高考数学新题型
数学2024新高考题型
数学2024新高考题型
2024年新高考数学题型的变化可以总结如下：
1. 整体结构变化：
- 多选题减少，每题分值提高至6分。
- 填空题和大题数量均有所减少，可能是为了更侧重于综合能力和深度思考的考察。
- 解答题（大题）部分总分为77分，且包含具有较高难度、接近竞赛水平的题目。
2. 广东高考题型调整：
- 数学题型向高考英语靠拢，这意味着可能增加基于语篇理解及应用数学知识解决实际问题的题型。
- 广东省采用与九省联考类似的试卷结构，即保留了单选题、多选题、填空题和解答题的基本构成。
3. 新增或强调的题型：
- 集合的运算
- 四种命题及其关系的理解与运用
- 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明
- 求解涉及充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围
这些信息意味着在备考2024年新高考数学时，学生需要注重提升以下能力：
- 对基础知识的扎实掌握，特别是集合论初步知识、逻辑推理等。
- 灵活运用所学知识解决复杂问题的能力。
- 提高分析解读题意以及将数学知识应用于实际情境的能力。
建议考生密切关注当地教育考试院发布的最新官方通知，并根据新的题型特点及时调整复习策略。
新高考数学题型试卷
新高考数学题型试卷一、选择题（每题5分，共8小题）1. 设集合A = {xx^2-3x + 2 = 0}，B={xx^2-ax + a - 1 = 0}，若A∩ B = B，则a的值为（）- A. 2.- B. 3.- C. 2或3。
- D. 1或2或3。
解析：- 先求解集合A，对于方程x^2-3x + 2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以A={1,2}。
- 对于集合B，方程x^2-ax + a - 1 = 0可化为(x - 1)[x-(a - 1)] = 0，解得x = 1或x=a - 1，所以B={1,a - 1}。
- 因为A∩ B = B，所以B⊆ A。
- 当a-1 = 1时，a = 2；当a - 1=2时，a = 3。
所以a的值为2或3，答案选C。
2. 复数z=(1 + i)/(1 - i)的共轭复数是（）- A. i- B. -i- C. 1 - i- D. 1 + i解析：- 先化简z=(1 + i)/(1 - i)，分子分母同时乘以1 + i，得到z=frac{(1 + i)^2}{(1 - i)(1 + i)}=frac{1 + 2i+i^2}{2}=(2i)/(2)=i。
- 复数i的共轭复数是-i，所以答案选B。
3. 已知向量→a=(1,2)，→b=(x,1)，若→a⊥→b，则x的值为（）- A. - 2.- B. 2.- C. -(1)/(2)- D. (1)/(2)解析：- 因为→a⊥→b，根据向量垂直的性质→a·→b=0。
- 又→a=(1,2)，→b=(x,1)，则→a·→b=1× x+2×1 = 0，即x + 2 = 0，解得x=-2，答案选A。
4. 在等差数列{a_n}中，a_3=5，a_7=13，则a_11的值为（）- A. 21.- B. 22.- C. 23.- D. 24.解析：- 根据等差数列的性质：若m,n,p,q∈ N^+，且m + n=p + q，则a_m+a_n=a_p+a_q。
2024年高考考前信息必刷卷二(新高考新题型)数学及答案
绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）随着九省联考的结束，全国陆续有多个省份宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。
新的试题模式与原模式相比变化较大，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中单选题的题量不变，多选题、填空题、解答题各减少1题，多选题由原来的0分、2分、5分三种得分变为“部分选对得部分分，满分为6分”，填空题每题仍为5分，总分15分，解答题变为5题，分值依次为13分、15分、15分、17分、17分。
新的试题模式与原模式相比，各个题目的考查内容、排列顺序进行了大幅度的调整。
多年不变的集合题从单选题的第1题变为填空题，且以往压轴的函数与导数试题在测试卷中安排在解答题的第1题，难度大幅度降低；概率与统计试题也降低了难度，安排在解答题的第2题；在压轴题安排了新情境试题。
这些变化对于打破学生机械应试的套路模式，对促使学生全面掌握主干知识、提升基本能力具有积极的导向作用。
九省联考新模式的变化，不仅仅体现在题目个数与分值的变化上，其最大的变换在于命题方向与理念的变化，与以往的试题比较，试题的数学味更浓了，试卷没有太多的废话，也没有强加所谓的情景，体现了数学的简洁美，特别是最后一道大题，题目给出定义，让考生推导性质，考查考生的数学学习能力和数学探索能力，这就要求考生在平时的学习中要注重定理、公式的推导证明，才能培养数学解决这类问题的思维素养。
试卷的命制体现“多想少算”的理念，从重考查知识回忆向重考查思维过程转变，试卷题目的设置层次递进有序，难度结构合理，中低难度的题目平和清新，重点突出；高难度的题目不偏不怪，中规中矩，体现了良好的区分性，可有效的引导考生在学习过程中从小处着手，掌握基本概念和常规计算；从大处着眼，建构高中数学的知识体系。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．6(1)ax -的展开式中3x 的系数为160，则=a （ ）A. 2B. 2- C. 4D. 4-2．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34564,8S a a a =++=，则96S S =（ ）A ．2B ．73C ．53D ．373．某学校运动会男子100m 决赛中，八名选手的成绩（单位：s ）分别为：13.09，13.15，12.90,13.16，12.96，13.11，x ，13.24，则下列说法错误的是（ ）A ．若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155，则13.15x =B ．若该八名选手成绩的众数仅为13.15，则13.15x =C ．若该八名选手成绩的极差为0.34，则12.9013.24x ≤≤D ．若该八名选手成绩的平均数为13.095，则13.15x =4．在ABC 中，π3C =，AB =5AC BC +=，则ABC 的面积为（ ）AB．C．D．5．已知π170,sin sin ,cos cos 21010βααβαβ<<<==，则cos2α=（ ）A ．0B ．725C ．2425D ．16．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆,,A B C 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为（ ）A ．35B ．2150C ．611D ．347．在平行四边形ABCD 中，24AB AD ==，π3BAD ∠=，E ，H 分别为AB ，CD 的中点，将ADE V 沿直线DE 折起，构成如图所示的四棱锥A BCDE '-，F 为A C '的中点，则下列说法不正确的是（ ）A ．平面//BFH 平面A DE'B ．四棱锥A BCDE '-体积的最大值为3C ．无论如何折叠都无法满足'AD BC ⊥D ．三棱锥A DEH '-表面积的最大值为48．曲线C 是平面内与三个定点()11,0F -，()21,0F 和()30,1F 的距离的和等于.给出下列四个结论：①曲线C 关于x 轴、y 轴均对称；②曲线C 上存在点P ，使得3PF =③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积最大值是1；④曲线C 上存在点P ，使得12F PF ∠为钝角.其中所有正确结论的序号是（ ）A ．②③④B ．②③C ．③④D ．①②③④二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()44cos cos sin f x x x x x =+-，则下列说法正确的是（ ）A ．最小正周期为πB ．函数()f x 在区间()π,π-内有6个零点C ．()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．将()f x 的图象向左平移π4个单位，得到函数()g x 的图象，若()g x 在[]0,t 上的最大值为()0g ，则t的最大值为5π610．已知直线()():2110l a x a y +-+-=与圆22:4C x y +=交于点,A B ，点()1,1,P AB 中点为Q ，则（）A ．AB 的最小值为B ．AB 的最大值为4C ．PA PB ⋅为定值D ．存在定点M ，使得MQ 为定值11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()f x 是奇函数，()()210f f =-≠，且对任意,R x y ∈，()()()()()f x y f x f y f x f y ''+=+，则（ ）A ．()112f '=-B ．()60f =C ．20241()1k f k ==∑D ．20241()1k f k '==-∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若复数2023i 12iz =-，则zz =13．已知三个实数a 、b 、c ，当时，且，则的取值范围是 ．14．已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数421()2ln 24g x x ax x x x =--+．(1)当1a =时，求()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线方程；(2)若()0g x '≥，求实数a 的取值范围．16．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点2F 与抛物线24y x =的焦点重合，且其离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，求证：MN OP k k ⋅（O 为坐标原点）为定值.17．（15分）如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==.0c >23b a c ≤+2bc a =2a cb-(1)求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；(2)若直线1B C 与平面11ACC A 1B CC A --的正弦值.18．（17分）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据0.100α=的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？就餐区域性别南区北区合计男331043女38745合计711788（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为13，23；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为14，14，12．（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；（ⅱ）求第()*n n ∈N天他去甲餐厅用餐的概率np ．附：()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++；α0.1000.0500.0250.010x α2.7063.8415.0246.63519．（17分）已知定义域为R 的函数()h x 满足：对于任意的x ∈R ，都有()()()2π2πh x h x h =++，则称函数()h x 具有性质P .（1）判断函数()()2,cos f x x g x x ==是否具有性质P ；（直接写出结论）（2）已知函数()()35πsin ,222f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，判断是否存在,ωϕ，使函数()f x 具有性质P ？若存在，求出,ωϕ的值；若不存在，说明理由；（3）设函数()f x 具有性质P ，且在区间[]0,2π上的值域为()()π0,2f f ⎡⎤⎣⎦.函数()()()sin g x f x =，满足()()2πg x g x +=，且在区间()0,2π上有且只有一个零点.求证：()2π2πf =.绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）随着九省联考的结束，全国陆续有多个省份宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。
新高考高三数学新题型试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列各式中，属于对数式的是（）A. 2^x = 8B. x^3 = 27C. log_2(4) = 2D. sin(x) = 12. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 2，f'(2) = 4，则a = （）A. 1B. 2C. 3D. 43. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为（）A. (3,2)B. (2,3)C. (3,3)D. (2,2)4. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的对应点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限5. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. y = 2^xB. y = log_2(x)C. y = x^2D. y = -x6. 已知数列{an}满足an = 2an-1 - 1（n ≥ 2），且a1 = 1，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^nD. an = 2^n - 27. 在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则sinC = （）A. 1/2B. √3/2C. √2/2D. 18. 下列命题中，正确的是（）A. 函数y = x^3在R上单调递增B. 等差数列{an}的公差一定为正数C. 对数函数y = log_2(x)在定义域内单调递增D. 二项式定理中，展开式中第r+1项的系数为C(n,r)9. 若复数z = a + bi（a，b∈R），且|z| = √(a^2 + b^2) = 1，则z的共轭复数是（）A. a - biB. -a - biC. a + biD. -a + bi10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的极值点为（）A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = -1 或 x = 1二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。
新高考数学试卷题型
新高考数学试卷题型一、选择题（共8小题）1. 设集合A = {xx^2-3x + 2 = 0}，B={x∈ Z - 1≤slant x - 1≤slant2}，则A∩ B=（）- A. {1,2}- B. {1}- C. {2}- D. varnothing- 解析：- 先求解集合A，对于方程x^2-3x + 2 = 0，分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以A={1,2}。
- 再求解集合B，不等式-1≤slant x - 1≤slant2，移项可得0≤slant x≤slant3，又因为x∈ Z，所以B = {0,1,2,3}。
- 则A∩ B={1,2}，答案为A。
2. 已知i为虚数单位，若复数z=(1 + 2i)/(2 - i)，z的共轭复数为¯z，则z·¯z=（）- A. 1.- B. √(5)- C. 5.- D. (√(5))/(5)- 解析：- 先将复数z=(1 + 2i)/(2 - i)化简，分子分母同时乘以2 + i得：z=((1 + 2i)(2 + i))/((2 - i)(2 + i))=frac{2 + i+4i + 2i^2}{4 - i^2}=(2 + 5i-2)/(4 + 1)=i。
- 共轭复数¯z=-i，则z·¯z=i·(-i)=1，答案为A。
3. 已知向量→a=(1,2)，→b=(m, - 1)，若→a∥(→a+→b)，则m=（）- A. (1)/(2)- B. -(1)/(2)- C. 3.- D. -3.- 解析：- 先求→a+→b=(1 + m,1)。
- 因为→a∥(→a+→b)，根据两向量平行的坐标表示x_1y_2-x_2y_1=0，这里x_1=1,y_1=2,x_2=1 + m,y_2=1，则1×1-2×(1 + m)=0。
- 即1-2 - 2m=0，解得m=-(1)/(2)，答案为B。
新题型高考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，若$f(1) = 0$，$f(2) = 3$，$f(3) = 6$，则$a+b+c=$A. 0B. 3C. 6D. 92. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 3$，$a_5 = 11$，则该数列的公差$d=$A. 2B. 3C. 4D. 53. 若复数$z$满足$|z - 1| = |z + 1|$，则复数$z$对应的点在A. 虚轴上B. 实轴上C. 第一象限D. 第二象限4. 下列函数中，奇函数是A. $f(x) = x^2 - 1$B. $f(x) = x^3$C. $f(x) = \frac{1}{x}$D. $f(x) = |x|$5. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\sin A + \sin B +\sin C = 2$，则三角形ABC是A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不存在6. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x$，则$f'(1)=$A. 0B. 1C. -1D. -37. 在平面直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为A. (2,3)B. (3,2)C. (3,-2)D. (-2,3)8. 若等比数列$\{a_n\}$中，$a_1 = 2$，$a_3 = 8$，则该数列的公比$q=$A. 2B. 4C. 8D. 169. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 = 1$，$a_n = 100$，则该数列的项数n为A. 50B. 100C. 200D. 50010. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，则$f(x)$的对称中心为A. (0,0)B. (0,1)C. (0,-1)D. 无对称中心二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
高考数学新题型
高考数学新题型
高考数学新题型包括但不限于以下几种：
1. 三角函数、向量、解三角形：涉及三角函数的画图、性质、三角恒等变换、和与差公式。
同时考察平面向量背景、正弦定理、余弦定理和解三角形背景。
2. 概率与统计：包括古典概型、茎叶图、直方图、回归方程等，以及概率分布、期望、方差、排列组合等知识点。
这些题型贴近生活、贴近实际，主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件的概率计算公式。
3. 立体几何：主要涉及平行、垂直、角等知识点，可以利用传统的几何法求解，也可以建立空间直角坐标系，利用法向量等。
4. 数列：等差数列、等比数列、递推数列是考查的热点，主要涉及数列通项、数列前n项的和以及二者之间的关系，还会考察错位相减法、裂项求和法等应用题。
5. 圆锥曲线（椭圆）与圆：以椭圆为主线，强调圆锥曲线与直线的位置关系，突出韦达定理或差值法。
同时考察圆的方程和圆与直线的位置关系，注重椭圆与圆、椭圆与抛物线等的组合题。
6. 函数、导数与不等式：包括三次函数、指数函数、对数函数及其复合函数。
主要考查函数的单调性、求函数的最值（极值）、求曲线的切线方程等知识点，并涉及参数的取值范围、根的分布的探求以及参数的分类讨论和代数推理等题型。
此外，不等式和解析几何也是高考数学常考的题型。
高考数学新题型主要考查学生的数学基础知识和应用能力，注重知识的交汇性和综合运用。
学生在备考时需要全面掌握基础知识，熟悉各种题型和解题方法，同时注重思维能力和创新能力的提高。
高考数学试题2024新高考新题型考前必刷卷01(参考答案)
2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）01数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
12345678DDBDADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
91011ADABCAC第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．513．①④14．①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）【解析】（1）当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，（2分）令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x-'=-=，（4分）当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.（6分）（2）依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，（7分）由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；（9分）当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，（11分）求导得()23311a ax h x x x x -=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意得584018x =-=，422220y =-=；（4分）（2）由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（8分）（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为20624020⨯=+，记为1，2，来自非一线城市的人数为40644020⨯=+，（10分）记为a ，b ，c ，d ，选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ，(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ，事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个，（13分）93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（15分）17．（15分）【解析】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，（2分）又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，（4分）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；（6分）（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，（7分）如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，（9分）所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，（11分）假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，（12分）设BN BC λ=uuu r uu u r，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 60n ANn AN⋅︒==（13分）整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．（15分）18．（17分）【解析】（1）由已知得()11,0F -，22220000313434x y x y +=⇒=-（2分）则10122PF x ==+．所以当012x =时，194PF =；（5分）（2）设(),0M m ，在12F PF △中，PM 是12F PF ∠的角平分线，所以1122PF MF PF MF =，（6分）由（1）知10122PF x =+，同理20122PF x =-，（8分）即0012121122x m m x ++=--，解得014m x =，所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH x ⊥轴于H ．所以34PM MH PNOH ==．（10分）（3）记1F N P 面积的面积为S ，由（1）可得，(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃，则)20022S xx =+'-，（12分）当()()02,00,1x ∈-⋃时，0,S S '>单调递增；当)01,2x ∈时，0,S S '<单调递减．（16分）所以当01x =-时，S 最大．（17分）19．（17分）【解析】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.（4分）（2）因为对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个，且存在m 的6减数列，所以2C 6n ≥，得4n ≥.（6分）①当4n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m ≥+++=>.（7分）②当5n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m ≥.（8分）若6m =，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.（9分）③当6n ≥时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m >.综上所述，若存在m 的6减数列，则6m >.（10分）（3）若数列中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列A 存在大于1的项，若末项1n a ≠，将n a 拆分成n a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以1n a =.（12分）当1,2,,1i n =- 时，若1i i a a +<，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将i a 改为1i a -，并在数列末尾添加一项1，所以k 变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.（14分）若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=，设此时A 中有x 项为2，将i a 改为2，并在数列末尾添加2i a -项1后，k 的值至少变为11k x x k ++-=+，所以此时k 不是最大值，所以数列A 的各项只能为2或1，所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2，有y 项为1，因为存在2024的k 减数列，所以22024x y +=，所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+，（16分）所以，当且仅当506,1012x y ==时，k 取最大值为512072.所以，若存在2024的k 减数列，k 的最大值为512072.（17分）。
2024新高考数学新题型试卷
2024新高考数学新题型试卷题目：已知函数f(x) = (1)/(3)x^3-ax^2+bx + 1，其中a,b∈ R，且曲线y = f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y = - 2x+(5)/(3)。
求a，b的值；求函数f(x)在区间[ - 1,2]上的最大值和最小值。
解析：1. 首先对函数f(x)=(1)/(3)x^3-ax^2+bx + 1求导：- 根据求导公式(X^n)^′=nX^n - 1，可得f^′(x)=x^2-2ax + b。
2. 因为曲线y = f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-2x+(5)/(3)，所以有：- 先求f(1)和f^′(1)：- f(1)=(1)/(3)-a + b+1=(4)/(3)-a + b。
- f^′(1)=1 - 2a + b。
- 由于切线方程y=-2x+(5)/(3)的斜率为-2，所以f^′(1)=1 - 2a + b=-2。
- 又因为点(1,f(1))在切线上，所以f(1)=(4)/(3)-a + b=-2×1+(5)/(3)=- (1)/(3)。
3. 联立方程求解：- 由-得：((4)/(3)-a + b)-(1 - 2a + b)=-(1)/(3)-(-2)。
- 展开得(4)/(3)-a + b - 1+2a - b=(5)/(3)。
- 化简得a=(4)/(3)。
- 将a = (4)/(3)代入得：1-2×(4)/(3)+b=-2。
- 即1-(8)/(3)+b=-2。
- 解得b = -(1)/(3)。
1. 由知a=(4)/(3)，b = -(1)/(3)，所以f(x)=(1)/(3)x^3-(4)/(3)x^2-(1)/(3)x + 1，f^′(x)=x^2-(8)/(3)x-(1)/(3)。
2. 令f^′(x)=0，即x^2-(8)/(3)x-(1)/(3)=0，对于一元二次方程Ax^2+Bx + C = 0（这里A = 1，B=-(8)/(3)，C = -(1)/(3)），根据求根公式x=frac{-B±√(B^2)-4AC}{2A}，可得：- x=(frac{8)/(3)±√((-frac{8){3})^2-4×1×(-(1)/(3))}}{2×1}=(frac{8)/(3)±√(frac{64){9}+(4)/(9)}}{2}=(frac{8)/(3)±√(frac{68){9}}}{2} =(frac{8)/(3)±(2√(17))/(3)}{2}=(4±√(17))/(3)。
2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷(6)
2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（6）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________当0d >时，()101n a +的取值范围为()10,+∞.2．[2024届·河南·模拟考试联考]在空间解析几何中,可以定义曲面（含平面）S 的方程,若曲面S 和三元方程(),,0F x y z =之间满足：①曲面S 上任意一点的坐标均为三元方程(),,0F x y z =的解;②以三元方程(),,0F x y z =的任意解()000,,x y z 为坐标的点均在曲面S 上,则称曲面S 的方程为(),,0F x y z =,方程(),,0F x y z =的曲面为S .已知空间中某单叶双曲面C 的方程为2221114x y z +-=,双曲面C 可视为平面xOz 中某双曲线的一支绕z 轴旋转一周所得的旋转面,已知直线l 过C 上一点()1,1,2Q ,且以()2,0,4d =--为方向向量.（1）指出xOy 平面截曲面C 所得交线是什么曲线,并说明理由;（2）证明：直线l 在曲面C 上;（3）若过曲面C 上任意一点,有且仅有两条直线,使得它们均在曲面C 上.设直线l '在曲面C 上,且过点2)T ,求异面直线l 与l '所成角的余弦值.答案：（1）以原点O 为圆心,1为半径的圆（2）点P 的坐标总是满足曲面C 的方程,从而直线l 在曲面C 上（3）810+解析：（1）根据坐标平面xOy 内点的坐标的特征可知,坐标平面xOy 的方程为0z =,已知单叶双曲面C 的方程为2221114x y z +-=,当0z =时,xOy 平面截曲面C 所得交线上的点(,,0)M x y 满足221x y +=,从而xOy 平面截曲面C 所得交线是平面xOy 上,以原点O 为圆心,1为半径的圆.（2）设()000,,P x y z 是直线l 上任意一点,由(2,0,4)d =--,QP 均为直线l 的方向向量,得//QP d ,从而存在实数λ,使得QP d λ=,即()0001,1,2(2,0,4)x y z λ---=--,则00012,10,24,x y z λλ-=-⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩解得00012,1,24,x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以点P 的坐标为(12,1,24)λλ--,于是22222(12)1(24)(12)1(12)1114λλλλ--+-=-+--=,因此点P 的坐标总是满足曲面C 的方程,从而直线l 在曲面C 上.（3）直线l '在曲面C 上,且过点2)T ,设()111,,M x y z 是直线l '上任意一点,直线l '的方向向量为(,,)d a b c '=,由d ',TM均为直线l '的方向向量,得//TM d ' ,从而存在实数t ,使得TM td '=,即()111,2(,,)x y z t a b c --=,则111,,2,x at y bt z ct ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩解得111,,2,x at y bt z ct ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩所以点M的坐标为,,2)at bt ct ++,因为点M 在曲面C 上,所以222(2)()(2)1114at bt ct +++-=,整理得2222)04c a b t c t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭,因为M 为直线l '任意一点,所以对任意的t ,有2222)04c a b t c t ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭恒成立,所以22204c a b +-=,且0c -=,所以c =,b a =或c =,b a =-,不妨取a =,则4c =-,b =或4c =-,b =,所以(4)d '=-,或(4)d '=-,又直线l 的方向向量为(2,0,4)d =--,所以异面直线l 与l '所成角的余弦值为810||d d d d ''⋅+==.3．[2024届·贵州黔南州·二模]1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元n 次多项式方程在复数域上至少有一根（1n ≥）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：n 次复系数多项式方程在复数域内有且只有n 个根（重根按重数计算）.对于n 次复系数多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++⋅⋅⋅++，其中1n a -，2n a -，0,a ⋅⋅⋅∈C ，若方程()0f x =有n 个复根1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，则有如下的高阶韦达定理：()1121311201ni n i ni j n i j nni j k n i j k n n n x a x x a x x x a x x x a-=-≤<≤-≤<<≤⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪⎪⋅⋅⋅=-⎩∑∑∑(1)在复数域内解方程240x +=；(2)若三次方程320x ax bx c +++=的三个根分别是11i x =-，21i x =+，32x =（i 为虚数单位），求a ，b ，c 的值；(3)在4n ≥的多项式()1110n n n f x x a x a x a --=++⋅⋅⋅++中，已知11n a -=-，21a n a =-，0a a =，a 为非零实数，且方程()0f x =的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含n 的式子表示）.答案：(1)2i x =±；(2)4a =，6b =，4c =-；(3)121111n x x x n==⋅⋅⋅==解析：（1）由240x +=可得24x =-，解得2i x =±.（2）由题意可知：123122313123x x x ax x x x x x b x x x c ++=-⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，将11i x =-，21i x =+，32x =代入可得464a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以4a =，6b =，4c =-.（3）设()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅ ，()12,,,n b b b b =⋅⋅⋅，1212,,,,,,,0n n a a a b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅>，因为a b a b ⋅≤ ，当且仅当//a b时，等号成立，可得1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+≤，即1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+≤，当且仅当1212n na a ab b b ==⋅⋅⋅=时，等号成立，因为方程()11100n n n f x x a x a x a --=++⋅⋅⋅++=的根恰好全是正实数，设这n 个正根分别为1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，且11n a -=-，21a n a =-，0a a =，由题意可知：()()()1212121122312111n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x n a x x x a ---⎧++⋅⋅⋅+=⎪⎪⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=--⎨⎪⋅⋅⋅=-⎪⎩，因为121n x x x ++⋅⋅⋅+=，且1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 均为正数，则()121212111111n n n x x x x x x x x x ⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭22n ⎫≥⋅⋅⋅+=，当且仅当121111n x x x n==⋅⋅⋅==时，等号成立，又因为()()()1221211223211211111nn n n n n nn n a x x x x x x x x x n x x x x x x a-----⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+=，即212111nn x x x ++⋅⋅⋅+=，所以121111n x x x n==⋅⋅⋅==.11122122a ，我们定义方阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，方阵A 对应的行列式记为()det A ，且()11221221det A a a a a =-，方阵A 与任意方阵11122122bb B b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭的乘法运算定义如下：A B C ⨯=，其中方阵11122122c c C c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且{}()21,1,2nn mi in i c a b m n ==∈∑.设cos sin sin cos M αααα-⎛⎫=⎪⎝⎭，cos sin sin cos N ββββ⎛⎫=⎪-⎝⎭，1001E ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）证明：()()det det M N E ⨯=.（2）若方阵A ，B 满足A B E ⨯=，且()det A ，()det B ∈Z ，证明：()()()()det det det det A B M N +=+.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）证明：设方阵11122122k k K M N k k ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，则()()()11cos cos sin sin cos k αβαβαβ=+--=-，()()12cos sin sin cos sin k αβαββα=+-=-，()()21sin cos cos sin sin k αβαβαβ=+-=-，()22sin sin cos cos cos k αβαβαβ=+=-，则()()()()cos sin sin cos K αββααβαβ--⎛⎫= ⎪--⎝⎭，所以()()()()()2det det cos sin sin M N K αβαββα⨯==----()()22cos sin 1αβαβ=-+-=.因为()det 11001E =⨯-⨯=，所以()()det det M N E ⨯=，证毕.（2）证明：设11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭，11122122b b B b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则由A B E ⨯=，可得111112211a b a b +=，①111212220a b a b +=，②211122210a b a b +=，③211222221a b a b +=，④由①×④，得111121121111222212212112122122221a b a b a b a b a b a b a b a b +++=，⑤由②×③，得111221111112222112222111122222210a b a b a b a b a b a b a b a b +++=，⑥由⑤-⑥，可得111122221221211211122221122221111a b a b a b a b a b a b a b a b +--=，整理得()()11221221112212211a a a a b b b b --=，即()()det det 1A B ⨯=.由()()det ,det A B ∈Z ，可得()()det 1,det 1,A B =⎧⎪⎨=⎪⎩或()()det 1,det 1,A B =-⎧⎪⎨=-⎪⎩则()()det det 2A B +=.又()()det det 1M N ==，所以()()()()det det det det A B M N +=+，证毕.6．[2024届·湖北黄冈·模拟考试校考]第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线():C y f x =上的曲线段AB ，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB 运动到B 点时，A 点的切线A l 也随着转动到B 点的切线B l ，记这两条切线之间的夹角为θ△（它等于B l 的倾斜角与A l 的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义ΔΔK sθ=为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义()3022lim 1y K sy θ∆→''∆==∆'+（若极限存在）为曲线C 在点A 处的曲率.（其中y '，y ''分别表示()y f x =在点A 处的一阶､二阶导数）（1）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点()3,y 处的曲率是多少？（2）若函数()11212x g x =-+，不等式()e e 2cos 2x x g g x ω-⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭对于x ∈R 恒成立，求ω的取值范围；（3）若动点A 的切线沿曲线()228f x x =-运动至点()(),n n B x f x 处的切线，点B 的切线与x 轴的交点为()()*1,0n x n +∈N .若14x =，2n n b x =-，n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明3n T <.答案：（1）212（2）[]1,1-（3）()*3n T n <∈N 解析：（1）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点到准线的距离为3，则3p =，即抛物线方程为26x y =，即()216f x y x ==，则()13f x x '=，()13f x ''=，又抛物线在点()3,y 处的曲率，则32211233121139K ===⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭，即在该抛物线上()3,y 处的曲率为212.（2）()()112111212212221x xx x g x g x --=-=-=-=-+++ ，()g x ∴在R 上为奇函数，又()g x 在R 上为减函数.∴不等式()e e 2cos 2x xg g x ω-⎛⎫+≤-⎪⎝⎭对于x ∈R 恒成立，等价于e e cos 22x xx ω-+≥-对于x ∈R 恒成立.又因为两个函数都是偶函数，记()cos p x x ω=，()e e 22x xq x -+=-，则曲线()p x 恒在曲线()q x 上方.()sin p x x ωω'=-，()e e 2x xq x -=-'-，又因为()()001p q ==，所以在0x =处三角函数()p x 的曲率不大于曲线()q x 的曲率.即()()()()332222001010p q p q ≤⎡'''⎤⎡⎤++⎣⎦⎣'⎦''又因为()2cos p x x ωω'=-'，()e e 2x xq x -+=''-，()20p ω''=-，()01q ''=-，所以21ω≤，解得：11ω-≤≤，因此，ω的取值范围为[]1,1-.（3）由题可得()4f x x '=.所以曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线方程是：()()()n n n y f x f x x x '-=-.即()()2284n n n y x x x x --=-.令0y =，得()()2142n n n n x x x x +--=-.即2142n n n x x x ++=.显然0n x ≠，122n n n x x x +∴=+.由122n n nx x x +=+，知()21222222n n n n n x x x x x +++=++=，同理()21222n n n x x x +--=，故2112222n n n n x x x x ++⎛⎫++= ⎪--⎝⎭.从而1122lg 2lg 22n n n n x x x x ++++=--，设2lg 2n n n x a x +=-，即12n n a a +=.所以，数列{}n a 成等比数列.故111111222lg2lg 32n n n n x a a x ---+===-.即12lg 2lg 32n n n x x -+=-.从而12232n n n x x -+=-所以()112223131n n n x --+=-，1242031n n n b x -∴=-=>-，111112122223111113313133n n n n n n b b ----+-∴==<≤=-+当1n =时，显然1123T b ==<.当1n >时，21121111333n n n n b b b b ---⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1112111113111333133313n n n n n b T b b b b b b -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦∴=+++<+++==-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- .综上，()*3n T n <∈N .。
立体几何(学生版)--2025新高考数学新题型
立体几何题型01 空间几何体的有关计算题型02 点线面位置关系、空间角及距离题型03 内切球、外接球问题题型04 空间向量题型01 空间几何体的有关计算1(2024·山西晋城·统考一模)若一个正n棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为{2,3}，则n 的最小值为，该棱台各棱的长度之和的最小值为．2(2024·浙江·校联考一模)已知圆台的上下底面半径分别是1，4，且侧面积为10π，则该圆台的母线长为．3(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)球O的半径与圆锥M的底面半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为，球O的体积与圆锥M的体积的比值为．4(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为．5(2024·广东深圳·校考一模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆.若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为3的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为.6(2024·辽宁沈阳·统考一模)正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为()A.2B.3C.2D.57(2024·云南曲靖·统考一模)为努力推进“绿美校园”建设，营造更加优美的校园环境，某校准备开展校园绿化活动．已知栽种某绿色植物的花盆可近似看成圆台，圆台两底面直径分别为18厘米，9厘米，母线长约为7.5厘米．现有2000个该种花盆，假定每一个花盆装满营养土，请问共需要营养土约为( )(参考数据：π≈3.14)A.1.702立方米B.1.780立方米C.1.730立方米D.1.822立方米8(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为40cm的正方体截去八个一样的四面体得到的，则()A.该几何体的顶点数为12B.该几何体的棱数为24C.该几何体的表面积为(4800+8003)cm 2D.该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项9(2024·山西晋城·统考一模)如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2，AA 1=4，C 1 E =3EC，平面ABE 将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为Ω上，下部分对应的几何体为Ω下，则()A.Ω下的体积为2B.Ω上的体积为12C.Ω下的外接球的表面积为9πD.平面ABE 截该正四棱柱所得截面的面积为25题型02 点线面位置关系、空间角及距离10(2024·河北·校联考一模)已知直线l 、m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是()A.若α⎳β，l ⊂α，n ⊂β，则l ⎳nB.若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC.若l ⊥n ，m ⊥n ，则l ⎳mD.若l ⊥α，l ⎳β，则α⊥β11(2024·浙江·校联考一模)已知直线a ,b 和平面α,a ⊄α,b ∥α，则“a ∥b ”是“a ∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12(2024·广东深圳·校考一模)已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列说法正确的是()A.若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥βB.若m ⎳n ，m ⎳α，n ⎳β，则α⎳βC.若m ⊥n ，m ⎳α，α⊥β，则n ⊥βD.若m ⎳n ，m ⊥α，α⊥β，则n ⎳β13(2024·吉林白山·统考一模)正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有()A.直线AE与CF是异面直线B.平面ABF⊥平面ABEC.该几何体的体积为432 D.平面ABE与平面DCF间的距离为26314(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,∠BAD=120°,AC⊥BD，△BCD是等边三角形.(1)证明：平面PAD⊥平面PCD.(2)求二面角B-PC-D的正弦值.15(2024·辽宁沈阳·统考一模)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，且BC=BD= BA，∠CBA=∠CBD=120°，点P在线段AC上，点Q在线段CD上.(1)求证：AD⊥BC；(2)若AC⊥平面BPQ，求BPBQ的值；(3)在(2)的条件下，求平面ABD与平面PBQ所成角的余弦值.16(2024·重庆·统考一模)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB= AP，AB⊥AD,AB+AD=6,CD=2,∠CDA=45°．(1)若E为PB的中点，求证：平面PBC⊥平面ADE；(2)若平面PAB与平面PCD所成的角的余弦值为66．(ⅰ)求线段AB的长；(ⅱ)设G为△PAD内(含边界)的一点，且GB=2GA，求满足条件的所有点G组成的轨迹的长度．17(2024·云南曲靖·统考一模)在图1的直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°,AB=BC=2,DC=3，点E是DC边上靠近于点D的三等分点，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1= 6，如图2．(1)求证：平面BC1E⊥平面ABED；(2)在棱DC1上是否存在点P，使得二面角P-EB-C1的大小为45°？若存在，求出线段DP的长度，若不存在说明理由．18(2024·云南曲靖·统考一模)如图所示，正方体ABCD -A B C D 的棱长为1，E ,F 分别是棱AA ,CC 的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ,DD 交于点M ,N ，以下四个命题中正确的是()A.四边形EMFN 一定为菱形B.四棱锥A -MENF 体积为13C.平面EMFN ⊥平面DBB DD.四边形EMFN 的周长最小值为419(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面ABCD 所成的角为π4，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠BAD =π2,AD =2,PA =BC =1，点E 为棱PD 上一点，满足PE =λPD0≤λ≤1 ，下列结论正确的是()A.平面PAC ⊥平面PCD ；B.在棱PD 上不存在点E ，使得CE ⎳平面PABC.当λ=12时，异面直线CE 与AB 所成角的余弦值为255；D.点P 到直线CD 的距离3；20(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB ，点E ，F 分别是棱PB ，BC 的中点．(1)求直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值；(2)在截面AEF 内是否存在点G ，使DG ⊥平面AEF ，并说明理由．21(2024·山西晋城·统考一模)如图，P 是边长为2的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，BF 的中点O 为P 在平面ABCDEF 内的射影，PM =2MF．(1)证明：ME ⎳平面PBD ．(2)若PA =2，二面角A -PB -D 的大小为θ，求cos2θ．22(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是AD 1的中点，点Q 是直线CD 1上的动点，则下列说法正确的是()A.△PBD 是直角三角形B.异面直线PD 与CD 1所成的角为π3C.当AB 的长度为定值时，三棱锥D -PBQ 的体积为定值D.平面PBD ⊥平面ACD123(2024·浙江·校联考一模)在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1是菱形，△ABC是等边三角形，点M是线段AB的中点，∠ABB1=60°．(1)证明：B1C⊥平面ABC1；(2)若平面ABB1A1⊥平面ABC，求直线B1C与平面A1MC1所成角的正弦值．24(2024·广东深圳·校考一模)如图，在圆锥SO中，AB是圆O的直径，且△SAB是边长为4的等边三角形，C,D为圆弧AB的两个三等分点，E是SB的中点.(1)证明：DE⎳平面SAC；(2)求平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值.25(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)在如图所示的五面体ABCDEF中，ABEF共面，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，∠ABC=2π3,EF⎳平面ABCD,AB=2EF=2，点M为BC中点．(1)证明：EM∥平面BDF；(2)已知EM=2，求平面BDF与平面BEC所成二面角的正弦值．26(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB =5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=54，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△DEF 位置，OD =10．(1)证明：D H⊥平面ABCD；(2)求平面BAD 与平面ACD 的夹角的余弦值．27(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)设b、c表示两条直线，α、β表示两个平面，则下列命题正确的是()A.若b⎳α，c⊂α，则b⎳cB.若b⊂α，b⎳c，则c⊂αC.若c⎳α，α⊥β，则c⊥βD.若c⎳α，c⊥β，则α⊥β28(2024·吉林延边·统考一模)已知三棱柱ABC-A1B1C1，侧面AA1C1C是边长为2的菱形，∠CAA1 =πA1是矩形，且平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D是棱A1B1的中点．3，侧面四边形ABB1(1)在棱AC上是否存在一点E，使得AD∥平面B1C1E，并说明理由；(2)当三棱锥B-A1DC1的体积为3时，求平面A1C1D与平面CC1D夹角的余弦值．29(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)如图1，在平面四边形PABC中，PA⊥AB,CD⎳AB，CD=2AB=2PD=2AD=4.点E是线段PC上靠近P端的三等分点，将△PDC沿CD折成四棱锥P-ABCD，且AP=22，连接PA,PB,BD，如图2.(1)在图2中，证明：PA⎳平面BDE；(2)求图2中，直线AP与平面PBC所成角的正弦值.30(2024·重庆·统考一模)如图，在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，M是线段A1E上的一点，则下列说法正确的是()A.当M点与A1点重合时，直线AC1⊂平面ACMB.当点M移动时，点D到平面ACM的距离为定值C.当M点与E点重合时，平面ACM与平面CC1D1D夹角的正弦值为53D.当M点为线段A1E中点时，平面ACM截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面面积为73332 31(2024·福建厦门·统考一模)如图，在四棱锥E-ABCD中，AD⎳BC，2AD=BC=2，AB=2，AB⊥AD，EA⊥平面ABCD，过点B作平面α⊥BD．(1)证明：平面α⎳平面EAC；(2)已知点F为棱EC的中点，若EA=2，求直线AD与平面FBD所成角的正弦值．32(2024·吉林延边·统考一模)如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，DE =BF =1,DE ∥BF ,DE ⊥平面ABCD ，动点P 在线段EF 上，则下列说法正确的是()A.AC ⊥DPB.存在点P ，使得DP ∥平面ACFC.三棱锥A -CDE 的外接球被平面ACF 所截取的截面面积是9π2D.当动点P 与点F 重合时，直线DP 与平面ACF 所成角的余弦值为3101033(2024·福建厦门·统考一模)如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，△ABF 和△DCE 均是等边三角形，且AB =23，EF =x (x >0)，则()A.EF ⎳平面ABCDB.二面角A -EF -B 随着x 的减小而减小C.当BC =2时，五面体ABCDEF 的体积V (x )最大值为272D.当BC =32时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 题型03 内切球、外接球问题34(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知四面体ABCD 的各个面均为全等的等腰三角形，且CA =CB =2AB =4.设E 为空间内任一点，且A ,B ,C ,D ,E 五点在同一个球面上，则()A.AB ⊥CDB.四面体ABCD 的体积为214C.当AE =23时，点E 的轨迹长度为4πD.当三棱锥E -ABC 的体积为146时，点E 的轨迹长度为32π35(2024·吉林白山·统考一模)在四面体A -BCD 中，BC =22，BD =23，且满足BC ⊥BD ，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ．若该三棱锥的体积为863，则该锥体的外接球的体积为．36(2024·吉林延边·统考一模)已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为25π5，半径为5的扇形.若该圆锥的顶点及底面圆周都在球O 的表面上，则球O 的体积为.37(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，以A1为球心、3为半径的球面与底面ABC的交线长为3π6，则三棱柱ABC-A1B1C1的表面在球内部分的总面积为．38(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知球O的直径PQ=4，A，B，C是球O球面上的三点，△ABC是等边三角形，且∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，则三棱锥P-ABC的体积为( ).A.334B.934C.332D.273439(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)如图所示，有一个棱长为4的正四面体P-ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是()A.直线AE与PB所成的角为π2B.△ABE的周长最小值为4+34C.如果在这个容器中放入1个小球(全部进入)，则小球半径的最大值为63D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球(全部进入)，则小球半径的最大值为26-25 40(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)如图，在正三棱锥P-ABC中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，∠ADP=α．(1)用α分别表示线段BC和PD长度；(2)当α∈0,π2时，求三棱锥的侧面积S的最小值．41(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)地球仪是地理教学中的常用教具.如图1所示，地球仪的赤道面(与转轴垂直)与黄道面(与水平面平行)存在一个夹角，即黄赤交角，大小约为23.5°.为锻炼动手能力，某同学制作了一个半径为4cm 的地球仪(不含支架)，并将其放入竖直放置的正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中(姿态保持不变)，使地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，如图2所示.此时平面AB 1C 恰与地球仪的赤道面平行，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球体积为.(参考数据：tan23.5°≈0.43)题型04 空间向量42(2024·福建厦门·统考一模)已知平面α的一个法向量为n=(1,0,1)，且点A (1,2,3)在α内，则点B (1,1,1)到α的距离为．43(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)在边长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，动点M 满足AM =xAB +yAD +zAA 1 ，(x ,y ,z ∈R 且x ≥0,y ≥0,z ≥0)，下列说法正确的是()A.当x =14,z =0,y ∈0,1 时，B 1M +MD 的最小值为13B.当x =y =1,z =12时，异面直线BM 与CD 1所成角的余弦值为105C.当x +y +z =1，且AM =253时，则M 的轨迹长度为42π3D.当x +y =1,z =0时，AM 与平面AB 1D 1所成角的正弦值的最大值为6344(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =AA 1=1，∠DAB =90°，cos <AA 1 ，AB >=22，cos <AA 1 ，AD >=12，点M 为BD 中点.(1)证明：B 1M ⎳平面A 1C 1D ；(2)求二面角B -AA 1-D 的正弦值.。
2024年新高考数学新题型试卷
2024年新高考数学新题型试卷选择题：1. 下列哪个不属于幂函数？A. y = x^2B. y = √xC. y = 2^xD. y = log(x)2. 若两个正数的和为10，它们的积最大是多少？A. 20B. 25C. 30D. 503. 在等差数列2, 5, 8, 11, ...中，第20项是多少？A. 56B. 57C. 58D. 594. 若f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1，则f'(x)的值为：A. 6x^2 - 6x + 5B. 6x^2 - 6x - 3C. 6x^2 - 6x + 3D. 6x^2 - 6x - 55. 在平面直角坐标系中，点A(3, 4)关于y轴对称的点是：A. (-3, 4)B. (3, -4)C. (-3, -4)D. (4, 3)填空题：6. 求解方程2x - 3 = 5。
7. 若log2(8) = a，则a的值是多少？8. 如果一个球的表面积是100π平方米，其半径是多少米？9. 计算∫(3x^2 - 2x + 1)dx。
10. 求直线y = 3x + 2的斜率。
应用题：11. 一辆列车以80km/h的速度行驶，一个小时后又以90km/h的速度行驶，求这两段路程的平均速度。
12. 一个矩形花园的长是20m，宽是15m，围绕花园四周植下一圈花，每米花坛需要2株花，这一圈花共需多少株？13. 若等差数列的第一项是3，公差是5，前n项和是100，求n的值。
14. 某商店一件商品原价500元，现打8.5折售出，求打折后的价格。
15. 解决实际问题：一个长方体容器的底面积为20平方米，高5米，容器内充满水，求容器内水的体积。
高考数学新题型3篇
高考数学新题型第一篇：混合运算题型混合运算题型是高考数学的新题型之一，其主要是将已有的数学知识进行混合，然后进行计算，并得出正确的答案。
这类题型通常包含有多个数学概念，如函数、三角函数、解析几何等，需要考生们动用多种知识点。
此类题既考查了考生对基础知识的理解，又考查了考生的综合运用能力。
在解题时，考生们需要首先理清题目，看懂每一个概念所代表的含义，然后运用相应的公式进行计算。
在计算过程中，考生需要遵循一定的规则，例如遵循加减乘除的优先级，遵循括号和指数的计算次序等。
对于此类题型的解题，需要考生具备一定的数学基础和综合运用能力，更加重要的是需要考生们平时多做练习，不断发现问题并解决问题，从而掌握混合运算题型的解题方法，提高考试的得分率。
第二篇：逆向思维题型逆向思维题型是高考数学新题型之一，其主要考查考生的逻辑思维能力和创造力。
此类题型通常需要考生们将题意进行倒推，从而得出正确的答案。
例如，一道逆向思维题目中可能给出一些限制条件，而需要考生们根据这些限制条件得出目标值。
在解题时，考生们需要运用逆向思维，将问题分析得更加细致和深入，从而快速得出正确的答案。
对于此类题型的解题，需要考生具备较高的逻辑思维能力和创造力，能够灵活运用数学知识进行分析和解决问题。
第三篇：证明型题型证明型题型是高考数学新题型之一，其主要考查考生的推理和证明能力。
此类题型不仅需要考生们掌握相关知识，还需要考生们能够运用推理和证明进行思考和解决问题。
例如，一道证明型题目中可能需要考生们证明一个几何定理或者证明一个不等式等。
在解题时，考生们需要运用知识点进行推理和分析，然后采用合适的方法进行论证，并得出正确的结论。
对于此类题型的解题，需要考生们具备较高的推理和证明能力，要求考生能够熟练掌握数学知识，能够合理地运用推理和证明方法进行分析和解决问题。
此外，考生需要多做练习，积累经验和技巧，提高解题效率和得分率。
新高考数学新题型试卷
选择题：设函数f(x) = x3 - 3x + 2，则f(x)的极小值为？A. -4B. -2C. 0D. 2（正确答案）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，S3 = 9，则a5 = ？A. 7B. 8C. 9（正确答案）D. 10在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a = 3，b = 4，c = 5，则角C的余弦值为？A. 1/2B. √2/2C. √3/2D. 1（正确答案）已知向量a = (1, 2)，b = (2, 1)，则向量a与b的夹角为？A. π/6B. π/4C. π/3（正确答案）D. π/2已知函数f(x) = ln(x + 1) - x2，则f(x)的单调递增区间为？A. (-1, 0)B. (-1, +∞)C. (0, +∞)（正确答案）D. 无单调递增区间已知抛物线C：y2 = 2px(p > 0)的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A，B两点，交l 于D，过A，B分别作x轴的平行线，分别交l于M，N两点，若向量AB = 4向量FB，且|AF| = 3，则C的方程为？A. y2 = xB. y2 = 2xC. y2 = 4x（正确答案）D. y2 = 8x已知随机变量X服从正态分布N(μ, σ2)，且P(X < -2) + P(X ≤ 0) = 1，则μ等于？A. -2B. -1（正确答案）C. 0D. 1已知圆锥的底面半径为2，母线长为3，则其体积为？A. 4πB. 8π/3C. 4√5π/3D. 8√2π/3（正确答案）已知复数z = (1 + i)/(1 - i)，则z的共轭复数为？A. -iB. i（正确答案）C. 1D. -1。
数学试卷高考新高考题型
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(2)的值为（）A. 0B. 1C. 3D. 42. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 105°C. 135°D. 150°3. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=3，a4=11，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知复数z=3+4i，则|z|的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 115. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1处的切线斜率为2，则f'(1)的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知等比数列{bn}的公比为q，且b1=2，b3=8，则q的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则sinA:sinB:sinC的值为（）A. 3:4:5B. 4:5:3C. 5:3:4D. 3:5:48. 已知函数f(x) = |x| + 1，则f(x)在x<0时的导数f'(x)为（）A. -1B. 0C. 1D. 不存在9. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=5，a5=25，则a3的值为（）A. 10B. 15C. 20D. 2510. 已知复数z=2-3i，则|z|的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 11二、填空题（每题5分，共50分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处的导数为2，则a+b+c=（）12. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，则sinA:sinB:sinC=（）13. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1=3，a4=11，则d=（）14. 复数z=3+4i的共轭复数为（）15. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1处的切线方程为（）16. 在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则cosA:cosB:cosC=（）17. 已知函数f(x) = |x| + 1，则f(x)在x>0时的导数f'(x)为（）18. 若等差数列{an}的公差为d，且a1=5，a5=25，则a3=（）19. 复数z=2-3i的模长为（）20. 函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=2处的切线斜率为（）三、解答题（每题20分，共60分）21. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f'(x)及f'(1)的值。
新高考数学试卷题型带答案
一、选择题1. 题目：已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。
答案：将f(x) = 0，解得x = 1 或 x = 3。
因此，f(x)的图像与x轴的交点坐标为(1, 0)和(3, 0)。
2. 题目：在等差数列{an}中，a1 = 2，d = 3，求第10项an的值。
答案：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 2，d = 3，n = 10，得an = 2 + (10 - 1)×3 = 29。
3. 题目：已知三角形ABC中，AB = 5，AC = 8，BC = 10，求sinB的值。
答案：根据勾股定理，得AB^2 + BC^2 = AC^2，即5^2 + 10^2 = 8^2，所以sinB = BC/AC = 10/8 = 5/4。
4. 题目：若向量a = (1, 2)，向量b = (2, -3)，求向量a与向量b的点积。
答案：向量a与向量b的点积为a·b = 1×2 + 2×(-3) = 2 - 6 = -4。
5. 题目：若函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求g'(x)的值。
答案：对g(x)求导得g'(x) = 3x^2 - 6x + 4。
二、填空题6. 题目：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 1，求f'(x)的值。
答案：对f(x)求导得f'(x) = 6x^2 - 6x + 2。
7. 题目：在等比数列{bn}中，b1 = 3，q = 2，求第5项bn的值。
答案：根据等比数列的通项公式bn = b1·q^(n-1)，代入b1 = 3，q = 2，n = 5，得bn = 3×2^(5-1) = 48。
8. 题目：若函数h(x) = e^x - x，求h''(x)的值。
2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷(3)
2025届高考数学新课标卷19题新题型集训卷（3）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．[2024届·安徽马鞍山·模拟考试]已知S 是全体复数集C 的一个非空子集，如果,x y S ∀∈，总有x y +，x y -，x y S ⋅∈，则称S 是数环.设F 是数环，如果①F 内含有一个非零复数；②,x y F ∀∈，且0y ≠，有xF y∈，则称F 是数域.由定义知有理数集Q是数域.（1）求元素个数最小的数环 S ；（2）证明：记{}|,Qa ab =+∈Q ，证明：Q是数域；（3）若1F ，2F 是数域，判断12F F 是否是数域，请说明理由.答案：（1）{}0；（2）证明见详解；（3）12F F 不一定是数域，证明见详解解析：（1）因为 S为数环，可知 S 不是空集，即 S 中至少有一个元素a ∈C ，若0a =，则0000000S +=-=⨯=∈，可知{}0为数环；若0a ≠，则0a a -=，可知 S中不止一个元素，不是元素个数最小的数环；综上所述：元素个数最小的数环为{}˜0S =.（2）设x a =+，y c =+，,,,a b c d ∈Q ，可知,x y Q∈，则有：()()())x y a c a c b d +=+++=+++，()()())x y a c a c b d -=+-+=-+-，()()())3x y a c ac bd ad bc ⋅=++=+++，因为,,,Q a b c d ∈，则a c +，b d +，a c -，b d -，ac bd +，ad bc +∈Q ，可知x y +，x y -，x y Q⋅∈，所以Q 是数环；若220c d +≠，可知0y ≠，满足①；若0y ≠，则2233a c x ac bd y c d +--==+-因为,,,Q a b c d ∈，则22223,33ac bd bc adc d c d--∈--Q ，可知x Qy∈，满足②；综上所述：Q是数域.（3）不一定是数域，理由如下：①若1F =Q ，2F=R ，显然1F ，2F 均为数域，且12FF =R 是数域；②设x a =+，y c =+，,,,a b cd ∈Q，可知,x y Q∈，则有：()()())x ya c a c bd +=+++=+++，()()())x y ac a c b d-=+-+=-+-，()()())2x y a c ac bd ad bc ⋅=++=+++，因为,,,Q a b c d ∈，则a c +，b d +，a c -，b d -，acbd +，ad bc +∈Q ，可知x y +，x y -，x y Q⋅∈，所以Q 是数环；若220c d +≠，可知0y ≠，满足①；若0y ≠，则2222a c x ac bdy c d --==-，因为,,,Q a b c d ∈，则2222ac bd c d --，222bc adc d-∈-Q，可知xQy∈，满足②；综上所述：Q是数域.例如：1F Q =，2F Q =，例如1Q+，1Q，但12112F F = ，所以12F F 不是数域；综上所述：12F F 不一定是数域.2．在平面直角坐标系中，两点()11,P x y ，()22,Q x y 的“曼哈顿距离”定义为1212x x y y -+-，记为PQ ‖‖，如点(1,2)P -，(2,4)Q --的“曼哈顿距离”为5，记为5PQ =‖‖.（1）若点(0,2)P ，M 是满足2PQ ≤‖‖的动点Q 的集合，求点集M 所占区域的面积.（2）若动点P 在直线2y x =-上，动点Q 在函数e x y =的图像上，求PQ ‖‖的最小值.（3）设点(,)P a b ，动点Q 在函数22([2,2])y x x =∈-的图像上，PQ ‖‖的最大值记为(,)M a b ，求(,)M a b 的最小值.答案：（1）8（2）3（3）8116解析：（1）设点(,)Q x y .由2PQ ≤‖‖，得|||2|2x y +-≤.||||2x y +=的图像是以原点为中心，顺次连接四点(2,0)，(0,2)，(2,0)-，(0,2)-所形成的正方形.将其上移2个单位长度即得|||2|2x y +-=的图像.所以点集M 所占区域是以四点(2,2)，(0,4)，(2,2)-，(0,0)为顶点的正方形及其内部，面积为8.（2）设()11,2P x x -，()22,e x Q x ，则21212e x PQ x x x =-+--‖‖.将PQ ‖‖看成关于1x 的函数，则PQ ‖‖在12x x =或21e 2x x =+时取得最小值，即2min 2e2x PQ x =-+‖‖.令()e 2x f x x =-+，则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>.所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，则min ()(0)3f x f ==，此时20x =.所以PQ ‖‖的最小值为3.（3）设点()2,2Q x x ，[2,2]x ∈-，则2||2PQ a x b x =-+-‖‖，[2,2]x ∈-.若存在实数a ，b ，使(,)M a b t =，则2||2PQ a x b x t =-+-≤‖‖对任意的[2,2]x ∈-成立.令14x =-，则1148a b t ++-≤.令2x =，则|2||8|a b t -+-≤.所以1111963812|2||8|2|8|4848488t a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫≥++-+-+-=++-+-+-≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8116t ≥.令0a =，7916b =，则279||216PQ x x =+-‖‖是[2,2]-上的偶函数.当[0,2]x ∈时，若279216x ≤，即27932x ≤，则227918181221641616PQ x x x ⎛⎫=+-=--+≤ ⎪⎝⎭‖‖，当且仅当14x =时等号成立；若279432x ≤≤，则2798121616PQ x x =+-≤‖‖，当且仅当2x =时等号成立.所以存在实数a ，b 且0a =，7916b =，使得(,)M a b 的最小值为8116.3．已知定义域为[0,2]的函数()f x 满足如下条件：①对任意的[0,2]x ∈，总有0()4f x <≤；②(2)3f =；③当10x ≥，20x ≥，122x x +≤时，()()()12124f x x f x f x +≤+-恒成立.已知正项数列{}n a满足=，且1min 1()3a f x =，28a =，令1n b =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若n c =，求证：()()()3411145(2)2n n f c f c f c n n +-+++≥-+≥ .答案：（1）{}n a 的通项公式()2121,1411,2n n k k n a n -==⎧⎪=⎨⎡⎤--≥⎪⎢⎥⎣⎦⎩∏；{}n b 的通项公式4nnb =（2）证明见解析解析：（1）不妨设12x x <，则21(0,2]x x -∈，()2104f x x ∴<-≤，()()()()121211f x f x f x f x x x ∴-=--+()()()()121121440f x f x x f x f x x ≥--+-=--≥⎡⎤⎣⎦，若()2140f x x --=，即()214f x x -=，此时(2)4f =，这与(2)3f =矛盾，()2140f x x ∴--≠，故()2140f x x -->，()()12f x f x ∴>，()f x ∴在区间[0,2]上单调递减，min ()(2)3f x f ∴==，11a ∴=.=，141⎫=⎪⎪⎭，即14n n b b +=，{}n b ∴是以114b ==为首项，4为公比的等比数列，4n n b ∴=.又1n b =，()21411n n n a a +⎡⎤∴=--⎢⎥⎣⎦，∴当2n ≥时，()()()()22221121122411411411411nn n n k n n n k a a a ------=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=----==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∏ .又当1n =时，11a =，故()2121,1411,2n n k k n a n -==⎧⎪=⎨⎡⎤--≥⎪⎢⎥⎣⎦⎩∏.（2）由（1）可得82n n c ==.∴当2n ≥时，12n n c c +=，且02n c <≤，()4n f c ∴≤，()2(2)3f c f ==，又()()()()1111224n n n n n f c f c f c c f c ++++==+≤-，()()1424n n c f c f +∴-≤-⎡⎤⎣⎦，即()()1424n n f c f c +-≥-⎡⎤⎣⎦，()()()1211144422n n n f c f c f c +-∴-≤-≤≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，()11142n n f c +-∴-≤，即()11142n n f c +-≥-，()()()34211142142142n n f c f c f c +-⎧≥-⎪⎪⎪≥-⎪∴⎨⎪⎪⎪≥-⎪⎩ ，()()()134111112214(1)451212n n n c f c f c n n f -+-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴+++≥--=-+- .5．我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”.已知椭圆2:12E y +=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为D .（1）若椭圆22:12x y F s +=与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，求常数s 的值；（2）设椭圆22:(01)2x G y λλ+=<<，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 有且只有一个公共点，过D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求当λ为何值时，12k k +取得最小值，并求其最小值；（3）若椭圆22:1(2)2x y H t t+=>与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，椭圆H 上的任意一点记为00)(,C x y ，求证：ABC △的垂心M 必在椭圆E 上.答案：（1）4s =或1（2）当12λ=时，12k k +（3）证明见解析解析：（1）因为椭圆E 的离心率22e =，故由条件得，当2s >22=，解得4s =；当02s <<22=，解得1s =.综上，4s =或1.（2）易得(A ，(0,1)D ，所以直线1l ，2l的方程分别为1(y k x =，21y k x =+，由122(2y k x x y λ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()222211112420k x x k λ+++-=，又直线1l 与椭圆G 相切，则10∆=，又01λ<<，即1k =.由22212y k x x y λ=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222124220k x k x λ+++-=，又直线2l 与椭圆G 相切，则20∆=，又01λ<<，即2k =故1212k k =，12k k +≥=12k k =时取等号，此时12λ=.所以当12λ=时，12k k +.（3）显然椭圆22:124x y H +=.因为椭圆H 上的任意一点记为()00,C x y ，所以2200124x y +=.①设ABC △的垂心M 的坐标为(),M M x y ，连接CM ，AM，因为(A，B ，故由CM AB ⊥得0M x x =.又0M x x =≠，AM BC ⊥1=-，（*）将0M x x =代入（*），得202M x y y =-，②由①②得02M y y =.将0M x x =，02M y y =，代入①得2212M M x y +=，即ABC △的垂心M 在椭圆E 上.6．[2024春·高三·湖北武汉·月考]利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将0.31化为分数是这样计算的：设0.31x = ，则31.31100x = ，即31100x x +=，解得310.3199= .这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜m 局指的是一方比另一方多胜m 局.（1）如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；（2）如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜()3,2,1,0,1,2,3i i =---局.设甲在净胜i 局时，继续比赛甲获胜的概率为i P ，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为i X ，期望为()i E X .①求甲获胜的概率0P ；②求()0E X .答案：（1）2081（2）①89；②()07E X =解析：（1）4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局甲胜，概率为21221216C 33381⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭⨯；4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局乙胜，概率为2122114C 33381⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以恰好4局结束比赛的概率16420818181+=.（2）①在甲在净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为1P -；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，根据全概率公式，2123P P --=，同理1022133P P P --=+，0112133P P P -=+，1202133P P P =+，212133P P =+，由1202133P P P =+，212133P P =+，得104377P P =+，与0112133P P P -=+联立消去1P ，得015817213P P -=+，又2123P P --=，1022133P P P --=+，即1067P P -=，因此089P =，所以甲获胜的概率为89.②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要()1E X -局，共进行了()11E X -+局；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局，则2121()[()1]133E X E X --=++⨯，即212()()13E X E X --=+，同理10221()[()1][()1]33E X E X E X --=+++，即10221()()()133E X E X E X --=++，01121()[()1][()1]33E X E X E X -=+++，即01121()()()133E X E X E X -=++，12021()[()1][()1]33E X E X E X =+++，即12021()()()133E X E X E X =++，2121()1[()1]33E X E X =⨯++，即211()()13E X E X =+，联立12021()()()133E X E X E X =++与211()()13E X E X =+，得10315()()77E X E X =+，联立212()()13E X E X --=+与10221()()()133E X E X E X --=++，得10612()()77E X E X -=+，代入01121()()()133E X E X E X -=++，得000315612()()7721()[[13773E X X E X E ++=++，所以0()7E X =.。
2024年高考数学新模式新题型数学与阅读理解及答案
2024年高考数学19题新模式新结构新题型1(2023上·北京朝阳·高三统考期中/24南通)已知A m =a 1,1a 1,2⋯a 1,m a 2,1a 2,2⋯a 2,m ⋮⋮⋱⋮a m ,1a m ,2⋯a m ,m(m ≥2)是m 2个正整数组成的m 行m 列的数表，当1≤i <s ≤m ,1≤j <t ≤m 时，记d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ．设n ∈N *，若A m 满足如下两个性质：①a i ,j ∈1,2,3;⋯,n (i =1,2,⋯,m ;j =1,2,⋯,m )；②对任意k ∈1,2,3,⋯,n ，存在i ∈1,2,⋯,m ,j ∈1,2,⋯,m ，使得a i ,j =k ，则称A m 为Γn 数表．(1)判断A 3=123231312是否为Γ3数表，并求d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 的值；(2)若Γ2数表A 4满足d a i ,j ,a i +1,j +1 =1(i =1,2,3;j =1,2,3)，求A 4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意Γ4数表A 10，存在1≤i <s ≤10,1≤j <t ≤10，使得d a i ,j ,a s ,t =0．2(镇海高三期末)19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C ：y =f x 上的曲线段AB ，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δs →0ΔθΔs =y 1+y 232(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率．(其中y ＇，y ＇＇分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆x 24+y 2=1在3,12处的曲率；(3)定义φy =22y 1+y3为曲线y =f x 的“柯西曲率”．已知在曲线f x =x ln x -2x 上存在两点P x 1,f x 1 和Q x 2,f x 2 ，且P ，Q 处的“柯西曲率”相同，求3x 1+3x 2的取值范围．3(合肥一中期末)19．同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，b∈Z，m∈N*且m>1．若m a-b则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)(“|”为整除符号)．(1)解同余方程x2-x≡0(mod3)；(2)设(1)中方程的所有正根构成数列a n，其中a1<a2<a3<⋯<a n．①若b n=a n+1-a n(n∈N*)，数列b n的前n项和为S n，求S2024；②若c n=tan a2n+1⋅tan a2n-1(n∈N*)，求数列c n的前n项和T n．4(北京西城)给定正整数N≥3，已知项数为m且无重复项的数对序列A：x1,y1,⋅⋅⋅,x m,y m,x2,y2满足如下三个性质：①x i,y i∈1,2,⋅⋅⋅,N，且x i≠y i i=1,2,⋅⋅⋅,m；③p,q与；②x i+1=y i i=1,2,⋅⋅⋅,m-1q,p不同时在数对序列A中.(1)当N=3，m=3时，写出所有满足x1=1的数对序列A；(2)当N=6时，证明：m≤13；(3)当N为奇数时，记m的最大值为T N ，求T N .5(如皋市)对于给定的正整数n ，记集合R n ={α |α =(x 1,x 2,x 3,⋅⋅⋅,x n ),x j ∈R ,j =1,2,3,⋅⋅⋅,n }，其中元素α 称为一个n 维向量.特别地，0 =(0,0,⋅⋅⋅,0)称为零向量.设k ∈R ，α =(a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n )∈R n ，β =(b 1,b 2,⋅⋅⋅,b n )∈R n ，定义加法和数乘：kα =(ka 1,ka 2,⋅⋅⋅,ka n )，α +β =(a 1+b 1,a 2+b 2,⋅⋅⋅,a n +b n ).对一组向量α1 ，α2 ，⋯，αs (s ∈N +,s ≥2)，若存在一组不全为零的实数k 1，k 2，⋯，k s ，使得k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k s αs =0 ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．(1)对n =3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．①α =(1,1,1)，β =(2,2,2)；②α =(1,1,1)，β =(2,2,2)，γ =(5,1,4)；③α =(1,1,0)，β =(1,0,1)，γ =(0,1,1)，δ =(1,1,1).(2)已知α ，β ，γ 线性无关，判断α +β ，β +γ ，α +γ 是线性相关还是线性无关，并说明理由．(3)已知m (m ≥2)个向量α1 ，α2 ，⋯，αm 线性相关，但其中任意m -1个都线性无关，证明：①如果存在等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 (k i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )，则这些系数k 1，k 2，⋯，k m 或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 (k i ∈R ,l i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )同时成立，其中l 1≠0，则k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=k m l m.6(江苏四校)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上互异且非无穷远的四点，则称ACBC⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB=-BA)为A，B，C，D四点的交比，记为(A,B;C,D)．(1)证明：1-(D,B;C,A)=1(B,A;C,D)；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1,B1;C1,D1)= (A2,B2;C2,D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与ΔE F G 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与ΔE F G 对应边的交点在一条直线上．7(高考仿真)已知无穷数列a n满足a n=max a n+1,a n+2-min a n+1,a n+2(n=1,2,3,⋯)，其中max {x,y}表示x，y中最大的数，min{x,y}表示x，y中最小的数.(1)当a1=1，a2=2时，写出a4的所有可能值；(2)若数列a n中的项存在最大值，证明：0为数列a n中的项；(3)若a n>0(n=1,2,3,⋯)，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a n≤M？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.8(高考仿真)若项数为k(k∈N*，k≥3)的有穷数列{a n}满足：0≤a1<a2<a3<⋅⋅⋅<a k，且对任意的i，j(1≤i≤j≤k)，a j+a i或a j-a i是数列{a n}中的项，则称数列{a n}具有性质P．(1)判断数列0,1,2是否具有性质P，并说明理由；(2)设数列{a n}具有性质P，a i(i=1，2，⋯，k)是{a n}中的任意一项，证明：a k-a i一定是{a n}中的项；(3)若数列{a n}具有性质P，证明：当k≥5时，数列{a n}是等差数列．9(安徽)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q ,P 的距离之比MQ MP=λ(λ>0,λ≠1),λ是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=4，定点分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为e =12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 相交于B ,D (点B 在x 轴上方)，点S ,T 是椭圆C 上异于B ,D 的两点，SF 平分∠BSD ,TF 平分∠BTD .①求BS DS的取值范围；②将点S ､F ､T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程.10(郑州外国语)记U ={1,2,⋯,100}．对数列a n n ∈N * 和U 的子集T ，若T =∅，定义S T =0；若T =t 1,t 2,⋯,t k ，定义S T =a t 1+a t 2+⋯+a tk ．例如：T =1,3,66 时，S T =a 1+a 3+a 66．现设a n n ∈N * 是公比为3的等比数列，且当T =2,4 时，S T =30．(1)求数列a n 的通项公式；(2)对任意正整数k 1≤k ≤100 ，若T 1,2,⋯,k ，求证：S T <a k +1；(3)设C ⊆U ,D ⊆U ,SC ≥SD ，求证：S C +S C ∩D ≥2S D ．11(福建模拟)2022年北京冬奥会标志性场馆--国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．(Ⅰ)利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；(Ⅱ)现将椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B (如图)，类比(Ⅰ)中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比．12用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'x 是f x 的导函数，f''x 是f'x 的导函数，则曲线y=f x 在点x,f x处的曲率K=|f (x)|1+[f (x)]232．(1)若曲线f x =ln x+x与g x =x在1,1处的曲率分别为K1，K2，比较K1，K2的大小；(2)求正弦曲线h x =sin x(x∈R)曲率的平方K2的最大值．13设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1-12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Q k-1PQ k+∠Q k PQ1)，其中Q i(i=1，2，⋯，k，k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q 1PQ 2，平面Q 2PQ 3，⋯，平面Q k -1PQ k和平面Q k PQ 1遍历多面体M的所有以P为公共点的面．(1)任取正四面体的一个顶点，求该点处的离散曲率；(2)如图1，已知长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD，AB=BC=1，AA1=22，点P为底面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则求四棱锥P-ABCD在点P处的离散曲率的最小值；(3)图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域?(只需确定“区域α”还是“区域β”)14近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于2π与多面体在该点的所有面角之和的差(多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示)，多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是π2，所以正方体在各顶点的曲率为2π-3×π2=π2，故其总曲率为4π．(1)求四棱锥的总曲率；(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D，棱数为L，面数为M，则有：D-L+M=2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数．2024年高考数学19题新模式新结构新题型1(2023上·北京朝阳·高三统考期中/24南通)已知A m =a 1,1a 1,2⋯a 1,m a 2,1a 2,2⋯a 2,m ⋮⋮⋱⋮a m ,1a m ,2⋯a m ,m(m ≥2)是m 2个正整数组成的m 行m 列的数表，当1≤i <s ≤m ,1≤j <t ≤m 时，记d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ．设n ∈N *，若A m 满足如下两个性质：①a i ,j ∈1,2,3;⋯,n (i =1,2,⋯,m ;j =1,2,⋯,m )；②对任意k ∈1,2,3,⋯,n ，存在i ∈1,2,⋯,m ,j ∈1,2,⋯,m ，使得a i ,j =k ，则称A m 为Γn 数表．(1)判断A 3=123231312是否为Γ3数表，并求d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 的值；(2)若Γ2数表A 4满足d a i ,j ,a i +1,j +1 =1(i =1,2,3;j =1,2,3)，求A 4中各数之和的最小值；(3)证明：对任意Γ4数表A 10，存在1≤i <s ≤10,1≤j <t ≤10，使得d a i ,j ,a s ,t =0．【答案】(1)是；5(2)22(3)证明见详解【分析】(1)根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可；(2)根据条件讨论a i +1,j 的值，根据d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t ，得到相关的值，进行最小值求和即可；(3)当r i ≥2时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有r i -1条有向线段，得到横向有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明.【详解】(1)A 3=123231312是Γ3数表，d a 1,1,a 2,2 +d a 2,2,a 3,3 =2+3=5.(2)由题可知d a i ,j ,a s ,t =a i ,j -a s ,j +a s ,j -a s ,t =1(i =1,2,3;j =1,2,3).当a i +1,j =1时，有d a i ,j ,a i +1,j +1 =(a i ,j -1)(a i +1,j +1-1)=1，所以a i ,j +a i +1,j +1=3.当a i +1,j =2时，有d a i ,j ,a i +1,j +1 =(2-a i ,j )(2-a i +1,j +1)=1，所以a i ,j +a i +1,j +1=3.所以a i ,j +a i +1,j +1=3(i =1,2,3;j =1,2,3).所以a 1,1+a 2,2+a 3,3+a 4,4=3+3=6,a 1,3+a 2,4=3,a 3,1+a 4,2=3.a 1,2+a 2,3+a 3,4=3+1=4或者a 1,2+a 2,3+a 3,4=3+2=5，a 2,1+a 3,2+a 4,3=3+1=4或者a 2,1+a 3,2+a 4,3=3+2=5，a 1,4=1或a 1,4=2，a 4,1=1或a 4,1=2，故各数之和≥6+3+3+4+4+1+1=22，当A 4=1111122212111212时，各数之和取得最小值22.(3)由于Γ4数表A 10中共100个数字，必然存在k ∈1,2,3,4 ，使得数表中k 的个数满足T ≥25.设第i 行中k 的个数为r i (i =1,2,⋅⋅⋅,10).当r i ≥2时，将横向相邻两个k 用从左向右的有向线段连接，则该行有r i -1条有向线段，所以横向有向线段的起点总数R =∑r i ≥2(r i -1)≥∑i =110(r i -1)=T -10.设第j 列中k 的个数为c j (j =1,2,⋅⋅⋅,10).当c j ≥2时，将纵向相邻两个k 用从上到下的有向线段连接，则该列有c j -1条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数C =∑c j ≥2(c j -1)≥∑j =110(c j -1)=T -10.所以R +C ≥2T -20,因为T ≥25,所以R +C -T ≥2T -20-T =T -20>0.所以必存在某个k 既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在1<u <v ≤10，1<p <q ≤10,使得a u ,p =a v ,p =a v ,q =k ，所以d a u ,p ,a v ,q =a u ,p -a v ,p +a v ,p -a v ,q =0，则命题得证.2(镇海高三期末)在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C ：y =f x 上的曲线段AB，其弧长为Δs ，当动点从A 沿曲线段AB运动到B 点时，A 点的切线l A 也随着转动到B 点的切线l B ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l B 的倾斜角与l A 的倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K =ΔθΔs为曲线段AB 的平均曲率；显然当B 越接近A ，即Δs 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处的弯曲程度，因此定义K =lim Δs →0ΔθΔs =y 1+y 2 32(若极限存在)为曲线C 在点A 处的曲率．(其中y ＇，y ＇＇分别表示y =f x 在点A 处的一阶、二阶导数)(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；(2)求椭圆x 24+y 2=1在3,12处的曲率；(3)定义φy =22y1+y3为曲线y =f x 的“柯西曲率”．已知在曲线f x =x ln x -2x 上存在两点P x 1,f x 1 和Q x 2,f x 2 ，且P ，Q 处的“柯西曲率”相同，求3x 1+3x 2的取值范围．【答案】(1)1(2)16749(3)2e ,1 【解析】【分析】(1)依据所给定义求解即可.(2)直接利用定义求解即可.(3)合理构造给定式子，转化为一元函数，结合高观点极限方法求解即可.【小问1详解】K =ΔθΔs=π3π3=1．【小问2详解】y =1-x 24，y=-x 41-x 24 -12，y =-141-x 24 -12-x 2161-x 24-32，故y x =3=-32，y x =3=-2，故K =21+3432=16749．【小问3详解】fx =ln x -1，fx =1x ，故φy =22y 1+y3=22x ln x 3=2233s ln s 3，其中s =3x ，令t 1=3x 1，t 2=3x 2，则t 1ln t 1=t 2ln t 2，则ln t 1=-t ln tt -1，其中t =t 2t 1>1(不妨t 2>t 1)令p x =x ln x ，p x =1+ln x ⇒p x 在0,1e 递减，在1e ,+∞ 递增，故1>t 2>1e>t 1>0；令h t =ln t 1+t 2 =ln t +1 -t ln tt -1，h 't =1t -1 2ln t -2t -1 t +1 ，令m (t )=ln t -2t -1 t +1(t >1)，则m(t )=t -1 2t (t +1)，当t >1时，m (t )>0恒成立，故m (t )在(1,+∞)上单调递增，可得m (t )>m (1)=0，即ln t -2t -1t +1>0，故有h t =1t -1 2ln t -2t -1 t +1>0，则h t 在1,+∞ 递增，又lim t →1h t =ln2-1，lim t →+∞h t =0，故ln t 1+t 2 ∈ln2-1,0 ，故3x 1+3x 2=t 1+t 2∈2e ,1．【点睛】关键点点睛：本题考查求导数新定义，解题关键是将给定式子合理转化为一元函数，然后利用极限方法求得关键函数值域，最终即可求解．3(合肥一中期末)同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a ，b ∈Z ，m ∈N *且m >1．若m a -b 则称a 与b 关于模m 同余，记作a ≡b (mod m )(“|”为整除符号)．(1)解同余方程x 2-x ≡0(mod3)；(2)设(1)中方程的所有正根构成数列a n ，其中a 1<a 2<a 3<⋯<a n ．①若b n =a n +1-a n (n ∈N *)，数列b n 的前n 项和为S n ，求S 2024；②若c n =tan a 2n +1⋅tan a 2n -1(n ∈N *)，求数列c n 的前n 项和T n ．解：(1)由题意x x -1 ≡0(mod3)，所以x =3k 或x -1=3k (k ∈Z )，即x =3k 或x =3k +1(k ∈Z )．(2)由(1)可得a n 为3,4,6,7,9,10,⋯ ，所以a n =3×n +12n 为奇数3×n 2+1n 为偶数．①因为b n =a n +1-a n (n ∈N *)，所以b n =1n 为奇数2n 为偶数．S 2024=b 1+b 2+b 3+⋯+b 2024=3×1012=3036．②c n =tan a 2n +1⋅tan a 2n -1=tan3n ⋅tan3n +1 (n ∈N *)．因为tan3n ⋅tan3n +1 =tan3n +1 -tan3ntan3-1，所以T n =c 1+c 2+⋯c n =tan6-tan3tan3-1 +tan9-tan6tan3-1 +⋯+tan3n +1 -tan3n tan3-1=tan3n +1 -tan3tan3-n =tan3n +1 tan3-n -1．4(北京西城)给定正整数N ≥3，已知项数为m 且无重复项的数对序列A ：x 1,y 1 ,x 2,y 2 ,⋅⋅⋅,x m ,y m 满足如下三个性质：①x i ,y i ∈1,2,⋅⋅⋅,N ，且x i ≠y i i =1,2,⋅⋅⋅,m ；②x i +1=y i i =1,2,⋅⋅⋅,m -1 ；③p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中.(1)当N =3，m =3时，写出所有满足x 1=1的数对序列A ；(2)当N =6时，证明：m ≤13；(3)当N 为奇数时，记m 的最大值为T N ，求T N .【答案】(1)A :1,2 ,2,3 ,3,1 或A :1,3 ,3,2 ,2,1(2)证明详见解析(3)T N =12N N -1【解析】【分析】(1)利用列举法求得正确答案.(2)利用组合数公式求得m 的一个大致范围，然后根据序列A 满足的性质证得m ≤13.(3)先证明T N +2 =T N +2N +1，然后利用累加法求得T N .【小问1详解】依题意，当N =3，m =3时有：A :1,2 ,2,3 ,3,1 或A :1,3 ,3,2 ,2,1 .【小问2详解】当N =6时，因为p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中，所以m ≤C 26=15，所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次，又因为x i +1=y i i =1,2,⋯,m -1 ，所以只有x 1,y m 对应的数可以出现5次，所以m ≤12×4×4+2×5 =13.【小问3详解】当N 为奇数时，先证明T N +2 =T N +2N +1.因为p ,q 与q ,p 不同时在数对序列A 中，所以T N ≤C 2N =12N N -1 ，当N =3时，构造A :1,2 ,2,3 ,3,1 恰有C 23项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1.对奇数N ，如果和可以构造一个恰有C 2N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么多奇数N +2而言，可按如下方式构造满足条件的序列A ：首先，对于如下2N +1个数对集合：1,N +1 ,N +1,1 ,1,N +2 ,N +2,1 ，2,N +1 ,N +1,2 ,2,N +2 ,N +2,2 ，⋯⋯N ,N +1 ,N +1,N ,N ,N +2 ,N +2,N ，N +1,N +2 ,N +2,N +1 ，每个集合中都至多有一个数对出现在序列A 中，所以T N +2 ≤T N +2N +1，其次，对每个不大于N 的偶数i ∈2,4,6,⋯,N -1 ，将如下4个数对并为一组：N +1,i ,i ,N +2 ,N +2,i +1 ,i +1,N +1 ，共得到N -12组，将这N -12组对数以及1,N +1 ,N +1,N +2 ,N +2,1 ，按如下方式补充到A 的后面，即A ,1,N +1 ,N +1,2 ,2,N +2 ,N +2,3 ,3,n +1 ,⋯,(N +1,N -1),(N -1,N +2),(N +2,N ),(N ,N +1),(N +1,N +2),(N +2,1).此时恰有T N +2N +1项，所以T N +2 =T N +2N +1.综上，当N 为奇数时，T N =T N -T N -2 +T N -2 -T N -4 +⋯+T 5 -T 3 +T 3 =2N -2 +1 +2N -4 +1 +⋯+2×3+1 +3=2N -2 +1 +2N -4 +1 +⋯+2×3+1 +2×1+1 =2N -3 +2N -7 +⋯+7+3=2N -3+32×N -2+12=12N N -1 .【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”--明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.5(如皋市)对于给定的正整数n ，记集合R n ={α |α=(x 1,x 2,x 3,⋅⋅⋅,x n ),x j ∈R ,j =1,2,3,⋅⋅⋅,n }，其中元素α称为一个n 维向量.特别地，0 =(0,0,⋅⋅⋅,0)称为零向量.设k ∈R ，α =(a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n )∈R n ，β =(b 1,b 2,⋅⋅⋅,b n )∈R n ，定义加法和数乘：kα =(ka 1,ka 2,⋅⋅⋅,ka n )，α +β=(a 1+b 1,a 2+b 2,⋅⋅⋅,a n +b n ).对一组向量α1 ，α2 ，⋯，αs (s ∈N +,s ≥2)，若存在一组不全为零的实数k 1，k 2，⋯，k s ，使得k 1α1 +k 2α2+⋅⋅⋅+k s αs =0 ，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．(1)对n =3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．①α=(1,1,1)，β =(2,2,2)；②α =(1,1,1)，β =(2,2,2)，γ=(5,1,4)；③α =(1,1,0)，β =(1,0,1)，γ=(0,1,1)，δ =(1,1,1).(2)已知α ，β ，γ 线性无关，判断α +β ，β +γ ，α +γ是线性相关还是线性无关，并说明理由．(3)已知m (m ≥2)个向量α1 ，α2 ，⋯，αm线性相关，但其中任意m -1个都线性无关，证明：①如果存在等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0(k i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )，则这些系数k 1，k 2，⋯，k m 或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 (k i ∈R ,l i ∈R ,i =1,2,3,⋅⋅⋅,m )同时成立，其中l 1≠0，则k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=km l m.(1)解：对于①，设k 1α +k 2β =0 ，则可得k 1+2k 2=0，所以α ,β线性相关；对于②，设k 1α +k 2β +k 3γ =0，则可得k 1+2k 2+5k 3=0k 1+2k 2+k 3=0k 1+2k 2+4k 3=0 ，所以k 1+2k 2=0，k 3=0，所以α ,β ,γ线性相关；对于③，设k 1α +k 2β +k 3γ+k 4δ =0 ，则可得k 1+k 2+k 4=0k 1+k 3+k 4=0k 2+k 3+k 4=0 ，解得k 1=k 2=k 3=-12k 4，所以α ,β ,γ ,δ 线性相关；(2)解：设k 1(α +β )+k 2(β +γ )+k 3(α +γ)=0 ，则(k 1+k 3)α +(k 1+k 2)β +(k 2+k 3)γ =0，因为向量α ，β ，γ线性无关，所以k 1+k 3=0k 1+k 2=0k 2+k 3=0 ，解得k 1=k 2=k 3=0，所以向量α +β ，β +γ ，α +γ线性无关，(3)①k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0，如果某个k i =0，i =1，2，⋯，m ，则k 1α1 +k 2α2 +⋯+k i -1αi -1 +k i +1αi +1 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，因为任意m -1个都线性无关，所以k 1，k 2，⋯k i -1，k i +1，⋅⋅⋅，k m 都等于0，所以这些系数k 1，k 2，⋅⋅⋅，k m 或者全为零，或者全不为零，②因为l 1≠0，所以l 1，l 2，⋅⋅⋅，l m 全不为零，所以由l 1α1 +l 2α2 +⋅⋅⋅+l m αm =0 可得α1 =-l 2l 1α2 -⋅⋅⋅-l m l 1αm，代入k 1α1 +k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 可得k 1-l 2l 1α2 -⋅⋅⋅-l m l 1αm+k 2α2 +⋅⋅⋅+k m αm =0 ，所以-l 2l 1k 1+k 2 α2 +⋅⋅⋅+-lm l 1k 1+k mαm =0 ，所以-l 2l 1k 1+k 2=0，⋯，-lm l 1k 1+k m =0，所以k 1l 1=k 2l 2=⋅⋅⋅=km l m.6(江苏四校)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A ，B ，C ，D 是直线l 上互异且非无穷远的四点，则称AC BC ⋅BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如AB =-BA )为A ，B ，C ，D四点的交比，记为(A ,B ;C ,D )．(1)证明：1-(D ,B ;C ,A )=1(B ,A ;C ,D )；(2)若l1，l2，l3，l4为平面上过定点P且互异的四条直线，L1，L2为不过点P且互异的两条直线，L1与l1，l2，l3，l4的交点分别为A1，B1，C1，D1，L2与l1，l2，l3，l4的交点分别为A2，B2，C2，D2，证明：(A1,B1;C1,D1)= (A2,B2;C2,D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与ΔE F G 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则ΔEFG与ΔE F G 对应边的交点在一条直线上．解：(1)1-(D,B;C,A)=1-DC⋅BABC⋅DA=BC⋅AD+DC⋅BABC⋅AD=BC⋅(AC+CD)+CD⋅ABBC⋅AD=BC⋅AC+BC⋅CD+CD⋅ABBC⋅AD =BC⋅AC+AC⋅CDBC⋅AD=AC⋅BDBC⋅AD=1(B,A;C,D)；(2)(A1,B1;C1,D1)=A1C1⋅B1D1B1C1⋅A1D1=SΔPA1C1⋅SΔPB1D1SΔPB1C1⋅SΔPA1D1=12⋅PA1⋅PC1⋅sin∠A1PC1⋅12⋅PB1⋅PD1⋅sin∠B1PD112⋅PB1⋅PC1⋅sin∠B1PC1⋅12⋅PA1⋅PD1⋅sin∠A1PD1=sin∠A1PC1⋅sin∠B1PD1sin∠B1PC1⋅sin∠A1PD1=sin∠A2PC2⋅sin∠B2PD2sin∠B2PC2⋅sin∠A2PD2=SΔPA2C2⋅SΔPB2D2SΔPB2C2⋅SΔPA2D2==A2C2⋅B2D2B2C2⋅A2D2=(A2,B2;C2,D2)；第(2)问图第(3)问图（3）设EF与E F 交于X，FG与F G 交于Y，EG与E G 交于Z，连接XY，FF 与XY交于L，EE 与XY交于M，GG 与XY交于N，欲证X，Y，Z三点共线，只需证Z在直线XY上．考虑线束XP，XE，XM，XE ，由第(2)问知(P,F;L,F )=(P,E;M,E )，再考虑线束YP，YF，YL，YF ，由第(2)问知(P,F;L, F )=(P,G;N,G )，从而得到(P,E;M,E )=(P,G;N,G )，于是由第(2)问的逆命题知，EG，MN，E G 交于一点，即为点Z，从而MN过点Z，故Z在直线XY上，X，Y，Z三点共线．7(高考仿真)已知无穷数列a n满足a n=max a n+1,a n+2-min a n+1,a n+2(n=1,2,3,⋯)，其中max {x,y}表示x，y中最大的数，min{x,y}表示x，y中最小的数.(1)当a1=1，a2=2时，写出a4的所有可能值；(2)若数列a n中的项存在最大值，证明：0为数列a n中的项；(3)若a n>0(n=1,2,3,⋯)，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a n≤M？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.【答案】(1){1,3,5}(2)证明见解析(3)不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)根据定义知a n≥0，讨论a3>2、a3<2及a3,a4大小求所有a4可能值；(2)由a n≥0，假设存在n0∈N*使a n≤a n0，进而有a n≤max{a n+1,a n+2}≤a n，可得min{a n+1,a n+2}=0，即可证结论；(3)由题设a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，令S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，讨论S =∅、S ≠∅求证a n >M 即可判断存在性.【小问1详解】由a n =max a n +1,a n +2 -min a n +1,a n +2 ≥0，a 1=max {2,a 3}-min {2,a 3}=1，若a 3>2，则a 3-2=1，即a 3=3，此时a 2=max {3,a 4}-min {3,a 4}=2，当a 4>3，则a 4-3=2，即a 4=5；当a 4<3，则3-a 4=2，即a 4=1；若a 3<2，则2-a 3=1，即a 3=1，此时a 2=max {1,a 4}-min {1,a 4}=2，当a 4>1，则a 4-1=2，即a 4=3；当a 4<1，则1-a 4=2，即a 4=-1(舍)；综上，a 4的所有可能值为{1,3,5}.【小问2详解】由(1)知：a n ≥0，则min a n +1,a n +2 ≥0，数列a n 中的项存在最大值，故存在n 0∈N *使a n ≤a n 0，(n =1,2,3,⋯)，由a n 0=max {a n 0+1,a n 0+2}-min {a n 0+1,a n 0+2}≤max {a n 0+1,a n 0+2}≤a n 0，所以min {a n 0+1,a n 0+2}=0，故存在k ∈{n 0+1,n 0+2}使a k =0，所以0为数列a n 中的项；【小问3详解】不存在，理由如下：由a n >0(n =1,2,3,⋯)，则a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，设S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，若S =∅，则a 1≤a 2，a i <a i +1(i =2,3,⋯)，对任意M >0，取n 1=Ma 1+2([x ]表示不超过x 的最大整数)，当n >n 1时，a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+...+(a 3-a 2)+a 2=a n -2+a n -3+...+a 1+a 2≥(n -1)a 1>M ；若S ≠∅，则S 为有限集，设m =max {n |a n >a n +1,n ≥1}，a m +i <a m +i +1(i =1,2,3,⋯)，对任意M >0，取n 2=M a m +1+m +1([x ]表示不超过x 的最大整数)，当n >n 2时，a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+...+(a m +2-a m +1)+a m +1=a n -2+a n -3+...+a m +a m +1≥(n -m )a m +1>M ；综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有a n ≤M .【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定a n ≠a n +1(n =2,3,⋯)，并构造集合S ={n |a n >a n +1,n ≥1}，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.8(高考仿真)若项数为k (k ∈N *，k ≥3)的有穷数列{a n }满足：0≤a 1<a 2<a 3<⋅⋅⋅<a k ，且对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤k )，a j +a i 或a j -a i 是数列{a n }中的项，则称数列{a n }具有性质P ．(1)判断数列0,1,2是否具有性质P ，并说明理由；(2)设数列{a n }具有性质P ，a i (i =1，2，⋯，k )是{a n }中的任意一项，证明：a k -a i 一定是{a n }中的项；(3)若数列{a n }具有性质P ，证明：当k ≥5时，数列{a n }是等差数列．解析：(1)数列0,1,2具有性质P .理由：根据有穷数列a n满足：0≤a1<a2<a3<⋅⋅⋅<a k，且对任意的i,j(1≤i≤j≤k)，a j+a i或a j-a i是数列a n中的项，则称数列a n具有性质P，对于数列0,1,2中，若对任意的i,j(1≤i≤j≤k)，可得a j-a i=0或1或2，可得a j-a i一定是数列a n中的项，所以数列0,1,2具有性质P.⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)证明：由a i(i=1,2,⋯,k)是数列a n中的任意一项，因为数列{a n}具有性质P，即a j+a i或a j-a i是数列a n中的项，令j=k，可得a k+a i或a k-a i是数列a n中的项，又因为0≤a1<a2<⋯<a k，可得a k+a i一定不是数列a n中的项，所以a k-a i一定是数列a n中的项. ⋯⋯⋯⋯⋯8分(3)由数列{a n}具有性质P，可得a k+a k∉a n，所以a k-a k∈a n，则0∈a n，且a1=0，又由a k+a i∉a n，所以a k-a i∈a n，又由0=a k-a k<a k-a k-1<a k-a k-2<⋯<a k-a2<a k-a1，①设2≤i≤k，因为0≤a1<a2<⋯<a k可得a k-a k=0,a k-a k-1=a2,a k-a k-2=a3,⋯,a k-a2=a k-1,a k-a1=a k，当k≥5时，可得a k-a k-i=a i+11≤i≤k-1， (∗)②设3≤i≤k-2，则a k-1+a i>a k-1+a2=a k，所以a k-1+a i∉a n，由0=a k-1-a k-1<a k-1-a k-2<⋯<a k-1-a3<a k-a3=a k-2，又由0≤a1<a2<⋯<a k-3<a k-2，可得a k-1-a k-1=a1,a k-1-a k-2=a2⋯<a k-1-a k-3=a3,a k-1-a3=a k-3，所以a k-1-a k-i=a i(1≤i≤k-3)，因为k≥5，由以上可知：a k-1-a k-1=a1且a k-1-a k-2=a2，所以a k-1-a1=a k-1且a k-1-a2=a k-2，所以a k-1-a k-i=a i(1≤i≤k-1)，(∗∗)由(∗)知，a k-a k-i=a i+11≤i≤k-1两式相减，可得a k-a k-1=a i+1-a i1≤i≤k-1，所以当k≥5时，数列a n为等差数列. ⋯⋯⋯⋯⋯17分.9(安徽)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q,P的距离之比MQMP=λ(λ>0,λ≠1),λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=4，定点分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率为e=1 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为k (k >0)的直线l 与椭圆C 相交于B ,D (点B 在x 轴上方)，点S ,T 是椭圆C 上异于B ,D 的两点，SF 平分∠BSD ,TF 平分∠BTD .①求BSDS的取值范围；②将点S ､F ､T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程.【答案】(1)x 28+y 26=1(2)①13,1 ②y =52x -102【解析】(1)方法①特殊值法，令M ±2,0 ,c -2 a -2=c +2a +2，且a =2c ，解得c 2=2.∴a 2=8,b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1，方法②设M x ,y ，由题意MFMA =(x -c )2+y 2(x -a )2+y 2=λ(常数)，整理得：x 2+y 2+2c -2aλ2λ2-1x +λ2a 2-c2λ2-1=0，故2c -2aλ2λ2-1=0λ2a 2-c 2λ2-1=-4，又c a =12，解得：a =22,c = 2.∴b 2=a 2-c 2=6，椭圆C 的方程为x 28+y 26=1.(2)①由S △SBF S △SDF =12SB⋅SF ⋅sin ∠BSF 12SD⋅SF ⋅sin ∠DSF =SB SD ，又S △SBF S △SDF =BF DF ，∴BS DS=BF DF(或由角平分线定理得)，令BF DF=λ，则BF =λFD，设D x 0,y 0 ，则有3x 20+4y 20=24，又直线l 的斜率k >0，则x 0∈-22,2 ,x B =2λ+1 -λx 0y B =-λy 0代入3x 2+4y 2-24=0得：321+λ -λx 0 2+4λ2y 20-24=0，即λ+1 5λ-3-2λx 0 =0，∵λ>0,∴λ=35-2x 0∈13,1 .②由(1)知，SB SD=TB TD=BF DF，由阿波罗尼斯圆定义知，S ,T ,F 在以B ,D 为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为C 1，半径为r ，与直线l 的另一个交点为N ，则有BF DF =NB ND ，即BF DF =2r -BF 2r +DF ，解得：r =11BF-1DF.又S 圆C 1=πr 2=818π，故r =922,∴1BF -1DF=229又DF =x 0-2 2+y 20=x 0-2 2+6-34x 20=22-12x 0，∴1BF -1DF =1λDF -1DF =5-2x 0322-12x 0 -122-12x 0=2-2x 0322-12x 0=229.解得：x 0=-22,y 0=-6-34x 20=-3104,∴k =-y 02-x 0=52,∴直线l 的方程为y =52x -102.10(郑州外国语)记U ={1,2,⋯,100}．对数列a n n ∈N * 和U 的子集T ，若T =∅，定义S T =0；若T =t 1,t 2,⋯,t k ，定义S T =a t 1+a t 2+⋯+a tk ．例如：T =1,3,66 时，S T =a 1+a 3+a 66．现设a n n ∈N * 是公比为3的等比数列，且当T =2,4 时，S T =30．(1)求数列a n 的通项公式；(2)对任意正整数k 1≤k ≤100 ，若T 1,2,⋯,k ，求证：S T <a k +1；(3)设C ⊆U ,D ⊆U ,SC ≥SD ，求证：S C +S C ∩D ≥2S D ．解：(1)当T =2,4 时，S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30，因此a 2=3，从而a 1=a 23=1,a n =3n -1；(2)S T ≤a 1+a 2+⋯a k =1+3+32+⋯+3k -1=3k -12<3k =a k +1；(3)设A =∁C C ∩D ,B =∁D C ∩D ，则A ∩B =∅,S C =S A +S C ∩D ，S D =S B +S C ∩D ，S C +S C ∩D -2S D =S A -2S B ，因此原题就等价于证明S A ≥2S B ．由条件S C ≥S D 可知S A ≥S B ．①若B =∅，则S B =0，所以S A ≥2S B ．②若B ≠∅，由S A ≥S B 可知A ≠∅，设A 中最大元素为l ,B 中最大元素为m ，若m ≥l +1，则由第(2)小题，S A <a l +1≤a m ≤S B ，矛盾．因为A ∩B =∅，所以l ≠m ，所以l ≥m +1，S B ≤a 1+a 2+⋯+a m =1+3+32+⋯+3m -1=3m -12<a m +12≤a l 2≤S A 2，即S A >2S B ．综上所述，S A ≥2S B ，因此S C +S C ∩D ≥2S D ．11(福建模拟)2022年北京冬奥会标志性场馆--国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．(Ⅰ)利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；(Ⅱ)现将椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B (如图)，类比(Ⅰ)中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比．【答案】解： (Ⅰ)由图可知，图①几何体的为半径为R 的半球，图②几何体为底面半径和高都为R 的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆环(如阴影部分)证明如下：在图①中，设截面圆的圆心为O 1，易得截面圆O 1的面积为πR 2-d 2 ，在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d ，所以，圆环的面积为πR 2-d 2 ，所以，截得的截面的面积相等(Ⅱ)类比(Ⅰ)可知，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，构造一个底面半径为b ，高为a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上(如图)，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b ，高为a ；在半椭球截面圆的面积πb 2a2a 2-d 2，在圆柱内圆环的面积为πb 2-πb 2a 2d 2=πb 2a2a 2-d 2∴距离平面α为d 的平面截取两个几何体的平面面积相等，根据祖暅原理得出椭球A 的体积为：V A =2V 圆柱-V 圆锥 =2π⋅b 2⋅a -13π⋅b 2⋅a =4π3ab 2，同理：椭球B 的体积为V B =4π3a 2b 所以，两个椭球A ，B 的体积之比为ba．【解析】本题考查新定义问题，解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面积相等，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．(Ⅰ)由题意，直接画出阴影即可，然后分别求出图①中圆的面积及图②中圆环的面积即可证明；(Ⅱ)类比(Ⅰ)可知，椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，构造一个底面半径为b ，高为a 的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为b ，高为a ，证明截面面积相等，由祖暅原理求出出椭球A 的体积，同理求出椭球B 的体积，作比得出答案．12用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f 'x 是f x 的导函数，f ''x 是f 'x 的导函数，则曲线y =f x 在点x ,f x 处的曲率K =|f (x )|1+[f (x )]232．。
2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编04(解析版)
2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编04一、单选题1(2024·广东·一模)已知集合A=-12,-13,12,13,2,3，若a,b,c∈A且互不相等，则使得指数函数y =a x，对数函数y=log b x，幂函数y=x c中至少有两个函数在(0,+∞)上单调递增的有序数对(a,b,c)的个数是()A.16B.24C.32D.48【答案】B【解析】若y=a x和y=log b x在(0,+∞)上单调递增，y=x c在(0,+∞)上单调递减，则有A22⋅C12=4个；若y=a x和y=x c在(0,+∞)上单调递增，y=log b x在(0,+∞)上单调递减，则有C12⋅C12⋅C12=8个；若y=log b x和y=x c在(0,+∞)上单调递增，y=a x在(0,+∞)上单调递减，则有C12⋅C12⋅C12=8个；若y=a x、y=log b x和y=x c在(0,+∞)上单调递增，则有A22⋅C12=4个；综上所述：共有4+8+8+4=24个.故选：B.2(2024·广东江门·一模)物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为P b n =log b n+1n.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若80n=kP10(n)=log4811+log25k∈N*，则k的值为()A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】80n=k P10(n)=P10(k)+P10(k+1)+⋯+P10(80)=lg k+1k +lg k+2k+1+⋯+lg8180=lg81k，而log4811+log25=lg81lg41+lg5lg2=4lg32lg21+lg5lg2=2lg3=lg9，故k=9．故选：C．3(2024·广东·模拟预测)在正三棱锥A-BCD中，△BCD的边长为6，侧棱长为8，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A.33468B.3434C.21717D.1734【答案】A【解析】依题意，记BC的中点为F，连接DF，记正△BCD的中心为O，连接AO，因为在正三棱锥A-BCD中，AO⊥底面BCD，在正△BCD中，DF⊥BC，在平面BCD中过F点作z轴⊥底面BCD，则AO⎳z轴，以F点为原点，建立空间直角坐标系，如图，因为在正三棱锥A-BCD中，△BCD的边长为6，侧棱长为8，所以DF=32CD=32×6=33，2DF=23，AO=AD2-OD2=64-12=213，故B -3,0,0 ,C 3,0,0 ,D 0,33,0 ,O 0,3,0 ,A 0,3,213 ，则E -32,32,13 ，CE =-92,32,13 ，BD =3,33,0 ，所以cos CE ,BD =CE ⋅BDCE BD =-92×3+32×33-92 2+32 2+13×9+27=-33468，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为33468.故选：A .4(2024·天津滨海新·一模)已知抛物线C 1:y 2=2px p >0 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为E ，线段EF 被双曲线C 2:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)顶点三等分，且两曲线C 1，C 2的交点连线过曲线C 1的焦点F ，则双曲线C 2的离心率为()A.2B.322C.113D.222【答案】D【解析】求得抛物线的焦点和准线，可得EF 的长度，由题意可得p =6a ，求出两曲线交点坐标，代入双曲线方程可得a ,b 的关系，利用离心率公式可求得结果.抛物线y 2=2px 的焦点为F p 2,0 ，准线方程为x =-p2，E -p2,0 ，|EF |=p ，因为线段EF 被双曲线C 2:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)顶点三等分，所以2a =p 3，即p =6a ，因为两曲线C 1，C 2的交点连线过曲线C 1的焦点F ，所以两个交点为p 2,p 、p2,-p ，将p 2,p 代入双曲线x 2a 2-y 2b 2=1得p 24a 2-p 2b2=1，所以36a 24a 2-36a 2b 2=1，所以9-36a 2b 2=1，所以b 2a2=92，所以双曲线C 2的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=1+92=222.故选：D5(2024·湖南·二模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx ，若沿x 轴方向平移f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线y =1在区间0,π 上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为()A.2,83B.2,103C.103,4 D.2,4【答案】A【解析】由f x =sin ωx +3cos ωx 可得：f x =2sin ωx +π3，若沿x 轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数g x =2sin ωx +φ .令g x =1，即sin ωx +φ =12，x ∈[0,π]，取z =ωx +φ，则z ∈[φ,ωπ+φ].依题意知，sin z =12在φ,ωπ+φ 上至少有2解，至多有3解，则须使区间[φ,ωπ+φ]的长度在2π到8π3之间，即2π≤ωπ<8π3，解得2≤ω<83.6(2024·湖南·二模)过点P -1,0 的动直线与圆C :(x -a )2+(y -2)2=4(a >0)交于A ,B 两点，在线段AB 上取一点Q ，使得1PA +1PB =2PQ ，已知线段PQ 的最小值为2，则a 的值为()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】圆心C a ,2 ，半径为2，则圆C 与x 轴相切，设切点为M a ,0 ，则PM =a +1，则|PM |2=PA PB =(a +1)2，设AB 的中点为D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，令圆心C 到直线AB 的距离为d ，则0≤d <2,|PA |+|PB |=|PD |-|AD |+|PD |+|AD |=2|PD |，由1PA +1PB =2PQ ，得PQ =2PA PB PA +PB =(a +1)2|PC |2-d 2=(a +1)2(a +1)2+4-d 2，因此(a +1)2(a +1)2+4-0≤PQ <(a +1)2(a +1)2+4-4，而PQ 的最小值为2，所以a +12a +1 2+4=2，则a =1.故选：A7(2024·高三·浙江宁波·阶段练习)如图1，水平放置的直三棱柱容器ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥AB ，AB =AC =2，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB 固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形A 1B 1C ，如图2，则容器的高h 为()A.3B.4C.42D.6【答案】A【解析】在图1中水的体积V =12×2×2×2=4，在图2中水的体积V =VABC -A 1B 1C 1-V C -A 1B 1C 1=12×2×2×h -13×12×2×2×h =43h ，4h =4⇒h =3．8(2024·江西·高考真题)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1 ⋅MF 2=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A.(0,1) B.0,12C.0,22D.22,1 【答案】C【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ,b ,c ．因为MF 1 ·MF 2=0所以点M 的轨迹为以原点为圆心，半径为c 的圆．与因为点M 在椭圆的内部，所以c <a ,c <b ，所以c 2<b 2=a 2-c 2，所以2c 2<a 2∴e 2=c 2a2<12，所以e ∈0,22，故选C ．9(2024·高二·湖北鄂州·阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的焦距为2c ，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1-d 2 ≤c ，则双曲线的离心率的取值范围为()A.1,233B.233,+∞ C.1,2D.2,+∞【答案】C【解析】由题意可知，直线AB 经过双曲线的右焦点，且垂直于x 轴，不妨设A c ,y 0 ，代入椭圆方程c 2a 2-y 02b2=1，又c 2=a 2+b 2，所以y 0=b 2a ，所以A c ,b 2a ，B c ,-b 2a，任取双曲线的一条渐近线为直线bx +ay =0，由点到直线的距离公式可得点A 到渐近线的距离d 1=bc +b 2a 2+b2=bc +b 2c ，点B 到渐近线的距离d 2=bc -b 2a 2+b 2=bc -b 2c ，所以d 1-d 2 =bc +b 2c -bc -b 2c =2b 2c=2b 2c，因为d 1-d 2 ≤c ，所以2b 2c≤c ，因c >0，所以2b 2≤c 2，即2c 2-a 2 ≤c 2，所以c 2≤2a 2，所以c 2a 2≤2，因为双曲线离心率c a >1，所以1<ca≤2，所以双曲线的离心率的取值范围为1,2 .故选：C .10(2024·高二·广东深圳·期末)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，斜率为k 的直线l 经过点F ，并且与抛物线C 交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，与抛物线的准线交于点N ，若AF =2MN，则k =()A.3B.2C.±2D.±3【答案】D【解析】当A 在第一象限时，设准线与x 轴的交点为P ，过A 作准线的垂线，垂足为A ，因为OM ∥PN ，且O 为PF 的中点，所以OM 为三角形PFN 的中位线，即FM =MN ，所以AF =2MN =FN ，又根据抛物线的定义AF =AA ，所以AN =2AF =2AA ，所以在直角三角形AA N 中，∠A AN =60°，所以∠AFx =60°，此时k =3，根据对称性，当A 在第四象限时，k =-3，故选：D .11(2024·湖北·一模)设直线l ：x +y -1=0，一束光线从原点O 出发沿射线y =kx x ≥0 向直线l 射出，经l 反射后与x 轴交于点M ，再次经x 轴反射后与y 轴交于点N ．若MN =136，则k 的值为()A.32B.23C.12D.2【答案】B【解析】如图，设点O 关于直线l 的对称点为A x 1,y 1 ，则x 12+y12-1=0y 1x 1×-1 =-1得x 1=1y 1=1 ，即A 1,1 ，由题意知y =kx x ≥0 与直线l 不平行，故k ≠-1，由y =kx x +y -1=0 ，得x =1k +1y =k k +1，即P 1k +1,k k +1 ，故直线AP 的斜率为k AP =kk +1-11k +1-1=1k ，直线AP 的直线方程为：y -1=1kx -1 ，令y =0得x =1-k ，故M 1-k ,0 ，令x =0得y =1-1k ，故由对称性可得N 0，1k-1 ，由MN =136得(1-k )2+1k -1 2=1336，即k +1k 2-2k +1k =1336，解得k +1k=136，得k =23或k =32，若k =32，则第二次反射后光线不会与y 轴相交，故不符合条件．故k =23，故选：B 12(2024·湖北·二模)能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是()A.263B.62C.233D.33+12【答案】C【解析】要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况，设三个半径为1的圆的圆心分别为O 1,O 2,O 3，设被覆盖的圆的圆心为O ，如图，设OO 1=OO 2=OO 3=x ，则O 1H =3x 2,OH =x 2，OA =OH +HA =x 2+1-32x 2=12(x +4-3x 2)，又OC =OO 3+O 3C =x +1>OA ，因此圆O 的最大半径为OA ，令f (x )=12(x +4-3x 2)，求导得f(x )=4-3x 2-3x 24-3x 2，由f (x )=0，得x =33，当0<x <33时，f (x )>0，当33<x <233时，f (x )<0，因此f (x )在0,33上单调递增，在33,233 上单调递减，f (x )max =f 33 =233，所以被完全覆盖的最大的圆的半径为233，此时O 1O 2=O 2O 3=O 3O 1=1，即圆O 1､圆O 2､圆O 3中的任一圆均经过另外两圆的圆心．故选：C13(2024·高三·浙江嘉兴·期末)已知正实数a ,b ,c 满足a 2-b =2ln ab>0，7b -2b =a +4 c ，则()A.0<c <b <1<aB.0<b <c <1<aC.0<c <b <a <1D.0<b <c <a <1【答案】A【解析】因a >0,b >0，由ln a b >0可得：ab >1，则a >b ．由a 2-b =2lnab 化简得：a 2-2ln a =b -2ln b ，分别设函数f x =x 2-2ln x ，g x =x -2ln x ．由f(x )=2x 2-1 x，(x >0)，则当0<x <1时，f (x )<0，当x >1时，f (x )>0，则f x 在0,1 上递减,在1,+∞ 上递增，故f x min =f 1 =1.又g x =x -2x,(x >0)，则当0<x <2时，g (x )<0，当x >2时，g (x )>0，则g x 在0,2 上递减；在2,+∞ 上递增，故g x min =g 2 =2-2ln2．由f x -g x =x 2-x =x x -1 ，则0<x <1时，f x <g x ；x =1时，f x =g x ；x >1时，f x >g x ．函数f x 与g x 的图象如图．令f a =f b =k ．由于a >b ，则0<b <1，1<a ，排除C ，D ；由于a >1，7b-2b=a +4c>5c，则7b -2b >5c -b ．令h x =75 x -25x，其在R 上单调递增．由于0<b <1，则0=h (0)<h b <h (1)=1，则有5c -b <1，即c -b <0得c <b ．综上，0<c <b <1<a .故选：A ．14(2024·高二·北京西城·期末)在直角坐标系xOy 内，圆C :(x -2)2+(y -2)2=1，若直线l :x +y +m =0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是()A.-2,2B.-4-2,-4+2C.-2-2,-2+2D.-2+2,2+2【答案】A【解析】连接OP ，设∠POx =θ(即以x 轴正方向为始边，OP 为终边的角)，由题意对于直线l :x +y +m =0上任意一点P x ,y ，存在a =x 2+y 2,θ∈R ，使得P a cos θ,a sin θ ，则直线l :x +y +m =0绕原点O 顺时针旋转90°后，点P a cos θ,a sin θ 对应点为P 1a cos θ-π2 ,a sin θ-π2 ，即P 1a sin θ,-a cos θ ，因为P a cos θ,a sin θ 在直线l :x +y +m =0上，所以满足a cos θ+a sin θ+m =0设x 1=a sin θ,y 1=-a cos θ，所以-y 1+x 1+m =0，即P 1a sin θ,-a cos θ 所在直线方程为l 1:x -y +m =0，而圆C :(x -2)2+(y -2)2=1的圆心，半径分别为2,2 ,r =1，若直线l :x +y +m =0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，所以圆心C 2,2 到直线l 1:x -y +m =0的距离d =m2≤r =1，解得-2≤m ≤ 2.故选：A .15(2024·山东青岛·一模)已知A (-2,0)，B (2,0)，设点P 是圆x 2+y 2=1上的点，若动点Q 满足：QP⋅PB =0，QP =λQA |QA |+QB|QB |，则Q 的轨迹方程为()A.x 2-y 23=1B.x 23-y 2=1C.x 25+y 2=1D.x 26+y 22=1【答案】A【解析】由QP ⋅PB=0，可得QP ⊥PB ，而QP =λQA QA +QBQB，可知点P 在∠BQA 的平分线上.圆x 2+y 2=1，圆心为原点O ，半径r =1，连接AQ ，延长BP 交AQ 于点C ，连接OP ，因为∠PQB =∠PQC 且PQ ⊥BC ，所以QB =QC ，且P 为BC 中点，OP ∥AC ，OP =1AC因此，QA -QB =QA -QC =AC =2OP =2，点Q 在以A 、B 为焦点的双曲线上，设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，可知c =2,a 2+b 2=c 2=4，由2a =QA -QB =2，得a =1，故b 2=3，双曲线方程为x 2-y 23=1.故选：A .16(2024·山东青岛·一模)∀x ∈R ，f (x )+f (x +3)=1-f (x )f (x +3)，f (-1)=0，则f (2024)的值为()A.2B.1C.0D.-1【答案】B【解析】由题意知∀x ∈R ，f (x )+f (x +3)=1-f (x )f (x +3)，f (-1)=0，令x =-1，则f (-1)+f (2)=1-f (-1)f (2),∴f (2)=1显然f (x )=-1时，-1+f (x +3)=1+f (x +3)不成立，故f (x )≠-1，故f (x +3)=1-f (x )1+f (x )，则f (x +6)=1-1-f (x )1+f (x )1+1-f (x )1+f (x )=f (x )，即6为函数f (x )的周期，则f (2024)=f (337×6+2)=f (2)=1，故选：B17(2024·山东聊城·一模)已知P 是圆C :x 2+y 2=1外的动点，过点P 作圆C 的两条切线，设两切点分别为A ，B ，当PA ⋅PB的值最小时，点P 到圆心C 的距离为()A.42 B.32 C.2 D.2【答案】A【解析】设P x ,y ，则OP =x 2+y 2，则PA ⋅PB =PO +OA PO +OB =PO 2+PO ⋅OA +OB +OA ⋅OB ，OA ⋅OB =OA ⋅OBcos ∠AOB =cos ∠AOB =cos2∠POA =2cos 2∠POA -1=2×OA2OP2-1=2x 2+y 2-1，PO ⋅OA =PO ⋅OB =PO ⋅OA cos 180°-∠POA =-PO ⋅OAcos ∠POA=-PO ⋅OA ⋅OA OP=-1，故PA ⋅PB =x 2+y 2-2+2x 2+y2-1≥2x 2+y 2 ⋅2x 2+y 2-3=22-3，当且仅当x 2+y 2=2x 2+y2，即x 2+y 2=2时，等号成立，故当PA ⋅PB的值最小时，点P 到圆心C 的距离为42.故选：A .18(2024·山东聊城·一模)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D 在棱BB 1上，且△ADC 1所在的平面将三棱柱ABC -A 1B 1C 1分割成体积相等的两部分，点M 在棱A 1C 1上，且A 1M =2MC 1，点N 在直线BB 1上，若MN ⎳平面ADC 1，则BB 1NB 1=()【答案】D【解析】如图，连接AB 1，则V A -A 1B 1C 1=13V ABC -A 1B 1C1，又△ADC 1所在的平面将三棱柱ABC -A 1B 1C 1分割成体积相等的两部分，所以V A -DB 1C 1=12V ABC -A 1B 1C 1-13V ABC -A 1B 1C 1=16V ABC -A 1B 1C1，即VA -DB 1C 1=12V A -A 1B 1C1，即V C 1-ADB 1=12V C 1-AA 1B1，设C 1到平面ABB 1A 1的距离为d ，则V C 1-ADB 1=13S △ADB 1⋅d ，V C 1-AA 1B 1=13S △AA 1B1⋅d ，所以S △ADB 1=12S △AA 1B 1=12S △ABB 1，所以D 为BB 1的中点，在AA 1上取点E ，使得A 1E =2AE ，连接EN 、EM ，因为A 1M =2MC 1，所以EM ⎳AC 1，又EM ⊄平面ADC 1，AC 1⊂平面ADC 1，所以EM ⎳平面ADC 1，又MN ⎳平面ADC 1，EM ∩MN =M ，EM ,MN ⊂平面EMN ，所以平面EMN ⎳平面ADC 1，又平面EMN ∩平面ABB 1A 1=EN ，平面ADC 1∩平面ABB 1A 1=AD ，所以AD ⎳EN ，又AE ⎳ND ，所以四边形ADNE 为平行四边形，所以ND =AE =13AA 1=13BB 1，所以B 1N =B 1D -ND =12BB 1-13BB 1=16BB 1，所以BB 1NB 1=6.故选：D19(2024·山东烟台·一模)在平面直角坐标系xOy 中，点A -1,0 ,B 2,3 ，向量OC =mOA +nOB，且m -n -4=0.若P 为椭圆x 2+y 27=1上一点，则PC 的最小值为()A.4510B.10C.8510D.210【答案】A 【解析】设点C (x ,y )，由A -1,0 ,B 2,3 及OC =mOA +nOB ，得(x ,y )=(-m +2n ,3n )，即x =-m +2ny =3n，而m -n -4=0，消去m ,n 得：3x -y +12=0，设椭圆x 2+y 27=1上的点P (cos θ,7sin θ),θ∈R ，则点P 到直线3x -y +12=0的距离d =|3cos θ-7sin θ+12|32+(-1)2=12-4sin (θ+φ)10，其中锐角φ由tan φ=37确定，当sin (θ+φ)=1时，d min =4510，而PC ≥d ，所以PC 的最小值为4510.故选：A 20(2024·山东济宁·一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与y 轴相交于M 点，与双曲线C 在第一象限的交点为P ，若F 1M =2MP ，F 1P ⋅F 2P=0，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.332D.3+1【答案】D【解析】设∠PF 1F 2=θ，θ为锐角，因为F 1M =2MP ，F 1P ⋅F 2P =0，所以PF 1⊥PF 2，PF 1 =32MF 1 ，∴MF 1 =c cos θ，∴|PF 1|=32|MF 1|=3c2cos θ，又|PF 2|=2c sin θ，∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，∴9c 24cos 2θ+4c 2sin 2θ=4c 2，∴9+16sin 2θcos 2θ=16cos 2θ，∴9+16(1-cos 2θ)cos 2θ=16cos 2θ，∴9-16cos 4θ=0，∴cos 2θ=34，∴cos θ=32(负值舍去)，∴θ=30°，∴|PF 1|=32|MF 1|=3c2cos θ=3c ，|PF 2|=2c sin θ=c ，∴双曲线C 的离心率e =2c 2a =|F 1F 2||PF 1|-|PF 2|=2c3c -c=3+1．故选：D ．21(2024·山东济宁·一模)设函数f (x )定义域为R ，f (2x -1)为奇函数，f (x -2)为偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )=x 2-1，则f (2023)-f (2024)=()A.-1 B.0C.1D.2【答案】C【解析】因为函数f (x )定义域为R ，f (2x -1)为奇函数，所以f (2x -1)=-f (-2x -1)，所以函数f (x )关于点-1,0 中心对称，且f -1 =0，因为f (x -2)为偶函数，所以f (x -2)=f (-x -2)，所以函数f (x )关于直线x =-2轴对称，又因为f x =-f -2-x =-f -2+x =--f -4+x ，所以函数f (x )的周期为4，因为当x ∈[0,1]时，f (x )=x 2-1，所以f (2023)=f 4×506-1 =f -1 =0，f (2024)=f 4×506 =f 0 =-1，所以f (2023)-f (2024)=1.故选：C .22(2024·山东淄博·一模)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P ，Q 是它们的两个公共点，且P ，Q 关于原点对称，∠PF 2Q =2π3，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则e 21e 21+1+3e 22e 22+3的最小值是()A.2+33B.1+33C.233D.433【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义得：PF 1 +PF 2 =2a 1,PF 1 -PF 2 =2a 2，∴PF 1 =a 1+a 2,PF 2 =a 1-a 2，设F 1F 2 =2c ,∠PF 2Q =2π3，根据椭圆与双曲线的对称性知四边形PF 1QF 2为平行四边形，则∠F 1PF 2=π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得，4c 2=a 1+a 2 2+a 1-a 2 2-2a 1+a 2 a 1-a 2 cosπ3，化简得a 21+3a 22=4c 2，即1e 21+3e 22=4，则e 21e 21+1+3e 22e 22+3=11e 21+1+33e 22+1=11e 21+1+33e 22+1 1e 21+1+3e 22+1×16=16×4+3e 22+11e 21+1+31e 21+1 3e 22+1≥16×4+23e 22+11e 21+1×31e 21+1 3e 22+1=16×4+23 =2+33，当且仅当3e 22+1 2=31e 21+121e 21+3e 22=4，即e 21=33+411<1e 22=38-33=24+9337>1时等号成立，故选：A .23(2024·广东茂名·一模)若α∈π4,3π4 ，6tan π4+α +4cos π4-α =5cos2α，则sin2α=()A.2425B.1225C.725D.15【答案】C 【解析】令t =π4+α，t ∈π2,π ，得α=t -π4，则6tan t +4cos π2-t =5cos 2t -π2，即6tan t +4sin t =5sin2t =10sin t cos t ，整理得5cos t +3 cos t -1 =0，且cos t <0，那么cos t =-35，则sin2α=sin 2t -π2 =-cos2t =1-2cos 2t =725.故选：C .二、多选题24(2024·广东江门·一模)已知曲线E :x x 4+y y8=1，则下列结论正确的是()A.y 随着x 增大而减小B.曲线E 的横坐标取值范围为-2,2C.曲线E 与直线y =-1.4x 相交，且交点在第二象限D.M x 0,y 0 是曲线E 上任意一点，则2x 0+y 0 的取值范围为0,4 【答案】AD【解析】因为曲线E :x x 4+y y8=1，当x ≥0，y ≥0时x 24+y 28=1，则曲线E 为椭圆x 24+y 28=1的一部分；当x >0，y <0时x 24-y 28=1，则曲线E 为双曲线x 24-y 28=1的一部分，且双曲线的渐近线为y =±2x ；当x <0，y >0时y 28-x 24=1，则曲线E 为双曲线y 28-x 24=1的一部分，且双曲线的渐近线为y =±2x ；可得曲线的图形如下所示：由图可知y 随着x 增大而减小，故A 正确；曲线E 的横坐标取值范围为R ，故B 错误；因为-1.4>-2，所以曲线E 与直线y =-1.4x 相交，且交点在第四象限，故C 错误；因为2x 0+y 0 =3×2x 0+y 022+12，即点M x 0,y 0 到直线2x +y =0的距离的3倍，当直线2x +y +c =0与曲线x 24+y 28=1x ≥0,y ≥0 相切时，由x 24+y 28=12x +y +c =0，消去y 整理得4x 2+22cx +c 2-8=0，则Δ=22c 2-16c 2-8 =0，解得c =4(舍去)或c =-4，又2x +y =0与2x +y -4=0的距离d =4 2 2+12=43，所以2x 0+y 0 max =3d =4，所以2x 0+y 0 的取值范围为0,4 ，故D 正确；故选：AD25(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【解析】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD26(2024·广东·一模)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的各个顶点都在表面积为3π的球面上，点P 为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是()A.有无数个点P ，使得AP ⎳平面BDC 1B.有无数个点P ，使得AP ⊥平面BDC 1C.若点P ∈平面BCC 1B 1，则四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为2+16D.若点P ∈平面BCC 1B 1，则AP +PC 1的最大值为6【答案】ACD【解析】令正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球半径为r ，4πr 2=3π，r =32，则BD 1=3,AB =1，连接AB 1,AD 1,B 1D 1，由四边形ABC 1D 1是该正方体的对角面，得四边形ABC 1D 1是矩形，即有AD 1⎳BC 1，而BC 1⊂平面BDC 1，AD 1⊄平面BDC 1，则AD 1⎳平面BDC 1，同理AB 1⎳平面BDC 1，又AB 1∩AD 1=A ,AB 1,AD 1⊂平面AB 1D 1，因此平面AB 1D 1⎳平面BDC 1，令平面ABD 1截球面所得截面小圆为圆M ，对圆M 上任意一点(除点A 外)均有AP ⎳平面BDC 1，A 正确；对于B ，过A 与平面BDC 1垂直的直线AP 仅有一条，这样的P 点至多一个，B 错误；对于C ，平面BCC 1B 1截球面为圆R ，圆R 的半径为22，则圆R 上的点到底面ABCD 的距离的最大值为2+12，因此四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为13×1×2+12=2+16，C 正确；对于D ，显然AB ⊥平面BCC 1B 1，在平面BCC 1B 1内建立平面直角坐标系，如图，令点P 22cos θ,22sin θ，而B -12,-12 ,C 112,12，因此AP =1+22cos θ+122+22sin θ+122=2+22(sin θ+cos θ)，PC 1=22cos θ-122+22sin θ-122=1-22(sin θ+cos θ)，令22(sin θ+cos θ)=x ，AP +PC 1=2+x +1-x =2+x +1-x 2≤22+x 2+1-x 2 =6，当且仅当x =-12取等号，此时22(sin θ+cos θ)=-12，即sin θ+π4 =-12，因此AP +PC 1的最大值为6，D 正确.故选：ACD27(2024·广东·一模)已知偶函数f (x )的定义域为R ，f 12x +1 为奇函数，且f (x )在0,1 上单调递增，则下列结论正确的是()A.f -32<0 B.f 43>0 C.f (3)<0D.f 20243>0【答案】BD【解析】因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ；因为f 12x +1 是R 上的奇函数，所以f 1 =0，且f x +22 的图象是由f x 2 的图象向左平移2个单位得到的，所以f x 2 的图象关于2,0 点对称，进一步得f x 的图象关于点1,0 中心对称，即f 1+x =-f 1-x .所以f x +2 =f 1+1+x =-f 1-1+x =-f -x =-f x ，所以f x +4 =-f x +2 =f x .所以函数f x 是周期函数，且周期为4；又f x 在0,1 上单调递增，所以在0,1 上，有f x <0.所以函数的草图如下：由图可知：f -32 >0，故A 错；f 43>0，故B 对；f 3 =0，故C 错；f 20243=f 674+23 =f 4×168+2+23 =f 2+23>0，故D 对.故选：BD 28(2024·广东·模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f x -1 是奇函数，f x +1 为偶函数，当-1≤x ≤1时，f x =2x +1-13x +1，则()A.f x 的图象关于直线x =1对称B.f x 的图象关于点-1,0 对称C.f x +6 =f xD.f 2021 =-34【答案】ABD【解析】设g x =f x -1 ，因为g x 是奇函数，所以g -x =f -x -1 =-g x =-f x -1 ，即f -1+x +f -1-x =0，即f x 关于-1,0 对称，B 正确；设h x =f x +1 ，因为h x 为偶函数，所以h -x =h x ，即f -x +1 =f x +1 ，f 1+x =f 1-x ，所以f x 的关于直线x =1对称，A 正确；由f x 关于-1,0 对称可得f x +f -2-x =0，由f x 的关于直线x =1对称，可得f x =f 2-x ，两式联立得f 2-x +f -2-x =0，令x =x +2得：f -x +f -4-x =0，即f x +f x -4 =0，令x =x -4，得f x -4 +f x -8 =0，即f x =f x -8 ，故f x 的周期为8，故f x +8 =f x ，C 错误；因为T =8，所以f 2021 =f 252×8+5 =f 5 =f -3 ，又f -1+x +f -1-x =0，令x =-2得f -3 +f 1 =0，f 1 =22-131+1=34，所以f 2021 =f -3 =-f 1 =-34，故D 正确.故选：ABD29(2024·高二·福建三明·期中)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =12，则下列结论中正确的是()A.异面直线AE ､BF 所成角为定值B.AC ⊥BFC.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等D.三棱锥A -BEF 的体积为定值【答案】BD【解析】则A 1,0,0 ，B 1,1,0 ，设E a ,a ,1 ，则F a +24,a +24,1，其中0≤a ≤1-24，AE =(a -1,a ,1)，BF =a +24-1,a +24-1,1 ，cos <AE ,BF >=AE ∙BF|AE |∙|BF |=(2a -1)a +24-1 +1(a -1)2+a 2+1∙2a +24-1 2+1．取a =12时，cos <AE ,BF >=442-122，取a =1-24时，cos <AE ,BF >=29-22，∵442-122≠29-22，∴异面直线AE 、BF 所成角不是定值，故A 错误；由正方体的结构特征可知，DD 1⊥AC ，BD ⊥AC ，又BD ∩DD 1=D ，BD ,DD 1⊂平面BDD 1B 1∴AC ⊥平面BDD 1B 1，又BF ⊂平面BDD 1B 1，则AC ⊥BF ，故B 正确；B 到B 1D 1的距离为BB 1=1，A 到B 1D 1的距离大于上下底面中心的连线，则A 到B 1D 1的距离大于1，∴△AEF 的面积大于△BEF 的面积，故C 错误；∵AC ⊥平面BDD 1B 1，∴A 到平面BDD 1B 1的距离为22，△BEF 的面积为定值，∴三棱锥A -BEF 的体积为定值，故D 正确．故选：BD ．30(2024·湖南·二模)如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，F 是线段A 1B 1的中点，则()A.若点P 满足AP ⊥B 1C ，则动点P 的轨迹长度为42B.三棱锥A -PB 1D 1体积的最大值为163C.当直线AP 与AB 所成的角为45°时，点P 的轨迹长度为π+42D.当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ⎳平面B 1CD 1时，线段PF 长度最大值为22【答案】CD【解析】对于A ，易知B 1C ⊥平面ABC 1D 1,A ∈平面ABC 1D 1，故动点P 的轨迹为矩形ABC 1D 1，动点P 的轨迹长度为矩形ABC 1D 1的周长，即为42+4，所以A 错误；对于B ，因为V A -PD 1D 1=V P -AB 1D 1，而等边△AB 1D 1的面积为定值23，要使三棱锥P -AB 1D 1的体积最大，当且仅当点P 到平面AB 1D 1的距离最大，易知点C 是正方体到平面AB 1D 1距离最大的点，所以V A -PB 1D 1max =V C -AB 1D 1，此时三棱锥C -AB 1D 1即为棱长是22的正四面体，其高为h =22 2-262=43，所以V =1×1×22×22×3×43=8，B 错误；对于C ：连接AC ，AB 1，以B 为圆心，BB 1为半径画弧B 1C，如图1所示，当点P 在线段AC ,AB 1和弧B 1C上时，直线AP 与AB 所成的角为45°，又AC =AB 2+BC 2=4+4=22,AB 1=AB 2+BB 21=4+4=22，弧B 1C 长度14×π×22=π，故点P 的轨迹长度为π+42，故C 正确；对于D ，取A 1D 1,D 1D ,DC ,CB ,BB 1,AB 的中点分别为Q ,R ,N ,M ,T ,H ，连接QR ,QF ,FT ,TM ,MN ,NR ,FH ,HN ,HM ，如图2所示，因为FT ∥D 1C ,FT ⊄平面D 1B 1C ,D 1C ⊂平面D 1B 1C ，故FT ∥平面D 1B 1C ，TM ∥B 1C ，TM ⊄平面D 1B 1C ,B 1C ⊂平面D 1B 1C ，故TM ∥平面D 1B 1C ；又FT ∩TM =T ,FT ,TM ⊂平面FTM ，故平面FTM ∥平面D 1B 1C ；又QF ∥NM ,QR ∥TM ,RN ∥FT ，故平面FTMNRQ 与平面FTM 是同一个平面.则点P 的轨迹为线段MN ：在三角形FNM 中，FN =FH 2+HN 2=4+4=22;FM =FH 2+HM 2=4+2=6;NM =2;则FM 2+MN 2=8=FN 2，故三角形FNM 是以∠FMN 为直角的直角三角形；故FP max =FN =22，故FP 长度的最大值为22，故D 正确.故选：CD .31(2024·湖南·二模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且c =b 2cos A +1 ，则下列结论正确的有()A.A =2BB.若a =3b ，则△ABC 为直角三角形C.若△ABC 为锐角三角形，1tan B -1tan A 的最小值为1D.若△ABC 为锐角三角形，则c a 的取值范围为22,233【答案】ABD【解析】对于A ,△ABC 中，由正弦定理得sin C =2sin B cos A +sin B ，由sin C =sin A +B ，得sin A cos B -cos A sin B =sin B ，即sin A -B =sin B ，由0<A ,B <π，则sin B >0，故0<A -B <π，所以A -B =B 或A -B +B =π，即A =2B 或A =π(舍去)，即A =2B ，A 正确；对于B ，若a =3b ，结合A =2B 和正弦定理知a sin A=3b sin2B =b sin B ,cos B =32，又0<A ,B <π，所以可得A =2B =π3,C =π2，B 正确；πππππ3<1.故1tan B -1tan A=1tan B -1-tan 2B 2tan B =1+tan 2B 2tan B >1，C 错误；对于D ，在锐角△ABC 中，由π6<B <π4,22<cos B <32，c a =sin C sin A=sin3B sin2B =sin2B cos B +cos2B sin B sin2B =2cos B -12cos B ，令cos B =t ∈22,32 ，则c a =f t=2t -12t，易知函数f t =2t -12t 单调递增，所以可得c a ∈22,233，D 正确；故选：ABD .32(2024·高二·广东江门·期末)已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，直线l :x =-1，过F 的直线交抛物线C 于A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 两点，交直线l 于点M ，MA =λ1AF ，MB =λ2BF，则()A.△ABO 的面积的最大值为2 B.y 1y 2=-4C.x 1x 2=1 D.λ1+λ2=0【答案】BCD【解析】设直线AB :x =my +1，由x =my +1y 2=4x得：y 2-4my -4=0.选项A ：S △ABO =12OF ·y 1-y 2 =12y 21+y 22 -4y 1y 2=1216m 2+16≥12×4=2，应是最小值为2，故A 错误；选项B ：y 1y 2=-4，故B 正确；选项C ：x 1=y 214，x 2=y 224,则x 1x 2=(y 1y 2)216=1，故C 正确；选项D ：由MA =λ1AF ，MB =λ2BF ，M -1,-2m，得：y 1+2m =-λ1y 1，y 2+2m=-λ2y 2，∴λ1+λ2=-2-2m 1y 1+1y 2=-2-2m ⋅y 1+y 2y 1y 2=-2-2m ⋅4m-4=0，故D 正确.故选：BCD33(2024·高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知函数f x =sin ωx +π4ω>0 在区间0,π 上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是()A.f x 在区间0,π 上有且仅有3个不同的零点B.f x 的最小正周期可能是2π3C.ω的取值范围是94,134D.f x 在区间0,π15 上单调递增【答案】BD【解析】由函数f x =sin ωx +π4ω>0 ，令ωx +π4=π2+k π,k ∈Z ，则x =(1+4k )π4ω,k ∈Z ，函数f (x )在区间0,π 上有且仅有3条对称轴，即0≤(1+4k )π4ω≤π有3个整数k 符合，由0≤(1+4k)π4ω≤π，得0≤1+4k4ω≤1⇒0≤1+4k≤4ω，则k=0，1，2，即1+4×2≤4ω<1+4×3，∴9 4≤ω<134，故C错误；对于A，∵x∈(0,π)，∴ωx+π4∈π4,ωπ+π4，∴ωπ+π4∈5π2,7π2 ，当ωx+π4∈5π2,3π时，f(x)在区间(0,π)上有且仅有2个不同的零点；当ωx+π4∈3π,7π2时，f(x)在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点，故A错误；对于B，周期T=2πω，由94≤ω<134，则413<1ω≤49，∴8π13<T≤8π9，又2π3∈8π13,8π9，所以f(x)的最小正周期可能是2π3，故B正确；对于D，∵x∈0,π15，∴ωx+π4∈π4,ωπ15+π4，又94≤ω<134，∴ωπ15+π4∈2π5,7π15，又7π15<π2，所以f(x)在区间0,π15上一定单调递增，故D正确．故选：BD．34(2024·高一·辽宁丹东·期中)已知f x 是定义在R上的连续函数，且满足f x+y=f x +f y -2xy，当x>0时，f x >0，设g x =f x +x2()A.若f1 ⋅f-1=-3，则f1 =1 B.g x 是偶函数C.g x 在R上是增函数D.x-1g x >0的解集是-∞,0∪1,+∞【答案】ACD【解析】对选项A：取x=y=0得到f0 =f0 +f0 ，即f0 =0，取x=1，y=-1得到f0 =f1 +f-1+2=0，又f1 ⋅f-1=-3，f1 >0，解得f1 =1，正确；对选项B：取y=-x得到f0 =f x +f-x+2x2，即f x +f-x=-2x2，g x +g-x=f x +x2+f-x+x2=0，函数定义域为R，函数为奇函数，错误；对选项C：设x1<x2，则g x2-g x1=f x2+x22-f x1-x21=f x2-x1+x1+x22-f x1-x21=f x2-x1-2x2-x1x1+x22-x21=f x2-x1-2x2x1+x21+x22=f x2-x1+x1-x22，x>0时，f x >0，故f x2-x1>0，x1-x22>0，故g x2-g x1>0，即g x2>g x1，函数单调递增，正确；对选项D：g0 =f0 +0=0，x-1g x >0，当x>1时，g x >0，则x>0，故x>1；当x=1时，不成立；当x<1时，g x <0，则x<0，故x<0；综上所述：x∈-∞,0∪1,+∞，正确；35(2024·湖北·一模)某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数y =1x的图象是双曲线，设其焦点为M ,N ，若P 为其图象上任意一点，则()A.y =-x 是它的一条对称轴B.它的离心率为2C.点2,2 是它的一个焦点D.PM -PN =22【答案】ABD【解析】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为2，容易知道y =x 是实轴，y =-x 是虚轴，坐标原点是对称中心，联立实轴方程y =x 与反比例函数表达式y =1x得实轴顶点1,1 ,-1,-1 ，所以a =2,c =2，其中一个焦点坐标应为2,2 而不是2,2 ，由双曲线定义可知PM -PN =2a =22．故选：ABD .36(2024·湖北·一模)已知函数f x =ax 3+bx 2+cx +d 存在两个极值点x 1,x 2x 1<x 2 ，且f x 1 =-x 1，f x 2 =x 2．设f x 的零点个数为m ，方程3a f x 2+2bf x +c =0的实根个数为n ，则()A.当a >0时，n =3B.当a <0时，m +2=nC.mn 一定能被3整除D.m +n 的取值集合为4,5,6,7【答案】AB【解析】由题意可知f x =3ax 2+2bx +c 为二次函数，且x 1,x 2x 1<x 2 为f x 的零点，由f f x =3a f x 2+2bf x +c =0得f x =x 1或f x =x 2，当a >0时，令f x >0，解得x <x 1或x >x 2；令f x <0，解得x 1<x <x 2；可知：f x 在-∞,x 1 ,x 2,+∞ 内单调递增，在x 1,x 2 内单调递减，则x 1为极大值点，x 2为极小值点，若x 1≥0，则-x 1≤0<x 2，因为f x 1 >f x 2 ，即-x 1>x 2，两者相矛盾，故x 1<0，则f x =x 2有2个根，f x =x 1有1个根，可知n =3，若f x 2 =x 2>0，可知m =1，mn =3,m +n =4；若f x 2 =x 2=0，可知m =2，mn =6,m +n =5；若f x 2 =x 2<0，可知m =3，mn =9,m +n =6；故A 正确；当a <0时，令f x >0，解得x 1<x <x 2；令f x <0，解得x <x 1或x >x 2；可知：f x 在x 1,x 2 内单调递增，在内-∞,x 1 ,x 2,+∞ 单调递减，则x 2为极大值点，x 1为极小值点，若x 2≤0，则-x 1>0≥x 2，因为f x 1 <f x 2 ，即-x 1<x 2，两者相矛盾，故x 2>0，若f x =-x >0，即x <0，可知m =1，n =3，mn =3,m +n =4；若f x 1 =-x 1=0，即x 1=0，可知m =2，n =4，mn =8,m +n =6；若f x 1 =-x 1<0，即x 1>0，可知m =3，n =5，mn =15,m +n =8；此时m +2=n ，故B 正确；综上所述：mn 的取值集合为3,6,8,9,15 ，m +n 的取值集合为4,5,6,8 ，故CD 错误；故选：AB .37(2024·湖北·二模)如图，棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1的中点，F 为正方形C 1CDD 1内一个动点(包括边界)，且B 1F ⎳平面A 1BE ，则下列说法正确的有()A.动点F 轨迹的长度为2B.三棱锥B 1-D 1EF 体积的最小值为13C.B 1F 与A 1B 不可能垂直D.当三棱锥B 1-D 1DF 的体积最大时，其外接球的表面积为252π【答案】ABD【解析】对A ，如图，令CC 1中点为M ,CD 1中点为N ,连接MN ，又正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1的中点，可得B 1M ⎳A 1E ,MN ⎳CD 1⎳BA 1，∴B 1M ⎳平面BA 1E ,MN ⎳平面BA 1E ,又B 1M ∩MN =M ，且B 1M ,MN ⊂平面B 1MN ，∴平面B 1MN ⎳平面BA 1E ,又B 1F ⎳平面A 1BE ，且B 1∈平面B 1MN ，∴B 1F ⊂平面B 1MN ，又F 为正方形C 1CDD 1内一个动点(包括边界)，∴F ∈平面B 1MN ∩平面C 1CDD 1，而MN =平面B 1MN ∩平面C 1CDD 1，∴F ∈MN ，即F 的轨迹为线段MN .由棱长为2的正方体得线段MN 的长度为2，故选项A 正确；对B ，由正方体侧棱B 1C 1⊥底面C 1CDD 1，所以三棱锥B 1-D 1EF 体积为V =13B 1C 1⋅S △D 1FE =23S △D 1FE ，所以△D 1FE 面积S △D 1FE 最小时，体积最小，如图，∵F ∈MN ，易得F 在N 处时S △D 1FE 最小，此时S △D 1FE =12ND 1⋅D 1E =12,所以体积最小值为13，故选项B 正确；对C ，当F 为线段MN 中点时，由B 1M =B 1N 可得B 1F ⊥MN ,又CC 1中点为M ,CD 1中点为N ,∴MN ⎳D 1C ，而A 1B ⎳D 1C ，∴B 1F ⊥A 1B ,故选项C 不正确；对D ，如图，当F 在M 处时，三棱锥B 1-D 1DF 的体积最大时，由已知得此时FD =FD 1=FB 1=5,所以F 在底面B 1DD 1的射影为底面外心，DD 1=2,B 1D 1=22,DB 1=23,所以底面B 1DD 1为直角三角形，所以F 在底面B 1DD 1的射影为B 1D 中点，设为O 1，如图，设外接球半径为R ,由R 2=OO 12+O 1B 12=OO 12+3,R +OO 1=FO 1=2,可得外接球半径R =524，外接球的表面积为4πR 2=252π，故选项D 正确.故选：ABD .38(2024·湖北·二模)我们知道，函数y =f (x )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y =f (x )为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y =f (x )的图象关于点P (a ,b )成中心对称图形的充要条件是函数y =f (x +a )-b 为奇函数．已知函数f (x )=42x +2，则下列结论正确的有()A.函数f (x )的值域为(0,2]B.函数f (x )的图象关于点(1,1)成中心对称图形C.函数f (x )的导函数f (x )的图象关于直线x =1对称D.若函数g (x )满足y =g (x +1)-1为奇函数，且其图象与函数f (x )的图象有2024个交点，记为A i (x i ,y i )(i =1,2,⋯,2024)，则2024i =1(x i +y i ) =4048【答案】BCD【解析】对于A ，显然f (x )的定义域为R ，2x >0，则0<42x +2<2，即函数f (x )的值域为(0,2)，A 错误；对于B ，令h (x )=f (x +1)-1=42x +1+2-1=22x +1-1=1-2x 1+2x ，h (-x )=1-2-x 1+2-x =2x -12x+1=-h (x )，即函数y =f (x +1)-1是奇函数，因此函数f (x )的图象关于点(1,1)成中心对称图形，B 正确；对于C ，由选项B 知，f (-x +1)-1=-[f (x +1)-1]，即f (1-x )+f (1+x )=2，两边求导得-f (1-x )+f (1+x )=0，即f (1-x )=f (1+x )，因此函数f (x )的导函数f (x )的图象关于直线x =1对称，C 正确；对于D ，由函数g (x )满足y =g (x +1)-1为奇函数，得函数g (x )的图象关于点(1,1)成中心对称，由选项B 知，函数g (x )的图象与函数f (x )的图象有2024个交点关于点(1,1)对称，因此2024i =1(x i +y i ) =2024i =1x i +2024i =1y i =1012×2+1012×2=4048，D 正确.故选：BCD。
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2019高考数学新题型
人类的每一次重大进步背后都是数学在后面强有力的支撑。
查字典大学网为大家推荐了高考数学新题型，请大家仔细阅读，希望你喜欢。
(一)解析中的运动问题
解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年
高考数学
选择填空
压轴题
都出现了运动问题。
即新课标高考
数学思维
从传统分析静态模型转变为分析动态模型。
因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。
在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的很多思想，加上题目中所给信息相融合。
在
数学
层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。
(二)新距离
近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要懂得坐标系中坐标差的原理，对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。
近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，可是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情况下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。
比如2019年压轴题，对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情况均相同，故只需考虑一个位就行了。
在大题具体解题中笔者会详细叙述。
(三)新名词
对于题目中出现了新名词新性质，考生完全可以从新性质本身出发，从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。
此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。
新课标数学追求对数学思维的自然描述，即不会给学生思维断层、非生活常规思路(北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的
解析几何
大题属于非常规思路)。
比如2009年北京卷文科填空压轴题，就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元，这样肯快就可以得到答案。
(四)知识点性质结合
此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。
比如2019年高考北京卷填空压轴题，需要考生掌握轨迹与
方程思想
，方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。
再比如2009年北京卷填空压轴题，就是对数列递推关系进行了简单的扩展，考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。
此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。
上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题，而是上升的数学思维方法的层次。
(五)情境结合题
此类题型属于与现实模型、数学特殊模型等相结合的题目。
此类题型主要考察学生对于具体数学情境的体会，比如2019年填空
压轴题
是正方形在坐标轴上旋转的问题，这道题考查考生对于正方形旋转过程中指定点运动拐点的体会。
此类题需要考生具有一定的
数学思维
推理、
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为
“院长、西席、讲席”等。
数学
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。
今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。
抽象归纳能力。
解此类题只需像分析物理模型一样去分析题目所给出的具体情境，即可将原题进行分解。
小编为大家提供的高考数学新题型，大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。