数值计算方法主要知识点

数值计算方法主要知识点

数值计算方法是数学中的一门基础课程，主要研究数值计算的理论、

方法和算法。它是现代科学和工程技术领域中不可或缺的重要工具，广泛

应用于数值模拟、优化计算、数据处理等诸多领域。下面是数值计算方法

的主要知识点（第一部分）。

1.近似数与误差：

数值计算的基本问题是将无法精确计算的数值通过近似计算来求得。

近似数即为真实数的近似值，其与真实值之间的差称为误差。误差可以分

为绝对误差和相对误差。绝对误差为真实值与近似值之差的绝对值，相对

误差为绝对误差与真实值的比值。通过控制误差可以评估数值计算结果的

准确性。

2.插值与多项式：

插值是指通过已知离散点构造一个函数，并在给定点处对其进行近似

计算。插值函数通常采用多项式拟合，即通过已知点构造一个多项式函数，并利用此函数进行近似计算。主要的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值

和埃尔米特插值等。

3.数值微分与数值积分：

数值微分主要研究如何通过数值方法去近似计算函数的导数。常用的

数值微分方法有差商、中心差商和插值微分等。数值积分则是研究如何通

过数值方法去近似计算函数的定积分。常用的数值积分方法有矩形法、梯

形法和辛普森法等。

4.非线性方程的数值解法：

非线性方程的数值解法是指通过数值方法求解形如f(x)=0的方程。

常用的非线性方程数值解法有二分法、牛顿法和二次插值法等。这些方法

基于一些基本原理和定理，通过迭代的方式逐步逼近方程的根即可求得方

程的近似解。

5.线性方程组的数值解法：

线性方程组的数值解法是指通过数值方法求解形如Ax=b的线性方程组。其中，A是一个已知的系数矩阵，b是一个已知的常数向量，x是未

知的解向量。常用的线性方程组数值解法有高斯消元法、追赶法和LU分

解法等。这些方法通过一系列的变换和迭代来求解线性方程组的解。

6.插值型和积分型数值方法：

数值计算方法可以分为插值型和积分型两类。插值型数值方法是通过

插值的方式进行近似计算，如插值法和数值微分。而积分型数值方法是通

过数值积分的方式进行近似计算，如数值积分和微分方程的数值解法。这

两类方法在实际问题中有不同的应用领域和特点。

以上是数值计算方法的主要知识点的第一部分，涵盖了近似数与误差、插值与多项式、数值微分与数值积分、非线性方程的数值解法、线性方程

组的数值解法以及插值型和积分型数值方法等内容。掌握这些知识点对于

理解和应用数值计算方法具有重要的意义。