终稿一级倒立摆

目录1实验设备简介 (2)1.1倒立摆介绍 (2)1.2 研究倒立摆稳定性的意义 (3)1.3直线一级倒立摆 (3)2 倒立摆建模 (3)2.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导 (3)2.1.1受力分析 (4)2.1.2微分方程建模 (5)2.1.3传递函数建模 (6)2.1.4状态空间数学模型 (6)2.2 实际系统模型建立 (8)3系统定性、定量分析 (9)3.1系统开环阶跃响应 (9)3.2系统稳定性与可控性分析 (11)3.2.1稳定性分析 (11)3.2.2能控性分析 (12)4 设计状态观测器 (12)4.1状态空间分析 (12)4.2 极点配置的设计步骤 (13)4.3极点配置的Matlab计算 (14)4.4极点配置的simulink电路仿真 (20)4.4.1无状态反馈仿真 (20)4.4.2有状态反馈的仿真 (20)4.5极点配置的综合分析 (21)5小结 (22)1实验设备简介1.1倒立摆介绍倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。

如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂，多变量，存在严重非线性，非自制不稳定系统。

常见的倒立摆一般由小车和摆杆两部分组成，其中摆杆可能是一级，二级或多级，在复杂的倒立摆系统中，摆杆的长度和质量均可变化。

系统是由计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分组成的闭环系统。

光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈给运动控制卡。

计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车运动方向、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相小车皮带电机摆杆图1：一级倒立摆结构图滑轨图2：一级倒立摆系统组成框图应的控制量，使电机转动，通过皮带，带动小车运动，保持摆杆平衡。

1.2 研究倒立摆稳定性的意义倒立摆的研究具有重要的工程背景。

机器人行走就类似倒立摆系统从日常生活中所见到的任何重心在上、也是支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆系统的稳定控制有很大相似性，故对其稳定控制在实际中有很多用场，如海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆、化工过程控制等。

1.3直线一级倒立摆根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时,一般忽略掉系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。

倒立摆系统是典型的机电一体化系统其机械部分遵循牛顿的力学定律其电气部分遵守电磁学的基本定理.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统.小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。

2 倒立摆建模2.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导对于忽略各种摩擦参数和空气阻力之后，直线一即倒立摆抽象为小车河均质杆组成的系统本系统的参数定义如下：2.1.1受力分析下面我们对这个系统作一下受力分析。

N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

应用Newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F xM --= (2-1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：22(sin )d N m x l dt θ=+ (2-2)2cos sin N mx ml ml θθθθ=+- (2-3)把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：M小车质量（本实验为0.5kg ） m 摆杆质量(本实验为0.2kg)b 小车摩擦系数 (本实验为0.1N/m/sec) l 摆杆转动轴心到杆质心的长度(本实验为0.3m)I 摆杆惯量(本实验为0.006kg*m*m)F 加在小车上的力 x 小车位置（变量）φ 摆杆与垂直向上方向的夹角（输出） θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图3：倒立摆系统小车和摆杆的受力分析F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos )(2 （2-4）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：22(cos )d P mg m l dtθ-=- (2-5)2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+ (2-6)力矩平衡方程如下：θθθ I Nl Pl =--cos sin (2-7) 注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθs i n s i n ,c o s c o s ,-=-=+=，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：θθθcos sin )(2xml mgl ml I -=++ (2-8)2.1.2微分方程建模设φπθ+=，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）相比很小，即 1<<φ 时，则可以进行近似处理：1cos -=θ，φθ-=sin ，0)(2=dtd θ。

为了与控制理论的表达习惯相统一，即u 一般表示控制量，用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M x ml mgl ml I φφφ)(2 (2-9)2.1.3传递函数建模对方程组（2-9）进行拉普拉斯变换，得到()⎪⎩⎪⎨⎧=Φ-++=Φ-Φ+)()()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M ss mlX s mgl s s ml I (2-10) 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组（2-10）的第一个方程，可以得到)(])([)(22s sg ml ml I s X Φ-+= (2-11)()()()222s mls X s I ml s mglΦ=+- (2-12)如果令v x =，则有：()()()22s mlV s I ml s mglΦ=+- (2-13)把上式代入方程组（2-10）的第二个方程，得到)()()()()()()(22222s U s s ml s s s g mlml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++ (2-14) 整理后得到以输入力u 为输入量，以摆杆摆角φ为输出量的传递函数22432()()()()ml ss qU s b I ml M m mgl bmgl s s s sq q qΦ=+++-- (2-15) 其中 ])())([(22ml ml I m M q -++=2.1.4状态空间数学模型由现代控制理论原理可知，控制系统的状态空间方程可写成如下形式：DuCX Y Bu AX X+=+= (2-16)方程组（2-9）对φ ,x解代数方程，得到如下解： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++++++++-==++++++++++-==u Mml m M I ml Mml m M I m M mgl x Mml m M I mlb uMml m M I ml I Mml m M I gl m x Mml m M I b ml I x x x2222222222)()()()()()()()()(φφφφφ (2-17) 整理后得到系统状态空间方程：u Mml m M I ml Mml m M I ml I x x Mml m M I m M mgl Mml m M I mlbMml m M I gl m Mml m M I b ml I x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++-+++++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010φφφφ1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2-18) 由(2-9)的第一个方程为：()2I ml mgl mlx φφ+-=对于质量均匀分布的摆杆有：213I ml = 于是可以得到：2213ml ml mgl mlx φφ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭化简得到： 3344g x l lφφ=+ (2-19)设TX x x φφ⎡⎤=⎣⎦，u x '=则有：100000001000103300044x x x x u g ll φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2-20）2.2 实际系统模型建立实际系统参数如下，求系统的传递函数、状态空间方程，并进行脉冲响应和阶跃响应的Matlab 仿真。

1）摆杆角度和小车位移的传递函数()()()()018.0024.006.03.08.92.03.02.0006.03.02.022222222-=⨯⨯-⨯+⨯=-+=Φs s s s mgl s ml I mls S X s2）摆杆角度和小车加速度的传递函数()()()()018.0024.006.03.08.92.03.02.0006.03.02.022222-=⨯⨯-⨯+⨯=-+=Φs s mgl s ml I ml s V s3）摆杆角度和小车外作用力的传递函数M 小车质量 0.5kg m 摆杆质量 为0.2kg b 小车摩擦系数0.1N/m/sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度(本实验为0.3m)0.3m I 摆杆惯量 0.006kg*m*mF 加在小车上的力x 小车位置 T 采样频率0.005秒θ摆杆与垂直向下方向的夹角()()()[]0132.03.02.0-018.0006.02.05.0])())([(222=⨯++=-++=ml ml I m M q()()()()s s s s s s qbmgl s q mgl m M s qml I b s sqml s U s 45.418.31182.05.4234223242--+=-+-++=Φ 4）以外界作用力作为输入的系统状态方程： u x x x x⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡545.40818.100182.31455.0010000673.2181.000010ϕϕϕϕ1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦5）以小车加速度作为输入的系统状态方程 '5.201005.2400100000000010ux x x x⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ϕϕϕϕ 1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥'==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3系统定性、定量分析3.1系统开环阶跃响应状态空间法：状态空间法可以进行单输入多输出系统设计，在此我们将尝试同时对摆杆角度和小车位置进行控制。