矩形的判定
矩形的判定
基础知识关
1、在判定一个四边形是矩形时： ⑴、若判定的对象是平行四边形，则还需有一个角是 直角 或 对角线相等 ； ⑵、若判定的对象是四边形，则需三个角是 直角 或需先判定这个 四边形为 平行四边形 ，再找一直角或对角线相等。 2、选择题 ⑴、具备条件____的四边形是矩形．【 D 】 A．两条对角线相等 B．对角线互相垂直 C．一组对角是直角 D．有三个角是直角 ⑵、能够判断一个四边形是矩形的条件是【 C 】 A．对角线相等 B．对角线垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
D
C
牛刀小试
2
判断下列命题是否正确。 • 对角线相等的四边形是矩形。 • 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 • 有一个角是直角的四边形是矩形。 • 四个角都是直角的四边形是矩形。 • 四个角都相等的四边形是矩形。 • 对角线相等且有一个角是直角的四边形是 矩形。 • 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
学以致用关
工作师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： (1)先截同两对符合规格的铝合金窗料，使AB＝CD，EF＝GH 平行四边 (2)摆放成如图所示的四边形，则这时窗框的形状____________ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 形，数学原理是_______________________________________ (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图所示)，调整窗框的边框， 当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗 矩 形，数学原理是_________________________________ 有一个角为直角的平行四边形是矩形 框是_____
运用知识关
1、在⊿ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ，ＤＥ∥ＡＣ交ＡＢ于Ｅ， ＤＦ∥ＡＢ交ＡＣ于Ｆ，当⊿ＡＢＣ满足条件 ∠BAC=900 时， 四边形ＡＥＤＦ是矩形。 2、如图 ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为 什么？
矩形的判定和性质
矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是900； 4.矩形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（如图：OB=OC=OA=21AC ）二、例题讲解考点一：矩形的基本性质例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．AEDCBO练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。
例3：如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB 、BC 分别长15cm 和25cm ，内角∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ．试求BE 与CE 的长度．练习1：如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点．试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ；ADCB 图1F E练习1：如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，∠BEC 为直角，矩形ABCD 的周长是20，求AD 、AB 的长。
矩形的判定(5种题型)(解析版)
矩形的判定（5种题型）【知识梳理】一、矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）要点诠释：②证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．二．矩形的判定与性质（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．【考点剖析】题型一：矩形的判定定理的理解例1．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A．∵▱ABCD中，AB＝AD，∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B．∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C．▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D．∵▱ABCD中，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键．【变式】已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是矩形B．当AC BD⊥时，四边形ABCD是矩形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当ABD CBD∠=∠时，四边形ABCD是矩形【答案】C【解析】C答案中，当OA=OB时，可知四边形ABCD的对角线相等，则可得平行四边形ABCD是矩形．【总结】考察矩形的证明方法．题型二：添加一个条件使四边形是矩形例2．（2022•甘肃）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是．【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．【解答】解：需添加的一个条件是∠A＝90°，理由如下：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．【变式】（2022•前进区一模）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，试添加一个条件，使▱ABCD为矩形．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形可添加的条件是AC＝BD．【解答】解：∵AC＝BD，四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形．故答案为：AC＝BD．【点评】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解决本题的关键．题型三：证明四边形是矩形例3.（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC 至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质推出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠EAB＝∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，再证明DF＝EG，即可证明四边形DEFG是矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB＝∠CFE，又∵E为BC的中点，∴EC＝EB，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴DC＝CF，又∵CE＝CG，∴四边形DEFG是平行四边形，∵E为BC的中点，CE＝CG，∴BC＝EG，又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD+CF＝2CD＝2AB，∴DF＝EG，∴平行四边形DEFG是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．【变式1】（2022•六盘水）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当△ABC AECF是矩形？请写出证明过程．【分析】（1）由ASA证△ABE≌△CDF即可；（2）由（1）可知，∠CAE＝∠ACF，则AE∥CF，再由全等三角形的性质得AE＝CF，则四边形AECF是平行四边形，然后由等腰三角形的在得∠AEC＝90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵AE平分∠BAC、CF平分∠ACD，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∠DCF＝∠ACF＝∠ACD，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：由（1）可知，∠CAE＝∠ACF，∴AE∥CF，∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．【变式2】（2022•十堰）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．（1）求证：BE＝DF；（2）设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．【分析】（1）利用平行四边形的性质，即可得到BO＝OD，EO＝FO，进而得出四边形BFDE是平行四边形，进而得到BE＝DF；（2）先确定当OE＝OD时，四边形DEBF是矩形，从而得k的值．【解答】（1）证明：如图，连接DE ，BF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BO ＝OD ，AO ＝OC ，∵E ，F 分别为AO ，OC 的中点，∴EO ＝OA ，OF ＝OC ，∴EO ＝FO ，∵BO ＝OD ，EO ＝FO ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴BE ＝DF ；（2）解：当k ＝2时，四边形DEBF 是矩形；理由如下：当BD ＝EF 时，四边形DEBF 是矩形，∴当OD ＝OE 时，四边形DEBF 是矩形，∵AE ＝OE ，∴AC ＝2BD ，∴当k ＝2时，四边形DEBF 是矩形．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，注意对角线互相平分的四边形是平行四边形．题型四：矩形的性质与判定求线段长 例4．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在ABCD Y 中，AE BC ⊥于点E ，延长BC 至点F ，使CF E =，连接DF ，AF 与DE 交于点O ．(1)求证：四边形AEFD 为矩形；(2)若3AB =，2OE =，5BF =，求DF 的长．【答案】(1)见解析 (2)125【分析】（1）根据线段的和差关系可得BC EF =，根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AD BC =，即可得出AD EF =，可证明四边形AEFD 为平行四边形，根据AE BC ⊥即可得结论；（2）根据矩形的性质可得AF DE =，可得BAF 为直角三角形，利用“面积法”可求出AE 的长，即可得答案．【详解】（1）BE CF =，BE CE CF CE ∴+=+，即BC EF =， ABCD 是平行四边形，AD ∴∥BC ，AD BC =，AD EF ∴=， AD ∥EF ，∴四边形AEFD 为平行四边形，AE BC ⊥，90AEF ∴∠=︒，∴四边形AEFD 为矩形．（2）四边形AEFD 为矩形，AF DE ∴=，DF AE =，2OE =，∴4DE =，∵3AB =，5BF =，∴222AB AF BF +=，BAF ∴为直角三角形，90BAF ∠=︒，∴1122ABFS AB AF BF AE=⨯=⨯，∴125 AE=，∴125 DF AE==．【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．【变式】如图，平行四边形ABCD中P是AD上一点，E为BP上一点，且AE=BE=EP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）过E作EF⊥BP于E，交BC于F，若BP=BC，S△BEF=5，CD=4，求CF．【答案】（1）证明：AE=BE=EP，∴∠EAB=∠EBA，∠EAD=∠EPA，∵∠ABE+∠EAB+∠EAP+∠APE=180°，2∠EAB+2∠EAP=180°，∴∠EAB+∠EAP=90°，∴∠BAD=90°，∵平行四边形ABCD∴四边形ABCD为矩形；（2）解：如图连接PF，作PM⊥BC于M，EN⊥BC于N，∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=∠D=∠PMC=90°，∴四边形PMCD为矩形，同理四边形ABMP为矩形，∴PM=CD=4，∠PMC=∠PMF=90°，∵BE=EP，EN∥PM，∴BN=NM ，∴EN=12PM=2， ∵12·BF ·EN=5，∴BF=5，∵EF ⊥BP ，BE=EP∴PF=BF=5，∴FM=3，∴AP=BM=8，∴BC=BP=∴CF=BC-BF=．题型五：矩形的性质与判定求面积例5．（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，E 为线段AD 的中点，延长BE 与CD 的延长线交于点F ，连接AF ，∠BDF ＝90°．（1）求证：四边形ABDF 是矩形；（2）若AD ＝5，DF ＝3，求四边形ABCF 的面积S ．【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，得∠BAE ＝∠FDE ，而点E 是AD 的中点，可得△BEA ≌△FED （ASA ），即知EF ＝EB ，从而四边形ABDF 是平行四边形，又∠BDF ＝90°，即得四边形ABDF 是矩形；（2）由∠AFD ＝90°，AB ＝DF ＝3，AF ＝BD ，得AF ＝＝＝4，S 矩形ABDF ＝DF •AF ＝12，四边形ABCD 是平行四边形，得CD ＝AB ＝3，从而S △BCD ＝BD •CD ＝6，即可得四边形ABCF 的面积S 为18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，在△BEA和△FED中，，∴△BEA≌△FED（ASA），∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∵∠BDF＝90°．∴四边形ABDF是矩形；（2）解：由（1）得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝＝＝∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，∴S△BCD＝BD•CD＝×4×3＝6，∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF+S△BCD＝12+6＝18，答：四边形ABCF的面积S为18．【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及矩形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△BEA≌△FED．【变式1】已知ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，△ABO 是等边三角形，AB ＝4，求这个平行四边形的面积.【答案】 解： ∵四边形ABCD 是平行四边形.∴△ABO ≌△DCO又∵△ABO 是等边三角形∴△DCO 也是等边三角形，即AO ＝BO ＝CO ＝DO∴AC ＝BD∴ ABCD 为矩形.∵AB ＝4，AC ＝AO ＋CO∴AC ＝8在Rt △ABC 中，由勾股定理得：BC ＝∴矩形ABCD 的面积为：AB BC ＝16 【变式2】（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，过O 作EF AC ⊥分别交AD ，BC 于点E ，F ．(1)求证：四边形AFCE 是菱形．(2)若6AB =，12BC =，求菱形AFCE 的面积．【答案】(1)见解析(2)45【分析】（1）先根据矩形的性质可得OA OC =，AD BC ∥，再根据ASA 定理证出AOE COF ≌，根据全等cm cm cm cm 2cm三角形的性质可得OE OF =，然后根据菱形的判定即可得证；（2）设菱形AFCE 的边长为x ，则12BF x =−，在Rt ABF 中，利用勾股定理求出x 的值，然后根据菱形的面积公式即可得．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是矩形，∴OA OC =，AD BC ∥，OAE OCF ∴∠=∠，∵O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，∴OA OC =，在AOE △和COF 中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA AOE COF ∴≌， OE OF ∴=，∴四边形AECF 是平行四边形，又EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．（2）解：四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，设菱形AFCE 的边长为x ，则AF CF x ==，12BC =，12BF BC CF x ∴=−=−，在Rt ABF 中，222AB BF AF +=，即()222612x x +−=，解得7.5x =， 7.5CF ∴=，则四边形AFCE 的面积为7.5645CF AB ⋅=⨯=．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．【过关检测】一、单选题 1．（2023·河北邯郸·统考模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD 是矩形，则添加的数据是（ ）A ．4CD =B ．2CD =C ．2OD = D ．4OD =【答案】D 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形即可得到答案．【详解】解：当4OD =时，由题意可知，4AO CO ==，4BO DO ==，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵8AC BD ==,∴四边形ABCD 是矩形，故选：D【点睛】此题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．2．（2023·浙江湖州·统考模拟预测）如图，在Rt △ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 的中点，AC ＝8，BC ＝6，则四边形CEDF 的面积是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】B【分析】利用三角形的中位线定理，先证明四边形DECF 是矩形，再利用矩形的面积公式进行计算即可. 【详解】解： 点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 的中点，AC ＝8，BC ＝6，11//,3,//,4,22DE BC DE BC DF AC DF AC ∴====∴ 四边形DECF 是平行四边形，90,C ∠=︒∴ 四边形DECF 是矩形，3412.DECF S ∴=⨯=矩形故选：.B【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，矩形的判定与性质，掌握利用三角形的中位线证明四边形是平行四边形是解题的关键. A ．3B ．【答案】A 【分析】连接AC ，由菱形的性质可证ABC 和ACD 是等边三角形，从而求得2AC =，根据点E 、F 是AB 、CD 的中点可得CE AB ⊥，AF CD ⊥，进而证明四边形AECF 是矩形，再利用勾股定理求出=EC 即可求出结果．【详解】解：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，ABC ∠︒=60，2AB =，==60B D ∴∠∠︒ ，====2AB BC CD AD ，==120BAD BCD ∠∠︒，==60BAC BCA ∴∠∠︒，==60DAC DCA ∠∠︒，∴ABC 和ACD 是等边三角形，2AC AB ==，∵点E 、F 是AB 、CD 的中点，CE AB ∴⊥，AF CD ⊥，==30CAF ACE ∠∠︒，==90BAF DCE ∴∠∠︒，∴四边形AECF 是矩形， 1==12AE AB ，∴在Rt AEC 中，EC∴矩形AECF 的面积为：=1AE EC ⨯故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定和性质及等边三角形的判定和性质和勾股定理，熟练运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． A ．232−B ．2【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出AD BC ∥，得出DEC BCE ∠=∠，证明45ABE AEB ∠==︒，得出2AB AE ==，根据勾股定理求出BE =【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴DEC BCE ∠=∠，∵EC 平分DEB ∠，∴DEC BEC ∠=∠，∴BEC ECB ∠=∠，∴BE BC =，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，∵=45ABE ∠︒，∴45ABE AEB ∠=∠=︒，∴2AB AE ==.∵由勾股定理得：BE ===，∴BC BE ==∴2DE AD AE BC AB =−=−=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识；要学会添加常用的辅助线，构造特殊三角形来解决问题.熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 5．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点O ，添加下列条件不能证明ABCD Y 是菱形的是（ ）A ．ABD ADB ∠=∠ B ．AC BD ⊥C ．AB BC =D ．AC BD =【答案】D 【分析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、∵ABD ADB ∠=∠，∴AB AD =，∴ABCD Y 是菱形，故选项不符合题意；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴ABCD Y 是菱形，故选项不符合题意；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =，∴ABCD Y 是菱形，故选项不符合题意，D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =，∴ABCD Y 是矩形，故选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．【答案】C【分析】根据矩形的判定定理逐一判断即可．【详解】解：A 、一组对角相等的平行四边形不一定是矩形，是假命题，不符合题意；B 、对角线相等且平分的四边形是矩形，是假命题，不符合题意；C 、顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，是真命题，符合题意；如图所示，在菱形ABCD 中，E F G H 、、、分别是AB BC CD AD 、、、的中点，∴EH 是ABD △的中位线，∴12EH BD EH BD =，∥，同理得111222EF AC EF AC FG BD GH AC ===，∥，，， ∴EH FG EF GH ==，，∴四边形EFGH 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，∴EH EF ⊥，∴四边形EFGH 是矩形；D 、对角线相等的四边形不一定是矩形，也有可能是等腰梯形，是假命题，不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了判断命题真假，矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键．【答案】C【分析】连接CM ，先证四边形PCQM 是矩形，得PQ CM =，再由勾股定理得3BD =，当CM BD ⊥时，CM 最小，则PQ 最小，然后由面积法求出CM 的长，即可得出结论．【详解】解：如图，连接CM ，MP CD ⊥于点P ，MQ BC ⊥于点Q ，90CPM CQM ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是矩形，6BC AD ∴==，8CD AB ==，90BCD ∠=︒，∴四边形PCQM 是矩形，PQ CM ∴=，由勾股定理得：10BD ==，当CM BD ⊥时，CM 最小，则PQ 最小， 此时，1122BCD S BD CM BC CD =⋅=⋅△， 即11106822CM ⨯⨯=⨯⨯，245CM ∴=， PQ ∴的最小值为245，故选：C ．【点睛】勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 8．（2023·山东德州·统考二模）如图，矩形ABCD 中，6AB =，4=AD ，点E ，F 分别是AB ，DC 上的动点，EF BC ∥，则BF DE +最小值是（ ）A ．13B ．10C ．12D ．5【答案】B 【分析】延长AD ，取点M ，使得AD DM =，连接MP ，根据全等三角形的判定得到ADE DMF ≌，得到DE MF =，故当B ，F ，M 三点共线时，BF DE +的值最小，即为BM 的值．【详解】延长AD ，取点M ，使得AD DM =，连接MP ，如图∵EF BC ∥，四边形ABCD 是矩形∴四边形AEFD 和四边形EBCF 是矩形∵AD DM =，AE DF =，90EAD FDM ==︒∠∠∴ADE DMF ≌∴DE MF =∴=BF DE BF FM ++∵点E ，F 分别是AB ，DC 上的动点故当B ，F ，M 三点共线时，BF DE +的值最小，且BF DE +的值等于BM 的值在Rt BAM △中，10BM ===故选：B ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，做出辅助线，构建DMF 使得ADE DMF ≌是解决本题的关键．二、填空题 9．（2023·甘肃武威·统考三模）如图矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E ，F ，AB ＝3，BC ＝4，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】6．【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE ≌△COF ，得△AOE 、△COF 的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BCD 的面积．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ，∠AEO ＝∠CFO ；又∵∠AOE ＝∠COF ，在△AOE 和△COF 中，∵AEO CFO OA OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴S △AOE ＝S △COF ，∴S 阴影＝S △AOE+S △BOF+S △COD ＝S △AOE+S △BOF+S △COD ＝S △BCD ；∵S △BCD ＝12BC•CD ＝6，∴S 阴影＝6．故答案为6．【点睛】本题主要考查矩形的性质，三角形全等的判定和性质定理，掌握三角形的判定和性质定理，是解题的关键．【答案】AE BC ⊥（答案不唯一）【分析】根据矩形的判定方法即可求解．【详解】解：菱形ABCD ，BE DF =，∴AD DF BC BE −=−，即CE AF =，且AF CE =，∴四边形AECF 是平行四边形，根据矩形的判定，①四边形AECF 是平行四边形，AE BC ⊥，∴90AEC ∠=︒，平行四边形AECF 是矩形；②四边形AECF 是平行四边形，若CF AD ⊥，∴90AFC ∠=︒，平行四边形AECF 是矩形；故答案为：AE BC ⊥（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查矩形，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 11．（2023春·吉林·八年级期中）如图，在ABCD Y 中AC BD 、相交于点O ，8AC =，当OD =______时，ABCD Y 是矩形．【答案】4【分析】根据矩形的判定与性质即可解答．【详解】解：四边形ABCD 为平行四边形，∴要使四边形ABCD 为矩形，则8BD AC ==，142OD BD ∴==，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．12．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，△ABC 的边BC 长为4cm ．将△ABC 平移2cm 得到△A ′B ′C ′，且BB ′⊥BC ，则阴影部分的面积为______2cm ．【答案】8【分析】根据平移的性质即可求解．【详解】解：由平移的性质S △A′B′C′=S △ABC ，BC=B′C′，BC ∥B′C′，∴四边形B′C′CB 为平行四边形，∵BB′⊥BC ，∴四边形B′C′CB 为矩形，∵阴影部分的面积=S △A′B′C′+S 矩形B′C′CB-S △ABC=S 矩形B′C′CB=4×2=8(cm2)．故答案为：8．【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．【答案】14【分析】有矩形的性质和勾股定理分别求出EJ FJ =AK BK ==【详解】解：在矩形ABCD 中，∵4590BAF ABF ∠=︒∠=︒，，∴45454ABG AFB AB BF ∠=︒∠=︒==，，，∵6BC =，∴2BE CF AH DG ====，∴2HG EF ==，∴EJ FJ =∵4AB =，∴AK BK ===∴(24614S ⎡⎤=⨯−=⎢⎥⎣⎦阴影．故答案为：14．【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并理解题意是解题的关键． 统考一模）如图，ABC 的边，将ABC 平移得到A B C '''，且 【答案】62【分析】利用平行的性质可得2BB CC ''==，BC B C ''==A ABC B C '''≌△△，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形BCC B ''是平行四边形，同时可证得ABC A B C S S '''=△△，再证明四边形BCC B ''是矩形，由此可得阴影部分的面积等于矩形BCC B ''的面积，然后利用矩形的面积公式进行计算．【详解】解：∵将ABC 平移2cm 得到A B C '''，∴2BB CC ''==，BC B C ''==A ABC B C '''≌△△， ∴四边形BCC B ''是平行四边形，∵BB BC '⊥，90B BC ∴='∠︒，∴四边形BCC B ''是矩形，∴22BCC B S S ''==⨯=阴影，故答案为：【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握平移的性质，证明四边形BCC B ''是矩形是解题的关键．三、解答题 分别是ABC 各边的中点． 请你为ABC 添加一个条件，使得四边形【答案】(1)四边形ADEF 为平行四边形，证明见解析(2)90DAF ∠=︒，四边形ADEF 为矩形，证明见解析【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE AC EF AB ∥，∥，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）根据矩形的判定定理证明．【详解】（1）解：四边形ADEF 为平行四边形，理由如下：∵D ，E ，F 分别是ABC 各边的中点，∴DE AC EF AB ∥，∥，∴四边形ADEF 是平行四边形；（2）90DAF ∠=︒，四边形ADEF 为矩形，理由如下：由（1）得：四边形ADEF 为平行四边形，又∵90DAF ∠=°，∴平行四边形ADEF 是矩形．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形和矩形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． (1)求证：四边形ABCF (2)若ED EC =，求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据,AB DC FC AB =∥，可得四边形ABCF 是平行四边形，再由90BCD ∠=︒，即可求证；（2）根据四边形ABCF 是矩形，90AFD AFC ∠=∠=︒，从而得到90,90DAF D CGF ECD ∠=︒−∠∠=︒−∠，再由ED EC =，可得D ECD ∠=∠，从而得到DAF CGF ∠=∠，进而得到EAG EGA ∠=∠，即可求证．【详解】（1）证明：∵,AB DC FC AB =∥，∴四边形ABCF 是平行四边形．∵90BCD ∠=︒，∴四边形ABCF 是矩形．（2）证明：∵四边形ABCF 是矩形，∴90AFD AFC ∠=∠=︒，∴90,90DAF D CGF ECD ∠=︒−∠∠=︒−∠．∵ED EC =，∴D ECD ∠=∠．∴DAF CGF ∠=∠．∵EGA CGF ∠=∠，∴EAG EGA ∠=∠．∴EA EG =．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．【答案】见解析【分析】首先证明四边形ABCD 是平行四边形，得出OA OC =，OB OD =，根据OA OD =，得出AC BD =，即可证明．【详解】解：证明：∵AB CD =，AB CD ∥，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴OA OC =，OB OD =．又∵OA OD =，∴AC BD =，∴平行四边形ABCD 为矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 18．（2023·湖北恩施·统考二模）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线,BD AC 相交于点,,O AE BD BF AC ⊥⊥，垂足分别为,E F ．若CF DE =，求证：四边形ABCD 为矩形．【答案】见解析【分析】利用HL 证明ADE BCF ≌，得出AE BF =，利用AAS 证明AOE BOF △≌△，得出AO BO =，结合平行四边形的性质可得出AC BD =，然后利用矩形的判定即可证明．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，2AC AO =，2BD BO =，∵,AE BD BF AC ⊥⊥，∴90AED AEO BFC BFO ∠=∠=∠=∠=︒，又CF DE =∴()Rt Rt HL ADE BCF ≌，∴AE BF =，又AOE BOF ∠=∠，∴()AAS AOE BOF ≌，∴AO BO =，又2AC AO =，2BD BO =，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定等知识，证明AO BO =是解题的关键． 19．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图所示，ABC 中，D 是BC 中点，过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F ，且AF BD =，连接BF ．请从以下三个条件：①AB AC =；②FB AD =；③E 是AD 的中点，选择一个合适作为已知条件，使四边形AFBD 为矩形．(1)你添加的条件是 ；（填序号）(2)添加条件后，请证明四边形AFBD 为矩形．【答案】(1)①(2)见解析【分析】（1）根据已知可得四边形AFBD 是平行四边形，添加条件能证明四边形是矩形即可求解；（2）先证明四边形AFBD 是平行四边形，①根据三线合一得出AD BD ⊥，能证明四边形是矩形；②只能证明四边形为平行四边形；③证明AFE DCE △≌△，可得AF DC =，进而根据已知得出BD AF =，不能证明四边形是矩形．【详解】（1）解：添加的条件是①故答案为：①．（2）证明：∵AF BC ∥，AF BD =，∴四边形AFBD 是平行四边形，①AB AC =；∵ABC 中，D 是BC 中点，∴四边形AFBD 是矩形；②添加FB AD =；四边形AFBD 是平行四边形，不能证明四边形AFBD 是矩形；③E 是AD 的中点∴AE DE =，∵AF BC ∥，∴FAE DCE ∠=∠，又AEF DEC ∠=∠，∴()AAS AFE DCE ≌，∴DC AF =，又BD CD =，∴BD AF =，∴③不能证明四边形AFBD 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． (1)求证：四边形OCED 是矩形；(2)设AC ＝12，BD ＝16，求OE 的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）先证明平行四边形ABCD 为菱形，可得AC BD ⊥，通过CE BD ∥，DE AC ∥证明四边形OCED 为平行四边形，结合AC BD ⊥即可证明；（2）由（1）可得平行四边形ABCD 为菱形，故12OC AO AC ==，12OB DO BD ==，结合四边形OCED 是矩形，运用勾股定理即可求得OE 的长． 【详解】（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，AB BC ＝，∴平行四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∵CE BD ∥，DE AC ∥，∴四边形OCED 为平行四边形，又∵AC BD ⊥，∴四边形OCED 为矩形．（2）∵=12AC ，16BD =， ∴162OC AC ==，182DO BD ==，在Rt COD 中，10CD =，由（1）知四边形OCED 为矩形，∴10OE CD ==．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握四边形的判定和性质是解题的关键． 21．（2023·湖南长沙·校考二模）如图，平行四边形ABCD 中，AC BC ⊥，过点D 作∥DE A C 交BC 的延长线于点E ，点M 为AB 的中点，连接CM ．(1)求证：四边形ADEC 是矩形；(2)若5CM =，且8AC =，求四边形ADEB 的周长．【答案】(1)证明见解析(2)36【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，由∥DE A C 即可证明四边形ADEC 是平行四边形，再由AC BC ⊥即可证明平行四边形四边形ADEC 是矩形；（2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出10AB =，进而利用勾股定理求出6BC =，再利用平行四边形的性质得到6AD =，由此即可利用矩形周长公式求出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∵∥DE A C ， ∴四边形ADEC 是平行四边形，∵AC BC ⊥，即A C C E ⊥，∴平行四边形四边形ADEC 是矩形；（2）解：∵AC BC ⊥，点M 为AB 的中点，5CM =，∴210AB CM ==，在Rt ABC △中，由勾股定理得6BC ==， ∵四边形ABCD 是平行四边形，四边形ADEC 是矩形∴6AD BC CE ===，8DE AC ==∴四边形ADEB 的周长68661036AD DE CE CB AB =++++=++++=．【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 22．（2023·山东济南·统考三模）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，DF ⊥AC 于点F ． 求证：AE ＝DF ．【答案】见解析【分析】根据矩形的性质得到OA ＝OC ＝OB ＝OD ，再根据AE ⊥BD ，DF ⊥AC 得出∠AEO ＝∠DFO ，从而证明出△AOE ≌△DOF 即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，对角线AC ，BD 相交于点O ，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∵AE ⊥BD ，DF ⊥AC ，∴∠AEO ＝∠DFO ＝90°，在△AOE 和△DOF 中，AEO DFO AOE DOFAO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△DOF （AAS ），∴AE ＝DF ．【点睛】本题主要考查矩形的性质和三角形全等的判定与性质，解题关键是找到全等三角形，熟练运用全等三角形的判定进行证明． 八年级北京交通大学附属中学校考期中）如图，在ABC 中，点(1)求证：四边形ADFE 为矩形；(2)若30C ∠=︒，2AF =，写出矩形【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）连接DE ，先根据三角形的中位线的性质证明四边形ADFE 是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可；（2）根据矩形的性质得出90BAC FEC ∠=∠=︒，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出4BC =，2CF =，然后解直角三角形求出矩形的边长即可得出矩形的周长．【详解】（1）连接DE ，如图，∵点E ，F 分别是边AC ，BC 的中点，∴EF AB ∥，12EF AB =．∵点D 是边AB 的中点， ∴12AD AB =．∴AD EF =．∴四边形ADFE 是平行四边形．∵点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点， ∴12DE BC =． ∵2BC AF =，∴AF DE =．∴平行四边形ADFE 是矩形．（2）∵四边形ADFE 为矩形，∴90BAC FEC ∠=∠=︒．∵2AF =，点F 是边BC 的中点，∴24BC AF ==，2CF AF ==．∵30C ∠=︒，∴1EF =，CE∴AE CE ==∴矩形ADFE 的周长为：())2212AE EF +==．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质以及解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．。
矩形的判定
矩形的判定学习目标:理解并掌握矩形的判定方法并会利用矩形的判定方法进行简单的判定 学习重点:矩形判定定理探究学习难点:运用矩形的判定定理进行计算或证明合作探究探究点一 矩形的判定方法1、定义法：有一个角是直角的平行四边形．．．．．是矩形 2、矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形．．．是矩形 3、矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形．．．．．是矩形 4、矩形的判定定理3：对角线相等且互相平分的四边形．．．是矩形探究点二 矩形的判定定理的应用例1 如图，M 为□ABCD 边AD 的中点，且MB =MC .求证：四边形ABCD 是矩形.例2 如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 相交于点O ，21∠=∠. 求证：四边形ABCD 是矩形.ABCB D A B C例3 已知，如图，在△ABC 中，AB =AC ，A D ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E .求证：四边形ADCE 是矩形.例4 在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF .（1）BD 与CD 有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明理由.当堂检测1、具备下列条件的四边形是矩形的是（ ）A 、对角线相等B 、对角线互相垂直且平分C 、四个角相等D 、四边形是平行四边形，且对角线互相垂直2、下列命题中，真命题的是（ ）A 、两组对角分别相等的四边形是矩形B 、有两个角是直角的四边形是矩形C 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形D 、有一个角是直角，且一组对边相等的四边形是矩形3、在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是（ ）A 、AB =AD B 、OA =OBC 、AC =BD D 、DC ⊥BCF。
矩形的判定
求证: 四边形ABCD是矩形 证明： 在 ABCD中， AB=DC,BD=CA,AD=DA。 所以△BAD≌△CDA(SSS)。
所以∠BAD=∠CDA。 因为AB∥CD， 所以∠BAD＝90°。 所以∠BAD +∠CDA=180°。 所以四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边 形是矩形）
∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的 平行四边形是矩形）。
变式一: 已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相 交于点O，E、F、G 、 H分别是AO 、BO 、 CO 、 DO上的一点 ,且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH是矩形
A E H D
O F B G C
找一找 如图,四边形ABCD的对角线相交于点O, 给出下列条件:①AB∥CD ②AB=CD ③ AC=BD ④∠ABC=90°⑤OA=OC ⑥OB=OD 请从这6个条件中选取3个,使四边形ABCD是矩 形,并说明理由. 可以说明平行四边形的有: ①② ⑤⑥ ①⑤ ①⑥ ①②③ ①②④ ⑤⑥③ ①⑤③ ①⑥③ ⑤⑥④ ①⑤④ ①⑥④
练习1： 如果平行四边形四个内角的平分线能够围 成一个四边形，那么这个四边形是矩形． 已知：如图， ABCD的四个内角的 平分线分别相交于E、F、G、H， 求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：因为AB∥CD， 所以∠ABC＋∠BCD=180°。 因为BG平分∠ABC，CG平分∠BCD， 1 1 所以∠GBC＝ 2 ∠ABC，∠GCB＝ 2 ∠DCB。 1 所以∠GBC + ∠GCB = 2 ×180°=90 ° ．
所以∠BGC=90°。 同理可证∠AFB=∠AED=90°. 所以四边形EFGH是矩形 (有三个角是直角的四边形是矩形)
例 2 已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、 CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．
矩形定义、性质、判定
矩形定义、性质、判定
•矩形:
是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。
•矩形的性质：
1．矩形的4个内角都是直角；
2．矩形的对角线相等且互相平分；
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。
对称中心是对角线的交点。
5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
•矩形的判定：
①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
矩形的面积：S矩形=长×宽=ab。
•黄金矩形:
宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。
世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。
如希腊的巴特农神庙等。
19.3.2矩形的判定
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； X
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 矩形；
巩固新知
判断题
1.对角线相等且一组对边也相等的四边 × 形是矩形． 2.两条对角线交点到四个顶点距离相等 √ 的四边形为矩形． 3.有一组对边相等，一组对角是直角的 √ 四边形是矩形．
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：在□ABCD中，AC=BD。
A 求证：□ABCD是矩形。 证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD D
∴ △ABC≌ △DCB（SSS） ∴ ∠ABC=∠DCB ∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC= ∠DCB=90° ∴□ABCD是矩形
Ｂ
Ｅ
3、在平行四边形ABCD中,对角线AC BD相交于O,EF过O,且AF⊥BC, 求证:四 边形AFCE是矩形
A O E D
B
F
C
4. M,N是 ABCD的对边AD,BC的中 点且AD=2AB, 求证：四边形PMON是矩形
A O B N M P C D
自我诊断
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ C） A 对角线相等 B 对角线垂直 C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等 2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对 角线长是 5 cm 3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、 CB、CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、 ∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ C ） A 菱形 B 平行四边形 P A E F C 矩形 D 不能确定
矩形的判定
定理2 对角线相等的平行四边形是矩形. 警示：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，这个
四边形必须是平行四边形才可以.
知2－讲
例4 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F两点 在边BC上，AB∥DE，AF∥DC，且四边形 AEFD是平行四边形． (1)AD与BC有何数量关系？请说明理由． (2)当AB＝DC时，求证：▱AEFD是矩形．
(2)先利用平行四边形的性质及已知条件证得： BE ＝// DF，得四边形DEBF是平行四边形，再 结合条件∠DEB＝90°，即可证明四边形DEBF 是矩形．
（来自《点拨》）
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD＝BC， 在△ADE和△CBF中， ∵AD＝CB，∠A＝∠C，AE＝CF， ∴△ADE≌△CBF(SAS)．
证明：(2)由(1)知四边形ABED和四边形AFCD都 是平行四边形， ∴DE＝AB，AF＝DC. 又∵AB＝DC， ∴DE＝AF. 又∵四边形AEFD是平行四边形， ∴四边形AEFD是矩形．
（来自《点拨》）
总结
知2－讲
证明一个平行四边形为矩形的两种方法： 一是证明有一个角是直角，另一个是证明两条
知1－练
3 数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是 否为矩形. 下面是某合作小组的4位同学拟订的方 案，其中正确的是( ) A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否都为直角
（来自《典中点》）
知1－练
4 对于四边形ABCD，给出下列6组条件： ①∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D； ②∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D； ③∠A＝∠B＝∠C＝∠D； ④∠A＝∠B＝∠C＝90°； ⑤AC＝BD； ⑥AB∥CD，AD∥BC. 其中能得到“四边形ABCD是矩形”的有( ) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
矩形的判定
一天,小丽和吴娟到一个商店准备给今天要 过生日的肖华买生日礼物,选了半天,她们俩最 后决定买相框送给她,在里面摆放她们三个好朋 友的相片,为了保证相框摆放的美观性,她们选 择了矩形的相框,那么她们是用什么方法可以知 道她们拿的就是矩形相框呢?
(2)
□ABCD
AC=BD
(3) ∠A= ∠B= ∠C=90°
木工师傅检查所做的门窗是否是矩形常用什么方法？ 为什么？
木工师傅靠测量门窗的对角线是否相等来判断所做的门
窗是否是矩形.因为对角线相等的平行四边形是矩形.
学以致用关
工作师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： (1)先截同两对符合规格的铝合金窗料，使AB＝CD，EF＝GH 平行四边 (2)摆放成如图所示的四边形，则这时窗框的形状____________ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 形，数学原理是_______________________________________ (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图所示)，调整窗框的边框， 当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗 矩 形，数学原理是_________________________________ 有一个角为直角的平行四边形是矩形 框是_____
1 ⌒
⌒
E
2
B
P
1 1 ∴ ∠1+∠2= (∠ABC+∠ABP)= ×180°=90° 2 2 即∠DBE=90° ∴ □ AEBD是矩形
1 1 ∴∠1= ∠ABC,∠2= ∠ABP 2 2
1.本节课你学会了几种矩形的判定方法？ 矩形的判定口诀： 任意一个四边形， 三角直角定矩形。 对于平行四边形， 一个直角即可定； 对线相等也矩形。 2.本节课所学的解决问题的思路是什么？ 解决一个数学问题，常要通过“ 猜想”----“验 证猜想(证明)”-----“得出结论”
矩形的判定课件
C
２、已知：矩形的对角线ABCD的对 角线ＡＣ、ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ、 Ｆ、Ｇ、Ｈ分别在ＯＡ、ＯＢ、ＯＣ、 ＯＤ上，且ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＤＨ。 求证：四边形ＥＦＧＨ是矩形
A
Ｅ
Ｏ Ｆ Ｂ
Ｈ
Ｄ
Ｇ
Ｃ
四、挑战自我
１、已知：平行四边形的对角线相交 于点Ｏ。分别添加下列条件： (1)∠ABC＝90º (2)AC⊥BD (3)AB=BC (4)AC平分∠BAD(5)AO=DO 使得四边形ABCD为矩形的条件的序号 A D 为
O B C
2、已知：平行四边形ABCD的四 个内角的平分线分别相交于E、 F、G、H。 试证明：四边形EFGH为矩形
A Ｅ Ｆ Ｈ Ｄ
Ｇ
Ｂ Ｃ
３、已知：平行四边形ABCD中，对
角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边 形外一点，且PA⊥PC,PB⊥PD，垂足 为Ｐ。求证：四边形ABCD为矩形
Ｐ Ａ Ｏ Ｂ Ｃ Ｄ
五、总结提升
１、矩形的判定定理 （1）对角线相等的平行四边形是矩形。 （2）有三个角是直角的四边形是矩形。 ２、矩形的性质在证明中的应用。 （对角线相等和四个角都是直角） ３、线段和角转移的方法。
六、布置作业：
课本：P26 10、11 完成《补充习题》
O D
B
C
2、有三个角是直角的四边形是矩形。 已知如图：在四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=90º 求证：四边形ABCD是矩形。
A D
Байду номын сангаас
B
C
三、牛刀小试
1、已知：如图，E、F、G、H分别是 菱形ABCD的各边上的点，且 AE=CF=CG=AH。 求证：四边形ＡBCD是矩形。 A
Ｅ Ｈ
矩形的判定
D
C
矩形与平行四边形的性质对比
平行四边形性质 矩形
两组对边平行且相等
边 角 对角线
两组对边平行且相等
对角相等
对角相等,都是90° 对角相等,都是90°
两条对角线互相平分 两对角线相等且互相平分
19.2.1矩形的判定 19.2.1矩形的判定 开动 脑筋假如你是做窗框的
师傅，你有什么方法检 师傅， 验你做的这个窗框成 矩形？（直角尺等） ？（直角尺等 矩形？（直角尺等）
19.2.1矩形的判定 19.2.1矩形的判定
钟英中学
罗从曦
A
D
B
C
A 如图，四边形 是矩形。 如图，四边形ABCD是矩形。 是矩形 （1）若已知∠DBC=400， ）若已知∠ 则∠BDC= 500 。 （2）若BC=8，DC=6， ） ， ， 则BD= 10 ； AC= 10 。 矩形的性质： 矩形的性质： 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 B
一组对角互补的平行四边形是矩形； （8）一组对角互补的平行四边形是矩形； √ 对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； ×
牛刀小试
我能行！
1、已知如图四边形ABCD中AB⊥BC， 、已知如图四边形 中 ⊥ ， AD∥BC，AD=BC，试说明四边形 ∥ ， ，试说明四边形ABCD 是矩形。 是矩形。 证明： 证明：∵ AD=CB AD∥CB ∥ 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形 是平行四边形 A ∵AB⊥BC ⊥ ∴∠B=90° ∴∠ ° ∴ □ ABCD是矩形 是矩形
已知:如图,在四边形ABCD中 已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=900. ABCD 求证:四边形ABCD是矩形. 求证:四边形ABCD是矩形. ABCD是矩形
矩形的判定(1)
又∵∠1=∠2
∴AO=BO ∴AC=BD ∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)
课后作业:
课本110页 习题20.2 第1、2题
□ABCD
∠A=90°
四边形ABCD是矩形
你还有其它的判定方法吗？
矩形的性质“两条对角线相等且互相平分”中，“对
角线互相平分”是平行四边形的性质，而“对角线相等” 是矩形的性质. 由矩形的性质“矩形的对角线相等”我们可以猜想: “如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个 平行四边形是一个矩形”
证明: ∵∠A=∠B=∠C=90°, B ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角 的平行四边形是矩形） C A D
矩形判定3：有三个角是直角的四边形是矩形
∠A=∠B=∠C=90° A D 四边形ABCD
B
A E F O H G D
∴四边形EFGH是矩形 (对角线互相平分且
相等的四边形是矩形).
C
有一个角是直角的四边形 是矩形吗？ 有两个角是直角的四边形
是矩形吗？ 有三个角是直角的 四边
形是矩形吗？
归纳：有三个角是直角的四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形. 已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形.
A D
C
矩形判定2：对角线相等的平行四边形是矩形
A D O B C
ABCD AC = BD
ABCD 是矩形
推论:对角线互相平分且相等的四边形是矩形
AO CO, BO DO AC BD
矩形的判定
O B C
复习 探索 小结
矩 形 的 判 定
平行四 边形
小结
四边形
矩形
复习 探索 小结
�
矩 形 的 判 定
工人师傅在做门框或矩形零件时, 工人师傅在做门框或矩形零件时, 常要检查直角的精度. 常要检查直角的精度.你知道他们 是采用什么方法来检查的吗? 是采用什么方法来检查的吗?
矩形的判定
复习 探索 小结
矩 形 的 判 定
边 角 平行四边形 两组对边平行 两组对边相等 两组对角相等 矩形 两组对边平行 两组对边相等 四个角都是直角
请自行画图; 你能感知这个平行四边形有什么特殊吗? 你能证明吗?
复习 探索 小结
矩 形 的 判 定
应用练习2 应用练习 看以下这个图形,你还有印象吗? 看以下这个图形,你还有印象吗? 已知:平行四边形ABCD,AF,BH,CH, 已知:平行四边形ABCD AF,BH,CH, ABCD, DF分别是 BAD, ABC, BCD, CDA的 分别是∠ DF分别是∠BAD,∠ABC,∠BCD,∠CDA的 平分线.你能推出什么结论?(2001年 ?(2001 平分线.你能推出什么结论?(2001年 江西省中考题) 江西省中考题)
矩形与平行四边形的性质对比
对角线互相平分 对角线 对角线互相平分 对角线相等
复习 探索 小结
矩 形 的 判 定
综合运用矩形和三角形的知识
如图, 是矩形ABCD边CB延长线上一点, 如图,E是矩形ABCD边CB延长线上一点, ABCD 延长线上一点 CE=CA, AE的中点 求证:BF⊥DF. 的中点. CE=CA,F为AE的中点.求证:BF⊥DF.
A D
F
推论:直角三角 形斜边上的中线 等于斜边的一半
矩形的判定
4、已知：平行 已知：
四边形ABCD的对角 四边形ABCD的对角 ABCD O 线相交于点Ｏ。 Ｏ。分 线相交于点Ｏ。分 C 别添加下列条件： 别添加下列条件： B (1)∠ABC＝90º (1)∠ABC＝90º (2)AC⊥BD (3)AB=BC (4)AC平分∠ (4)AC平分∠BAD(5)AO=DO 平分 使得四边形ABCD ABCD为矩形的条件的序号 使得四边形ABCD为矩形的条件的序号 为 。
3、矩形的判定？ 矩形的判定？
复习内容
平行四边形的性质 平行四边形判定
平行四边形两组对边分别相等 两组对边分别平行(或相等) 两组对边分别平行(或相等) 平行四边形两组对边分别平行 的四边形是平行四边形
平行四边形一组对边平行 且相等 平行四边形对角线互相平 分
一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形 是平行四边形 两组对角分别相等的四边 平行四边形两组对角分别相等 形是平行四边形
Ｐ Ａ
Ｏ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
五、总结
矩形判定方法1 矩形判定方法1
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形判定方法2 矩形判定方法2
有三个角是直角的四边形是矩形。 有三个角是直角的四边形是矩形。
矩形判定方法3 矩形判定方法3
对角线相等的平行四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形。
思考：平行四边形ABCD中 对角线AC、 思考：平行四边形ABCD中，对角线AC、 ABCD AC BD相交于点Ｏ，点 是四边形外一点， 相交于点Ｏ， BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点， PA⊥PC,PB⊥PD，垂足为Ｐ。 且PA⊥PC,PB⊥PD，垂足为Ｐ。 求证：四边形ABCD ABCD为矩形 求证：四边形ABCD为矩形
矩形的判定和性质
矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是900； 4.矩形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（如图：OB=OC=OA=21AC ）二、例题讲解考点一：矩形的基本性质例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．AEDCBO练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。
例3：如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB 、BC 分别长15cm 和25cm ，内角∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ．试求BE 与CE 的长度．练习1：如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点．试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ；ADCB 图1F E练习1：如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，∠BEC 为直角，矩形ABCD 的周长是20，求AD 、AB 的长。
矩形的判定
判断题：
1、内角都相等的四边形是矩形。（ √ ）
2、对角线相等的四边形是矩形。 （ ╳ ）
√ 3、对角线相等的平行四边形是矩形。 （ ） √ 4、对角线互相平分且相等的四边形是矩形（ ） √ 5、邻角相等的平行四边形是矩形。 （ ）
√ 6、对角互补的平行四边形是矩形。 （ ）
7、 ABCD中，AB=10，BC=8，AC=6， 则四边形
有关矩形问题可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.
方法一.
根据定义:有一个角是直角的平行四边形是矩 形.
A
D
∵ ABCD
∠B=90°
B
C ∴四边形ABCD是矩形
有一个角是直角 有两个角是直角 有三个角是直角
的 四边形是矩形吗？
方法二
有三个角是直角的四边形是矩形.
A
D ∵∠A=∠B=∠C=90°
你怎样检查一个四边形门框是不是矩形吗？
矩形的判定
温固知新
内容方面：
1. 矩形的定义： 四边形
2. 矩形的性质：
四边形ABCD 是矩形
两组对边 平行
有一个内角A
分别平行 四边形
是直角
B
边:对边平行且相等
角:四个角都是直角
对角线:互相平分且相等
D
矩形
O C
直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半.
思想方法方面：
B
C ∴四边形ABCD是矩形
老师给出了一个平行四边形,考考同学们用什么方法 可以判定它是矩形.
一同学回答:只要测量两条对角线,若两条对角线 相等,则这个四边形是矩形.
你认为他的说法对吗?
方法三
对角线相等的平行四边形是矩形.
A
D
矩形的判定方法
矩形的判定方法矩形是几何学中常见的形状，具有四条边和四个角的特点。
在日常生活和数学问题中，我们经常需要判定一个图形是否为矩形。
下面将介绍几种判定矩形的方法。
1. 边长判定法。
矩形的特点是对角线相等且相互平分。
因此，我们可以通过判断四条边的长度是否符合这一特点来判定一个图形是否为矩形。
如果一个图形的对角线长度相等且相互平分，那么这个图形就是矩形。
2. 角度判定法。
矩形的特点是四个角都是直角。
因此，我们可以通过判断一个图形的四个角是否都是直角来判定这个图形是否为矩形。
如果一个图形的四个角都是直角，那么这个图形就是矩形。
3. 对角线判定法。
矩形的特点是对角线相等且相互平分。
因此，我们可以通过判断一个图形的对角线是否相等且相互平分来判定这个图形是否为矩形。
如果一个图形的对角线长度相等且相互平分，那么这个图形就是矩形。
4. 对边平行判定法。
矩形的特点是相对边两两平行且相等。
因此，我们可以通过判断一个图形的相对边是否都是平行且相等来判定这个图形是否为矩形。
如果一个图形的相对边都是平行且相等，那么这个图形就是矩形。
5. 综合判定法。
除了以上几种方法外，我们还可以综合运用边长、角度、对角线和对边平行等多种特征来判定一个图形是否为矩形。
通过综合判定法，我们可以更加准确地判断一个图形是否为矩形。
总结。
矩形是一种常见的几何图形，判定一个图形是否为矩形可以通过边长、角度、对角线和对边平行等多种方法来进行。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的判定方法来判断一个图形是否为矩形，从而更好地解决问题。
通过以上介绍，相信大家对矩形的判定方法有了更深入的了解。
希望这些方法能够帮助大家更好地理解和应用矩形的相关知识。
2.1矩形的判定
20.2.1矩形的判定
复习
∟
四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形 一个角 是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
四边形集合 平行四边形集合 矩形集合
回顾矩形的性质
A O B
D
C
边 角
矩形对边平行且相等；
矩形的四个角都是直角；
对角线 矩形的对角线相等且平分；
矩形的判定
矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
已知：平行四边形ABCD，AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形.
证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD ∴ △ABC≌ △DCB（SSS） ∴ ∠ABC=∠DCB ∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是矩形.
ABCD ∠A=900
四边形ABCD是矩形
你还有其它的判定方法吗？
实例一
工人师傅为了检验两组对边相等的四边 形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个 四边形的两条对角线长度，如果对角线长相 等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 .
证明 对角线相等的平行四边形是矩形.
M Q C N
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矩形的判定
【教学目标】
1、知识与技能
理解并掌握矩形的判定方法。
使学生能运用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。
2、过程与方法
通过证明性质定理的逆命题为真命题来证明判定定理。
3、情感、态度与价值观
培养逆向思维的能力。
重点与难点
1、重点：矩形的判定。
2、难点：矩形的判定及性质的综合应用。
学前分析
判定定理都是以“定义”为基础推导出来的。
因此本节课要从复习矩形定义下手，并指出由平行四边形得到矩形只需添加一个独立条件。
除了通过定义来判定一个四边形是矩形外，在探究判定定理时要让学生沿着这样的思路进行探究：先构造性质定理的逆命题，然后再去证明逆命题的真假，如能证明逆命题为真命题，那么这个逆命题就成了相应的判定定理。
教学过程
一、复习引入
我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形。
除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？
教师提问：我们先来回忆矩形的定义与性质。
学生回答后教师加以总结：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。
矩形除了有平行四边形的所有性质外，还具有如下的性质：①两条对角线相等且互相平分；②四个内角都是直角。
教师讲解：我们借鉴上一节的探究方法。
要判定一个四边形是矩形，可以从定义入手，一方面证明它是一个平行四边形；另一方面证明这个四边形有一个角是直角。
我们还可以像上节那样，将矩形性质定理的条件与结论相交换，形成一个逆命题，然后证明这个逆命题是真命题，从而得到一个判定定理。
[设计意图]：通过复习前面学习的矩形的性质，引出本节要学习的内容.
二、探究新知
（一）判定定理1的探究与证明
教师提问：矩形的第1条性质：“矩形的两条对角线相等且互相平分”的逆命题是什么？
学生回答后教师加以总结：上述性质定理的逆命题是：两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
学生动手测量:数学书的对角线是否相等
通过实践，我们由此可以得到判定矩形的一种方法：
对角线相等的平行四边形是矩形，或对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
结论的证明很简单。
在平行四边形ABCD中，对角线AC与对角线BD相等，我们可以证明四边形ABCD是矩形。
教师讲解该题的证明过程并板书。
教师讲解：这一判定方法在生活中有许多用处，木工师傅在制作门框或其他矩形的物体时，常用测量对角线的方法来检验产品是否符合要求。
[设计意图]：让学生经历实验、验证的过程，发现对角线相等的平行四边形是矩形.并严格证明，让学生直观地得到只需证明两个三角形全等就可以得出结论
（二）例题讲解
教师提出问题:
O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE＝BF＝CG＝DH。
求证：四边形EFGH是矩形。
教师分析解题思路：∵O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，∴AO ＝BO＝CO＝DO。
有了这个结论，要证四边形EFGH是矩形，很自然会想到利用刚讲过的矩形判定定理，即想办法去证明HO＝GO＝FO＝EO。
再结合条件AE＝BF＝CG＝DH，问题即可得证。
教师要求学生叙述证明过程，并同步纠正学生叙述的错误，同时板书
[设计意图]：通过师生的分析、思考，培养学生的分析能力及逻辑推理能力。
（三）判定定理2的探究与证明
教师通过提醒拓展学生的思路：由矩形的另一条性质：“矩形的四个内角都是直角”，它的逆命题是什么？如果我们能证明这个命题是真命题，我们也就得到了矩形的另一个判定定理。
实际上，由于四边形的内角和是360°，所以只要有3个角都是直角，则第四个角也一定是直角。
这样我们只要去证“三个内角都是直角的四边形是矩形”这个命题是真命题就可以了。
由此得到了判定矩形的又一种方法：有三个内角是直角的四边形是矩形。
教师要求学生自己证明，并向学生提示，可以通过同旁内角互补两直线平行这个定理来证明满足条件的四边形是平行四边形，然后再证矩形。
学生证明后教师板书证明过程。
已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°。
求证：四边形ABCD是矩形。
证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A与∠B互补。
∴AD∥BC。
∵∠B＝∠C＝90°，
∴∠C与∠B互补。
∴AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形。
又∵∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形。
[设计意图]：让学生经历猜想、探索、验证的过程，发现有三个角是直角的四边形是矩形这一判定方法.
（四）例题讲解（补充）
已知：的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H。
求证：四边形EFGH是矩形。
分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图20.2－6，因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BD。
∴∠DAB＋∠ABC＝180°。
又AE平分∠DAB，BG平分∠ABC，
∴∠EAB＋∠ABG＝×180°＝90°。
∴∠AFB＝90°。
同理可证∠AED＝∠BGC＝∠CHD＝90°。
∴四边形EFGH是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）
[设计意图]：通过例题讲解，启发学生的思维，进一步熟练使用判定定理.
三、随堂练习
1、甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是（）
A、甲量得窗框两组对边分别相等；
B、乙量得窗框对角线相等；
C、丙量得窗框的一组邻边相等；
D、丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等。
2、已知：四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＋∠D＝180°，AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形。
求证：四边形ABCD是矩形。
参考答案：
1.D
2.提示：因为∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CD，又AB＝CD，所以四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC= AC，OB=OD= BD，又因为△AOB 是等边三角形，所以OA=OB，所以AC=BD，所以四边形ABCD是矩形。
四、课时总结
对角线相等的平行四边形是矩形，或对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
五、布置作业
1.BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D为垂足。
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）连结ED，若F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于点H，且FG∥ED。
求证：△AHG为等腰三角形。
2.在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝18cm，
BC＝21cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm／秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边以2cm／秒的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒，t为何值时四边形ABQP为矩形？
参考答案:
1.(1)提示:由已知条件可证：∠AEB=∠EBD=∠ADB=90°，利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可判定四边形AEBD是矩形。
（2）利用“矩形的对角线相等且互相平分”可证。
2.提示：要使四边形ABQP为矩形，由已知条件∠B＝90°，所以只需四边形ABQP为平行四边形，又AD∥BC，所以只需AP=BQ；即t=21－2t，解之得t=7.
对角线相等的平行四边形是矩形。
对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
关于教学设计的反思
本课的设计力求体现：
●1.数学问题生活化
●2.培养学生观察、交流、分析、归纳的能力
●3.让学生充分经历知识形成的全过程．
●4.鼓励学生主动参与、主动探索、主动思考、主动实践。