多元方差分析(最新)
多元方差分析
从一元方差分析到多元方差分析
单因素方差分析、多因素方差分析、多元回归分析 的共同点是只涉及一个因变量（或反应变量），是 通过一个指标上的观测值来反映其所产生的差异和 变化的。 多元方差分析则已不能以多元回归的形式来完成了， 多元方差分析中的“元”指的是多个因变量。
它的一般模型如下：y1+y2+…+yi＝x1+x2+…+xk。其 中，自变量x的定义同方差分析模型一样也是分组变量， k为分组变量数；而因变量y有多个，且都是定距变量。 它检验的是多个反应变量在不同组是否存在显著差异。 它的虚无假设是：总体按照各因素进行分组后，各分组 子总体在每一项反映指标的均值都无差异。
STATA：单因方差分析
单因方差分析。命令：oneway 例如：
oneway y x； 只输出方差计算和检验结果； oneway y x, tab (输出变量的描述性统计量)； oneway y x, tab scheffe （还输出任意两组差异的显著性 检验结果，除了scheffe还有bonferroni、sidak）
serrbar ymean se xx scale(2)
另外，两组差异检验可采用ttest命令，如：
STATA：双与多因素方差分析
双因素与多因素方差分析。命令：anova
anova y x1 x2
双因素方差分析，只输出方差分析表，可增加tab选项； 有交互项的方差分析；anova y x1 x2 x3 x1*x3多因素 方差分析； 包括协方差的多因素方差分析；
SPSS中的选项
Homogeneity tests 方差齐次性检验
多元方差分析范文
多元方差分析范文
多元方差分析的基本原理是通过比较组间和组内的变异来确定因变量之间的差异是否显著。
具体来说，多元方差分析可以将多个因变量组合成一个线性组合，称为联合因变量。
然后，通过计算组间和组内的协方差矩阵来比较组间和组内的变异。
如果组间的协方差矩阵与组内的协方差矩阵之间存在显著差异，则说明多个因变量之间存在显著差异。
在进行多元方差分析之前，需要满足以下几个假设：
1.自变量是分类变量；
2.具有独立观测的数据；
3.各组的协方差矩阵在不同组之间是相等的。
在进行多元方差分析之后，需要进行统计检验来确定组间和组内的变异是否显著。
常用的统计检验包括Wilks' lambda检验、Pillai's trace 检验、Hotelling-Lawley trace检验和Roy's largest root检验等。
这些检验统计量的值越大，说明因变量之间的差异越显著。
总之，多元方差分析是一种有力的统计方法，用于检验多个自变量对多个因变量之间是否存在显著差异。
它在实践中广泛应用于各种领域的研究，包括医学、社会科学和生物科学等。
通过比较组间和组内的变异，我们可以得出结论并进一步探究自变量对因变量的影响。
多元方差分析
2
T X (
2
W n
) 1 X nX W 1 X
为Hotelling T 统计量，其分布称为自由度为p 和n
2 2 的HotellingT 分布， T T ( p , n ) 。 记为
2 2
1.1.2 Hotelling T 分布的性质
性质1 设X j ( j 1, 2, , n ) 是来自 p 元总体 X N P (0, ) 的
g
B
W
n (X
l l 1
g
l
X )( X l X )
X l )( X lj X l )
g 1
n g n1
(X
l 1 j 1 g nl l 1 j 1
nl
lj
总和（修正） B+W= X lj lks分布的定义，我们可以构造Wilks统计量
考虑两个随机样本 总体 1 总体 2
X 11 , X 12 , , X 1 n1
X 21 , X 22 , , X 2 n2
我们要对两总体均值向量之差 1 2 作出推断，下面我们 检验
H 0 : 1 2 0 H 1 : 1 2 0
关于数据结构进行假定:
=
*
W B W
( p , n g , g 1)
Wilks统计量的优点是使用方便，对于下表所列的一些特 殊情况，可导出 * 的精确分布。
变量数 组数 多元正态数据的抽样分布 n g 1- * * F ( g 1, n g ) g 1 n g 1 1- * F (2( g 1), （ n g -1） 2 ) * g 1 n -p -1 1- * * F ( p , n p 1) p * n p 2 1- F (2 p , （ n p 2） 2 ) * p
第4章多元方差分析
例4.2 生字密度对阅读理解的影响。 自变量：生字密度(A),4个水平； 无关变量：智力(BL),8个区组；
因变量：阅读理解分数(Y)
A1 A2 4 6 4 2 4 5 3 3 31 A3 8 9 8 7 5 6 7 6 56 A4 9 8 8 7 12 13 12 11 80 24 29 24 19 26 31 27 22 202
变异来源 A(生字密度) B(班级) C(实验时间) 残差 单元内误差 合计 平方和 自由度 190.125 56.125 1.375 10.250 11.000 P-1=3 P-1=3 P-1=3 (p-1)(p-2)=6 p2(n-1)=16 均方 63.375 18.708 0.458 1.708 0.688 F值 92.11** 27.19** 0.67 2.48
2、随机区组设计(Randomized Block Design) 它是通过区组技术来控制无关变异的。首先无关变 量将被试分成若干个同质的区组，然后将每个区组的被 试随机分配给各个处理组。这种试验设计的方差分析可 以将无关变异从总变异中分离出去，减少了误差变异， 从而提高了处理效应的F检验的精度。
a3(15:1)、a4(20:1)
因变量－－阅读理解测验分数。
A1 6 4 3 5 7 5 2 A2 4 6 4 2 4 5 3 3 31 A3 8 9 8 7 5 6 7 6 56 A4 9 8 8 7 12 13 12 11 80
n=8 (每组8个被试)，p=4 (4组)， 3 原 始 数 据
35
(3) 平方和分解 SS总 Npq-1 ＝SS处理间+SS处理内 ＝（SSA+SSB+ SSAB）+ SS处理内 p-1 q-1 (p-1)(q-1) pq(n-1)
多元方差分析2篇
多元方差分析2篇第一篇：多元方差分析概述及应用实例1. 多元方差分析概述多元方差分析（MANOVA）是一种常用的统计分析方法，主要用于研究两个或两个以上自变量对多个因变量的影响。
多元方差分析不仅可以检验不同自变量的主效应，还可以考虑交互作用效应和调节效应。
该方法可以有效地比较各组之间的差异，较为全面地描述实验结果，具有较高的精度和可靠性，是社会科学、医学和心理学等领域中常用的方法之一。
2. 应用实例以医药行业作为研究对象，采用多元方差分析方法来探究两个自变量（药物种类、给药途径）对多个因变量（疗效、不良反应、治疗费用）的影响。
选取两种常见的药物种类进行比较，分别为A药和B药，给药途径分为口服和注射两种。
选取250名患者分为四组进行实验，每组患者分别接受A药口服、A药注射、B药口服、B药注射治疗，分别观测疗效、不良反应和治疗费用三个因变量。
数据处理采用SPSS软件，进行多元方差分析。
结果显示，不同药物种类在疗效和不良反应方面都存在显著差异，在治疗费用方面差异不显著。
不同给药途回路在三个因变量上均无显著差异。
两个自变量的交互作用未达到显著水平。
结果表明，在选择治疗方案时需要综合考虑药物种类和给药途径，进行个体化治疗。
3. 结论多元方差分析是一种非常有效的研究方法，可以全面地描述实验结果，提供实验数据的更多信息，对于研究者来说具有重要的参考价值。
在医药行业中，该方法可用于评估不同药物种类、给药途径和治疗方案的优劣，提供科学的依据，具有十分广泛的应用价值。
第二篇：多元方差分析模型建立及数据处理方法1. 多元方差分析模型建立多元方差分析模型的建立需要考虑用于分析的多个自变量、多个因变量之间的关系。
在建立模型时，首先要确定自变量和因变量的类型和数量，然后进行数据收集，并对原始数据进行清洗和预处理，如去除极值、填补缺失值、变量标准化等。
接下来，应选择合适的统计方法进行建模，并进行实验和数据处理，提取分析结果并进行解释。
多元统计实验四多元方差分析
多元统计实验四多元方差分析多元方差分析（MANOVA，Multivariate Analysis of Variance）是一种统计方法，用于比较两个或多个组之间在多个连续性因变量上的平均差异。
它是单因素方差分析（ANOVA，Analysis of Variance）在多个因变量上的扩展。
多元方差分析可以通过比较组间和组内的变异来评估组间差异的显著性。
与单因素方差分析相比，多元方差分析更加全面和准确，因为它考虑了多个因变量之间的关系。
多元方差分析有两种基本形式：一元多元方差分析和多元多元方差分析。
一元多元方差分析适用于只有一个自变量（组别）和多个连续性因变量的情况。
它的目的是确定组别（自变量）对于多个因变量是否有显著差异，并确定哪些因变量对组别之间的差异起到重要作用。
多元多元方差分析适用于有多个自变量和多个连续性因变量的情况。
它的目的是通过考虑多个自变量之间的交互作用，确定自变量对于多个因变量是否有显著差异，并确定哪些因变量和自变量之间的交互作用对差异起到重要作用。
在进行多元方差分析之前，需要验证几个假设：1.因变量在组内是正态分布的。
2.因变量在不同组别的方差相等。
3.因变量之间不存在相关关系。
4.因变量和自变量之间存在线性关系。
如果上述假设不成立，可以考虑进行数据转换，或者使用非参数方法。
在进行多元方差分析时，可以使用Wilks' Lambda检验、Roy's Largest Root检验、Pillai's Trace检验或Hotelling-Lawley Trace检验来判断组别之间的差异是否显著。
多元方差分析的优点是可以同时考虑多个因变量之间的关系，并且可以检验不同组别在多个因变量上的平均差异。
然而，它也有一些限制，比如对样本量要求较高，对实验设计的要求较高，以及对数据的假设有一定的要求。
总而言之，多元方差分析是一种强大的统计方法，能够有效比较多个组别在多个因变量上的差异，为研究者提供了更全面和准确的数据分析工具。
《多元方差分析》课件
结论和总结
结论
多元方差分析是一种有力的统计分析方法，可以分 析多个自变量对因变量的影响。
总结
要充分了解自变量之间的关系，并注意假设检验结 果的可信度。同时，要注意对分析结果的解释，力 求让结论具有实际应用价值。
多元方差分析的限制
数据质量要求高
多元方差分析对数据的质量要 求较高，一些异常值或者缺失 值可能会影响分析结果。
模型假设需要满足
多元方差分析需要满足多个假 设，如线性性、正态性等。如 果假设不满足，则分析结果可 能不准确。
解释需要谨慎
在解释多元方差分析结果时， 需要注意结果是否可以一般化， 以及解释是否与实际情况相符 合。
多元方差分析
本课件将介绍多元方差分析的基本概念和应用，以及如何应用多元方差分析 来解决实际问题。
多元方差分析概述
什么是多元方差分析?
多元方差分析是一种广泛应用于社会科学和自然科学的统计分析方法。它可以同时分析多个 自变量对因变量的影响。
为什么要使用多元方差分析?
在研究自变量对因变量的影响时，往往会存在多个自变量同时起作用的情况，这时使用多元 方差分析可以更准确地分析它们之间的关系。
1. 收集数据
收集与分析主题相关的数据，包括自变 量和因变量。
3. 分析结果
分析结果中应包括回归系数、方差分析 表、决定系数R2等指标。
多元方差分析的假设检验
独立样本T检验
独立样本T检验可以用来检验两个样本是否存在显 著差异，进而判断因变量在不同自变量取值条件下 是否有显著的变化。
显著性检验
在多元方差分析中，显著性水平一般设为0.05或 0.01。如果计算的p值比显著性水平小，则拒绝零 假设。
F检验
F检验可以用来检验多个自变量是否对因变量有显
多元方差分析
多元方差分析在SPSS软件的数据窗口依次定义变量并输入数据，由题可知数据来自三个不同的总体，下面对不同组的贫血患者比较其血红蛋白浓度及红细胞计数是否存在差异。
一、对总体进行多元正态分布检验首先将数据进行分组，然后通过SPSS软件分析—描述统计—探索得到检验结果如下：上述两个表给出了对每一个变量进行正态检验的结果，由表可以看出血红蛋白浓度和红细胞计数的显著性水平均大于0.05，即接受原假设，所以这两个变量均遵从正态分布。
下面判断总体是否满足方差齐性：上表是对协方差阵相等的检验，检验统计量是Box’s M，由Sig.值可以看出，0.670显著的大于0.05，所以在0.05的显著性水平下接受协方差阵相等的原假设。
即可以认为三组的协方差阵是相等的，符合方差齐性。
二、多元方程分析上表为多变量检验表，该表给出了几个统计量，显著性水平均为0.001显著的小于0.05，拒绝原假设，故无论从哪个统计量来看，三组不同患者的血红蛋白浓度和红细胞计数这两个指标间均存在显著差异。
下面分别分析三组患者间x1指标是否有显著差异，x2指标是否有显著差异，结果如下：由上表GROUP行可以看到：血红蛋白浓度和红细胞计数这两个指标的显著性水平分别为0.003和0.002均小于0.05，这说明三个组在血红蛋白浓度和红细胞计数这两个指标上均有显著差异。
三、对各组进行两两比较，给出更具体的分析结果通过软件操作得到比较结果如下表：由表中数据可以看出：①在血红蛋白浓度这个指标上A组和B组、B组和C组的显著性水平均小于0.05，拒绝原假设，故A组和B组、B组和C组在血红蛋白浓度这个指标上有显著差异，且B组的血红蛋白浓度显著高于A组和C组。
②在红细胞计数这个指标上A组和C组的显著性水平为0.014小于0.05，故A组和C组在红细胞计数指标上有显著差异，且C组的红细胞计数远远高于B 组。
四、画出三组患者x1,x2两指标的均值图由软件绘图得到均值图如下：由上图可以看出，A组与B组、C组与B组的红蛋白浓度有显著差异，而A组与C组的血红蛋白浓度没有显著差别，大致在一水平线上。
统计学中的多元方差分析
统计学中的多元方差分析统计学是一门应用广泛的学科，它研究的是数据的收集、分析和解释。
其中一个重要的分析方法就是多元方差分析（Multivariate Analysis of Variance, MANOVA）。
本文将介绍多元方差分析的基本概念、应用范围以及其在统计学中的重要性。
一、多元方差分析的概念及基本原理多元方差分析是一种广义的方差分析方法，用于同时比较两个或多个因变量在一个或多个自变量条件下的差异。
与传统的方差分析相比，多元方差分析能够考虑到多个因变量之间的相互关系，提供更全面的数据分析结果。
多元方差分析的基本原理是通过分解总离差来比较各组之间的差异。
在进行多元方差分析时，我们需要先将数据进行整理，确定自变量和因变量的分类方式，然后计算各组之间的离差平方和，并进行假设检验以确定差异是否显著。
二、多元方差分析的应用范围多元方差分析在统计学中有广泛的应用范围。
它可以用于比较不同组别或处理条件下多个变量的差异，根据变量之间的关系来解释数据的差异，帮助研究人员探索数据的真实规律。
在社会科学领域，多元方差分析常被用来研究人们在不同组别、不同条件下的行为差异。
比如，研究人员可以通过多元方差分析来比较不同年龄组的学习成绩、健康状况以及社交能力之间的差异，进一步探究各个因子对这些变量的影响程度。
在医学研究中，多元方差分析可用于比较不同治疗方法对多个疾病指标的疗效差异。
通过分析各自指标的变化，研究人员可以判断不同治疗方法对于疾病的影响是否显著。
在工程领域，多元方差分析可以用于比较不同因素对产品质量的影响程度。
通过分析各个因素对多个质量指标的影响，研究人员可以找到最优的产品设计方案，提高产品的整体质量。
三、多元方差分析在统计学中的重要性多元方差分析在统计学中具有重要的地位和作用。
首先，它可以帮助研究人员充分利用数据，通过对多个变量的同时分析，揭示多个因素对于各个变量的影响程度。
这有助于研究人员更全面地了解现象和问题，提高研究的准确性和有效性。
多元方差分析
4.219a 3.919a
Std. Error
.223 .191
95% Confidence Interval
Lower Bound
3.761
3.526
Upper Bound 4.678 4.312
a Evaluated at covariates appeared in the model: 年龄= 46.64
A 133.8
B 151.2
饲料 C
193.4
D 225.8
125.3
149.0
185.3
224.6
143.1
162.7
182.8
220.4
128.9
143.8
188.5
212.3
135.7
153.5
198.6
均值A= 133.36 均值B= 152.04
均值C=189.72
均值D= 220.78
多种SPSS输出:
SSB
P-1 MSB=SSB/(p-1)
F=
P(F>Fa)
MSB/MSE
Within Groups
(误差)
Total(总和)
SSE SST
n-p MSE=SSE/(n-p) n-1
这里n 为观察值数目p 为水平数,Fa满足 P(F>Fa)=a.这是自由度为p-1和n-p旳F-
分布旳概率
F (3,15)分布密度图 F0.05(3,15) 面积=0.05
Source Corrected Model
Type III Sum of
df
Squares
11.085a
2
Intercept
41.936
多元方差分析
多元方差分析导入：在一元统计中，关于正态总体)(2,N μσ的均值μ和方差2σ的各种检验，已经给出了μ检验﹑t 检验﹑F 检验和2χ检验等。
在多元统计中，对于多个指标的正态总体(,)P N μ∑,各种实际问题同样要求对μ和∑进行统计推断。
本章我们主要讨论多元正态总体(,)P N μ∑的均值向量μ的检验，把一元统计中的单个正态总体，两个正态总体，多个正态总体均值μ的检验（一元方差分析）方法类比推广到单个多元正态总体，两个多元正态总体，多个多元正态总体的均值向量μ的检验（多元方差分析）。
1. 预备知识1.1霍特林（Hotelling ）2T 分布 1.1.1霍特林（Hotelling ）2T 分布的定义 在一元统计中，若(0,1)X N , 2()Y n χ 且X 和Y 相互独立，则随机变量()t t n=下面把221()X YT X X Y n n-'==的分布推广到p 元总体，设(0,)P X N ∑ ,随机矩阵(,)P W W n ∑ ，我们来讨论21()W T X X n-'=的分布。
定义1 设(0,)P X N ∑ ，随机矩阵(,)P W W n ∑ (0,)n p ∑>≥，且X 和W 相互独立,则称统计量21()W T X X n-'=为霍特林（Hotelling ）2T 统计量，其分布称为服从自由度为n 的2T 的分布，记为22(,)T T p n 。
1.1.2霍特林（Hotelling ）2T 分布的性质性质1 设(1,2,,)j X j n = 是来自p 元总体(,)P N μ∑的随机样本，X 和S 分别是正态总体(,)P N μ∑的样本均值和样本的协方差阵，则统计量 21()()T n X S X μμ-'=--证明：因为1(,)p X N nμ∑ )(0,)p X N μ-∑ 又(1)(1,)p n S W n --∑ 且X 和S 相互独立，那么2112()()()][(1)])](,1)T n X S X n X n S X T p n μμμμ--''=--=-----性质 2 （2T 和F 分布的关系）设(0,)P X N ∑ ,22(,)T T p n ，则21(,1)n p T F p n p p n-+⋅-+ 证明：1211111(,1)1n p n p X X p T X S X F p n p X X np pn p X S X----'-+-+∑'==-+'∑-+' 其中 12()X X p χ-'∑ ，1211(1)X X n p n p X S Xχ--'∑-+-+' 性质 3设(1,2,,)j X j n = 是来自p 元总体(,)P N μ∑的随机样本，X 和S 分别是正态总体(,)P N μ∑的样本均值和样本的协方差阵，统计量21()()T n X S X μμ-'=--则2(,)1n p T F p n p p n -⋅--证明：见性质2性质 4 2T 统计量对非退化的线性变换保持不变证明：设(1,2,,)j X j n = 是来自p 元总体(,)P N μ∑的随机样本，X 和S 分别是正态总体(,)P N μ∑的样本均值和样本的协方差阵，给定观测值(1,2,,)j x j n = 及变换式111p p p p p C X d Y ⨯⨯⨯⨯=+,C 为非奇异矩阵，则y Cx d =+及11()()1ny j j j S y y y y CSC n =''=--=-∑ 又()()()()Y E Y E CX d E CX E d C d μμ==+=+=+因此，从y 与假设值00Y C d μμ=+算出的2T 为 2100()()Y Y Y T n y S y μμ-'=-- = 100(())()(())n C x CSC C x μμ-''-- =00()()()n x C CSC C x μμ'''-- =11100()()()n x C C S C C x μμ---'''-- =100()()n x S x μμ-'--威尔克斯（Wilks ）分布1.2.1威尔克斯（Wilks ）分布的定义定义：设112(n ,) P p W W W W ∑∑ 2，（n ）10,n ∑>≥（p ），且1W 和2W 独立，则称 112=W W W Λ+为威尔克斯统计量，其分布称为威尔克斯分布，记为ΛΛ 12（p,n ,n ）。
《多元方差分析》课件
多元方差分析模型的构建
模型建立
VS
多元方差分析模型的构建是分析的关 键步骤。在这个步骤中，需要确定因 变量和自变量，并选择适当的模型来 拟合数据。模型的选择应基于研究问 题和数据的特性，例如线性模型、二 次模型、或者更复杂的模型。此外， 还需要确定控制变量，以控制其他潜 在因素的影响。
模型检验与解释
模型评估
在构建多元方差分析模型后，需要进行一 系列的检验来评估模型的拟合程度和有效性 。这包括检验残差的正态性、同方差性和独 立性等假设。如果模型拟合良好，则可以进 行解释和推断，以了解自变量对因变量的影 响程度和方向。此外，还可以进行效应大小
的估计和比较，以及预测新数据等。
04
CATALOGUE
02
CATALOGUE
多元方差分析的基本假设
线性关系假设
线性关系假设是多元方差分析中最基本的假设之 一，它要求因变量与自变量之间存在线性关系。
在实际应用中，如果数据呈现非线性关系，多元 方差分析的结果可能不准确。
为了满足线性关系假设，可以通过散点图、趋势 线等方法来检验数据是否满足线性关系。
独立性假设
03
法来检验数据是否满足无多重共线性假设。
03
CATALOGUE
多元方差分析的步骤
数据收集与整理
数据准备
在进行多元方差分析之前，需要收集和整理相关数据。数据应来自适当的样本，并且需要确保数据的准确性和完整性。此外 ，数据需要被适当地编码和转换，以便进行后续的统计分析。
描述性统计分析
初步探索
在进行多元方差分析之前，通常需要进行描述性统计分析，以了解数据的分布、集中趋势和离散程度 。这包括计算均值、中位数、标准差、方差等统计量，以及制作直方图、箱线图等图形，以便更好地 理解数据的基本特征。
多元方差分析
多元方差分析
多元方差分析（Multivariate Analysis of Variance，MANOVA）是一项统计学分析方法，用
于检验两组或多组变量（有时也叫因子）间是否存在显著性差异。
它比单变量分析更具体，能够检验事实，如变量之间的相关性，并跟踪新变量。
多元方差分析非常有用，因为它可
以检验数据中多个变量与结果之间是否存在关系，从而更好地理解什么变量影响了结果。
多元方差分析是通过检查组间变量的分布差异和组间关系来达到这一目的的。
它能够确定
两组或多组间，及其自变量之间是否存在显著性差异。
MANOVA比单元方差分析更有力，可以同时检验多个变量，这些变量可以是连续变量也可以是分类变量。
MANOVA分析经常用于处理简单到复杂的研究项目。
例如，它可以用来测试企业的行业
绩效是否受到某个专业背景的影响。
MANOVA也被广泛用于实验心理学，常用于进行实
验中的多维测量，可以跟踪数据识别出多个变量的相关性。
一般来说，MANOVA可以检
测方法之间的显著性差异，比如测试不同教育水平，学习方法及性别是否对学生的学习表现有显著影响。
MANOVA也可以有助于决策者分析不同投资组合或组合要素是否对投资回报有显著影响，帮助他们做出更好的决策。
此外，它也可以用来帮助开发新的产品或商务服务，并识别出
相关的潜在变量并可以在某些情况下，MANOVA也可以用于进行预测性分析。
总之，多元方差分析是一个强大的统计分析工具，能有效地测试和分析复杂变量之间的关系，帮助作出更明智的研究和决策。
其优点在于可以分析多个变量，比单变量分析更具体，可以有效地进行数据正确性分析，帮助作出合理决策。
多元方差分析
height 1.00000 0.92192 0.93008
weight 0.92192 1.00000 0.98992
chestc 0.93008 0.98992 1.00000
⎛ 73.98 ⎞ ⎜ ⎟ X A = ⎜ 75.26 ⎟ ⎜ 79.84 ⎟ ⎝ ⎠
' X A = ( 73.98 75.26 79.84 )′
⎡ v11 v12 v=⎢ ⎢ v21 v22 ⎢ ⎣ v31 v32
v13 ⎤ v23 ⎥ ⎥ v33 ⎥ ⎦
weight 107.0041667 151.8958333 87.6250000
chestc 62.9083333 87.625000 51.3833333
对角线上为各变量的方差。对角线的两恻为两变量的协方差，沿对角线左右对称。 2.2 离差阵 将各指标的离均差平方和与离均差积和以矩阵形式进行排列， 得离均差平方和与离均差积和 以矩阵（sum of squares and cross-products matrix, SSCP） ，简称离差阵。用字母 SS 表示。
77 64 93 68 69 66 81 72 72 92 77 82
65 77 72 78 83 59 74 71 88 62 93 74
88 75 73 84 75 97 87 65 51 79 82 85
69 68 74 78 67 85 80 72 72 70 84 92
80 80 64 92 74 59 86 71 67 73 88 59
r12 r22 r32
r13 ⎞ ⎟ r23 ⎟ r33 ⎟ ⎠
例1-1 的相关系数矩阵为： height weight chestc 相关系数以对角线左右对称。 2.4 将各指标的均数用以向量的形式排列， 称为均向量。 排成列的形式称为列向量， 如 XA ， 排成行的形式称为行向量，如 X A 。
14多元方差分析
50.3621 69.6288 45.4659
32.2318 45.4659 35.3239
1 Sc = (11× S1 + 9× S2 ) 20
0.1114 Sc 1 = 0.0966 0.0246 0.0966 0.1460 0.0814
37.2796 52.5383 37.6690
多个均数向量的比较 ── 多元方差分析
一元方差分析： 一元方差分析：
分析一个或多个定性影响因素对一个定量指标的影响情况
多元方差分析： 多元方差分析：
分析一个或多个定性影响因素对两个或两个以上在专业上有 一定联系的定量指标的影响； 一定联系的定量指标的影响；
条件： 条件：
1 多元正态分布 2 比较组间的多元协方差矩阵相等。 比较组间的多元协方差矩阵相等。
data aa; do group=1 to 2; input n; do i=1 to n; input w h x@@; output;end;end; cards; 12 171 58.5 81 175 65 87 …………… 10 152 44.8 74 …………… ;
proc glm; class group; model w h x=group; manova h=group/printe printh; proc corr cov outp=a; var w h x; by group; run;
是对称矩阵。 ， S是对称矩阵。 是对称矩阵
3、离差矩阵（SSCP） 、离差矩阵（ ）
l11 l12 L l1 p l 21 l 22 L l 2 p L= M M M M l p1 l p 2 L l pp
l ii = ∑ ( xij xi ) 2
多元方差分析
Sums of squares and cross product matrix (SSCP matrix)
Mean squares (MS; Mean squares and mean also called variance) products matrix (also
called covariance matrix)
检验k组间在 两个以上响 应变量间是
否有差异
自变量
响应变 量
一个 一个
一个或多个 一个或多个
一个
多个
2021/6/20
17
MANOVA的强化理解 （与ANOVA作比较）
胡凤琴
2021/6/20
18
One-way ANOVA的原始数据
处理水平个数(treatment levels)
(重复)
用ni表示各处理的重复数
• 方差分析(ANOVA)：通过分解样本方差，比 较若干个(k>2)样本均值，检验不同的处理所
产生的效应的差异是否显著。方差分析被认 为是t-检验的推广。
2021/6/20
5
MANOVA原理讲解
一元方差分析的回顾
• 单因素方差分析(one-way ANOVA)：主要用 于检验一种因素（自变量）对所研究变量 （响应变量）的影响大小。
2021/6/20
34
• The reason for 4 different statistics and for approximations is that the mathematics of MANOVA get so complicated in some cases that on one has ever been able to solve them.
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6
MANOVA原理讲解
多元方差分析的基本思想 定义：对有一种以上响应变量(~因变量)
数据的方差分析
• 在考虑多个响应变量时，MANOVA把多个 响应变量看成一个整体，分析因素（因变 量）对多个响应变量整体的影响，发现不 同总体的最大组间差异。
多元方差分析 (Multivariate Analysis of Variance)
第一组
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1
第一部分：MANOVA原理讲解
——古 牧
第二部分：MANOVA与ANOVA之比较
——胡凤琴
第三部分：MANOVA实际操作(SPSS)
——潘 璐
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2
第一部分 MANOVA原理讲解
• Roy最大根统计量：为检验矩阵特征根中最大值，因此它总 是小于或等于Hotelling轨迹。
当模型建立的前提条件不满足时，Pillai’s迹最为稳 健。
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16
小结
MANOVA原理讲解
t-Test
ANOVA MAVOVA
目的
检验两组均值 是否差异
检验k组(k>2) 以上均值是
否有差异
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7
MANOVA原理讲解
多元方差分析的基本思想 • 将响应变量的差异分解为两部分：一部分
为组间变异(处理效应)，一部分为组内变 异(误差效应)，对这两部分的变异进行比 较。
可以用多次的ANOVA检验 代替MANOVA检验吗？
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8
适用情况比较:t-Test vs. Hotelling’s T2
检验k组间在 两个以上响 应变量间是
否有差异
自变量
响应变 量
一个 一个
一个或多个 一个或多个
一个
多个
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17
MANOVA的强化理解 （与ANOVA作比较）
胡凤琴
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18
One-way ANOVA的原始数据
处理水平个数(treatment levels)
(重复)
用ni表示各处理的重复数
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11
MANOVA原理讲解
检验统计量的计算
单因子多元方差分析：
SSCPT= SH+SE 来源
df
自由度
SSCP ……
组间
k 1
H
威尔克斯统 计量
组内
N k
E
总和
N1 THE
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14
MANOVA原理讲解
二因子多元方差分析(MANOVA table)：
SSCPT= SA+SB+SAB+SE
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15
MANOVA原理讲解
多元方差分析的四个检验统计量
• Pillai’s迹：恒为正数，值越大，表明该效应项对模型的贡 献越大；
• Wilks’Lambda：取值范围在0～1之间，值越小，说明该效 应项对模型的贡献越大；
• Hotelling迹：检验矩阵特征根之和，值总比Pillai’s轨迹的 值大。与Pillai’s轨迹相似，值越大贡献越大；
ANOVA vs. MAVOVA
样本个数 k=2
响应变量个数
一個 (一元)
t-Test
超过一個 (多元)
Hotelling’s T2
k>2
ANOVA
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MANOVA
9
MANOVA原理讲解
多元方差分析的基本假设
• 各响应变量的联合分布为多元正态分布。 • 数据来自随机样本，观察值间独立。 • 每个样本的协方差矩阵均相同 • 响应变量间存在一定相关关系
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10
MANOVA原理讲解
分析原理-多元方差分析-原假设
p个响应变量 n个因子水平
多元方差分析的统计原假设的向量形式如下：
u11
u12
u21
u22
H0: = ... = … = … =
up1
up2
或H0:u1=u2=…=un
Ha: u1,u2,…,un不全相等
u1n u2n …
upn
Ag1 Bg1 Cg1 Ag2 Bg2 Cg2
…
Ag10 Bg10 Cg10 22
ANOVA的原假设
H0：u1=u2=u3=u4 Ui 代表什么？
MANOVA的原假设
： = uA1
H0
uB1
uC1
= uA2
uB2 uC2
= uA3
uB3 uC3
uA4 uB4 uC4
uAi uBi 代表什么？
N=n1+n2+…+ng
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19
One-way ANOVA举例
芦苇(Phragmites australis)是广布种。欲检验产 于黑龙江、北京、江苏、广东4省的芦苇在光合效 率(A)上有无显著差异，每地各量测10株。
黑龙江(h) 北京(b) 江苏(j) 广东(g)
1
Ah1
Ab1
Aj1
古牧
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3
问题的提出
•例 在温室中种植多年生草本大金鸡菊 (Coreopsis lanceolata)，随机对其进行高 中低三个不同的营养(施肥)处理，考察不同 营养水平对种子数量和种子均重的影响。
何为多元方差分析？
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4
MANOVA原理讲解
单因素检验的回顾
• t-检验：检验两个样本(k=2)的平均值差异程 度，适用于较大样本(两样本总量大于等于 30)。
• 方差分析(ANOVA)：通过分解样本方差，比 较若干个(k>2)样本均值，检验不同的处理所
产生的效应的差异是否显著。方差分5
MANOVA原理讲解
一元方差分析的回顾
• 单因素方差分析(one-way ANOVA)：主要用 于检验一种因素（自变量）对所研究变量 （响应变量）的影响大小。
黑龙江(h) 北京(b) 江苏(j) 广东(g)
1 2 … 10
Ah1 Bh1 Ch1 Ah2 Bh2 Ch2
…
Ah10 Bh10 Ch10
Ab1 Bb1 Cb1 Ab2 Bb2 Cb2
…
Ab10 Bb10 精品 PPCTb1可0 修改
Aj1 Bj1 Cj1 Aj2 Bj2 Cj2
…
Aj10 Bj10 Cj10
Ag1
2
Ah2
Ab2
Aj2
Ag2
…
…
…
…
…
10
Ah10
Ab10
Aj10
Ag10
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20
One-way MANOVA原始数据
N=n1+n2+…+ng p: 响应变量个数
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21
One-way MANOVA举例
来自黑龙江、北京、江苏、广东4省的芦苇在光 合效率(A)，叶片长度(B)，开花时间(C)上有无显 著差异，每地各量测10株。