一线三等角优秀课件
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精品一线三等角相似模型.ppt课件
• （3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？求此时x的 值．
如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不 与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；
（1）求证：△ABP∽△PCM； （2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出函数的取值范
A型
基本 8型 图形
K型
一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三 个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形， 这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
三角形基架
K型 矩形基架
梯形基架
毕达哥拉斯证法
赵爽弦图
K字型的一般形式
你能证明吗？
证明： 在ABC中 1 A ACB 180 又 2 DCE ACB 180
1 2 3 A DCE △ABC∽△CDE
1、如图，等边△ABC的边长为3
，点D是BC上一点，且BD=1，在
AC上取点E，使∠ADE=60度，AE
长为（ c ）
A. 3 B. 2
2
3
C.
7 3
D. 3
4
2.在矩形ABCD中,AB=4，BC=5，AF平 分∠DAE,EF⊥AE，
1.5 则CF= ______
∴ PM PC 5 PA AB 8
即
8x 5 58
39
∴BP= 8
A M
B
P
C
A
M
BP
CA MBPC5
• ∴BE= 3
【2014德州中考试题】 24．（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的 直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在，说明理由．
（2016呼市T9）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一
如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不 与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；
（1）求证：△ABP∽△PCM； （2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出函数的取值范
A型
基本 8型 图形
K型
一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三 个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形， 这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
三角形基架
K型 矩形基架
梯形基架
毕达哥拉斯证法
赵爽弦图
K字型的一般形式
你能证明吗？
证明： 在ABC中 1 A ACB 180 又 2 DCE ACB 180
1 2 3 A DCE △ABC∽△CDE
1、如图，等边△ABC的边长为3
，点D是BC上一点，且BD=1，在
AC上取点E，使∠ADE=60度，AE
长为（ c ）
A. 3 B. 2
2
3
C.
7 3
D. 3
4
2.在矩形ABCD中,AB=4，BC=5，AF平 分∠DAE,EF⊥AE，
1.5 则CF= ______
∴ PM PC 5 PA AB 8
即
8x 5 58
39
∴BP= 8
A M
B
P
C
A
M
BP
CA MBPC5
• ∴BE= 3
【2014德州中考试题】 24．（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的 直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在，说明理由．
（2016呼市T9）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一
相似三角形基本模型一线三等角精品PPT课件
△ABE∽ △ECF ∽ △AEF
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
A
△ABE∽ △ECF
F
（（2）1）点点E为E为BBCC上上任任意意一一点点若，∠若B= ∠∠CB==α,∠∠CA=E6F0°= ∠, ∠CA,则EF△=A∠BCE,则与△ EC△FA的B关E与系△还成EC立F吗的？关系还成立吗？
说明理由
B
α
α
B
E
α
C
点拨：要善于运用类比、迁移的数学方法 解决问题。
A
A
①
B
F
②
E
C
①
B
③
F
②
E
C
E为中点
D
A
F
①
α
B
α ②α
E
C
A
F
①
α
B
③
α②
α
E
C
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E 重合，若AD=10, AB= 8,
则EF=___5___
D
F
C
EE
A
点拨：要善于在复杂图形中寻找基本型。 B
A
E F
B
D
C
变式：已知：△ABC中，AB=AC, ∠BAC= 120°,D为BC的 中点， 且∠EDF =∠C, （1） 若BE·CF=48,则AB=__8___
（2）在（1）的条件下，若EF=m,
则S△DEF =___3__m__
A EH
F
P
B
D
点拨：联想基本模型，寻找 相关结论。
C
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
A
△ABE∽ △ECF
F
（（2）1）点点E为E为BBCC上上任任意意一一点点若，∠若B= ∠∠CB==α,∠∠CA=E6F0°= ∠, ∠CA,则EF△=A∠BCE,则与△ EC△FA的B关E与系△还成EC立F吗的？关系还成立吗？
说明理由
B
α
α
B
E
α
C
点拨：要善于运用类比、迁移的数学方法 解决问题。
A
A
①
B
F
②
E
C
①
B
③
F
②
E
C
E为中点
D
A
F
①
α
B
α ②α
E
C
A
F
①
α
B
③
α②
α
E
C
1.矩形ABCD中，把DA沿AF对折，使D与CB边上的点E 重合，若AD=10, AB= 8,
则EF=___5___
D
F
C
EE
A
点拨：要善于在复杂图形中寻找基本型。 B
A
E F
B
D
C
变式：已知：△ABC中，AB=AC, ∠BAC= 120°,D为BC的 中点， 且∠EDF =∠C, （1） 若BE·CF=48,则AB=__8___
（2）在（1）的条件下，若EF=m,
则S△DEF =___3__m__
A EH
F
P
B
D
点拨：联想基本模型，寻找 相关结论。
C
全等三角形单元复习(一线三等角模型)课件 (共18张PPT)2023-2024学年人教版八年级上学期
CF⊥AP于点F.
（1）求证:CF=BE+EF；
（2）连接BF，BE=3,CF=9,
求∆BFE的面积.
感谢聆听
S∆BMC:S∆ABO.
D
图2
C
课堂小结
分层作业
必做题：1、如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E、
F分别在AB、BC、AC边上，BE=CF，且∠B=∠DEF，
求证：DB=EC.
选做题：2.如图，在∆ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
P在BC靠近B处,连接AP，线段BE⊥AP于点E，线段
当AB=BC时,求证:∆ABD≌∆BCE .
A
C
D
B
E
第3关
第2关
第1关
第二关
变式1.如图，D、A、E三点都在直线m上，若
∠1=∠2=∠3，且BA=CA，求证：DE=BD+CE.
第二关
变式2.如图，在∆ABC中，∠B=∠C，BE=CF，
且∠AEF=∠B，求证：AC=EC.
第3关
第2关
第1关
第三关
全等三角形 AAS定理
一线三等角模型
学习目标
1.经历观察、分析、归纳的学习过程，归纳整理出
“一线三等角”图形的基本特征；
2.能在不同背景中提取基本模型，并运用其解决问题；
3.在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的
重要性.
创设情境，探究1.如图，AD⊥DE，CE⊥ED，∠ABC=90°，
探究2.如图，CA⊥BP，DB⊥BP，
∠DPC=90°，且CP=DP，AC=4，
BD=3，求AB的长.
明晰概念，归纳模型
应用模型，解决问题
（1）求证:CF=BE+EF；
（2）连接BF，BE=3,CF=9,
求∆BFE的面积.
感谢聆听
S∆BMC:S∆ABO.
D
图2
C
课堂小结
分层作业
必做题：1、如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E、
F分别在AB、BC、AC边上，BE=CF，且∠B=∠DEF，
求证：DB=EC.
选做题：2.如图，在∆ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
P在BC靠近B处,连接AP，线段BE⊥AP于点E，线段
当AB=BC时,求证:∆ABD≌∆BCE .
A
C
D
B
E
第3关
第2关
第1关
第二关
变式1.如图，D、A、E三点都在直线m上，若
∠1=∠2=∠3，且BA=CA，求证：DE=BD+CE.
第二关
变式2.如图，在∆ABC中，∠B=∠C，BE=CF，
且∠AEF=∠B，求证：AC=EC.
第3关
第2关
第1关
第三关
全等三角形 AAS定理
一线三等角模型
学习目标
1.经历观察、分析、归纳的学习过程，归纳整理出
“一线三等角”图形的基本特征；
2.能在不同背景中提取基本模型，并运用其解决问题；
3.在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的
重要性.
创设情境，探究1.如图，AD⊥DE，CE⊥ED，∠ABC=90°，
探究2.如图，CA⊥BP，DB⊥BP，
∠DPC=90°，且CP=DP，AC=4，
BD=3，求AB的长.
明晰概念，归纳模型
应用模型，解决问题
一线三等角模型ppt课件
一线三等角模型
2019
-
1
通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似的三角形！
什么是一线三等角？
如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠EDF=∠B，请问图中 是否有相似三角形？
相似三角形判定 定理一： 两角对应相等， 两三角形相似。
注意：对应边千万不要找错，相同的角 标记同一个符号会比较清晰！
2019 2
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标： 用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相 关问题； 重点：掌握“一线三等角”基本模型； 难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
特别是“一线三直角”辅助线的构造
2019 3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
中点型“一线三等角”模型
中点型： 至少有三 对相似三 角形
β
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
2019
-
7
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
1 t 2
4 2
t
2
1 t 2
4
2019
-
8
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点 距离公式； 方法三：利用 互相垂直的一 次函数（针对 优等生，且此 法适用于任意 三角形翻折）
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
3 x
2
3 x 2
2
BC 4
3
13
13 2
PD PC AD PD 13 PC BC 2
15
2019
2019
-
1
通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似的三角形！
什么是一线三等角？
如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠EDF=∠B，请问图中 是否有相似三角形？
相似三角形判定 定理一： 两角对应相等， 两三角形相似。
注意：对应边千万不要找错，相同的角 标记同一个符号会比较清晰！
2019 2
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标： 用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相 关问题； 重点：掌握“一线三等角”基本模型； 难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
特别是“一线三直角”辅助线的构造
2019 3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
中点型“一线三等角”模型
中点型： 至少有三 对相似三 角形
β
再次提醒：对应边和对应角千万不要找错！
2019
-
7
一线三直角在直角坐标系中的应用
2012年上海中考24题
1 t 2
4 2
t
2
1 t 2
4
2019
-
8
一线三直角巧求点坐标
尝试用上题中你总结的方法解答下题： 2011年宝山一模18题
方法二：两点 距离公式； 方法三：利用 互相垂直的一 次函数（针对 优等生，且此 法适用于任意 三角形翻折）
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
3 x
2
3 x 2
2
BC 4
3
13
13 2
PD PC AD PD 13 PC BC 2
15
2019
一线三等角模型ppt(共22张PPT)
（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
没边相等证相似.
若不存在，请说明理由．
若存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标；
（（21）01如2成图都①），(当本点小Q题在满E线分段10A分C)上，且HAP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE； 若（A2）B=根k据A图E，象A写C出= k在A第F，一试象探限究内H，E当与取H何F之值间时F的，数y1量＜关y2系？，并说明理由.
FQ之延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为
一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点
H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，
并说明理由. 有边相等证全等;
若存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标；
有边相等证全等;
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图
中所有的相似三角形，并证明你的结论．
已知：在矩形AOBC中，OB=3，OA=2．分别以 OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的 平面直角坐标系．若点F是边BC上的一个动点（ 不与B、C重合），过F点的反比例函数（k＞0）的
一个特殊图形的应用——一线三等角模型
考试过程中学生若能遇到自己平时非常熟悉的题型，快 速找到解决问题的突破口，就能减轻思维量，提高做题速 度，缓解考试紧张情绪，取得理想的成绩。因此，平时教 学中模型的渗透就非常重要。
一线三等角解题理念: 有边相等证全等; 没边相等证相似.
建立模型
2013一调13 如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x轴、 y轴分别相交于点A、B，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经 过点D.则________．
初中数学冀教版九年级上册《一线三等角》优质课公开课课件省级比赛获奖课件
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相似基本模型之一：一线三等角
复习目标：
能熟练运用“一线三等角” 基本模型解决相似三角形中的相关问题
已知：如图所示，在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上的中点， 射线DN过点A,射线DM交AC于点E,并且∠ADE=∠B. N
问：
A
10
E B
M
D 12
∟
C
已知：如图，在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上的 ， 任一点 射线DN过点A,射线DM交AC于点E,并且∠ADE=∠B. N A 问：
2
∟
O
∟
t
P
5-t
C
x
y
若n=2.
作以OC为直径的半圆，是否存在某一 时刻使AQ与半圆相切？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由.
B (0,4)
Q
D
(5,n) A (5,2)
n 2
O
∟ ∟
当t=2.5， 即p为OC中点
x
t
P 5-t
C
又 到 总 结 时
“一线三等角”是构造相似的一个模型。 是重要的一种破题利器,自然也是我们解题的 突破口。在多数平面直角坐标系为背景的题目 中，手握这一宝剑就能无往而不胜。善于还原 这一基本模型，或通过添加辅助线构造这一模 型。
1 问： 若S△DEF= 4 S△ABC,则线段EF是多少？
A
N F H M E
10
B
12
D
C
实际操练
（今年我市一模第26题改编）
如图，A(5,n)、B（0,4）,n>0.动点P从原点 O出发以每秒1个单位的速度向右运动，连接AP做 射线PQ⊥AP，PQ交y轴于点Q.设点P的运动时间是 t秒（t>0）. 若n=2.在点P的运动过程中，点Q与点B是否 存在距离最短的情况？若存在，请求出这个最短 距离；若不存在，请说明理由.FB DC
一线三等角PPT课件
.
6
三，增加思维点，研究模型
• 1，强化条件，深化模型
例3，⊿ABC中，AB=AC，点D为BC中点，以D
为顶点作∠MDN=∠B。
（1）
如图，当射线DM经过点A时，DM交AC边于点E,
写出图中所有与⊿ADE相似的三角形。
.
Hale Waihona Puke 7• （2）如图，将∠MDN绕点D延逆时针方向 旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E， F（点E与点A不重合），写出图中所有的相 似三角形。并证明你的结论。
.
2
这就是“一线三等角” 模型，如图， 点G是线段FH上异于F和H的一点， 若∠ F=∠JGI =∠H，则⊿JFH∽⊿GHI。
无论这三个角是锐 角，直角还是钝角，这 个结论始终成立。对于 一些试题，只要看到这 个模型可以快速建立解 题思路。
.
3
二，定位着力点，巩固模型
• 例2；（1）如图在⊿ABC中，∠BAC=90°， AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m,CE ⊥直线m，垂足分别为点D和点E。求证： DE=BD+CE。
两直角边分别能与AB，BC边相交于点E，F，连
接EF。
（1）
如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，
求此时PC的长。
.
10
• 例4 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，
AP=1，将三角板的直角顶点房子P处，三角
板的两直角边分别能与AB，BC边相交于点E，
F，连接EF。
（2）将
三角板从（1）中点位置开始，绕点P顺时针
⊿BDF∽⊿CED∽⊿DEF
你还能得出其他结论吗？
FD平分∠BFE， ED平分∠FEC
.
8
一线三等角模型的研究精品PPT课件
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
“一线三等角”模型的研究
合肥市包河区 汪洪潮 2016年2月29日
1
2
变化
3
4
5
6
7
8
• 加画两条垂线一线三等角又和四边形中的半角 模型联系在一起了
• 所以说，中点这个位置有点特殊
9
Hale Waihona Puke • 四、一线三等角的常见构图（以等腰三角 形为例）。
10
• A与E重合时如图所示
11
• 也可以在射线上 •
• 结论：△ABF∽△ECD。
20
推广2： 已知：已知四边形ABCD中，∠B=∠C， AF、DE
分别是∠BAD与∠CDA的平分线，且E，F重合。 结论：（1）△ABE∽△ECD∽△DEA；
（2）BE=CE； （3）BE2=AB×CD。
21
推广3：如果一个四边形有一组对角相等，那么 我们称它为半对角相等的四边形.如图1中的四 边形ABCD，其中∠B=∠D。解决下列问题：
22
考题赏析：
23
2015年第8题
8．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在 边AB上，∠AED＝60°，则一定有（ ）
A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30° C．∠ADE＝1/2∠ADC D．∠ADE＝1/3∠ADC
• ∠ADC=360°-3∠A=3(120°-∠A) • ∠ADE=120°-∠A
24
5.应用举例
25
应用举例2.
26
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
27
结束语
“一线三等角”模型的研究
合肥市包河区 汪洪潮 2016年2月29日
1
2
变化
3
4
5
6
7
8
• 加画两条垂线一线三等角又和四边形中的半角 模型联系在一起了
• 所以说，中点这个位置有点特殊
9
Hale Waihona Puke • 四、一线三等角的常见构图（以等腰三角 形为例）。
10
• A与E重合时如图所示
11
• 也可以在射线上 •
• 结论：△ABF∽△ECD。
20
推广2： 已知：已知四边形ABCD中，∠B=∠C， AF、DE
分别是∠BAD与∠CDA的平分线，且E，F重合。 结论：（1）△ABE∽△ECD∽△DEA；
（2）BE=CE； （3）BE2=AB×CD。
21
推广3：如果一个四边形有一组对角相等，那么 我们称它为半对角相等的四边形.如图1中的四 边形ABCD，其中∠B=∠D。解决下列问题：
22
考题赏析：
23
2015年第8题
8．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在 边AB上，∠AED＝60°，则一定有（ ）
A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30° C．∠ADE＝1/2∠ADC D．∠ADE＝1/3∠ADC
• ∠ADC=360°-3∠A=3(120°-∠A) • ∠ADE=120°-∠A
24
5.应用举例
25
应用举例2.
26
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
27
结束语
一线三等角ppt课件
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
一 找准切入点，初识模型
例1：如图在⊿ABC中，点D，E分别在BC， AC上连接AD，DE，使∠ 1=∠B= ∠C. (1),请写出三个正确结论。
三，增加思维点，研究模型
• 1，强化条件，深化模型
例3，⊿ABC中，AB=AC，点D为BC中点，以D
为顶点作∠MDN=∠B。
（1）
如图，当射线DM经过点A时，DM交AC边于点E,
写出图中所有与⊿ADE相似的三角形。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
• （2）如图，将∠MDN绕点D延逆时针方向 旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E， F（点E与点A不重合），写出图中所有的相 似三角形。并证明你的结论。
⊿BDF∽⊿CED∽⊿DEF
你还能得出其他结论吗？
FD平分∠BFE， ED平分∠FEC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
拓展应用
• （3）如图，D，E是D,A，E三点所在直线 m上的两动点（D，A，E三点互不重合）点 F为∠BAC平分线上的一点，且⊿ABF和 ⊿ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若 ∠ BDA=∠AEC= ∠BAC，试判断⊿DEF的形 状。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
一 找准切入点，初识模型
例1：如图在⊿ABC中，点D，E分别在BC， AC上连接AD，DE，使∠ 1=∠B= ∠C. (1),请写出三个正确结论。
三，增加思维点，研究模型
• 1，强化条件，深化模型
例3，⊿ABC中，AB=AC，点D为BC中点，以D
为顶点作∠MDN=∠B。
（1）
如图，当射线DM经过点A时，DM交AC边于点E,
写出图中所有与⊿ADE相似的三角形。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
• （2）如图，将∠MDN绕点D延逆时针方向 旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E， F（点E与点A不重合），写出图中所有的相 似三角形。并证明你的结论。
⊿BDF∽⊿CED∽⊿DEF
你还能得出其他结论吗？
FD平分∠BFE， ED平分∠FEC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
拓展应用
• （3）如图，D，E是D,A，E三点所在直线 m上的两动点（D，A，E三点互不重合）点 F为∠BAC平分线上的一点，且⊿ABF和 ⊿ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若 ∠ BDA=∠AEC= ∠BAC，试判断⊿DEF的形 状。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
一线三等角模型 ppt课件
（2）
3x
2
2
x
x2 4
3 x2 4
3
2
3 x 2 3x 2
2
3
13
13 2
方法一：勾股定理； 方法二：证明D是AH中点。
PD DH CD CH PD AD CD CH DH AD
BC 4
PD PC AD PD PC 13 BC
2
2020/9/8
一线三等角模型
15
一线三等角压轴题（共同探讨解题方法和注意事项）
一线三等角模型
2
“一线三等角”模型 教学目标及重、难点
教学目标：
用“一线三等角”基本模型解决相似三角形中的相 关问题；
重点：掌握“一线三等角”基本模型；
难点： “一线三等角”基本图形的提炼、变式和运用。
2020/9/8
特别是“一线三直角”辅助线的构造
一线三等角模型
3
“一线三等角”模型按照角度的分类
锐角形一线三等角
一
线
三
直角形一线三等角
等
角
钝角形一线三等角
一线三等角模型
最特殊 考到概 率最大
4
总结解题规律 一线三角两相似：
60° 60° 60°
60°
60° 60°”基本模型 以等腰三角形（含等边三角形）或等腰梯形为背景的一线三等角
注意：压轴题中出现射线、 直线要分类讨论！
思考：若把
tanBAO
3 3
样？
改t为anBAO
1 2
，解法是否一
2020/9/8
一线三等角模型
10
2a
9 a 9
2
9 2a
9
a
2
(可直接使用)一线三等角(公开课).ppt
人教版数学九年级下
最新课件
1
• 学习目标：
1、熟悉“一线三等角”的基本图形，并能解决相似中 的相关问题.
2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综 合解题能力.
• 学习重点：
运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。
最新课件
2
课前回顾
三角形相似的判定定理有哪些?
最新课件
3
自主学习
1、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=90°，图中有没有相似三角形？并说明理由。
（点E与点D、C不重合），且∠OEF=120°，设DE=X，CF=y，求y与x的
函数关系式。
y
DE
C
1
F
O2
x B
最新课件
9
思维开放 展示提高 如图，AB=BC,点E为BC的中点，若 ∠B=∠AEF =∠C=90° 连接AF,找出图中所有的相似三角形，并证明。
A
B
最新课件
E 图4
F C
10
课堂小结
最新课件
12
三角形？并说明理由。
BA
最新课件
BA CE
E
C
图2
DF
EC 4
抽象模型，揭示实质
如图，已知∠A=∠BCD=∠E=α°，图中有没有相似三角形，
并写出证明过程.
结论：
理由：
B
D
A
αα
C
最新课件
α
E
5
总结规律
顺口溜： “一线三等角，相似容易找”
最新课件
6
运用新知，看图作答
下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出“一线三等角”的 基本图形所形成的相似三角形（要求对应的顶点写在对应的位置）
最新课件
1
• 学习目标：
1、熟悉“一线三等角”的基本图形，并能解决相似中 的相关问题.
2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综 合解题能力.
• 学习重点：
运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。
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课前回顾
三角形相似的判定定理有哪些?
最新课件
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自主学习
1、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=90°，图中有没有相似三角形？并说明理由。
（点E与点D、C不重合），且∠OEF=120°，设DE=X，CF=y，求y与x的
函数关系式。
y
DE
C
1
F
O2
x B
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思维开放 展示提高 如图，AB=BC,点E为BC的中点，若 ∠B=∠AEF =∠C=90° 连接AF,找出图中所有的相似三角形，并证明。
A
B
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E 图4
F C
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三角形？并说明理由。
BA
最新课件
BA CE
E
C
图2
DF
EC 4
抽象模型，揭示实质
如图，已知∠A=∠BCD=∠E=α°，图中有没有相似三角形，
并写出证明过程.
结论：
理由：
B
D
A
αα
C
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α
E
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总结规律
顺口溜： “一线三等角，相似容易找”
最新课件
6
运用新知，看图作答
下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出“一线三等角”的 基本图形所形成的相似三角形（要求对应的顶点写在对应的位置）
全等三角形单元复习： 一线三等角模型课件(16张PPT)2024-2025学年人教版八年级上学期
= ， + = .
(1)试说明： = ；
(2)当∠ = 40°时，求∠的度数；
(3)请你猜想：当∠为多少度时，∠ + ∠ = 120°，并说明理由.
(2)∵∠ = 40°
1
2
∴∠ = ∠ = (180° − 40°) = 70°
∴ ∠ + ∠ = 110°
又∵△ ≌△
∴∠ = ∠
∴∠ + ∠ = 110°
∴∠ = 70°.
2. 如图，在 △ 中，∠ = ∠，点、、分别在、、上，且
= ， + = .
(1)试说明： = ；
(2)当∠ = 40°时，求∠的度数；
∴∠ + ∠ = 90°
∵∠ + ∠ + ∠ = 180°
∴∠ = 90°.
2. 如图，在 △ 中，∠ = ∠，点、、分别在、、上，且
= ， + = .
(1)试说明： = ；
(2)当∠ = 40°时，求∠的度数；
∴∠ = ∠ = 90°
在 △ 和 △ 中，
=
ቊ
=
∴ △ ≌ △ （HL）
∴ = , =
∴ = + = + .
(2)∵ △ ≌ △
∴∠ = ∠
∵∠ + ∠ = 90°
∴ = + .
模型2：“一线三等角”（两个三角形在直线同侧）
利用“一线三等角”可以证明三角形全等，反过来，由三角形全等可以反推，这也
是常考点，具体模型如下：
拓展模型：若、、三点在一条直线上，∠ = ∠ = ， △ ≌△ ，则有
∠ = .
证明：∵△ ACP ≌△ BPD
(1)试说明： = ；
(2)当∠ = 40°时，求∠的度数；
(3)请你猜想：当∠为多少度时，∠ + ∠ = 120°，并说明理由.
(2)∵∠ = 40°
1
2
∴∠ = ∠ = (180° − 40°) = 70°
∴ ∠ + ∠ = 110°
又∵△ ≌△
∴∠ = ∠
∴∠ + ∠ = 110°
∴∠ = 70°.
2. 如图，在 △ 中，∠ = ∠，点、、分别在、、上，且
= ， + = .
(1)试说明： = ；
(2)当∠ = 40°时，求∠的度数；
∴∠ + ∠ = 90°
∵∠ + ∠ + ∠ = 180°
∴∠ = 90°.
2. 如图，在 △ 中，∠ = ∠，点、、分别在、、上，且
= ， + = .
(1)试说明： = ；
(2)当∠ = 40°时，求∠的度数；
∴∠ = ∠ = 90°
在 △ 和 △ 中，
=
ቊ
=
∴ △ ≌ △ （HL）
∴ = , =
∴ = + = + .
(2)∵ △ ≌ △
∴∠ = ∠
∵∠ + ∠ = 90°
∴ = + .
模型2：“一线三等角”（两个三角形在直线同侧）
利用“一线三等角”可以证明三角形全等，反过来，由三角形全等可以反推，这也
是常考点，具体模型如下：
拓展模型：若、、三点在一条直线上，∠ = ∠ = ， △ ≌△ ，则有
∠ = .
证明：∵△ ACP ≌△ BPD
一线三等角公开课.ppt
（2）学习几何最重要是学会归纳一些简单 的基本图形，学会从复杂的图形里提 炼基本图形，并将其作为解决问题的 手段和方法。
（3）几何的学习中，要注重图形的运动和 变化，总结和发现图形之间的内在联 系，探求其规律，帮我们解决繁杂问题。
答：⊿ABE∽ ⊿ECF 理由：∵ ∠B=∠AEF=∠C=90°
A F
∴ ∠A+ ∠1＝90°， ∠2+ ∠1＝180°－ ∠AEF＝90 ° ∴ ∠A＝∠2
1
2
B
E
C
∴ ⊿ABE∽ ⊿ECF
图1
2、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=60°，图中有没有相似三角形？并说明理由
。
A
F
3、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=120°，图中有没有相B 似
人教版数学九年级下
• 学习目标：
1、熟悉“一线三等角”的基本图形，并能解决相似中 的相关问题.
2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综 合解题能力.
• 学习重点：
运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。
课前回顾
三角形相似的判定定理有哪些?
自主学习
1、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=90°，图中有没有相似三角形？并说明理由。
三角形？并说明理由。
BA
BA CE
E
C
图2
DFECBiblioteka 抽象模型，揭示实质如图，已知∠A=∠BCD=∠E=α°，图中有没有相似三角形，
并写出证明过程.
结论：
理由：
B
D
A
αα
C
α
E
总结规律
顺口溜： “一线三等角，相似容易找”
运用新知，看图作答
下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出“一线三等角”的 基本图形所形成的相似三角形（要求对应的顶点写在对应的位置）
（3）几何的学习中，要注重图形的运动和 变化，总结和发现图形之间的内在联 系，探求其规律，帮我们解决繁杂问题。
答：⊿ABE∽ ⊿ECF 理由：∵ ∠B=∠AEF=∠C=90°
A F
∴ ∠A+ ∠1＝90°， ∠2+ ∠1＝180°－ ∠AEF＝90 ° ∴ ∠A＝∠2
1
2
B
E
C
∴ ⊿ABE∽ ⊿ECF
图1
2、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=60°，图中有没有相似三角形？并说明理由
。
A
F
3、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=120°，图中有没有相B 似
人教版数学九年级下
• 学习目标：
1、熟悉“一线三等角”的基本图形，并能解决相似中 的相关问题.
2、通过抽象模型，图形变换，变式类比等方法提高综 合解题能力.
• 学习重点：
运用“一线三等角”相似型的基本图形解题。
课前回顾
三角形相似的判定定理有哪些?
自主学习
1、如图，已知∠B=∠AEF=∠C=90°，图中有没有相似三角形？并说明理由。
三角形？并说明理由。
BA
BA CE
E
C
图2
DFECBiblioteka 抽象模型，揭示实质如图，已知∠A=∠BCD=∠E=α°，图中有没有相似三角形，
并写出证明过程.
结论：
理由：
B
D
A
αα
C
α
E
总结规律
顺口溜： “一线三等角，相似容易找”
运用新知，看图作答
下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出“一线三等角”的 基本图形所形成的相似三角形（要求对应的顶点写在对应的位置）
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B
D
D
E
AC
E
D
AC
E
思考：以上图形有什么共同点？
一线三等角，两头对应好，互补导等角，相似轻易找
活动三 图形辨析 强化理解
• 下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出 “一线三等角”的基本图形所形成的相似三角 形（要求对应的顶点写在对应的位置）
A
2 1 B
D
E
3 C
A E
1 B
2 F
D
G 3
如图，当∠CPD=∠CAB=∠EBD时，两三角形还相似吗？
解： △CPA∽△PDB 理由：∵∠CPD=∠CAB
∠CPA+∠BPD=∠CPA+∠C
∴∠EC=∠BPD
又∵∠CAB=∠EBD ∴1800-∠CAB=1800-∠EBD 即∠PAC=∠PDB ∴△CPA∽△PDB
活动二抽象模型，揭示本质
B
AC B
• （3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E 恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系。
活动五 收获分享
1、通过本节课的学习，你有什么收获？ 2、本节课的学习过程，对你今后思考问题有什
么启示？
D 理由：∵∠A=∠BCD=∠E= α°
•
∠ACB+∠DCE=1800-α°
•αα
A• •
C
∠CDE+ ∠DCE=1800-α°
α
∴∠ACB= ∠CDE
E 又∵∠A=∠E
•
∴ △ABC∽△ECD
活动二抽象模型，揭示本质
如图，当∠CPD=∠CAB=∠EBD时，.如图，已知∠A=∠BCD=∠E=120°， △ABC与 △ECD是否相似？并说明由。
B D
AC
E
活动二抽象模型，揭示本质
4.如，已知∠A=∠BCD=∠E=α°，结论还成立吗？
•
B
D△
A
αα
C
α
E
活动二抽象模型，揭示本质
4.如图，已知∠A=∠BCD=∠E=α°，结论还成立吗？
•
•B
解： △ABC∽△ECD
C
活动四 应用新知
1、已知，如图，在矩形ABCF中，D为FC上一点， 沿线段AD翻折，使得点F落在BC上的E处，若 BC=10,BE∶EC=4∶1.求CD的长
A
F
D
B
EC
活动四 应用新知
• 2.在平面直角坐标系中，A(0,1), B（2,0）， AC⊥AB,AC=3.求点C的坐标。
C
A B
活动四 应用新知
（1）如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断点E是否是四边形 ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
活动四 应用新知
• 如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连 接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相 似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角 形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”。
• （2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形 网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小 正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的 强相似点；
活动四 应用新知
• 如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连 接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相 似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角 形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”。
3、如图4、点E为BC的中点，若 ∠B=∠AEF =∠C=90° 连 接AF,找出图中所有的相似三角形，并证明。
A
F
B
E
C
图4
活动四 应用新知
4、（2019四川自贡模拟）阅读理解： 如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连 接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相 似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角 形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”。
再探相似三角形
— 一线三等角
活动一 类比探究 问题导入
1、 如图，已知∠A=∠BCD=∠E=90°，△ABC与 △ECD是否相似？并说明理由。
B
D
AC
E
活动一 类比探究 问题导入
• 2.如图，已知∠A=∠BCD=∠E=60°，△ABC与 △ECD是否相似？并说明理由。
BD
AC
E
活动一 类比探究 问题导入