样条曲线 c2连续 - 360文档中心

三次周期B样条曲线的算法

lt;1和四个控制点p0,p1,p2和p3. 设P(u)是一个三次周期B样条,满足条件: P(0) = (p0 + 4p1 + p2)/6, P(1) = (p1 + 4p2 + p3)/6, P′(0) = (p2 – p0)/2, P′(1) = (p3 – p1)/2. P(0) P(1) P′(0) P′(1) 1 0 =1/6 -3 0 4 1 0 -3 1 4 3 0 0 1 0 3 p0 p1 p2 p3
（2）的矩阵的形式：p0 = pN, pN+1 = p1.
4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 1 p1 p2 . . . pN-1 pN Q1 Q2 . . . QN-1 QN
=6
1 4 1 1 4
（3）的矩阵的形式：p0 = p1, pN+1 = pN.
6 -6 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 4 1 6 -6 p0 p1 p2 . . . pN pN+1 0 Q1 Q2 . . . QN-1 QN 0
P′(u) = 1/6(3u2 2u 1)
-1 3 -3 1 = ½ (u2 u 1) 2 -4 2 0 -1 0 1 0
P′′(u) = (u 1) -1 3 -3 1 1 -2 1 0
p0 p1 p2 p3
三次B样条的性质
• C2连续性记 Pk(u)为对应于控制点pk, pk+1,pk+2 和pk+3. Pk(1) = (pk + 4pk+1 + pk+2)/6 = Pk+1(0)，这是连续性 Pk′(1) = ½ (pk+3 – pk+1) = Pk+1′(0)，这是C1连续性 Pk′′(1) = pk+1 -2pk+2 +pk+3 = Pk+1′′(0)，这是C2连续性

基于三次B样条曲线拟合的智能车轨迹跟踪算法

D O I：10.11772/j .issn.1001-9081.2017102563
基于三次B 样条曲线拟合的智能车轨迹跟踪算法
张永华、杜煜 2' 潘峰 2, 魏岳 3 ( 1 .北京联合大学智慧城市学院，北京 100101; 2 . 北京联合大学机器人学院，北京 100101;
3 . 保定学院物理与电子工程系，河北保定 071000) ( * 通信作者电子邮箱duyu@ buu. edu. cn)
关键词：智能车；轨迹跟踪算法; 三次 B 样条曲线拟合;切向角
中图分类号：TP301.6 文献标志码:A
Intelligent vehicle path tracking algorithm based on cubic B-spline curve fltting
ZHANG Yonghua1, DU Yu2% PAN Feng2, WEI Yue3
摘要 :针对传统几何轨迹跟踪算法切向角获取依赖高精度惯导设备的问题，提出了基于三次 B 样条曲线拟合
的轨迹跟踪算法。首先，通过对先验地图中的离散轨迹点进行拟合生成平滑轨迹线；然后，根据轨迹方程通过插值法
重新生成离散路点，并计算各个路点处的切向角，从而实现了对多传感器融合轨迹的优化与跟踪。在真实的智能车实验平台上，用所提算法对20 k m /h 低速绕圈和 60 k m /h 较高速度直道两种典型场景进行了在真实道路下的跟踪测试。在低速大曲率和较高速度直道两种典型场景下，所提算法轨迹跟踪的最大横向误差均保持在0.3 m 以内。实验结果表明，该算法有效解决了传统几何轨迹跟踪算法对惯导设备依赖的问题，同时保持了较好的跟踪性能。

一种C 2连续的三次样条插值方法

其中表示步长为ｈ的ｋ阶向前差分算子．
２三次样条插值的构造
对于区间［，］的一个划分Ａ： — 。ｎ６上ａ＜
＜ …＜一６在每个节点，给定相应的函数，上
定义
次多项式
设－）区间［，］有定义，ｎ厂（在ｎ６上称
ＡＣＣｕｉｐｌｎｅＩｔｒｏａｂｃＳｉｎｅｐｌｎｔ
ＺＨＯＵｉｑａ，Ｕｏｇｙｎ。Ｚｈ — ｉｎｇＷＨｎ — ｉｇ
（ｐｒｍｅｆＭａｈｍａｉｓ１Ｄｅａｔｎｔｏｔｅｔｃ，ＨｕｉａＣｏｌｅａｈｕｌｇｅ，ｕｉａ，ｕａ８８；ＨａｈｕＨｎｎ４１００
差上界的估计．传统算法比较。开了求解方程组的困难．与避
关键词：ｅｎｔｉＢｒｓｅｎ多项式；次样条插值；致收敛三一中图分类号：７．１０１４４文献标识码：Ａ文章编号：０９１３（０７０ —０３ —０１０ — ４２２０）２０５３
值ｆ（一厂，一０１ … 川．Ｓ）２ｎｂｘ）ＪＪ，，设（ ∈Ｃ［，－］
是节点函数，则
它应该满足如下条件［］】：
Ｂ（，一ｆａｉ）／６ｎ ” （）－）厂（＋ｈｐ（（一））１
１Ｂｒｓｅｎ多项式及其性质ｅｎｔｉ
样条插值方法在优化计算中占有重要的地位．典的三次样条插值需要求解三对角方程组，经这给优化计算带来不便．以下利用三次Ｂｒｓｅｅｎｔｉｎ多项式构造一种Ｃ连续的三次样条插值，证明２并其存在唯一性与一致收敛性．该方法避开求解方

C_2连续的4次插值样条曲线

C 2连续的4次插值样条曲线韩旭里,陈仕河,王文涛(中南大学应用数学与应用软件系,湖南长沙　410083)摘要:通过引入1组新的插值样条基函数:B 0(t )=-λt +3λt 2-3λt 3+λt 4,B 1(t )=1+(2λ-1)t -3t 2+5(1-λ)t 3+(3λ-2)t 4,B 2(t )=(1-λ)t +3(1-λ)t 2+(7λ-4)t 3+(1-3λ)t 4,B 3(t )=(λ-1)t 3+(1-λ)t 4,构造了4次插值样条函数,讨论了可调参数对曲线段端点切矢的影响和曲线的拐点性质.结果表明:这些曲线是整体C 2连续的,是局部可修改和可调的.关键词:计算机辅助几何设计;曲线设计;插值样条曲线中图分类号:O241.3文献标识码:A文章编号:100529792(2001)0320328203 曲线设计是计算机辅助几何设计(C AG D )领域中的主要内容[123]],其曲线主要有B ézier 曲线、B 样条曲线以及有理B 样条曲线,这些曲线各有优点.为了解决插值问题,一些研究人员提出了不少以这些曲线为基础的解决方法[428].常用的方法有:解线性方程组反算;通过构造辅助线进行分段曲线拼接;选择一定条件下的参数使分段曲线光滑连接,等等.这些方法不具有局部可调性,且增加了计算量.为此,作者引入1组4次多项式基函数来构造1种插值样条曲线.引入的样条基函数含有1个可变参量,构造出来的插值样条曲线不但插值于所有型值点,而且具有C 2连续、局部可修改和可调的性质.1　插值样条曲线111　样条基函数定义1　设t ∈[0,1],称B 0(t )=-λt +3λt 2-3λt 3+λt 4,B 1(t )=1+(2λ-1)t -3t 2+5(1-λ)t 3+(3λ-2)t 4,B 2(t )=(1-λ)t +3(1-λ)t 2+(7λ-4)t 3+(1-3λ)t 4,B 3(t )=(λ-1)t 3+(1-λ)t 4为样条函数.因为λ可变,所以,λ取不同值时,就可得到不同的具体基函数.容易证明,基函数满足B 0(t )+B 1(t )+B 2(t )+B 3(t )≡1.112　插值样条曲线定义2　给定型值点组b i (i =0,1,…,n +1),定义曲线段P i (t )=63j =0b i +j B j (t ),　0≤t ≤1.曲线P (t )由曲线段P i (t )(0≤t ≤1,i =0,1,…,n -2)组成.定理1　曲线P (t )插值于型值点组b i (i =1,…,n ),并且P (t )∈C 2.证明　由P (t )的定义可知,P (t )由n -1段曲线组成,第i 段曲线为P i (t ).由B i (t )(i =0,1,2,3)的定义,可得:P i (0)=b i +1;P i (1)=b i +2;P i ′(0)=-λb i +(2λ-1)b i +1+(1-λ)b i +2;P i ′(1)=-λb i +1+(2λ-1)b i +2+(1-λ)b i +3;P i ″(0)=6λb i -6b i +1+6(1-λ)b i +2;P i ″(1)=6λb i +1-6b i +2+6(1-λ)b i +3.则P i (t )插值于点b i +1和b i +2.当i 由0到n -2变化时,得P (t )插值所有型值点P i (i =1,…,n ).因此,第i 段曲线P i (t )和第i +1段曲线P i +1(t )有下面的连接关系:P i (1)=P i +1(0)=b i +1,P i ′(1)=P i +1′(0),P i ″(1)=P i +1″(0).即P (t )插值所有型值点组P i (i =1,2,…,n ),并且P (t )∈C 2.证毕.显然,改变第i 个型值点b i ,至多使P i -2(t ),收稿日期:2000-08-03作者简介:韩旭里(1957-),男,湖南武冈人,中南大学教授,博士,主要从事计算数学研究.第32卷第3期2001年6月中南工业大学学报J.CE NT.S OUTH UNI V.TECH NO L.V ol.32　N o.3June 2001P i-1(t),P i(t),P i+1(t)4段曲线受到影响,故P(t)具有局部性.而P(t)中含有可变参数λ,改变λ,可改变曲线P(t)的形状,因此,上述曲线可方便地用于插值曲线设计.113　参数λ对曲线P i(t)端点切矢的影响及拐点的性质由于P i′(0)=-λb i+(2λ-1)b i+1+(1-λ)b i+2=λ(bi+1-b i)+(1-λ)(b i+2-b i+1),因此,若b i,b i+1,b i+23点共线,则点P i(0)的切线就是b i b i+2;若b i,b i+1,b i+23点不共线,则3点构成三角形,并且当0<λ<1时,P i′(0)的方向范围在由射线b i+1b i+2与b i b i+1所围成的区域内.定理2　若b i b i+1×b i+1b i+2与b i+1b i+2×b i+2b i+3反向,则曲线段P i(t)在0≤t≤1内至少有1个拐点.证明　设k i(t)(0≤t≤1)为曲线段P i(t)的曲率矢,则P i′(0)=-λb i+(2λ-1)b i+1+(1-λ)b i+2=λ(bib i+1)+(1-λ)(b i+1b i+2),P i″(0)=6λb i-6b i+1+6(1-λ)b i+2=6λb i+2b i+6b i+1b i+2,k i(0)=P i′(0)×P i″(0) |P i′(0)|3=[6λ2b i b i+1×b i+2b i+6λb i b i+1×b i+1b i+2+6λ(1-λ)b i+1b i+2×b i+2b i]/|P i′(0)|3=λ(1-λ)Δi |P i′(0)|.其中:Δi=12b i b i+1×b i+1b i+2.同理可得:k i(1)=λ(1-λ)Δi |P i′(0)|3.其中:Δi+1=12b i+1b i+2×b i+2b i+3.由于P i(t)(0≤t≤1)是曲率矢连续的,则当k i(0)・k i(1)<0时,P i(t)在0≤t≤1内至少有1个拐点.可见,k i(0)・k i(1)的正负取决于Δi・Δi+1的正负,与λ无关,不能对其进行调节.由Δi与Δi+1的定义可知,若b i b i+1×b i+1b i+2与b i+1b i+2×b i+2b i+3同向,则Δi・Δi+1为正,若反向则为负.证毕.2　闭曲线和开曲线的构造插值曲线P(t),b0和b n+1可自由选取.在此,选取b0和b n+1以得到曲线端点行为.构造以b i(i=1,…n)为型值点的插值闭曲线, b1与b n相连,令b0=b n,b n+1=b1,则曲线段P i(t)(i=0,1,…,n-1)构成闭曲线.边界点b0和b n+1不影响曲线P(t)在b1和b n 处的位置,但它们分别对曲线P(t)在b1和b n处的切矢和曲率有影响.若构造以b1和b n为端点的开曲线,则在没有特殊要求的情况下,可取b0=b1, b n+1=b n,这样,P0′(0)=(1-λ)(b2-b1),P n-2′(1)=λ(b n-b n-1).即曲线P(t)在b1和b n处的切线分别为b1b2和b n-1b n.图1～3是λ分别为011,015,019时的“人头”插图1　λ=011时的插值曲线图2　λ=015时的插值曲线图3　λ=019量的插值曲线923第3期韩旭里,等:C2连续的4次插值样条曲线值曲线.其中,圆点为插值点,b0=b1,b n+1=b n.可见:调整λ的取值,可以得到不同的图形;λ增大时,曲线逐渐光滑.参考文献:[1]　Bohmetal W.A survey of curve and surface methods in CAG D[J].CAG D,1984,(1):1260.[2]　T g oodman T N,Ong B H.Shape preserving interpolation by spacecurve[J].CAG D,1997,15:1217.[3]　施法中.计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M].北京:北京航空航天大学出版社,1994.[4]　王天军.一个反求Bézier曲面控制点的算法[J].计算机辅助几何设计与图形学学报,1992,4(3):36240.[5]　王苏勤.B2S pline曲线顶点的反算[J].工程图形学学报,1993,(2):32239.[6]　叶　林,许　虹.交互式保凸离散插值曲线[J].计算机辅助几何设计与图形学学报,1992,4(1):41246.[7]　丁有栋,华宣积.光滑曲线生成的一类保凸插值细分方法及其性质[J].计算机辅助几何设计与图形学学报,2000,12(7):4922 501.[8]　张之元,蒋方炎.空间曲线的圆弧样条插值[J].中国图象图形学报,1999,4(8):7022705.C2quartic interpolation spline curveH AN Xu2li,CHE N Shi2he,W ANG Wen2tao(Department of Applied Mathematics and Applied S oftware,Central S outh University,Changsha410083,China)Abstract:A group of new basic functions is given,i.e.,B0(t)=-λt+3λt2-3λt3+λt4,B1(t)=1+(2λ-1)t-3t2+5(1-λ)t3+(3λ-2)t4,B2(t)=(1-λ)t+3(1-λ)t2+(7λ-4)t3+(1-3λ)t4,B3(t)=(λ-1)t3+ (1-λ)t4.An interpolation spline curve by using these basic functions is defined.S ome effects of the variable parameter on the spline curvature and end point tangent are als o discussed.The results show that the interpolation spline curve is C2continuous,local m odification and can be adjusted.K ey words:C AG D;curve design;interpolant spline curve033中南工业大学学报第32卷。

有理三次三角Hermite插值样条曲线及其应用

π 2 （4），得：TH（i t）=
a
3
cos
π
2
t，a
3
sin
π
2
t
，它表示星形线，如图 5
所示，图中实线对应 t∈[0，1]，虚线对应 t∈[1，4]。
（4）令 qi=qi+1=（0，0），qi+2=（πa，0），qi+3=（0，-πa）（a≠0）及
摘要：给出一种有理三次三角 Hermite 插值样条曲线，具有三次 Hermite 插值样条相似的性质。该样条含有三角函数和形状参
2
数，利用形状参数的不同取值可以调控插值曲线的形状，甚至不用解方程组，就能使曲线达到 C 连续。此外，选择合适的控制点和形状参数，这种样条可以精确表示星形线和四叶玫瑰线等超越曲线。关键词：三次插值样条；有理三次三角插值样条；超越曲线；星形线；四叶玫瑰线 DOI：10.3778/j.issn.1002-8331.2010.05.003 文章编号：1002－8331（2010）05-0007-03 文献标识码：A 中图分类号：TP391
π 2 （2）令 qi=qi+2=（a，a），qi+1=（0，0），qi+3=
-
πa 2
，0
（a≠0），及
π 2 μi=μi+1，代入式（4），得 TH（i t）=
a cos π 2
t，a
3
cos
π
2
t
，它表示一
条三次抛物线，如图 4 所示。
图 3 椭;2=（a，0），qi+1=qi+3=（0，a）（a≠0）及 μi=μi+1，代入式
XIE Jin，TAN Jie-qing，LI Sheng-feng，et al.Rational cubic trigonometric Hermite interpolation spline curves and appli－ puter Engineering and Applications，2010，46（5）：7-9.

03PROe曲面建模做到G3连续之做到曲率连续的方法

PRO/e曲面建模G3连续（3）3在PRO/E里做到曲率连续的方法上一次介绍了曲线或曲面几种几何连续的定义和检测方法，在工业设计中做到曲率连续才能满足设计需求和对曲面的顺滑要求，这里再介绍怎样利用命令来做到曲率连续3.1 样条曲线（spline）约束曲率相等样条曲线的端点与直线或弧线相切后，可以约束曲率相等。

这个方法只能让样条曲线和直线或弧线的连接处曲率相等，约束后样条曲线只能编辑插值点的方法调整线条形状而不能用控制点。

用这种方法约束曲率相等后，再调整曲线的形状并联合曲率检测把曲线的曲率调到G3连续的状态。

a画一条样条曲线与直线相接 b约束样条曲线与直线相切，显现相切标识Tc 曲率检测接点处的曲率垂直且有高度d 约束曲率相等（先点击草绘再选取直线，然后选取样条曲线，显现曲率相接标识Ce 曲率检测连接处的曲率为0，与直线的曲率相等。

3.2 样条曲线（spline）多边形控制样条曲线在控制多边形模式时，约束控制多边形的线段做到曲率相接。

在包括端点的三个控制点成一线时，端点的曲率是0，利用直线的曲率是0，让样条曲线的与直线相接的两条控制多边形线段同直线成一条线，这样样条曲线与直线就是曲率相接了。

后面调整控制多边形的尺寸来调整曲线的形状来达到曲率连续。

a 四条线段的控制多边形样条曲线b 约束靠端点的两条多边形线段在一条直线上c 曲率检测可以看出端点的曲率是03.3 样条曲线（spline）标注端点的半径曲率就是半径的导数。

通过标注两条相接的样条曲线端点的半径，然后修改数值相等来达到曲率相等的结果。

实际应用中可能是两条样条曲线不是同时在一个草绘里，可以先检测出第一个样条曲线端点的半径，再草绘第二条样条曲线时标注端点的半径并约束等于前面测得的数。

在PRO/E里样条曲线标注端点半径的方法：注意必须是相切端点才能标示出来。

1画两条曲条相接约束相切，见下图2左键点击标注命令，再左键点击一条曲线的端点然后中键点击旁边空白处，则标注出第一条曲线的端点半径，见下图3同样方法标注出另一条曲线的端点的半径。

11分析曲面曲率

可从以下几个方面控制曲率图形：
• • •
质量 - 控制图形中的波峰密度。比例 - 控制图形中的波峰高度。图形样式 - 控制波峰的显示和连接方式。可采用平滑方式和线性方式显示和连接波峰，或只显示和连接波峰，这表示波峰之间没有直线连接。
在图 1 中，曲率图形在其中心有间隙。此曲线具有“自由”连续性。
使用前曲面作为方向的截面曲率分析与在两个方向表示曲面曲率的高斯曲率显示类似截面曲率根据参考方向每次显示一个方向的曲面曲率
分析曲面曲率
模块概述:
使用曲面特征设计产品时，曲面间的过渡扮演着重要的角色。曲面边的曲率连续性条件确定这些过渡的平滑程度。
在此模块中，您将学习如何分析曲面的曲率以及如何使用基于双向曲率的图形和着色曲率图形来确定曲面是否具有曲率连续性。此外，您将学习曲率连续曲面的创建方法。
1.
任务 1. 在零件模型中分析三种类型的曲率条件。
禁用所有“基准显示”(Datum Display) 类型。从模型树中选择 CURVE_1、CURVE_2 和 CURVE_3 以便在模型中找出它们的位置。取消选择所有几何。在功能区中，选择“分析”(Analysis) 选项卡。
1. 2. 3. 4.
请注意样条和弧的曲率并不相等，因而在曲率图形中出现了“台阶”。
• o o o
“曲率”(或 C2) 连续性在“图 3”中显示。请考虑位于以下几何区域的曲率：对于样条，曲率图形随曲率的变化而变化。第二条样条曲线在相反的方向，是使用拐点连接的。对于弧，曲率等于常数。
请注意，样条和弧的曲率现在相等，因而在曲率图形中平稳过渡。
过程设置：
1. 为避免命名冲突，建议您先保存您的工作，然后单击“文件”(File) > “关闭”(Close) 直到不显示任何模型，再单击“文件”(File) > “管理会话”(Manage Session) > “拭除未显示的”(Erase Not Displayed)。 2. 单击“文件”(File) > “管理会话”(Manage Session) > “设置工作目录”(Set Working Directory) ，然后导航到 PTCU\CreoParametric1\Analysis\Curvature_Curve 文件夹并单击“确定”(OK) 3. 单击“文件”(File) > “打开”(Open) 然后双击 CURVATURE_CURVE.PRT。

带形状参数的C~2连续类三次三角样条曲线

１引言
在计算机辅助几何设计（ＡＤ）Ｂ样条曲线ＣＧ中，由于能简洁完美地表示自由曲线而受到广泛的应用。但Ｂ样条曲线也存在不足，一方面，当给定控制顶点时，Ｂ样条曲线的形状无法调整；另一方面，样Ｂ条曲线无法精确表示工业设计中经常遇到的圆、椭圆、抛物线等二次曲线。作为Ｂ样条曲线的发展，ＮＲＳＵＢ曲线虽然能满足形状调整及表示某些圆锥曲线的要求，ＮＲ的每个控制顶点都需要一个权但ＵＢＳ因子，在定义曲线曲面时需要较多的存储空间，而且其权因子与参数化问题至今仍未完全解决。另外，由于ＮＲ方法采用有理形式表示曲线曲面，ＵＢＳ因此
ＢｓｌｅｃｒｅａｄｔｅｓａｅｃｎｂｄｕｔｄｂｓｇｔｅｓａｅａａｔｒｈｎｔｅｃｎｒｌｏｎｓｒｘｄＦｒ —ｐｉｕｖ，ｎｈｐａｅａｊｓｙｕｉｈｐｒｍｅｅｏｔｉｔａｅｆｅ．ｕ。ｎｈｅｎｈｐｅｗｈｏｐｉ
Ｋｅｏｄｙｗｒｓ：ｔｉｏｍｅｒｃｆｃｉｎｓｓｉｕｒ；ｈｐｒｍｅｅｒｇｎｏｔｉｕｎｔｏ；ｐｌｎｅｃｖｅｓａｅｐａａｔｒ
摘
要：传统的三次均匀Ｂ样条曲线在给定控制顶点时其形状不能调整，以及不能精确表示圆锥曲线。针对三次
均匀Ｂ样条曲线的不足，出了一种带形状参数的ｃ连续的类三次三角样条曲线。该曲线不仅与三次均匀Ｂ提０样条曲线具有相似的性质，而且在控制顶点保持不变时其形状可通过形状参数的取值进行调整。在适当条件下，类
三次三角样条曲线比三次均匀Ｂ样条曲线更能逼近于控制多边形，且能精确表示圆、椭圆、抛物线等圆锥曲线。关键词：角函数；条曲线；三样形状参数文章编号：０２８３（０２３ —２１４文献标识码：１０．３１２１）０００．０Ａ中图分类号：Ｐ９Ｔ３１

样条曲线c1连续

样条曲线c1连续样条曲线是一种平滑的曲线，常被用于数学和计算机图形学中。

它通过定义一系列控制点，并在这些点之间插值得到一条平滑的曲线。

样条曲线的一大特点是C1连续性，即在控制点之间，两段曲线的一阶导数相等。

在本文中，我们将讨论样条曲线的定义、性质以及应用。

首先，我们来了解一下样条曲线的定义。

在数学上，样条曲线是通过控制点和插值条件来定义的。

假设我们有n个控制点P0, P1, ..., Pn-1，样条曲线将通过这些控制点，并在它们之间插值。

在样条曲线中，我们使用多项式函数来描述曲线的形状。

对于每个小段曲线，我们使用一个多项式函数来描述该段曲线的形状。

这些多项式函数被称为基函数，通常使用B样条基函数或贝塞尔基函数。

为了保证C1连续性，我们需要在相邻的小段曲线之间进行额外的调整。

具体来说，我们需要保证相邻两个小段曲线在连接点处的一阶导数相等。

这可以通过要求相邻两个小段曲线的一阶导数多项式函数在连接点处取相同的值来实现。

样条曲线的C1连续性使得它在计算机图形学中具有广泛的应用。

例如，在三维建模中，我们可以使用样条曲线来定义复杂曲面的边界。

通过定义曲面的边界上的样条曲线，然后再通过插值来填充曲面内部的点，我们可以得到一个平滑的曲面。

此外，样条曲线还可以用于图像处理和计算机动画中。

在图像处理中，我们可以使用样条曲线来插值和平滑图像中的像素值，以达到图像增强和去噪的目的。

在计算机动画中，我们可以使用样条曲线来定义物体的运动路径，以实现流畅的动画效果。

总结起来，样条曲线是一种通过插值控制点来定义的平滑曲线。

它的一大特点是C1连续性，即在控制点之间，两段曲线的一阶导数相等。

样条曲线在数学和计算机图形学中具有广泛的应用，如三维建模、图像处理和计算机动画等领域。

通过使用样条曲线，我们可以得到平滑的曲线和曲面，实现各种各样的效果。

局部构造C2连续的三次B样条插值曲线和双三次插值曲面

局部构造C2连续的三次B样条插值曲线和双三次插值曲面冯仁忠;查理
【期刊名称】《图学学报》
【年(卷),期】2005(026)006
【摘要】为了避免一般的局部插值算法生成的B样条曲线和曲面在段点处达不到理想的连续性以及出现多重内节点的问题,一种局部构造C2连续的三次B样条插值曲线和双三次插值曲面的方法被介绍.该方法借助节点插入算法逐步地迭代出样条控制顶点,其思想简单、几何直观、算法速度快,在曲线中夹直线段、尖点以及在曲面中夹棱边和平面都能比较容易实现.生成的曲线光滑度高、无重节点.文章最后还利用这种构造方法给出了一种在指定范围内按规定变形曲线的方法.
【总页数】8页(P110-117)
【作者】冯仁忠;查理
【作者单位】北京航空航天大学理学院数学系,教育部数学与信息行为重点实验室,北京,100083;北京航空航天大学理学院数学系,教育部数学与信息行为重点实验室,北京,100083
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.C2有理插值样条曲线曲面 [J], 方逵;朱国庆
2.常见NURBS曲面上的C2曲线插值法 [J], 孙越泓
3.C2连续奇异混合插值曲面 [J], 杜炜
4.一类C2连续的单位四元数插值样条曲线 [J], 邢燕;樊文;檀结庆;许任政
5.四点插值细分算法极限曲线曲面C2连续的充分必要条件 [J], 曹沅
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三次周期B样条曲线的算法

（2）的矩阵的形式：p0 = pN, pN+1 = p1.
4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 1 p1 p2 . . . pN-1 pN Q1 Q2 . . . QN-1 QN
=6
1 4 1 1 4
（3）的矩阵的形式：p0 = p1, pN+1 = pN.
6 -6 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 4 1 6 -6 p0 p1 p2 . . . pN pN+1 0 Q1 Q2 . . . QN-1 QN 0
=6
P′(u) = 1/6(3u2 2u 1)
-1 3 -3 1 = ½ (u2 u 1) 2 -4 2 0 1 3 -3 1 1 -2 1 0
p0 p1 p2 p3
三次B样条的性质
• C2连续性记 Pk(u)为对应于控制点pk, pk+1,pk+2 和pk+3. Pk(1) = (pk + 4pk+1 + pk+2)/6 = Pk+1(0)，这是连续性 Pk′(1) = ½ (pk+3 – pk+1) = Pk+1′(0)，这是C1连续性 Pk′′(1) = pk+1 -2pk+2 +pk+3 = Pk+1′′(0)，这是C2连续性
上述假设条件的意义是：是P(0), 是P(1)， p2p0平行于P′(0)， p3p1平行于P′(1)。 p2 p1
(p0+p2)/2
p3
p0 p4 2/3p1 + 1/3(p0+p2)/2 =(p0+4p1+p2)/6 = P(0)
假设P(u) = (u3 u2 u 1)MB(p0 p1 p2 p3)T，MB是变换矩阵。那么，P′(u) = (3u2 2u 1 0)MB(p0 p1 p2 p3)T 把u = 0，1分别代入上式，并利用前面的条件，得到 1 0 -3 0 4 1 0 -3 1 4 3 0 0 1 0 3 0 1 0 3 0 1 0 2 0 1 1 1 p0 p1 p2 p3 1 1 0 0 0 1 0 3 1 0 -3 0 0 1 0 2 4 1 0 -3 0 1 1 1 1 4 3 0 1 1 0 0 0 1 0 3 p0 p1 p2 p3

产品中曲面连续形态的语义解读

产品中曲面连续形态的语义解读作者：谭永胜来源：《艺海》2011年第06期摘要：曲面连续常用于工程机械领域或计算机辅助设计之中，用于描述曲面之间的过渡行为。

本文根据自然和人造物中的曲面连续形态给人的视觉刺激，试图从语义学的角度，从其纯粹抽象的形态中寻找出其形态语义。

关键词：形态曲面连续语义产品的形态是由“面”构成的，面可以说是视觉上最有效的媒介物。

造型物各面或各形体的组合形成一个完整的产品，相互连接的曲面之间过渡的光滑程度称为曲面的连续性，这种连续可以是从一个面到另一个面的直接转换，也可以依赖第三个面将两个独立的面进行连接，前者转换鲜明、轮廓清晰、线脚尖锐，后者连续、平滑而无尖角、将原本两个互不相关的曲面进行了统一。

无论是对于设计师还是工程师，曲面之间的连续性都是必须考量的因素，设计师考虑的是美感，而工程师更关心生产的可行性和成本因素。

美感通常是直观感性的，常常建立在非语言方式能表达的经验基础之上，激发的是人们的情感属性，感性因素决定了设计不能很好地被衡量。

相反，工程师的工作可以很好地被量化验证，在富有逻辑实证的工程师面前，设计师往往被打上主观的烙印，而失去造型的主动权。

本文试着通过解读曲面连续形态的语义，将各种曲面连续形态的语义特征化，这样设计师可以更好地表达出形态中曲面连续的情感属性，为设计出的曲面连续形态提供具有说服力的依据。

一、形态是产品语义的表达产品的“形”是指产品的物质形体，“态”则指产品可感觉的外观情状和神态。

现代主义设计理论以“形式服从功能”为核心，发展至今，设计已不单纯满足于符合实用功能的基本要求，而且要能够在此基础上发展审美功能和认知功能，力图以形态语言的形式传达象征和指示意义。

产品语义学研究人造物在使用环境中的象征特性，并将其知识应用于设计中，认为产品不仅要具备物理机能，还需指示产品如何使用、具有隐喻价值、并构成人们生活其中的象征环境。

由此可见，形态作为产品最直观具体的形象，应该表达出产品的语义。

关于C1,C2,G1,G2连续的问题

关于C1,C2,G1,G2连续的问题来自shaorachel的百度空间，谢谢她的解答设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题。

曲线间连接的光滑度的度量有两种：一种是函数的可微性，把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，这类光滑度称之为C n或n阶参数连续性。

另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满足不同于C n的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性，简记为G n。

曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾，C n连续包含在G n连续之中。

下面我们来讨论两条曲线的若要求在结合处达到G0连续或C0连续，即两曲线在结合处位置连续：P(1)=Q(0) (3.1.6)若要求在结合处达到G1连续，就是说两条曲线在结合处在满足G0连续的条件下，并有公共的切矢：当a=1时，G1连续就成为C1连续。

若要求在结合处达到G2连续，就是说两条曲线在结合处在满足G1连续的条件下，并有公共的曲率矢：代入(3.1.7)得：这个关系式为：图3.1.7 两条曲线的连续性我们已经看到，C1连续保证G1连续，C2连续能保证G2连续，但反过来不行。

也就是说C n连续的条件比G n连续的条件要苛刻。

曲线光顺度量C0、C1、C2和G0、G1、G2的定义和区别来自尧起纳海的新浪微博，同样感谢曲线的光顺有两种不同的度量：一种是多年沿用的函数曲线的可微性，组合参数曲线在连接处具有直到n阶的连续导矢，这类光顺性称之为Cn或n阶参数连续性（parametric continuity）；另一种称为几何连续性（geometric continuity）,组合曲线在连接处满足不同于Cn的某一组约束条件称之为具有n阶的几何连续性，简称为Gn。

由定义可知，参数连续性是与所取参数有关，而事实上，当样条曲线的控制顶点给定后，曲线的形状就完全确定下来了（如果是NUBRS，还要可以调整权值），随之，曲线连接的光顺性也就完全确定，它是与所取参数无关。

带有给定切线多边形的C2和C3 Bézier闭样条曲线

带有给定切线多边形的C2和C3 Bézier闭样条曲线
方逵;蔡放;谭建荣
【期刊名称】《计算机辅助设计与图形学学报》
【年(卷),期】2000(012)005
【摘要】讨论与给定切线多边形相切的分段四次和五次Bézier曲线,所构造的曲线是C2和C3连续的,且对切线多边形是保形的.曲线上的所有Bézier曲线段的控制顶点由切线多边形的顶点直接计算产生.最后实例表明,本文的方法是有效的.
【总页数】3页(P330-332)
【作者】方逵;蔡放;谭建荣
【作者单位】长沙大学数学与计算机科学系,长沙,410003;湖南师范大学理学院,长沙,410000;长沙大学数学与计算机科学系,长沙,410003;浙江大学CAD & CG国家重点实验室,杭州,310027
【正文语种】中文
【中图分类】O241.3
【相关文献】
1.与给定切线多边形相切的扩展的四次Bézier闭曲线 [J], 王成伟
2.与给定多边形相切的C3 Bézier可调闭样条曲线 [J], 刘植
3.带有给定切线多边形的G2连续Bézier闭曲线 [J], 王成伟
4.带有给定切线多边形的C2连续的C-B样条曲线 [J], 王成伟
5.与给定切线多边形相切的3次Bézier样条曲线 [J], 文锦
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三次曲线插值及其性质

三次曲线插值及其性质
李胜军;蒋大为
【期刊名称】《航空计算技术》
【年(卷),期】2001(031)004
【摘要】给出了三次曲线插值的一种方法,即在已知两点及相应切线与弦线夹角的情况下,给出求满足插值条件的唯一的三次曲线的算法.利用本文的方法就可以构造连续三次样条曲线.另外本文中还分析了其性质,给出了曲率公式、等距线的表达式,并给出了具体的实例.
【总页数】4页(P13-15,27)
【作者】李胜军;蒋大为
【作者单位】西北工业大学数学与信息科学系,陕西,西安,710072;西北工业大学数学与信息科学系,陕西,西安,710072
【正文语种】中文
【中图分类】O241.3
【相关文献】
1.局部构造C2连续的三次B样条插值曲线和双三次插值曲面 [J], 冯仁忠;查理
2.一种基于三次样条曲线的目标航迹拟合与插值方法研究 [J], 范云锋;刘博;郑益凯
3.三点插值的三次PH曲线构造方法 [J], 方林聪; 李毓君
4.基于三次样条曲线插值的压力传感器温度补偿研究 [J], 王文博;马琳;王永鹏;杨熠
5.带两个形状参数的三次TC-Bézier插值曲线 [J], 王成伟;张永明
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B-样条曲线：修改节点

1：B-样条曲线：移动控制点移动控制点是改变B-样条曲线形状的最明显的方法。

在前面页讨论的局部修改方案说明了修改控制点Pi 的位置仅影响在区间[ui, ui+p+1)上的曲线C(u) 。

其中p 是B-样条曲线的次数。

实际上，形状的改变是在控制点被移动方向上的t平移。

更准确地，如果控制点Pi向某个方向移动到一个新位置Qi ，那么点C(u)，其中u 在[ui, ui+p+1)上，会以相同方向从Pi 移动到Qi。

但是，移动的距离点与点之间是不同的。

下图中，控制点P4 从左图位置移到中图新位置最后到右图最终位置。

可看到那些对应节点的点（小三角标记）也以相同方向移动。

让我们看些细节。

假设C(u) 是一个给定的p 次B-样条曲线定义如下：设控制点Pi 被移动到一个新位置Pi + v. 。

那么，新p 次B-样条曲线D(u)如下：因此，新曲线D(u)是简单的原始曲线C(u)的和以及一个平移向量Ni,p(u)v。

因为Ni,p(u)在区间[ui,ui+p+1)上非零，如果u 不在该区间，这个“平移”项为零。

因此，移动一个控制点仅影响给定曲线部分形状。

下面左曲线是个由13个控制点control points (即，n = 12)和18个节点(即，m = 17)定义的4次(即，p = 4)B-样条曲线。

这些18个节点都是简单的并定义了一个clamped曲线(即，u0 = u1 = u2 = u3 = u4 = 0 和u13 = u14 = u15 = u16 = u17 = 1)。

剩余的节点定义了9个节现在让我们移动P6。

结果显示在上面右图。

如你们所看到的，曲线以同样方向移动。

P6 的系数是N6,4(u), 其在[u6, u11)上非零。

因此，移动P6 影响曲线段3, 4, 5, 6 和7。

曲线段1, 2, 8和9不受影响。

来自强凸包性质的有用结果回忆强凸包性质，如果u位于[ui,ui+1)，那么C(u) 位于由控制点Pi, Pi-1, ..., Pi-p+1, Pi-p定义的凸包内。

sw样条曲线方程

sw样条曲线方程SW（S-shaped）曲线是一种典型的曲线形状，其特点是两端呈S形，中间呈C形。

SW样条曲线是一种通过一些离散的数据点来描绘连续曲线的技术。

在工程项目和制造业中，该技术可用于设计和制造诸如机器人、机械和运动控制系统等复杂产品。

SW样条曲线方程的求解过程中，需要注意以下两个关键点：第一，根据数据点的数量和位置，选择适当的样条阶数。

样条阶数决定了曲线的自由度，从而影响了拟合曲线的精度和模型复杂度。

通常情况下，二次（二次B样条）和三次（三次B样条）样条阶数用的最多。

第二，对于SW样条曲线方程，需要确定（1）样条节点的位置，（2）每个样条区间的系数，（3）每个样条节点处的曲率。

经过上述过程，就可以得到SW样条曲线方程了。

下面，我们以三次样条为例，给出该曲线的数学表达式。

首先，将样条曲线的自由度设置为m个，在该曲线的n个节点处进行插值。

由于曲线具有C2连续性，因此每个节点处需要满足以下两个条件：1. 在节点处，曲线的值必须与数据点的值相等。

2. 在节点处，曲线的一阶导数值必须与数据点的一阶导数相等。

因此，对于每个样条区间i，其插值函数可表示为如下的三次多项式：S(x) = ai + bi(x - xi) + ci(x - xi)^2 + di(x - xi)^3其中，ai, bi, ci和di是样条区间i的系数，xi是该区间的起点。

显然，在每个样条节点处，我们需要满足以下四个条件：1. S(xi) = yi2. S(xi+1) = yi+13. S'(xi) = S'(xi + 1)4. S''(xi) = S''(xi + 1)通过化简上述四个方程，可以得到所有未知系数的值。

然后将每个样条区间的S(x)函数连接起来，即可得到整个SW样条曲线的方程。

综上所述，SW样条曲线方程的求解过程较为复杂，但通过选择适当的样条阶数和插值节点，可以得到较高的拟合精度和曲线光滑性。

B样条曲线C2连续混合

B样条曲线C2连续混合
神会存;周来水
【期刊名称】《中国机械工程》
【年(卷),期】2005(016)018
【摘要】提出了一种新的B样条曲线混合方法.混合曲线是一条整体三次B样条曲线.裁剪后原曲线上的数据点、两个裁剪点、新增数据点以及中间连接点组成数据点列,混合曲线即插值于该数据点列.通过插入新增数据点,使混合曲线上两个裁剪点外侧附近的形状与原曲线完全匹配.混合曲线上两个裁剪点之间的中间部分的形状与光顺性可通过调节两个参数值加以控制.
【总页数】4页(P1658-1661)
【作者】神会存;周来水
【作者单位】南京航空航天大学,南京,210016;中原工学院,郑州,450007;南京航空航天大学,南京,210016
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.1
【相关文献】
1.任意四边形网格上G1/C2连续B样条曲面的构造 [J], 蒋跃华;李根;陈志杨;张三元;叶修梓
2.局部构造C2连续的三次B样条插值曲线和双三次插值曲面 [J], 冯仁忠;查理
3.带有给定切线多边形的C2连续的C-B样条曲线 [J], 王成伟
4.C2连续的C-B样条保形插值曲线 [J], 苏本跃;盛敏
5.与给定多边形相切的C2连续三角B样条可调曲线及其在造型中的应用 [J], 王成伟;张卷美
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带形状参数的C2连续类三次三角样条曲线

带形状参数的C2连续类三次三角样条曲线李军成;杨炼【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2012(048)030【摘要】传统的三次均匀B样条曲线在给定控制顶点时其形状不能调整,以及不能精确表示圆锥曲线.针对三次均匀B样条曲线的不足,提出了一种带形状参数的C2连续的类三次三角样条曲线.该曲线不仅与三次均匀B样条曲线具有相似的性质,而且在控制顶点保持不变时其形状可通过形状参数的取值进行调整.在适当条件下,类三次三角样条曲线比三次均匀B样条曲线更能逼近于控制多边形,且能精确表示圆、椭圆、抛物线等圆锥曲线.%The shape of the normal cubic uniform B-spline is fixed when the control points are given. And the cubic uniform B-splinecan not describe the quadratic curves accurately. For these reasons, a kind of C2 "continuous quasi-cubic trigonometric spline curve is presented. The curve inherits the major advantages of the cubic uniform B-spline curve, and the shape can be adjusted by using the shape parameter when the control points are fixed. Furthermore, in proper conditions, the curve approximates to the control polygon closer than cubic uniform B-spline, and the curves can also be used to precisely represent quadratic curves, such as circular, ellipse, parabola arcs.【总页数】5页(P201-204,215)【作者】李军成;杨炼【作者单位】湖南人文科技学院数学系,湖南娄底417000;湖南人文科技学院数学系,湖南娄底417000【正文语种】中文【中图分类】TP391【相关文献】1.可调控C2连续三次三角多项式样条曲线 [J], 陈晓彦;刘植;汪春华2.带形状参数的类三次代数三角Hermite参数样条曲线 [J], 刘成志;李军成3.带形状参数的三次三角Hermite插值样条曲线 [J], 李军成;钟月娥;谢淳4.一类带形状参数的三次均匀B样条曲线 [J], 张硕5.带多个形状参数的三次三角多项式样条曲线 [J], 余俊因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。