永州市必修第二册第二单元《复数》测试题(包含答案解析)

一、选择题

1．满足条件34z i i -=+的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ） A ．一条直线

B ．两条直线

C ．圆

D ．椭圆

2．复数z 满足5(3)2i z i ⋅+=－，则z 的虚部是（ ） A ．

12

B ．12

－

C ．12

i －

D ．

12

i 3．在复平面内，O 是原点，,,OA OC AB 对应的复数分别为－2＋i ，3＋2i, 1＋5i ，那么

BC 对应的复数为( )

A ．4＋7i

B ．1＋3i

C ．4－4i

D ．－1＋6i 4．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2i

B ．1-2i

C ．12i -+

D ．12i --

5．若复数z 满足(1)|1|z i i i -=-+，则z 的实部为（ ）

A ．

1

2

B 1

C ．1

D ．

1

2

6．设复数()()2cos sin z a a i θθ=+++（i 为虚数单位）.若对任意实数θ，2z ≤，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦

B ．[]1,1-

C ．⎡⎢⎣⎦

D ．11,55

⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

7．已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（ ）

A ．1i --

B ．1i +

C D - 8．下列命题中,正确的命题是（ ） A ．若1212,0z z C z z ∈->、，则12z z > B ．若z R ∈，则2||z z z ⋅=不成立 C ．1212,,0z z C z z ∈⋅=，则10z =或20z =

D ．22

1212,0z z C z z ∈+=、，则10z =且20z =

9．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

10．在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①两个复数不能比较大小；

②复数1z i =-对应的点在第四象限；

③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；

④若22

1223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

11．i 为虚数单位，复平面内表示复数2i

z i

-=+的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限

D ．第四象限

12．已知复数123,,z z z 满足：1233421, 41, 1z i z i z z i +-=-=-=-，那么

3132+z z z z --的最小值为（ ） A ．2172-

B ．25

C ．252-

D ．217

二、填空题

13．设为虚数单位，(12)|34|i z i -=+，则复数z 的虚部为________.

14．如果复数

212bi

i

-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为__ 15．已知复数z 满足||1z =，则|i ||i |z z ++-的最大值是__________.

16．在复变函数中，自变量z 可以写成(cos sin )i z r i r e θθθ=⨯+=⨯，其中||r z =，θ是z 的辐角．点(),x y 绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点()2,3A 绕原点逆时针旋转3

arcsin

5

得A '_______；复变函数ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，z =_______．

17．已知复数34z i =+所对应的向量为OZ ，把OZ 依逆时针旋转θ得到一个新向量为

1OZ ．若1OZ 对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是________．

18．已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则

2000

1a i i

+=+______. 19．在实数集R 中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：

()1112221

21212z a bi z a b i a a b b R z z =+=+∈，，，，，＞当且仅当“12a a ＞”或“12a a =”且“12b b ＞”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题: ①若12z z ＞,则12z z ＞； ②若1223z z z z ＞，＞，则13z z ＞；

③若12z z ＞,则对于任意12z C z z z z ∈++，＞； ④对于复数0z ＞,若12z z ＞,则12zz zz ＞. 其中所有真命题的序号为______________. 20．已知

，则 =____．

三、解答题

21．已知i 为虚数单位，关于x 的方程()()2

690x i x ai a R -+++=∈有实数根b .

（1）求实数a ，b 的值；

（2）若复数z 满足20z a bi z ---=，求z 为何值时，z 有最小值，并求出z 的最小值.

22．设虚数z 满足2510z z +=+. （1）求z 的值；

（2）若()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z .

23．已知复数z 满足||z =2z 的虚部为2.

（1）求复数z ；

（2）设复数z 、2z 、2z z -在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求()OA OB OC +⋅的值.

24．复数(

)()2

12

510,1225,z a a

i z

a a i =++-=-+-，其中a R ∈ .

（1）若2a =-，求1z 的模； （2）若12z z +是实数，求实数a 的值. 25．计算下列各题：

(1)55(1)(1)11i i i i +-+-+；(2)2019

2019

1111i i i i +-⎛⎫⎛⎫

- ⎪ ⎪-+⎝⎭

⎝⎭

；

；(4) 23201920202320192020i i i i i +++++.

26．已知复数z 满足|z|2z 的虚部为2，z 所对应的点在第一象限， (1)求z ;

(2)若z ,z 2,z-z 2在复平面上对应的点分别为A ,B ,C ,求cos ∠ABC ．

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一、选择题

1．C 解析：C 【解析】

因为34z i i -=+，所以5z i -=，22

(1)25,x y +-= 因此复数z 在复平面上对应点的

轨迹是圆，选C.

2．A