最优控制课后习题答案

最优控制课后习题答案
最优控制课后习题答案
最优控制是现代控制理论中的重要分支，它研究如何在给定约束条件下，使系
统的性能指标达到最优。

在最优控制的学习过程中，课后习题是巩固理论知识、培养解决问题能力的重要环节。

本文将为大家提供一些最优控制课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 线性二次型最优控制问题
考虑一个线性时不变系统，其状态方程和性能指标分别为：
$$
\begin{align*}
\dot{x}(t) &= Ax(t) + Bu(t) \\
J(u) &= \int_{0}^{T} (x^T(t)Qx(t) + u^T(t)Ru(t))dt
\end{align*}
$$
其中，$x(t)$为系统的状态向量，$u(t)$为控制输入向量，$A$和$B$为系统矩阵，$Q$和$R$为正定矩阵，$T$为最优控制的时间段。

求解该问题的最优控制输入$u^*(t)$。

答案：根据最优控制的原理，最优控制输入$u^*(t)$满足以下的最优性条件：$$
\begin{align*}
\frac{\partial J}{\partial u}(u^*(t)) &= 2R u^*(t) + 2B^T P(t)x(t) = 0 \\
\dot{P}(t) &= -PA - A^T P - Q + PBR^{-1}B^T P
\end{align*}
$$
其中，$P(t)$为状态向量的共轭变量矩阵。

通过求解上述的代数方程和微分方程，可以得到最优控制输入$u^*(t)$和状态向量的共轭变量矩阵$P(t)$。

2. 非线性最优控制问题
考虑一个非线性系统，其状态方程和性能指标分别为：
$$
\begin{align*}
\dot{x}(t) &= f(x(t), u(t)) \\
J(u) &= \int_{0}^{T} g(x(t), u(t)) dt
\end{align*}
$$
其中，$f(x(t), u(t))$为非线性函数，$g(x(t), u(t))$为性能指标函数。

求解该问题
的最优控制输入$u^*(t)$。

答案：对于非线性系统的最优控制问题，通常采用动态规划的方法进行求解。

首先，通过构建哈密顿函数：
$$
H(x(t), u(t), \lambda(t)) = g(x(t), u(t)) + \lambda^T(t) f(x(t), u(t))
$$
其中，$\lambda(t)$为状态向量的共轭变量。

然后，根据最优性条件：
$$
\frac{\partial H}{\partial u}(x^*(t), u^*(t), \lambda^*(t)) = 0
$$
可以得到最优控制输入$u^*(t)$。

接下来，根据状态方程和共轭变量的微分方程：$$
\begin{align*}
\dot{x}(t) &= f(x(t), u^*(t)) \\
\dot{\lambda}(t) &= -\frac{\partial H}{\partial x}(x^*(t), u^*(t), \lambda^*(t))
\end{align*}
$$
可以求解状态向量的轨迹$x^*(t)$和共轭变量的轨迹$\lambda^*(t)$。

最优控制是一门复杂而又有深度的学科，通过课后习题的解答，可以更好地理
解和应用最优控制的理论知识。

希望本文提供的最优控制课后习题答案能够对
大家的学习和探索有所启发，帮助大家更好地掌握最优控制的方法和技巧。