题考查的是解高次方程．
（1）2104x -=
214
x = 14x =±12
x = （2）31108x +=
38
x =-
2x =- 例2.2.2
【答案】70．
【解析】70．
例2.2.3
【答案】16
【解析】两个数互为相反数，则他们的立方根也互为相反数，∴2443230a b a b -+-=-=， ∴32a b =．
例2.2.4
【答案】16
【解析】该题考察的是代数式求值．
算术平方根：若一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，则这个正数x 为a 的算术平方根 立方根：若一个数x 的立方等于a ，即3x a =，则这个数x 为a 的立方根．
∵224=，∴2是424n m -+，即24n m -+=
∵328=，∴2是833228m +228m +=
∴5n =，3m =
∴116mn +=
【讲透考点】
开立方
开立方的概念：求一个数的立方根的运算．
开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．
开立方运算的性质：
1．当被开方数（大于0）扩大（或缩小）3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍． 233a a =，3
3a a =． 【相似题练习】
随练2.533(4)4k k -=－，则k 的取值范围为（ ）
A ．4k ≥
B ．4k ≤
C ．4k =
D ．k 为任意数
随练2.6 求符合下列各条件中的x 的值．
（1）3343x = （2）()3364x -=-
随练2.733560x y -+-=，求x y +的值．
三、课后练习（写出各题的主要解答过程。

）
作业1已知某数的平方根为3a +和215a -，求这个数．
作业254.037.35=，则0.005403的算术平方根是（ ）
A ． 0.735
B ． 0.0735
C ． 0.000735
D ． 0.0000735
作业3已知21a -的平方根是3±，4是31a b +-的算术平方根，求2a b +的值. 作业49的算术平方根是（ ）
A ．±3
B ．3
C ．-3
D 3 作业4．
作业6164-
的立方根是（ ） A ．1
4- B ．1
8- C ．1
4 D ．1
4
± 作业7（1）平方等于本身的数是__________
（2）算术平方根等于本身的数是__________
（3）立方等于本身的数是__________
（4）立方根等于本身的数是__________
（5）平方根与立方根相等的数是__________
作业64 ）
A ．8，2
B ．8±，4
C ．8±，2±
D ．8，4 作业9243a b x a -+=+3a +的算术平方根，323b a y b -+=-是3b -的立方根，求y x -的立方根．
作业10解方程
（1）3640x +=
（2）231080x -=。