2020-2021学年高一数学下学期第三次周考试题
2020-2021学年高一下学期数学(人教A版(2019)必修第二册)(含解析)
（1）求复数z；
（2）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足 ，求 的最大值和最小值．
20．某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间 、 、…、 、 ．
【详解】
∵向量 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
6．D
【分析】
设出正六棱柱底面边长为 ，可知正六棱柱的高为 ，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为 可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案.
【详解】
设正六棱柱底面边长为 ，由题意可知正六棱柱的高为 ，则可知正六棱柱的侧面积为 .
设正六棱锥的高为 ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为 上的高为 ，
9．BD
【分析】
根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对A，在前四年有下降的过程，故A错误；
对B，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B正确；
对C， ，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C错误；
对D， ，故D正确.
故选：BD
10．ABC
【分析】
对于A， ，可判断错误；对于B找出反例 不满足题意，判定错误；对于C若 ，则其不正确；对于D， ，则其虚部为0，故正确．故可得答案．
A．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长
B．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人
C．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万
D．2020年，普通高中的在校生超过2470万人
10．下列说法不正确的是（）
2020-2021学年高一数学下学期第三学段考试试题理(含解析)
高一数学下学期第三学段考试试题 理（含解析）一、选择题（每题只有一个选项正确，请你将所选选项涂在答题卡相应位置，每题3分共36分）1.()sin 585-°=（）A. 2-B.22C.3 D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算，即可得到结果． 【详解】由题意，可得()sin 585sin585sin(360225)sin 225-=-=-=-ooo o o +2sin(18045)sin 452=-==o o o +． 故选B ．【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，其中解答中熟练掌握诱导公式是解本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.已知α是第一象限角，那么2α是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角【答案】D 【解析】试题分析：∵α的取值范围22?2k k πππ+（，）（k∈Z）∴2α的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时2α的取值范围是5224n n ππππ++（，）即2α属于第三象限角．②当k=2n （其中n∈Z）时2α的取值范围是22?4n n πππ+（，）即2α属于第一象限角．故答案为：D ． 考点：象限角、轴线角．3.下列说法正确的是（）A. 锐角是第一象限的角，所以第一象限的角都是锐角;B. 如果向量a 0b ⋅=r r，则a b ⊥rr；C. 在ABC △中，记AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则向量a b +rr 与a b -r r 可以作为平面ABC 内的一组基底；D. 若a r，b r 都是单位向量，则a b =r r. 【答案】C 【解析】 【分析】可举390o 的角在第一象限，但不是锐角，可判断A ；考虑两向量是否为零向量，可判断B ；由,a b r r 不共线，推得a b +r r 与a b -r r不共线，可判断C ；考虑两向量的方向可判断D ，得到答案．【详解】对于A ，锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定为锐角， 比如390o 的角在第一象限，但不是锐角，故A 错误；对于B ，如果两个非零向量,a b r r 满足0a b ⋅=r r ，则a b ⊥r r，若存在零向量，结论不一定成立，故B 错误；对于C ，在ABC ∆中，记,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，可得a b +r r 与a b -r r不共线，则向量a b +r r 与a b -r r可以作为平面ABC 内的一组基底，故C 正确；对于D ，若,a b r r 都是单位向量，且方向相同时，a b =r r；若方向不相同，结论不成立，所以D 错误． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，主要是向量共线和垂直的条件，着重考查了判断能力和分析能力，属于基础题．4.角α的终边经过点(,4)P b -且3cos 5α=-，则b 的值为（）A. -3B. 3C. 3±D. 5【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，建立方程关系，即可求解．【详解】由题意，角α的终边经过点(,4)P b -且3cos5α=-，则3cos 5α==-，又由3cos 05α=-<，所以0b >，则2291625b b =+，解得3b =或3b =-（舍去）， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5.设(2,1)a =r ，(3,2)b =r ，(5,4)c =r ，若c a b λμ=+r r r则λ，μ的值是（）A. 3λ=-，2μ=B. 2λ=-，3μ=C. 2λ=，3μ=D. 3λ=，2μ=【答案】B 【解析】 【分析】由向量相等的充要条件可得：(5,4)(23,2)λμλμ=++，列出方程组，即可求解，得到答案．【详解】由题意，向量(2,1)a =r ，(3,2)b =r ，(5,4)c =r，又因为c a b λμ=+r r r，所以(5,4)(23,2)λμλμ=++，所以23524λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得23λμ=-⎧⎨=⎩，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数乘运算及向量相等的充要条件，其中解答中熟记向量的共线条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6.已知向量1)a =-r，b =r ，则a r 在b r 方向上的投影为（）A.15B.14C.13D. 1【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量的数量积和向量的投影的定义，即可求解，得到答案．【详解】由题意，向量1)a =-r，b =r，则a r 在b r方向上的投影为：3112a b b⋅-==r rr ． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7.已知实数59a =°，实数sin15cos15b =+°°，实数31cos31c =°°，则实数a 、c b 、的大小关系是（） A. a c b <<B. a b c <<C. a c b 厖D. a b c 厖【答案】B 【解析】 【分析】将,b c 转化成具体的正弦函数，利用正弦函数单调性，进行比较，即可得到答案．【详解】由题意，得sin15cos1545)60b =+=+=o o o o o ，31cos 6231c =o o o =，由正弦函数的单调性可得sin 59sin 60sin 62<<o o o ，所以a b c <<， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及正弦函数的单调性的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC △的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选：D ．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．9.为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数2sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（） A. 向左平移724π B. 向右平移724π C. 向左平移712πD. 向右平移712π【答案】B 【解析】 【分析】利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，即可求解，得出结论． 【详解】由题意，函数2sin(2)2sin[2()]36y x x ππ=-=-，2sin(2)2sin[2()]48y x x ππ=+=+，又由7()8624πππ--=，故把函数2sin[2()]8y x π=+的图象上所有的点，向右平移724π个单位长度， 可得72sin[2()]2sin(2)2443y x x πππ=-+=-的图象， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10.函数3cos 253y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心和一条对称轴可以是（）A. 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，23x π= B. 5,512π⎛⎫⎪⎝⎭，23x π= C. 2,03π⎛⎫⎪⎝⎭，512x π=D. 2,53π⎛⎫⎪⎝⎭，512x π=【答案】B 【解析】 【分析】直接利用余弦型函数的性质求出函数的对称轴和对称中心，即可得到答案． 【详解】由题意，函数3cos 253y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的性质， 令2,3x k k Z ππ-=∈，解得,26k x k Z ππ=+∈， 当1k =时，23x π=，即函数一条对称轴的方程为23x π=， 令2,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,212k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，512x π=，即函数的一个对称中心为5(,5)12π， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了余弦型函数的性质对称轴和对称中心的应用，着重考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11.在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222a b c bc =+-，则角A =（） A.6π B.4π C.3π D.512π 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理求三角形的一个内角A 的余弦值，可得A 的值，得到答案． 【详解】在ABC ∆ 中，因为222a b c bc =+-，即222b c a bc +-=，利用余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，又由(0,)A π∈,所以3A π=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件，合理利用余弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12.已知1sin cos 5αα-=，0απ剟，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）B.50【答案】C 【解析】 分析】首先利用同角三角函数关系式的变换，求出sin 2α的值，进一步求sin cos αα+的值，最后利用差角公式的应用求出结果．【详解】由题意，知1sin cos 5αα-=，0απ剟， 所以221sin cos 2sin cos 25αααα+-=，解得242sin cos 025αα=>， 所以02πα剟，所以7sin cos 5αα+===， 又由7cos 2(cos sin )(cos sin )25ααααα=+-=-，则247sin(2)2242525πααα-=-=+=故选：C ．【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数关系式的变换，以及二倍角公式的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力和转换能力，属于基础题．二、填空题（将你所做答案写在答题卡相应位置上，每小题3分，共12分）13.11sin(2)cos()cos cos 229cos()sin(3)sin()sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭________.【答案】tan α- 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式，进行化简，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，原式sin (cos )(sin )(sin )tan (cos )sin sin cos ααααααααα----==--，故答案为：tan α-【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的应用，关键在于熟练掌握诱导公式，考查学生记忆公式与应用公式的能力，属于基础题．14.已知(1,1)a =-r，(,1)b λ=r，a r与b r的夹角为钝角，则λ的取值范围是________. 【答案】(,1)(1,1)-∞--U 【解析】 【分析】根据,a b r r 的夹角为钝角，得出1010λλ-<⎧⎨+≠⎩，即可求得λ的范围．【详解】由题意，向量a r与b r 的夹角为钝角，所以0a b ⋅<r r ，且,a b r r不共线，则1010λλ-<⎧⎨+≠⎩，解得1λ<，且1λ≠-，所以实数λ的范围(,1)(1,1)-∞--U ． 故答案为：(,1)(1,1)-∞--U ．【点睛】本题主要考查了向量数量积的计算公式，向量数量积的坐标运算的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.计算：tan 20tan 40tan120tan 20tan 40++o o o o o=_______________. 【答案】3- 【解析】试题分析：tan 20tan 40tan120tan 20tan 40++o o oo o考点：两角和的正切公式点评：本题主要考查两角和的正切公式变形的运用，抓住和角是特殊角，是解题的关键.16.若两个向量a r 与b r 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯r r”为向量的“外积”，其长度为sin a b a b θ⨯=r r r r .若已知1a =r ，5b =r ，4a b ⋅=-r r，则a b ⨯=r r .【答案】3 【解析】44 155a b a b a b cos cos a b θθ⋅-⋅∴-⨯v v v v v vv v Q ＝＝＝＝33[0sin |15355sin a b a b θπθθ∈∴⨯=⨯⨯v v v v Q ，），＝＝＝故答案为3.【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义，利用向量的数量积转化是解决本题的关键，三、解答题（将必要解题过程和推演步骤写在答题卡相应位置上，6小题共52分） 17.已知tan 2α=，求 （1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+（2）22sin sin cos cos αααα++ 【答案】（1）611（2）75【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可求解（1）（2）的值，得到答案． 【详解】（1）由题意，知tan 2α=，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+4tan 2422653tan 53211αα-⨯-===++⨯；（2）由22sin sin cos cos αααα++2222sin sin cos cos sin cos αααααα++=+＝22tan tan 1tan 1ααα+++＝75． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，以及同角三角函数基本关系式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m u r 22⎛=- ⎝⎭，n r ＝(sin x ，cos x)， x∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）若m u r ⊥n r ，求tan x 的值； （2）若m u r与n r的夹角为3π，求x 的值． 【答案】（1）1；（2）512π 【解析】试题分析：（1）本题考察的是两向量的垂直问题，若两向量垂直，则数量积为0，m n ⊥r r，则0m n ⋅=r r，结合三角函数的关系式即可求出tan x 的值。
2020-2021学年浙江省绍兴市高一(下)期末数学试卷(含答案)
2020-2021学年浙江省绍兴市高一(下)期末数学试卷一、单项选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.i 是虚数单位，复数z =1-i 在复平面上对应的点位于(D )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】复数z =1-i 在复平面上对应的点的坐标为(1,-1)，位于第四象限．故选：D ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A =“第一枚出现奇数点”，事件B =“第二枚出现偶数点”，则A 与B 的关系是(C )A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等【解析】由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，①(奇数，奇数)，②(奇数，偶数)，③(偶数，奇数)，④(偶数，偶数)，事件A =“第一枚出现奇数点”={①，②}，事件B =“第二枚出现偶数点”={②，④}，两个事件不相等，排除D ，A ∩B ≠∅，所以不是互斥事件，排除A ，B ，C 选项，事件A =“第一枚出现奇数点”，P (A )=36=12，事件B =“第二枚出现偶数点”，P (B )=36=12，事件AB =“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，P (AB )=3×336=14，满足P (AB )=P (A )⋅P (B )，所以事件A 和事件B 是相互独立事件，故选：C ．【点评】本题考查事件关系，判断两个事件是否相互独立，利用定义法，满足P (AB )=P (A )⋅P (B )即独立，本题属于基础题．3.已知向量a=(1,-2)，b =(2,-4)，则(A )A.a 与b 同向B.a 与b 反向C.(a +b )⊥aD.(a +b)⊥b【解析】∵向量a =(1,-2)，b =(2,-4)，∴b =2a，∴a 与b同向，故选：A ．【点评】本题主要考查两个向量同向的条件，属于基础题．4.袋中装有大小质地完全相同的5个球，其中2个红球，3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色不同的概率是(D )A.35B.310C.625D.1225【解析】设摸出的2个球颜色不同为事件A ，∵基本事件总数n =5×5=25，事件A 包含的基本事件数为C 12C 12C 13=12，∴p (A )=1225，故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，(C )A.若m ⎳n ，n ⊂α，则m ⎳αB.若n ⊥α，m ⊂β，n ⊥m ，则α⎳βC.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m ，则m ⊥γD.若m ⊂α，n ⊂α，m ⎳β，n ⎳β，则α⎳β【解析】m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，对于A ，若m ⎳n ，n ⊂α，则m ⎳α或m ⊂α，故A 错误；对于B ，若n ⊥α，m ⊂β，n ⊥m ，则α与β相交或平行，故B 错误；对于C ，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m ，则由面面垂直的性质、线面垂直的判断定理得m ⊥γ，故C 正确；对于D ，若m ⊂α，n ⊂α，m ⎳β，n ⎳β，则α与β相交或平行，故D 错误．故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．6.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1，则异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值是(B )A.0B.14C.64D.22【解析】由题意可知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，所有棱长相等，设棱长为1，则cos <AC 1 ，A 1B >=AC 1 ⋅A 1B |AC 1 ||A 1B |=(AA 1 +A 1C 1 )⋅(A 1A +AB )2×2=-1+0+0+122=-14．∴异面直线AC 1与A 1B 所成角的余弦值14．故选：B ．【点评】本题异面直线所成角算法，考查数学运算能力及抽象能力．7.若满足∠ACB =30°，BC =2的ΔABC 有且只有一个，则边AB 的取值范围是(B )A.[1，2)B.{1}∪[2，+∞)C.(2,+∞)D.[2，+∞)【解析】∵满足∠ACB =30°，BC =2的ΔABC 有且只有一个，如图，AB ⊥AC ，或AB ≥2，∴AB =1或AB ≥2，∴边AB 的取值范围是{1}∪[2，+∞)．故选：B ．【点评】本题考查了数形结合解题的方法，属于基础题．8.已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，|a +b |=2|a -b |，则a 在a -b上的投影向量的模长为(A )A.3060B.11210210C.16D.116【解析】因为|a +b |=2|a -b|，所以|a +b |2=(2|a -b |)2，所以a 2+2a ⋅b +b 2=2(a 2-2a ⋅b +b 2)，所以a 2-6a ⋅b +b2=0，所以1-6a ⋅b+22=0，所以a ⋅b =56，所以a ⋅(a -b )=a 2-a ⋅b =12-56=16，所以|a -b |2=a 2-2a ⋅b +b 2=1-2×56+22=103，所以a 在a -b 上的投影向量为a ⋅(a -b )|a -b |=16103=3060，故选：A ．【点评】本题考查向量数量积的运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分)9.已知i 是虚数单位，复数z =(1-i )i ，则(BD )A.z 的实部为-1B.z 的共轭复数是1-iC.|z |=2D.z 2=2i【解析】因为z =(1-i )i =1+i ，所以z 的实部为1，故A 错误，z 的共轭复数为1-i ，故B 正确，|z |=12+12=2，故C 错误，z 2=(1+i )2=2i ，故D 正确，故选：BD ．【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到复数的共轭复数以及模的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．10.如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，(CD )A.若甲、乙射击成绩的平均数分别为x 1，x 2，则x 1<x2B.若甲、乙射击成绩的方差分别为s 21，s 22，则s 21<s 22C.乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数D.乙比甲的射击成绩稳定【解析】甲射击测试中6次命中环数为：6，7，8，9，9，10，乙射击测试中6次命中环数为：5，5，6，7，7，7，甲、乙射击成绩的平均数分别为x 1，x 2，甲、乙射击成绩的方差分别为s 21，s 22，则x 1 =16×(9+10+6+7+9+8)=8.17，x 2=16×(6+7+5+5+7+7)=6.17，所以x 1>x 2，故选项A 错误；由折线图可以看出，乙的射击成绩比甲的射击成绩波动较小，所以s 21>s 22，乙比甲的射击成绩稳定，故选项错误，选项D 正确；甲射击成绩的中位数为8+92=7.5，乙射击成绩的中位数为6+72=6.5，故选项C 正确．故选：CD ．【点评】本题考查了折线图的应用，平均数与方差计算公式的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．11.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是线段B 1C 上动点，F 是BD 1的中点，则(ABC )A.AP ⎳平面A 1DC 1B.AP ⊥BD 1C.直线BB 1与平面BPD 1所成角可以是∠D 1BB 1D.二面角C 1-BD 1-C 的平面角是∠C 1FC【解析】以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为1，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，B 1(1，1，1)，A 1(1，0，1)，C 1(0，1，1)，对于A ，设P (a ，1，a )，则AP =(a -1,1,a ),A 1D =(-1,0,-1)，DC 1 =(0,1,1)，设平面A 1DC 1的法向量为n=(x ,y ,z )，则n ⋅A 1D=0n ⋅DC 1 =0，即-x -z =0y +z =0 ，令x =1，则y =1，z =-1，故n=(1,1,-1)，则AP ⋅n=(a -1)×1+1×1-1×a =0，又AP ⊄平面A 1DC 1，所以AP ⎳平面A 1DC 1，故选项A 正确；对于B ，因为B (1，1，0)，D 1(0，0，1)，所以BD 1 =(-1-1,1),AP=(a -1,1,a )，所以AP ⋅BD 1=0，则AP ⊥BD 1，故选项B 正确；对于C ，当点P 为B 1C 的中点时，直线BB 1与平面BPD 1所成的角可以是∠D 1BB 1，故选项C 正确；对于D ，因为F 为BD 1的中点，所以C 1F ⊥BD 1，但CF 不垂直于BD 1，此时二面C 1-BD 1-C 的平面角不可以是∠C 1FC ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，空间角的求解，考查了空间向量在立体几何中的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题．12.在ΔABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，且BC =6，AD =2，则(BD )A.ΔABC 面积最大值是12B.cos B ≥53C.|AD +BE|不可能是5D.BE ⋅AC ∈112,352【解析】设ΔABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，对于A ，S ΔABC =12⋅a ⋅h a =12⋅6⋅h a =3h a ≤3⋅AD =6，当AD ⊥BC 时不等式等号成立，所以ΔABC 面积最大值为6，故A 错误；对于B ，在ΔABD 中，cos B =32+AB 2-42⋅3⋅AB =AB 2+56AB =AB 6+56AB≥2AB 6⋅56AB =53，当AB =5时，不等式等号成立，故B 正确；对于C ，因为AD +BE =-DA +BD +DA +AE =BD +12AC =DC +12(DC -DA )=32DC -12DA ，所以|AD +BE |=|DC -DA |2=(3DC -DA )22=9|DC |2+|DA |2-6DC ⋅DA 2=85-6DC ⋅DA2=5，解得DC ⋅DA =-52，因为|DC |⋅|DA |=6，所以DC ⋅DA ∈(-6,6)，故|AD +BE|可能是5，故C 错误；对于D ,BE =(AD +BE )-AD =32DC -12DA+DA =32DC +12DA ，AC =DC -DA ，所以BE ⋅AC =32DC +12DA ⋅(DC -DA )=32DC 2-12DA 2-DC ⋅DA =232-DC ⋅DA ，又DC ⋅DA ∈(-6,6)，所以232-DC ⋅DA ∈112,352．故选：BD ．【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查基本不等式在求最值中的应用，考查平面向量数量积和模的运算，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题．三、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)13.已知一组数据：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数是17．【解析】该组数据从小到大排列为：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，这组数据出现次数最多的是17，所以众数是17．故答案为：17．【点评】本题考查了求一组数据的众数问题，通常是先按从小到大排列，再找出现次数最多的数据，是基础题．14.已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=3，且(2a -b )⊥b ，则a 与b夹角的余弦值是32．【解析】∵向量a ，b 满足|a |=1，|b |=3，且(2a -b)⊥b ，∴(2a -b )⋅b =2a ⋅b -b 2=2×1×3×cos <a ,b>-3=0，∴cos <a ,b >=323=32．∴a 与b 夹角的余弦值为32．故答案为：32．【点评】本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．15.已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生0~999之间的随机整数，以每个随机整数(不足三位的整数，其百位或十位用0补齐)为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在R 软件的控制平台，输入“sample (0:999，20，replace =F )”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为310．【解析】在20个不重复的整数随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有：633，309，16，543，247，62，共6个，∴据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：P =620=310．故答案为：310．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.已知四面体ABCD 的所有棱长均为4，点O 满足OA =OB =OC =OD ，则以O 为球心，2为半径的球与四面体ABCD 表面所得交线总长度为1633π．【解析】∵正四面体A -BCD 的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为4，取CD 中点E ，连结BE ，AE ，过A 作AF ⊥底面BCD ，交BE 于F ，则BE =4sin60°=23，BF =23BE =433，∴AF =AB 2-BF 2=463，又(AF -OF )2=OF 2+BF 2，∴OF =63，由球的半径知球被平面截得小圆半径为r =(2)2-63 2=233．而ΔABC 的内切圆半径为233，故球被正四面体一个平面截曲线为圆弧，∴正四面体表面与球面的交线的总长度为：4×2π×233=1633π．故答案为：1633π．【点评】本题考查正四面体表面与球面的交线的总长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．四、解答题(本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知向量a=(m -1,1)，b =(1,3)．(Ⅰ)若m =0，求a ⋅b；(Ⅱ)若|a +b|=5，求实数m 的值．【解析】(Ⅰ)因为m =0，所以a=(-1,1)，所以a ⋅b=-1×1+1×3=2．(Ⅱ)因为a +b =(m ,4)，|a +b|=5，所以|a +b|=m 2+16，所以m 2+16=25，所以m =±3．【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的模的运算法则的应用，是基础题．18.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =3，AC 1=34．(Ⅰ)求长方体的表面积；(Ⅱ)若E 是棱AA 1的中点，求四棱锥E -BB 1C 1C 的体积．【解析】(Ⅰ)因为AB=AD=3，AC1=34，又AC1=AB2+AD2+AA12=9+9+AA12=34，所以AA1=4，所以，长方体的表面积为S=2×(3×3+3×4+3×4)=66．(Ⅱ)因为AA1⎳平面BB1C1C，E是棱AA1的中点，所以点E到平面BB1C1C的距离等于A到平面BB1C1C的距离，所以四棱锥E-BB1C1C的体积为V=13S矩形BB1C1C⋅AB=13×3×4×3=12．【点评】本题考查了长方体的表面积和棱锥的体积计算问题，是基础题．19.甲、乙两位射手对同一目标各射击两次，且每人每次击中目标与否均互不影响．已知甲每次击中目标的概率为23，乙每次击中目标的概率为34．(Ⅰ)求甲两次都没有击中目标的概率；(Ⅱ)在四次射击中，求甲、乙恰好各击中一次目标的概率．【解析】(Ⅰ)设甲两次都没有击中目标为事件A，则p(A)=1-2 31-23=19．(Ⅱ)设甲、乙恰好各击中一次目标为事件B，∵甲恰好击中一次目标的概率为C12×23×1-23=49，乙恰好击中一次目标的概率为C12×34×1-34=38，∴甲、乙恰好各击中一次目标的概率为p(B)=49×38=16．【点评】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件概率加法公式，属于基础题．20.用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩(满分为100分，成绩都是整数)中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)估计男生成绩样本数据的第80百分位数；(Ⅱ)在区间[40，50)和[90，100]内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；(Ⅲ)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图可知，在[40，80)内的成绩占比为70%，在[40，90)内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于[80，90)内．因为80+10×0.8-0.70.95-0.7=84，所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数约是84．(Ⅱ)在区间[40，50)和[90，100]内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间Ω包含的样本点个数为n (Ω)=5+4+3+2+1=15．记事件A =“调查对象来自不同分组”，则事件A 包含的样本点个数为n (A )=4×2=8，所以P (A )=n (A )n (Ω)=815．(Ⅲ)设男生成绩样本数据为x 1，x 2，⋯，x 40，其平均数为x =71，方差为s x 2=187.75；女生成绩样本数据为y 1，y 2，⋯，y 60，其平均数为y =73.5，方差为s y 2=119；总样本的平均数为z，方差为s 2．由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，得z =40100x +60100y =72.5．因为s 2=110040i =1(x i -z ) 2+60j =1(y j -z ) 2 =110040i =1(x i -x +x -z ) 2+60j =1(y j -y +y -z ) 2 ，又40i =12 (x i -x )(x -z )=2(x -z )40i =1(x i -x )=2(x -z )40i =1x i -40x=0，同理60j =12 (y j -y )(y -z)=0，所以s 2=110040i =1(x i -x ) 2+40i =1(x -z ) 2+60j =1(y j -y ) 2+60j =1(y -z ) 2 =1100{40[s x 2+(x -z )2]+60[s y 2+(y -z )2]}=1100{40[187.75+(71-72.5)2]+60[119+(73.5-72.5)2]}=148．所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148．【点评】本题主要考查频率分布直方图，概率的计算，百分位数、平均数、方差的计算，考查运算求解能力，属于中档题，21.在ΔABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c -a =2b cos A ，b =3．(Ⅰ)求B 的大小；(Ⅱ)若a =3，求ΔABC 的面积；(Ⅲ)求aca +c的最大值．【解析】(Ⅰ)因为2c-a=2b cos A，又asin A=bsin B=csin C，所以2sin C-sin A=2sin B cos A，所以2sin(A+B)-sin A=2sin B cos，所以2sin A cos B-sin A=0，因为A∈(0,π)，sin A≠0，所以cos B=1 2，可得B=π3．(Ⅱ)因为b2=a2+c2-ac，所以c2-3c-6=0，所以c=23，所以ΔABC的面积为S=12ac sin B=332．(Ⅲ)由a2+c2-ac=9，得(a+c)2=9+3ac，因为ac≤(a+c)24，所以(a+c)2≤9+34(a+c)2，所以3<a+c≤6(当且仅当a=c=3时取等号)．设t=a+c，则t∈(3，6]，所以aca+c=t2-93t，设f(t)=t2-93t=13t-9t，则f(t)在区间(3，6]上单调递增，所以f(t)的最大值为f(6)=3 2，所以，aca+c的最大值为3 2．【点评】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换，基本不等式以及二次函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．22.如图，四棱台ABCD-EFGH的底面是矩形，EH=DH=1，AD=2，AB=4，AD⊥DH．(Ⅰ)证明：BC⊥平面DCG；(Ⅱ)设平面DBG与平面ADHE的交线为l，求直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围．【解析】(Ⅰ)证明：∵底面ABCD是矩形，∴AD⊥DC又AD⊥DH，且DC∩DH=D，∴AD⊥平面DCG，又∵AD⎳BC，∴BC⊥平面DCG；(Ⅱ)在四棱台ABCD-EFGH中，延长AE，BF，CG，DH交于S．∵GH⎳AB，GH=12AB，∴直线BG，AH相交，设交点为P，连结DP，SP．∵P∈AH，AH⊂平面ADHE，又P∈BG，BG⊂平面DBG，且平面ADHE∩平面DBG=l，∴P∈l，又D∈l，∴平面ADHE∩平面DBG=DP．过点D作DM⊥SC，垂足为M，连结PM．∵BC⊥平面DCG，BC⊂平面BCG，∴平面BCG⊥平面DCG，又平面BCG∩平面DCG=SC，∴DM⊥平面BCG，则直线l与平面BCG所成的角为∠MPD．当M与S重合时，DM=SD=2；当M与S不重合时，在RtΔDMS中，0<DM<SD．∴0<DM≤2，又∵DP=SA=22，∴在RtΔMPD中，有sin∠MPD=DMPD=DM22∈0，22．∴直线l与平面BCG所成角的正弦值的取值范围是0，22．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．第11页共11页。
广东省深圳市实验承翰学校2020-2021学年高一下学期期中模拟数学试题(三)(word版含答案)
绝密★启用前 试卷类型:A深圳实验承翰学校2020 ~ 2021学年度第二学期高一数学期中模拟（三）2021.05一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数2i12iz +=-. 则在复平面内，z 对应的点的坐标是 A ．()1,0 B ．()0,1 C ．54(,)33-- D ．45(,)33--2．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 3．向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b 与c 垂直,则实数λ=A ．2-B ．3-C ．3D ．24．设D 是ABC ∆所以平面内一点，3BC CD =，则AD =A ．4133AB AC +B ．4133AB AC - C ．1433AB AC -D ．1433AB AC -+5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是A. 22+B. 122C. 222+ D. 12+6．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在同一个半径为2的球的球面上. 则球的体积与圆柱的体积的比值为A. 43B. 916C. 34D. 1697.某工厂生产A,B,C 三种不同型号的产品,其数量之比依次是3∶4∶7,现在用分层随机抽样的方法抽出样本容量为n 的样本,样本中A 型号产品有15件,那么n 等于( )(A)50 (B)60 (C)70 (D)808.总体由编号为01,02,…,49,50的50个个体组成,利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从随机数表第6行的第9列开始从左到右依次选取两个数字,则选出的第3个个体的编号为( )附:第6行至第7行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 9888 8519 4120 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 (A)48 (B)41 (C)19 (D)20二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是A. 圆锥B. 圆柱C. 棱锥D. 正方体 10．已知复数z 的共轭复数为z ，且i 1i z =+，则下列结论正确的是A. 1z +=B. z 虚部为i -C. 202010102z =D. 2z z z +=11．在ABC ∆中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 的中点，下列说法正确的是A. AB AC AD +-=0B. DA EB FC ++=0C. 若3||||||AB AC ADAB AC AD +=，则BD 是BA 在BC 的投影向量 D. 若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为1812．对于ABC ∆，有如下命题，其中正确的有A ．若sin 2sin 2AB =，则ABC ∆是等腰三角形B ．若ABC ∆是锐角三角形，则不等式sin cos A B >恒成立 C ．若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC ∆为锐角三角形 D ．若2||AC AB AB ⋅>，则ABC ∆为钝角三角形 三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(1,1)=-a ，(3,1)=b ，则b 在a 方向上的投影向量的模为________. 14．△ABC 的内角为A ，B，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝，A ＝30°，则边长b ＝ ． 15．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝3DC ，E 为边BC的中点，若AE ＝AB λ+AD μ，则λ+μ＝_________.D CEAB16. 某校为了普及“一带一路”知识,举行了一次知识竞赛,满分10分,有10名同学代表班级参加比赛,已知学生得分均为整数,比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示,则这10名同学成绩的极差为 ,80%分位数是 .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题共10分）已知复平面内的点A ，B 对应的复数分别为1i z m m =-，()222212i z m m =-+-（m ∈R ），设AB 对应的复数为z . （1）当实数m 取何值时，复数z 是纯虚数；（2）若复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m 的取值范围.18．（本小题共12分）已知向量(1,2)=a ，(1,3)=-b ，(3,2)=-c ． （1）求向量a 与2+a b 所成角的余弦值； （2）若(2)+a b //()k +b c ，求实数k 的值．19.（本小题共12分）在某中学举行的电脑知识竞赛中,将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组,绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)求这两个班参赛的学生人数是多少? (3)求这两个班参赛学生的成绩的中位数.20．（本小题共12分）已知 是圆锥的顶点，是圆锥底面的直径， 是底面圆周上一点，，，平面和平面将圆锥截去部分后的几何体如图所示． (1)求与底面所成的角；(2)求该几何体的体积； (3)求二面角的余弦值．21．（本小题共12分）在ABC ∆中，若a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，已知ABC ∆同时满足下列4个条件中的3个：①1sin22B =；②2220a b c ab +-+=；③ 23b =；④ 3c =．（1）请指出这3个条件，并说明理由； （2）求sin A ．22．（本小题共12分）在ABC ∆中,内角AB C ，，的对边分别为a b c ，，, 已知cos cos 1sin sin sin A C A C B+=. （1）求角B 的取值范围；（2）若7sin B =，且32BA BC ⋅=，求||BA BC +的值．期中模拟（三）参考答案及评分标准 2021.05一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1~4 BBDD 5~8 ADCC二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9. ACD 10. AD 11. BCD 12. BD 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.14.2或4 15.7616．7 8.5 四、解答题（本题共6小题，共70分）17. 解：点A ，B 对应的复数分别为()2212i,212i z m m z m m =-=-+-，AB ∴对应的复数为z ，222121(2)z z z m m m m i ∴=-=--++-.（1）复数z 是纯虚数，2221020m m m m ⎧--=∴⎨+-≠⎩， ··············· 3分解得11221m m m m ⎧=-=⎪⎨⎪≠-≠⎩或且，12m ∴=-. ················· 5分 （2）复数z 在复平面上对应的点坐标为22(21,2)m m m m --+-，位于第四象限，2221020m m m m ⎧-->∴⎨+-<⎩， ················· 7分即11221m m m ⎧<->⎪⎨⎪-<<⎩或，122m ∴-<<-. ··································································· 10分 18. 解:（1）因为(1,2)=a ，(1,3)=-b ，所以2+a b (1,8)=-.2分设向量a 与2+a b 所成角为θ，(2)cos |||2|13θ+===+a a b a a b . ·············································· 6分 （2）∵ 2+a b (1,8)=-，()k +b c (31,32)k k =--， ········································ 8分又 (2)+a b //()k +b c ，∴(1)(32)8(31)0k k -⨯---=，解得522k =． ···············································12分19. 解:(1)各小组的频率之和为 1.00,第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05,所以第二小组的频率为1.00-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.40.所以落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高为0.04.则补全的频率分布直方图如图所示.(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x人.因为第二小组的频数为40人,频率为0.40,所以=0.40,解得x=100.所以九年级两个班参赛的学生人数为100人.(3)因为(0.03+0.04)×10>0.5,所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内.设中位数为x,则0.03×10+(x-59.5)×0.04=0.5,解得x=64.5.所以中位数为64.5.20.解：(1)设为的中点，连接，，则为与底面所成的角．由已知可得，所以为正三角形，．而，所以，故，所以与底面所成的角为．(2)由题设知．故的面积．底面半圆的面积．所以该几何体的体积．(3)取 的中点 ，连接 ，． 因为 ， 所以 ． 同理，， 则为二面角 的平面角． 因为 ，所以为正三角形，则，，， 所以 ，． 所以． 所以二面角的余弦值为 ．21.解：（1）ABC ∆同时满足条件①，③，④． ································································· 1分 理由如下：若ABC ∆同时满足①，②． 因为1sin22B =，且(0,)22B π∈，所以=26B π，即3B π= ········································· 2分 因为2221cos 22a b c C ab +-==-，且(0,)C π∈，所以23C π= ······························· 4分所以B C π+=，矛盾······································································································ 5分 所以ABC ∆只能同时满足③，④．因为b c >，所以B C >，故ABC ∆不满足②故ABC ∆满足①，③，④ ································································································ 7分 （2）在ABC ∆中，23b =3c =，3B π=又由正弦定理知：sin sin b c B C =，所以sin 3sin 4c B C b == ····································· 9分 又因为B C >，所以(0,)2C π∈，7cos C = ························································· 10分所以3713321sin sin()sin()324248A B C C π+=+=+=+⨯= ···················· 12分22. 解：（1）因为cos cos cos sin cos sin sin sin sin sin A C A C C AA C A C++= sin()sin 1sin sin sin sin sin A C B A C A C B+===. ··········································································· 2分所以2sin sin sin A C B =由正弦定理可得，2b ac =. ························································································ 4分 因为2222cos 22cos b a c ac B ac ac B =+-≥-， 所以1cos 2B ≥，即03B π<≤ . ··············································································· 6分（2）因为sin 4B =，且2b ac =，所以B 不是最大角，所以3cos 4B ===． 所以33cos 24BA BC ac B ac ===，得2ac =.因而22b =． ··························· 8分 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以225a c +=． ······························· 10分所以22222||22cos 8BC BA a c BC BA a c ac B +=++=+-= ，即||22BC BA +=······························································································· 12分。
杭州市高级中学2020-2021学年高一下学期期中数学试卷
2020-2021学年浙江省杭州高级中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 3．若，，与的夹角θ为45°，则等于（）A．12B．C．D．﹣124．若函数，则f（f（﹣1））＝（）A．0B．C．1D．﹣15．已知平面α与平面β平行，且直线a⊂α，则下列说法正确的是（）A．a与α内所有直线平行B．a与β内的无数条直线平行C．a与β内的任何一条直线都不平行D．a与β内的任何一条直线平行6．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥C1﹣A1BD的体积为（）A．B．C．D．7．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB＝BC＝2，AB，BC分别与y'轴、x'轴平行，则△ABC在原图中对应三角形的面积为（）A．B．1C．2D．48．若函数f（x）＝x2+e x﹣（x＜0）与g（x）＝x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）9．下列说法正确的是（）A．多面体至少有四个面B．平行六面体六个面都是平行四边形C．长方体、正方体都是正四棱柱D．棱台的侧面都是梯形10．下列结论正确的是（）A．B．若a＜b＜0，则C．若x（x﹣2）＜0，则log2x∈（0，1）D．若a＞0，b＞0，a+b≤1，则11．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有两个C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个D．的点P有两个12．如图，正方形ABCD的边长为2，O为边AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为f（x），则下列说法正确的是（）A．B．f（x）在上为减函数C．f（x）+f（π﹣x）＝4D．f（x）图象的对称轴是二、填空题13．i是虚数单位，复数||＝．14．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝．15．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为θ，那么＝．16．已知A（﹣5，0），B（5，0），若对任意实数t∈R，点P都满足，则的最小值为，此时||＝．三、解答题17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点．（1）求三棱锥C1﹣CDE的体积；（2）求证：A1B1∥平面DEC1．18．已知平面向量，，＝（1，2）．（1）若＝（0，1），求的值；（2）若＝（2，m），与共线，求实数m的值．19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H（t）＝A sin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|≤），求摩天轮转动一周的解析式H（t）；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．20．已知函数f（x）＝g（x）h（x），其中＝___．从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，（1）写出函数f（x）的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．21．某公司对两种产品A，B的分析如表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且m∈[6，8]．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交0.05x2万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？22．已知函数，g（x）＝|log2x|．（1）若关于x的方程g（x）＝n有两个不等根α，β（α＜β），求αβ的值；（2）是否存在实数a，使得对任意m∈[1，2]，关于x的方程4g2（x）﹣4ag（x）+3a﹣1﹣f（m）＝0在区间上总有3个不等根x1，x2，x3，若存在，求出实数a与x1⋅x2⋅x3的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝﹣3+2i，∴，∴在复平面内对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限．故选：C．2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．3．若，，与的夹角θ为45°，则等于（）A．12B．C．D．﹣12解：，，与的夹角θ为45°，则＝＝12．故选：B．4．若函数，则f（f（﹣1））＝（）A．0B．C．1D．﹣1解：根据题意，函数，则f（﹣1）＝e0＝1，则f（f（﹣1））＝f（1）＝1﹣2＝﹣1；故选：D．5．已知平面α与平面β平行，且直线a⊂α，则下列说法正确的是（）A．a与α内所有直线平行B．a与β内的无数条直线平行C．a与β内的任何一条直线都不平行D．a与β内的任何一条直线平行解：∵a⊂α，α∥β，∴a与α内直线的位置关系有两种：平行或相交，故A错误；a与β内直线的位置关系有两种：平行或异面，平行的有无数条，相交的也有无数条，故B正确CD错误．故选：B ．6．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，三棱锥C 1﹣A 1BD 的体积为（）A ．B ．C ．D ．解：∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴正方体的体积为1×1×1＝1，又＝，∴三棱锥C 1﹣A 1BD 的体积为1﹣，故选：A ．7．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB ＝BC ＝2，AB ，BC 分别与y '轴、x '轴平行，则△ABC 在原图中对应三角形的面积为（）A ．B ．1C ．2D ．4解：把直观图转化为原平面图形，如图所示：则原平面图形为直角三角形，计算该直角三角形的面积为S ＝×4×2＝4．故选：D ．8．若函数f （x ）＝x 2+e x ﹣（x ＜0）与g （x ）＝x 2+ln （x +a ）图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（）A ．（﹣）B ．（）C ．（）D ．（）解：因为f （x ），g （x ）图象上存在关于y 轴对称的点，设P （x ，y ）（x ＜0）在函数f （x ）上，则P 关于y 轴的对称点Q 为（﹣x ，y ），则存在x ∈（﹣∞，0），满足x 2+e x ﹣＝（﹣x ）2+ln （﹣x +a ），即方程e x ﹣＝ln （﹣x +a ）在（﹣∞，0）上有解，即函数F（x）＝与函数h（x）＝ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有交点，在直角坐标系中画出函数F（x）和h（x）的图象，如图所示，当h（x）过点时，a＝，由图象可知，当a＜时，函数F（x）与h（x）在x＜0时有交点，所以a的取值范围为（﹣∞，）．故选：A．9．下列说法正确的是（）A．多面体至少有四个面B．平行六面体六个面都是平行四边形C．长方体、正方体都是正四棱柱D．棱台的侧面都是梯形解：在A中，面最少的多面体是三棱锥，故最多面体至少有四个面，故A正确；在B中，平行六面体的六个面均为平行四边形，故B正确；在C中，长方体、正方体都是四棱柱，但长方体不是正四棱柱，故C错误；在D中，棱台的所有侧面都是梯形，故D正确．故选：ABD．10．下列结论正确的是（）A．B．若a＜b＜0，则C．若x（x﹣2）＜0，则log2x∈（0，1）D．若a＞0，b＞0，a+b≤1，则解：对于A，当x＜0时，x+≤﹣2，故错；对于B，当a＜b＜0时，，则，故正确；对于C，若x（x﹣2）＜0，则0＜x＜2，则log2x∈（﹣∞，1），故错；对于D，若a＞0，b＞0，a+b≤1，则有ab，即，故正确．故选：BD．11．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有两个C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个D．的点P有两个解：建立直角坐标系，如图所示：设正方形的边长为1，设动点P（x，y），则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（﹣1，1），所以＝（1，0），＝（﹣1，1），所以＝+μ，整理得，所以λ+μ＝x+2y，下面对点P的位置逐一进行讨论，①当点P在AB上时，，故λ+μ＝x+2y∈[0，1]，②当动点P在BC上时，，故λ+μ＝x+2y∈[1，3]，③当动点P在CD上时，，故λ+μ＝x+2y∈[2，3]，④当动点P在DA上时，，故λ+μ＝x+2y∈[0，2]，由此可得：λ+μ＝2，得到动点P为BC的中点或点D的位置，故A错误，当λ+μ＝1时，得到动点P为点B的位置或AD的中点，故B正确，当λ+μ＝时，点P为CD的中点或P（1，），故D正确，当λ+μ＝3时，点P为C（1，1）的位置，故C正确．故选：BCD．12．如图，正方形ABCD的边长为2，O为边AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为f（x），则下列说法正确的是（）A．B．f（x）在上为减函数C．f（x）+f（π﹣x）＝4D．f（x）图象的对称轴是解：当x＝时，，所以，故选项A正确；当时，图象面积增加，即f（x）单调递增，故选项B错误；取BC的中点G，连接OG，设射线OP与正方形的边的交点为E，作点E关于直线OG的对称点F，则∠FOD＝x，所以∠AOF＝π﹣x，将射线OF绕点O按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S，由对称性可知S＝f（x），因为S+f（π﹣x）＝4，所以f（x）+f（π﹣x）＝4，故选项C正确；因为f（x）+f（π﹣x）＝4，则，所以，则f（x）的图象不关于对称，故选项D错误．故选：AC．二、填空题13．i是虚数单位，复数||＝．解：复数||＝＝＝＝，故答案为：．14．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝1．解：在△ABC中，∵AB＝，BC＝3，∠C＝120°，∴由余弦定理可得：AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos C，即：（）2＝AC2+32﹣2×3×AC×cos120°．∴整理可得：AC2+3AC﹣4＝0，解得：AC＝1或﹣4（舍去）．故答案为：1．15．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为θ，那么＝﹣7．解：设大正方形的边长为a＝5，小正方形的边长为1，故设直角三角形的边长为x和x+1，故x2+（x+1）2＝25，解得x＝3，故tan．故＝﹣7．故答案为：﹣7．16．已知A（﹣5，0），B（5，0），若对任意实数t∈R，点P都满足，则的最小值为﹣16，此时||＝6．解：∵A（﹣5，0）和B（5，0）在中点为原点O（0，0），不妨以A，B的中点为原点，AB所在直线为x轴，过O且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，设，H为AB上一点，，故，所以，P到直线AB的距离为3，则P点在直线L：y＝3上，可得：A（﹣5，0），B（5，0），P（x，3），则＝（﹣5﹣x，﹣3）⋅（5﹣x，﹣3）＝x2﹣25+9＝x2﹣16，当且仅当x＝0时，取最小值﹣16，此时P（0，3），．故答案为：﹣16；6．三、解答题17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点．（1）求三棱锥C1﹣CDE的体积；（2）求证：A1B1∥平面DEC1．【解答】（1）解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点，则EC＝CD＝1，∠ACB＝60°，所以，故三棱锥C1﹣CDE的体积为＝＝；（2）证明：因为D、E分别为BC、AC的中点，则DE∥AB，又AB∥A1B1，所以DE∥A1B1，又A1B1⊄平面DEC1，DE⊂平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1．18．已知平面向量，，＝（1，2）．（1）若＝（0，1），求的值；（2）若＝（2，m），与共线，求实数m的值．解：（1），所以．（2），因为与共线，所以，解得m＝4．19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H （t ）＝A sin （ωt +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|≤），求摩天轮转动一周的解析式H （t ）；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．解：（1）H 关于t 的函数关系式为H （t ）＝A sin （ωt +φ）+B ，由，解得A ＝62，B ＝83，…1分又函数周期为30，所以ω＝＝，可得H （t ）＝62sin （t +φ）+83，…2分又H （0）＝62sin （×0+φ）+83＝21，所以sin φ＝﹣1，φ＝﹣，…3分所以摩天轮转动一周的解析式为：H （t ）＝62sin （t ﹣）+83，0≤t ≤30，…4分（2）H （t ）＝62sin （t ﹣）+83＝﹣62cos t +83，所以﹣62cos t +83＝52，cos t ＝，…6分所以t ＝5…8分（3）由题意知，经过t 分钟后游客甲距离地面高度解析式为H 甲＝﹣62cos t +83，乙与甲间隔的时间为＝5分钟，所以乙距离地面高度解析式为H 乙＝﹣62cos （t ﹣5）+83，5≤t ≤30，…10分所以两人离地面的高度差h ＝|H 甲﹣H 乙|＝|﹣62cos t +62cos （t ﹣5）|＝62|sin （t ﹣）|，5≤t ≤30，当t ﹣＝，或时，即t ＝10或25分钟时，h 取最大值为62米…12分20．已知函数f （x ）＝g （x ）h （x ），其中＝___．从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，（1）写出函数f （x ）的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．解：若选条件①，f（x）＝＝2sin x（cos x﹣sin x）＝2sin x cos x﹣2sin2x＝sin2x+cos2x﹣1＝．（1）函数的周期为T＝π；（2）∵x∈，∴2x+∈[，]，当2x+＝，即x＝﹣时，函数取得最小值﹣2，当2x+＝，即x＝时，函数取得最大值；若选条件②，f（x）＝＝＝．（1）函数的周期为T＝2π；（2）由x∈，得sin x∈[，]，当sin x＝，即x＝时，函数取得最大值，当sin x＝﹣，即x＝﹣时，函数取得最大值﹣1﹣．21．某公司对两种产品A，B的分析如表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且m∈[6，8]．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交0.05x2万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？【解答】（1）y1＝（10﹣m）x﹣20，其中{x|0≤x≤200，x∈N}，，其中{x|0≤x≤120，x∈N}．（2）∵6≤m≤8，∴10﹣m＞0，∴y1在定义域上是增函数，∴当x＝200时，（y1）max＝（10﹣m）200﹣20＝1980﹣200m，又，∴当x＝100时，（y2）max＝460，（y1）max﹣（y2）max＝1980﹣200m﹣460＝1520﹣200m，当1520﹣200m＞0时，即6≤m＜7.6时，投资A产品可获得最大年利润．当1520﹣200m＝0时，即m＝7.6时，投资A或B产品可获得最大年利润．当1520﹣200m＜0时，即7.6＜m≤8时，投资B产品可获得最大年利润．22．已知函数，g（x）＝|log2x|．（1）若关于x的方程g（x）＝n有两个不等根α，β（α＜β），求αβ的值；（2）是否存在实数a，使得对任意m∈[1，2]，关于x的方程4g2（x）﹣4ag（x）+3a﹣1﹣f（m）＝0在区间上总有3个不等根x1，x2，x3，若存在，求出实数a与x1⋅x2⋅x3的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）g(x)＝|log2x|＝,因为关于x的方程g(x)＝n有两个不等的实数根α,β,(α＜β)所以﹣log2α＝n,log2β＝n,所以α＝2﹣n,β＝2n,所以αβ＝2﹣n•2n＝20＝1．（2）f(m)＝＝m+﹣3在m∈[1,2]上单调递减，则f(2)≤f(m)≤f(1),所以1≤f(m)≤2,令p＝f(m),则p∈[1,2],因为g(x)＝|log2x|在[,1]上单调递减，在[1,4]上电脑端递增，又g()＝3,g(1)＝0,g(4)＝2,令t＝g(x),则当t∈(0,2]时，方程t＝g(x)有两个不等实数根，由(1)知，两个根之积为1，当t∈(2,3]∪{0}时，方程t＝g(x)有且仅有一个根且此根在区间[,)内或为1，令h(t)＝4t2﹣4at+3a﹣1,所以原题目等价于，对任意p∈[1,2]，关于t的方程h(t)＝p在区间[0,3]上总有2个不等根t1,t2(t1＜t2),且t1＝g(x)有两个不等根，t2＝g(x)只有一个根，则必有0＜t1≤2＜t2≤3,则有,解得＜a≤,此时t2＝g(x)∈(2,3),则其根x∈[,),所以x1x2x3∈[,),所以存在实数a,使得对任意m∈[1,2],关于x的方程4g2(x)﹣4ag(x)+3a﹣1﹣f(m)＝0在区间[,4]上总有3个不等根，x1,x2,x3,实数a的取值范围为(，],x1x2x3的范围为[,)．。
福建省福州第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷
福州一中2020 - 2021学年第二学期第三学段期中考试高一数学第二册期中考试卷（完卷120分钟满分150分）一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足z （1 - i ） = 3 - i （i 是虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A .4B .5C .2D .12.已知向量a ⃗ = （9，6），b ⃗ = （3，x ），若a ⃗ ∥b ⃗ ，则b ·（a ⃗ -b⃗ ） = （ ） A . - 26 B . - 25 C .25 D .263.已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ | =6，|b ⃗ | = 2，（a ⃗ -b ⃗ ）·b ⃗ = 1，则向量a ⃗ ，b ⃗ 夹角等于（ ） A .30° B .45° C .60° D .120°4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满是 bcosA cosB + a = 2c ，则角B = （ ）A . π 6B . π 4C . π 3D . 2π 35.如图，已知等腰△ABC 中，AB = AC = 3，BC = 4，点P 是边BC 上的动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）（ ）A .为定值6B .为定值10C .最大值为18D .与P 的位置有关6.某天象馆的主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体.小明同学为了估算该天象馆的高度，在天象馆的正东方向找到一座建筑物AB ；高为（123 - 12）m .在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A 以及天象馆顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得天象馆顶C 的仰角为30°，则小明估算该天象馆的高度为（ ）A .16 mB .24 mC .163mD .243m7.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ）A . 13 25 a ⃗ + 16 25b ⃗ B . 16 25 a ⃗ + 12 25 b ⃗ C . 2 5 a ⃗ + 4 5 b ⃗D . 1 5 a ⃗ + 3 5 b ⃗ 8.已知点O 是△ABC 的内心，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ = 4 9 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 9 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则cos ∠BAC = （ ）A . 1 5B . 1 6C . 1 8D . 1 9 二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求..全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在复平面内，下列说法正确的是（ ）A .若复数z = 1+i 1−i （i 是虚数单位），则 z 30 = - 1B .若复数z 满足z 2ϵR ，则z ϵRC .若复数z = a + bi （a ，b ϵR ），则复数z 为纯虚数的充要条件是a = 0D .若复数z 满足|z | = 1，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆10.设a ⃗ ，b⃗ 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A .若|a ⃗ + b ⃗ | = |a ⃗ | - |b ⃗ |，则a ⃗ ，b⃗ 的方向相同 B .若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ + b ⃗ |=|a ⃗ - b⃗ | C .若|a ⃗ + b ⃗ | = |a ⃗ | + |b ⃗ |，则a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影向量为a ⃗D .若存在实数λ使得a ⃗ =λb ⃗ ，则|a ⃗ + b ⃗ | = |a ⃗ | - |b⃗ | 11.若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b - 2a + 4a sin 2 A+B 2 = 0，则下列结论正确的是（ ）A .角C 一定为锐角B .a 2 + 2b 2 - c 2 = 0C .3tan A + tan C = 0D .tan B 的最大值为 √3 312.在同一平面内，设|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 1，点M 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 - BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = c （c 为常数），则下列正确的是（ ）A .若c = 1 3 ，则存在满足条件的点M 使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B .∀c ϵR ，点M 构成的集合是垂直于线段AB 的一条直线C .若c = 1，则点M 、A 、B 可构成一个直角三角形D .若c = 3，则|MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min = 1 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数z = ii 2021+2 ，则复数z 在复平面内对应的点在第 _________ 象限.14.已知平面向量a ⃗ =（2， - 1），b ⃗ =（m ，2），且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|a ⃗ +b ⃗ | = _________ .15.为了测量A 、B 两岛屿之间的距离，一艘测量船在D 处观测，A 、B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向。
河南省洛阳市第一高级中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题+PDF版含答案
的值转化为求 n 个一次多项式的值．已知 f（x） ．
15．设 O 为△ABC 内部的一点，且
＝ ，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为
．
16．已知锐角△ABC，且 tanA+tanB＝3tanAtanB，则 tanA•tanB•tanC 的最小值为
．
三．解答题（共 6 小题，第 17 题 10 分，其他小题每小题 12 分）
的值转化为求 n 个一次多项式的值．已知 f（x） ．
15．设 O 为△ABC 内部的一点，且
＝ ，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为
．
16．已知锐角△ABC，且 tanA+tanB＝3tanAtanB，则 tanA•tanB•tanC 的最小值为
．
三．解答题（共 6 小题，第 17 题 10 分，其他小题每小题 12 分）
值作代表）．
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18．已知圆 C 经过点 A（2，﹣1），和直线 x+y﹣1＝0 相切，且圆心在直线 y＝﹣2x 上． （1）求圆 C 的方程； （2）已知直线 l 经过（2，0）点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．
19．已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为平行四边形，平面 PBC⊥平面 ABCD，点 E 在 AD 上，AD⊥平面 PEC． （1）求证：PC⊥平面 ABCD； （2）若 AE＝2ED，在线段 PB 上是否存在一点 F，使得 AF∥平面 PEC，请说明理由．
22．已知函数
．
（1）求函数 f（x）在区间
上的值域；
（2）求函数 f（ωx）（ω＞0）图象上的所有点向右平移 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来
的 倍（纵坐标不变），得到函数 g（x）的图象，若
福建省漳州市第一中学2020-2021学年高一下学期期初考试数学试题 Word版含答案
漳州一中2020～2021学年高一下期初考数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共40分，1～8为单选，9～12为多选题，多选题全选对得5分，部分选对得3分，有选错的不得分）1．已知全集U 为实数集，{}230A x x x =-≤，{}1B x x =>，则()UA B =（ ）A ．[)0,1B ．[]0,1C ．[)1,3D ．[]0,32．设命题p ：所有的矩形都是平行四边形，则p ⌝为（ ） A ．所有的矩形都不是平行四边形 B ．存在一个平行四边形不是矩形 C ．存在一个矩形不是平行四边形D ．不是矩形的四边形不是平行四边形3．已知05log 3a =，0.5log 0.3b =，0.33c -=，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<4．若a ，b ，c 为非零实数，则“a b c >>”是“2a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数()2ln f x x x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．方程2log 5x x =-的解所在的区间是（ ） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,57．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()8f x f x +=，且在区间[]0,2上是单调递增，则（ ） A ．()()()251080f f f -<< B ．()()()801025f f f <<- C ．()()()802510f f f <-< D ．()()()258010f f f -<<8．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，图中的ABCD 为矩形，CED 为一段圆弧，其尺寸如图所示，则截面（图中阴影部分）的面积为（ ）A ．210πcm 3⎛+⎝ B ．28πcm 3⎛+ ⎝ C ．(24πcm + D ．(22πcm + 9．已知α∠终边经过点()sin120,tan120P ︒︒，则（ ）A ．cos 5α=B ．()4sin π5α+=-C ．tan 2α=-D ．sin cos 5αα+=-10．若0a b <<，则下列不等式成立的是（ ）A ．11a b<B ．11b b a a +>+C ．11b a a b +<+D ．11a b a b+>+11．某同学对函数()sin f x x x =进行研究后，得到以下结论，其中正确的是（ ） A ．函数()y f x =的图象是轴对称图形 B ．对任意实数x ，()f x x ≤均成立C ．函数()y f x =图象与直线y x =有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等D ．当常数k 满足1k >时，函数()y f x =的图象与直线y kx =有且仅有一个公共点12．已知函数()22f x x x =-+，()2g x x ax a =-+，()()()()()()(),,f x f x g x F x g x f x g x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则（ ）A ．()F x 的图象与x 轴有2个交点B ．()F x 有最大值1，无最小值C ．()F x 在(),1-∞上单调递增D ．()F x 是偶函数二、填空题（每空5分，共20分）13．已知集合{}21,M x=，若N M ⊆，则x =________．14．已知0a >且1a ≠，log 2a x =，则22xx aa -+=________．15．ABC △中，cos 2A =-，()tan 2A B -=-，则tan B =________． 16．已知定义在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()πsin 6f x x ω⎫⎛=- ⎪⎝⎭（0ω>）的最大值为3ω，则正实数的取值个数最多为________．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知集合201x A xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}2B x k x k =<<-．（1）当1k =-时，求A B ；（2）若AB B =，求实数k 的取值范围．18．已知函数()22sin cos cos f x x x x x =-+． （1）将函数化成()sin y A x ωϕ=+（0A >，ππ22ϕ-<<）的形式，并写出该函数的最小正周期，及其图象的对称轴；（2）若方程()0f x a -=在π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解，求实数a 的取值范围． 19．已知函数()f x 是奇函数． （1）若()1ln1ax f x x -=+，求实数a 的值； （2）若函数()f x 的定义域是[]1,1-，且在定义域上是单调递增的，若不等式()()2110f a f a -+-<恒成立，求实数a 的取值范围．20．物联网（Internet of Things ，缩写：IOT ）是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费1y （单位：万元），仓库到车站的距离x （单位：千米，0x >），其中1y 与1x +成反比，每月库存货物费2y （单位：万元）与x 成正比；若在距离车站9千米处建仓库，则1y 和2y 分别为2万元和7.2万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？21．已知函数()f x 是3xy =的反函数，当[]1,27x ∈时，函数()()()2241g x f x af x a =-++，（a ∈R ）的最小值为()h a ．（1）求()h a 的函数表达式；（2）是否存在实数3m n >>，使得函数()4y h a =的定义域为[],n m ，值域为22,n m ⎡⎤⎣⎦，若存在求出m 、n 的值，若不存在，请说明理由．22．定义在R 上的函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π02ϕ≤≤），若已知其在()0,7πx ∈内只取到一个最大值和一个最小值，且当πx =时函数取得最大值为3，当6πx =，函数取得最小值为3-． （1）求出此函数的解+析式．（2）若将函数()f x 的图象保持横坐标不变，纵坐标变为原来的13，得到函数()g x ，再将函数()g x 的图象向左平移0ϕ（00ϕ>）个单位得到函数()h x ，已知函数()()e lg g x y h x =+的最大值为e ，求满足条件的0ϕ的最小值．（3）是否存在实数m ，满足不等式()()sin sin A A ϕϕ>？若存在，求出m 的范围，若不存在，请说明理由．漳州一中2020～2021学年高一下期初考数学答案一～二（选填）三、解答题 17．（1）()1,2AB =-（2）[)0,k ∈+∞ 18．（1）π2π3k x =+，k ∈Z（2）a ⎤∈⎦19．（1）1a =（2）a ⎡∈⎣20．距离4km ，最少费用为7.2万元 （可用换元法、基本不等式解决）21．（1）()241,041,03102,3h a a a a a a a a ⎪=+≤⎧⎪+-<<⎨-≥⎩（2）不存在（单调递减得自变量最大，因变量最小，反之亦然，再用加减消元法得出8m n =-，代回方程得n 无实数根，所以不存在） 22．（1）()13π3sin 510f x x ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭（2）0ϕ最小值为10π（由两函数单调递增得：同时取最大，即自变量取到1时函数最大值为e ．再解出0ϕ最小值即可） （3）存在，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦。
湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题含解析
湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设(12)16i x y i -+=--，,x y R ∈，则||x yi -=（ ） A ．6B ．5C ．4D ．32．下列说法正确的是（ ） A ．任意三点确定一个平面B ．两个不重合的平面α和β有不在同一条直线上的三个交点C ．梯形一定是平面图形D ．一条直线和一个点确定一个平面 3．在边长为3的等边三角形ABC 中，12BM MC =，则AB BM ⋅=（ ）A B ．32C ．32-D ．124．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ）A ．2+B ．8C ．4D ．5．已知1OA =，3OB =，56AOB π∠=，若O B O C ⊥u u u r u u u r 且OC mOA nOB =+，则mn（ ）. A ．5B ．4C ．2D ．16．某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中A ．NC 与DE 相交B ．CM 与ED 平行C ．AF 与CN 平行D ．AF 与CM 异面7．如图所示，CD 是附中校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB (高为15)m )与雕像之间的地面上的点M 处(B ，M ，D 三点共线)测得楼顶A 及雕像顶C 的仰角分别是15︒和60︒，在楼顶A 处又测得雕塑顶C 的仰角为30︒，假设AB ､CD 和点M 在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为（ ）A ．20mB ．30mC ．D ．8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误的是（ ）A ．四棱锥11B A ACC -为“阳马” B ．四面体11AC CB 为“鳖臑” C ．四棱锥11B A ACC -体积最大为23D ．过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF AC ⊥于点F ，则1EF A B ⊥二、多选题9．对任意平面向量a ，b ，c ，下列命题中真命题是（ ） A ．若a b b c ⋅=⋅r r r r，则a c =B ．若a b =，b c =，则a c ＝C ．a b a b -<+D ．a b a b ⋅≤10．已知a ，b 表示直线，,,αβγ表示平面，则下列推理不正确的是（ ） A ．,//a b a b αβα⋂=⊂⇒ B ．,////a a b b αβα=⇒，且b β//C ．//,//,,//a b a b ββαααβ⊂⊂⇒D ．//,,//a b a b αβαγβγ==⇒11．在ABC 中，内角A ，B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，ABC 的面积为S ，下列与ABC 有关的结论，正确的是（ ）A ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos AB > B ．若A B >，则sin sin A B >C ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=三、单选题12．直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论错误的是（ ） A ．12m n+为常数 B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为12m =，2n =四、填空题13．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为l 的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积之比是__14．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,与AD 1异面且与AD 1所成角为90︒的面对角线共有_______条．15．在ABC 中，a ､b ､c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B b C a c =-，ABC S =△且3b =，则a c +的值等于___________.五、双空题16．如图，在ABC 中，8,12AB BC AC =+= ，分别取三边的中点,,D E F ，将,,BDE ADF CEF 分别沿三条中位线折起，使得,,A B C 重合于点P ，则当三棱锥P DEF -的外接球的体积最小时，其外接球的半径为____________，三棱锥P DEF -的体积为____________．六、解答题17．已知复数()1z mi m R =+∈，312z i-+是实数． （1）求复数z ； （2）若复数0112z m z =+-是关于x 的方程20x bx c ++=的根，求实数b 和c 的值． 18．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，||1OC =，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．（1）若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +uuu r uuu r 的最小值； （2）若[0,]2πθ∈，向量(),1cos ,sin 2cos m BC n θθθ==--，求m n ⋅的最小值及对应的θ值．19．在①sin sin sin sinb A a B A B +=，②2sin cos cos cos b C A C C ，③()sin sin sin a b A b B c C -+=，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题.已知锐角ABC 中，a ､b ､c 分别为内角A ，B ､C 的对边，2c =，___________. （1）求角C ；（2）求a b +的取值范围.(注意：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，1AB =，设M 、N 分别为PD 、AD 的中点.（1）求证：平面//CMN 平面PAB ； （2）求三棱锥A CMN -的侧面积.21．党的十九大报告指出，农业农村农民问题是关系国计民生的根本性问题，必须始终把解决好“三农”问题作为全党工作的重中之重，实施乡村振兴战略.如图，A 村､B 村分别位于某河流的南､北两岸，,5AC BC BC ⊥=公里，30BAC ∠=︒，现需将A 村的农产品运往B 村加工.乡政府经过调研知，在每次运输农产品总量相同的条件下，公路运输价格为a 元/公里，水路运输价格为2a 元/公里.（1）给出两种运输方案：第一种，直接从A 村通过水路运输到B 村；第二种，先从A 村通过公路运输到与B 村相对的南岸近岸处C ，再通过水路运输到B 村.试比较两种方案，哪种方案更优？（2）为尽可能节约成本，乡政府决定在该河流南岸AC 上选择一个中转站D ，先将A村的农产品通过公路运往中转站D ，再将农产品通过水路运往B 村加工.试问：中转站应选址何处最佳？请说明你的理由. 22．已知ABC 的外心为O ，内心为Ⅰ.（1）如图1，若|||1,0AB AC AB AC ==⋅=∣. ①试用,AB AC 表示AO ； ②求()BA BC OI +⋅的值.（2）如图2，若存在实数λ，使OI BC λ=，试求cos cos B C +的值.参考答案：1．B【分析】根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得34x y =-⎧⎨=⎩，进而求模长即可.【详解】因为()1216i x y i -+=--，所以261x x y =-⎧⎨-=-⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，所以=|34|5x yi i ---=.故选：B. 2．C【分析】由平面的性质及确定平面的条件逐项判断即可得解. 【详解】A 选项，不共线的三点确定一个平面，A 错； B 选项，两个平面有公共点，则有一条过该公共点的公共直线， 如没有公共点，则两平面平行，B 错；C 选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行， 所以梯形一定是平面图形，C 对；D 选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，D 错. 故选：C. 3．C【分析】由向量的数量积计算． 【详解】1123BM MC BC ==，1BM = AB BM ⋅=13cos(18060)3122AB BM ⎛⎫⋅︒-︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． 故选：C ． 4．B【分析】画出直观图对应的原图，由此求得原平面图形的周长.【详解】直观图中，''''''1,O A C B O B ===中1,OA OB ==3OC AB =，所以原平面图形的周长为32128⨯+⨯=.故选：B.【点睛】本小题主要考查斜二测画法的直观图和原图的关系，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 5．C【分析】由a b ⊥，0a b ⋅=，将OC 由mOA nOB +表示，利用0OB OC ⋅=u u u r u u u r，找出m 和n 的关系即可.【详解】由OB OC ⊥u u u r u u u r和OC mOA nOB =+， ()2OB OC OB mOA nOB mOB OA nOB ⋅=⋅+=⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r25cos 1cos36m OB OA AOB n OB m n π=∠+=⨯+⨯ 3302m n =-+=，所以332m n =，2m n=故选：C【点睛】本题主要考查向量垂直的应用和向量的数量积公式，属于基础题. 6．B【详解】根据题意得到立体图如图所示：A NC 与DE 是异面直线，故不相交；BC M 与ED 平行，由立体图知是正确的； C AF 与CN 位于两个平行平面内，故不正确；D AF 与CM 是相交的． 故答案为B ． 7．D【分析】由锐角三角函数及正弦定理逐步运算即可得解. 【详解】在Rt ABM 中，sin15ABAM =︒, 在ACM △中，由正弦定理得sin sin AM CMACM CAM =∠∠，sin sin 45sin sin30AM CAM AM CM ACM ∠︒==∠︒；在Rt CDM 中，sin 45sin60sin60sin15sin30AB CD CM ︒︒︒︒︒===故选：D. 8．C【分析】由新定义结合线面垂直的判定、性质、体积公式逐项判断即可得解. 【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”. 所以在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC , 在选项A 中，因为1AA BC ⊥，AC BC ⊥，且1AA AC A =，则BC ⊥平面11AAC C ，且11AAC C 为矩形，所以四棱锥11B A ACC -为“阳马”，故A 正确； 在选项B 中，由11AC BC ⊥，111AC C C ⊥且1C CBC C =，所以11AC ⊥平面11BB C C ，所以111AC BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形， 由BC ⊥平面11AAC C ，得1A BC ,1CC B 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，所以四面体11AC CB 为“鳖臑”，故B 正确; 在选项C 中，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤， 当且仅当AC BC =时取等号，则1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，所以C 不正确；在选项D 中，由BC ⊥平面11AAC C ，则1,BC AF AF AC ⊥⊥且1ACBC C =， 则AF ⊥平面1A BC ，所以1,AF A B ⊥又1AE A B ⊥且AF AE A ⋂=，则1A B ⊥平面AEF ，则1A B EF ⊥，所以D 正确. 故选：C.9．BD【分析】利用反例判断A 的正误；向量相等关系判断B 的正误；向量的模的运算法则判断C 的正误；利用向量的数量积的性质判断D 的正误.【详解】若a b b c ⋅=⋅r r r r，则a c =，反例0b =，则a 与c 具有任意性，所以A 不正确；若a b =，b c =，则a c ＝，向量相等的充要条件，所以B 正确；a b a b -<+，如果0b =，则不等式不成立，所以C 不正确； ()|cos ,|a b a b a b a b ⋅=≤v v v vv v v v ，所以D 正确.故选：BD【点睛】本题考查向量数量积概念辨析，属于基础题. 10．ABC【分析】A. 根据直线的位置关系判断；B. 根据直线与平面的位置关系判断；C. 根据平面与平面的位置关系判断；D. 根据面面平行的性质定理判断. 【详解】A. 因为a αβ⋂=，b α⊂，则,a b 平行或相交，故错误； B. 因为a αβ⋂=，//a b ，则//b α或 b α⊂，//b β或 b β⊂，故错误； C. 因为//a β，//b β，a α⊂，b α⊂，则,αβ平行或相交，故错误； D. 因为//αβ，a αγ⋂=，b βγ=，由面面平行的性质定理得//a b ，故正确；故选：ABC 11．ABD 【分析】由2A B π+>，结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判定A 正确；由A B >知a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >，可判定B 正确；由正弦定理可得sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，可判定C 不正确；根据三角形内角和定理和正切的两角和公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，若ABC 为锐角三角形，可得2A B π+>且,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 可得2A B π>-，且0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性，可得sin sin 2A B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以sin cos A B >，所以A 正确；对于B 中，在ABC 中，由A B >知a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >，所以B 正确； 对于C 中，由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==，可得sin 2sin 2A B =，故22A B =或22A B π+=，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以C 不正确；对于D 中，在ABC 中，可得A B C π++=，则A B C π+=-， 所以tan()tan()A B C π+=-，即tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C +=-+， 则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，所以D 正确. 故选：ABD . 12．B【分析】作出图形，由2BP PC =可得出1233AP AB AC =+，根据三点共线的结论得出123m n+=，结合基本不等式可判断出各选项的正误，即可得出结论. 【详解】如下图所示：由2BP PC =，可得()2AP AB AC AP -=-， 1233AP AB AC ∴=+， 若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>， 则1AB AM m =，1AC AN n =， 1233AP AM AN m n∴=+， M 、P 、N 三点共线，12133m n ∴+=，123m n∴+=， 故A 正确； 所以12m =，2n =时，也满足123m n +=，则D 选项正确；()122255223333333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭Q ，当且仅当m n =时，等号成立，C 选项成立；()1221113333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当n =时，即m n =B 选项错误. 故选：B 13．4∶3或43【详解】设圆锥的底面半径为r ，由题意得2π23r l π=，解得3l r =． 所以2S πr πr 4S πr 3l l +==表侧． 答案：43点睛：（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．（2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理． 14．1【分析】在正方体的上、下面，左、右面，前、后面逐一去找出能与1AD 垂直的面对角线，得出结论.【详解】1AD 与面对角线11AC ，11,,BD AB DB 异面，所成的角是60，由于11//AD BC ，又11BC CB ⊥，所以11AD CB ⊥，而1AD 与正方体其它异面的面对角线都不垂直， 所以与AD 1异面且与AD 1所成角为90︒的面对角线共有1条， 故填：1.【点睛】本题考查空间里的异面直线和其垂直关系，属于基础题.15．【分析】由正弦定理结合三角恒等变换可得,3B π=再由三角形面积公式可得3ac =，最后结合余弦定理即可得解. 【详解】由正弦定理得cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，可得sin cos sin cos sin()sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==. 因为A 为三角形内角，sin 0,(0,)A B π≠∈，所以1cos ,2B =,3B π=又3ABCSb ==11sin 22ac B a c ==⨯⨯=，解得3ac =，由余弦定理得22229()3()9a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，解得a c +=故答案为：16．83【分析】将三棱锥P DEF -补充成长方体，则对角线长分别为,6,4a a -，三棱锥P DEF -的外接球即为长方体的外接球.设长方体的长宽高分别为,,x y z ，进而可得外接圆的半径和体积. 【详解】由题意得三棱锥P DEF -的对棱分别相等，设2BC a =，则122AC a =-， 将三棱锥P DEF -补充成长方体，则对角线长分别为,6,4a a -，三棱锥P DEF -的外接球即为长方体的外接球.设长方体的长宽高分别为,,x y z ，则()22222222,6,16x y a y z a x z +=+=-+=， 所以2222626x y z a a ++=-+，则外接球半径r ==当3a =时，半径最小，此时三棱锥P DEF -的外接球的体积最小，此时r =解得1x z y ===，所以三棱锥118141323P DEF V -=-⨯⨯⨯=.，83. 【点睛】方法点睛：将三棱锥P DEF -补充成长方体，三棱锥P DEF -的外接球即为长方体的外接球.本题考查了空间想象能力和运算求解能力. 17．（1）14z i =-；（2）4,20b c ==. 【分析】（1）根据复数的除法运算，化简得32241255z m m i i --+=++，结合312z i-+是实数，列出方程，即可求解；（2）根据024z i =--是方程的根，得到(164)2120b i b c --+-=，结合复数相等的条件，列出方程，即可求解.【详解】（1）因为()1z mi m R =+∈， 可得32(2)(12)2241212(12)(12)55z mi mi i m m i i i i i -----+===++++-， 又由312z i -+是实数，可得405m +=，解得4m =-，所以14z i =-． （2）因为011242z m z i =+-=--是方程20(,)x bx c b c R ++=∈的根， 所以2(42)(42)0i b i c --+--+=，即(164)2120b i b c --+-=，可得16402120b b c -=⎧⎨-+-=⎩，解得4,20b c ==.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数相等的概念求参数，其中解答中熟记复数的除法运算法则，以及复数相等的充要条件列出方程组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．（1；（2）m n ⋅的最小值为18πθ=.【分析】（1）设出D 点坐标，求得||OC OD +uuu r uuu r的表达式，结合二次函数的性质求得最小值.（2）结合向量数量积的运算、三角恒等变换、三角函数最值的求法求得m n ⋅的最小值及对应的θ值.【详解】（1）设D (t ，0)(0≤t ≤1)，由题意知(C ，所以22OC OD t ⎛+=-+ ⎝⎭，所以221||2OC OD t ⎛+=+ ⎝⎭，所以当t =时，||OC OD +uuu r uuu r . （2）由题意得()()cos ,sin ,cos 1,sin C m BC θθθθ==+，()1cos ,sin 2cos n θθθ=--， 则m n ⋅＝=1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝124πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,因为0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，所以52444πππθ≤+≤，所以当242ππθ+=，即8πθ=时，sin 24πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1，m n ⋅取得最小值1所以m n ⋅的最小值为18πθ=.19．条件选择见解析；（1）3C π=；（2）.【分析】（1）选条件①：由条件结合正弦定理、三角恒等变换化简即可得解； 选条件②：由条件结合正弦定理、三角恒等变换化简即可得解； 选条件③：由条件结合正弦定理、余弦定理运算即可得解；（2）确定B的范围，由正弦定理转化条件为2sin sin 3b a B B π⎤⎛⎫+=+- ⎪⎥⎝⎭⎣⎦，结合三角恒等变换及三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）选条件①：由sin sin sin sin b A a B A B +=及正弦定理得sin sin sin sin sin sin B A A B C A B +=，即2sin sin sin sin A B C A B =，所以sin C =因为C 为锐角，所以3C π=；选条件②：由2sin cos cos cos b C A C C =及正弦定理得sin sin (sin cos sin cos )B C C C A A C =+，即sin sin sin()B C C A C +，∴sin sin sin B C C B =. ∵02B π<<，∴sin 0B >，可得tan C 02C π<<，∴3C π=；选条件③：由()sin sin sin a b A b B c C -+=及正弦定理得22()a b a b c -+=， 即222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，∵02C π<<，∴3C π=.（2）∵ABC 是锐角三角形，∴0,220,32B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得62B ππ<<，由正弦定理得sin sin sin b a c B A C ====，∴21sin sin sin sin 32b a B B B B B π⎫⎤⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭3sin 2B B ⎫+=⎪⎪⎝⎭4sin 6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵62B ππ<<，∴2,633B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 6B π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，∴b a +∈.20．（1）证明见解析；（2）3【分析】（1）要证明面面平行，需根据判断定理证明平面内的两条相交直线与另一个平面平行，根据平行关系，证明//MN 平面PAB ，//CN 平面PAB ；（2）根据边长和三角形面积公式，分别求三棱锥A CMN -的三个侧面的面积.【详解】（1）∵M 、N 分别为PD 、AD 的中点，∴//MN PA ， 又MN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，∴//MN 平面PAB ， 在Rt ACD ∆中，60CAD ∠=o ，CN AN =，∴60ACN ∠=， 又60BAC ∠=，∴//CN AB ，∵CN ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴//CN 平面PAB ， 又CN MN N ⋂=，∴平面//CMN 平面PAB ，（2）∵PA ⊥平面ABCD ，AN ⊂平面ABCD ，CN ⊂平面ABCD ， 由（1）可知//MN PA ，∴MN AN ⊥、MN CN ⊥，∵90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，2PA =，1AB =， ∴22AC AB ==，24AD AC ==，112MN PA ==， 由（1）可知122CN AN AD ===，在Rt CMN 中，AM CM ===∴11sin 602222ACNS AN CN =⋅⋅=⨯⨯ 又1121122AMNSAN MN =⋅=⨯⨯=，在ACM △中，AM CM =，∴AC 边上的高2h =， ∴1122222ACMSAC h =⋅=⨯⨯=，∴三棱锥A CMN -的侧面积3ACNAMNACMS S SS=++=【点睛】方法点睛：本题考查了面面平行的判断定理，以及三棱锥侧面积的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.21．（1）第二种方案比第一种方案更优；（2）当中转站选址在南岸位于AD 处是最佳的，理由见解析.【分析】（1）在直角三角形ABC 中求出AB ，AC 的长，从而可求出两种方案的费用，然后比较大小可得答案；（2）令[]()30,90BDC θθ∠=∈︒︒，则表示出BD ，DC ，AD，从而可表示则所需总费用为2cos 5sin W a θθ-⎫=⎪⎭，令2cos sin y θθ-=，然后利用斜率的几何意义求出y 的最小值即可【详解】（1）由于10sin30BCAB ==︒公里，cos30AC AB =︒=. 第一种运输方案所需费用为20a 元；第二种运输方案所需费用为10)a 元；可得2010)a a >， 故第二种方案比第一种方案更优.（2）令[]()30,90BDC θθ∠=∈︒︒，则5sin BD θ=公里，5tan DC θ=公里，5tan AD DC θ==公里，于是，所需总费用为5102cos 5tan sin sin W a a a θθθθ-⎛⎫⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎭， 令2cos sin y θθ-=，则2cos 2cos 10sin sin 0sin 2cos y θθθθθθ--==-=----，表示过单位上一段圆弧上的点(cos ,sin )M θθ[30,90]θ∈︒︒与定点(2,0)N 的直线的斜率k 的负倒数，由图可知当直线过点()cos30,sin30E ︒︒时，斜率最大，直线与圆弧相切时斜率最小，可得sin 300tan150cos302k ︒-︒≤≤︒-，得k ≤≤14k ≤-≤4y ≤≤所以当y =60,AD θ=︒=即当中转站选址在南岸位于AD 处是最佳的. 22．（1）①1122AO AB AC =+（2）cos cos 1B C +=. 【分析】（1）①由直角三角形外接圆的性质可得O 为BC 中点，结合平面向量的加法法则即可得解；②由外接圆及内切圆的性质可得,45,||1OI BA OI <>=︒=-，再由平面向量数量积运算法则即可得解；（2）由三角形内切圆、外接圆的性质可转化条件为cos2sin 2cos sinsin 22A AB C A=，结合三角恒等变换化简即可得解.【详解】（1）由已知得O 为BC 中点，且A ，I ，O 三点共线， ①1122AO AB AC =+； ②由于2,||2OI BC AO ⊥=，ABC内切圆半径r ==,45,||||21OI BA OI AO r <>=︒=-=-， 故()11cos45BA BC OI BA OI ⎛+⋅=⋅=⋅︒=⎝⎭（2）如图，设ABC 的外接圆半径､内切圆半径分别为R，r ， 记BC 中点为M ，ID BC ⊥于D ，由OI BC λ=知OM ID r ==，又2,,2BOC A BOM A BC BD DC BM ∠=∠==+=， 则,,tan tan tan tan 22ID r ID rBD DC B C IBD ICD ====∠∠tan tan BM OM BOM r A =∠=则cos2sin 22tan cos tan tan sinsin 2222A r r Ar A BC B C A+=⇒=， 即cos 4sin sin sin 222A B C A =. 则2sin 2sin sin sin 12222A B C A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2sin 2sin sin cos 12222A B C B C +⎛⎫⇔+= ⎪⎝⎭2sin cos122A B C-⇔= 2cos cos 122B C B C +-⇔=22222cos cos sin sin 12222B C B C ⎛⎫⇔-= ⎪⎝⎭1cos 1cos 1cos 1cos 212222B C B C ++--⎛⎫⇔⋅-⋅= ⎪⎝⎭，即cos cos 1B C +=.。
【数学】陕西省商洛市2022-2023学年高一下学期期末教学质量检测试题 (解析版)
陕西省商洛市2020-2021学年高一下学期期末教学质量检测数学试题考生注意：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分。
考试时长120分钟。
2.请将各题结果填写在答题卡上。
3.本试题主要考试内容：北师大版必修3,必修4。
第Ⅰ卷一，选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.函数()πtan 5f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭地最小正周期为（ ）A.π2B. πC.2πD.4π2.在算法框图中,“ ”地功能是（ ）A.表示一个算法输入和输出地信息B.只表示一个算法输出地信息C.赋值或计算D.判断某一款件是否成立3.一个扇形地弧长为6,半径为4,则该扇形地圆心角地弧度数为（ ）A.1B.32C.2D.234.某工厂共有980名工人,其中20到30岁地工人有400名,30到40岁地工人有300名,其余工人均在40岁以上.为了解该工厂地健康情况,按照20到30岁,30到40岁,40岁以上三个年龄段进行分层抽样,假如总样本量为196,那么应在40岁以上地工人中抽取（ ）A.48名B.52名C.56名D.60名5.若tan 3α=,()tan 4πβ-=,则()tan αβ+=（ ）A.113B.113C.711-D.7116.抽查8件产品,记“至多有3件次品”为事件A ,则事件A 地对立事件是（ ）A.至少有4件次品B.至少有2件次品C.至多有5件正品D.至少有4件正品7.在区间()1,8中随机选取一个数,则这个数不大于5地概率为（ ）A.17B.27C.37D.478.在ABC △中,D ,E 分别在线段AB ,AC 上,且23DB AB = ,23AE AC =,点F 是线段BE地中点,则DF =（ ）A.1163AB AC +B.1163AB AC -C.1163AB AC -+D.1163AB AC--9.执行如图所示地程序框图,则输出地n 地值为（）A.3B.4C.5D.610.3cos x x +=则2cos 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.14-B.14 C.18-D.1811.已知一组数据地平均数是4,标准差是4,且这组数据地平方和是这组数据和地平方地18,则这组数据地个数是（ ）A.10B.13C.16D.1812.已知函数()1sin ,0,21cos ,0,2x x f x x x +<+⎧⎪=⎨≥⎪⎪⎪⎩若()f x 在区间3π,2a ⎡⎤-⎢⎣⎦上至少有5个零点,()f x 在区间[]π,a -上至多有5个零点,则正数a 地取值范围是（）A.13π8π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13π10π,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.19π10π,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.8π19π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二，填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把结果填在答题卡中地横线上。
2020-2021学年四川省眉山市高一(下)期末数学试卷(文科)
2020-2021学年四川省眉山市高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）不等式的解集是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）2．（5分）过点P（，﹣2）且倾斜角为135°的直线方程为（）A．B．C．D．3．（5分）若a＞b，则下列不等式正确的是（）A．B．a3＞b3C．a2＞b2D．a＞|b|4．（5分）已知数列{a n}中，a1＝1，，则a2021＝（）A．1B．C．﹣2D．﹣15．（5分）设x，y∈R，向量，，，，，则＝（）A．5B．C．D．6．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且a7+2S4＝18，则a3＝（）A．2B．3C．7D．97．（5分）经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2），B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（）A．0°≤α≤45°或135°≤α≤180°B．45°≤α≤135°C．45°＜α＜135°D．0°≤α≤45°或135°≤α＜180°8．（5分）若正实数x，y满足4x+y+12＝xy，则xy的最小值为（）A．4B．6C．18D．369．（5分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数，则f（4）＝（）；f（n）＝（）A．35 3n2+3n﹣1B．36 3n2﹣3n+1C．37 3n2﹣3n+1D．38 3n2+3n﹣110．（5分）如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，AB＝4，AC＝2，D为BC中点，且AD＝2，则cos∠BAC＝（）A．B．C．D．12．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，a3＝3a5，则下列说法错误的是（）A．数列{a n}单调递减B．当n＝5，n＝6时，S n同时达到最大值C．＝D．满足不等式S n≥0的n的最大值为10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）直线y＝kx+3k+1经过的定点为．14．（5分）若变量x，y满足约束条件则z＝2x+y的最大值．15．（5分）不等式kx2+2kx﹣k﹣4＜0恒成立，则实数k的取值范围是．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中能说明△ABC 为直角三角形的条件有.（写出所有符合条件的序号）①sin A＝cos B；②tan A•tan B＝1；③a+b＝c（cos A+cos B）；④．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知，是夹角为60°的单位向量，设＝+t．（Ⅰ）若＝3﹣，且⊥，求t的值；（Ⅱ）求||的最小值．18．（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a＝0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．19．（12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d＞0，S3＝12，且1+a1，a2，1+a3成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求和．20．（12分）如右图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向处的热带风暴中心正在以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心500km以内的地区都将受到影响．据以上预报估计，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间为多长？21．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝1﹣a n．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）求和T n＝a1+3a2+5a3+⋯+（2n﹣1）a n．22．（12分）如图在△ABC中，∠A＝60°，|AB|＝9，|AC|＝4，点E在边AB上，点F在AC的延长线上，EF交BC于D，设|CF|＝x，|BE|＝y．（Ⅰ）若x＝y，求|EF|的最小值；（Ⅱ）若△BDE与△CDF面积相等，求y﹣x的最大值．2020-2021学年四川省眉山市高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
江苏省徐州市邳州市运河中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题及答案(实验班)
2020——2021高一年级第二学期中考试数学试卷（实验班）注意事项：1．本试卷共8页，包括选择题（第1题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）三部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答题空格内．考试结束后，交回答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.若复数z 满足()12i z i +=+，则复数z 的虚部是（）A ．-B ．C D3．若平面内两条平行线1l ：(1)20x a y +-+=，2l ：210ax y ++=间的距离为5，则实数a =（） A ．2-B ．2-或1C ．1-D ．1-或24．吉希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼期圆．已知(0,0)O ，(3,0)A ，圆222:(2)(0)C x y r r -+=>上有且仅有一个点P 满足||2||PA PO =，则r 的取值可以为（） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知点()()1,1P a a >在抛物线()220y px p =>上，过P 作圆()2211x y -+=的两条切线，分别交抛物线于点A ，B ，若直线AB 的斜率为1-，则抛物线的方程为（）A ．24y x =B ．22y x =C ．2y x =D ．24x y =6.北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题，大意是：酒店把酒坛层层堆积，底层摆成长方形，以后每上一层，长和宽两边的坛子各少一个，堆成一个棱台的形状（如图1），那么总共堆放了多少个酒坛？沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术，设底层长和宽两边分别摆放a ，b 个坛子，一共堆了n 层，则酒坛的总数()()()()()()112211S ab a b a b a n b n =+--+--+⋅⋅⋅+-+-+．现在将长方形垛改为三角形垛，即底层摆成一个等边三角形，向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛（如图2），若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛，顶层摆放1个酒坛，那么酒坛的总数为（） A ．55B ．165C ．220 D ．2867.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2π,π）单调递增 ③f(x)在[,]-ππ有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（） A.①②④B.②④C.①④D.①③8.圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL ）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为()15315m -，在它们之间的地面上的点M （,,B M D 三点共线）处测得楼顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15︒和60︒，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30，则小明估算索菲亚教堂的高度为（） A ．20mB ．30mC ．203mD ．303m二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分. 9．对于复数123,,z z z ，下列命题都成立（） A.1212z z z z +≤+ B.2121z z z =，则12=z zC.1212z z z z ⋅=⋅D.若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，则23z z =.则对于非零 10．路人甲向正东方向走了xkm 后向右转了150°，然后沿新方向走了3km ，结果离出发点恰好3km ，则x 的值为（） A ．3B ．23C ．2D ．311.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A．12nk +=B ．133n n a a +=-C．()2332n a n n =+D ．()133234n n S n +=+- 12.已知圆22:4C x y +=，直线():34330l m x y m ++-+=，(R m ∈)．则下列四个命题正确的是（）A ．直线l 恒过定点()3,3-B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上一个动点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 13．已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝10相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是________．14.如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.15.已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____. 16．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知12BC F F ⊥，1163F B =，124F F =，则截口BAC 所在椭圆的离心率为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)已知向量1sin ,,(cos ,1)2a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. （1）当a b ⊥时，求实数x 的值. （2）求()()f x a b b =+⋅在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 18．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足12a =，24b =，22log n n a b =，*N n ∈． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a 中不在数列{}n b 中的项按从小到大的顺序构成数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n S ，求100S ． 19.(本小题满分12分)已知设复数z 满足=1z 使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，其中z 为z 的共轭复数，求满足条件的z 构成的集合。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：
（1）若 ，则 ；
（2） 且 ；
（3） 且 为等差数列；
（4） 为等差数列.
6.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边转化为角得到 ，再由角C的范围可得选项.
【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ，所以 ，即 ，
又因为 为 的内角，
所以 ．
解得 ， ，
， ；
（2） ，
，
又 ，由题得 ，即 ，
，即
由题知 且 ，故 ，
故 ，
故只需考虑 ， 时 ， 时 ， 时 ，
17.（10分）已知 中，点 .
（1）求直线 的方程；
（2）求 的面积.
18.（12分）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于x的不等式 的解集为R，求a的取值范围.
19.（12分）己知向量 ， .
（1）若 ，其中 ，求 坐标；
（2）若 与 的夹角为 ，求 的值.
20.（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
故 ，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 来求；（2）计算角， .特别地，两个非零向量 垂直的等价条件是 .
15.9
【解析】
【分析】
将 变形后利用基本不等式可求其最小值
【详解】 ，
，等号成立时 ， .
故答案为：9.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
2020-2021学年河南省驻马店市正阳高级中学高一(下)第三次质检数学试卷(理科)
2020-2021学年河南省驻马店市正阳高级中学高一（下）第三次质检数学试卷（理科）一、单选题1．半径为2，圆心角为的扇形的面积等于（）A．B．πC．D．2．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买儿童玩具，网上购买的儿童玩具合格率为，而实体店里的儿童玩具的合格率为，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（）A．B．C．D．3．执行右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最小的数（）A．a＜b？B．b＜a？C．x＜b？D．b＜x？4．将函数y＝2sin（2x+）的图象向左平移个最小正周期后（）A．y＝﹣2sin（2x+）B．y＝2sin（2x﹣）C．y＝2cos（2x+）D．y＝﹣2cos（2x+）5．向量满足||＝1，（）•，（2）⊥，则||＝（）A．2B．1C．D．6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b＝2a•cos C（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形7．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等（）A．B．C．D．8．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在[40，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A．可求得a＝0.005B．这200名参赛者得分的中位数为64C．得分在（60，80）之间的频率为0.5D．得分在（40，60）之间的共有80人9．若cos（30°﹣α）﹣sinα＝，则sin（30°﹣2α）＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．赵爽是我国汉代数学家、天文学家，他在注解《周髀算经》时，介绍了“勾股圆方图”，它被2002年国际数学家大会选定为会徽．“赵爽弦图”是以弦为边长得到的正方形，该正方形由4个全等的直角三角形加上中间一个小正方形组成类比“赵爽弦图”，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自三个全等三角形（阴影部分）（）A．B．C．D．11．在△ABC中，O是三角形的外心，过点B作BG⊥AO于点G，则＝（）A．16B．8C．24D．3212．△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，满足2c cos B+b cos A＝a cos（A+C），a＝4，D为边AC上一点满足，则＝（）A．B．C．D．二、填空题13．已知对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x10，y10），y关于x的线性回归方程为＝﹣2x+7.2，若，则＝．14．若对任意x∈R，cos（x﹣φ）＝sin x恒成立．15．已知两个非零向量，满足||＝|﹣|＝2，则在方向上的投影为．16．公元1231年，南宋著名思想家，教育家陆九渊的弟子将象山书院改建于三峰山徐岩（徐岩旧址，现为贵溪市第一中学），在A处测得仰角分别为45°，30°，又在B处测得仰角分别为60°，45°米．三、解答题17．已知．（1）当k为何值时，与共线？（2）当k为何值时，与垂直？（3）当k为何值时，与的夹角为锐角？18．设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．19．公2021年初，疫情防控形势依然复杂严峻，防疫任务依然艰巨．为了引起广大市民足够重视，采取网上答题的形式，从本市10～60岁的答题的人群中随机抽取了100人进行问卷调查（1）求a的值，并求这组数据的中位数（结果保留两位小数）；（2）现从年龄在[20，40）的人中利用分层抽样抽取5人，再从5人中随机抽取3人进行问卷调查，30）的回答5道题，年龄[30，题目都不同．用X表示抽取的3人中回答题目的总个数，求当X＝13的概率．20．已知△ABC满足____，且b＝5，B＝，并求解下列问题：（Ⅰ）sin C；（Ⅱ）求△ABC的面积．条件①tan A＝2，条件②b2+c2﹣a2＝2c，条件③3b＝c．21．在游学活动中，在A处参观的第1组同学通知在B处参观的第2组同学：第1组正离开A处向A的东南方向游玩，速度约为20米/分钟．已知B在A的南偏西75°方向且相距200米（1）设第2组同学行进的方位角为θ，求cosθ．（方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）（2）求第2组同学的行进速度为多少？22．已知函数f（x）＝sin x sin（x+）+cos2（x﹣）﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求a cos B﹣b cos C的取值范围．2020-2021学年河南省驻马店市正阳高级中学高一（下）第三次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题1．半径为2，圆心角为的扇形的面积等于（）A．B．πC．D．【解答】解：一个半径是2的扇形，其圆心角的弧度数是，扇形的面积为：S＝×2＝．故选：C．2．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买儿童玩具，网上购买的儿童玩具合格率为，而实体店里的儿童玩具的合格率为，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（）A．B．C．D．【解答】解：工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性为：P＝＝．故选：B．3．执行右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最小的数（）A．a＜b？B．b＜a？C．x＜b？D．b＜x？【解答】解：要求输出这三个数中最小的数，原理是将较小者与另一个数比较，类比可知空白之处应填b＜x？．故选：D．4．将函数y＝2sin（2x+）的图象向左平移个最小正周期后（）A．y＝﹣2sin（2x+）B．y＝2sin（2x﹣）C．y＝2cos（2x+）D．y＝﹣2cos（2x+）【解答】解：函数y＝2sin（2x+），其周期T＝，图象向左平移个最小正周期后）+）＝6cos（2x+）故选：C．5．向量满足||＝1，（）•，（2）⊥，则||＝（）A．2B．1C．D．【解答】解：∵||＝1，（＝0）⊥，∴||2+•＝0）•，即•＝﹣1，6•|2＝0，即||4＝﹣2•＝2|＝．故选：C．6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b＝2a•cos C（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【解答】解：由题设，结合正弦定理有sin B＝2sin A cos C，而B＝π﹣（A+C），∴sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝2sin A cos C，即sin（A﹣C）＝4，又0＜A，C＜π，∴A＝C，即△ABC的形状为等腰三角形．故选：A．7．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等（）A．B．C．D．【解答】解：从4门学科中任选2门共有：政治+地理、政治+化学、政治+生物、地理+化学、化学+生物，其中满足化学和生物至多有一门被选中的有7种情况，所以其概率为．故选：D．8．在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在[40，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A．可求得a＝0.005B．这200名参赛者得分的中位数为64C．得分在（60，80）之间的频率为0.5D．得分在（40，60）之间的共有80人【解答】解：由频率之和为1，可得a×10＝1﹣（5.035+0.030+0.020+7.010）×10＝0.05，所以a＝0.005，故选项A正确；在[40，60）的频率为（4.005+0.035）×10＝0.3，70）的频率为0.030×10＝0.5，所以这200名参赛者得分的中位数为60+（0.5﹣7.4）÷0.8×10＝63.3，故选项B错误；得分在[60，80）之间的频率为（0.030+2.020）×10＝0.5；得分在[40，60）之间的人数为（3.005+0.035）×10×200＝80人．故选：B．9．若cos（30°﹣α）﹣sinα＝，则sin（30°﹣2α）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：由cos（30°﹣α）﹣sinα＝，可得，即，所以sin（30°﹣2α）＝cos（60°+5α）＝＝．故选：D．10．赵爽是我国汉代数学家、天文学家，他在注解《周髀算经》时，介绍了“勾股圆方图”，它被2002年国际数学家大会选定为会徽．“赵爽弦图”是以弦为边长得到的正方形，该正方形由4个全等的直角三角形加上中间一个小正方形组成类比“赵爽弦图”，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自三个全等三角形（阴影部分）（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，设AF＝1，BD＝AF＝1,由余弦定理可得，所以．故选：D．11．在△ABC中，O是三角形的外心，过点B作BG⊥AO于点G，则＝（）A．16B．8C．24D．32【解答】解：如图，因为，，∴＝+•++＝+•+＝＝64﹣32+6＝32故选：D．12．△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，满足2c cos B+b cos A＝a cos（A+C），a＝4，D为边AC上一点满足，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵由2c cos B+b cos A＝a cos（A+C），可得：2sin C cos B+sin B cos A＝﹣sin A cos B，即7sin C cos B＝﹣sin（A+B）＝﹣sin C，∵sin C≠0，∴．又∵，∴，即，两边平方可得：，解得．故选：C．二、填空题13．已知对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x10，y10），y关于x的线性回归方程为＝﹣2x+7.2，若，则＝60．【解答】解：因为＝6，因为线性回归方程＝﹣2x+5.2经过点（0.2，），所以，故＝6×10＝60．故答案为：60．14．若对任意x∈R，cos（x﹣φ）＝sin x恒成立．【解答】解：因为对任意x∈R，cos（x﹣φ）＝sin[﹣x+φ）＝sin（π﹣x）恒成立，所以﹣x+φ＝π﹣x+2kπ，可得φ＝2kπ+，所以当k＝0时，可得φ＝．故答案为：．15．已知两个非零向量，满足||＝|﹣|＝2，则在方向上的投影为1．【解答】解：由|﹣|＝2，得，又||＝|，∴，即cos＜＞＝，∴在方向上的投影为．故答案为：8．16．公元1231年，南宋著名思想家，教育家陆九渊的弟子将象山书院改建于三峰山徐岩（徐岩旧址，现为贵溪市第一中学），在A处测得仰角分别为45°，30°，又在B处测得仰角分别为60°，45°40米．【解答】解：如图，由题意可知，∠CAO＝∠DBO＝45°，△AOC，△BOD均为等腰直角三角形，OB＝OD，则AB＝CD＝40米．故答案为：40．三、解答题17．已知．（1）当k为何值时，与共线？（2）当k为何值时，与垂直？（3）当k为何值时，与的夹角为锐角？【解答】解：（1）根据题意，，则＝（k+2，＝（5，若与共线，解可得：k＝，（2）根据题意，＝（k+2，＝（5，若与垂直）•（，解可得：k＝﹣，（3）根据题意，＝（k+2，＝（5，若与的夹角为锐角）•（与不共线，即（）•（，解可得：k＞﹣且k≠．18．设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．【解答】解：（1）由题意可得＝+sin2x＝4sin8x，＝cos2x+sin6x＝1，由，可得4sin2x＝1，即sin2x＝．∵x∈[0，]，∴sin x＝．（2）∵函数＝（，sin x）•（cos x sin x cos x+sin4x＝sin2x+）+． x∈[0，]，∴4x﹣，]，∴当2x﹣＝，sin（2x﹣取得最大值为2+＝．19．公2021年初，疫情防控形势依然复杂严峻，防疫任务依然艰巨．为了引起广大市民足够重视，采取网上答题的形式，从本市10～60岁的答题的人群中随机抽取了100人进行问卷调查（1）求a的值，并求这组数据的中位数（结果保留两位小数）；（2）现从年龄在[20，40）的人中利用分层抽样抽取5人，再从5人中随机抽取3人进行问卷调查，30）的回答5道题，年龄[30，题目都不同．用X表示抽取的3人中回答题目的总个数，求当X＝13的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，（a+0.02+0.03+6.025+0.02）×10＝1；因为（7.005+0.02+0.03）×10＝2.6＞0.2，所以中位数位于[30，设中位数为x，则（0.005+0.02）×10+8.03×（x﹣30）＝0.5，故中位数为38.33；（2）因为[20，30），40）的频率之比为，按照分层抽样抽取5人，则在[20，在[30，因为从5人中随机抽取5人进行问卷调查，年龄在[20，年龄[30，所以回答题目的总个数为13个，则从[20，在[30，故概率为＝．20．已知△ABC满足____，且b＝5，B＝，并求解下列问题：（Ⅰ）sin C；（Ⅱ）求△ABC的面积．条件①tan A＝2，条件②b2+c2﹣a2＝2c，条件③3b＝c．【解答】解：（I）选①tan A＝2，A为锐角，所以cos A＝，sin A＝，sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A＝（）×＝；选②b7+c2﹣a2＝5c，由余弦定理得，cos A＝＝，故A为锐角，sin A＝，所以sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A＝（）×＝；选③3b＝c＝15，所以c＝2，b＝5，由正弦定理得，，所以sin C＝＝；（II）由（I）知cos C＝，因为c＞b，所以C＞B，故C有两解，又sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B＝，即sin A＝或sin A＝，当sin A＝时，S△ABC＝＝×＝，当sin A＝时，S△ABC＝＝×＝15．21．在游学活动中，在A处参观的第1组同学通知在B处参观的第2组同学：第1组正离开A处向A的东南方向游玩，速度约为20米/分钟．已知B在A的南偏西75°方向且相距200米（1）设第2组同学行进的方位角为θ，求cosθ．（方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）（2）求第2组同学的行进速度为多少？【解答】解：（1）假设第2组同学与第1组同学在C处汇合，如图，建立数学模型，则∠BAC＝75°+45°＝120°，AC＝20×10＝200米，∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝30°，∴θ＝75°+30°＝105°，．（2）在△ABC中，由余弦定理可得：．∴，故第8组同学的行进速度为米/分钟．22．已知函数f（x）＝sin x sin（x+）+cos2（x﹣）﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求a cos B﹣b cos C的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得f（x）＝sin x sin（x+）+cos2（x﹣）﹣sin x（sin x+cos（2x﹣）＝+sin2x+sin8x＝sin4x+，所以函数f（x）的最小正周期T＝＝π，令+5kπ≤2x≤，k∈Z+kπ≤x≤，k∈Z，故函数f（x）的单调递减区间为[+kπ，，k∈Z．（2）由（1）知f（）＝＝，解得sin B＝，因为B∈（0，），所以B＝，由正弦定理可知＝2，c＝2sin C，所以a cos B﹣b cos C＝﹣cos C＝sin A﹣）＝sin A+）＝sin A+sin A＝sin A＝cos（，在锐角△ABC中，可得＜A＜，因此，则cos（，），故a cos B﹣b cos C的取值范围为（﹣，）．。
高一数学下学期第三次学段考试试题含解析 试题
HY2021-2021学年度第二学期第三次学段考试高一数学试卷一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，满分是60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1.假设a 、b 、c 为实数，那么以下命题正确的选项是〔 〕 A. 假设a b >，那么22ac bc > B. 假设0a b <<，那么22a ab b >> C. 假设0a b <<，那么11a b < D. 假设0a b <<，那么b a a b> 【答案】B 【解析】 【分析】利用等式的性质或者特殊值法来判断各选项里面不等式的正误. 【详解】对于A 选项，假设0c ，那么22ac bc =，故A 不成立；对于B 选项，0a b <<，在不等式a b <同时乘以()0a a <，得2a ab >，另一方面在不等式a b <两边同时乘以b ，得2ab b >，22a ab b ∴>>，故B 成立；对于选项C ，在a b <两边同时除以()0ab ab >，可得11b a<，所以C 不成立； 对于选项D ，令2a =-，1b =-，那么有221a b -==-，12b a =，b aa b <，所以D 不成立. 应选：B.【点睛】此题考察不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的根本性质、特殊值法以及比拟法，在实际操作中，可结合不等式构造合理选择相应的方法进展判断，考察推理才能，属于根底题.45的直线经过(2,4)A ，(1,)B m 两点，那么m =〔 〕A. 3B. 3-C. 5D. 1-【答案】A 【解析】试题分析：∵直线经过两点(2,4)A ，(1,)B m ，∴直线AB 的斜率4421k m π-==--， 又∵直线的倾斜角为045，∴1k =，∴3m =．应选：A ． 考点：直线的斜率；直线的倾斜角．3.在△ABC 中，假设2a =，b =030A =，那么B 等于( )A. 60B. 60或者120C. 30D. 30或者150 【答案】B 【解析】试题分析：由正弦定理可得：sin 60sin sin a b B B A B =⇒=⇒=或者120． 考点：正弦定理解三角形．4.圆2260x y x +-=与圆228120x y x +++=的位置关系为〔 〕A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切【答案】A 【解析】 【分析】求得两圆的圆心坐标和半径，根据圆心距和两圆半径的关系，即可断定，得到答案. 【详解】由题意，圆2260x y x +-=的圆心坐标1(3,0)C ，半径为13r =，圆228120x y x +++=的圆心坐标2(4,0)C -，半径为22r =，那么圆心距为123(4)7C C =--=，所以1212C C r r >+， 所以两圆相离，应选A.【点睛】此题主要考察了两圆的位置关系的断定，其中解答中熟记两圆的位置关系的断定方法是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.5.假设正数,m n 满足21m n +=，那么11m n+的最小值为A. 3+B. 3+C. 2+D. 3【答案】A 【解析】 【分析】 由11112()(2)3n m m n m n m n m n+=+⋅+=++，利用根本不等式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，因为21m n +=，那么11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+，当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立，所以11m n+的最小值为3+ A.【点睛】此题主要考察了利用根本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用根本不是准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.6.数列{}n a 是递增的等比数列, 14239,8a a a a +==,那么数列{}n a 的前10项和等于( )A. 1024B. 511C. 512D. 1023【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据等比数列的性质和通项公式，求得11,2a q ==，再由前n 项和公式，即可求解.【详解】由题意，根据等比数列的性质，可得23148a a a a ==， 联立方程组141498a a a a +=⎧⎨=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，因为数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，又由33418a a q q ===，解得2q，所以数列{}n a 的前10项和等于10101(12)102312S ⨯-==-，应选D.【点睛】此题主要考察了等比数列的性质，以及等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.7.过点(2,)A m 和点(,4)B m 的直线为1l ，2:210l x y +-=，3:10l x ny ++=.假设12l l //，23l l ⊥，那么m n +的值是〔 〕A. 10-B. 2-C. 0D. 8【答案】A 【解析】 ∵l 1∥l 2，∴k AB ＝42mm -+＝－2，解得m ＝－8.又∵l 2⊥l 3，∴1n-×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.选A.8.过坐标原点O 作圆()()22341x y -+-=的两条切线，切点为,A B ，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( )A.465B.265 C. 6D.365【答案】A 【解析】 【分析】求得圆的圆心坐标和半径，借助11222AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯，即可求解. 【详解】如下图，设圆()()22341x y -+-=的圆心坐标为(3,4)M ，半径为1r =， 那么22345OM =+=,2512426OA =-==，那么11222AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯，可得2465OA MA AB OM ⨯⨯==， 应选A.【点睛】此题主要考察了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的切线方程应用，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.9.关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，那么a 的取值范围为 〔 〕A. 315a -<< B. 315a -≤≤ C. 315a -<≤或者1a =- D. 315a -<≤ 【答案】D 【解析】 【分析】分情况讨论，当210a -=时，求出满足条件的a 的值；当210a -≠时，求出满足条件的a 的取值范围，即可得出结果.【详解】当210a -=时，1a =±，假设1a =，那么原不等式可化为10-<，显然恒成立；假设1a =-，那么原不等式可化为210x -<不是恒成立，所以1a =-舍去； 当210a -≠时，因为()()221110a x a x ----<的解集为R ，所以只需()()222101410a a a ⎧-<⎪⎨=-+-<⎪⎩，解得315a -<<; 综上，a 的取值范围为：315a -<≤.应选D【点睛】此题主要考察一元二次不等式恒成立的问题，需要用分类讨论的思想来处理，属于常考题型.10.假设x ，y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为4-，那么k 的值是〔 〕A. 2B. 2-C.12D. 12-【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组20{200x y kx y y +-≥-+≥≥，所表示的平面区域，如以下图：由图可知：由于直线20kx y -+=过定点(0,2)，只需它还过点(4,0)即可，4020k ∴-+=，解得：12k =-．应选D ．考点：线性规划．【此处有视频，请去附件查看】11.直线cos 320x α+=的倾斜角范围是〔 〕A. ,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭5,26ππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦B. 50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C. 50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由题意，设直线的倾斜角为θ，根据直线方程，求得tan θ≤≤，即可求解. 【详解】由题意，设直线的倾斜角为θ直线cos 20x α++=的斜率为[33k =-，即tan θ≤≤，又由[0,)θπ∈，所以50,,66πθππ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭， 应选B.【点睛】此题主要考察了直线方程的应用，以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.12.假设直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是〔 〕A. [1-+B. [1-C. [1-D. [1,1-+【答案】C 【解析】 【分析】化简曲线得到表示以(2,3)A 为圆心，以2为半径的一个半圆，利用圆心到直线y x b =+的间隔 等于半径2，求得1b =+或者1b =-，结合图象，即可求解.【详解】如下图，曲线234y x x =--，即22(2)(3)4(13,04)x y y x -+-=≤≤≤≤， 表示以(2,3)A 为圆心，以2为半径的一个半圆， 由圆心到直线y x b =+的间隔 等于半径2，可得2322b-+=，解得122b =+或者122b =-， 结合图象可得1223b -≤≤，应选C.【点睛】此题主要考察了直线和圆的位置关系的应用，以及点到直线的间隔 公式的应用，着重考察了数形结合法，以及推理与运算才能，属于中档试题.二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分) 13.在ABC 中，假设2a =，7b c +=，1cos 4B =-，那么b =_______． 【答案】4 【解析】由题意，222212cos 4(7)22(7)4b a c ac B b b ⎛⎫=+-=+--⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭， 整理可得：1560b =，解得4b =．14.两条直线()12:200,:4210l x y a a l x y -+=>-++=，假设1l 与2l 间的间隔 75，那么a =____．【答案】3 【解析】 【分析】化直线12:4220,:4210l x y a l x y -+=--=，利用平行线之间的间隔 ，即可求解.【详解】由题意，两条直线()12:200,:4210l x y a a l x y -+=>-++=的间隔 是10，可化为直线()12:42200,:4210l x y a a l x y -+=>--=的间隔 是10，10=，又由0a >，可得3a =. 【点睛】此题主要考察了两平行线间的间隔 公式的应用，其中解答中熟记两平行线间的间隔 公式是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.15.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，假设23S =，()*11n n a S n N +=+∈，那么通项公式n a =______.【答案】12n - 【解析】 【分析】先求出12,a a ，然后由11n n a S +=+得11(2)n n a S n -=+≥，两式相减得12n n a a +=，从而由等比数列定义得数列为等比数列.【详解】∵11n n a S +=+，∴21111a S a =+=+，又2123S a a =+=，∴121,2a a ==，由11n n a S +=+得11(2)n n a S n -=+≥，两式相减得11n n n n n a a S S a +--=-=，即12n n a a +=，而212a a =，∴{}n a 是公比为2的等比数列，∴12n na .故答案为12n -.【点睛】此题考察等比数列的通项公式，解题关键是掌握数列前n 项和n S 与项n a 之间的关系，即1(2)n n n a S S n -=-≥，利用此式得出数列的递推关系，同时要注意此关系式中有2n ≥，因此要考虑数列的首项1a 与2a 的关系是否与它们一致.16.圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m (0)m >，假设圆C 上存在点P使得090APB ∠=，那么m 的最大值为__________． 【答案】6 【解析】圆C ：〔x ﹣3〕2+〔y ﹣4〕2=1的圆心C 〔3，4〕，半径r=1， 设P 〔a ，b 〕在圆C 上，那么=〔a+m ，b 〕，=〔a ﹣m ，b 〕，∵∠APB=90°，∴，∴=〔a+m 〕〔a ﹣m 〕+b 2=0，∴m 2=a 2+b 2=|OP|2，∴m 的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6． 故答案为：6．三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)17.求满足以下条件的圆的方程：(1)过三点(00),(11),(42)O A B ，，，的圆的方程； (2)圆心在直线20x y +=上且与直线10x y +-=切于点()2,1-M . 【答案】(1)()()224325x y -++=；(2) ()()22122x y -+=+. 【解析】 【分析】〔1〕设出圆的一般方程，列出方程组，求得,,D E F 的值，即可求解； 〔2〕设出圆的HY 方程，根据题设条件和圆的性质，求得,a r 的值，即可求解. 【详解】〔1〕设过三点()()()0,0,1,1,4,2O A B 的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=那么0110164420F D E F D E F =⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，解得8,6,0D E F =-==，所以圆的一般方程为22860x y x y +-+=，HY 方程为()()224325x y -++=.〔2〕由题意，圆心在直线20x y +=上，设圆的HY 方程为()()2222x a y a r -++= 又由圆直线10x y +-=切于点()2,1-M ，那么2(1)(1)12a a ---⋅-=--，解得1a =，即圆心坐标为(1,2)-，所以r ==， 所以圆的方程为()()22122x y -+=+.【点睛】此题主要考察了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的HY 方程和圆的一般方程，准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.18.在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． 〔Ⅰ〕求b ，c 的值； 〔Ⅱ〕求sin 〔B –C 〕的值．【答案】(Ⅰ) 75b c =⎧⎨=⎩；(Ⅱ【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意列出关于a ,b ,c 的方程组，求解方程组即可确定b ,c 的值；(Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得()sin B C -的值.【详解】(Ⅰ)由题意可得：2221cos 2223a c b B ac b c a ⎧+-==-⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得：375a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.(Ⅱ)由同角三角函数根本关系可得：sin 2B ==， 结合正弦定理sin sin b c B C =可得：sin sin 14c B C b == 很明显角C为锐角，故11cos 14C ==， 故()sin sin cos cos sin B C B C B C -=-=【点睛】此题主要考察余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.19.求满足以下条件的直线的方程：(1)求与直线20x y -=平行，且过点(2)3，的直线方程； (2)正方形的中心为直线220x y -+=和10x y ++=的交点，其一边所在直线的方程为350x y +-=,求其他三边的方程.【答案】(1)240x y -+=；(2) 390x y -+=，330x y --=，370x y ++=. 【解析】 【分析】〔1〕过点()23，与直线20x y -=平行，斜率得到12k =，利用点斜式方程，即可求解； 由点斜式方程，可得直线方程是()1322y x -=-，即240x y -+=； 〔2〕联立方程组，解得交点坐标为(1,0)-，分别设所求直线为30(5)x y m m ++=≠-，【详解】〔1〕过点()23，与直线20x y -=平行，即所求直线的斜率为12k =， 由点斜式方程，可得直线方程是()1322y x -=-，即240x y -+=； 〔2〕联立方程组22010x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得交点坐标为(1,0)-，设与边所在直线350x y +-=平行的边的方程为30(5)x y m m ++=≠-， 设与边所在直线350x y +-=垂直的边的方程为30x y n -+=，又由正方形的中心(1,0)-到直线350x y +-=的间隔=， 所以点(1,0)-到其它边的间隔，==，解得7,9m n ==或者3n =-，所以其它边所在的直线方程分别为370x y ++=，390x y -+=，330x y --=. 【点睛】此题主要考察了两条直线的位置关系的应用，直线方程的求解，以及点到直线的间隔 公式的应用，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.20.等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且432S =，13221S =． 〔1〕求{}n a 的通项公式n a ；〔2〕数列{}n b 满足()*1n n n b b a n N+-=∈且13b =，求1nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nT ．【答案】(1) 23n a n =+ (2) 13112212n T n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭【解析】 【分析】〔1〕根据等差数列{}n a 中432S =，13221S =，列出关于首项1a 、公差d 的方程组，解方程组可得1a 与d 的值，从而可得数列{}n a 的通项公式；〔2〕利用〔1〕，由“累加法〞可得111122n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法求和即可得结果. 【详解】〔1〕等差数列{}n a 的公差设为d ，前n 项和为n S ，且432S =，13221S =． 可得14632a d +=，11378221a d +=， 解得15a =，2d =，可得()21253n n n a +-=+=； 〔2〕由123n n n b b a n +-==+，可得()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋯+-135721(24)(2)2n n n n n =+++⋯++=+=+， 111122n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 那么前n 项和11111111111232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭13112212n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭． 【点睛】此题主要考察等差数列的求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，打破这一难点的方法是根据式子的构造特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；〔2〕1k=； 〔3〕()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；〔4〕()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或者多项的问题，导致计算结果错误.21.在锐角ABC ∆中,角A B C ，，所对的边为,a b c ，，假设,cos cos A B + ()cos 0C C -=,且1b =. (1)求角B 的值； (2)求a c +的取值范围.【答案】(1)3π；(2)2⎤⎦.【解析】 【分析】〔1〕根据三角恒等变换的公式和三角形的内角和定理，化简可得sin B B =，即可求解；()2由正弦定理得sin ,sin 33a Ab B ==，得到所以a c +2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】〔1〕由题意，因为()cos cos cos 0A B C C +=， 又由A B C π++=,那么cos cos[()]cos()A B C B C π=-+=-+，所以()()cos cos cos B C C B C =+cos cos sin sin B C B C =-,可得sin sin cos B C C B =，因为(0,)C π∈，那么sin 0C ≠，所以sin B B =，即tan B =B 为锐角，可得3B π=.〔2〕由正弦定理sin sin sin a c b A C B ===，那么,a A b B ==，所以)sin sin 3a c A C +=+=2sin sin 33A A π⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为20,,0,,,2233A C B A C ππππ⎛⎫⎛⎫∈∈==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得,62A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 可得sin 6A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦，所以2sin 26a c A π⎛⎫⎤+=+∈ ⎪⎦⎝⎭．故a c +的取值范围2⎤⎦．【点睛】此题主要考察了三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用，以及正弦定理的边角互化的应用，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题.22.等差数列{}n a 满足32421,7a a a =-=，等比数列{}n b 满足()35242b b b b +=+，且()2*22n n b b n =∈N .〔1〕求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； 〔2〕假设nn nc a b =，求{}n c 的前n 项和n S . 【答案】〔1〕21n a n =-,12n n b -=；〔2〕(23)23n n S n =-+.【解析】 【分析】〔1〕由32421,7a a a =-=，求得1,a d ，得到等差数列的通项公式，又由35242()b b b b +=+和222n n b b =，求得1,b q ，得到等比数列的通项公式；〔2〕由〔1〕，求得1(21)2n n c n -=-，利用乘公比错位相减法，即可求解数列{}n c 的前n 项和.【详解】〔1〕设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么有1122()1a d a d +=+-，137a d +=， 解得1a 1,d 2，所以21n a n =-，设11n nb b q -=，由35242()b b b b +=+，即24311112()b q b q b q b q +=+，即24322q q q q +=+，解得2q ，由222n n b b =得，21121122(2)n n b b --=， 可得11b =，所以12n n b -=.〔2〕由()1知，21nnc n b =-，所以1(21)2n n c n -=-， 那么01221123252(23)2(21)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-+-，两侧同乘公比2，可得12312123252(23)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+-，两式相减可得23112[2222](21)2n n n S n --=+++++--12(12)12(21)2(32)2312n n n n n -⨯-=+⨯--=-⋅--所以(23)23n n S n =-⋅+.【点睛】此题主要考察等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法〞求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是根底，准确计算求和是关键，易错点是在“错位〞之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考察考生的逻辑思维才能及根本计算才能等.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
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2020-2021学年高一数学下学期第三次周考试题一、选择题（每题5分，共60分） 1．AB BC AD +-= ( )A. ADB. DAC. CDD. DC2．已知三点(1,1)(1,0)(3,1)A B C AB AC --⋅，，，则等于（ ） A. 2- B. 6- C. 2 D. 3 3．0000sin20cos40cos20sin140+= A. 32-B. 32C. 12-D. 124．函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图像的一个对称中心是（ ） A. ,012π⎛⎫-⎪⎝⎭ B. ,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. ,03π⎛⎫⎪⎝⎭5．已知角α为第二象限角，,53sin =α则=α2sin （ ） A.2512- B.2512 C.2524- D.25246．若cos 3sin 0θθ-=，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 12-B. 2-C. 12D. 2 7．已知角α终边上一点P 的坐标为(),3a a （0a ≠），则cos sin sin cos αααα-+的值是（ ）A. 2B. -2C.12 D. 12- 8．若2a b a b a b +=⊥-，，则，则（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 49．设平面向量()()1,2,2,a b y ==，若//a b ，则2a b +=（ ）A. 35B. 45C. 4D. 510．tan 20tan 403tan 20tan 40++的值为（ ）A.3-B.3C.3D.3311．如图，在ABC ∆中， 13AN NC =， P 是BN 上的一点，若29AP mAB AC =+，则实数m 的值为( )A. 1B.19 C. 13D. 3 12．将函数()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x （ ）A. 为奇函数，在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递減 B. 最大值为1，图象关于直线2x π=对称C. 周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. 为偶函数，在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 二、填空题（每题5分，共20分） 13．若函数()2sin()03f x x πωω=->，的最小正周期为2π，则()3f π的值为______．14．已知3cos ,5θθ=-为第二象限角，则sin()4πθ+的值等于 ．15．已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为__________． 16．已知向量a ，b 夹角为60°，且||a ＝1，|2|a b -＝23，则||b ＝__________.三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17（10分）．已知5sin 5α=，且α是第一象限角。
（1）求cos α的值。
（2）求()()3sin 2tan cos πααππα⎛⎫- ⎪⎝⎭++-的值。
18（12分）．已知两个非零向量a 与b 不共线， 2OA a b =-， 3OB a b =+， 5OC ka b =+． （1）若20OA OB OC -+=，求k 的值； （2）若A ， B ， C 三点共线，求k 的值．19（20分）．已知||4a =，||3b =，(23)(2)61a b a b -⋅+=． （1)求a b ⋅的值； （2)求||a b +的值．20（12分）．已知20.1312)cos(,71cos παββαα<<<=-=且 （1）求α2cos 的值．（2）求βcos 的值．21．已知函数()sin(3)(0,0)f x A x A ϕϕπ=+><<在12x π=时取得最大值4．(1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的解析式； (3)若[,0]4x π∈-,求()f x 的值域.22（12分）．已知函数()sin(),(0,0,(0,))2f x A x A πωϕωϕ=+>>∈． 的部分图象如图所示，其中点P 是图象的一个最高点.（1）求函数()f x 的解析式； （2）已知(,)2παπ∈且5sin 13α=，求()2f α．参考答案1．D【解析】根据向量加法运算得AB BC AC +=，根据向量减法得AC AD -= DC故选D 2．A【解析】试题分析：由于A(1，1)、B(-1，0)、C(3,-1)三点的坐标已知，则=,=,所以有,选A 。
考点：平面向量数量积的坐标表示 3．B 【解析】()3sin20cos40cos20sin140sin20cos40cos20sin40sin 2040sin602︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=故选B 4．B【解析】因为对称中心的横坐标能够使函数值为0，所以代入检测可知，当12x π=时， 0y =，故选B. 5．C 【解析】 试题分析：α为第二象限角，所以54cos -=α,2524-54-532cos sin 22sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==ααα，故选C.考点：1.同角基本关系式；2.二倍角公式.6．A【解析】由题知1tan 3θ=，则πtan 11tan 41tan 2θθθ-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭．故本题答案选A ． 7．D【解析】由正切函数的定义可得tan 3α=，即sin 3cos αα=代入cos sin sin cos αααα-+可得2cos 14cos 2αα-=-，应选答案D 。
8．C【解析】由于两个向量垂直，根据向量加法的几何性质可知，平行四边形为矩形，对角线相等，即.9．B【解析】由题意得1220y ⨯-⨯=，解得4y =，则()24,8a b +=，所以2224845a b +=+=，故选B.10．B 【解析】 试题分析：()()tan20tan403tan20tan40tan 20401tan20tan40tan603++=+-==考点：两角和的正切点评：本题主要用到了公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-的变形11．B【解析】因为()()114m AP mAB m AN mAB AC-=+-=+ ，所以()121,499m m -==，选B. 12．B【解析】函数左移π8后得到()ππcos 2cos284g x x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故为偶函数,且在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增,最大值为1,对称轴为π2x =,故B 选项正确,选B. 13．0【解析】∵函数的最小正周期为∴，即∴∴故答案为.14．210【解析】试题分析：3cos ,5θθ=-为第二象限角，所以4sin 5θ=，42322sin()sin cos cos sin 444525210πππθθθ+=+=⨯-⨯=考点：同角三角函数关系式，两角和差公式 15．17-【解析】试题分析：根据题意，由于已知向量()()3,2,1,0a b =-=-，且向量a b λ+与2a b -垂直，那么可知1-3-12?-12=0=-7λλλ∴（，）（，），故答案为17- 考点：向量的垂直点评：向量垂直的充要条件是数量积为零，属于重要的知识点要给予关注，属于基础题。
16．4 【解析】试题分析：∵22|2|23,4a 4a b+b =12a b -=∴-⋅，即2441||cos 60||12b b -⋅⋅⋅+=，解得||4b =.考点：平面向量的数量积. 17．(1)255.(2) 32. 【解析】试题分析：（1）α是第一象限角,所以cos 0α>，所以2cos 1sin αα=-，即可得解；（2）由sin 1tan cos 2ααα==，结合诱导公式即可得解. 试题解析：(1)因为α是第一象限角,所以cos 0α>. 因为5sin 5α=.所以225cos 1sin 5αα=-=. (2)因为sin 1tan cos 2ααα==. 所以()()3sin cos 32tan tan tan 1cos cos 2παααπααπαα⎛⎫- ⎪-⎝⎭++=+=+=--. 18．（1）3-；（2）12. 【解析】试题分析：（1）由20OA OB OC -+=，结合题设已知条件，即可求出k 的值；（2）分别表示出AB 与AC ，再根据A ， B ， C 三点共线，即可求出k 的值.试题解析：（1）∵()()2223530OA OB OC a b a b ka b k a -+=---++=+=， ∴3k =-．（2）由4AB OB OA a b =-=-+， ()26AC OC OA k a b =-=-+，又A ， B ， C 三点共线，则AC AB λ=， ()264k a b a b λλ-+=-+， 2{64k λλ-=-=，，得12k = 19．（1)6-=⋅b a；（2)13=+b a .【解析】试题分析：（1) 由61)2()32=+⋅-b a b a （，得6134422=-⋅-b b a a,代入数值即可的结果；（2)模平方即可.试题解析：（1)由61)2()32=+⋅-b a b a （，得6134422=-⋅-b b a a， 又由,3,4==b a得9,1622==b a ，代入上式得6127464=-⋅-b a ，所以6-=⋅b a.（２)139)6(2162222=+-⨯+=+⋅+=+b b a a b a ，故13=+b a.考点：向量的运算.20．(1) 4947- ；(2)9132012+ 。
【解析】 试题分析：(1)1cos sin 22=+αα (1)71cos =α∴734sin =α ........................2 ∴ααα22sin cos cos2-= . (3)=4947- (4)(2) 71cos =α 1312)-cos(=βα∴734sin =α 135)sin(=-βα........6 )]([cos cos βααβ--== )sin(sin )(cos cos βααβαα-+-=135734131271⨯+⨯ ............7 =9132012+ (8)考点：本题主要考查三角函数恒等变换，三角函数求值。
点评：典型题，运用三角函数和差倍半公式，化简、求值、证明，是高考常考题型，注意角的配凑技巧，如本题中()βααβ=--。
21．(1)23π;(2)()4sin(3)4f x x π=+;(3)[4,22]-.【解析】试题分析：（1）直接利用正弦函数的周期公式，求f （x ）的最小正周期；（2）利用函数的最值求出A ，通过函数经过的特殊点，求出φ，然后求f （x ）的解析式； （3）通过[,0]4x π∈-，求出相位的范围，利用正弦函数的值域直接求f （x ）的值域．.试题解析：解：（1）322πωπ==T (2)()412f x x π=在时取得最大值,432,()122A k k Z ππϕπ∴=⨯+=+∈且2,(),0()4sin(3)444k k Z f x x πππϕπϕπϕ=+∈<<∴=∴=+即又 （3）[,0]4x π∈-时，3[,]424x πππ+∈-21sin(3)42x π-≤+≤44sin(3)224x π-≤+≤()f x 的值域为[4,22]-考点：1.由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；2.三角函数的周期性及其求法． 22．（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）5123()213f α-=. 【解析】试题分析：（1）根据图像先观察出偏离平衡的最大值为2，即是2A =,可知14个周期为1264πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，那么一个周期为π，因此2ππω=，解出2ω=，再根据当12x π=时，函数有最大值，可知22122k ππϕπ⨯+=+，即23k πϕπ=+令0k =可以求得3πϕ=；所以所求函数为()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）由(,)2παπ∈且5sin 13α=可以求得12cos 13α=-.将2α代入后有：2sin 23f απα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2sin 2sin cos 2cos sin 333πππααα⎛⎫+=⋅+⋅ ⎪⎝⎭512313-=，所以5123()213f α-=.试题解析：（1）由函数最大值为2，得2A = . 由图可得周期4[()]126T πππ=--= ， 由2ππω=，得2ω=又2,122k k Z ππωϕπ⋅+=+∈，及(0,)2πϕ∈， 得3πϕ=。