初一下分式经典题型汇总

合集下载

(完整版)分式常见题型汇总

知识点：1、能理解因式分解的概念并能正确判别。

2、会用提取公因式，运用公式法分解因式。

重点：1、运用提取公因式法分解因式。

2、运用公式法分解因式。

难点：综合运用提公因式法，公式法分解因式，体会因式分解的作用。

分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bd a d a c ac÷=•= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1p aa 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a -b)= a 2- b 2 ;(a±b)2= a 2±2ab+b 2（一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x （2）1)1(32++-x x（3）x 111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x （2）562522+--x x x3．解下列不等式（1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：ba b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x y x 41313221+- （2）b a b a +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx y x --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x y xy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y x 11+.【例4】已知：21=-x x ，求221x x +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值. 练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）y x y x 5.008.02.003.0+- （2）b a b a 10141534.0-+2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba b a 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|x x x x |||1|1+---.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.（1）c b a c a b ab c 225,3,2--；（2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x x x x x x ；（4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分：（1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(x y x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）m n m n m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232z y x xz yz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x N x M x x ，试求N M ,的值.练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；（2）ab ab b b a a ----222；（3）ba b b a ++-22；（4）)4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+-；（5）2121111x x x ++++-；（6）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x .2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(y x x y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x B x A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）4441=+++x x x x ；（2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x .【例3】解下列方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x m x 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x a x 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=a x 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dc x b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c .题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程：（1）021211=-++-x x x x ；（2）3423-=--x x x ；（3）22322=--+x x x ；（4）171372222--+=--+x x x x x x （5）2123524245--+=--x x x x （6）41215111+++=+++x x x x （7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程：（1）b x a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a xb b x a a ≠+=+.3．如果解关于x 的方程222-=+-x x x k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x k x x 的解为非负数.5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值.（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x二、化归法例2．解方程：012112=---x x三、左边通分法例3：解方程：87178=----x x x四、分子对等法例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程x m x x -=--221无解，求m 的值。

分式的混合运算专项训练—2023-2024学年七年级数学下册(沪科版)(解析版)

分式的混合运算专项训练考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对分式的混合运算各种方法的理解！1．（2023上·山东菏泽·七年级统考期中）计算：(1)3x −61−x−x+5x2−x(2)x−yx+3y ÷x2−y2x2+6xy+9y2−2yx+y【答案】(1)8x(2)1【分析】（1）先对各个分式分子分母因式分解，再通分，利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案；（2）先对各个分式分子分母因式分解，根据分式混合运算顺序，先计算乘除，再利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案．【详解】（1）解：3x −61−x−x+5x2−x=3(x−1)x(x−1)+6xx(x−1)−x+5x(x−1)=8x−8 x(x−1)=8(x−1) x(x−1)=8x；（2）解：x−yx+3y ÷x2−y2x2+6xy+9y2−2yx+y=x−yx+3y ⋅(x+3y)2(x+y)(x−y)−2yx+y=x+3yx+y −2yx+y=x+y x+y=1．【点睛】本题考查分式混合运算，涉及通分、约分、因式分解等知识．掌握分式混合运算法则及运算顺序，熟记因式分解的方法，准确找到最简公分母通分是解决分式混合运算的关键．2．（2023上·天津东丽·七年级统考期末）计算（1）4a 3b⋅b 2a 4÷(1a )2 （2）a a−1÷a 2−a a 2−1−1a−1【答案】（1）23a ；（2）a a−1【分析】（1）先将除法写成乘法，再计算乘法，分子、分母约分化为最简分式；（2）先将除法写成乘法，计算乘法得到最简分式，再与后一项相减即可得到答案.【详解】（1）原式＝4a 3b ⋅b 2a 4⋅a 2＝23a ；（2）原式＝a a−1⋅(a+1)(a−1)a(a−1)−1a−1=a+1a−1−1a−1=a a−1. 【点睛】此题考查分式的混合运算，先将除法化为乘法，再约分结果，再计算加减法.3．（2023上·山东菏泽·七年级统考期末）计算(1)12m 2−9−2m−3(2)(2a −12a a+2)÷a−4a 2+4a+4【答案】(1)−2m+3(2)2a 2+4a【分析】（1）通分计算即可；（2）先通分算减法，再算除法．【详解】（1）解：原式=12−2(m+3)(m+3)(m−3)=−2(m −3)(m +3)(m −3)=−2m+3；（2）解：原式=[2a(a+2)a+2−12a a+2]⋅(a+2)2a−4=2a 2+4a −12a a +2⋅(a +2)2a −4=2a 2−8a a +2⋅(a +2)2a −4=2a(a−4)a+2⋅(a+2)2a−4=2a(a+2)=2a2+4a，【点睛】此题考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．4．（2023下·江苏常州·七年级校考期中）计算：(1)2x+y −1x−y．(2)(1−1m+1)÷m2m+1．【答案】(1)x−3yx2−y2(2)1m【分析】（1）根据异分母分式减法运算法则，先通分，再根据同分母分数减法运算求解即可得到答案；（2）根据分式混合运算法则及运算顺序，先算括号里的异分母分式减法运算，再利用乘除互化将除法转化为乘法运算求解即可得到答案．【详解】（1）解：2x+y −1x−y=2(x−y)(x+y)(x−y)−x+y(x+y)(x−y)=2x−2y−x−y (x+y)(x−y)=x−3y (x+y)(x−y)=x−3yx2−y2；（2）解：(1−1m+1)÷m2m+1=(m+1m+1−1m+1)÷m2m+1=m+1−1m+1×m+1m2=mm+1×m+1m2=1m．【点睛】本题考查分式混合运算，涉及分式加减乘除运算、通分、约分等知识，熟练掌握分式混合运算法则及运算顺序是解决问题的关键．5．（2023下·江苏常州·七年级统考期中）计算：(1)4ac3b ⋅(−6b22ac2)(2)a+2a−3÷a2−42a−6(3)x23x−9−3x−3(4)(4a+2+a−2)÷aa+2【答案】(1)−4bc(2)2a−2(3)x+33(4)a【分析】（1）根据分式的乘法运算法则进行计算即可得到答案；（2）先将分式除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则和平方差公式进行计算即可得到答案；（3）先进行通分，再计算分式减法，最后利用平方差进行约分即可得到答案；（4【详解】（1）解：4ac3b ⋅(−6b22ac2)=−4bc；（2）解：a+2a−3÷a2−42a−6=a+2a−3×2(a−3)(a+2)(a−2)=2a−2；（3）解：x23x−9−3x−3=x23(x−3)−3×33(x−3)=x2−93(x−3)=(x+3)(x−3)3(x−3)=x+33；（4）解：(4a+2+a−2)÷aa+2=(4a+2+(a−2)(a+2)a+2)×a+2a=4+a2−4a+2×a+2a=a．【点睛】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．6．（2023下·河南南阳·七年级统考期中）计算：(1)2x−6x2−6x+9÷3−xx2−9(2)(8a+3+a−3)÷a2+2a+1a+3【答案】(1)−2x+6x−3(2)a−1a+1【分析】（1）根据完全平方式、平方差公式化简，再把除法转化成乘法计算即可；（2）括号内先通分，再根据完全平方公式、平方差公式化简，再把除法转化成乘法计算即可．【详解】（1）解：原式=2(x−3)(x−3)2×(x+3)(x−3)3−x=−2x+6x−3（2）解：原式=(8+a2−9a+3)×a+3(a+1)2=(a+1)(a−1)×1(a+1)2=a−1a+1【点睛】本题考查分式计算，掌握完全平方式、平方差公式是关键．7．（2023下·江苏淮安·七年级校考期中）计算：(1)a2a−1−a−1(2)(a+2−42−a )÷(aa−2)【答案】(1)1a−1(2)a【分析】（1）先对原式通分变为同分母的分式，再相减即可解答本题；（2）先将括号内的进行计算，再将除法转换为乘法后，再约分即可得到答案．【详解】（1）a2a−1−a−1=a2 a−1−(a+1)(a−1)a−1=a2−(a+1)(a−1)a−1=a 2−(a 2−1)a−1 =a 2−a 2+1a−1=1a−1（2）(a +2−42−a )÷(a a−2)=(a +2+4a−2)÷(a a−2) =a 2−4+4a−2÷(a a−2) =a 2a−2×a−2a=a 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是明确分式混合运算的计算方法．8．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）计算(1)x x−1−x 2+2x x 2−2x+1÷x+2x ； (2)(a+2a−2−a a+2)÷3a+2a 2+2a ．【答案】(1)−x (x−1)2(2)2a a−2【分析】该题主要考查了分式的混合运算问题；（1）先算除法再算减法即可；（2）先算括号再算除法即可．【详解】（1）原式=x x−1−(x+2)x (x−1)2⋅x x+2=x x −1−x 2(x −1)2=x (x −1)−x 2(x −1)2=−x (x−1)2；=−x x 2−2x +1（2）原式=[(a+2)2(a−2)(a+2)−a(a−2)(a−2)(a+2)]÷3a+2a(a+2)=2(3a+2)(a−2)(a+2)⋅a(a+2)3a+2=2aa−2．9．（2023上·山东烟台·七年级统考期中）计算：(1)b2ca ×acb÷(−ca)2(2)a2−4a ÷(a+1−5a−4a)【答案】(1)a2b(2)a+2a−2【分析】（1）根据分式的乘除运算法则进行化简即可求出答案．（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【详解】（1）解：原式=bc2⋅a2c2=a2b．（2）解：原式=(a+2)(a−2)a ÷a2−4a+4a=(a+2)(a−2)a⋅a(a−2)2=a+2a−2．【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．10．（2023上·山东东营·七年级校考期中）计算下列各式．(1)(−a2bc )3⋅(−c2a)2÷(bca)4；(2)a2a−1−a−1．【答案】(1)−a8bc3(2)1a−1【分析】（1）先根据积的乘方等于乘方的积，幂的乘方计算各分式，然后利用同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；进行分式的乘除运算即可；（2）先加括号，进行通分，根据平方差公式求解多项式乘多项式，然后进行加减运算即可．【详解】（1）解：(−a2bc )3⋅(−c2a)2÷(bca)4=−a6b3c3⋅c4a2÷b4c4a4=−a4b3c⋅a4 b4c4=−a8bc3；（2）解：a2a−1−a−1=a2a−1−(a+1)=a2−(a+1)(a−1)a−1=a2−a2+1a−1=1a−1．【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，分式的乘除混合运算，同底数幂的乘除运算，异分母分式的减法运算，平方差公式等知识．解题的关键在于熟练掌握各知识的运算法则并正确的运算．11．（2023上·河南许昌·七年级统考期末）计算：(3xx−1−xx+1)⋅x2−1x+1【答案】2x2+4xx+1【分析】利用分式的混合运算顺序：先括号内的分式减法运算，再括号外的分式2乘法运算即可化简原式．【详解】解：(3xx−1−xx+1)⋅x2−1x+1=3x(x+1)−x(x−1)(x−1)(x+1)⋅(x−1)(x+1)x+1=3x2+3x−x2+xx+1=2x2+4xx+1．【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．12．（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考阶段练习）计算：(1)(x−y)2−x(x−3y)(2)m2−25m+3÷(1−8m+3)【答案】(1)xy+y2(2)m+5【分析】（1）先用完全平方公式与单贡式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可．（2）先计算括号内的，再计算除法，用除法法则转化成乘法计算即可．【详解】（1）解：原式=x2−2xy+y2−x2+3xy=xy+y2；（2）解：原式=(m+5)(m−5)m+3÷m−5m+3=(m+5)(m−5)m+3⋅m+3m−5=m+5．【点睛】本题考查多项式混合运算，分式混合运算，熟练掌握多项式与分式混合运算法则是解题的关键．13．（2023上·山东菏泽·七年级统考期中）计算(1)4x22x−3+93−2x(2)3b24a2⋅(a−6b)(3)xx−1−x+3x2−1⋅x2+2x+1x+3(4)(1x−4+1x+4)÷2x2−16【答案】(1)2x+3(2)−b8a(3)−1x−1(4)x【分析】（1）利用分式的加法计算即可．（2）利用分式的乘法计算即可．（3）利用分式的混合运算法则计算即可．（4）利用分式的混合运算法则计算即可．【详解】（1）4x22x−3+93−2x=4x22x−3−92x−3=4x2−92x−3=(2x−3)(2x+3)2x−3=2x+3．（2）3b24a2⋅(a−6b)=−b8a．（3）xx−1−x+3x2−1⋅x2+2x+1x+3=xx−1−x+3(x−1)(x+1)⋅(x+1)2x+3=xx−1−x+1x−1=x−x−1x−1=−1x−1．（4）(1x−4+1x+4)÷2x2−16=(1x−4+1x+4)×(x+4)(x−4)2=1x−4×(x+4)(x−4)2+1x+4×(x+4)(x−4)2=x+42+x−42=x．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．14．（2023下·重庆南岸·七年级统考期末）计算：(1)a−ba+b ÷a2−aba3−ab2；(2)(2x−3−1x)⋅x2−3xx2+6x+9【答案】(1)a−b(2)1x+3【分析】（1）直接根据分式的除法法则进行计算即可；（2）先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【详解】（1）解：原式=a−ba+b ⋅a3−ab2 a2−ab=a−ba+b⋅a(a2−b2)a(a−b)=(a+b)(a−b)a+b=a−b；（2）解：原式=[2x−(x−3)x(x−3)]⋅x(x−3)(x+3)2=x+3x(x−3)⋅x(x−3)(x+3)2=1x+3．【点睛】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式的混合运算法则是解答此题的关键．15．（2023下·重庆北碚·七年级统考期末）计算：(1)2a2b÷(−a2b )2⋅a4b2；(2)(a2+3aa−3−3)÷a2+9a2−9．【答案】(1)2ab(2)a+3【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答；（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【详解】（1）原式=2a2b⋅4b2a2⋅a 4b2=2ab（2）原式=(a2+3aa−3−3a−9a−3)⋅a2−9a2+9=a2+9a−3⋅(a+3)(a−3)a2+9=a+3【点睛】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．16．（2023下·广东清远·七年级统考期中）分式计算：(1)3x−3−xx−3(2)yxy+x +1xy−x(3)x2x+1−x+1(4)(3xx−2−xx+2)÷xx2−4．【答案】(1)−1(2)y2+1xy2−x(3)1x+1(4)2x+8【分析】（1）根据同分母的分式的加减法进行计算即可求解；（2）根据异分母的分式的加法进行计算即可求解；（3）根据分式与整式的运算进行计算即可求解；（4）先计算括号的分式的减法，再将除法转化为乘法进行计算即可求解．【详解】（1）3x−3−xx−3=3−xx−3 =−1；（2）yxy+x +1xy−x=y(y−1)+y+1x(y+1)(y−1)=y2+1xy2−x；（3）x2x+1−x+1=x2−(x−1)(x+1)x+1=x2−x2+1x+1=1x+1；（4）(3xx−2−xx+2)÷xx2−4=3x(x+2)−x(x−2)(x−2)(x+2)⋅(x+2)(x−2)x=3(x+2)−(x−2)=3x+6−x+2=2x+8．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．17．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）计算：(xx+2−2x+2)÷x2−4x+4x+2．【答案】1x−2【分析】首先运用同分母分式减法法则计算括号内的，再利用分式除法运算法则求解即可．【详解】解：(xx+2−2x+2)÷x2−4x+4x+2=x−2x+2÷x2−4x+4x+2=x−2x+2⋅x+2x2−4x+4=x−2x+2⋅x+2(x−2)2=1x−2．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的减法运算法则和乘除运算法则18．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）计算：(1)2x2x−y +yy−2x；(2)1−x−yx+2y ÷x2−y2x2+4xy+4y2．【答案】(1)1(2)−yx+y【分析】（1）本题考查了分式的加减，利用同分母分式加减法法则进行计算，即可解答；（2）本题考查了分式的混合运算，先算分式的除法，再算加减，即可解答；【详解】（1）解：原式=2x−y2x−y=2x−y 2x−y=1；（2）解：原式=1−x−yx+2y ×(x+2y)2(x+y)(x−y)=1−x+2y x+y=−yx+y．19．（2023下·江苏常州·七年级常州市第二十四中学校考期中）计算：(1)6x+3+2xx+3；(2)a2−b2a ÷(a+b2−2aba)．【答案】(1)2(2)a+ba−b【分析】（1）根据同分母分式加法计算法则求解即可；（2）根据分式的混合计算法则求解即可．【详解】（1）解：6x+3+2xx+3=6+2x x+3=2(x+3) x+3=2；（2）解：a2−b2a ÷(a+b2−2aba)=a2−b2a÷a2+b2−2aba=(a+b)(a−b)a÷(a−b)2a=(a+b)(a−b)a⋅a(a−b)2=a+ba−b．【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，同分母分式加法，熟知相关计算法则是解题的关键．20．（2023上·山东菏泽·七年级统考期末）计算：(1)4x2−1−2x2+x；(2)(2x2x−2−x−2)÷2x2+8x2−4．【答案】(1)2x2−x(2)x+22【分析】（1）利用提公因式和平方差公式进行计算即可；（2）利用提公因式和平方差公式进行计算即可．【详解】（1）4x 2−1−2x 2+x=4(x +1)(x −1)−2x (x +1)=4x −2(x −1)x (x +1)(x −1)=2x +2x (x +1)(x −1)=2x 2−x ；（2）(2x 2x−2−x −2)÷2x 2+8x 2−4=[2x 2x −2−(x +2)(x −2)x −2]÷2x 2+8x 2−4=(2x 2−x 2+4x −2)⋅(x +2)(x −2)2(x 2+4)=x 2+4x −2⋅(x +2)(x −2)2(x 2+4) =x+22．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练运用分式运算法则和平方差公式是解题的关键． 21．（2023下·江西鹰潭·七年级统考期末）先化简x 2−4x+4x 2−1÷x−2x+1+2x−1，再从−2，−1，1，2中选一个合适的整数作为x 的值代入求值．【答案】x x−1，x =−2时，原式=23【分析】先把除法转化为乘法，再约分，然后计算加法，由分式有意义的条件确定x 的值，最后代入化简后的式子即可求出答案．【详解】解：x 2−4x+4x 2−1÷x−2x+1+2x−1=(x −2)2(x +1)(x −1)⋅x +1x −2+2x −1 =x −2x −1+2x −1=xx−1，由分式有意义的条件可知：x ≠−1，x ≠1，x ≠2， ∴x =−2，当x =−2时，原式=−2−2−1=23．【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 22．（2023下·福建宁德·七年级统考期末）先化简，再求值：(1−a a+1)÷a+3a 2+2a+1，其中a =−5．【答案】a+1a+3，2【分析】先根据分式的减法法则算括号内的减法，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．【详解】解：(1−aa+1)÷a+3a 2+2a+1 =1a +1⋅(a +1)2a +3 =a +1a +3当a =−5时，原式=a+1a+3=−5+1−5+3=2．【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 23．（2023下·江西景德镇·七年级统考期末）先化简，再求值：(x 2+2x+1x 2−1−3x−1)÷x 2−2x x−1其中x =17【答案】1x ，代数式的值为7【分析】根据乘法公式，分式的性质，分式的加减乘除混合运算化简，再代入求出即可．【详解】解：(x 2+2x+1x 2−1−3x−1)÷x 2−2x x−1=[(x +1)2(x +1)(x −1)−3x −1]÷x(x −2)x −1=(x +1x −1−3x −1)×x −1x(x −2)=x −2x −1×x −1x(x −2)=1x ，当x =17时，原式=1x=117=7．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握乘法公式，分式的性质，分式的混合运算法则是解题的关键．24．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）先化简，再求值：当a =2时，求代数式(a −aa+1)÷a 2−2a a 2−4×1a+2的值．【答案】aa+1；23【分析】运用乘法公式，分式的性质，分式的混合运算进行化简，再代入求值即可．【详解】解：(a −a a+1)÷a 2−2a a 2−4×1a+2=(a 2+a a +1−a a +1)÷a(a −2)(a +2)(a −2)×1a +2=a 2a +1×a +2a ×1a +2 =a a+1，当a =2时，原式=aa+1=22+1=23．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握乘法公式，分式的性质，分式的混合运算法则，代入求值等知识是解题的关键．25．（2023上·四川绵阳·七年级校联考阶段练习）先化简，再求值：(2x+2x 2−1+1)÷x+1x 2−2x+1，其中x =4 【答案】x −1，3【分析】根据分式混合运算法则先化简，再代值求解即可得到答案．【详解】解：(2x+2x 2−1+1)÷x+1x 2−2x+1 =(2x +2x 2−1+x 2−1x 2−1)×x 2−2x +1x +1=x 2+2x+1x 2−1×x 2−2x+1x+1， =(x+1)2(x+1)(x−1)×(x−1)2x+1，=x −1；当x =4时，原式=4−1=3．【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 26．（2023上·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）（1）计算：[3a 3⋅a 3+(−3a 3)2]÷(−2a −2)3；（2）先化简，再求值：(a 2a−1−a −1)÷a−a 2a 2−2a+1，其中a =2．【答案】（1）−32a 12；（2）−1a ，−12【分析】（1）根据幂的混合运算法则求解即可；（2）首先根据分式的混合运算法则求解，然后将a =2代入求解即可．【详解】解：（1）[3a 3⋅a 3+(−3a 3)2]÷(−2a −2)3 =(3a 6+9a 6)÷(−8a −6) =12a 6÷(−8a −6) =−32a 12；（2）(a 2a−1−a −1)÷a−a 2a 2−2a+1=(a 2a −1−a 2−1a −1)÷−a (a −1)(a −1)2=1a −1⋅a −1−a=−1a ，当a =2时，原式=−12．【点睛】此题考查了幂的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 27．（2023上·吉林白山·七年级统考期末）先化简，再求值：1﹣x−2y x+y ÷x 2−4xy+4y 2x 2−y 2，其中x ＝﹣2，y ＝12．【答案】﹣yx−2y ，16．【分析】原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，之后将x 、y 代入计算即可求得答案．【详解】解：原式＝1﹣x−2yx+y ⋅(x+y )(x−y )(x−2y )2=1−x−y x−2y ＝﹣yx−2y ，当x ＝﹣2，y ＝12时，原式＝16．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练的掌握分式的运算法则是解本题的关键，在解题的时候，要注意式子的整理和约分．28．（2023上·广东惠州·七年级统考期末）已知A =xy−y 2y 2−x 2÷(1x−y −1x+y )．（1）化简A ；（2）当x 2+y 2=13,xy =−6时，求A 的值；（3）若|x −y |+√y +2=0，A 的值是否存在，若存在，求出A 的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）−x−y2；（2）A=−52或52；（3）不存在，理由见详解.【分析】（1）先把括号里面的通分，再计算整式除法即可；（2）利用完全平方公式，求出x-y的值，代入化简后的A中，求值即可；（3）利用非负数的和为0，确定x、y的关系，把x、y代入A的分母，判断A的值是否存在．【详解】解：（1）A=xy−y2y2−x2÷(1x−y−1x+y)=y(x−y) (y−x)(y+x)×(x+y)(x−y)x+y−x+y=−y(x−y)(x−y)(x+y)×(x+y)(x−y)2y=−x−y2；（2）∵x2+y2=13，xy=-6∴（x-y）2=x2-2xy+y2=13+12=25∴x-y=±5，当x-y=5时，A=−52；当x-y=-5时，A=52．（3）∵|x−y|+√y+2=0，∴x-y=0，y+2=0当x-y=0时，A的分母为0，分式没有意义．∴当|x−y|+√y+2=0时，A的值不存在.【点睛】本题考查了分式的加减乘除运算、完全平方公式、非负数的和及分式有无意义的条件．题目综合性较强．初中阶段学过的非负数有：a的偶次幂，a（a≥0）的偶次方根，a|的绝对值．29．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）（1）计算：3x(x−3)2−x3−x（2）计算：(x+1x2−1+xx−1)÷x+1x2−2x+1（3）先化简，再求值：已知ab ＝3，求a2+4ab+4b2a−b÷(3b2a−b−a−b)的值．【答案】（1）x2(x−3)2；（2）x﹣1；（3）a+2b2b−a，﹣5．【分析】（1）直接通分运算进而利用分式的混合运算法则计算得出答案；（2）直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案；（3）直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【详解】解：（1）原式=3x+x(x−3)(x−3)2=x 2(x−3)2；（2）原式=x+1+x(x+1)(x−1)(x+1)⋅(x−1)2x+1=(x+1)2(x−1)(x+1)⋅(x−1)2x+1=x −1；（3）原式=(a+2b)2a−b÷3b 2−a(a−b)−b(a−b)a−b=(a+2b)2a−b⋅a−b(2b+a)(2b−a)=a+2b2b−a∵ab =3，∴a ＝3b ，所以原式=3b+2b 2b−3b=−5．【点睛】本题考查的知识点是分式的化简求值，掌握分式化简的一般步骤以及分式的混合运算法则是解此题的关键，注意化简过程中各项的符号变化． 30．（2023上·山东潍坊·七年级统考期中）计算：（1）aa+1+a−1a 2−1；（2）2aa+1−2a−4a 2−1÷a−2a 2−2a+1；（3）先化简再求值：（1−3x+2）÷x−1x 2+x−2，其中x 是﹣2，1，2中的一个数值．【答案】（1）1；（2）2a+1；（3）x ﹣1，x ＝2时，原式=1．【分析】（1）先约分，再相加即可求解；（2）先因式分解，将除法变为乘法约分，再通分，相减即可求解；（3）先计算括号里面的减法，再因式分解，将除法变为乘法约分化简，再把x ＝2代入计算即可求解．【详解】（1）a a+1+a−1a 2−1，＝aa+1+1a+1，＝a+1a+1，＝1；（2）2aa+1−2a−4a 2−1÷a−2a 2−2a+1，＝2aa+1−2(a−2)(a+1)(a−1)⋅(a−1)2a−2，＝2a a+1−2(a−1)a+1，＝2a−2(a−1)a+1，＝2a+1；（3）（1−3x+2）÷x−1x 2+x−2，＝x+2−3x+2⋅(x−1)(x+2)x−1，＝x ﹣1，∵x +2≠0，x ﹣1≠0， ∴x ≠﹣2，x ≠1，当x ＝2时，原式＝2﹣1＝1．【点睛】此题考查分式的混合运算及化简求值，正确将分式的分子与分母因式分解是解题的关键. 31．（2023上·吉林白城·七年级统考期末）先化简，再求值：x 2−1x 2−2x+1÷x+1x−1·1−x1+x，其中x ＝12．【答案】1−x1+x ，13．【分析】先将分式的分子和分母分解因式，将分式约分化简得到最简结果，再将未知数的值代入计算即可. 【详解】x 2−1x 2−2x+1÷x+1x−1·1−x1+x , =(x +1)(x −1)(x −1)2⋅x −1x +1⋅1−x1+x=1−x1+x ,当x ＝12时，原式＝1−121+12=13.【点睛】此题考查分式的化简求值，化简时需先分解因式约去公因式得到最简分式，再将未知数的值代入求值即可.32．（2023上·山东烟台·七年级统考期中）先化简（a 2−4a+4a 2−4﹣aa+2）÷a−1a+2，再从a ≤2的非负整数解中选一个适合的整数代入求值．【答案】−2a−1，2【分析】先将分式的分子和分母分解因式，再根据分式的化简求值的过程计算即可求解．【详解】解：原式＝[(a−2)2(a−2)(a+2)−aa+2]⋅a+2a−1，=(a−2a+2−aa+2)⋅a+2a−1，=−2a+2⋅a+2 a−1，=−2a−1.∵a≤2的非负整数解有0，1，2，又∵a≠1，2，∴当a＝0时，原式＝2．【点睛】此题考查分式的化简求值，化简时需先分解因式约去公因式得到最简分式，求值时选的数需满足分母不为0的数才可代入求值.33．（2023下·江苏盐城·七年级东台市三仓镇中学校考期中）先化简，再求值：x2−1(x−1)2÷x2+xx−1+2x，其中x为你喜欢的一个使原式有意义的整数．【答案】3x，1【详解】分析：根据据分式的混合运算的法则和步骤，先算乘除，再算加减，然后约分化简，最后代入求值即可，注意选择使分母不为零的数代入.详解：x2−1(x−1)2÷x2+xx−1+2x=(x+1)(x−1)(x−1)2÷x(x+1)x−1+2x=(x+1)(x−1)(x−1)2·x−1x(x+1)+2x=1 x +2x=3x当x=3时，原式=1.点睛：本考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．34．（2023上·四川泸州·七年级统考期中）先化简，再求值：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1，其中a=4．【答案】−a+2a−2，-3．【详解】试题分析：先根据分式的混合运算的法则，先算括号里面的（通分后计算），再把除法化为乘法约分化简，最后代入求值即可.试题解析：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1=3−a2+1a+1×a+1(a−2)2，=−(a+2)(a−2)a+1×a+1(a−2)2=−a+2a−2，当a=4时，原式=-3．35．（2023上·北京昌平·七年级校考期中）先化简，再求值:xx2−1⋅(x−1x−2)，其中x（x+1）=2（x+1）.【答案】−1x−1，-1【详解】试题分析：先根据分式的混合运算的法则，先把分式的化简，然后再根据方程求出符合条件的x代入求值，注意分式有意义的条件，即分母不能为零.试题解析：原式==.由解得或.因为x不能等于-1，所以当=2时，原式=.36．（2023下·湖南郴州·七年级校考期中）先化简，再求值：(x2x−1+91−x)÷x+3x−1，x在1,2，-3中选取适当的值代入求值．【答案】x-3,当x=2时，原式=-1【详解】解：(x2x−1+91−x)÷x+3x−1=(x+3)(x−3)x−1⋅x−1 x+3=x−3要是原式有意义，则x≠1,−3,则x=2原式=-137．（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）先化简，再求值：(4x+6x2−1−2x−1)÷x+2x2−2x+1，其中x是不等式组{x+4>01−2x>3的整数解．【答案】2x−2x+1，4．【分析】原式中先计算分子，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出解集中的整数解确定出x的值，代入计算即可求出值．【详解】原式= 4x+6−2(x+1)(x+1)(x−1)×(x−1)2x+2= 2(x+2)(x+1)(x−1)×(x−1)2x+2= 2(x−1)x+1=2x−2x+1解不等式组{x+4>01−2x>3得：-4＜x＜-1所以不等式组的整数解为-3，-2，即x=-3，-2．∵x≠-2∴x=-3，∴原式= 2(−3−1)−3+1=4．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．38．（2023上·重庆·七年级西南大学附中校考期中）先化简，再求值：(2a−2−6a2−2a)÷a2−6a+9a−2，其中a满足2a2−6a+3=0．【答案】2a2−3a ，−43【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】(2a−2−6a2−2a)÷a2−6a+9a−2=[2aa(a−2)−6a(a−2)]÷(a−3)2a−2=2(a−3)a(a−2)×a−2(a−3)2=2a(a−3)=2a2−3a∵2a2−6a+3=0∴2a2−6a=−3∴a2−3a=−32∴原式=2a2−3a =2−32=−43．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．39．（2023上·山东聊城·七年级校考期末）（1）计算：(x2−4x+4x2−4−xx+2)÷x−1x+2（2）先化简a2−2aa2−1÷(2a−1a−1−a−1)，然后从−2≤a≤2的范围内选取一个合适的整数作为a的值代入求值．【答案】（1）21−x ；（2）−1a+1，1【分析】（1）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得；（2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选取合适的a的值，代入计算即可得．【详解】解：（1）原式=[(x−2)2(x+2)(x−2)−xx+2]⋅x+2x−1=(x−2x+2−xx+2)⋅x+2x−1=−2x+2⋅x+2x−1=21−x；（2）原式=a(a−2)(a+1)(a−1)÷[2a−1a−1−(a+1)(a−1)a−1]=a(a−2)(a+1)(a−1)÷(2a−1a−1−a2−1a−1)=a(a−2)(a+1)(a−1)÷2a−1−a2+1a−1=a(a−2)(a+1)(a−1)÷2a−a2a−1=a(a−2)(a+1)(a−1)⋅a−12a−a2=a(a−2)(a+1)(a−1)⋅a−1a(2−a)=−1a+1，∵a+1≠0,a−1≠0,a≠0,2−a≠0，∴a≠−1,a≠1,a≠0,a≠2，∵a是−2≤a≤2的范围内的一个整数，∴a=−2，则原式=−1−2+1=1．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 40．（2023上·山东滨州·七年级统考期末）（1）计算：3(x−1)(x+2)−xx−1+1；（2）先化简，再求值：a−1a 2−4a+4÷(1+1a−2)，请从1，2，3中选一个合适的数作为a 的值，代入求值．【答案】（1）−1x+2；（2）1a−2，1．【分析】（1）根据分式的四则运算求解即可；（2）根据分式的四则运算进行化简，然后代数求解即可．【详解】解：（1）3(x−1)(x+2)−xx−1+1 =3(x −1)(x +2)−x (x +2)(x −1)(x +2)+(x −1)(x +2)(x −1)(x +2)=3−x 2−2x +x 2+x −2(x −1)(x +2)=1−x(x −1)(x +2)=−1x +2（2）a−1a 2−4a+4÷(1+1a−2) =a −1(a −2)2÷(a −1a −2) =a −1(a −2)2×(a −2a −1) =1a−2，由题意可得：a −2≠0，a −1≠0 ∴a ≠1，a ≠2将a =3代入得，原式=13−2=1．【点睛】此题考查了分式的四则运算，化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算以及分式的有关知识．。

七年级数学下册《第五章分式》练习题-附答案(浙教版)

七年级数学下册《第五章分式》练习题-附答案(浙教版)一、选择题1.若分式x ＋12－x有意义，则x 满足的条件是（） A.x ≠－1 B.x ≠－2 C.x ≠2 D.x ≠－1且x ≠22.若分式2x ＋63x －9的值为零，则x 等于( ) A.2 B.3 C.－3 D.3或－33.与分式﹣11－x的值相等的是( ) A.﹣1x －1 B.﹣11＋x C.11＋x D.1x －14.下列约分正确的是( ) A.B. =﹣1C. =D. =5.下列分式中，最简分式是( )A.x 2－1x 2＋1B.x ＋1x 2－1C.x 2－2xy ＋y 2x 2－xyD.x 2－362x ＋126.下列运算结果为x －1的是( )A.1－1xB.x 2－1x ·x x ＋1C.x ＋1x ÷1x －1D.x 2＋2x ＋1x ＋17.化简a 2a －1－1－2a 1－a的结果为( ) A.a ＋1a －1B.a －1C.aD.1 8.分式方程x ＋1x ＋1x －2＝1的解是( ) A.x ＝1 B.x ＝－1 C.x ＝3 D.x ＝－39.施工队要铺设1 000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务，设原计划每天施工x 米，所列方程正确的是( )A.1 000x －1 000x ＋30＝2B.1 000x ＋30－1 000x ＝2C.1 000x －1 000x －30＝2D.1 000x －30－1 000x＝2 10.若﹣2＜a ≤2，且使关于y 的方程y ＋a y －1＋2a 1－y ＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为( )A.﹣3B.﹣2C.1D.2二、填空题11.要使分式1x －1有意义，x 的取值应满足 . 12.当x ＝1时，分式x x ＋2的值是________. 13.把分式a ＋13b 34a －b 的分子、分母中各项系数化为整数的结果为________. 14.方程2x ＋13－x ＝32的解是 . 15.A ，B 两市相距200千米，甲车从A 市到B 市，乙车从B 市到A 市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地.若设乙车的速度是x 千米/小时，则根据题意，可列方程____________________.16.在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和(差)的形式，例如，＝. 类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式.例如＝，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式，那么 (B ＋1)﹣(A ＋1)＝ .三、解答题17.化简：x －2x －1·x 2－1x 2－4x ＋4－1x －2.18.化简：(1－2x －1)·x 2－xx 2－6x ＋9.19.解分式方程：xx －1﹣2x ＝1；20.解分式方程：32x －4﹣xx －2＝12.21.化简(xx －1 － 1 x 2－1 )÷x 2＋2x ＋1x 2 ，并从－1，0，1，2中选择一个合适的数求代数式的值。

分式方程重点题型

分式易考题型※【典例剖析】例1（分式概念）（1）当x 时，分式x -13无意义；（2）当x 时，分式392--x x 的值为零. 随堂练习11要使式子33-+x x ÷42-+x x 有意义，x 的取值应为。

2、当x 时，分式33+-x x 的值为0。

3、使分式1122+-a a 有意义的a 的取值是（） A 、a ≠1 B 、a ≠±1 C 、a ≠－1 D 、a 为任意实数4、当x = －3时，下列分式中有意义的是（）A 、33-+x xB 、33+-x x C 、)2)(3()2)(3(--++x x x x D 、)2)(3()2)(3(-++-x x x x 5、判断下列各分式中x 取什么值时，分式的值为0？x 取什么值时，分式无意义⑴)1)(3(2x x x --+； ⑵2522+-x x ； ⑶2231--+x x ．例2（分式的约分）已知311=-y x ，求yxy x y xy x ---+55的值.随堂练习21、下列变形不正确的是( ) A.2222+-=---a a a a B.11112--=+x x x (x ≠1) C.1212+++x x x =21 D.2126336-+=-+y x y x 2、若2x =－y ，则分式22y x xy -的值为________. 3、化简求值：（1）222222484y x y xy x -+- 其中x =2，y =3. （2）已知yx =2，求222263y xy x y xy x +++-的值.例3（分式的乘除法）使分式22222)(y x ay ax y a x a y x ++⋅--的值等于5的a 的值是( ) A.5 B.－5 C.51 D.－51 随堂练习3计算：(1)(xy －x 2)÷xy y x - (2)24244422223-+-÷+-+-x x x x x x x x例4（分式加减法）例4-1化简求值：当x =21时，求1121122-+-++-x x x x x 的值.例4-262)1(33)1)(1()1(3)1)(1(313)1)(1(313132--=+--=-++--+-=---+-=----x x x x x x x x x x x x x x x x （1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误：（2）从B 到C 是否正确；。

分式精典题型

分式精典题型一、分式的计算：1、计算2、计算：3、计算：4、当为何值时，分式有意义？5、为何值时，分式有意义？6、计算.7、当为何值时，分式的值为零.8、巧用裂项法:实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，化繁为简，最终达到求和的目的.如公式：111)1(1+-=+n n n n 计算：9、分组通分法: 找出分母的最小公倍数，然后分母扩大了多少倍，分子也扩大多少倍。

计算：10、巧用拆项法:把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项计算：11、参数法：已知，求的值．12、整体代入法：已知，求的值.13、倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法．已知：，求的值．14、主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．已知：，求的值．15、求x m n x mnx m n x mnx mx n222222---+--⋅--()()的值，其中x m n===-2312。

16、已知43602700x y z x y z xyz --=+-=≠，，，求x y zx y z+--+2的值。

二、解分式方程： 1．解方程=2、解方程：32121---=-xxx （也可用换元法）3、解方程3323-+=-x x x4、解方程87178=----xx x5、解方程125552=-+-x x x 6、解方程：22321011x x x x x --+=--7、解分式方程x x +27—23x x -=1+1722--x x （提示：对几个分母进行分解后，再找最简公分母,）8、4441=+++x x x x ；（提示：换元法，设y x x =+1）9、569108967+++++=+++++x x x x x x x x （提示：裂项法，61167++=++x x x .）10、若111312-++=--x N x M x x，试求N M ,的值.三、分式方程的增根与无解分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．注意：分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还能使其最简公分母的值为零，解分式方程一定要验根。

七年级数学下册-分式方程及分式应用题

分式方程及分式应用题【知识点归纳】知识点一、分式方程1分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.2解分式方程：基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母。

一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

《1》理解分式方程的有关概念例1 指出下列方程中，分式方程有（）①21123x x -=5 ②223x x -=5x 2-5x=0x +3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【点评】根据分式方程的概念，看方程中分母是否含有未知数．《2》掌握分式方程的解法步骤（注意分式方程最后要验根。

（易错点））例2 解方程：100307x x =-.例3. 解关于x 的方程x a b c x b c b x c ab a bc --+--+--=>30()，，解：原方程化为：x a b c x b c b x c ab---+---+---=1110即x a b c c x b c a a x c a b b---+---+---=0∴---++=>>>∴++≠∴---=∴=++()()x a b c a b c a b c a b cx a b c x a b c11100011100 ，，说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把3拆成3个1，正好能凑成公因式x a b c ---。

若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程的结构特征，才能找到合适的办法。

例4. 解关于x 的方程。

ax x a bx x b a b x a x b ab ()()()()()()+++=+++≠0解：去括号：ax a x bx b x a b x a b x ab a b 222222+++=+++++()()()()()()()a b x a b x ab a b abx ab a b ab x a b222202+-+=+-=+≠∴=-+说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。

初一下分式经典题型汇总

分式各知识点及例题【知识精读】（一）、分式定义及有关题型一、分式的概念：形如BA（A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子，叫做分式。

概念分析：①必须形如“BA”的式子；②A 可以为单项式或多项式，没有其他的限制；③B 可以为单项式或多项式，但必须含有字母。

．．．例：下列各式中，是分式的是 ①1+x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦πx练习：1、下列有理式中是分式的有（）A 、m 1 B 、162y x - C 、xy x 7151+- D 、572、下列各式中，是分式的是 ①x 1 ②)(21y x + ③3x ④x m -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦πy +5 1、下列各式：()xx x x y x x x 2225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（）个。

A 、2B 、3C 、4D 、5二、有理式：整式和分式统称有理式。

①分式有意义：分母不为0（0B ≠）②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<0B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） ⑧分式的值为整数：（分母为分子的约数）例:当x 时，分式22+-x x 有意义；当x 时，22-x 有意义。

练习：1、当x 时，分式6532+--x x x 无意义。

分式方程20道例题

分式方程20道例题一、基础题型例1：解方程(2)/(x + 1)=(1)/(x - 1)解析：1. 首先去分母，给方程两边同时乘以(x + 1)(x-1)（最简公分母），得到： - 2(x - 1)=x + 1。

2. 然后展开括号：- 2x-2=x + 1。

3. 接着移项：- 2x-x=1 + 2。

- 解得x = 3。

4. 最后检验：- 当x = 3时，(x + 1)(x - 1)=(3+1)×(3 - 1)=4×2 = 8≠0。

- 所以x = 3是原分式方程的解。

例2：解方程(x)/(x - 2)-1=(4)/(x^2)-4解析：1. 先将方程右边的分母因式分解，x^2-4=(x + 2)(x - 2)。

2. 去分母，方程两边同时乘以(x + 2)(x - 2)，得到：- x(x + 2)-(x + 2)(x - 2)=4。

3. 展开括号：- x^2+2x-(x^2-4)=4。

- x^2+2x - x^2+4 = 4。

4. 化简得：- 2x=0，解得x = 0。

5. 检验：- 当x = 0时，(x + 2)(x - 2)=(0 + 2)×(0 - 2)=-4≠0。

- 所以x = 0是原分式方程的解。

例3：解方程(3)/(x)+(6)/(x - 1)=(x + 5)/(x(x - 1))解析：1. 去分母，方程两边同时乘以x(x - 1)，得到：- 3(x - 1)+6x=x + 5。

2. 展开括号：- 3x-3+6x=x + 5。

3. 移项合并同类项：- 3x+6x - x=5 + 3。

- 8x=8，解得x = 1。

4. 检验：- 当x = 1时，x(x - 1)=1×(1 - 1)=0。

- 所以x = 1是增根，原分式方程无解。

二、有增根问题的分式方程例4：若关于x的分式方程(2)/(x - 2)+(mx)/(x^2)-4=(3)/(x + 2)会产生增根，求m的值。

分式【十二大题型】—2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列(沪科版)(解析版)

分式【十二大题型】【题型1 分式的判断】 (1)【题型2 分式有意义的条件】 (4)【题型3 分式值为零的条件】 (6)【题型4 分式的求值】 (7)【题型5 分式的规律性问题】 (9)【题型6 由分式的值为正（负）求字母的取值范围】 (11)【题型7 求使分式的值为整数时字母的的整数值】 (13)【题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 (15)【题型9 最简公分母】 (17)【题型10 最简分式】 (18)【题型11 约分、通分】 (20)【题型12 运用分式的基本性质求值】 (22)【知识点1 分式的定义】一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式。

注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。

【题型1 分式的判断】【例1】（2023上·内蒙古赤峰·八年级统考期末）下列各式中，分式有（）个x 3，1n，1a+5，a+b15，zx2y，2ab(a+b)2A．4B．3C．2D．1【答案】A【分析】分母是整式且整式中含有字母，根据这点判断即可．【详解】∵x3中的分母是3，不含字母，∴x3不是分式；∵1n中的分母是n，是整式，且是字母，∴1n是分式；∵1a+5中的分母是a+5，是多项式，含字母a，∴1a+5是分式；∵a+b15中的分母是15，不含字母，∴a+b15不是分式；∵zx2y中的分母是x2y，是整式，含字母x，y，∴zx2y是分式；∵2ab(a+b)2中的分母是(a+b)2，是整式，含字母a，b，∴2ab(a+b)2是分式；共有4个，故选A．【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式构成的两个基本能条件是解题的关键．【变式1-1】（2023下·全国·八年级统考期末）下列各式中，是分式的是()A．3x2＋2x－13B．x2+x−2π2−1C．2x−3x−1D．2x−1313−π【答案】C【详解】试题解析：2x−3x−1这个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选C．【变式1-2】（2023下·八年级课时练习）把下列各式填入相应的括号内:－2a，1a−b ，x+y3，2sπ，1x，3|x|，x−2y9整式集合：{…}；分式集合：{…}【答案】整式集合：{ －2a，x+y3，2sπ，x−2y9，…}；分式集合：{ 1a−b，1x，3|x|，…}【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】－2a，x+y3，2sπ，x−2y9的分母没有字母是整式，1a−b，1x，3|x|式子的分母含有字母是分式．故答案为：整式集合：{ －2a ，x+y 3，2s π，x−2y 9，…}；分式集合：{ 1a−b ，1x ，3|x|，…}【点睛】本题考查了整式和分式的定义，熟练掌握相关概念是解题关键，注意：π不是字母，是常数．【变式1-3】（2023下·江苏扬州·八年级校联考期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：83=6+23=2+23=223．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．x−1x+1,x 2x−1，这样的分式就是假分式；再如：3x+1,2xx 2+1这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：x−1x+1=(x+1)−2x+1=1−2x+1；解决下列问题：(1)分式 13x 2是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式4a+12a−1化为整式与真分式的和的形式：4a+12a−1=____________；(3)若假分式4a+12a−1的值为正整数，则整数a 的值为________________； (4)将假分式x 2−2x−1x−1化为带分式（写出完整过程）．【答案】(1)真分式 (2)2+32a−1(3)1，2，−1 (4)x −1−2x−1【分析】（1）根据定义即可求出答案；（2）根据定义进行化简即可得到答案；（3）根据题意列出方程即可求出a 的值；（4）先化为x 2−2x−1x−1=(x−1)2−2x−1，在计算即可．【详解】（1）解：由题意得：分式 13x 2是真分式，故答案为：真分式；（2）解：根据题意可得：4a+12a−1=4a−2+32a−1=2(2a−1)+32a−1=2+32a−1，故答案为：2+32a−1；（3）解：由（2）可得：4a+12a−1=2+32a−1，当2+32a−1为正整数时，2a−1=1或±3，∴a=1，2，−1，故答案为：1，2，−1；（4）解：根据题意可得：x2−2x−1x−1=(x−1)2−2x−1=x−1−2x−1．【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型．【题型2 分式有意义的条件】【例2】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）无论a取何值，下列分式中，总有意义的是（）A．1a3−1B．a−2aC．a2−1a−1D．a2a2+1【答案】D【分析】根据分式有意义的条件逐项判断即可．【详解】解：A．当a=1B．当a=0时，分式a−2a没有意义．故本选项不合题意；C．当a=1时，分式a2−1a−1没有意义．故本选项不合题意；D．因为a2≥0，所以2a2+1≠0，所以分式a2a2+1总有意义，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．【变式2-1】（2023下·浙江温州·八年级统考期末）当x=3时，分式x−bx+2b没有意义，则b的值为（）A．−3B．−32C．32D．3【答案】B【分析】先将x=3代入分式x−bx+2b，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案．【详解】解：当x=3，x−bx+2b =3−b3+2b，∵分式3−b3+2b没有意义，∴3+2b=0，∴b=−32，故选：B．【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键．【变式2-2】（2023·内蒙古呼和浩特·八年级校考期中）要使分式x−11+11+x有意义，则x的取值范围为．【答案】x≠−1且x≠−2【分析】根据分式的分母不能为0，可得答案．【详解】解：1+x≠0，1+11+x≠0，x≠﹣1，x≠﹣2故答案为：x≠﹣1且x≠﹣2．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．【变式2-3】（2023上·河北邢台·八年级统考期末）若x=−1使某个分式无意义，则这个分式可以是（）A．x−12x+1B．2x+1x+1C．2x−1x−1D．x+12x+1【答案】B【分析】根据分式无意义分母为零即可判断．【详解】A、当x＝−1时，分母2x＋1＝−1≠0，所以分式x−12x+1有意义；故本选项不符合题意；B、当x＝−1时，分母x＋1＝0，所以分式2x+1x+1无意义；故本选项符合题意；C、当x＝−1时，分母x-1=-2≠0，所以分式2x−1x−1有意义；故本选项不符合题意；D、当x＝−1时，分母2x+1＝-1≠0，所以分式x+12x+1有意义；故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了分式有(无)意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．【题型3 分式值为零的条件】【例3】（2023上·河南周口·八年级校联考期末）若分式x−1x(x−2)的值为0，则x的取值是（）A．x=1B．x=0C．x=2D．x=−1【答案】A【分析】根据题意可得x−1=0且x(x−2)≠0，即可确定出x的值．【详解】解：由题意得：x−1x(x−2)=0，则x−1=0且x(x−2)≠0，解得：x=1，故选：A．【点睛】本题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式3-1】（2023下·江苏泰州·八年级统考期中）若分式x−12x+2的值为零，则x的值等于（）A．﹣1B．0C．2D．1【答案】D【分析】根据分式值为零的条件列出x−1=0，且值需保证2x+2≠0，即可得到答案．【详解】解：要使分式x−12x+2的值为零，必须x−1=0，2x+2≠0，解得，x=1，故选：D．【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．【变式3-2】（2023上·湖北荆门·八年级校联考期末）若分式b2−1b2−2b+1的值为0，则b的值（）A．2B．1C．−1D．±1【答案】C【分析】根据题意，可得：{b2−1=0 ①b2−2b+1≠0 ②，据此求出b的值即可．【详解】解：∵分式b2−1b2−2b+1的值为0，∴{b2−1=0 ①b2−2b+1≠0 ②，由①，可得：b=−1或b=1，由②，可得：b≠1，∴b=−1．故选：C．【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．【变式3-3】（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）若分式|x−2|−1x2−6x+9的值为0，则x的值为．【答案】1【分析】根据分式的值为零的条件列出方程和不等式求解，即可以求出x的值．【详解】解：∵分式|x−2|−1x2−6x+9的值为0，∴|x﹣2|﹣1＝0且x2﹣6x+9≠0，解得：x﹣2＝﹣1或1且x≠3，则x﹣2＝﹣1．则x＝1故答案为：1．【点睛】本题考查分式值为0的条件下，解答本题特别注意分式分母不为0这一条件．【题型4 分式的求值】【例4】（2023下·贵州毕节·八年级期末）已知m2−3m−2=0，则2m2−3m+4m2值为（）A．10B．11C．15D．16【答案】C【分析】根据已知变形得到m2−3m=2，进而可得m−2m =3，求出m2+4m2=13，再将所求代数式变形得到即可答案．【详解】解：∵m2−3m−2=0，且根据题意有：m≠0，∴m2−3m=2，即m−3=2m，即m−2m=3，∴(m−2m )2=32=9，即m2+4m2=13，则2m2−3m+4m2=m2−3m+m2+4m2=2+13=15．故选：C．【点睛】此题考查已知式子的值求分式的值，完全平方公式，由(m−2m )2=32=9，得到m2+4m2=13，是解题的关键．【变式4-1】（2023·全国·八年级假期作业）若xy =32，则x+yy的值为（）A．13B．−13C．12D．52【答案】D【分析】根据等式的性质求出x=32y，代入所求式子中，即可求出答案．【详解】∵xy =32，∴x=32y，∴x+yy =32y+yy=52yy=52，故选：D．【点睛】本题考查了等式的性质，分式的求值，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键．【变式4-2】（2023上·云南昆明·八年级统考期末）若a3+3a2+a=0，则2023a2a4−2030a2+1=．【答案】0或−1【分析】当a=0时，原式为0，当a≠0时，根据已知条件是得到a+1a=−3，再根据完全平方公式的变形得到a2+1a2=7，所求式子分子分母同时除以a2变形为2023a2+1a2−2030，由此代值计算即可．【详解】解：①若a=0，则2023a2a4−2030a2+1=0．②若a≠0，则每项都除以a得a2+3a+1=0，每项都除以a得a+1a=−3，∴a2+1a2=(a+1a)2−2=7，则2023a2a4−2030a2+1=2023a2+1a2−2030=20237−2030=−1∴2023a2a4−2030a2+1的值为0或−1，故答案为：0或−1．【点睛】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求解，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．【变式4-3】（2023·浙江杭州·八年级期末）设非零实数a 、b 、c 满足{a +2b +3c =02a +3b +4c =0 则ab+bc+caa 2+b 2+c 2的值为（）A ．−12B ．0C ．12D ．1【答案】A【分析】把已知方程组的两个方程相减，求出a+b+c 的值，再把所得的等式两边同平方，进行化简变形，即可求出所求式子的值．【详解】{a +2b +3c =0①2a +3b +4c =0②，②−①得：a+b+c=0，即：(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+ca+bc)=0， ∴ab+bc+ca=−12 (a 2+b 2+c 2)，∴ab+bc+ca a 2+b 2+c 2=−12．故选A ．【点睛】本题主要考查三元一次方程组以及分式的求值，熟练掌握加减消元法以及等式的基本性质，是解题的关键．【题型5 分式的规律性问题】【例5】（2023上·贵州铜仁·八年级统考期末）已知一列分式，x 2y ，−x 5y 3，x 10y 6，−x 17y 10,x 26y 15,−x 37y 21…，观察其规律，则第n 个分式是．【答案】(−1)n+1x n 2+1y 12n(n+1)【分析】分别找出符号，分母，分子的规律，从而得出第n 个分式的式子．【详解】观察发现符号规律为：正负间或出现，故第n 项的符号为：(−1)n+1 分母规律为：y 的次序依次增加2、3、4等等，故第n项为：y 1+2+3+⋯+n =y 12n(n+1)分子规律为：x 的次数为对应项的平方加1，故第n 项为：x n 2+1故答案为：(−1)n+1xn2+1y 12n(n+1)．【点睛】本题考查找寻规律，需要注意，除了寻找数字规律外，我们还要寻找符号规律．【变式5-1】（2023下·贵州铜仁·八年级统考期末）小苗探究了一道有关分式的规律题，1x+3，3x+5，4x+7，7x+9，11x+11，，29x+15，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式．【答案】18x+13【分析】利用给出的式子的每一项和项数的关系，找到规律，即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和得答案．【详解】解：由给出的式子的特点，即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和，由此可得第6个式子是7+11x+2×6+1=18x+13．故答案为18x+13．【点睛】本题考查了归纳推理，这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理成为归纳推理．【变式5-2】（2023下·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）已知y 1＝1x−1，y 2＝11−y 1，y 3＝11−y 2，y 4＝11−y 3，…，yn ＝11−yn−1，请计算y 2020＝（请用含x 的代数式表示）．【答案】1x−1【分析】通过计算发现运算结果1x−1，x−1x−2，2−x 循环出现，则y 2020＝y 1＝1x−1．【详解】解：∵y 1＝1x−1， ∴y 2＝11−y 1＝11−1x−1＝x−1x−2，y 3＝11−y 2＝11−x−1x−2＝2−x ，y 4＝11−y 3＝11−2+x ＝1x−1，……，∴运算结果1x−1，x−1x−2，2−x 循环出现， ∵2020÷3=673⋯⋯1， ∴y 2020＝y 1＝1x−1，故答案为：1x−1．【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．【变式5-3】（2023上·江苏徐州·八年级校联考期末）观察分析下列方程：①x +2x ＝3；②x +6x ＝5；③x +12x ＝7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n 个方程是．【答案】x +n(n+1)x＝n +（n +1）【分析】方程中的分式的分子变化规律为：n （n +1），方程的右边的变化规律为n +（n +1）．【详解】∵第1个方程为x +1×2x＝1+2，第2个方程为x+2×3x＝2+3，第3个方程为x+3×4x＝3+4，…∴第n个方程为x+n(n+1)x＝n+（n+1）．故答案是：x+n(n+1)x＝n+（n+1）．【点睛】本题考查了分式的定义.该题属于寻找规律的题目，对于此类题型，应观察哪部分没有发生变化，哪部分发生了变化，变化的规律是什么.【题型6 由分式的值为正（负）求字母的取值范围】【例6】（2023下·江苏·八年级期中）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：当x取何值时，分式1−x2x−1的值为正？解：依题意，得1−x2x−1>0则有(1){2x−1>01−x>0或(2){2x−1<01−x<0解不等式组(1)得：12<x<1；解不等式组(2)得：不等式组无解∴不等式的解集是：12<x<1∴当12<x<1时，分式的值为正问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式3x+2x−2的值为负？【答案】当−23<x<2时，分式3x+2x−2的值为负【分析】由题意分式3x+2x−2的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集．【详解】解：依题意，得3x+2x−2<0，则有{3x+2<0x−2>0(1)或{3x+2>0x−2<0(2)解不等式组(1)得：无解；解不等式组(2)得：−23<x<2，∴不等式的解集是：−23<x <2， ∴当−23<x <2时，分式3x+2x−2的值为负．【点睛】本题主要考查分式的值为正的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不等式组是解题的关键．【变式6-1】（2023上·山东日照·八年级统考期末）已知分式x+4x 2的值是正数，那么x 的取值范围是（）A ．x ＞0B ．x ＞-4C ．x ≠0D ．x ＞-4且x ≠0【答案】D【分析】若x+4x 2的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x ＋4＞0，且x≠0，因而能求出x 的取值范围．【详解】解：∵x+4x 2＞0，∴x ＋4＞0，x≠0， ∴x ＞−4且x≠0．故选：D ．【点睛】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式ab（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式ab（b≠0）＜0【变式6-2】（2023上·江苏南通·八年级校考期中）若分式|2x−1|3x−2的值为负数，则x 的取值范围是．【答案】x <23且x ≠12【分析】由题意首先根据绝对值的非负性，可知分式的分母为负、分子为正，然后根据一元一次不等式的解法，求出x 的取值范围即可．【详解】解：∵分式|2x−1|3x−2的值为负数，∴{2x −1≠03x −2<0，解得x <23且x ≠12，∴x 的取值范围是：x <23且x ≠12. 故答案为：x <23且x ≠12.【点睛】本题考查分式的值，熟练掌握分式的值的正负性的判断和绝对值的非负性的应用以及一元一次不等式的求解方法是解题的关键.【变式6-3】（2023上·四川凉山·八年级统考期末）若分式x+2x 2−2x+1的值为正数，则x 的取值范围是．【答案】x >−2且x ≠1 【分析】由分式x+2x 2−2x+1的值为正数，得到x 2−2x +1=(x −1)2>0，x +2>0，即可得到x 的取值范围．【详解】解：∵分式x+2x 2−2x+1的值为正数，∴x 2−2x +1=(x −1)2>0，x +2>0，解得x >−2且x ≠1，即x 的取值范围是x >−2且x ≠1．故答案为：x >−2且x ≠1【点睛】此题考查了分式的性质，熟练掌握两数相除，同号得正，异号得负是解题的关键．【题型7 求使分式的值为整数时字母的的整数值】【例7】（2023上·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期中）当整数x ＝时，分式2x+2x 2−1的值为正整数．【答案】2或3．【分析】先把分式2x+2x 2−1进行因式分解，然后约分，再根据分式的值是正整数，得出x -1的取值，从而得出x 的值．【详解】2x+2x 2−1＝2(x+1)(x+1)(x−1)=2x−1，要使2x−1的值是正整数，则分母x ﹣1必须是2的约数，即x ﹣1＝1或2，则x ＝2或3，故答案为：2或3【点睛】此题考查了分式的值，解题的关键是根据分式式2x+2x 2−1的值是正整数，讨论出分母x -1的得数．【变式7-1】（2023上·上海浦东新·八年级校考期中）当x 满足时，分式|3x|−x 4x的值为整数．【答案】x <0【分析】分当x >0和x <0时两种情况讨论，去绝对值符号即可求解．【详解】解：当x >0时，|3x|−x 4x=3x−x 4x=2x 4x =12，当x <0时，|3x|−x 4x=−3x−x 4x=−4x 4x=−1，是整数，故答案为：x <0．【点睛】本题考查了求分式的值，绝对值的性质，分类求解是解题的关键．【变式7-2】（2023下·湖南株洲·八年级株洲二中校考期末）使分式7x−1的值为整数的所有整数x 的和为（）A ．8B ．4C ．0D ．−2【答案】B【分析】由整除的性质可知，x −1是7的因数，即可分别得出符合题意的x 值，再求和即可．【详解】解：∵7x−1的值为整数，∴x −1为7的因数，∴x −1=±1，或x −1=±7．又∵x 为整数，∴x =2，或x =0，或x =8，或x =−6， ∴2+0+8−6=4，故选：B ．【点睛】本题考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单．【变式7-3】（2023上·安徽宣城·八年级校考期中）当x 为何整数时， (1)分式42x+1的值为正整数； (2)分式x+2x−1的值是整数．【答案】(1)0 (2)2或0或4或−2【分析】（1）若使该式的值为正整数，则(2x +1)能够被4整除，所以2x +1可以为1，2，4；即x =0，0.5，1.5；由x 为整数得，x =0即可；（2）分式x+2x−1进行变形，化为1+3x−1，若要使x+2x−1值为整数，则3x−1的值一定是整数，则x −1一定是3的约数，从而求得x 的值．【详解】（1）解：若使该式的值为正整数，则(2x +1)能够被4整除， ∴2x +1可以为1，2，4，∴x =0，0.5，1.5， ∵x 为整数， ∴x =0；（2）解：x+2x−1=x−1+3x−1=1+3x−1，∵x+2x−1的值为整数，且x 为整数；∴x −1为3的约数，∴x −1的值为1或−1或3或−3； ∴x 的值为2或0或4或−2．【点睛】此题考查了分式的值，分式的加减，解决此题的关键是要熟练掌握分式的加减法法则．【知识点2 分式的基本性质】分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。

分式重点知识及经典例题

分式重点知识及经典例题一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。

例1.下列各式a π，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（）个。

二、分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且分母不为零。

【B ≠0且A=0 即子零母不零】例2.下列分式，当x 取何值时有意义。

（1）2132x x ++；（2）2323x x +-。

例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（）。

A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x +例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。

当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。

例5.已知1x -1y=3，求5352x xy y x xy y +---的值。

三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

（0≠C ）四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。

例6.不改变分式的值，使分式115101139x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）。

例7.不改变分式2323523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（• ）。

C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=例8.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y-++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（）。

例9.约分：（1）22699x x x ++-；（2）2232m m m m-+-例10.通分：（1）26x ab ，29y a bc ；（2）2121a a a -++，261a -例11.已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x的值．例12.已知x+1x =3，求2421x x x ++的值．五、分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

初一下分式经典题型汇总-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN分式各知识点及例题【知识精读】分式定义：（、为整式，中含有字母）性质通分：约分：分式方程定义：分母含有未知数的方程。

概念分析：①必须形如“BA”的式子；②A 可以为单项式或多项式，没有其他的限制；③B 可以为单项式或多项式，但必须含有字母。

．．．例：下列各式中，是分式的是 ①1+x 1 ②)(21y x + ③3x ④xm -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦πx练习：1、下列有理式中是分式的有（）A 、m 1 B 、162y x - C 、xy x 7151+- D 、572、下列各式中，是分式的是①x 1 ②)(21y x + ③3x ④xm -2 ⑤3-x x ⑥1394y x + ⑦πy +5 1、下列各式：()xx x x y x x x 2225 ,1,2 ,34 ,151+---π其中分式共有（）个。

A 、2B 、3C 、4D 、5二、有理式：整式和分式统称有理式。

①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） ⑧分式的值为整数：（分母为分子的约数）例:当x 时，分式22+-x x 有意义；当x 时，22-x 有意义。

练习：1、当x 时，分式6532+--x x x 无意义。

2．使分式||1xx -无意义，x 的取值是（） A ．0 B ．1 C ．1- D ．1± 3、分式55+x x，当______x 时有意义。

4、当a 时，分式321+-a a 有意义．5、当x 时，分式22+-x x 有意义。

6、当x 时，22-x 有意义。

7、分式x--1111有意义的条件是。

8、当x 时，分式435x x +-的值为1； 9．（辨析题）下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x+ D ．2221x x +10.当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（） A.23x + B.212x - C.1xD. 211x +四、分式的值为零说明：①分式的分子的值等于零；②分母不等于零例1：若分式242+-x x 的值为0，那么x 。

例2 . 要使分式9632+--x x x 的值为0，只须（）.（A ）3±=x （B ）3=x （C ）3-=x （D ）以上答案都不对练习：1、当x 时，分式6)2)(2(2---+x x x x 的值为零。

2、要使分式242+-x x 的值是0，则x 的值是；3、若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为4、若分式2242x x x ---的值为零,则x 的值是5、若分式242+-x x 的值为0，那么x 。

6、若分式33x x --的值为零，则x = 7、如果分式2||55x x x-+的值为0，那么x 的值是（） A ．0 B. 5 C ．－5 D ．±58、分式12122++-a a a 有意义的条件是，分式的值等于零的条件是。

9、已知当2x =-时，分式ax bx -- 无意义，4x =时，此分式的值为0，则a b +的值等于（）A ．－6B ．－2C ．6D ．210、使分式x 312--的值为正的条件是 11、若分式9322-+a a 的值为正数，求a 的取值范围12、当x 时，分式x x--23的值为负数． 13、当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.14、若关于x 的方程ax=3x-5有负数解,则a 的取值范围是 ☆典型题：分式的值为整数：（分母为分子的约数）练习1、若分式23+x 的值为正整数，则x= 2、若分式15-x 的值为整数，则x= 3、若x 取整数，则使分式1236-+x x 的值为整数的x 值有( ) A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个（二）分式的基本性质及有关题型分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 例1： ①aca b=② y zx xy = 练习：1.填空：aby a xy= ； z y z y z y x +=++2)(3)(6;())0(10 53≠=a axy xy a ()1422=-+a a ()222y x y x +-=()yx -．23xx +=()23x x+；例2：若A 、B 表示不等于0的整式，则下列各式成立的是（ D ）.（A ）M B M A B A ⋅⋅=（M 为整式）（B ）MB MA B A ++=（M 为整式）（C ）22B A B A = （D ）)1()1(22++=x B x A B A 3、下列各式中，正确的是（） A ．a m a b m b +=+ B ．a b a b ++=0 C ．1111ab b ac c --=-- D ．221x y x y x y -=-+题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+ 1．（辨析题）不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）A ．10B ．9C ．45D ．904．不改变分式0.50.20.31x y ++的值，使分式的分子分母各项系数都化为整数，结果是1、不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，0.20.10.5x x -=-- 2、不改变分式52223x y x y -+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是题型二：分式的符号变化：【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数。

①13232-+---a a a a = ②32211x x x x ++--= ③1123+---a a a = 2．（探究题）下列等式：①()a b a b c c ---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a bc c-++=-; ④m n m nm m---=-中,成立的是（） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④3．（探究题）不改变分式2323523x xx x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ）A ．2332523x x x x +++-B ．2332523x x x x -++-C ．2332523x x x x +--+D ．2332523x x x x ---+题型三：分式的倍数变化：1、如果把分式yx x 232-中的x,y 都扩大3倍，那么分式的值2、.如果把分式63xx y-中的x,y 都扩大10倍,那么分式的值 3、把分式22x yx y+-中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（） A ．不变 B ．扩大2倍 C ．扩大4倍 D ．缩小2倍 4、把分式2aba +中的a 、b 都扩大2倍，则分式的值（ C ）. （A ）扩大2倍（B ）扩大4倍（C ）缩小2倍（D ）不变. 7、若把分式xyyx 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（） A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小3倍 D 、缩小6倍2、若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）A 、y x 23B 、223y xC 、y x 232D 、2323yx（三）分式的运算4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。

学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。

一、分式的约分：先将分子、分母分解因式，再找出分子分母的公因式，最后把公因式约去（注意：这里找公因式的方法和提公因式中找公因式的方法相同）最简分式：分子、分母中不含公因式。

分式运算的结果必须化为最简分式1、约分（1） 2912xxy(2) a b b a --22 (3) 96922+--x x x (4) ab a b a +-222 例2．计算：)3(3234422+•+-÷++-a a a a a a 例5．计算：2222223223y x yx y x y x y x y x --+-+--+． 2 、约分（1）22699x x x ++-= ；（2）882422+++x x x = ； 3、化简2293mmm --的结果是（） A 、3+m m B 、3+-m m C 、3-m m D 、mm-3 4．（辨析题）分式434y x a+，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5、分式a b 8，b a ba +-，22y x y x --，22y x y x +-中，最简分式有（）A 1个B 2个C 3个D 4个6、下列公式中是最简分式的是（）A ．21227b aB ．22()a b b a --C ．22x y x y ++D ．22x y x y--7、约分：（1）22699x x x ++-；（2）2232m m m m -+-．（3）2222bab a aba +++ 例：将下列各式约分，化为最简分式①=zxy yx 2264 ②=+++4422x x x ③ =+--+44622x x x x8、计算：22696x x x x -+--÷229310x x x ---·3210x x +-．9. 已知：52-==+ab b a ，，则a bb a +的值等于（） A. 52-B. 514-C. 519-D.524- 10、已知x+1x＝3，求2421x x x ++的值．九、最简公分母1．确定最简公分母的方法：①如果分母是多项式，要先将各个分母分解因式，分解因式后的括号看做一个整体；②最简公分母的系数：取各分母系数的最小公倍数；③最简公分母的字母（因式）：取各分母中所有字母（因式）的最高次幂. 2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.例：⑴分式231x和xy 125的最简公分母是 ⑵分式x x +21和xx -23的最简公分母是题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--；（2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x x x xx x ；（4）aa -+21,21．在解分式方程：412--x x ＋2＝xx 212+的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母是___________________.2、分式,21x xyy 51,212-的最简公分母为。

初一下分式经典题型汇总

(完整版)分式常见题型汇总

分式的混合运算专项训练—2023-2024学年七年级数学下册(沪科版)(解析版)

七年级数学下册《第五章分式》练习题-附答案(浙教版)

分式方程重点题型

分式精典题型

最新初一下分式经典题型汇总

七年级数学下册-分式方程及分式应用题

初一下分式经典题型汇总

分式方程20道例题

分式【十二大题型】—2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列(沪科版)(解析版)

最新沪科版七年级数学下册第9章分式知识题型归纳总结及配套试卷(精品)

分式重点知识及经典例题