高等数学期中考试试卷答案(黄皮书1)

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《高等数学》(Ⅰ)期中试题参考答案

中国石油大学(北京)2007─ 2008学年第一学期《高等数学》(Ⅰ) 期中考试试题参考答案( 2007.12.1.)一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）Mx f I x M I x f >∈∃>∀)(,,0)(.111有上无界的定义是区间在函数．即第一类且均是跳跃间断点则其间断点及其类别是设,,1,1lim)(.2212±=+-=+∞→x xx x x f nn n ．23ln ln )()(lim ),0()(.3a a x a f x f a a a f ax =-->='+→+则为常数设．4. 曲线2111xe y x-+=的垂直渐近线有 3 条？，其方程是1,1,0=-==x x x ． 0lim,0)(,)(.5000=∆-∆≠'=→∆xdyy x f x x f y x 则且处可导在点设函数．二、计算下列极限（本题共3小题，每小题5分，满分15分）．求且恒不为连续函数为设131sin )(1lim,0,]11[)(.10--+-→xx x x f ，x f 【解】3ln sin )(lim 21)1sin )(1()1(sin )(lim03ln 0x xx f x x f e x x f x x x →→=++-=原式 3ln 2)0(sin lim )(lim 3ln 2100f x x x f x x ==→→．◆ 210sin lim .2x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→．【解】=原式2sin ln limx x x x e→, 又 x x x x x x x x x x x x 2sin cos sin lim sin lnlim 202-⨯=→→616sin lim 6cos sin cos lim2sin cos lim23-=-=--=-=→→→x x x xx x x x xx x x x x ,61-=∴e原式．◆21)!(lim .3n n n ∞→．【解】nnnn n n nn n ==≤≤11122)()!(1 ，且1lim =∞→n n n ，故由夹逼定理有：1)!(lim 21=∞→nn n ．◆【注】第二法：222ln ...2ln 1ln !ln 1)!(n nn n neen +++==n n n n n n nn n ln ln ln ...2ln 1ln 1ln 0222=≤+++≤=0ln lim =+∞→x xx 且 0ln lim=∴∞→n n n 0!ln lim,2=∞→nn TH n 故由夹逼1)!(lim 0!ln lim122===∴∞→∞→e e n n n nn n三、求解下列各题（本题共4小题，每小题5分，满分20 分）试求其一阶导数确定由方程设隐函数,0)(.122=-=+xy e x y y yx．【解】02)2(:,22=--++dxdyxy y dx dy x e x yx得求导方程两端关于 xye e x y dx dyy x yx22222--=∴++．◆ 2. 设函数)(x f y =由参数方程2222,arcsin 11dx y d tt t y e t x 求确定⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=．【解】2222212111221t t t t t dt dy -=-+---= ， 21tt dt dx --=tt dtdx dt dydx dy )1(22-==∴)1(2t t -=， dtdx t t dt dx dx dy dt d dx dy dx d dxy d t 1)1(21)()(22⨯'-=⨯==∴t t t --⨯+=221)11(22231)1(2t t t-+-=．◆3.的凹凸性及拐点讨论曲线)0()(>=x x x f x . 【解】),ln 1()(x x x f x +='),0(:],1)ln 1[()(2+∞∈++=''D x xx x x f x且无拐点为凹曲线恒有上在,)(,0)(),0(:x f x f D ∴>''+∞∴.◆4.设)(x f 是有连续的二阶导数的偶函数，且0)(≠''x f ，试说明0=x 为)(x f 的极值点. 【解法一】0)0()(='⇒'⇒f x f 为奇函数由题意,0)0(0)(≠''⇒≠''f x f .0点是极值点知故由极值第二判定定理=x【解法二】0)(>''x f 不妨，0)0()(='⇒'⇒f x f 为奇函数由题意:)(),0(公式为型余项的具有上在Taylor Lagrange x f δ ∴之间介于0,,!2)()0()(2x x f f x f ξξ''+=， 0)(,0)(>''>''ξf x f 即又，点是极小值点故成立0,),0()0()(=∈>∴x x f x f δ ．◆ 【解法三】0)(>''x f 不妨，0)0()(='⇒'⇒f x f 为奇函数由题意0)(lim )0()(lim)0(00>'='-'=''→→xx f x f x f f x x 由同号与当x x f x o)(,),0(,0'∈>∃∴δδ ， ,),0(,0)0,(,0)(⎩⎨⎧∈>-∈<'δδx x x f 即.0点是极小值点=∴x四、（本题满分9分）设5)0(0)0(,)(=''=f ，f x f 且二阶导数存在，定义函数⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0),0(0,)()(x f x xx f x F ，试讨论函数)(x F 的连续性与可微性．【解】①.)(),()(均是连续函数的二阶可导性由x f x f x f '⇒.0)(,)(,0点是连续的即可在现只需说明是连续的时当=≠⇒x x F x F x ;0)(),0()0(1)(lim )(lim)(lim 00处连续在=∴='='==→→→x x F F f x f x x f x F x x x ②.)()()(,02xx f x f x x F x -'='≠时当 2000)0()(lim )0()(lim 0)0()(lim )0(,0xf x x f x f x x f x F x F F x x x x '-='-=--='=→→→时当 ,25)0(21)0()(lim 212)0()(lim00=''='-''-''→→f x f x f DE x f x f H L x x是可微函数可见存在)(,)(x F x F '∴．◆五、（本题满分8分）设20π≤<x ，证明不等式 3cos x x >．【证】显然时当2π=x ，不等式成立．故只需证明：时当20π<<x ，有0)(cos sin 31>-⋅-x x x令x x x x f -⋅=-31)(cos sin )(，20π<<x ．由于1)(cos sin 31)(cos )(34232-+='-x x x x f 3733131)(cos sin 94)(cos sin 32sin )(cos 32)(---++-=''x x x x x x x f 0)(cos sin 94373>=-x x ， ,0)0()(20,)(='>'⇒<<↑'⇒f x f x x f π0)0()(20,)(=>⇒<<↑⇒f x f x x f π，即时当20π<<x ，0)(cos sin 31>-⋅-x x x ．◆六、（本题满分8分）试讨论方程0tan =-x x 在)22(ππ，-内的实根个数．【解】令x x x f -=tan )(，由于-∞=-=++-→-→)(tan lim )(lim22x x x f x x ππ，+∞=-=--→→)(tan lim )(lim 22x x x f x x ππ故方程0)(=x f 在)22(ππ，-内存在实根，又)0(01sec )(2≠>-='x x x f ，)(x f ∴严格单增，)(x f ∴单调地由∞-增加到∞+，表明方程0)(=x f 在)22(ππ，-内存在惟一实根．◆七、（本题满分12分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导,且0)1()0(==f f ,.1)(1)(lim 22121=--→x x f x 试证： ① 存在ηηη=∈)(),1,21(f 使得； ② 存在),,0(ηξ∈ξξξ-=-'1)()(f f 使得；③ 成立在该邻域内有存在1)(],10[)21(>⊂x f ，o．【证】①,1)21(=f 由题意,)()(x x f x F -=令,011)1()1(,02121121)21()21(<-=-=>=-=-=f F f F 则 ηηηη==∈∃)(,0)(),1,21(:f F 亦即有于是由零点存在定理知；②:,))(()(则令xex x f x G -⋅-=且内可导在上连续在,),0(,],0[)(ηηx G 0)()0(==ηG G :),,0(,有知于是由ηξ∈∃RolleTH 0])(1)([]))(()1)([()(=⋅+--'=---'='-=--ξξξξξξe f f e x x f e x f G x x xξξξξξξξ-=-'=+--'∴≠-1)()(,0)(1)(,0f f f f e 即；③ :01)(1)(lim22121及极限的保号性知由>=--→x x f x0)(1)(:),,21(),21(0221>--∈∀<>∃x x f x o 有δδδ ， 1)(],10[),21(>⊂x f ，o在该邻域内成立即存在δ ．◆八、应用题（本题满分8分）生物学家已发现了一个很好的数学模型来逼近青蛙等动物跳跃时的轨迹．实际上这些轨迹是一个以起跳角度为参数的抛物线族)900(cos 877.4tan )(222︒<≤-=θθθv x x x y这里x 为它在跳跃过程中所处位置与起跳点的水平距离（m ），y 为它在跳跃过程中所处位置的垂直高度（m ），v 为初始速度（m/s ），θ为起跳角度．现一只青蛙起跳角度为︒45，起跳速度为)/(8.4s m ，试求这只青蛙能跳的最大高度 ( 注：中间过程勿作近似，最后结果可以近似)．【解】将︒==45),/(8.4θs m v 代入抛物线方程得45cos )8.4(877.445tan )(222⋅-=x x x y 22)8.4(877.42x x ⨯-=则青蛙跳跃的最大高度，即为)(x y 的最大值．由0)8.4(877.441)(2=⨯-='x x y 877.48.42.10⨯=⇒x 驻点，0)(0<''x y 又故该惟一的极大值点必为最大值点，且最大值为：20200)8.4(877.42)(x x x y ⨯-=222)877.4()8.42.1()8.4(877.42877.48.42.1⨯⨯-⨯=877.4)2.1(2877.48.42.12⨯-⨯=)4.28.4(877.42.1-= )/(591.0)/(877.488.2)/(877.44.22.1s m s m s m ≈=⨯=．可见，此时这只青蛙所能跳跃的最大高度为)/(877.488.2s m ，即约为)/(591.0s m ．◆◆◆。

2016年11月高数1(期中)试题答案

则 lim
x
2
密封线
cos x e x0 x4

x2 2
= lim
1 4 12 x o( x 4 ) 1 = x0 x4 12
1 2 , x0 x x sin 九、（本题满分 8 分）设 f ( x) 在 x 0 处可导，试确定 a x , x0 ax b 和 b 的值，并讨论 f ( x ) 在 x 0 处的连续性.
三、（本题满分 7 分）求 y xsin x ( x 0) 的导数和微分. 解：等式两边取对数，得
ln y sin x ln x
---- 2 分
上式两边对 x 求导，注意到 y y ( x) ，得 1 1 y cos x ln x sin x y x 于是
2016 年 11 月
题号分数签名
一 20
二 20
三 7
四 7
五 8
六 8Βιβλιοθήκη 七 8八 8九 8
十 6
总分 100
考试时间
参考答案与评分标准
一、单项选择题（每小题 4 分，满分 20 分） 1. 设当 x 0 时， 2( 1 cos x ) ln ( 1 x) 是与
燕山大学试卷
解：由于 f ( x) 在 x 0 处可导，故 f ( x) 在 x 0 处连续，于是有 lim f ( x) lim f ( x) f ( 0)
x 0 x 0
共
3
则 lim (ax b) lim ( x x 2 sin
x 0 x 0
1 ) x
页第
3
n
n
---- 8 分
七、（本题满分 8 分）设如图两个正圆锥，顶在下的圆锥在另一个圆锥里面，两圆锥的底面是平行的，大锥的高 H 1 、底面半径 R 3 ，小锥的顶点在大锥的底面中心，问：小锥的底面半径 r 等于多少时，才能使得小锥的体积最大？解：设小锥的高为 h ，由相似性得 H h r r r ，则 h (1 ) H =1 H R R 3 1 H 2 r r (1 ) 小锥的体积 V (r ) r 2 h 3 3 R r r3 r 2 (1 )= (r 2 ) 3 3 3 3 其中 0 r 3 ---- 3 分 V (r ) r (2 r ) 则 3 当 r 2 时， V (r ) 0 ---- 6 分又因为，

2011级《高等数学一》期中试卷答案(2011[1].10.28)

《高等数学一》期中试卷答案与评分标准（2011. 10）大题一二三四五附加题总分小题 1-7 1-6 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 题分 21 18 8 7 7 7 7 9 10 6 5 7 112一．填空题 (每小题3分，共21分) 1．计算极限：))12()12(1531311(lim +⋅−++⋅+⋅∞→n n n L = 1/2 ． 2．已知在点可导，且)(x f 0x 2)(0=′x f ，则极限xx f x x f x Δ−Δ−→Δ3)()(lim 000=3/2−．3．曲线在x y cos 1−=3π=x 点处的切线方程是 π632123−+=x y ． 4．已知当时，有等价式：0→x x ax 22arcsin ~11−−，则常数=a 2−．5．设10()1sin 0x ae x f x x x x ⎧−≥⎪=⎨<⎪⎩在0x =连续，则a =__1___． 6．抛物线在其顶点处的曲率342+−=x x y = 2 ． 7．已知，则极限2)(=′a f =−−→ax x af a xf ax )()(lima a f 2)(−．二、单项选择题 (每小题3分，共18分)1．函数()f x 在点存在极限0x A x f x x =→)(lim 0，是()f x 在点连续的（ A ）．0x （A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充分必要条件（D ）无关条件2．函数)1( )(22−−=x x xx x f 的可去间断点是（ C ）． (A) 1−=x (B) 0=x (C) 1=x (D) 2=x3．已知函数在)(x f y =x 点可微，y Δ与是dy )(x f 在x 点相应于自变量增量x Δ的增量与微分，则当0→Δx 时，dy y −Δ是关于x Δ的（ D ）．（A ）低阶无穷小（B ）等价无穷小（C ）同阶无穷小（D ）高阶无穷小.4．设函数)(x f 在区间I 内二阶可导，如果)(x f 在I 满足（ B ），则)(x f 在区间I 内是上凸的．(A) (B) "()0f x >"()0f x < (C) "()0f x ≡ (D) '()f x 单调递增5．如果的图像如右图所示，则()y f x ′=()y f x =的图像是（ A（A ）（B ） (C) (D) 6．设函数|)1(|)(x x x f −=，则（ C ）．（A ）0=x 是)(x f 的极值点，但不是曲线)0,0()(x f y =的拐点；（B ）0=x 不是)(x f 的极值点，但是曲线)0,0()(x f y =的拐点；（C ）0=x 是)(x f 的极值点，且是曲线)0,0()(x f y =的拐点；（D ）0=x 不是)(x f 的极值点，且也不是曲线)0,0()(x f y =的拐点．三. 计算题（要求步骤合理，等式完整、计算正确、极限计算过程中极限符号不得随便漏写）（本大题第1题8分，第2-5题每题7分，第6题每题9分，共45分）1．求极限（每小题4分，共8分）（1）11lim 31−−→x x x （2）20sin 1lim ln(1)x x e x x →−−+解1 原式1111lim 3321−++⋅+−=→x x x x x x 原式201sin lim x x e x x −−=→ 11lim 3321+++=−x x x x 3分 x x e x x 2cos lim 0−=→ 2分23= 1分 2sin lim 0x e x x +=→解2 原式3/22/11321lim −−→=x xx 3分 21= 2分23=1分解3 令，则原式6t x =2311lim 11lim 21231=+++=−−=→→t t t t t t t 4分2. 已知函数)(x y y =由方程1ln )sin(=−+y y x 所确定，求dy ，dxdy ．解1 方程两边微分得01)cos()(=−++dy yy x dy dx 3分解出得 dy dx y x y y x y dy )cos(1)cos(+−+=2分从而 )cos(1)cos(y x y y x y dx dy y +−+==′ 2分解2 方程两边对x 求导得01)cos()1(=′−+′+y yy x y 3分解出得 y ′)cos(1)cos(y x y y x y dx dy y +−+==′ 2分从而 dx y x y y x y dy )cos(1)cos(+−+=2分3. 设参数方程确定函数⎩⎨⎧−=−=)cos 1()sin (t a y t t a x ()y y x =, 求dx dy 、22dx y d . 解tt t a t a t x t y dx dy cos 1sin )cos 1(sin )()(−=−=′′=)(:t ω= 3分 2222)cos 1(1cot)1()cos 1(1cos )()(t a a t t t x t dx y d −−=−−−=′′=ω 4分 4. 求函数3412+−=x x y 的n 阶导数． )(n y 解 1131(213412−−−=+−=x x x x y 4分 ))1(1)3(1(!)1(2111)(++−−−−=n n n n x x n y 3分 5．设气球以100s cm /3的速度输入气体（假设气球是球体），求在充气过程中当气球半径cm 时，气球半径增加的速率（假设气球压力不变）.10=R 解设充气t 秒后，气球的体积为V ，半径为r ，则 343V r π=， 3分上式两边对t 求导，得24343dV dr drr r dt dt dtππ=⋅=2， 3分将100, 10dVr dt==代入，得 14dr dt π==0.08（cm/s ）即气球半径增加的速率为0.08cm/s. 1分6．列表讨论函数的单调区间、极值、凹凸区间，以及对应曲线的拐点.3239y x x x =−−−2解 , 23693(3)(1y x x x x ′=−−=−+6(1)y x )′′=−−令，解得 ; 令0y ′=123, 1x x ==0y ′′=，解得 31x =. 3分所以，单调递增区间为(,，[31−∞−],)+∞，单调递减区间为[1,3]−，极大值为，极小值为(1)3f −=(3)29f =−； 4分凹区间为[1,，凸区间为(，拐点为)+∞,1−∞](1,13)−. 2分四、应用题（本题10分）设M 是曲线上一点， 22(0y x x =−>)（1）求曲线上点M 处的切线l 的方程； ),(00y x （2）切线l 与两坐标轴所围三角形的面积； S （3）问当点M 在何处时，出其最小值.解 (1)曲线在M 处切线的斜率为0002x x y y k y x ==′==−，所以该点处切线方程为002()0y y x x −=−−x 0. 2分(2) 令x =0，则；令y =0，则202y y x =+0002y x x x =+. 所以切线与两坐标轴围成三角形的面积为200001()(222y S x y x x =++0)2200(2)4x x += () 2分00x >(3) 因为 22(2)()4x S x x+=（），所以0x >222()(2)(32)4dS x x x dx x+−=， 3分令()0dS x dx=，得驻点3x =，3x =−（舍去）因为驻点唯一，由实际意义知，最小值在驻点处取得， 1分所以当3x =时，切线l 与两坐标轴所围三角形的面积最小，且最小值为698)(=x S , 此时点M为4,33. 2分五、证明题（本题6分）设函数()f x 在闭区间上连续，在开区间内可导，且．证明：对任意实数]1,0[ (0,1)(1)0f =λ0>，在开区间(0内存在一点,1)ξ，使得 0)()(=′+⋅ξξξλf f ．证明：设， 3分 ()()F x x f x λ=显然在闭区间上连续，在开区间(0内可导，()F x ]1,0[ ,1)且 . 2分 (0)0(1)F ==F 所以由Rolle 定理知，在开区间内存在一点(0,1)ξ，使得 ()0F ξ′=，即 0)()(=′+⋅ξξξλf f . 1分附加题（共12分，其中第一小题5分、第二小题7分）1．计算极限)14(tan lim nnn +∞→π.解令x n=1，并视x 为连续变量，则当∞→n 时，0x +→，从而原式1tan(/4ln tan()40lim lim x n nn x ee ππ+)1x+−+→∞→== 3分2分20lim sec (/4)2x x eπ+→+=e =2．设函数在区间上具有二阶导数，而且当)(x f ]1,0[ ]1,0[ ∈x 时，恒有4/|)(|A x f ≤，B x f ≤′′|)(|证明：当时，成立不等式： ]1,0[ ∈x 2/2/|)(|B A x f +≤′.证明对任一点]1,0[0∈x ，作Taylor 公式： 012010000,)(21)()()0(x x f x x f x f f ≤≤′′+′−=ξξ 1,)1)((21)1)(()()1(20202000≤≤−′′+−′+=ξξx x f x x f x f f 2分两式相减得])()1)(([21)()0()1(2012020x f x f x f f f ξξ′′−−′′+′=− 1分所以)122(212/])1[(21|)0(||)1(||)(|02020200+−+≤+−++≤′x x B A x x B f f x f 1分令，]1,0[,122)(00200 ∈+−=x x x x g 则由 024)(00=−=′x x g 得210=x ，从而当]1,0[0 ∈x 时，有 1)}1(),2/1(),0({)(0=≤f f f Max x g 2分所以当时，有 ]1,0[0 ∈x 2/2/|)(|0B A x f +≤′ 1分。

高等数学(一)期中测试题答案

高等数学(一)期中测试题答案一、选择题（10×2分=20分） 1．函数)ln(ln x y=的定义域为（ D ）A ．（0 ，＋∞）B ．（1 ，+∞）C ．（e ，+∞）D ．[e ，+∞） 2．下列（ A ）是初等函数 A ．112--=x xyB ．⎪⎩⎪⎨⎧--=0112x x y11=≠x xC ．2cos -=x yD ．)1ln(2--=xy3．下列极限存在的是（ A ） A ．2)1(limxx x x +∞→ B ．121lim-→xx C ．xx e1lim→ D ．xxx 1lim2+∞→4．下列各式中正确的是（ D ） A ．ex xx =+→)11(limB ．exx x =+∞→1)11(limC ．e x x x =+∞→1)1(lim D ．ex x x =+→1)1(lim5．=--→4)2sin(lim22xx x （ B ）A ．0B ．41 C ．21 D ．16．函数⎪⎩⎪⎨⎧=01sin xx y0=≠x x 在0=x 处（ C ）A ．没定义B ．不连续C ．连续但不可导D ．可导7．下列函数在给定区间上满足罗尔定理的是（ A ）Ａ．[]3,2,652∈+-=x x xyＢ．[]2,0,)1(132∈-=x x yＣ．[]1,0,∈=-x xeyxＤ．[]3,0,1∈+=x x y8．若函数)(x f y =在区间0)(,0)(),('''<>x f x f b a 内，则）内，在（b a x f )(（ B ）A ．单调递增且是凹的B ．单调递增且是凸的C ．单调递减且是凹的D ．单调递减且是凸的 9．若)(2)('x x f x f ，则的一个原函数是=（ D ） A ．x2 B ．2ln 2xC ．2ln 2xD ．2ln22x10．若等于则dx ef eC x F dx x f xx)(,)()(⎰⎰--+=（ D ）A ．C e F x +)(B ．Ce F x+-)( C ．C e F x +-)( D ．CeF x+--)(二、填空题（10×2分=20分） 1．=+→xx x )11(lim12．曲线处的切线方程是在0=+=x e x yx012=+-y x3．若函数⎩⎨⎧+=,,)(x a e x f x 00>≤x x 在==a x处连续，则0 14．设函数==)0(,‘则y xe y x15．302.1的近似值为 1.0076．设函数==)(,ln )2(x f x x f ‘则x17．设=----=）（则‘0),4)(3)(2)(1()(f x x x x x x f 24 8．若⎰=+=)(,3arctan )(x f c x dx x f 则 2913x+9．曲线12+=xy的渐近线为xy±=10．拉格朗日定理是柯西定理在xx g =)(时的特殊情形。

高一数学期中考试测试题(必修一含答案)(K12教育文档)

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高一年级上学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分.给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U={1，2，3，4,5}，集合A={1，2｝，B=｛2，3},则A ∩C U B A ．{}45， B ．{}23， C ．{}1 D ．{}2 2．下列表示错误的是(A ）0∉Φ （B ）{}12Φ⊆，（C ）{}{}21035(,)3,4x y x y x y +=-== （D ）若,A B ⊆则A B A⋂=3．下列四组函数，表示同一函数的是A ．f （x)=2x ，g （x ）=x B ．f （x)=x ,g(x ）=2x xC ．2(),()2ln f x lnx g x x ==D ．33()log (),()x a f x a a g x x =>0,α≠1= 4．设1232,2,log (1), 2.(){x x x x f x -<-≥=则f （ f (2) ）的值为A ．0B ．1C ．2D ．3 5．当0＜a ＜1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是6．令0.760.76,0.7,log 6a b c ===，则三个数a 、b 、c 的大小顺序是A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 7．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是A ．（1，2)B ．（2，3）C ．11,e ⎛⎫⎪⎝⎭和（3，4） D ．(),e +∞8．若2log 31x =，则39x x +的值为A ．6B ．3C ．52D ．129．若函数y = f （x ）的定义域为[]1,2，则(1)y f x =+的定义域为A ．[]2,3B ．[]0,1C ．[]1,0-D ．[]3,2-- 10．已知()f x 是偶函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =+，则当x ＞0时，()f x = A ．(1)x x - B ．(1)x x -- C (1)x x + D ．(1)x x -+11．设()()f x x R ∈为偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是增函数，则(2)f -、()f π-、(3)f 的大小顺序是A ．()(3)(2)f f f π->>-B ．()(2)(3)f f f π->->C ．()(2)f f f π-<(3)<-D ．()(2)(3)f f f π-<-<12 已知函数f(x)的图象是连续不断的，x 与f(x ）的对应关系见下表，则函数f （x ）在区间[1,6]上的零点至少有（A ） 2(B ） 3 (C) 4(D) 5第Ⅱ卷（非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

高数期中试卷及考试答案(1)(1)

教研室主任（签字）（签字）x1e1+5.82-xbaxxlim232x=++→，则a=_____1-____，b=____4-_____6.设f（x）在x=2处可导，则=+→3-x32f-1xflim1x）（）（31，则f’(2)=_____1____ 7.=='),(22yxfey x_______））（（)x('fxf2xe2x+____________8.函数y=4-x9x6-x23+的拐点为___（2，-2）______9.若2)x3(fxlimx=→，则=--→)x1ln()x2(flimx____31______10.设f(x)具有二阶连续导数,且4)0(''f,0x)x(flimx==→，求=+→x1x]x)x(f1[lim____2e 二、求下列极限（10分）订线10分）⎪⎭⎫x 1s()()22222''arccosx x 12πx 11arcsinx arccosx x 11arccosx arcsinx y -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎭⎫ ⎝⎛=x 2cos )x (sin y 32=）（()()()()()()1x 2cos 3x 2sin 'y x 2sin x 2cos 1x 2cos x 2sin 2'y 2x 2sin x sin x 2cos x cos x sin 2'y x2cos x sin y 22-=--+=⋅-+==54)1x ()x 3(2x y 4+-+=）（()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+=+---++∙=∙+--++=1x 5x 342x 211x x 32x 1x 5x 342x 21y y ,1x 5x 342x 121y y 1两边对x求导，得,1x 5l n x 34l n2x l n 21.l n y 454''）（2x 2)]e (f [)x (g 5=）（()()[]()()()()()()x 2x 2x 2x2x2x22x2e e 'f e f 4x 'g 2ee 'f e f 2x 'g ef xg =⋅==，线四、设)(x y y =由⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=01y t sin e 3t 2t 3x y 2确定，求。

黄皮书《_高等数学(工)2_》期中练习卷一

zx (1,0) 2
求z y (1, 0) :
z (1, y) ln( y 1),
1 z y (1, y) (ln( y 1)) y 1
z y (1, 0) 1
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z z 4. 设z ( x z , y 2 z ), 可微,求 , . x y
1 n

9.
1
n0

n
1 x n的收敛区间是 (, ) ,和函数是 3n n !
n
e
x 3
.
1 x = n! 3 n0

e
x 3
x (, )
上页下页结束
(1)n sin n 10. 级数是绝对收敛 n2 n 1 (填发散或绝对收敛或条件收敛)
上页下页
结束
x 1 y 1 z 2 4.平面x 2 y z 3 0与直线 3 1 1 的位置关系为( D ) A.相互垂直 B. 相互平行但直线不在平面上 C. 既不垂直也不平行 D. 直线在平面上
平面法向量 n (1, 2, 1), 直线方向向量 s (3, 1,1) n s 3 2 1 0 n s 平面//直线

.
(1) n sin n 2 2 2 n n
2 n2 收敛 n 1

n 1

(1) n sin n 收敛 2 n
(1) n sin n 绝对收敛. 2 n n 1
上页下页
结束
三．计算题
dz 1. 已知 z xe , x cos t , y e ,求 . dt dz z dx z dy 解: dt x dt y dt

2024-2025学年保定市高一数学上学期11月期中考试卷及答案解析

高一1+3期中考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册第五章至必修第二册第六章前三节.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知向量()2,5OA =--，()6,3OB =-，()1,2OC m m =-，若AB O C∥，则实数m 的值为（）A. 2 B.12C. 2-D. 12-【答案】B 【解析】【分析】由平面向量共线的坐标表示，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，()4,8AB OB OA =-=- ，且()1,2OC m m =-，由AB O C ∥可得4812m m -=-，解得12m =.故选：B2. 若cos 4t =，则tan 4=（）A. B.C. D. 【答案】A 【解析】【分析】3π4π,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用同角三角函数关系得到正弦和正切值.【详解】3π4π,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin 40<，则sin 4=，故sin 4tan 4cos 4==.故选：A3. 已知角θ的终边经过点(3,―4)，将角θ的终边顺时针旋转π4后得到角β，则tan β=（）A. 17-B. 7C.17D. 7-【答案】B 【解析】【分析】根据任意角的三角函数定义及两角差的正切公式计算即可.【详解】角θ的终边经过点(3,―4)，则4tan 3θ-=将角θ的终边顺时针旋转π4后得到角β，则41πtan 13tan tan 7441tan 13θβθθ---⎛⎫=-=== ⎪+⎝⎭-.故选：B.4. 水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM ）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段AB ，AC 和圆的优弧BC 围成，其中AB ，AC 恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A 到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（）A. 8π3B. 4π3+C. 8π3D. 4π3【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到2π3BDC ∠=，AB AC ==，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案.【详解】取优弧BC 所在圆的圆心D ，连接AD ，,BD CD ，则BD ⊥AB ，CD ⊥AC，则4,2AD BD CD ===，所以π6BAD CAD ∠=∠=，则2π3BDC ∠=，AB AC ===，故优弧BC 对应圆心角为4π3，对应的扇形面积为2148π2π233⨯⨯=，而122ABD ACD S S ==⨯= ，所以该封闭图形的面积为88ππ33ABD ACD S S ++=+ 故选：C5. 已知π5sin cos 62αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()πcos sin 3π23π5πcos sin 22αααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.B. -C.D. 【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式化简再结合所给条件求解出代数式值即可.【详解】()πcos sin 3πsin sin 2tan 3π5πsin cos cos sin 22ααααααααα⎛⎫+- ⎪-⋅⎝⎭==-⋅⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由π5sin cos 62αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭15cos cos 22ααα-=，3cos αα=，则tan α=.故选：D.6. 若直线π3x =-是函数()cos sin f x x b x =-图象的一条对称轴，则（）A. 函数()f x 的周期为π的B. 函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为⎡⎢⎣C. 函数()f x 在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D. 将函数()f x 图象上的每一个点的纵坐标变为原来的12倍，再将所得到的图象向左平移π6个单位长度，可以得到sin y x =的图象【答案】C 【解析】【分析】由已知，得()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出周期，判断A ；求出()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域，判断B ；求出()f x 的单调递增区间，判断C ；由三角函数图象的伸缩变换得到变换后的函数解析式，即可判断D.【详解】因为直线π3x =-是函数()cos sin f x x b x =-图象的一条对称轴，所以()2π03f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即112=-，解得b =所以()πcos 2cos 3f x x x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，则其周期为2π，故A 错误；当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ5π,366x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则πcos 3x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以π2cos 23x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，即函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦值域为⎡⎤⎣⎦，故B 错误；由[]()ππ+2π,2π3x k k k +∈-∈Z ，则()4ππ+2π,+2π33x k k k ⎡⎤∈--∈⎢⎥⎣⎦Z ，则函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为()4ππ+2π,+2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，因为()3π4πππ,+2π,+2π233k k k ⎛⎫⎡⎤⊆--∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Z ，的所以函数()f x 在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故C 正确；将函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上的每一个点的纵坐标变为原来的12倍，再将所得到的图象向左平移π6个单位长度，则得到1πππ2cos cos sin 2632y x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故D 错误.故选：C.7. 已知ABC V 外接圆圆心为O ，G 为ABC V 所在平面内一点，且0GA GB GC ++=．若72AB AC AO +=，则sin BOG ∠=（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到23AG AD = ，47AO AD =，所以,,,A O G D 四点共线，由三线合一知，OD⊥BC ，所以AB AC =，不妨设7AD =，求出各边长，所以3cos 4BOG ∠=，由同角三角函数关系得到答案.【详解】取BC 的中点D ，连接AD ，则2AB AC AD +=，00GA GB GC GA GA AB GA AC ++=⇒++++=，故()13GA AB AC =-+，3AB AC AG += ，则23AG AD = ，而72AB AC AO += ，所以()264777AO AB AC AG AD =+==，所以,,,A O G D 四点共线，又O 为ABC V 外接圆圆心，连接,OB OC ，则OB OC OA ==，由三线合一知，OD ⊥BC ，所以AB AC =，不妨设7AD =，则4,3AO BO OD ===，所以3cos cos 4OD BOG BOD OB ∠=∠==，故s in BOG ∠==故选：C8. 已知0ω>，π2ϕ<，函数()()2sin 1f x x ωϕ=++的图象如图所示，A ，C ，D 是()f x 的图象与1y =相邻的三个交点，与x 轴交于相邻的两个交点O ，B ，若在区间(),a b 上，()f x 有2027个零点，则b a -的最大值为（）A. 1014πB.3040π3C. 2022πD.3038π3【答案】A 【解析】【分析】根据函数图象得到π6ϕ=-和2ω=，得到函数解析式，得到相邻两个零点的距离有两种，可能为π2π,33，数形结合得到当b a -为1014个2π3和1014个π3时，b a -取得最大值，得到答案.【详解】将原点坐标代入得1sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故()π2sin 16f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，OB 的中点横坐标为π0π326-+=-，故1ππ66sin ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭--，又对应的点为y 轴左侧第一个最低点，所以πππ662ω--=-，解得ππ63ω=，解得2ω=，所以()π2sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()0f x =得π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则ππ2π,Z 662k x k -=-+∈或11Z 2π7π2π,66k k x -=+∈，解得π,Z x k k =∈或112ππ,Z 3k x k =+∈，所以相邻两个零点的距离有两种，可能为π2π,33，在(),a b 上，()f x 有2027个零点，要求b a -的最大值，则当b a -为1014个2π3和1014个π3时，b a -取得最大值，故最大值为π21ππ3101401134401⨯+=⨯.故选：A二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 有下列四个命题，其中说法正确的是（）A. 点()1,1M -，()3,2N -，与向量MN 方向相反的单位向量为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角C. 若向量()2,1a =- ，()6,2b = ，则向量b 在向量a上投影向量为2a- 的D. 20a b a b a +=-=≠ ，则a b + 与a b - 的夹角为60°【答案】BC 【解析】【分析】对于A 选项，考单位向量，向量MN方向相反的单位向量为MN MN-；对于B 选项，先找出α为第四象限角，从而得到角2α为第二或第四象限角；对于C 选项，向量b 在向量a上的投影向量为cos a a b a b aaaθ⋅⋅=⋅ ；对于D 选项，由平行四边法则，作图求解即可.【详解】对于A ，()4,3,5MN MN =-= ，与向量MN方向相反的单位向量为43,55MN MN ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故A 选项错误;对于B ，sin sin 0cos 0cos sin sin 0cos 0cos αααααααα⎧⋅>⎪>⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪⋅<⎪⎩，故α为第四象限角，π2π2π,Z 2k k k α-+<<∈，πππ,42k k α-+<<故角2α为第二或第四象限角，故B 选项正确；对于C, 向量b 在向量a上的投影向量为cos 2a a b a b a aaaθ⋅⋅=⋅=-，故C 选项正确；对于D ，如图，由平行四边形法则，20a b a b a +=-=≠ ，故a b ⊥且30ACO ︒∠=，60AOC ︒∠=,作//OE BA ,OE BA = ,故COE ∠即为a b + 与a b - 的夹角，且OCE △为等腰三角形，故120COE ︒∠=，故选项D 错误；故选：BC.10. 已知π04βα<<<，且()3sin 10αβ-=，tan 4tan αβ=，则（）A. 3sin cos 5αβ= B. 1sin cos 10βα=C. 4sin 2sin 225αβ=D. π6αβ+=【答案】BCD 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式以及商数关系求解出sin cos ,sin cos αββα的值，可判断AB 选项；根据二倍角的正弦公式可求解出sin 2sin 2αβ的值，由此可判断C 选项；逆用两角和的正弦公式求解出()sin αβ+的值，结合角的范围可求αβ+的值，由此可判断D 选项.【详解】因为()3sin 10tan 4tan αβαβ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，所以3sin cos sin cos 10sin 4sin cos cos αββααβαβ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3sin cos sin cos 10sin cos 4sin cos αββααββα⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得2sin cos 51sin cos 10αββα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故A 错误，B 正确；又因为()()()()214sin 2sin 22sin cos 2sin cos 4sin cos sin cos 451025αβααββαββα===⨯⨯=，故C 正确；因为()211sin cos sin cos sin 5102αββααβ+=+=+=，且π04βα<<<，所以()π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π6αβ+=，故D 正确；故选：BCD.11. 已知点O 是ABC V 内的一点，则以下说法正确的有（）A. 若230OA OB OC ++=，ABC S ，BOC S 分别表示ABC V ，BOC 的面积，则:3:1ABC BOC S S =△△B. 若()sin sin AB AC AO AB B AC C λλ⎛⎫ ⎪=+∈ ⎪⎝⎭R ，则动点O 的轨迹一定通过ABC V 的重心C. 若0AB CA BA CB BC CA OA OB OC AB CA BA CBBC CA⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅+=⋅+=⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则点O 是ABC V 的垂心D. 若E ，F ，G 分别为AB ，BC ，AC 中点，且2AC BG ==，0PA PC ⋅=，则PE PF ⋅的最大值为154【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，作出辅助线，得到2OH OF -= ，从而得到所以13OF AB =，即可判断；B 选项，作出辅助线，得到2AO AF AE λ=，故点O 在中线AF 上，故向量一定经过ABC V 的重心； C 选项，作出辅助线，得到AB CA MN AB CA+=，故OA ⊥MN ，并得到O 在A ∠的平分线上，同理可得，O 在,B C ∠∠的平分线上. D 根据0PA PC ⋅=得到点P 的轨迹，将,PE PF 转化为11,22BO GA BO GA +-u u u r u u r u u u r u u r ，然后求数量积，根据点P 的轨迹求最值.【详解】对于A ：如图，,F H 分别为,BC AC 的中点，()23020OA OB OC OA OC OB OC ++=⇒+++=，则420OH OF += ，故2OH OF -= ，所以2133OF HF AB ==，的故:1:3BOC ABC S S = ，A 正确；对于B ：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，取BC 的中点F ，连接AF ，则sin AB B AE = ，sin AC C AE = ，则()2sin sin AB AC AB AC AO AB AC AF AB B AC C AE AEAE AE λλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故点O 在中线AF 上，故向量一定经过ABC V 的重心，B 正确；对于C ： ,AB CA AB CA 分别表示,AB CA 方向上的单位向量,AN MA，故AB CA AN MA MN AB CA+=+=，0AB CA OA OA MN AB CA ⎛⎫ ⎪⋅+=⋅= ⎪⎝⎭，故OA ⊥MN ，由三线合一可得，O 在A ∠的平分线上，同理可得，O 在,B C ∠∠的平分线上，则点O 是ABC V 的内心，C错误.D 选项，设BG 中点为O ，因为0PA PC ⋅=，所以点P 的轨迹为以AC 为直径的圆，结合上图，()()PE PF BE BP BF BP⋅=-⋅-1122BA BP BC BP ⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112222BG GA BP BG GA BP ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122BO GA BP BO GA BP ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122PO GA PO GA ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214PO GA =- 214PO =- ，当PO 为直径时PE PF ⋅ 最大，最大为154，故D 正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：O 为ABC V 所在平面内的点，且0OA OB OC ++=，则点O 为ABC V 的重心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC V 的垂心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且OA OB OC ==，则点O 为ABC V 的外心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且0aOA bOB cOC ++=，则点O 为ABC V 的内心，三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．）12. 已知α，β都为锐角，5cos 13α=，()3sin 5αβ-=，则cos β=______．【答案】5665【解析】【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系分别得到sin α，()cos αβ-，再由()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦，结合和差角公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为α，β都为锐角，所以ππ22αβ-<-<，由5cos 13α=可得12sin 13α==，由()3sin 5αβ-=可得()4cos 5αβ-==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦541235613513565=⨯+⨯=.故答案为：566513. 在ABC V 中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，BM BC λ= ，2CN NA = ，若6AM BN ⋅=-，则实数λ的值为______．【答案】1-【解析】【分析】用AB 、AC作为一组基地表示出AM 、BN ，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为BM BC λ=，所以()()1AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC λλλλ=+=+=+-=-+，又2CN NA =，所以13AN AC = ，则13BN AN AB AC AB =-=- ，又2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，所以12332AC AB ⋅=⨯⨯= ，所以()113AM BN AB AC AC AB λλ⎛⎫⎡⎤⋅=-+⋅- ⎪⎣⎦⎝⎭ ()()22111133AB AC AB AC AC ABλλλλ=--+-⋅+-⋅()()2114113333333λλλλλ=--+-⨯+⨯-=-，又6AM BN ⋅=-，即336λ-=-，解得1λ=-.故答案为：1-14. 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，AOC α∠=．若1BC =2sin cos 222ααα--的值为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】根据三角函数的定义可得43sin ,cos 55ββ=-=，进而由图可得π3αβ=+，利用二倍角公式即可化简求解45【详解】由于B 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2234155⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 在单位圆上，设OB 终边所对角为π,,02ββ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由于1BC =，故π3BOC ∠=,43sin ,cos 55ββ=-=，所以π3αβ-=，故π3αβ=+，221sincos2cos 12sin cos 2222222αααααα⎫--=--⨯⎪⎭1ππππ4sin cos cos cos sin 263625αααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=++=+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：45四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 已知向量()2cos ,1a θ=，()2sin ,1b θ=- ，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）若a b ⊥ ，求角θ的大小；（2）若2a b b -=，求tan θ的值．【答案】（1）π12θ=或5π12θ=（2）1tan 3θ=【解析】【分析】（1）由a b ⊥ ，得0a b ⋅=，利用向量垂直坐标运算列式，进而解出θ的值即可；（2）由题意解出24cos θ-2sin θcos θ3=，进而弦化切得出23tan θ2tan θ-10+=，再根据角的范围解出1tan 3θ=即可.【小问1详解】由a b ⊥ ，得0a b ⋅= ，所以4cos sin 10θθ-=，即1sin 22θ=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)θ∈，所以π26θ=或5π26θ=，解得π12θ=或5π12θ=.【小问2详解】由题得，224a b b -= ，化简得2223a a b b-⋅=即224cos 12(4sin θcos 1)3(4sin θ1)θθ+--=+，整理得24cos θ-2sin θcos θ3=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0θ≠，齐次化后得242tan θ3tan θ1-=+，即23tan θ2tan θ-10+=，即(3tan θ-1)(tan θ1)0+=，解得1tan θtan θ13==-或因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1tan 3θ=.16. 如图，在ABC V 中，12AM AB = ，23CN CB = ．设AB a =，AC b = ．（1）用a，b 表示AN ，MN ；（2）若P 为ABC V 内部一点，且4199BP a b =-+．求证：M ，P ，N 三点共线．【答案】（1）AN = 1233b a + ，1136MN b a =+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出1233AN b a =+，进而得到1136MN AN AM b a =-=+ ；（2）计算出11918MP b a =+，结合（1）可得3MN MP =，证明出结论.【小问1详解】由题可知，22(33AN AC CN AC CB AC AB AC =+=+=+-）12123333AC AB b a =+=+，12111()33236MN AN AM b a a b a=-=+-=+ 【小问2详解】14111()299918MP MB BP a a b b a=+=+-+=+3MN MP =，且有公共点MM ∴，P ，N 三点共线.17. 已知以下四个式子的值都等于同一个常数22sin 26cos 3426cos34+- ；22sin 39cos 2139cos 21+- ；()()22sin 52cos 11252cos112-+- ；22sin 30cos 3030cos30+ .（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.【答案】（1）选第四个式子，14；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)选第四个式子，由1sin 30,cos302︒=︒=即可求三角函数式的值；(2)由题意，设一个角为α，另一个角为60α︒-，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值【详解】（1）由第四个式子：221331sin 30cos 3030cos304444+=+-=（2）证明：()()22sincos 60cos 60αααα+--- 2211sin cos cos 22αααααα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222133sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=+++-14=【点睛】本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题18. 某同学用“五点法”画函数()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：φx ω+0π2π3π22πx mπ3n5π6p()sin φA x ω+033-0（1）求出实数m ，n ，p 和函数()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上的所有点向右平移()0θθ>个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到()y g x =的图象.已知()g x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值；（3）在（2）的条件下，当θ取最小值时，若对ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，关于x 的方程()1g x a =-恰有两个实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）π5π13π,,121212m n p ===，π()3sin(26f x x =-（2）π4（3）(2,1]-【解析】【分析】（1）根据表中()f x 的最值可得3A =，根据5ππ2π63T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可解得,ωϕ的值，从而得出解析式；（2）根据伸缩平移变换可得π()3sin(42)6g x x θ=--，结合5π,012⎛⎫⎪⎝⎭为对称中心，从而求得实数θ的最小值；（3）在（2）的条件下结合ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用三角函数的性质，数形结合即可得解.【小问1详解】由题意得5ππ2π63T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π44T =，所以πππππ5π5ππ13π,,341234126412m n p =-==+==+=，故π5π13π,,121212m n p ===，根据表中已知数据，3,πA T ==，所以2ω=，ππ232ϕ∴⨯+=，所以π6ϕ=-，π()3sin(26f x x ∴=-.【小问2详解】π()3sin(2)6f x x =-的图象向右平移(0)θθ>个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得π()3sin(42)6g x x θ=--的图象，则5π4π2π,Z 126k k θ⨯--=∈，得3ππ,Z 42k k θ=-∈，所以当1k =时，此时θ最小值为π4.【小问3详解】当θ取最小值π4时，2π()3sin(43g x x =-，当ππ[,]66x ∈-时，2π4π4,033x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时2π()3sin(4)3g x x ⎡=-∈-⎢⎣，()1g x a =- 恰有两个实数根，所以()g x 与1y a =-的图象有两个交点，结合图象可知310a -<-≤，即21a -<≤，(2,1]a ∴∈-.19. 已知平面直角坐标系中，点A (a,0)，点()0,B b （其中a ，b 为常数，且0ab ≠），点O 为坐标原点．（1）设点P 为线段AB 上靠近A 的三等分点，()()1OP OA OB λλλ=+-∈R，求λ的值；（2）如图所示，设点1P ，2P ，3P ，…，1n P -是线段AB 的n 等分点，其中*n ∈N ，2n ≥，①当2028n =时，求121n OA OP OP OP OB -+++++的值（用含a ，b 的式子表示）；②当1a b ==，8n =时，求()()*1,1,,i i j OP OP OP i j n i j ⋅+≤≤-∈N 的最小值．（说明：可能用到的计算公式：()11232n n n +++++= ，*n ∈N ）．【答案】（1）23λ=（2）②1516【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算化简即可得解；（2）①由特殊到一般，可得对满足条件的,m n ，m n OP OP OA OB +=+，即可化简求向量的模；②根据条件用,OA OB表示出向量(),i i j OP OP OP + ，再由数量积化简，转化为关于,i j 的式子，分类讨论求最值.【小问1详解】因为()()()()()1111AP OP OA OA OB OA OB BA λλλλ=-=-+-=--=- 而点P 为线段AB 上靠近点A 的三等分点，则13AP AB = ，可得113λ-=-，所以23λ=.【小问2详解】①由题意得，12027120282028OP OA OB =+，22026220282028OP OA OB =+ ，20271202720282028OP OA OB =+ ，所以12027OP OP OA OB +=+ ，事实上，对任意正整数,m n ，且2028m n +=时，202820282028m m m OP OA OB -=+ ，202820282028n n n OP OA OB -=+ ，有m n OP OP OA OB +=+ ，所以1220272029()2OA OP OP OP OB OA OB +++⋅⋅⋅++=+ ，所以12202720292OA OP OP OP OB OA OB +++⋅⋅⋅++=+= .②当1a b ==，8n =时，888i i i OP OA OB -=+ ，888j j j OP OA OB -=+ ，∴ 16()88i j i j i j OP OP OA OB -+++=+ ，∴816()()()[]8888i i j i i i j i j OP OP OP OA OB OA OB --++⋅+=+⋅+ 2(8)[16()]()(4)1264646432i i j i i j i j i i --++-+-+=+=令2(4)1264()32i j i i M j -+-+=，当1i =，2，3时，22(4)71264536()(7)3232i i i i i M j m -⨯+-+-+≥==当2i =或3时，上式有最小值为1516当4i =时，2412464()132M j -⨯+==当5i =，6，7时，21160()(1)32i i M j M -+≥=，当5i =或6时，上式有最小值为1516综上，()i i j OP OP OP ⋅+ 的最小值为1516.【点睛】关键点点睛：解题时要有特殊到一般类比思想，发现一般性规律，化简所求复杂向量求和，对于第二问的第二小问，利用数量积化简后需要分类讨论，对能力要求很高.的。

02-03高数下期中卷（一）及参考答案

02-03高数下期中卷（一）及参考答案高数(下)期中卷(一)一. 填空(63?分)1. 设?=xy dt t z 12sin ,则_____=??xz2. 设21arctanyx z +=,则______|)1,1(=dz3. 函数22y x z +=在点)2,1(P 处的最大方向导数是________4. 函数32233x y x z -+=的驻点是_________5. 曲线424,,2t z t y t x ===在)4,1,2(P 处的法平面方程是__________6. 设,10.1:22≤≤≤+Ωz y x 则Ω=________),,(dV z y x f二. 单项选择93(?分) 1. 极限=+-→→22222limyx y x y x ( )(1) 0 (2) 2 (3) -1 (4) 不存在2.),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数存在是),(y x f 在该点连续的( )条件. (1)充分非必要 (2) 必要非充分 (3) 充要 (4) 无关3. 设)2ln(),(x y x y x f +=,则=')0,1(y f ( )(1) 0.5 (2) 1 (3) 2 (4) 04. 设),(00y x 是),(y x f z =的驻点,C y x f B y x f A y x f yy xy xx=''=''=''),(,),(,),(000000. ,2AC B -=?如果满足条件( ),则),(00y x f 是极大值.(1) 0,0>>?A (2) 0,0<>?A (3) 0,0><6. 若曲面224y x z --=上点P 的切平面平行于平面122=++z y x ,则P 点坐标为( )(1) )2,1,1(- (2) )2,1,1(- (3) )2,1,1( (4) )2,1,1(--7. 设12,0,1:D y x y D ≥-≤是D 在第一象限部分,则=+??Dd xy x σ)3(22( )(1) ??+1)3(222D d xy x σ (2) 0 (3) ??12D d σ (4) ??14D d σ8. 二次积分??2cos 0)sin ,cos (πθθθθrddr r r f d 可以写成( )(1)-12),(yy dxy x f dy (2)-1102),(ydxy x f dy (3)1010),(dx y x f dy (4)-102),(xx dy y x f dx9. 设),,(z y x f 是连续函数,则=y xdz z y x f dy dx 01),,(( )(1)yydz z y x f dx dy 0010),,( (2)zdy z y x f dz dx 001 0),,(.(3)11),,(yydx z y x f dz dy (4)11),,(yzdx z y x f dy dz .三.计算题(73?分)1. 设 yx xy y x f z +-=),(22,其中f 具有连续的二阶导数,求yx z 2.2. 计算??-211xydyyedx.3. 设Ω由ax y x =+22和)0,0,0(,22222>>≥=+h a z z ha y x 围成,求Ω的体积.四. 求曲面072222=-++z z y x 在点)1,1,2(-P 处的切平面方程,并求这曲面与平面04352=+-+z y x 的交线在点P处的切线方程. (8分)五. 求曲面z y x 422=+与曲面22yx z +=所围的均匀物体的重心坐标.( 9分 )六. 求在曲线1,154322=+=++yx z y x 上与坐标面XOY 距离最短的点.(10分)七. 设曲面方程,0),(=--by z ax z F 其中),(v u F 具有一阶连续偏导数,且0≠'+'v u F F (1)试证ab yz ax z b=??+?? (2) 试问曲面,0),(=--by z ax z F 上任意一点处的法线方程与向量kab j a i b++有怎样的关系?( 7分)参考答案: 一. 1.22)sin(xy xy xz -=?? 2. )(52|)1,1(dy dx dz -=3. 524. )0,2();0,0(5. 0358=-++z y x6.πθθθ2011),sin ,cos (dz z r r f rdr d二. (4) (4) (1) (4) (4) (3) (3) (4) (3)三. 1. )ln 1()(24122x y x f f xy f y x f xy z y v vv uv uu xy++'+''+''-+''-=''- 2. 1 3.294ha四. 切平面方程:07544=---z y x . 切线方程: 28121372-=+=-z y x五. 重心坐标(0,0,2) 六. 所求的点:)1235,53,54(P七.(1)求出:v u v y v u u x F F F b z F F F a z '+''=''+''=',(2) 向量),,(),,(v u v u F F F b F a n ab a b '+''-'-=⊥。

高数I期中试题答案

试题及其详细解答一、填空题（每小题2分，共20分） 1、函数xx y ln 11--=的定义域为__________________.解：1011ln 0x x x x e-≥≥⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩，应填写 ),(),1[+∞⋃e e 2、1lim 2xx x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭__________________. 解：1lim 2x x x x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭3211lim (1)lim 22lim (1)xxx x xx x e x xe x ex x→∞-→∞→∞+⎛⎫+ ⎪=== ⎪- ⎪- ⎪⎝⎭3、当0x →时，1cos x -与212x 相比较是_______________无穷小解：等价4、5(),x f x x e -=+则'(1)f =__________________. 解：4()5,x f x x e -'=-11'(1)55f ee-=-=-5、cos()y x x π=在点2x =的微分是__________________. 解：cos()[sin()]cos()sin()y x x x x x x ππππππ'=+-=-， 2cos(2)2sin(2)1x y πππ='=-=，应填写1,dx 或,dx ,x ∆6、曲线t t y t t x cos ),sin 1(=-=在π=t 处的切线方程为______________.解：(cos )cos sin ((1sin ))1sin cos dy t t t t t dxt t t t t'-=='---，π=t 时，,x y ππ==-，1111dy dxππ-==-++，切线方程为1(),1y x πππ+=--+7、设)(x f 满足条件0)0(=f ，且0()lim x f x x→存在，(0)1f '=，则0()limx f x x→=_______.解： 00()()(0)limlim(0)10x x f x f x f f xx →→-'===-8、函数34()483f x x x =+-的极大值为_________.解：232()241212(2)f x x x x x '=-=-，驻点0,2x x ==(,0),()0;f x '-∞>(0,2),()0;f x '>(2,),()0;f x '+∞<0不是极值点，2是极大点，极大值为34(2)4823220f =+⋅-⋅= 9、函数1)(--=x e x f x 的单调增加区间为_____________.解：()1x f x e '=-，令()10x f x e '=->，得0x >，应填写[0,)+∞ 10、)()(sin n x =____________， 1( )d d x x=-. 解：()(sin )sin()2n n x x π=+，1(ln +C )d x dx x -=-二、单项选择题（每小题2分，共10分）1、若函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0,10,1sin )(x k x xx x f 在点0=x 处连续，则k =________ (A) 1 (B) 0 (C) 1- (D) 不存在解：由01lim sin0(0)1x x f k x→===+，得1k =-，选(C)2、曲线7186223---=x x x y 在区间（2，4）上______(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 有最小值)3(f (D) 没有最小值解：22612186(23)6(1)(3)y x x x x x x '=--=--=+-，驻点1,3x x =-=，(,1),0;y '-∞->(1,3),0;y '-<(3,),0;y '+∞> 应选(C) 3、函数223)(xxx f +=的凹区间为_______(A) )1,(--∞ (B) )1,1(- (C) )4,1( (D) ),4(+∞解：2222222(3)26()(3)(3)x x x xx f x x x +-'==++，2222224246(3)62(3)218(3)(1)()(3)(3)x x x xx x f x x x +-++-''==++令()0f x ''=，得1,1x x =-=，(,1),()0;f x ''-∞-<(1,1),()0;f x ''->(1,),()0;f x ''+∞<应选(B)4、当1→x 时，x -1是比21x -_______(A) 高阶的无穷小 (B) 低阶的无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小解：211111limlim112x x x xx→→-==-+，应选(D)5、设0x 为)(x f 的极大值点，则___(B)______(A) 必有)('0x f =0 (B) )('0x f =0或不存在 (C) )(0x f 为)(x f 在定义域内的最大值 (D) 必有0)('0<x f 三、计算题（每小题8分，共40分） 1、0tan limsin x x x x x→--， 0ln lim ln(1)xx x e +→-解：22222tan 1sec tan limlimlimlim211sin cos 122x x x x x x x x x x xx xx→→→→----====---- 01ln 1lim lim lim lim 1ln(1)1xx xxxx x x x xx e x x e e xexee ++++→→→→-====--2、设2212lim21x x ax bx →++=-，求,a b 的值.解：因21lim (1)0x x →-=，故21lim (2)0x x ax b →++=，即20a b ++=，由2211244limlim2122x x x ax bx a a x x→→++++===-，得0a =，2b =-3、xx y sec 2)1(+=，求dy解：用对数求导法求导数：两边取对数，2sec 2ln ln (1)sec ln(1)xy x x x ⎡⎤=+=+⎣⎦，两边取导数，2212sec tan ln(1)sec 1x y x x x xyx'=+++，2sec 222(1)sec tan ln(1)sec 1xx y x x x x x x ⎡⎤'=+++⎢⎥+⎣⎦，2sec 222(1)sec tan ln(1)sec 1xx dy x x x x x dx x ⎡⎤=+++⎢⎥+⎣⎦4、设函数)(x f y =由方程xy e y =确定，求''y 解：先求y '：方程两边求导得y e y y xy ''=+，得yy y e x'=-，()()22()()'()(1)yyy yyyy e x y e x y e x y e y y ex ex '''------''==--()22yyy yy yee x e x --=- 5、已知点（0，1）是曲线b ax x y +-=233的拐点，求,a b 的值解：292y x ax '=-，182y x a ''=-，因点（0，1）是拐点，所以020x y a =''=-=，即0a =，且(0)1y b ==。

14-15-1高等数学B1期中试卷答案及评分标准

淮海工学院14 – 15学年第 1 学期高等数学B1 期中试卷1.设45)(,0,0,)(2-=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=x x g x xx x x f ，则=)]0([g f -----------------------------(D) (A) 16- (B) 4- (C) 4(D) 162.=-→xx x 210)1(lim -----------------------------------------------------------------------------（D ）(A) 21e - (B) e -(C) 21e (D) 3. 212x y x+=-的水平渐近线为---------------------------------------------------------------(A)(A) 2y =- (B) 12y =- (C) 12y = (D) 2y =4．设()l n (1)f x x x =+-,则该函数在(1,0)-内的图象为----------------------------- (C)(A) 增且凹 (B) 减且凹 (C) 增且凸 (D) 减且凸 5、当n →+∞，55,ln ,,5n n n 趋于无穷大速度最慢的是 ----------------------(B)(A) 5n (B) 5ln n (C) (D) 5n6.若)(x f 的某一原函数为cos x ，则=')(x f ---------------------------------------------(B) (A) sin x - (B) cos x - (C) sin x (D) cos x7．下列式子中正确的是--------------------------------------------------------------------------(B)(A)⎰=)()(x f x df (B)⎰=dx x f dx x f d )()( (C) ⎰=)()(x f dx x f d (D) ⎰+=C x f dx x f d )()(8. 2csc sin xd x =⎰-----------------------------------------------------------------------------(A)(A) C x +-csc (B)C x +csc (C) C x +-cot (D) C x +c o t二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）1．011lim[]ln(12)2x x x→-+．解：原式2002ln(12)2ln(12)limlim 2ln(12)4x x x x x x x x x→→-+-+==+ --------------------------------------3 H L '1001(12)21lim lim 442x x x x x x -→→-+== ．---------------------------------------------42．已知()y y x =由方程cos()2x y xy e -+=所确定，求'(0),''(0)y y ．解：sin()()(1)0x y xy y xy e y -''-++-=-----------------------------------------------------3将0,0x y ==代入上式得'(0)1y =-----------------------------------------------------1 又sin()(')'[sin()]'(')()'(1')''0x y x y xy y xy xy y xy e y e y ---+-++--=-----2 将0,0,'(0)1x y y ===代入上式得''(0)0y =．--------------------------------------13.34sin cos xdx x⎰. 解：原式32tan sec tan (tan sec )x xdx x x xdx ==⎰⎰----------------------------------------322tan sec (sec 1)sec xd x x d x ==-⎰⎰-------------------------------------------231sec sec 3x x C =-+. --------------------------------------------------------------2 4．2arctan xdx x ⎰．解：原式1arctan xd x=-⎰ -----------------------------------------------------------------------12a r c t a n 1a r c t a n 1a r c t a n (1)x x d x dx x x x x x =-+=-++⎰⎰-------------------2 2a r c t a n 11x xdx dx x x x=-+-+⎰⎰ -------------------------------------------------2 arctan ln xC x =-+．(缺C 扣1分)----------------------------------2三、计算题（本题8分）设xx f +='11)(ln ，且+lim ()0x f x →∞=，求()f x ．解：令uu eu f e x u x +==⇒=11)(,ln '---------------------------------------------------2 C e du e e du e u f uuu u ++-=+=+=---⎰⎰)1ln(111)(-------------------------3 +l i m ()00x f xC →∞=⇒=----------------------------------------------------------------2 故 ()ln(1)xf x e -=-+．--------------------------------------------------------------1四、计算题（本题8分）求曲线⎩⎨⎧==t e y t e x tt cos 2sin 2在点)1,0(处的切线方程及法线方程．解：t e t e dt dyt t sin cos 222-=，----------------------------------------------------------------1 []t t e dt dxt 2cos 22sin +=--------------------------------------------------------------------1 tt t t dx dy 2cos 22sin sin cos 2+-=，----------------------------------------------------------------------2 0,1,0===t y x ，=01t dyk dx==------------------------------------------------------2切线方程为01=+-y x-------------------------------------------------------------------1法线方程为 01=-+y x ．-------------------------------------------------------------------1五、证明题（本题8分）当20π<<x 时，sin tan 2x x x +> .证明：令()=sin tan 2f x x x x +--------------------------------------------------------------１2'()cos sec 21)0f x x x =+-≥≥ ---------------4 于是)(x f 为[0,2)π上的单调增加函数，------------------------------------------------１故当20π<<x 时，)0(0)0()(>=>x f x f ，变形即得结论．---------------------2六、计算题（本题8分）设)(x f 的一个原函数为26x -,求dx x xf ⎰)('．解：（1）由题意知：2()6x f x dx C -=+⎰，-------------------------------------------------222()(6)'26ln6x x f x x --==---------------------------------------2故dx x xf ⎰)('⎰=)(x xdf dx x f x xf ⎰-=)()(-------------------------------------------222(2ln61)6x x C -=-++．------------------------------------------------2七、应用题（本题8分）如图，陆上C 处的货物要运到江边B 处，设江岸为一直线，C 到江岸的最近点为A ，C 到A 之距为30公里，B 到A 之距100公里，已知每公里陆地运费为水路运费的2倍，问：C 处的货物应运到江边哪一点D 处，再转水运，才能使总费用L最小？解：每公里水路运费为a ，A x DB 则[]2(100)0,100L a x x =-∈-----3'()0L x a =-=，=x C因min =min{(0),(100)}=L L L L L ----------------------------1 故C 处的货物应运到江边距离点A 再转水运，才使L 最小．-----------1。

高数上期期中考试和答案

高数上期期中考试和答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 极限的定义是：函数f(x)当x趋近于a时的极限为L，如果对于任意的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε，则称f(x)在x=a处的极限为L。

根据极限的定义，下列函数中，极限不存在的是（）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = 1/xD. f(x) = 1/x^2答案：C2. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1处的导数为（）。

A. 0B. 3C. -6D. 6答案：B3. 曲线y=x^2+2x-3在点(1,0)处的切线斜率为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 函数f(x) = e^x的不定积分为（）。

A. e^x + CB. e^x - CC. 1/e^x + CD. 1/e^x - C答案：A5. 以下哪个函数是偶函数（）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：D6. 以下哪个函数是周期函数（）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = ln(x)答案：C二、填空题（每题5分，共20分）7. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分为______。

答案：1/38. 函数f(x) = 2x在区间[1,2]上的定积分为______。

答案：29. 函数f(x) = x^3的不定积分为______。

答案：1/4 * x^4 + C10. 函数f(x) = 1/x的不定积分为______。

答案：ln|x| + C三、计算题（每题10分，共40分）11. 计算极限lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。

答案：-112. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。

高一数学期中考试试卷及答案(K12教育文档)

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高一数学期中考试试卷及答案（考试时间：120分钟）一、选择题（10⨯5分）1．下列四个集合中，是空集的是（）A ． }33|{=+x xB ． },,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ． }0|{2≤x xD ． },01|{2R x x x x ∈=+- 2．下面有四个命题: （1）集合N 中最小的数是1；（2)若a -不属于N ,则a 属于N ； (3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1；其中正确命题的个数为( ）A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个 3．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长,则△ABC 一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A ． )2()1()23(f f f <-<- B ． )2()23()1(f f f <-<-C ． )2()1()2(-<-<f f f D ． )1()23()2(-<-<f f f5．下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（) A ． x y = B ． x y -=3 C ． xy 1= D ． 42+-=x y6．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x =⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f ．A ． ⑴、⑵B ． ⑵、⑶C ． ⑷D ． ⑶、⑸ 7 。

大学《高等数学》期中期末考试卷解析(共四套)

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大学《高等数学》期中期末考试卷解析（共四套）
《高等数学》期中考试试题及答案解析（A卷）………………………………2 《高等数学》期中考试试题及答案解析（B卷）………………………………10 《高等数学》期末考试试题及答案解析（上册）………………………………18 《高等数学》期中考试试题及答案解析（下册）………………………………26
《高等数学》期中考试试题及答案解析（A卷）
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高数期中测试第一套

第一套一、选择题：1~8小题，每小题四分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

（1）已知lim x→+∞(5x −√ax 2+bx +5)=3成立，则a ，b 的值为（） A a=25 ,b=-30 B a=15,b=20 C a=25,b=20 D a=15 ,b=-30 答案：A（2）设f (x )={e 1x−3x <3 √x −3 x ≥3,则（）。

A 函数f (x )在X=3处不连续 B 函数f (x )在X=3处连续C 函数f (x) 在X=3处连续且可导 D 函数f (x ) 在X=3处不连续也不可导答案：B（3）下列各项说法正确的是（）。

A 若∑u n 2∞n=1和∑v n 2∞n=1 都收敛，则∑(v n +u n )2∞n=1 收敛B 若∑|u n v n |∞n=1收敛，则∑u n 2∞n=1和∑v n 2∞n=1 都收敛C 若正项级数∑u n ∞n=1发散，则u n ≥1nD 若级数∑u n ∞n=1收敛且u n ≥v n (n =1,2,…),则级数∑v n ∞n=1也收敛答案：A（4）设函数y 1(x ),y 2(x ),y 3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程的解，c 1,c 2为任意常数，则该非齐次方程的通解为（）。

A c 1y 1+c 2y 2+y 3B c 1y 1+c 2y 2−(c 1+c 2)y 3C c 1y 1+c 2y 2−(1−c 1−c 2)y 3D c 1y 1+c 2y 2+(1−c 1−c 2)y 3答案：D（5）设A,B,C是n阶矩阵，且ABC=E,则必有A CBA=EB BCA = EC BAC=ED A CB=E答案：B（6）设向量组Ι:α1,α2,…αr可由向量组II:β1,β2,…βs线性表出，则下列命题正确的是A若向量组I线性无关，则r ≤sB若向量组I线性相关，则r>sC若向量组II线性无关，则r ≤sD若向量组II线性相关，则r>s答案：A（7）对于任意随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是（）A EXY=EXEY.B cov（X，Y）=0C DXY=DXDY. DD（X，Y）=DX+DY答案：C（8）答案：A二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（9）答案：（10）答案：（11）答案：（12）答案：（13）答案：（14）答案：三、解答题（15）（本题满分10分）（16）（本题满分10分）答案：（17）（本题满分10分）答案：（18）（本题满分10分）答案：（19）（本题满分10分）求函数解：（20）（本题满分11分）答案：（21）（本题满分11分）答案：（22）（本题满分11分）答案：（23）（本题满分11分）答案：。