1. 矢量算法

第八章 矢量算法与场论初步·张量

算法与黎曼几何初步

本章包括两个部分.

第一部分是矢量代数、矢量分析及其在场论中的应用.主要内容有：矢量的概念、矢量的算法与矢量的坐标表示；以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容.例如梯度、散度与旋度等基本概念及其计算公式和性质，以及它们在不同坐标系中的表达式；叙述了矢量的积分定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式)；引进了仿射坐标系，阐述了三维空间中的协变矢量和逆变矢量，同时把这些概念推广到n 维空间中去.

第二部分是张量代数、张量分析及其在黎曼几何中的应用.介绍了张量的概念和一些张量算法，然后以张量作为工具来阐述仿射联络空间的基本内容.例如，仿射联络、矢量和张量的平行移动，及协变微分法与自平行曲线等；并在n 维空间中引进度量的概念，来定义黎曼空间，从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络，于是有关仿射联络空间中的一些性质可以搬到黎曼空间中来.可是，因为黎曼空间是由度量定义的，所以与度量有关的一些性质在仿射联络空间中是没有的.

§1 矢量算法

一、 矢量代数

［矢量概念］ 只有大小的量称为标量(也称为数量或纯量).例如温度、时间、质量、面积、能量等都是标量.

具有大小和方向的量称为矢量(也称为向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动量等都是矢量．

在几何中的有向线段就是一个直观的矢量.通常用空间中的有向线段AB 来表示矢量.用长度AB 表示大小，用端点的顺序A →B 表示方向.A 称为始点，B 称为终点，这个矢量记作AB →

，或用黑正体字母a 表示.矢量的大小(或长度)的数值称为它的模或绝对值，用记号AB →

或|a |表示.

矢量按其效能可分成三种基本类型：

具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量.例如力偶. 沿直线作用的矢量称为滑动矢量.例如作用于刚体的力. 作用于一点的矢量称为束缚矢量.例如电场强度.

在这里所讨论的矢量，除特别说明外，都指自由矢量，就是说，所有方向相同，长度相

等的矢量，不管始点如何，都看作相同的矢量. 模等于1的矢量称为单位矢量.

模等于零的矢量称为零矢量，记作０，它是始点和终点重合的矢量. 模与矢量a 的模相等而方向相反的矢量称为a 的负矢量，记作-a .

始点与原点O 重合而终点位于一点M 的矢 量OM →

(图8.1)称为点M 的矢径(或向径)，记作 r ，原点称为极点.如果M 的直角坐标为x ，y ，z , 则有

r ＝→

OM ＝(x ，y ，z )＝x i ＋y j ＋z k 式中i ，j ，k 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向单位 矢量，称为坐标单位矢量(或基本矢量).

［矢量的基本公式］

［加法］ 若a ＝(a x ,a y ,a z )，b ＝(b x ,b y ,b z )，则

a ＋

b =( a x ＋b x ,a y ＋b y ,a z ＋b z )

把矢量的始点移到原点O ，以a ，b 为边作平行四边行，由原点作出的对角线就表示和矢量a ＋b (称为平行四边形法则，见图8.2);或者把二矢量首尾相接,由始点到终点的矢量即为和矢量a +b (称为三角形法则，见图８.3).

加法运算适合如下规律：

=

a+

+(交换律)

b

a

b

+

+)

)

+

((结合律)

(

=

b

c

a+

a

c

b

a＋０＝０＋a＝a，a＋(－a)＝０

［减法］若a＝(a x,a y,a z)，b＝(b x,b y,b z)，则

a－b＝(a x－b x，a y－b y，a z－b z)

把矢量b的负矢量与矢量a相加，得矢量a－b

(图8.4).

对任意两个矢量a和b成立三角形不等式：

|a＋b|≤|a|＋|b|

［数乘］以实数λ乘矢量a称为数乘，记作λa.当λ>０时，a的模伸缩λ倍，方向保持不变；当λ<０时，a的模伸缩|λ|倍，而方向与a相反(图8.5)，如果a=(a x,a y,a z)则

λa＝(λa x, λa y, λa z)

设λ，μ为两实数，a，b为两矢量，则数乘运算适合

下列规律：

λ(μa)＝(λμ)a (结合律)

(λ＋μ)a＝λa＋μa (分配律)

λ(a＋b)＝λa＋λb (分配律)

［矢量的分解］

1 设a，b，c为三个共面的矢量，而b和c为非共线矢量，如果把它们移到公共始点Ｏ，由矢量c的终点C作两条平行于a，b的

直线，各交a，b(或延长线)于Ｍ，Ｎ(图８.6)，则

c＝OM→+ON→= λa＋μb

这称为矢量c对a，b的分解.

2 设a，b，c为非共面矢量，而d为任一矢量，把

它们移到公共始点Ｏ，由矢量d的终点D作三个平面分别

平行于(b，c)平面，(c，a)平面和(a，b)平面，且与a，b，c(或

延长线)分别交于Ｌ，Ｍ，Ｎ(图8.7)，则

υ

d＝OL→+OM→+ON→＝λa＋μb＋c

称为矢量d对a，b，c的分解.

3 如果两个非零矢量a与b有线性关系

λa＋μb＝０

式中λ, μ不全为0，则称这两个矢量共线(即

a//b)；反之也真.称这两个矢量a，b为线性相关.

4 设a,b为两个非零矢量，若λa＋μb＝０，则有λ＝０，μ＝０，这时称a，b为线性无关.

5 若三个非零矢量a ，b ，c 有线性关系λa ＋μb ＋c υ＝０，式中λ，μ，υ不全为零，则这三个矢量共面，反之也真.这时，称a ，b ，c 为线性相关.如果a ，b ，c 为三个非零矢量，而λa ＋μb ＋c υ＝０，则有λ＝μ＝υ＝０，这时,称a ，b ，c 为线性无关.

6 四个(或四个以上)矢量a ，b ，c ，d 必有线性关系；就是说它们一定线性相关.这时，必有不全为０的四个数λ，μ，υ，ξ，成立λa ＋μb ＋c υ＋ξd ＝０.

［标量积(数量积、点积、内积)］ 设a ＝(a x , a y , a z )，b ＝(ｂx ,ｂy ,ｂz )，|a |＝a ，|b |＝b ，a ，b 两矢量的夹角为θ，则称数值ab cos θ为矢量a ，b 的标量积(也称为数量积、点积或内积).记作

a ·

b ＝ab ＝ab cos θ(０≤θ≤π)

可以看作矢量a 的长度乘以矢量b 在a 上的投影的长度(图8.8). 标量积运算适合以下的规律：

a ·

b ＝b ·a (交换律) a ·(b ＋

c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)

(λa )·(μb )＝λμa ·b (数乘的结合律)

a ·a ＝a ２＝|a |２＝a ２

若a ，b 为非零矢量，a ·b ＝０，则a ⊥b ；反之也真.

i ·i ＝j ·j ＝k ·k ＝1，i ·j ＝j ·k ＝k ·i ＝０ a ·b ＝a x b x ＋a y b y ＋a z b z (即对应坐标相乘之和)

［矢量积(叉积、外积)］ 设a ＝(a x ,a y ,a z )，b ＝(b x ,b y ,b z )，|a |＝a ，|b |＝b ，a ，b 两矢量的夹角为θ，则定义a ×b 为两矢量的矢量积(也称为叉积或外积),它是一个矢量,即长度等于以a ，b 为边的平行四边形的面积(图8.9阴影部分) |a ×b |＝ab sin θ (０≤θ≤π)

它的方向垂直于两矢量a 和b ,并且a ，b ，a ×b 构成 右手系(图8.9).

矢量积运算适合下列规律：

a ×

b ＝－b ×a (反交换律)

(a +b )×c ＝a ×c ＋b ×c (分配律，次序不能交换)

(λa )×(μb )＝λμ(a ×b )

[(λ＋μ)a ]×b ＝(λ＋μ)(a ×b )＝λ(a ×b )＋μ(a ×b )

a ×a ＝０

若a ，b 为非零矢量，则a ，b 共线(即a //b )的充分必要条件是：

a ×

b ＝０

i ×i ＝j ×j ＝k ×k ＝０，i ×j ＝k ，j ×k ＝i ，k ×i ＝j

a ×

b ＝z

y

x

z y x

b b b a a a k

j i

＝(a y b z - a z b y )i +( a z b x －a x b z )j +( a x b y －a y b x )k [两矢量的夹角]