最优控制的计算方法

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最优控制-第七章-动态规划法

最优控制-第七章-动态规划法

当∆t很小时,有

t t
t
Lx, u, t d t Lx, u, t t
J x, t min
*
min
uU

uU

tf
t0
Lx, u, t d t Φ xt f
tf t t

t t
t
Lx, u, t d t
Lx, u, t d t Φ xt f
P1 11
7
P2 4 2
P3 4 4
12 A 4 8 Q1
4 3 2 2 Q3 B
5 Q2
第一段:P1、Q1的前站是始发站A。显见从
A到B的最优值为12,故得最优路线为AQ1P2Q3B。
综上可见,动态规划法的特点是: 1) 与穷举算法相比,可使计算量大大减少。如
上述最优路线问题,用动态规划法只须做10次
J x, t min Lx, u, t t J xt t , t t
* * uU


(8)
* J x , t J x, t * * J x x, t t J x, t t (12) x t x * T
A城出发到B城的行车时间最短。
P1 3 A 4 Q1 1
7
P2
2
P3 4
4
6 8 2 Q2
3 3 3
2 Q3 4
2
B
现将A到B分成四段,每一段都要作一最优决 策,使总过程时间为最短。所以这是一个多段最 优决策问题。 由图2可知,所有可能的行车路线共有8条。 如果将各条路线所需的时间都一一计算出来,并 作一比较,便可求得最优路线是AQ1P2Q3B,历时 12。这种一一计算的方法称为穷举算法。这种方 法计算量大,如本例就要做3×23=24次加法和7次 比较。如果决策一个n段过程,则共需(n-1)2n-1次 加法和(2n-1-1)次比较。可见随着段数的增多,计 算量将急剧增加。

最优控制理论

最优控制理论
智能优化方法
对于越来越多的复杂控制对象,一方面,人们所要求的控制性能不再单纯的局限于一两个指标;另一方面,上述各种优化方法,都是基于优化问题具有精确的数学模型基础之上的。但是许多实际工程问题是很难或不可能得到其精确的数学模型的。这就限制了上述经典优化方法的实际应用。随着模糊理论、神经网络等智能技术和计算机技术的发展。 近年来,智能式的优化方法得到了重视和发展。 (1)神经网络优化方法 人工神经网络的研究起源于1943年和Mc Culloch和Pitts的工作。在优化方面,1982年Hopfield首先引入Lyapuov能量函数用于判断网络的稳定性,提出了Hopfield单层离散模型;Hopfield和Tank又发展了Hopfield单层连续模型。1986年,Hopfield和Tank将电子电路与Hopfield模型直接对应,实现了硬件模拟;Kennedy和Chua基于非线性电路理论提出了模拟电路模型,并使用系统微分方程的Lyapuov函数研究了电子电路的稳定性。这些工作都有力地促进了对神经网络优化方法的研究。 根据神经网络理论,神经网络能量函数的极小点对应于系统的稳定平衡点,这样能量函数极小点的求解就转换为求解系统的稳定平衡点。随着时间的演化,网络的运动轨道在空间中总是朝着能量函数减小的方向运动,最终到达系统的平衡点——即能量函数的极小点。因此如果把神经网络动力系统的稳定吸引子考虑为适当的能量函数(或增广能量函数)的极小点,优化计算就从一初始点随着系统流到达某一极小点。如果将全局优化的概念用于控制系统,则控制系统的目标函数最终将达到希望的最小点。这就是神经优化计算的基本原理。 与一般的数学规划一样,神经网络方法也存在着重分析次数较多的弱点,如何与结构的近似重分析等结构优化技术结合,减少迭代次数是今后进一步研究的方向之一。 由于Hopfield模型能同时适用于离散问题和连续问题,因此可望有效地解决控制工程中普遍存在的混合离散变量非线性优化问题。 (2)遗传算法 遗传算法和遗传规划是一种新兴的搜索寻优技术。它仿效生物的进化和遗传,根据“优胜劣汰”原则,使所要求解决的问题从初始解逐步地逼近最优解。在许多情况下,遗传算法明显优于传统的优化方法。该算法允许所求解的问题是非线性的和不连续的,并能从整个可行解空间寻找全局最优解和次优解,避免只得到局部最优解。这样可以为我们提供更多有用的参考信息,以便更好地进行系统控制。同时其搜索最优解的过程是有指导性的,避免了一般优化算法的维数灾难问题。遗传算法的这些优点随着计算机技术的发展,在控制领域中将发挥越来越大的作用。 目前的研究表明,遗传算法是一种具有很大潜力的结构优化方法。它用于解决非线性结构优化、动力结构优化、形状优化、拓扑优化等复杂优化问题,具有较大的优势。 (3)模糊优化方法 最优化问题一直是模糊理论应用最为广泛的领域之一。 自从Bellman和Zadeh在 70年代初期对这一研究作出开创性工作以来,其主要研究集中在一般意义下的理论研究、模糊线性规划、多目标模糊规划、以及模糊规划理论在随机规划及许多实际问题中的应用。主要的研究方法是利用模糊集的a截集或确定模糊集的隶属函数将模糊规划问题转化为经典的规划问题来解决。 模糊优化方法与普通优化方法的要求相同,仍然是寻求一个控制方案(即一组设计变量),满足给定的约束条件,并使目标函数为最优值,区别仅在于其中包含有模糊因素。普通优化可以归结为求解一个普通数学规划问题,模糊规划则可归结为求解一个模糊数学规划(fuzzymathematicalprogramming)问题。包含控制变量、目标函数和约束条件,但其中控制变量、目标函数和约束条件可能都是模糊的,也可能某一方面是模糊的而其它方面是清晰的。例如模糊约束的优化设计问题中模糊因素是包含在约束条件(如几何约束、性能约束和人文约束等)中的。求解模糊数学规划问题的基本思想是把模糊优化转化为非模糊优化即普通优化问题。方法可分为两类:一类是给出模糊解(fuzzysolution);另一类是给出一个特定的清晰解(crispsolution)。必须指出,上述解法都是对于模糊线性规划(fuzzylinearprogramming)提出的。然而大多数实际工程问题是由非线形模糊规划(fuzzynonlinearprogramming)加以描述的。于是有人提出了水平截集法、限界搜索法和最大水平法等,并取得了一些可喜的成果。 在控制领域中,模糊控制与自学习算法、模糊控制与遗传算法相融合,通过改进学习算法、遗传算法,按给定优化性能指标,对被控对象进行逐步寻优学习,从而能够有效地确定模糊控制器的结构和参数

最优控制的计算方法

最优控制的计算方法
5
1、梯度法
3、用UK(t)、XK(t)和横截条件求得的终端值(tf),从tf 到t0反向积分协态方程,求出协态向量K(tf)。 4、计算哈密顿函数H对U的梯度向量 H K g ( )K U H K ( ) K 表示在 U K 、X K 、 处取值。当这些量非最优值 U 时, g K 0 。
U
(iii)边界条件(包括横截条件) 最优控制的计算方法一般是先求出满足上面三个条件中 某两个的解,然后用合适的迭代计算形式逐次改变这个解, 以达到满足剩下的另一个条件的解(即最优解)。
4
一、直接法
1、梯度法 这是一种直接方法,应用比较广泛。它的特点是:先猜 测任意一个控制函数U(t),它可能并不满足H 取极小的必要 条件,然后用迭代算法根据H 梯度减小的方向来改善U(t), 使它最后满足必要条件。 计算步骤如下: 1、先猜测[t0, tf]中的一个控制向量UK(t)=U0(t),K是迭代 步数,初始时K=0。U0 的决定要凭工程经验,猜得合理,计 算收敛得就快 2、在第K步,以估计值UK和给定的初始条件X(t0),从t0 到tf 顺向积分状态方程,求出状态向量XK(t)。
(2) 以 X (t 0 ) 为初值,从 t 0 到 t f 积分状态方程,得出状态 轨迹 X K (t )。 (3) 以 (t f )为终值,从 t f 到 t 0 反向积分协态方程,求得 协态轨迹 K (t ) 。 H (4) 计算梯度向量 g K ( ) u u k u
(5) 计算共轭系数
8
1、梯度法
0 1、选初始估计 u (t ) 0 。
2、将 u 0 (t ) 0 代入状态方程可得 dx dt 2 x 1 t c 积分上式可得 x 代入初始条件: x(0) 10 ,确定积分常数 1 c 10 10 0 可得 x(t ) x (t ) 10t 1

最优控制全部PPT课件

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J
(x(t f ),t f)
tf t0
F(x(t),u(t),t)dt
为最小。
这就是最优控制问题。
如果问题有解,记为u*(t), t∈ [t0,tf],则u*(t)叫做最优控制(极值控制),相应的轨 线X*(t)称为最优轨线(极值轨线),而性能指标J*=J(u*(·))则称为最优性能指标。
第11页/共184页
目标质心的位置矢量和速度矢量为: xM xM
F(t)为拦截器的推力
x xL xM v xL xM
则拦截器与目标的相对运动方程为:
x v v a(t) F (t)
m(t)
m F (t) c
其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度,是已知的。
初始条件为: x(t0 ) x0 v(t0 ) v0 m(t0 ) m0 终端条件为: x(t f ) 0 v(t f )任意 m(t f ) me
至于末态时刻,可以事先规定,也可以是未知的。 有时初态也没有完全给定,这时,初态集合可以类似地用初态约束来表示。
第9页/共184页
3:容许控制 在实际控制问题中,大多数控制量受客观条件的限制,只能在一定范围内取 值,这种限制通常可以用如下不等式约束来表示:
0 u(t) umax 或ui i 1,2p
给定一个线性系统,其平衡状态X(0)=0,设计的目的是保持系统处于平衡状态,即 这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器。
线性调节器的性能指标为:
J
tf t0
n
xi 2 (t)dt
i 1
加权后的性能指标为:
J
tf t0
n
qi xi 2 (t)dt
i1
对u(t)有约束的性能指标为: J t f 1 [ X T (t)QX (t) uT (t)Ru(t)]dt

最优控制第五章习题答案

最优控制第五章习题答案

1. ·2.已知二阶系统的状态方程122()(),()()x t x t x t u t ==性能泛函3222221212120111[(3)2(3)][2()4()2()()()]222J x x x t x t x t x t u t dt =+++++⎰求最优控制。

解:把状态方程和性能指标与标准状态方程和标准性能指标比较,可得0,101,02,11,,,,0,010,21,42A B P Q R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦考虑到()K t 是对称阵,设11121222,(),k k K t k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,002,12[0,1],0,01,0,,1,1,4,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦令上式等号左右端的对应元相等,得211121211122222212222221224k k k k k k k k k =-=-+-=-+-这是一组非线性微分方程。

由边界条件(3)K P =即11121222(3),(3)1,0(3),(3)0,2k k k k ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 最优控制为11112112122212222()()(),()2*[0,1]2()2(),()T u t R B K t X t k k x t k x t k x t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3. )4.能控的系统状态方程为122()(),()()x t x t x t u t ==这是一种双积分系统,其输出为1()x t ,其输入为()u t ,其传递函数为12()1()()x s G s u s s==其性能泛函为222112201[()2()()()()]2J x t bx t x t ax t u t dt ∞=+++⎰其中220a b ->求最优控制。

最优控制汉密尔顿函数

最优控制汉密尔顿函数

这就是说,对定常系统,沿最优轨线H恒为常值。
整理课件
46
例4:给定系统状态方程为
x 00
1 0 0x1u
设初始状态x(0)= 0,终端状态约束曲线
x1(1)+x2(1)-1=0求使性能泛函
J 1 1u2tdt 20
取极小时的最优控制u*(t)及最优轨线x*(t)。
解 这是个终端时间tf给定,但终端状态受约束 的拉格朗日问题。
那么,关系式 H 0 不成立,这种情况留待极 u
小值原理中讨论。
式(5-12)称为横截条件。常用于补充边界条件。
例如,若始端固定,终态自由时,由于δx(t0)=0, δx(tf)任意,则有
xt0x0
(5-13)
tf 0
(5-14)
若始端和终端都固定时,δx(t0)=0,δx(tf)=0则以
xt0x0
J´的变分为:
J tt0 f x T H x u T H u d t x T
tf t0
使J´取极小的必要条件是,对任意的δu和δx,
都有δJ´=0成立。
因此得
H 0
x H x H 0 u
tf 0 t0
(5-9) (5-10) (5-11) (5-12)
终端时刻由下式计算
H x tf,u tf,tf,tf Φ x t tf f,tf N T x t t ff,tf 0
(5-32) 式中H[x(tf), u(tf), λ(tf), tf]函数H最优轨线终端处 的值。上述总共个2n+r+q+1方程,可联解出 2n+r+q+1个变量。
最后,分析哈密尔顿函数沿最优轨线随时间 的变化规律。哈密顿函数H对时间的全导数为

最优控制问题的数值方法

最优控制问题的数值方法

最优控制问题的数值方法最优控制问题是应用数学中的一类重要问题,涉及到优化某些目标函数的控制策略。

这类问题在很多领域都有广泛的应用,如经济学、工程学、环境科学等。

为了求解最优控制问题,研究者们开发了多种数值方法,以提供高效准确的策略。

一、动态规划法动态规划法是求解最优控制问题中最常用的方法之一。

其基本思想是将问题划分为若干个阶段,在每个阶段选择最优的控制策略,以达到整体的最优目标。

动态规划法的核心是计算值函数或状态函数,通过递归的方式实现最优解的求解。

在动态规划法中,首先需要建立状态转移方程,描述状态之间的变化关系。

然后通过迭代求解,逐步更新值函数,直到收敛为止。

具体的计算方法可以根据不同的最优控制问题进行调整,以提高计算效率。

二、最优控制问题的间接方法除了动态规划法,最优控制问题还可以通过间接方法求解。

间接方法主要基于变分原理,通过构建哈密顿-雅可比-贝尔曼(HJB)方程来求解问题。

该方法将最优控制问题转化为一个偏微分方程,通过求解该方程得到最优解。

在应用最优控制问题的间接方法时,需要确定合适的控制参数,并在求解偏微分方程时进行迭代计算。

这种方法的优势在于能够处理一些非线性和约束等较为复杂的情况,但同时也带来了计算复杂度较高的问题。

三、最优控制问题的直接方法最优控制问题的直接方法是另一种常用的数值求解方法。

它直接构造控制策略的参数化形式,并通过参数调整来实现目标函数的最小化。

该方法需要事先构造一个合适的优化模型,并选择合适的优化算法进行求解。

在直接方法中,常用的优化算法有梯度下降法、共轭梯度法、牛顿法等。

通过迭代计算,优化参数逐步调整,直到达到最优解。

直接方法不需要建立状态函数或值函数,因此可以简化运算,但需要根据具体问题进行参数化建模和算法选择。

总结:在求解最优控制问题时,可以根据问题的特点选择适合的数值方法。

动态规划法适用于离散的最优控制问题,通过递归计算值函数实现最优策略的求解。

间接方法利用变分原理将问题转化为偏微分方程,并通过迭代计算获得最优解。

最优控制理论及应用讲解

最优控制理论及应用讲解
多级决策过程所谓多级决策过程是指将一个过程按时间或空间顺序分为若干级步然后给每一级步作出决策在控制过程中令每走一步所要决定的控制步骤称之为决策以使整个过程取得最优的效果即多次的决策最终要构成一个总的最优控制策略最优控制方案
第4章 动态规划
求解动态最优化问题的两种基本方法:极小值原理和动态规划。
动态规划:是一种分级最优化方法,其连续形式与极小值原理相 辅相成,深化了最优控制的研究。
Optimal Control Theory & its Application
主要内容
1
多级决策过程和最优性原理
2
离散控制系统的动态规划
3
连续控制系统的动态规划
4 动态规划与变分法、极小值原理的关系
5
本章小结
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Date: 09.05.2019 File: OC_CH4.7
Optimal Control Theory & its Application
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
特点:1)将一个多阶段决策问题化为多个单阶段决策问题,易于分析 2)每阶段评估只与前一阶段结果有关,计算量减小
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Optimal Control Theory & its Application

电力系统的稳态计算与最优控制分析

电力系统的稳态计算与最优控制分析

电力系统的稳态计算与最优控制分析电力系统是现代社会最基础且至关重要的能源供应系统之一。

为了确保电力系统的安全稳定运行,稳态计算和最优控制分析是必不可少的工具。

本文将探讨电力系统稳态计算和最优控制分析的原理、方法和应用。

一、稳态计算稳态计算是电力系统运行管理中的重要环节,其目的是分析和评估电力系统在特定工作条件下的电压、功率、频率等稳定性指标。

稳态计算通常包括潮流计算、短路计算和电压稳定限制计算。

1. 潮流计算潮流计算是电力系统中最基本也是最常用的稳态计算方法。

其通过求解节点电压相量和相角,得到各节点的电流、功率等参数。

潮流计算的结果可以用于评估系统电压、功率损耗和设备负荷等情况,有助于系统运行和调度决策的制定。

2. 短路计算短路计算是评估电力系统短路电流大小和分布的方法。

短路计算结果可以用于确定保护装置的额定电流和选择断路器的额定容量,以确保电力系统在短路故障发生时的安全性和可靠性。

3. 电压稳定限制计算电压稳定限制计算是为了保证电力系统各节点电压在安全范围内运行的计算方法。

电压稳定限制计算通常包括潮流计算和静态电压稳定极限计算。

通过确定电力系统的电压稳定极限,可以预防电压过高或过低导致的设备损坏或系统故障。

二、最优控制分析最优控制分析在电力系统中广泛应用于优化发电机组操作、电网调度和电力市场分析等方面。

最优控制的目标是通过合理调控各个发电机组、输电线路和负荷,最大化电力系统的经济效益和安全性。

1. 发电机组优化发电机组优化是最优控制分析中的重要内容。

通过考虑电力系统的负荷需求和发电成本等因素,确定各个发电机组的出力和运行方式,以实现经济性和可靠性的平衡。

发电机组优化可以降低系统的燃料消耗成本,减少排放量,提高供电的可靠性和质量。

2. 电网调度电网调度是实现电力系统平衡和稳定运行的关键环节。

通过最优控制分析,可以确定合理的输电线路潮流分配、负荷调节和电能交换方式,以满足用户需求和电力系统可靠性的要求。

最优控制第五章习题答案

最优控制第五章习题答案

1. 已知二阶系统的状态方程122()(),()()x t x t x t u t ==性能泛函3222221212120111[(3)2(3)][2()4()2()()()]222J x x x t x t x t x t u t dt =+++++⎰求最优控制。

解:把状态方程和性能指标与标准状态方程和标准性能指标比较,可得0,101,02,11,,,,0,010,21,42A B P Q R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦考虑到()K t 是对称阵,设11121222,(),k k K t k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦代入黎卡提方程1()()()()()()()()()()()T T K t K t A t A t K t K t B t R t B t K t Q t -=--+-即1112111211121112111212221222122212221222,,,,,0,10,002,12[0,1],0,01,0,,1,1,4,k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦令上式等号左右端的对应元相等,得211121211122222212222221224k k k k k k k k k =-=-+-=-+-这是一组非线性微分方程。

由边界条件(3)K P =即11121222(3),(3)1,0(3),(3)0,2k k k k ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 最优控制为11112112122212222()()(),()2*[0,1]2()2(),()T u t R B K t X t k k x t k x t k x t k k x t -=-⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2. 能控的系统状态方程为122()(),()()x t x t x t u t ==这是一种双积分系统,其输出为1()x t ,其输入为()u t ,其传递函数为12()1()()x s G s u s s==其性能泛函为222112201[()2()()()()]2J x t bx t x t ax t u t dt ∞=+++⎰其中220a b ->求最优控制。

线性系统

线性系统

线性系统理论论文论文题目:线性系统理论综述—连续系统线性二次最优控制学院:年级:专业:姓名:学号:指导教师:目录摘要 (3)前言 (3)第一章线性系统理论概述 (3)1.1线性系统理论的研究对象 (4)1.2 线性系统理论的主要任务 (4)1.3 线性系统的主要学派 (5)1.4 现代线性系统的主要特点 (5)1.5 线性系统的发展 (6)第二章连续系统线性二次最优控制 (6)2.1最优控制问题 (6)2.2最优控制的性能指标 (7)2.3 最优控制问题的求解方法 (8)2.4 线性二次型最优控制 (9)2.5 连续系统线性二次型最优控制实例 (10)2.6 小结 (13)总结 (13)参考文献 (13)摘要线性系统理论是现代控制理论中最基本、最重要也是最成熟的一个分支,是生产过程控制、信息处理、通信系统、网络系统等多方面的基础理论。

本文对线性系统的历史背景、研究现状和发展趋势作了简单的综述。

线性二次最优控制理论内容丰富、应用广泛,引起广泛地关注并取得了丰硕成果。

最优控制问题就是在一切可能的控制方案中寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律,使系统能最优地达到预期的目标。

本文基于连续系统线性二次最优控制,提出新的控制算法并结合实例进行了仿真验证。

关键字:线性系统;线性二次最优控制;控制系统;连续系统前言线性系统理主要阐述线性系统时域理论,给出了线性系统状态空间的概念、组成方法和基本性质,进而导出系统的状态空间描述。

以状态空间法为主要工具研究多变量线性系统的理论[1]。

随着计算机技术的发展,以线性系统为对象的计算方法和计算辅助设计问题也受到普遍的重视。

与经典线性控制理论相比,现代线性系统主要特点是:研究对象一般是多变量线性系统,而经典线性理论则以单输入单输出系统为对象;除输入和输出变量外,还描述系统内部状态的变量;在分析和综合方面以时域方法为主而经典理论主要采用频域方法;使用更多数据工具。

随着航海、航天、导航和控制技术不断深入研究,系统的最优化问题已成为一个重要的问题。

最优控制问题的直接方法比较

最优控制问题的直接方法比较

最优控制问题的直接方法比较最优控制是数学控制理论的核心内容之一,目的是寻找能使系统性能达到最佳的控制策略。

在最优控制理论中,有两种常用的解决方法,分别是直接方法和间接方法。

本文将对这两种方法进行比较分析。

一、直接方法直接方法也称为函数极值问题的法,它将最优控制问题转化为求解函数极值的问题。

这一方法的核心是构建一个综合性能函数,通过对这个函数进行优化求极值,得到最佳控制策略。

直接方法的基本步骤如下:1. 状态方程和控制方程建模:根据最优控制问题的具体要求,建立系统的状态方程和控制方程,并确定相应的边界条件和约束条件。

2. 构造综合性能函数:根据系统的特点和控制目标,构造一个综合性能函数,该函数将系统的状态量和控制量作为输入,用来评价系统的性能质量。

3. 优化求极值:对构造的综合性能函数进行优化,求解使函数取得最值的状态量和控制量,得到最佳控制策略。

直接方法的优点是能够直接求解系统的最优控制策略,得到的结果更加准确。

同时,直接方法能够处理一些非线性的系统和控制问题,具有较好的适用性。

二、间接方法间接方法也称为极大值原理的法,其基本思想是通过极大值原理和动态变分法将最优控制问题转化为一个两点边值问题来求解。

间接方法的主要步骤如下:1. 构造哈密尔顿函数:根据系统的状态方程、约束条件和目标函数,构造哈密尔顿函数。

2. 构造极大值原理方程:通过变分法,得到系统状态和控制的极大值原理方程,该方程与哈密尔顿函数相关。

3. 解两点边值问题:根据极大值原理方程,将最优控制问题转化为求解一个两点边值问题,通过数值方法或解析方法求解得到最优控制策略。

间接方法的优点是理论基础较为严密,适用于线性系统和受控制条件较为严格的问题。

同时,间接方法能够提供最优控制问题的解析解,便于数值计算和理论分析。

三、比较与结论直接方法和间接方法都是解决最优控制问题的有效手段,但在具体应用中存在一定的差异。

直接方法适用于非线性系统和控制问题,求解结果较为准确,但对于复杂问题计算复杂度较高。

现代控制工程最优控制课件

现代控制工程最优控制课件

03
优化目标
最小化损失函数,即达到最优控制效果。
线性调节器问题的解法
01
极点配置法
通过选择控制器的极点位置, 使得系统的传递函数在频率域
上具有理想的性能指标。
02
最优反馈增益
通过求解 Riccati 方程,得到 最优反馈增益,使得系统的性
能达到最优。
03
LQR 设计步骤
确定系统的状态空间模型、选 择适当的参考信号、设计控制
定义
非线性最优控制问题可以定 义为在给定初始状态和初始 时刻,寻找一个控制输入, 使得系统在结束时刻的状态
和性能指标达到最优。
特点
非线性最优控制问题具有复 杂性,其解决方案通常需要
借助数学工具和算法。
应用
非线性最优控制问题在许多 领域都有广泛的应用,如航 空航天、机器人、车辆控制 等。
利用梯度下降法求解非线性最优控制问题
移方程。
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
3. 定义性能指标函数
根据问题的要求,定义性能 指标函数。
4. 求解最优子问题
利用动态规划法,依次求解 每个子问题,得到每个时刻 的最优控制输入。
5. 得到最优解
通过逆向递推,得到初始时 刻的最优控制输入和最优状 态。
04
动态规划基础上的最优控 制
多阶段决策过程的动态规划
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
• 基本思想:动态规划法是一种通过将原问题分解为一 系列子问题,并逐个求解子问题,最终得到原问题最 优解的方法。
利用动态规划法求解非线性最优控制问题
01
步骤
02
1. 初始化:选择一个初始状 态和初始时刻。
03
2. 定义状态转移方程:根据 系统动态方程,定义状态转

黎卡提方程 最优控制

黎卡提方程 最优控制

黎卡提方程最优控制黎卡提方程(Riccati equation)是控制理论中的一种重要方程,被广泛应用于最优控制问题的求解。

本文将介绍黎卡提方程的基本原理、应用领域以及求解方法。

黎卡提方程最早由意大利数学家黎卡提(Jacopo Francesco Riccati)于1724年提出,用于描述一类特殊的二阶线性微分方程。

随后,黎卡提方程被应用于最优控制理论中,成为求解最优控制问题的强有力工具。

黎卡提方程的一般形式为:\[P'(t) + P(t)A + AP(t) - P(t)B R^{-1} B^T P(t) + Q = 0\]其中,\(P(t)\)是一个对称正定矩阵,\(A\)、\(B\)和\(Q\)分别是系统的状态矩阵、输入矩阵和成本函数的权重矩阵,\(R\)是输入的协方差矩阵。

黎卡提方程的求解就是要找到满足上述方程的\(P(t)\)矩阵。

黎卡提方程在最优控制中的应用非常广泛。

最优控制问题旨在找到一个控制策略,使得系统在给定约束条件下的性能指标达到最优。

这些问题在工程、经济学、物理学等领域中都有重要的应用。

黎卡提方程可以用于求解线性二次型最优控制问题,即系统动力学是线性的、成本函数是二次型的情况。

求解黎卡提方程的方法有很多种,其中一种经典的方法是使用代数-几何方法。

该方法将黎卡提方程转化为一组线性的代数方程和几何约束条件,通过求解这些方程和约束条件得到最优解。

另一种常用的方法是使用数值计算方法,如迭代法、差分法等。

这些方法通过数值逼近的方式求解黎卡提方程,能够处理更一般的情况,但计算量较大。

除了上述方法,黎卡提方程还可以与其他控制理论方法相结合,如LQR(线性二次型调节)控制、线性二次型估计等。

这些方法可以有效地处理非线性系统、部分可观测系统等特殊情况,提高最优控制的效果。

黎卡提方程是最优控制理论中的重要工具,广泛应用于工程、经济学、物理学等领域。

通过求解黎卡提方程,可以找到满足最优控制要求的控制策略,实现系统性能的最优化。

用变分法求解最优控制问题

用变分法求解最优控制问题

t
tt0 f F xx F xx o (x )2 ,(x )2 d t
上式中 o[(x)2,(x)2]是高阶项。
(泰勒级数展开)
根据定义,泛函的变分 J 是 J的线性
主部,即
J
tf t0
F xx F x x dt
对上式第二项作分部积分,按公式
可得
tf t0
5.1 变分法基础回顾
相关的定义:
1、泛函: 如果对某一类函数X(t)中的每一个函
数X (t),有一个实数值J与之相对应,则称J为依赖于
函数X (t) 的泛函,记为
JJX(t)
简单来说,泛函是以函数为自变量的函数。
2、泛函的连续性:若对任给的 0,存在 0
当 X(t)Xˆ(t) 时,就有
J(X)J(Xˆ)
为了判别是极大还是极小,要计算二阶变 分 2 J。但在实际问题中根据问题的性质容易
判别是极大还是极小,故一般不计算 2 J 。
5.2 无约束条件的泛函极值问题
5.2.1 泛函的自变量函数为标量函数的情况
为简单起见,先讨论自变量函数为标量函数 (一维)的情况。我们要寻求极值曲线 x(t)x*(t), 使下面的性能泛函取极值
于是有约束条件的泛函 J 的极值问题化为无约
束条件的增广泛函 J a 的极值问题。 再引入一个标量函数
H (X ,U ,,t) F (X ,U ,t) T f(X ,U ,t) (5-18)
它称为哈密顿(Hamilton)函数,在最优控制中 起着重要的作用
于是J a 可写成
J aX ( tf)tf, tt 0 f H (X ,U ,,t) T X dt
的线性主部。
6、泛函的极值:若存在 0 ,对满足的 X X* 一切X,J(X)J(X*)具有同一符号,则

最优控制问题的时滞系统方法

最优控制问题的时滞系统方法

最优控制问题的时滞系统方法时滞系统是一类具有延迟因素的动态系统,其在最优控制问题中的研究具有重要意义。

本文将介绍最优控制问题中时滞系统的基本概念、建模方法以及常用的求解方法。

一、时滞系统的基本概念时滞系统是指系统的输出值在时间上滞后于输入值的一类动态系统。

时滞的存在往往会对系统的性能和稳定性产生显著影响,因此在最优控制问题中需要对时滞进行合理的处理。

对于时滞系统,其状态方程可以表示为:x'(t) = f(t, x(t), x(t-τ), u(t))其中,x(t)为系统的状态变量,u(t)为系统的控制输入,τ表示时滞时间。

时滞系统的目标是设计出一种最优的控制策略,使得系统的性能指标达到最优。

二、时滞系统的建模方法在进行最优控制问题的研究时,需要首先对时滞系统进行合理的建模。

常用的建模方法有以下几种:1. 离散化方法:将连续时间上的时滞系统离散化为差分方程的形式。

这种方法适用于对系统进行数字化计算和仿真。

2. 插值方法:通过插值技术,将时滞项转化为历史状态变量和控制输入的函数。

这种方法可以减小时滞项对系统性能的影响。

3. 延迟微分方程方法:将时滞系统转化为一组延迟微分方程,通过求解微分方程来得到系统的性能指标。

这种方法可以准确地描述时滞系统的动态特性。

三、时滞系统的求解方法针对时滞系统的最优控制问题,常用的求解方法有以下几种:1. 动态规划方法:动态规划是一种基于状态和决策的最优化方法,可以用于求解时滞系统的最优控制问题。

通过建立状态-动作-奖励模型,可以得到最优的控制策略。

2. 最优化方法:将时滞系统的最优控制问题转化为一个最优化问题,通过求解最优化问题的数学模型,可以得到最优的控制策略。

常用的最优化方法包括线性规划、非线性规划、动态规划等。

3. 近似方法:由于时滞系统的求解往往存在较高的复杂度,可以通过近似方法来简化求解过程。

常用的近似方法包括最小二乘法、模型预测控制等,这些方法可以在保证系统性能的基础上有效减小计算量。

最优控制理论PPT课件

最优控制理论PPT课件

生产计划与调度
在企业生产管理中,利用 最优控制理论对生产计划 和调度进行优化,提高生 产效率和降低成本。
08
总结与展望
最优控制理论的重要性和应用前景
总结
最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分,它在解决复杂系统的优化和控制问题方面 具有显著的优势。该理论通过数学模型和算法,寻求在给定条件下实现系统性能最优化的 控制策略。
非线性最优控制理论
20世纪70年代,基于微分几何、非 线性分析和最优控制问题的研究。
智能优化算法与最优控制
20世纪80年代,考虑系统不确定性 ,引入概率论和随机过程理论。
03
最优控制问题的数学模型
状态方程与性能指标
状态方程
描述系统动态行为的数学方程,通常表示为状态变量对时间 的导数等于其函数。
性能指标
态。这种控制策略的关键在于如何根据当前状态信息快速、准确地计算出最优控制输入。
离散系统的最优输出反馈控制
总结词
离散系统的最优输出反馈控制是一种基 于系统输出的反馈控制策略,通过最优 控制算法计算出在当前输出下的最优控 制输入,使得系统状态在有限时间内达 到预期目标。
VS
详细描述
离散系统的最优输出反馈控制是一种有效 的最优控制策略,它根据系统的输出信息 ,通过最优控制算法计算出在当前输出下 的最优控制输入,使得系统状态在有限的 时间步内以最优的方式达到目标状态。这 种控制策略的关键在于如何根据输出信息 快速、准确地计算出最优控制输入。
控制问题分类
确定性和不确定性控制、线性与 非线性控制、连续和离散控制等 。
重要性及应用领域
重要性
在实际工程和科学问题中,许多问题 都需要通过最优控制理论来解决,如 航天器轨道控制、机器人运动控制、 电力系统优化等。

最优控制理论

最优控制理论

最优控制理论本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目提供专业内容并参与编辑最优控制理论(optimal control theory),是现代控制理论的一个主要分支,着重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。

最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。

它是现代控制理论的重要组成部分。

1简介这方面的开创性工作主要是由贝尔曼(R.E.Bellman)提出的动态规划和庞特里亚金等人提出的最大值原理。

这方面的先期工作应该追溯到维纳(N.Wiener)等人奠基的控制论(Cybernetics)。

1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文,第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念,为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。

2研究内容最优控制理论所研究的问题可以概括为:对一个受控的动力学系统或运动过程,从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案,使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时,其性能指标值为最优。

这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。

例如,确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少,选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多,制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中老化指数、抚养指数和劳动力指数等为最优等,都是一些典型的最优控制问题。

最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。

苏联学者Л.С.庞特里亚金1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝尔曼1956年提出的动态规划,对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。

线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。

3主要方法为了解决最优控制问题,必须建立描述受控运动过程的运动方程,给出控制变量的允许取值范围,指定运动过程的初始状态和目标状态,并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。

基于经验回放Q-Learning的最优控制算法

基于经验回放Q-Learning的最优控制算法

2017年5月计算机工程与设计 May 2017第 38 卷第 5 期 COMPUTER ENGINEERING AND DESIGN Vol. 38 No. 5基于经验回放Q-Learning的最优控制算法黄小燕(成都信息工程大学控制工程学院,成都四川610225)摘要:针对实时系统的在线最优控制策略学计算开销高的缺点,提出基于经验回放和Q-Learning的最优控制算法。

采用 经验回放(experience replay,ER)对样本进行重复利用,弥孙实时系统在线获取样本少的不足;通过Q-Leam ing算法并 采用梯度下降方法对值函数参数向量进行更新;定义基于经验回放和Q-Learning的ER-Q-Learning算法,分析其计算复杂 度。

仿真结果表明,相比Q-Learning算法、S arsa算法以及批量的B LSPI算法,ER-Q-Learning算法能在有限时间内平衡 更多时间步,具有最快的收敛速度。

关键词:控制策略;经验回放;Q学习;实时系统;样本中图法分类号:T P181 文献标识号:A文章编号:1000-7024 (2017) 05-1352-04doi:10. 16208/j.issnl000-7024. 2017. 05. 043Optimal control based on experience replay and Q-LearningHUANG Xiao-yan(Control Engineering School, Chengdu University of Information Technology, Chengdu 610225, China) Abstract:Aiming at the problem of high computation cost in on-line optimal control strategy for real time system, an optimal control algorithm based on experience replay and Q-Learning was proposed. The experience replaying technique was adopted to reuse the samples, to solve the problem that real time system can not get enough samples. Through Q-Learning algorithm and gradient descent method, the parameter vector of value function was updated. The algorithm based on ER and Q-Learning was named ER-Q-Learning, and its computation cost was analyzed Results of simulation show compared with Q-Learning, Sarsa and BLSPI, ER-Q-Learning can balance more time steps than the three methods with higher convergence rate.Key words:control strategy;experience replaying;Q-Learning;real-time system;samples〇引言目前经典的在线强化学习[M]算法主要包括:动态规 划M、T D算法(包括Q学习算法和S arsa算法)和蒙 特卡洛算法[9]等,为了提高在线强化学习的学习效率和控 制策略的最优性,需要对样本进行重复利用。

《最优控制》课程教学大纲

《最优控制》课程教学大纲

《最优控制》课程教学⼤纲《最优控制》课程教学⼤纲课程代码:060142002课程英⽂名称:Optimal Control课程总学时:32 讲课:32 实验:0 上机:0适⽤专业:⾃动化专业⼤纲编写(修订)时间:2017.11⼀、⼤纲使⽤说明(⼀)课程的地位及教学⽬标《最优控制》是现代控制理论的重要组成部分,它已⼴泛应⽤于军事和⼯业及经济领域中,例如空间技术、系统⼯程、⼈⼝理论、经济管理、决策及⼯业过程控制等等。

并在各个领域取得了显著的成果。

本课程是⾃动化专业的⼀门选修课,其基本任务和教学⽬标是要求⾃动化专业学⽣掌握最优控制理论及应⽤的基础知识及解最优控制问题的常⽤⽅法,了解最优控制的发展⽅向,为将来的专业发展打下⼀定的基础。

(⼆)知识、能⼒及技能⽅⾯的基本要求1.基本知识:初步掌握最优控制的基础理论,如最优控制问题的概念、最优控制的数学描述、解决最优控制问题⽅法及⼆次型性能指标最优控制问题。

2.基本理论和⽅法:初步掌握解决最优控制问题的⼀些基本⽅法,如古典变分原理,庞德⾥亚⾦极⼤(⼩)值原理和贝尔曼动态规划⽅法。

3.基本技能:利⽤最优控制理论和⽅法能够解决的实际最优控制问题。

(三)实施说明1.教学⽅法:从基本教育出发,站在培养⼈才的⾼度上,来看待本课程所应承担的责任。

在讲授具体内容时,要分清每⼀部分内容在本课程中所处的地位,这样才能在⼤纲实施过程中得⼼应⼿。

要提⾼学⽣的基本素质,要求学⽣化被动吸收为主动索取知识。

2.教学⼿段:本课程属于技术基础课,在教学中采⽤电⼦教案、CAI课件及多媒体教学系统等先进教学⼿段,以确保在有限的学时内,全⾯、⾼质量地完成课程教学任务。

为了提⾼教学效果,可采⽤多环节教学⽅式,如课程讲授、课堂提问及课前预习和课后阅读。

对于每次课堂讲授,原则上采⽤两个层次讲解,即⼀是提出研究的问题;⼆是介绍解决问题的各种⽅法及其存在的优缺点,培养学⽣创新思维意识。

通过课堂提问,在课堂上调动学⽣积极性,促进其思考,提⾼教与学互动性。

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通常把最优控制的计算方法分成两类:直接法和间接法。
直接法。
它的特点是,在每一步迭代中, 不一定要满足 U取(极t)小的必要条件,而
是逐步改善它,在迭代终了使它满足这个必要条件,而且,积分状态方程是
H 从 到 ,积分协态方程是从 到 ,这样就避免了去寻找缺少的协态初
值 的困难。常用的直接法有梯度法,二阶梯度法,共轭梯度法。
i 1, 2,m (7-15)
uˆ 首先,对于任何控制 ,定义约束算子
Cu
ai ui (t) Cuuˆi (t) uˆi (t)
bi
uˆi (t) ai ai uˆi (t) bi
uˆi (t) bi
(7-16)
显然 ui (t) , i 1 ,满2足约束,m即
u Cuuˆ
(7-17)
u u u 满足约束,其中

再由 用无约束的梯度法求解,在每一次1 迭代中得m出
T,uˆ然后用[uˆ1
代替uˆ,m再]进T
uˆ 行下一次迭代。

u Cuuˆ
惩罚函数法可处理如下形式的约束:
gi (X ,u,t) 0
hi ( X (t f ), t f ) 0
2
u 2 )dt
20
(7-6) (7-7)

哈密顿函数为
H 1 (x2 u 2 ) x2 u
2
协态方程为
H x 2x
x
因 x(自1)由,由横截条件得
0 (1) 0
(7-8) (7-9)
1、选初始估计
u 0。(t) 0
2、将 u 0 (代t)入状态0方程(7-6)可得
积分上式可得 代入初始条件:
本章主要内容
➢ 7.1 直接法 ➢ 7.2 间接法 ➢ 7.3 小结
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在前面讨论变分法、极小值原理和动态规划时,我们列举了一些例子。为 了易于说明问题,这些例子都是非常简单的,可以用手算来解决问题。但是在 实际工作中所遇到的最优控制问题,一般都是很复杂的,必须用计算机求解。
因此,最优控制的计算方法就变得十分重要了。这方面的内容十分丰富, 由于篇幅所限,我们只介绍几种典型的算法。
可以看到第一次迭代
就几
乎收敛到最优值, 与最优值
还有差异,而且一般说来愈接近
最优值收敛愈慢
0
x(t)
x
u1 (t)
10
最优值
u1 (t )
u 0 (t)
图7-1用梯度法寻找最优控制 1 t
x 0 (t)
x ' (t)和最优值
图7-2 最优状 (1)简单,编制程序容易; (2)计算稳定可靠。
t0 t f
t f t0
(t0 )
间接法。
它的特点是,在每一步迭代中都要满足
H 取极小的必要条件,而且
要同时积分状态方程和协态方程,两种方程的积分都从 到 或从 到 。常
用的间接法有边界迭代法和拟线性化法。
t0 t f
t f t0
7.1 直接法
(一)梯度法 。
这是一种直接方法,应用比较广泛。它的特点是:先猜测任意一个控制函 数 ,它可能并不满足 取极小的必要条件,然后用迭代算法根据 梯度减小
,从 到
顺向积分状态方程, X (t0 )
X K (t)
3.
用 U、K (t)和X横截K (条t)件求得的终端值
程,求出协态向量 。
t f t0
K (t)
,从 到 反向 积(t分f )协态方
4.
计算哈密顿函数 对 的H梯度向量U
gK
gK
(
H
U
)K
H
( U表) K示在 、 、U K处取X值K。当这K些量非最优值时,
的方向来改善 ,使它最后满足必要条件。 U (t)
H
H
U (t)
计算步骤如下:
1.
的决先定猜要测凭工程中[经t的0验,一,t f个猜]控得制合向理量,计算收敛得,就快是。迭U代K步(数t) , 初U始0 (时t) K。
K 0 U0
2.
在第 步K,以估计值
求出状态向量 。
t0 t f
和给定的初U始K条件
缺点是: (1)在接近最优解时,迭代收敛很慢,为改善 收敛性可用共轭梯度法和二阶变分法等; (2)不能区分局部极小和全局极小; (3)对控制变量受约束,终端状态受约束的情 况不能直接处理。对于这种有约束的情况 可用约束梯度法或惩罚函数法加以处理。
约束梯度法可处理如下的不等式约束:
ai ui (t) bi
dx dt x2
1 t c
x t 0, ,确定x(积0分) 常数10
c 1 10
代入(7-12)式即可得
x(t) x0 (t) 10 10t 1
(7-11) (7-12)
(7-13)
3.将 x代0 (入t )协态方程(7-9),且由边界条件
向积分可得
0 (1) 0
从t=1倒
0 (t) 1 [1 (110t)2 /121]
J (U K1 ) J (U K )
J (U K )
ε是指定小量,若满足则停止计算,否则,令 止计算的标准是
K K 1
gK
(7-4) ,转步骤2。另一停
(7-5)
例7-1 考虑下面的一阶非线性状态方程
x x 2 u x(0) 10
用梯度法寻找最优控制使下面的指标最小
J 1
1
(
x
由极小值原理可知,最优控制问题的解必须满足以下几个条件
(i)正则方程
X H
H
X
(ii)哈密顿函数 取极小的H必要条件
H 0 U
( U无约束)
(7-1)

min H (X *,*,U,t) H (X *,*,U *,t) ( U有约束) (7-2)
U
(iii)边界条件(包括横截条件)
最优控制的计算方法一般是先求出满足上面三个条件中某两个的解,然后 用合适的迭代计算形式逐次改变这个解,以达到满足剩下的另一个条件的解 (即最优解)。
2
4.由 H u
u
(H )0 0 (t)
u
0 (1) 0
5. u1(t) u 0 (t) (H。)0 1 [1 (1 10t)2 /121] 这里选步长因子 。如u此继续下去2,直至指标函数随迭代变化很小为止。
K 1
u
图 7-1 和 图 7-2 表 示 了 控 制 和
状态的初始值和第一次迭代值,

gK 0
5、
修正控制向量
U K 1 U K K g K
(7-3)
是K一个步长因子,它是待定的数。选择 使指标达到极小。这是一K维寻优
问题,有很多现成的优化方法可用。如分数法,0.618法,抛物线法,立方近似 法等。(7-3)表明迭代是沿着梯度 的负方向进行的。
gK
6、 计算是否满足下列指标
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