【材料力学课件】小挠度曲线微分方程

【材料力学课件】小挠度曲线微分方程小挠度曲线微分方程

忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式

为:

(a) 式(a)表明梁轴线上任一点的曲率与该点处

横截面上的弯矩成正比，而与该截面的抗弯刚

度成反比。如图7-2所示。

而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程之间

存在下列关系:

(b) 将上式代入式(a)，得到

(c)

小挠度条件下，，式(c)可简化为:

(d)

在图7-3所示的坐标系中，正弯矩对应

着的正值(图7-3a)，负弯矩对应

着的负值(图7-3b)，故式(d)

左边的符号取正值

(7-1) 式(7-1)称为小挠度曲线微分方程，简称小挠度微分方程。显然，小挠度微分方程仅适用于线弹性范围内的平面弯曲问题。

用积分法求梁的位移

将式(7-1)分别对x 积分一次和二次，便得到梁的转角方程和挠度方程:

(a)

(b)

其中C、D为积分常数，由边界条件和连续条件确定。

对于载荷无突变的情形，梁上的弯矩可以用一个函数来描述，则式(a)和(b)中将仅有两个积分常数，由梁的边界条件(即支座对梁的挠度和转角提供的限制)确定。两种典型的边界条件如图7-4所示。

对于载荷有突变(集中力、集中力偶、分布载荷间断等)的情况，弯矩方程需要分段描述。对式(a)和(b)必须分段积分，每增加一段就多出两个积分常数。由于梁

的挠度曲线为一连续光滑曲线，在分段点处，相邻两段的挠度和转角值必须对应相等。于是每增加一段就多提供两个确定积分常数的条件，这就是连续条件。

【例7-1】悬臂梁受力如图7-5所示.求梁的转角方程和挠度方程,并确定最大转角

和最大挠度。

【解】首先建立如图所示之坐标系.因为在范围内无载荷突变,故梁全长上的弯矩方程为

(a)

挠度曲线微分方程为

(b)

将上式积分一次,得

图7-5

(c)

再积分一次,得

(d) 利用约束条件,可确定上述方程中的积分常数C、D。对于固定端截面，其转角和挠度均为零，即

将其代入方程(c)和(d)，解得

C=0, D=0

于是该梁的转角方程和挠度方程分别为

(e)

(f)

挠曲线的形状如图7-5中虚线所示。与均发生在自由端处,由式(e)、(f)求得即

即

所得的为负值,说明截面B作顺时针方向转动;为负值,说明截面B的挠度向下。

【例7-2】简支梁在左端支座处承受集中力偶作用,如图7-6所示.求梁的转角方程和挠度方程,并确定和。

【解】建立坐标系,并写出梁的弯矩方程

可以发现,它与上例中梁的弯矩方程

完全相同,因此在的范围

内,梁的挠度曲线微分方程及其积分

也必然相同.于是有

图7-6 (a)

(b)

所不同的是,二者的约束条件不同。因而,积分常数与上例也有所区别。

本例中，A、B两处分别为铰支座和辊轴支座，两处的挠度均为零，但截面的转角不为零。于是有

将其代入(a)、(b)二式，解得

,, ,,,

于是，得到梁的转角方程和挠度方程分别为

(c)

(d)

挠曲线的大致形状如图7-6中的虚线所示.

将和分别代入式(c),便得到A、B两支座处截面的转角分别为

故=,发生在A支座处。

为求最大挠度，可令,由此解得,此即最大挠度截面的位置.将其代入式(d),求得

而梁跨度中点的挠度为

比较最大挠度和跨中挠度,可以看出,两者的位置相差,而两者挠度值仅相差3%。故工程中为简化计算，常以跨中挠度代替最大挠度。

比较上面两例中的梁，不难发现，因二者的受力(弯矩)和抗弯刚度都完全相同，故它们的挠曲线形状也相同，但由于约束条件不同，二者挠曲线的最终位置便不完全相同。这是因为弯矩和抗弯刚度只决定了挠度曲线的形状，而梁的位移还要取决于梁的约束条件。约束条件对挠曲线的影响是通过积分常数体现的。

【例7-3】简支梁AB受力如图7-7所示(图中a > b)。求梁的转角方程和挠度方程，并确定挠度的最大值。

【解】梁的支座反力及所选

坐标系均示于图中。由于集中力

加在两支座之间，弯矩方程在

AC、CB两段中互不相同，所以应

分段建立挠度曲线微分方程。

图7-7 AC段

(a)

CB段

(b)

将上述(a)、(b)式积分后得

(c)

(d)

(e)

(f)

确定四个积分常数(、、、)需要四个边界条件。在支座A和B处可提供的约束条件为

(g) 在弹性范围内加载时，梁的挠曲线是一条连续光滑的曲线。因此，在AC 和CB段的分段处

，两段的挠度与转角必须对应相等，即

(h)

此即连续条件。将(g)和(h)式代入(c)、(d)、(e)、(f)各式，求得

于是梁AC和CB段的转角和挠度曲线方程分别为

(i)

(j)

(k)

(l)

为求,令(由于假设a>b,可以判断出将发生在AC段内),解得

(m)

将值代入式(k)得

由式(m)可以看出,当载荷P无限靠近支座B时,即b时,则

这说明,即使在这种极限情况下,梁最大挠度的所在位置仍与梁的中点非常接近.因此可以近似地用梁中点处的挠度来代替梁的实际最大挠度。以代入式(k),求得梁中点处的挠度为

以代替所引起的误差不超过3%。

若载荷P作用在跨度中点，即,则有

顺便指出,对式(b)积分时,没将的括号打开,而直接对积分。这样，在利用连续条件时，可以得到，，使计算过程得以简化。