复数的表示方法
1.2复数的几种表示形式
(3) | z | | z |;
P6
arg z - arg z , ( arg z π );
| z |2 z z .
z
|z| Im z
Re z
z2
z1 z2
z1
z1 - z2
|z| z
arg z arg z
|z| z
P8
证 | z1 z2 |2 (z1 z2 )( z1 z2 ) (z1 z2 )( z1 z2 )
复数 z 的乘幂，记为 zn , 即 zn z z z .
n个
利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。
法则 设 z r ei , 则 zn (r ei )n r n ein .
三、复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 棣莫弗(De Moivre)公式 由 zn (r ei )n r n ein 以及复数的三角表示式可得
欧拉
Leonhard Euler (1707～1783)
瑞士数学家、自然科学家
十八世纪数学界最杰出的人物之一。 数学史上最多产的数学家。 不但为数学界作出贡献， 而且把数学推至几乎整个物理领域。
附：人物介绍 —— 欧拉
欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。 以每年平均 800 页的速度写出创造性论文。 一生共写下了 886 本书籍和论文。
注: 复数 0 的模为 0，辐角无意义。
一、复数的几何表示
2. 复数的模与辐角
主辐角 对于给定的复数 z 0 , 设有 满足： Arg z 且 - π π ,
则称 为复数 z 的主辐角或辐角主值，记作 arg z .
由此就有如下关系： Arg z arg z 2kπ , k 0 , 1, 2 , .
复数的四种表示方法
复数的四种表示方法一、基本形式复数的基本形式是指表示两个或两个以上的人或物的概念。
在英语中，一般在名词后面加上-s或-es来表示复数形式。
例如：books（书）、tables（桌子）、dogs（狗）二、不规则变化除了一般情况下的加-s或-es，还有一些名词的复数形式是不规则变化的。
这些不规则的复数形式需要特殊记忆。
例如：child（单数）→ children（复数）、man（单数）→ men （复数）、woman（单数）→ women（复数）三、复数的计数复数形式是用来计数的，表示多于一个的数量。
在计数时，我们可以使用基数词和序数词来描述复数。
例如：two books（两本书）、the second table（第二张桌子）四、复数的表示范围复数不仅仅用来表示两个或两个以上的数量，也可以用来表示一类事物或概念的总体。
例如：apples are delicious.（苹果很好吃。
）五、复数的表示方式除了上述常见的表示复数的方式外，还有一些特殊的方式来表示复数，例如使用量词来表示数量。
例如：a few books（几本书）、many tables（许多桌子）六、复数的用途复数不仅仅用于名词，还可以用于动词和代词的形式中。
在动词中，复数形式表示第三人称复数的主语。
例如：They play soccer.（他们踢足球。
）在代词中，复数形式可以用来代替多个人或物。
例如：These are my friends.（这些是我的朋友。
）七、复数的相关规则在使用复数形式时，还需要注意一些相关的规则，例如在使用不可数名词时不能加-s或-es来表示复数。
例如：water（不可数名词，不能加-s表示复数）八、复数的常见错误在使用复数形式时，常见的错误包括不正确地使用不规则复数形式、忽略不可数名词不能加-s的规则等。
例如：a childs（错误的复数形式）→ children（正确的复数形式）九、复数的表达方式多样化复数的表达方式有多种多样，不仅仅局限于加-s或-es的形式。
复数知识点总结
复数知识点总结复数在数学中是一个很重要的概念，它帮助我们解决了很多实际问题。
在我们学习的过程中，复数的知识点也是必须掌握的。
下面，我将针对复数的一些重要知识点进行总结和讲解。
一、复数的概念和表示方法复数是由实数和虚数构成的数，形如a+bi，其中a和b都是实数，而i则表示单位虚数，即√-1。
在复平面上，a和b分别代表复数的实部和虚部，而复数本身则是一个有序数对。
例如(2,3)就是由实部为2，虚部为3所组成的复数。
二、共轭复数和复数的表示法共轭复数是指虚部符号相反而实部相同的两个复数，如a+bi和a-bi就是一组共轭复数。
其表示法为，把原来的复数中虚部的符号取反即可。
复数还可以表示为极坐标形式，即r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是复数的幅角。
其中，模是指一个复数在复平面上与原点之间的距离，幅角则是指该复数向复平面正半轴的夹角。
这种表示方法在解决复数乘法、除法等问题时非常有用。
三、复数的四则运算类似于实数，复数也可以进行加减乘除运算。
在这些运算中，复数的实部和虚部分别进行相应的运算。
（1）加减运算对于复数a+bi和c+di的加减运算，实部和虚部分别相加减即可得到结果。
例如：(3+4i)+(5-6i)=8-2i。
（2）乘法运算复数的乘法运算也可以通过分别计算实部和虚部来实现。
例如：(3+4i)(5+6i)=(3×5-4×6)+(3×6+4×5)i=(-9+38i)。
（3）除法运算对于复数a+bi和c+di的除法运算，我们需要找到它们的共轭复数，即a-bi和c-di，然后将它们相乘得到分母的实部，再将分子乘以分母的共轭复数得到分子，最后将分子的实部和虚部除以分母的实部即可得到结果。
例如：(3+4i)/(5+6i)=(-11+18i)/61。
四、极坐标形式下的复数乘除法复数的极坐标形式可以帮助我们更方便地进行乘除法运算。
对于复数r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2)的乘法运算，我们只需要将它们的模和幅角相乘即可得到结果的模和幅角。
复数的几种表示形式的转换及计算
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
⑤|12|=π
－－u1和i2反相。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
复数的定义与四则运算法则
复数的定义与四则运算法则复数是数学中的一种特殊数形式，由实部和虚部组成。
实部通常用实数表示，而虚部通常以虚数单位 i 表示。
复数的一般表示形式为 a + bi，其中 a 表示实部，b 表示虚部。
一、复数的定义复数的定义是通过引入虚数单位 i 而获得的。
虚数单位 i 的定义是i^2 = -1。
根据这个定义，我们可以得出两个重要的结论：i 的平方等于-1，而 -1 的平方根是 i。
二、虚数与实数虚数是指虚部不为零的复数。
当虚部 b 不为零时，复数 a + bi 称为虚数。
实部为零，即虚部 b 不为零时，复数 a + bi 称为纯虚数。
与实数不同的是，虚数和纯虚数在实轴上没有对应的点。
三、四则运算法则1. 加法法则：复数的加法满足交换律和结合律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的和为 (a + c) + (b + d)i。
2. 减法法则：复数的减法也满足交换律和结合律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的差为 (a - c) + (b - d)i。
3. 乘法法则：复数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的乘积为 (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 除法法则：复数的除法也满足交换律、结合律和分配律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di（其中 c + di 不等于 0），它们的商为 [(ac + bd)/(c^2 + d^2)] + [(bc - ad)/(c^2 + d^2)]i。
四、共轭复数对于复数 a + bi，其中 a 表示实部，b 表示虚部。
那么复数 a - bi 称为其共轭复数。
共轭复数的一个重要性质是，两个复数的乘积的虚部为零。
五、复数的绝对值复数 a + bi 的绝对值等于它的模长，记作 |a + bi|，定义为 |a + bi| = √(a^2 + b^2)。
复数的模长是一个非负实数。
1.2复数的几种表示
)
Arg
z1
-
Arg z2
.
(在集合意义下)
两个复数的商的 模等于它们的模的商；
幅角等于它们幅角的差。
13
§1.2 复数的几种表示
第 例 计算 i .
一
1- i
章 复
解
由
i
πi
e2 ,
1-i
-πi
2e 4
有
数 与 复 变
i 1- i
πi
e2
-πi
2e 4
1
( π π )i
e2 4
1
3π i
e4
2
§1.2 复数的几种表示
第 一、复数的几何表示
一 章
2. 复数的模与辐角 P5
将复数和向量对应之后，除了利用
复
数
实部与虚部来给定一个复数以外，
与
还可以借助向量的长度与方向来给
复
变
定一个复数。
函
数 定义 设 z 的是一个不为 0 的复数，
y
y
r
O
z x yi
x
x
(1) 向量 z 的长度 r 称为复数 z 的模，记为 | z |.
复 数
令 π 有 eiπ 1 0 . 克莱茵认为这是数学中最卓越的
与
公式之一，它把五个最重要的数 1, 0, i, π,e 联系起来。
复
变
ei( ) cos( ) i sin( ) ,
函
数
ei ei (cos i sin )(cos i sin )
(cos cos - sin sin ) i (sin cos cos sin ),
复 变
即 n(cos n i sin n ) r(cos i sin ) ,
复数的三角形式与指数形式
复数的三角形式与指数形式复数是由实数和虚数组成的数，可以用不同的形式来表达。
其中，三角形式和指数形式是复数常用的两种表示方法。
本文将针对复数的三角形式与指数形式进行论述，分别从定义、转换关系以及应用方面进行探讨。
一、复数的三角形式复数的三角形式又称极坐标形式，表示为a(cosθ + isinθ)，其中a为复数的模，θ为主角，i为虚数单位。
三角形式将复数表示为一个模长为a的向量，与实轴之间的夹角为θ。
以例子说明，假设有一个复数z = 3 + 4i，其中实部为3，虚部为4。
根据勾股定理，可以计算得出模长a = √(3² + 4²) = 5。
而主角θ可以通过反正切函数得到，即θ = arctan(4/3)。
因此，复数z可以表示为5(cos(arctan(4/3)) + isin(arctan(4/3)))。
复数的三角形式除了提供复数的模和主角信息外，还能够方便地进行复数的运算。
加法、减法、乘法和除法等运算可以在三角形式下进行，并通过对应的三角函数公式实现。
二、复数的指数形式复数的指数形式是指数函数的一种特殊形式，表示为re^(iθ)，其中r为复数的模，θ为主角，e为自然对数的底。
与三角形式类似，指数形式也将复数表示为一个模长为r的向量，与实轴之间的夹角为θ。
但不同之处在于指数形式中使用了指数函数，这使得复数的运算更加简化和方便。
以例子说明，继续使用上述复数z = 3 + 4i，其模长为r = 5，主角为θ = arctan(4/3)。
根据指数函数的定义，复数z可以表示为5e^(i·arctan(4/3))。
在指数形式下，复数的加法、减法、乘法和除法操作可以通过指数幂次运算来实现，利用指数函数的性质简化计算过程。
三、三角形式与指数形式的转换关系三角形式与指数形式之间存在一定的转换关系，让我们通过简单的推导来展示其中的关联性。
首先，假设有一个复数z = a(cosθ + isinθ)，根据欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ，我们可以将复数z表示为a·e^(iθ)。
英语复数的用法
英语复数的用法英语复数的用法在英语中，名词的复数形式表示多个或者数量不确定的事物。
复数形式的构成方式有规律可循，但也有一些特殊情况需要注意。
下面是一些常见的英语复数用法的详细讲解。
一般规则•大多数名词在末尾加s来表示复数，例如：cat-cats，book-books。
•对于以s、sh、ch、x或o结尾的名词，加es来表示复数，例如：box-boxes，bus-buses。
•对于以辅音字母+y结尾的名词，将y变为i，再加es，例如：baby-babies，city-cities。
特殊情况•以f或fe结尾的名词，将f或fe变为v，再加es，例如：wolf-wolves，wife-wives。
•一些名词的复数形式完全不规则，需要单独记忆，例如：child-children，man-men。
•有些名词表示不可分割的事物、物质或者抽象的概念，它们没有复数形式，例如：water，knowledge，advice。
•有些名词可以表示不可数或可数的事物，具体视情况而定，例如：paper（纸张或论文），glass（玻璃杯或玻璃材料）。
单复同形•一些名词的复数形式与单数形式完全相同，没有特殊变化规则，例如：deer，sheep，fish。
集体名词•集体名词指一组人或物体，它们以单数形式出现时，表示整体；以复数形式出现时，表示个体，例如：family（家庭），team（队伍）。
可数名词•可数名词指可以被计数的事物，它们可以用于单数和复数形式，并且可以加上数目词，例如：two cats，three books。
以上是关于英语复数用法的一些常见规则和特殊情况的详细讲解。
掌握规则之后，我们就能更准确地使用名词的复数形式，提升英语表达的准确性和流利度。
希望这些内容对你有所帮助！不可数名词是指不能被数的事物，它们一般无法用复数形式表示。
以下是一些常见的不可数名词：•Abstract nouns（抽象名词）：指表示抽象概念的名词，如love （爱）、happiness（幸福）。
电工技术：复数的表示形式及复数的四则运算
一、复数的四种表示形式
虚数单位 j =
1.代数形式： 在复平面上表示 •
1
j2 = -1
A a jb
+j b
复数的模 复数的辐角
A r
a r cos ψ
b r sin ψ
r a2 b2 b ψ arctan a
O
a +1
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
A 32 42 5
求它们的和、差、积、商。
B 82 62 10
4 A arctan 53o 3
6 B arctan 37 o 8B 10370A Nhomakorabea 5530
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516 B 10
A1 A1 1
A2 A2 2
A1 A1 1 2 A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
解：
A B 3 8 j 4 6 11 j10
A 3 j4
B 8 j6
A B 3 8 j 4 6 5 j 2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算 • 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1
A2 A2 2
3.复数的除法运算
A1 A2 A1 A2 1 2
• 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
这两种表示形式适用于复数的加减运算。 简化画法
复数的几何表示ppt课件
指数表示式为
z
3 i
e10 .
内容小结
1.复数的模、辐角、幅角主值; 2.复数的各种表示法.
各种表示法可相互转化,
思考题
1.是否任意复数都有辐角?
它的模为零而辐角不确定.
作业
习题一: 1(2)(4)、2、4(1)(6) 7,8(3)(4)(5)
例4 将通过两点z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直 线用复数形式的方程来表示.
2.用复平面上的向量表示复数
向量 OP与复数 z 一x 一iy对应，故用它表示复数.
y
P
z x iy
z
o
x
注意： 复数 z，点 z，向量 z 可视为同一个概念。
y
z 与 z 在复平面上关于实轴对称. y r
z x yi
O
x
x
z x yi
二、复数的模和幅角
复数z 的模：向量 OP的长度， 记作
由于z 位于第三象限，
arg z arctan ( 1 ) π 3
arctan
1 3
π .
y
3
x
1
arctan y
x
arctan y
x
arctan y x
arctan y x
例2 证明复平面上的三角不等式
(1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
证 两复数的加减运算满足向量的平行四边形法则，
6
6
5π i
z 4e 6 . 习惯上取主辐角
例5 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
z sin i cos ;
5
5
解 r z 1,
sin
复数的几种表示形式
复数的几种表示形式 Prepared on 22 November 2020复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。
坐标形式：z=a+bi。
这个就非常简单了，它是复数的定义。
自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。
（a,b）对应复数在复平面上的坐标。
三角形式：z=r(cosθ+isinθ)这个结合几何意义容易看出来：记复数z的模为r，幅角为θ，显然有a=rcosθ,b=rsinθ代入坐标形式里即有：Z1z2=r1r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2)))）=r1r2（cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如：在旋转的几何背景下，我们还容易发现：Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ))特别地，令r=1，可以得到着名的王陆杰公式：（cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ)这个公式很有用，我们下一次再谈。
指数形式：z=re iθ因此有e iθ=cosθ+isinθ从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式e i(nθ)=cosnθ+isinnθ=(e iθ)n=(cosθ+isinθ)n这里面还藏着一个号称数学最美的式子：特别地，令θ=π，则e iπ=-1。
我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。
非零复数的五种表示方法
非零复数的五种表示方法一、复数的直角坐标表示首先，复数基本单位是i=−1i=\sqrt{-1}i=−1，有了这个单位，复数空间中的每个数都可以表示为a+bia+bia+bi 的形式。
其中，a 被称为「实部（real part）」，b 被称为「虚部（imaginary part）」。
复数可以在复平面（complex plane）上表示，复平面横纵坐标分别为实部和虚部，下图就是复数2+3i2+3i2+3i 在复平面上的表示。
我们可以发现，这个复平面和实数空间的直角坐标系类似。
那可不可以用极坐标的方法表示复数呢？二、复数的极坐标表示事实上，复数是可以用极坐标表示的，那一个复数用极坐标表示时的长度和角度分别是多少呢？我们可以在复平面中计算出来。
例如，复数4+3i4+3i4+3i 的复平面直角坐标表示是(4,3)(4, 3)(4,3)，原点指向该点的向量长度r=32+42=5r=\sqrt{3^2+4^2}=5r=32+42=5，向量的角度θ=arctan(34)\theta = arctan(\frac{3}{4})θ=arctan(43)。
这里，复数极坐标表示的长度rrr 也被称为「强度（magnitude）」，角度θ\thetaθ 也被称为「相位（phase）」。
2.1 由复数极坐标得到直角坐标上面我们用复数的直角坐标计算出了极坐标，那么是不是也可以由极坐标推出直角坐标呢？我们还是从复平面中来看：从上图可以看出，当我们有复数极坐标(r,θ)(r, \theta)(r,θ) 时，我们可以得到其直角坐标(rcos(θ),rsin(θ))(r \cos(\theta), r \sin(\theta))(rcos(θ),rsin(θ))，即该复数为rcosθ+r∗isinθr\cos\theta + r*i\sin\thetarcosθ+r∗isinθ。
三、复数的复指数表示与欧拉公式欧拉有一天发现，神奇数字eee 的纯虚数次方竟然在复数平面上绕圈！用极坐标形式表示，就是eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\thetaeiθ=cosθ+isinθ。
复数的四种表示方法
复数的四种表示方法
复数可以有以下四种表示方法：
1. 代数形式：复数可以表示为一个实数和一个虚数的和，例如
a + bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
在代数形式中，实部和虚部都可以是任何实数。
2. 坐标形式：复数可以表示为在复平面上的坐标点(x, y)，其
中x是实部，y是虚部。
复平面上的x轴被称为实轴，y轴被
称为虚轴。
3. 极坐标形式：复数可以表示为模长和角度的形式，即r * (cosθ + isinθ)，其中r是模长，θ是角度。
在极坐标形式中，模长是复数到原点的距离，角度是复数与实轴的夹角。
4. 指数形式：复数可以表示为指数的形式，即re^(iθ)，其中r
是模长，θ是角度，e是自然对数的底数。
在指数形式中，复
数可以方便地进行运算，特别是在乘法和除法操作中。
复数的指数形式与三角形式
复数的指数形式与三角形式复数是数学中的一个概念，由实数与虚数构成。
实数可以表示实际存在的数值，而虚数则无法在实数范围内表示。
复数的指数形式和三角形式是表示复数的两种常见方式，它们在数学和物理学中都有广泛的应用。
一、复数的指数形式复数的指数形式可表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，且i^2=-1。
将复数调整到指数形式可用欧拉公式表示，即e^(ix)=cos(x)+isin(x)。
在这种形式下，复数与三角函数之间存在关联。
以复数z=a+bi为例，其中a和b为实数。
根据欧拉公式，将a+bi转换成指数形式，可得到z的指数形式为r(e^(iθ))，其中r为复数的模，θ为复数的辐角。
具体的转换步骤如下：步骤一：计算复数的模r，即r=|z|=√(a^2+b^2)。
步骤二：计算复数的辐角θ，其中θ=tan^(-1)(b/a)。
步骤三：将复数表示为r(e^(iθ))的形式。
复数的指数形式有诸多优势。
首先，复数的乘法运算在指数形式下更加简洁，只需将复数的模相乘，辐角相加即可。
其次，在求复数的n 次幂时，只需将模的n次方与辐角乘以n即可。
因此，指数形式在复杂的复数计算中具有较高的效率。
二、复数的三角形式复数的三角形式可表示为r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角。
通过将复数转换到三角形式，可以更直观地进行复数的运算。
以复数z=a+bi为例，其中a和b为实数。
根据三角函数的性质，可将复数转换成三角形式：步骤一：计算复数的模r，即r=|z|=√(a^2+b^2)。
步骤二：计算复数的辐角θ，其中θ=tan^(-1)(b/a)。
步骤三：将复数表示为r(cosθ+isinθ)的形式。
复数的三角形式常用于描述复数的几何性质。
模r代表复数到原点的距离，辐角θ表示复数与正实轴之间的夹角。
通过这种形式，可以清晰地看出复数的位置和方向。
三、复数的转换与运算复数的指数形式和三角形式是等价的，可以相互转换。
复数基础知识及其运算规律
复数基础知识及其运算规律一、复数的概念1.复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。
2.复数的分类：a)纯虚数：实部为0的复数，如i、-i等；b)实数：虚部为0的复数，如2、-3等；c)混合数：实部和虚部都不为0的复数，如1+2i、-3-4i等。
二、复数的表示方法1.代数表示法：用a+bi的形式表示复数；2.极坐标表示法：用r(cosθ+isinθ)的形式表示复数，其中r为模长，θ为辐角。
三、复数的运算规律1.加减法：a)(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i；b)(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
c)(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i；d)特殊情形：两个纯虚数相乘，结果为实数；e)单位根的乘法：i^k，其中k为整数。
f)(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c2+d2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i。
g)(a+bi)^2 = (a2-b2) + 2abi；h)(a+bi)3、(a+bi)4等，可以利用乘方公式进行展开。
2.共轭复数：a)若复数为a+bi，则它的共轭复数为a-bi；b)共轭复数具有以下性质：两数相加为实数，两数相乘为实数。
四、复数的性质1.模长：表示复数在复平面上的长度，公式为|a+bi| = √(a2+b2)；2.辐角：表示复数在复平面上与实轴的夹角，公式为θ = arctan(b/a)，其中a≠0；3.复数的平方等于1的解：i、-1、1+i、1-i等；4.复数的平方等于-1的解：i、-i等；5.复数的平方等于k（k为非零实数）的解：±√k、±i√k等。
五、复数在实际应用中的例子1.信号处理：在通信系统中，信号往往可以表示为复数形式，如调制解调器中的正弦波信号；2.物理学：在电磁学、量子力学等领域，复数用于描述物理量，如电流、电压、波函数等；3.工程学：在电子工程、控制理论等领域，复数用于分析电路、系统稳定性等。
复数的几何表示与运算
复数的几何表示与运算复数是数学中一个重要的概念，可以用于描述实数无法解决的问题。
在复数的运算中，其几何表示方法既直观又方便，能够帮助我们更好地理解和应用复数。
本文将介绍复数的几何表示及相关运算方法。
一、复数的几何表示复数可用平面上的点表示，这个点的横坐标代表复数的实部（实数部分），纵坐标代表复数的虚部（虚数部分）。
这样的表示方式，将复数看作是一个有序对，使得计算和解析变得简单。
例如，复数z=a+bi可以表示为平面上的一个点P(x,y)，其中x=a，y=b。
这个点就是复数在平面上的几何表示。
二、复数的运算1. 加法：两个复数的和等于其实部相加得到的实部加上虚部相加得到的虚部。
即z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i。
2. 减法：两个复数的差等于其实部相减得到的实部减去虚部相减得到的虚部。
即z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i。
3. 乘法：两个复数相乘时，实部分别相乘减去虚部分别相乘，并将两个结果相加得到新的实部；实部与虚部相乘得到的结果加上虚部与实部相乘得到的结果，并将两个结果相加得到新的虚部。
即z1*z2=(a1*a2-b1*b2)+(a1*b2+a2*b1)i。
4. 除法：两个复数相除时，首先将除数分子和分母同时乘以分母的共轭复数，然后进行乘法运算，最后将结果的实部除以共轭复数的模的平方得到新的实部，虚部除以共轭复数的模的平方得到新的虚部。
即(z1/z2)=((a1*a2+b1*b2)/(a2^2+b2^2))+((a2*b1-a1*b2)/(a2^2+b2^2))i。
三、复数的模和共轭1. 复数的模：复数z=a+bi的模等于实部的平方加上虚部的平方，再开平方。
即|z|=sqrt(a^2+b^2)。
2. 复数的共轭：复数z=a+bi的共轭等于实部不变，虚部取负。
即z的共轭为z*=a-bi。
复数的模和共轭可以帮助我们进行复数的运算、求解与分析。
四、复数的几何运算1. 平移：将复数z的坐标平移（a,b）个单位，即z'=(x+a,y+b)。
复数的几种表示形式
复数主要有三种表示形式：坐标式，三角式，指数式。
坐标形式：z=a+bi。
这个就非常简单了，它是复数的定义。
自从i这个数产生以后，我们就规定了a+bi是复数，并且b=0时就是我们以前的实数。
（a,b）对应复数在复平面上的坐标。
三角形式：z=r(cosθ+isinθ)这个结合几何意义容易看出来：记复数z的模为r，幅角为θ，显然有a=rcosθ,b=rsinθ代入坐标形式里即有：Z1z2=r1r2(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+i(sinθ1 cosθ2+ cosθ1 sinθ2)) = r1r2（cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)）通过三角形式我们不难发现，两个复数积的模等于两个复数的模的积，而且一个复数乘以另一个复数相当于将这个复数拉长另一个复数的模的倍数，在旋转一个角度（这个角是另一个复数的幅角），特别地，如果乘以的复数的模为1，则该复数只起到旋转的效果，例如：在旋转的几何背景下，我们还容易发现：Z n=r n(cos(nθ)+isin(nθ))特别地，令r=1，可以得到著名的王陆杰公式：（cosθ+isinθ）n=cos(nθ)+isin(nθ)这个公式很有用，我们下一次再谈。
指数形式：z=re iθ因此有e iθ= cosθ+isinθ从而有z=r(cosθ+isinθ)=re iθ借助指数形式我们更容易看出复数旋转的性质，以及刚才的王陆杰公式e i(nθ)= cosnθ+isinnθ= (e iθ)n=( cosθ+isinθ)n这里面还藏着一个号称数学最美的式子：特别地，令θ=π，则e iπ=-1。
我们不得不惊叹复数的形式看似简朴，但真正是藏龙卧虎，以往数学中的各种看似没有瓜葛的对象都被联系起来了，关于复数这些形式的进一步研究，我们以后再说。
电工基础第二节 复数的四则运算
b.
复数相等 a jb c 特别地，a+bi=0 a=b=0
a 0 纯虚数： b 0
b 0；
a c jd b d
.
新课教学
我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： ab ba ab ba (a b) c a (b c) (ab)c a(bc) a(b c) ab ac 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应 怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
Z1 Z1 / Z2 Z2
n Z1 Z1 n
/n
作业
1、完成P157 4题第⑶题 2、练习册本节内容 3、预习下一节
这就是复数加法的几何意义.
吻合!
类似地,复数减法: y
Z2(c,d)
OZ1-OZ2
Z1(a,b) O
x
Z 这就是复数减法的几何意义.
二.乘法：
(1)复数乘法的法则(代数式） 复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,但必须在所得的结果中把j2换成-1, 并且把实部合并.即:
2 (a+jb)(c+jd)=ac+jbc+jad+j bd
8 j12 j 6 j 9 25 17 6 j 25 25
2
小结
则为
设 Z1= a + jb =|Z1|/ ，Z2 = c + jd = |Z2|/ ，复数的运算规
1．加减法 2．乘法 3．除法 4．乘方
Z1 Z2 = (a c) + j(b d) Z1 · Z2 = |Z1| · |Z2|/ +
复习巩固
一、虚数单位及虚数
j 1