中考数学第二轮复习专题--最值问题(最新整理)

A'
2、在直线 m、n 上分别找两点 P、Q，使 PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：
A m
A m
P' P
n
B
（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
A m
B n
（3）两个点都在内侧：
m A
B n
Q' Q
n
B
A m
P B
n Q
B'
A' m
A P
B
Q
n
B'
1
练习题：
1． 如 图 ， 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 2， E 为 AB 的 中 点 ， P 是 AC 上 一 动 点 ． 则 PB+PE 的 最 小 值
．
第5题
6．已知 A(－2，3)，B(3，1)，P 点在 x 轴上，若 PA＋PB 长度最小，则最小值为
．
若 PA—PB 长度最大，则最大值为
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．
（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点 A、B 位于直线 m,n 的内侧，在直线 n、m 分别上求点 D、E 点，使得围成的四边形 ADEB
周长最短，则最短周长=_____________
1、点与圆在直线两侧：
O
m A
O B'
B
P' P
m
A
2、点与圆在直线同侧：
O
O
A
B
A
m
P
m
A'
（三）、已知 A、B 是两个定点，P、Q 是直线 m 上的两个动点，P 在 Q 的左侧,且 PQ 间长 度恒定,在直线 m 上要求 P、Q 两点，使得 PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点 A、B 在直线 m 两侧：
中考赏析：
1．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 X 同侧，AB=50km、B 到直线 X 的距离分别为 10km 和 40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P，向 A、B 两景区运送游 客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线 X 垂直，垂足为 P），P 到 A、B 的距 离之和 S1＝PA＋PB，图（2）是方案二的示意图（点 A 关于直线 X 的对称点是 A'，连接 BA'交直线 X 于点 P），P 到 A、B 的距离之和 S2＝PA＋PB．
．
第1题
第2题
第3题
第4题
4．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5， BC＝6，点 P 是 AB 上一个动点，当 PC＋PD 的和最小时，PB 的长为_______．
5．如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为
AN 弧的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PA＋PB 的最小值为
n
n A B
A' D
A B
m E
m B'
变式二：已知点 A 位于直线 m,n 的内侧, 在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点 PA+PQ+QA 周长最短.
n A m
n A'
A Q
m P
A"
练习题： 1．如图，∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q、R 分别是 OA、OB 上的动点，则△PQR 周长的 最小值为______．
3
（二）、一个动点，一个定点：
（一）动点在直线上运动： 点 B 在直线 n 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B） 1、两点在直线两侧：
n
n B
m A
m P
A
2、两点在直线同侧： n
n B
A m
A m
P
A'
（二）动点在圆上运动
点 B 在⊙O 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B）
2
2．如图，已知平面直角坐标系，A，B 两点的坐标分别为 A(2，－3），B(4，－1） 设 M，N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点 M(m，0），N(0，n),使四边形 ABMN 的周 长最短？若存在，请求出 m＝______，n ＝ ______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．
中考第二轮复习专题--线段和（差）的最值问题
一、两条线段和的最小值。
基本图形解析： （一）、已知两个定点： 1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小； （1）点 A、B 在直线 m 两侧：
A A
m
B
（2）点 A、B 在直线同侧：
A B m
m P
B
A B m
P
A、A’ 是关于直线 m 的对称点。
,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M,N 分别是 AD 为．
3、如图，在锐角三角形 ABC 中 ，AB= 5 2 ，∠BAC=45，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，M、N 分别是 AD
和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值为 ． 4、如图 4 所示，等边△ABC 的边长为 6,AD 是 BC 边上的中线,M 是 AD 上的动点,E 是 AC 边上一点.若 AE=2,EM+CM 的最小值为 . 7、如图 5 菱形 ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PB 的 最小值为 ．
（1）求 S1、S2，并比较它们的大小； （2）请你说明 S2＝PA＋PB 的值为最小； （3）拟建的恩施到张家界高速公路 Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直 线 Y 的距离为 30km，请你在 X 旁和 Y 旁各修建一服务区 P、Q，使 P、A、B、Q 组成的四边形的周长最 小．并求出这个最小值．
是
．
2．如图，⊙O 的半径为 2，点 A、B、C 在⊙O 上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P 是 OB 上一动点，则 PA+PC
的最小值是
．
3．如图，在锐角△ABC 中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD
和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是
3 18 2．如图，抛物线 y＝ x2－ x＋3 和 y 轴的交点为 A，M 为 OA 的中点，若有一动点 P，自 M 点处出发，
55 沿直线运动到 x 轴上的某点（设为点 E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点 F），最后 又沿直线运动到点 A，求使点 P 运动的总路程最短的点 E，点 F 的坐标，并求出这个最短路程的长．
A
A
C
m
P
Q
B
P
Q
m
B 4
过 A 点作 AC∥m,且 AC 长等于 PQ 长，连接 BC,交直线 m 于 Q,Q 向左平移 PQ 长，即为 P 点，此时 P、Q 即为所求的点。
（2）点 A、B 在直线 m 同侧：
练习题
A P
B m
Q
A P
E B
m Q
B'
2、 如图 1，在锐角三角形 ABC 中，AB=4 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值