北京工业大学大学物理竞赛辅导竞赛：5-力学--相对论讲义

x
1 (v / c)2
L0 c
v c2
( L0 )
1 (v / c)2
L0 c v c cv
2.（2011年）
惯性系S、S间的相对运动关系如图所示，其间 相对速度大小为v。S系的O-x y平面中有一根 与x轴平行的细杆 AB。杆长l0，在S系中沿y方
向匀速平动，速度大小也为v。S系测得杆AB与
解：
动量、能量守恒
mv0 Mv m0C 2 mC 2 MC 2
求得
M
9 4
m0
v C 3
32 M0 2 m0
9. （2010）
一艘无人飞船和一颗彗星相对于地面参 考系分别以0.6C和0.8C的速度相向运动 。地面系时钟读数ts=0时，恰好飞船时钟 读数也为t=0.地面系认为ts=5s时，飞船会 与彗星碰撞，飞船则认为t=___s时，自己 会与彗星碰撞，而且飞船在t=0时认为彗 星与它相距____cs（光秒）。
l0
即在S系中不是同时测量棒的两端，测量一
端后，再测量另一端时，其移动了
tv
v2 C2
l0
在S系中棒的长度缩短为
lx l0 1 2
所以在S系中棒与x轴间的夹角为
tan
v2 C2
l0
l0 1 2
2 1 2
在S系中棒长为
l l0 1 2 4
3. 高速列车以0.6c(c为光速)的速率相对地面 运动，车内有一滑轨AB，车上的观测者 测得滑轨长为10m，小滑块D在10s内由滑 轨的A端滑到B端，则地面上的观测者测 得滑轨长度为m，测得滑块移动 距离为m.
系测得它的动能为Ek=， 平均密 度为= .
解：(1) E k m c 2 m 0 c 2
m0c2(
1
1)
1 (v / c)2
1 4
0V0c 2
(2)
0
1 (v / c)2
25 16
0
7. 某高速运动粒子的动能等于其静止能量
的n倍，则该粒子运动速率为c，其
动量大小为m0c，其中，m0为粒子 静止质量，c为真空中光速.
0.6c
D
A
B
解：(1) 长度收缩： L L 0 1 ( v / c ) 2 10 1 (0.6)2 8 (m )
(2) x x v t
1 (v / c)2 10 0.6 3 108 10
1 (0.6)2 2 .2 5 1 0 9 (m )
4. 静止时质量面密度为0的均质等边三角 形薄板，因在其所处平面内高速运动而 成为等腰直角三角形，求：⑴运动速度 大小；⑵此时板的质量面密度.
解：(1) E k m c 2 m 0 c 2
m0c2(
1
1)
1 (v / c)2
按题意
1
1 n
1 (v / c)2
n(n 2)
v
c
n 1
(2) p m v
m0
n(n 2) c
1 (v / c)2 n 1
n(n 2) m 0c
8.（2012）
如图所示，静质量同为m0的质点A、B开始时在惯 性系S中，B静止，A以v0=3C/5的速度朝着B运动 ，其中C为真空中光速。A、B相碰后形成一个新 的质点，且在碰撞过程中无任何形式的能量耗散 ，则新质点的速度v=_______.新质点的静质量 M0=______。
4s, 140 37
解：
(1) 飞船为S系，在飞船系中碰撞的时间为原时
t
1
v2 c2
得
4s
(2) 据速度变换公式，彗星相对飞船的速度为
vx
vx 1
u
uv x c2
0.8c 0.6c
1
0.6c 0.8c c2
35c 37
飞船在t=0时认为彗星与它相距
vx
140 CS 37
x轴夹角绝对值 =_______,杆长l=________.
解：测量棒的两端对应的时空坐标为
( x1 , t1 ), ( x 2 , t 2 ) ( x1, t1), ( x 2 , t 2 )
运动的物体必须同时测量，要求 t 0 ，
由洛伦兹变换有
t
t
v C2
x
1 2
(x l0 )
可得
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v C2
解：(1)
L0
长度收缩效应：
3 2
L0
1 (v / c)2 L0 2
v 2 c 3
(2)
1
(v
0
/
c
)
2
3
0
Notes:
高速运动时： 面积 A A 0 1 ( v / c ) 2
体积 V V 0 1 ( v / c ) 2
0 1 (v / c)2
1
0 (v / c)2
5. 有两个在同一直线上沿相反方向以速度v 飞行的飞船A(向左飞)和B(向右飞)，飞船 A中的观测者测到相对其静止的中子的寿 命为，那么飞船B中的观测者测到此中 子的寿命为 ；A船测到B船的速 度为.
解：速度变换：
ux
ux 1
v
uxv c2
(地)
o
(B)
x, x
(1) B船测到A船的速度大小：
u AB
(v) v
1
(v)v c2
1
2v v
c
2 2
t
1 (uAB )2
c2 c2
v2 v2
c
(2) A船测到B船的速度大小：
uBA
u AB
2v
1
v2 c2
6. 飞船静止时体积为V0，平均密度为0， 相对地面以v=3c/5高速飞行时，地面参考
相对论
1. 如图，静长L0的飞船以恒定速率v相对惯 性系K高速运动．若从飞船头部A发出一 光信号，则飞船上观察者认为需经时间
t= 到达尾部B，而K系中的观察者 认为需经时间t=到达尾部B．
B
Av
K系
解：(1) 飞船上：t L0 c
(2) 设飞船系为K系
BA
o
x, x
则K系中： t
t
v c2