中考数学第二轮复习专题--最值问题(最新整理)

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最新九年级中考数学专题复习：最值问题-隐圆模型之瓜豆问题课件

B
C
△BOC是等腰直角三角形,锐角顶点C的轨迹是以点A为圆
心,2为半径的圆,所以O点轨迹也是圆,以AB为斜边构造等
M
腰直角三角形,直角顶点M即为点O轨迹圆圆心.
连接AM并延长与圆M交点即为所求的点O,此时AO最大,
根据AB先求AM,再根据BC与BO的比值可得圆M的半径与圆A
O
半径的比值,得到MO,相加即得AO.
E
MN
AD
B
当堂训练---轨迹之线段篇
3.如图,∠AOB=60º,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,
D
，D是定点,E点满足EO=2,故E点
轨迹是以O为圆心,2为半径的圆.
当DE⊥DF且DE=DF,故作DM⊥DO
且DM=DO,F点轨迹是以点M为圆心
,2为半径的圆.
连接OM,与圆M交点即为F点,此 E
时OF最小.可构造三垂直全等求
线段长,再利用勾股定理求得OM,
减去MF即可得到OF的最小值. B
O
C
M F
接得到M点的轨迹长为P点轨迹长一半,即可解 C
FB
决问题.
当堂训练---轨迹之圆篇
3.如图,正方形ABCD中,AB=2 5,O是BC边的中点,点E是正方形内一
动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90º得DF,连接AE、
CF.求线段OF长的最小值.5 2 - 2
【分析】E是主动点,F是从动点 A
连接DF.DF的最小值是_1___.
A
一个定点----垂线段最短
E
G
D
B
C
F
当堂训练---轨迹之线段篇
2.如图,已知等边三角形ABC的边长为8,点D为AB边上一动点,DE始

2025年九年级中考数学二轮复习热点专题突破课件：专题2最值问题

类型 5
例 5
利用二次函数求最值
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.点M沿
线段CA从点C向点A运动，同时，点N从点B出发沿BC运动，且BN＝
2CM，P是线段MN的中点.在运动过程中，CP的最小值为

_______.

☞变式如图，在正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，
A.
B.3
C.3
D.2＋2

PD的最小值为(

C )
4.(2024·绥化) 如图，已知∠AOB＝50°，P为∠AOB内部一点，M，N
分别是射线OA，OB上的动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN的
度数是_________.
80°
5.如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，且AC＋BD＝
分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点.则BM＋MN的最小值
是_________.
5
☞变式 (2024·广安) 如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝

30°，M为直线BC上一动点，则MA＋MD的最小值为 _______.
类型 4
例 4
圆中的最值问题
如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴AH＝AB·sin 60°＝ .
∴2EN＋BN的最小值为2 .
BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD
于点N，连接EN，CN.
(1)求证：EN＝CN；
证明：连接AN.
∵四边形ABCD是菱形，
∴点A，C关于直线BD轴对称，
∴AN＝CN.

专题4.5圆---利用“瓜豆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)

轨迹的相似比！
上述模型在数学江湖中也被称作“捆绑动点轨迹模型”
Q
强化训练
“瓜豆”模型
提升能力
1.如图,正方形ABCD中,AB=12,E是BC边上一点,CE=7,F是正方形内部一点,
且EF=3,连接EF,DE,DF,并将△DEF绕点D逆时针旋转90º得到△DMN(点M,N
10
分别为点E,F的对应点),连接CN,则CN长度的最小值为_____.
2
2
E G
D
A
圆型运动轨迹
典例精讲
考点2-2
【引例】如图,已知A是⊙O外一点,P是⊙O上的动点,线段AP的中点为Q,连
接OA,OP.若⊙O的半径为2,OA=4,则线段OQ的最小值是(
A.0
B.1
C.2
B )
D.3
【思考】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是？
解：连接AO,取AO的中点M,连接QM,PO.
O
A
(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：
∠OAM=∠PAQ；
(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：
AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆,Q
与P的关系相当于旋转+伸缩.
古人云：种瓜得瓜,种豆得豆.种圆得圆,种线得线,谓之“瓜豆模型”.
2
倍而得到的,所以点P所在圆的圆心绕点A逆时针旋转90º，
再乘以 2 就是点C所在圆的圆心B´,而半径也缩小
2
2倍,
2
即 2 .根据点圆最值模型,可知：BB´-CB´≤BC≤BB´+CB´,
即3 2 ≤BC≤ 5 2 ,因此最大值与最小值的差为 3 2 .

2024专题4.4圆---利用“阿氏圆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)

当BPD三点共线且P点位于BD之间时,PB+PD最小,此
时2PB+PC最小,最小值为2BD,延长CD交AB于H,则
CH⊥AB,
O D P
B
A
H

易求得DH= ,BH=3,∴BD= ,

C
O
P
∴2PB+PC的最小值为3 .
B
C
针对训练
变式一系数需要转化(提系数)
知识点三
1.在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2),P是△AOB外部的
P(x,y),PA=kPB,即：(x+m)2+y2 =k (x-m)2+y2
∴(x+m)2+y2=k2(x-m)2+k2y2
∴(k2-1)(x2+y2)-(2m+2k2m)x+(k2-1)m2=0
2m
2m+2k
∴x2+y2- k2-1 x+m2=0
知识点二
新知探究
解析式满足圆的一般方程,故P点所构成的图形是圆,且圆心与AB共线.除
则 PD+4PC的最小值为_____.
D
A
P
B
C
典例精讲
变式三求差最大的问题
知识点五
求带系数的两条线段差最大的问题,转化方法和前面所讲完全一样,只是
最后求最值时有所不同,前面求和最小都是运用两点之间线段最短的原理,
求差最大,我们需要运用“三角形两边只差小于第三边”这一原理来解决.
【例6】(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,⊙B的半径为2,点P是⊙B上
【引例】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,CB=4,CA=6,⊙C半径为2,P为圆上

2024年中考数学二轮专题复习：+复习线段和差的最大值与最小值(拔高)

中考二轮复习之线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小；（1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：PmABm A B mA B PmAB n QPnmP'Q'nm Q PnB Q PnmAB A'nm AB（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动AB E Dn A BA'B'nAPQ AA'mn Pm nA B m n A Pm nAB点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。

(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

中考二轮复习题型二：选择压轴题之几何图形最值问题-(数学)AlAKlU

题型二选择压轴题之几何图形最值问题类型一线段最值问题1. 如图，在△ ABC 中，/ BAC = 90° AB = 3, AC =4,P 为边 BC 上一动点，PE 丄AB 于 E ,PF 丄AC于F , M 为EF 的中点，贝U PM 的最小值为（）和AC 上的动点，贝U PC + PQ 的最小值是（3.如图，在 Rt A ABC 中，/ B = 90° AB = 3, BC = 4，点D 在BC 上，以 AC 为对角线的所有？ADCE 中，DE 的最小值是（）点，贝U PC + PD 的最小值为（）A.1.2D. 2.42.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB = 90°12 A ・5B. 424 C.24D. 5A.3B. 2C.4D. 54.如图，菱形值是（）ABCD 中，/ ABC = 60° 边长为13, P 是对角线BD 上的一个动点，则2PB + PC 的最小C.3D. 2 + ；35. 如图，在△ ABC 中，AC = BC , / ACB = 90° 点D 在BC 上，BD = 3, DC = 1，点P 是AB 上的动A.4C.1.4AC = 6,若P , Q 分别是AD第3题图第4题图C.6第5题图第6题图6. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点，且BE = CF ,连接BF 、 DE ，贝U BF + DE 的最小值为（）边BC , CD 上，则△ AMN 周长的最小值为（）1BP ,贝U AP + 2BP 的最小值为A.2 .'5B. 4 ,'57. 如图，在四边形 ABCD 中，/ BAD = 120° / C.2 /3D. 4 ! 3B =Z D = 90° AB = 2, AD = 4，点 M ，点 N 分别在A.3 ：7D. 118.如图，在直角坐标系中，点（1，5）和（4，0），点C 是y 轴上的一个动点，且 B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点 C 的坐标是（）A.(0，1)B. (0， 2)C.(0， 3)D. (0，4)9.如图，矩形ABCD 中，AB = 8, BC = 6，点 E , F , G , H 分别在矩形 ABCD 各边上，且 AE = CG ,BF = DH ，则四边形 A.4 .'3EFGH 周长的最小值为（）C.8 .' 7B. 10li10.如图，在 Rt △ ABC中，/ ACB = 90° CB = 4, CA = 6, O C 半径为2, P 为圆上一动点，连接 AP ,A. 37B. 6C.2 . 17D. 411.如图，在 Rt △ ABC中, / ACB = 90° AC = 8, BC = 6，动点F 在边BC 上运动，连接 AF ，过点C作CD 丄AF 于点D ，交AB 于点E ，则B 、D 两点之间距离的最小值为（）A.2B. 4C.2 . 13-3D. 2 . 13-4A 、B 的坐标分别为 \II I ）第9题图第11题图第12题图12.如图，在等边△ ABC 中，BF 是AC 边上中线, 点D 在BF 上，连接AD ，在AD 的右侧作等边△ ADE ,接AE 、BF ，交于点 G ,连接DG ,则DG 的最小值为（）16.在Rt A ABC 中，/ ACB = 90° AC = 8, BC = 6,点D 是以点 A 为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD ，点M 为BD 中点，线段CM 长度的最大值为（）类型二面积最值问题（拓展）1.如图，点E 为边长为4的等边△ ABC 的BC 边上一动点（点E 不与B 、C 重合），以AE 为边作等边△ AEF ，则△ AEF 面积的最小值是（）2. （2017合肥蜀山区模拟）如图，O O 的半径是2,直线两个动点，且在直线I 的异侧，若/ AMB = 45°,则四边形 MANB 面积的最大值是（）3. 如图，在矩形 ABCD 中，AD >AB ,点E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且 CE + CF = 8，若sin / ABD连接EF ，当△ AEF 周长最小时，/ CFE 的大小是A.30B. 45C.60D. 9013.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点, 占八A 、B 、C 的坐标分别为 A （ .3, 0）、B （3.'3, 0）、C （0,5），点D 在第一象限内，且/ ADB = 60 °则线段 CD 的长的最小值是（）C.2 .'7 — 2D. 2 . 10 — 214.如图, 在 Rt A ABC 中，/ C = 90° AC = 6, BC = 8,点 F 在边 AC 上，并且 CF = 2, 点E 为边BC上的动点，将△ CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是（A.33C.315.如图, 第14题图第15题图正方形 ABCD 的边长为2,点E 、F 分别是边BC 、CD 的延长线上的动点，且CE =DF ，连A. .;3 — 1B. ,'5 — 1C. ；'3A.8B. 7C.6D. 5A.2l 与O O 相交于A 、B 两点，M 、N 是O O 上的A.2B. 4C.2 .2D. 4 2第1题图C. 34=4，BD = 20,则厶AEF 的面积的最小值为（）5+ Z CBP = 90°连接DP ,。

中考数学二轮专题复习教案：专题一 “最值问题”之专题复习——平面几何中的最值问题

专题一：“最值问题”专题复习——平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长。

（2）运用代数证法：①运用配方法求二次三项式的最值；②运用一元二次方程根的判别式。

例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。

例2、已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大？分析: 本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．例3、如上右图是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？例4、已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大？分析因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况(P与A 重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．例5、如图，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD的内心，直线MN交AB，AC于K，L．求证：S△ABC≥2S△AKL．例6、如图．已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q．求证：PQ≤AB．证明：设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P1，Q1，连结P1C，显然，PQ≤P1Q1．因为∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°，所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一个直角或钝角．若∠AQ1P1≥90°，则 PQ≤P1Q1≤AP1≤AB；若∠P1Q1C≥90°，则 PQ≤P1Q1≤P1C．同理，∠AP1C和∠BP1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠BP1C≥90°，则 P1C≤BC=AB．对于P，Q两点的其它位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤AB．例7、设△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C到l的距离设为d1，d2，求d1+d2的最大值．解如图，延长BA到B′，使AB′=AB，连B′C则过顶点A的直线l或者与BC相交，或者与B′C相交．以下分两种情况讨论．(1)若l与BC相交于D，则所以只有当l⊥BC时，取等号．(2)若l′与B′C相交于D′，则所以上式只有l′⊥B′C时，等号成立．例8、如图．已知直角△AOB中，直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO，BO分别与单位圆交于C，D．试求四边形ABCD面积的最小值．解设⊙O与AB相切于E，有OE=1，从而即 AB≥2．当AO=BO时，AB有最小值2．从而所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为专题复习——几何的定值与最值几何中的定值问题，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．【例题就解】【例1】如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为．思路点拨如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D′，DQ ⊥CC′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=21AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x -10，从代数角度探求CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等．【例2】如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言，为的度数（）A ．从30°到60°变动B ．从60°到90°变动C ．保持30°不变D ．保持60°不变思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．【例3】如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．思路点拨设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．【例4】如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关．思路点拨即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC 的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2，从而我们⌒的证明目标更加明确．注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例5】已知△XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC直角边长的最大可能值．思路点拨顶点Z在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z在斜边AB上时，取xy的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z在(AC或CB)上时，设CX=x，CZ=y，建立x，y的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2)构造二次函数求几何最值．。

2024年中考数学复习胡不归最值问题(原卷版+答案解析)

胡不归最值问题【专题说明】胡不归模型问题解题步骤如下；1、将所求线段和改写为“PA +b a PB ”的形式b a <1 ，若b a>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。

2、在PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得sin α=b a 3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题【模型展示】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使AC V 2+BC V 1的值最小．ACV 2+BC V 1=1V 1BC +V 1V 2AC ，记k =V 1V 2，即求BC +kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【模型总结】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．【练习】1.如图，AC是圆O的直径，AC=4，弧BA=120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+12BD的最小值为( )A.32B.3C.1+32D.1+32.如图，在ΔABC中，∠A=15°，AB=10，P为AC边上的一个动点(不与A、C重合)，连接BP，则22AP+PB的最小值是( )A.52B.53C.1033 D.83.ΔABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为( )A.4B.3+3C.6D.23+34.如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为45，P为OB上一动点，则AP+55OP的最小值为( )A.4B.5C.25D.355.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=16，∠ABC=60°，D为弧AC的中点，M是弦AC上任意一点(不与端点A、C重合)，连接DM，则12CM+DM的最小值是( )A.43B.33C.23D.46.在ΔABC中，∠ACB=90°，P为AC上一动点，若BC=4，AC=6，则2BP+AP的最小值为(　　)A.5B.10C.52D.1027.【问题探究】在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，AB=2．(1)如图1．E为AD的中点，则点E到AB的距离为　34　；(2)如图2，M为AD上一动点．则12AM+MC的最小值为；【问题解决】如图3，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在距A地 km处．8.如图，在菱形ABCD中，AB=AC=10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM=3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是．9.如图，直角三角形ABC中，∠A=30°，BC=1，AC=3，BD是∠ABC的平分线，点P是线段BD上的动点，求CP+12BP的最小值．10.如图，已知RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，延长BC至D使CD=BC，连接AD，且AD=4，点P为线段AC上一动点，连接BP．则2BP+AP的最小值为．11.如图，▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB+32PD的最小值等于．12.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为(0，63)，点Q是y轴上任意一点，则12PQ+QB的最小值为．13.如图，在ΔABC 中，AB =5，AC =4，sin A =45，BD ⊥AC 交AC 于点D ．点P 为线段BD 上的动点，则PC +35PB 的最小值为．14.如图，在ΔABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，那么：(1)AE =　25　；(2)CD +55BD 的最小值是．15.如图，在ΔABC 中，∠A =90°，∠B =60°，AB =2，若D 是BC 边上的动点，则2AD +DC 的最小值为．16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，P 为y 轴上的一个动点，已知A (-2,0)、C (0,-23)，且抛物线的对称轴是直线x =1．(1)求此二次函数的解析式；(2)连接PB ，则12PC +PB 的最小值是；17.已知：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D(0,-6)，直线y=-13x+2交x轴于点B，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在线段OB上有一动点P，直接写出10DP+BP的最小值和此时点P的坐标．18.如图，已知抛物线y=k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-33x+b与抛物线的另一交点为D．(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；(2)在(1)条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？19.抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B(-1,0)，C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D 处，且DD =2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，MN⎳y轴交直线OD 于点N，连结CN．当55D N+CN的值最小时，求MN的长．20.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，ΔCOD关于CD的对称图形为ΔCED．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)连接AE，若AB=6cm，BC=5cm．①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合)，连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．胡不归最值问题【专题说明】胡不归模型问题解题步骤如下；1、将所求线段和改写为“PA +b a PB ”的形式b a <1 ，若b a>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。

专题09 几何最值问题-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)

专题09 几何最值问题目录热点题型归纳题型01 将军饮马模型题型02 费马点模型题型03 阿氏圆模型题型04 隐圆模型题型05 瓜豆圆模型中考练场题型01 将军饮马模型【解题策略】两定一动模型一定两动模型（同侧）（异侧）两线段相减的最大值模型（三点共线）【典例分析】例．（2022·黑龙江·中考真题）1．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，60BAD Ð=°，3AD =，AH 是BAC Ð的平分线，CE AH ^于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP PE +的最小值是．【变式演练】（2022·山东枣庄·二模）2．如图，点P 是AOB Ð内任意一点，3cm OP =，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，30AOB Ð=°，则PMN V 周长的最小值是．（2023广东广州·模拟预测）3．如图，四边形ABCD 中，AB CD P ，AC BC ^，60DAB Ð= ，4AD CD ==，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足90AMD Ð= ，则MBC V 面积的最小值为．题型02 费马点模型【解题策略】将△APC 边以A 为顶点逆时针旋转60°，得到AQE ，连接PQ ，则△APQ 为等边三角形，PA =PQ ．即PA +PB +PC =PQ +PB +PC ，当B 、P 、Q 、E 四点共线时取得最小值BE ．【典例分析】例．（2023全国·中考模拟预测）4．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求：①12AP BP +，②2+AP BP ，③13AP BP +，④3+AP BP 的最小值．【变式演练】（2022·广东广州·一模）5．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点P 是AB 边上一动点，作PD ⊥BC 于点D ，线段AD 上存在一点Q ，当QA +QB +QC 的值取得最小值，且AQ =2时，则PD = ．（2023广东·一模）6．如图，△ABC 中，∠BAC ＝45°，AB ＝6，AC ＝4，P 为平面内一点，求3PC ++最小值（2024湖北中考·二模）7．如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 是正方形内部一点，求2PA PB +的最小值．题型03 阿氏圆模型【解题策略】问题：在圆上找一点P 使得PA k PB + 的值最小，解决步骤具体如下：①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB②计算出这两条线段的长度比OP k OB=③在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB=，PC k PB = ④则=PA k PB PA PC AC ++≥ ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值．【典例分析】例．（2023·广西·中考真题）8．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 0)，B 两点（点B 在点A 的左侧），与y轴交于点C ，且3OB OA ==，OAC Ð的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过点P 作PF x ^轴，垂足为F ，交直线AD 于点H ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P 的横坐标为m ，当FH HP =时，求m 的值；（3）当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，12HC 为半径作H e ，点Q 为H e 上的一个动点，求14AQ EQ +的最小值．【变式演练】（2023·甘肃天水·一模）9．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个动点，则PD ﹣12PC 的最大值为．（2023江苏·二模）10．如图，正方形ABCD 的边长为4，B e 的半径为2，P 为B e PD -的最大值是．题型04 隐圆模型【解题策略】定点定长定弦定角四点共圆最短距离：“一箭穿心”，然后点到圆心的距离-半径；最长距离：“一箭穿心”，然后点到圆心的距离+半径．【典例分析】例．（2023·辽宁·中考真题）11．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，10AD =，点M 为BC 的中点，E 是BM 上的一点，连接AE ，作点B 关于直线AE 的对称点B ¢，连接DB ¢并延长交BC 于点F ．当BF 最大时，点B ¢到BC 的距离是．【变式演练】（2024浙江金华·模拟预测）12．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且EAB EBC Ð=Ð．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD PE +的最小值为（）A ．2B ．2C ．2D ．2（2022·山东泰安·三模）13．如图，在Rt △ABC 中，90ACB Ð= ，30BAC Ð= ，BC ＝2，线段BC 绕点B 旋转到BD ，连AD ，E 为AD 的中点，连接CE ，则CE 的最大值是．（2022·广东河源·二模）14．如图，已知28AC AO ==，平面内点P 到点O 的距离为2，连接AP ，若60APB Ð=°且12BP AP =，连接AB ，BC ，则线段BC 的最小值为．题型05 瓜豆圆模型【解题策略】条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP ：AQ 是定值）．结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ =∠OAM ；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP ：AQ =AO ：AM ，也等于两圆半径之比．【典例分析】例．（2023·江苏·中考真题）15．在四边形ABCD 中，2,120,AB BC ABC BH ==Ð=°为ABC Ð内部的任一条射线（CBH Ð不等于60°），点C 关于BH 的对称点为C ¢，直线AC ¢与BH 交于点F ，连接CC CF ¢、，则CC F ¢△面积的最大值是．【变式演练】（2023江苏无锡·二模）16．如图，线段AB 为O e 的直径，点C 在AB 的延长线上，4AB =，2BC =，点P 是O e 上一动点，连接CP ，以CP 为斜边在PC 的上方作Rt PCD V ，且使60DCP Ð=°，连接OD ，则OD 长的最大值为．（2023·安徽·一模）17．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，4=AD ，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且90BEC Ð=°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD PE +的最小值为（）A ．8B ．C ．10D ．2-（2023·江苏扬州·模拟预测）18．如图，A 是B e 上任意一点，点C 在B e 外，已知24AB BC ACD ==，，△是等边三角形，则BCD △的面积的最大值为（）A ．4+B ．4C ．8D ．6（2023·黑龙江绥化·中考真题）19．如图，ABC V 是边长为6的等边三角形，点E 为高BD 上的动点．连接CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到CF ．连接AF ，EF ，DF ，则CDF V 周长的最小值是．（2022·四川成都·中考真题）20．如图，在菱形ABCD 中，过点D 作DE CD ^交对角线AC 于点E ，连接BE ，点P 是线段BE 上一动点，作P 关于直线DE 的对称点P ¢，点Q 是AC 上一动点，连接P Q ¢，DQ ．若14AE =，18CE =，则DQ P Q ¢-的最大值为．（2022·广西柳州·中考真题）21．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，G 是BC 的中点，点E 是正方形内一个动点，且EG ＝2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接CF ，则线段CF 长的最小值为．（2022·江苏无锡·中考真题）22．△ABC 是边长为5的等边三角形，△DCE 是边长为3的等边三角形，直线BD 与直线AE 交于点F ．如图，若点D 在△ABC 内，∠DBC =20°，则∠BAF ＝°；现将△DCE 绕点C 旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF 长度的最小值是．（2022·广西·中考真题）23．如图，在边长为ABCD 中，60C Ð=°，点,E F 分别是,AB AD 上的动点，且,AE DF DE =与BF 交于点P .当点E 从点A 运动到点B 时，则点P 的运动路径长为．（2023·新疆·中考真题）24．如图，在Rt ABC V 中，AB ＝AC ＝4，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 是扇形AEF 的 E F 上任意一点，连接BP ，CP ，则12BP +CP 的最小值是．1【分析】作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，此时，PO +PE 最小，最小值=EF ，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF ，OE 长，再证明△EOF 是直角三角形，然后由勾股定理求出EF 长即可．【详解】解：如图，作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，此时，PO +PE 最小，最小值=EF 的长，∵菱形ABCD ，∴AC ⊥BD ，OA =OC ，OB =OD ，AD =AB =3，∵∠BAD =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD =AB =3，∠BAO =30°，∴OB =12AB =32，∴OA ∴点O 关于AB 的对称点F ，∴OF ⊥AB ，OG =FG ，∴OF =2OG =OA ∠AOG =60°，∵CE ⊥AH 于E ，OA =OC ，∴OE =OC =OA ∴∠AEC =∠CAE ，∵AH 平分∠BAC ，∴∠CAE =15°，∴∠AEO =∠CAE =15°，∴∠COE =∠AEO +∠CAE =30°，∴∠COE +∠AOG =30°+60°=90°，∴∠FOE =90°，∴由勾股定理，得EF ==,∴PO +PE 最小值．【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，则PO +PE 最小，最小值=EF 的长是解题的关键．2．3cm【分析】分别作点P 关于OA OB 、的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA OB 、于点M 、N ，连接OP OC OD PM PN 、、、、，当点M 、N 在CD 上时，PMN V 的周长最小．【详解】解：分别作点P 关于OA OB 、的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA OB 、于点M 、N ，连接OP OC OD PM PN 、、、、．∵点P 关于OA 的对称点为C ，关于OB 的对称点为D ，∴PM CM OP OC COA POA ==Ð=Ð，，；∵点P 关于OB 的对称点为D ，∴PN DN OP OD DOB POB ==Ð=Ð，，，∴3cm OC OD OP ===，22260COD COA POA POB DOB POA POB AOB Ð=Ð+Ð+Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴COD △是等边三角形，∴()3cm CD OC OD ===．∴PMN V 的周长的最小值3cm PM MN PN CM MN DN CD =++=++≥=．故答案为：3cm ．【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定．作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D 是解题的关键所在．3．4-【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME BC ^交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF BC ^于F ，交CD 于G ，则OM ME OF +≥，通过计算得出当,,O M E 三点共线时，ME 有最小值，求出最小值即可．【详解】解：如图，取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME BC ^交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF BC ^于F ，交CD 于G ，则OM ME OF +≥，Q AB CD P ，60DAB Ð= ，4AD CD ==，\120ADC Ð=°，Q AD CD =，\30DAC Ð=°，\30CAB Ð=°，Q AC BC ^，\90ACB Ð=°903060B \Ð=°-°=°，\B DAB Ð=Ð，\四边形ABCD 为等腰梯形，\4BC AD ==，Q 90AMD Ð= ，4=AD ，OA OD =，\122OM AD ==，\点M 在以点O 为圆心，2为半径的圆上，Q AB CD ∥，\60GCF B Ð=Ð=°，\30DGO CGF Ð=Ð=°，Q OF BC ^，AC BC ^，\30DOG DAC DGO Ð=Ð=°=Ð，\2DG DO ==，\2cos30OG OD =×°=，GF =，OF =，\2ME OF OM ≥-=，\当,,O M E 三点共线时，ME 有最小值2，\MBC V 面积的最小值为()14242=´´=．【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M 位置的确定是解题关键．4．；②④．【分析】①在CB 上取点D ，使1CD =，连接CP 、DP 、AD ．根据作图结合题意易证~V V DCP PCB ，即可得出12PD BP =，从而推出12AP BP AP PD +=+，说明当A 、P 、D 三点共线时，AP PD +最小，最小值即为AD 长．最后在Rt ACD V 中，利用勾股定理求出AD 的长即可；②由122()2+=+AP BP AP BP ，即可求出结果；③在CA 上取点E ，使23CE =，连接CP 、EP 、BE ．根据作图结合题意易证~V V ECP PCA ，即可得出13EP AP =，从而推出13AP BP EP BP +=+，说明当B 、P 、E 三点共线时，EP BP +最小，最小值即为BE 长．最后在Rt BCE △中，利用勾股定理求出BE 的长即可；④由133()3+=+AP BP AP BP ，即可求出结果．【详解】解：①如图，在CB 上取点D ，使1CD =，连接CP 、DP 、AD ．∵1CD =，2CP =，4CB =，∴12CD CP CP CB ==．又∵DCP PCB Ð=Ð，∴~V V DCP PCB ，∴12PD BP =，即12PD BP =，∴12AP BP AP PD +=+，∴当A 、P 、D 三点共线时，AP PD +最小，最小值即为AD 长．∵在Rt ACD V 中，===AD∴12AP BP +；②∵122()2+=+AP BP AP BP ，∴2+AP BP 的最小值为2=③如图，在CA 上取点E ，使23CE =，连接CP 、EP 、BE ．∵23CE =，2CP =，6CA =，∴13==CE CP CP CA ．又∵Ð=ÐECP PCA ，∴~V V ECP PCA ，∴13=EP AP ，即13EP AP =，∴13AP BP EP BP +=+，∴当B 、P 、E 三点共线时，EP BP +长．∵在Rt BCE △中，===BE∴13AP BP +；④∵133()3+=+AP BP AP BP ，∴3+AP BP 的最小值为3=．【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．5．【分析】如图1，将△BQC 绕点B 顺时针旋转60°得到△BNM ，连接QN ，当点A ，点Q ，点N ，点M 共线时，QA +QB +QC 值最小，此时，如图2，连接MC ，证明AM 垂直平分BC ，证明AD =BD ，此时P 与D 重合，设PD =x ，则DQ =x -2，构建方程求出x 可得结论．【详解】解：如图1，将△BQC 绕点B 顺时针旋转60°得到△BNM ，连接QN ，∴BQ =BN ，QC =NM ，∠QBN =60°，∴△BQN 是等边三角形，∴BQ =QN ，∴QA +QB +QC =AQ +QN +MN ，∴当点A ，点Q ，点N ，点M 共线时，QA +QB +QC 值最小，此时，如图2，连接MC∵将△BQC 绕点B 顺时针旋转60°得到△BNM ，∴BQ =BN ，BC =BM ，∠QBN =60°=∠CBM ，∴△BQN 是等边三角形，△CBM 是等边三角形，∴∠BQN =∠BNQ =60°，BM =CM ，∵BM =CM ，AB =AC ，∴AM 垂直平分BC ，∵AD ⊥BC ，∠BQD =60°，∴BD ，∵AB =AC ，∠BAC =90°，AD ⊥BC ，∴AD =BD ，此时P 与D 重合，设PD =x ，则DQ =x -2，∴x =())tan 6022x x °´-=-，∴x∴PD故答案为：．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题．6．【分析】将△APC 绕点A 逆时针旋转45°，得到△A P ¢C ¢，将△A P ¢C ¢△AP C ¢¢¢¢，当点B 、P 、P ¢¢、C ¢¢在同一直线上时，3PC +=)''''''PB PP P C ++最短，利用勾股定理求出BC ¢¢即可．【详解】解：如图，将△APC 绕点A 逆时针旋转45°，得到△A ¢C ¢，将△A ¢C ¢扩大，相△AP C ¢¢¢¢，则AP AP ¢¢¢，P C C ¢¢¢¢¢¢，AC AC ¢¢¢，过点P 作PE ⊥A P ¢¢于E ，∴AE=PE AP =，∴P ¢¢E=A P ¢¢AP ，∴P P ¢¢AP =，当点B 、P 、P ¢¢、C ¢¢在同一直线上时，3PC +=)''''''PB PP P C ++最短，此时)''''''PB PP P C ++=C ¢¢，∵∠BA C ¢¢=∠BAC +∠CA C ¢¢=90°，AB =6，4AC AC ¢¢¢=∴BC ¢¢==．∴3PC +=C ¢¢=【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理，正确理解费马点问题的造图方法：利用旋转及全等的性质构建等量的线段，利用三角形的三边关系及点共线的知识求解，有时根据系数将图形扩大或缩小构建图形．7．【分析】延长DC 到H ，使得28CH BC ==，则BH =，在CBH Ð的内部作射线BJ ，使得PBJ CBH Ð=Ð，使得BJ ，连接PJ ，JH ，AH ．先证明JBP HBC △∽△，可得2PJ PB =，再证明PBC JBH △∽△，可得：HJ =，从而得到2PA PB PA PJ HJ AH +=++≥，计算出AH 的长度即可．【详解】解：延长DC 到H ，使得28CH BC ==，则BH =，在CBH Ð的内部作射线BJ ，使得PBJ CBH Ð=Ð，使得BJ ，连接PJ ，JH ，AH ．PBJ CBH Ð=ÐQ ，BP BC BJ BH =，\PB BJ BC BH=，JBP HBC \V V ∽，90BPJ BCH \Ð=Ð=°，2PJ PB \===，PBC JBH Ð=ÐQ ，PB BC BJ BH=，PBC JBH \V V ∽，\PC PB JH BJ =HJ \2PA PB PA PJ H J \+=++，PA PJ JH AH ++≥Q ，2PA PB \+≥=2PA PB \+的值最小，最小值为．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正方形的性质，，正确理解费马点问题，利用相似构造2PB ，根据系数将图形扩大或缩小构建图形是解决问题的关键．8．（1）y 13=x 2x ﹣3；（2）（3【分析】对于（1），结合已知先求出点B 和点C 的坐标，再利用待定系数法求解即可；对于（2），在Rt △OAC 中，利用三角函数的知识求出∠OAC 的度数，再利用角平分线的定义求出∠OAD 的度数，进而得到点D 的坐标；接下来求出直线AD 的解析式，表示出点P ，H ，F 3），首先求出⊙H 的半径，在HA 上取一点K ，使得HK=14，此时K （15-8）；然后由HQ 2=HK·HA ，得到△QHK ∽△AHQ ，再利用相似三角形的性质求出KQ=14AQ ，进而可得当E 、Q 、K 共线时，14AQ+EQ 的值最小，据此解答.【详解】（1）由题意A 0），B （﹣0），C （0，﹣3），设抛物线的解析式为y ＝a （x （x ，把C （0，﹣3）代入得到a 13=，∴抛物线的解析式为y 13=x 2x ﹣3．（2）在Rt △AOC 中，tan ∠OAC OC OA=，∴∠OAC ＝60°．∵AD OAC ，∴∠OAD ＝30°，∴•tan30°＝1，∴D （0，﹣1），∴直线AD 的解析式为y =﹣1，由题意P （m ，13m 2m ﹣3），H （m ﹣1），F （m ，0）．∵FH ＝PH ，∴1=﹣1﹣（13m 2m ﹣3）解得m =，∴当FH ＝HP 时，m 的值为（3）如图，∵PF 是对称轴，∴F （0），H （，﹣2）．∵AH ⊥AE ，∴∠EAO ＝60°，∴EO =＝3，∴E （0，3）．∵C （0，﹣3），∴HC =2，AH ＝2FH ＝4，∴QH 12=CH ＝1，在HA 上取一点K ，使得HK 14=，此时K （158-）．∵HQ 2＝1，HK •HA ＝1，∴HQ 2＝HK •HA ，∴HQ KH AH HQ =．∵∠QHK ＝∠AHQ ，∴△QHK ∽△AHQ ，∴14KQ HQ AQ AH ==，∴KQ 14=AQ ，∴14AQ +QE ＝KQ +EQ ，∴当E 、Q 、K 共线时，14AQ +QE 的值最小，最小值==．【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.9．5【详解】分析: 由PD−12PC ＝PD−PG≤DG ，当点P 在DG 的延长线上时，PD−12PC 的值最大，最大值为DG ＝5．详解: 在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，如图，∵221PB BG ==，422BC PB ==，∴PB BC BG PB=，∵∠PBG ＝∠PBC ，∴△PBG ∽△CBP ，∴12PG BG PC PB ==，∴PG ＝12PC ，当点P 在DG 的延长线上时，PD−12PC 的值最大，最大值为DG ＝5．故答案为5点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．10．2【分析】解法1，如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形PDM △，连接MC ，BD ，连接PM 、DM ，推得)PD PC PC PM ö-==-÷÷ø，因为PC PM MC -£，求出MC 即可求出答案．解法2：如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使BM BP MP ，证明BMP V :BPD △，在BC 上做点N ，使1=2BN BP ，连接NP ，证明BNP △:BPC △，接着推导PD -，最后证明BMN V :BCD △，即可求解．【详解】解法1如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形PDM △，连接MC ，BD ，∴45PDM Ð=，DM PM =，Q 四边形ABCD 正方形\45BDC Ð=°，DB DC=又Q PDM PDB MDB Ð=Ð+，BDC MDB MDCÐ=Ð+\PDB MDCÐ=Ð在BPD △与MPC V 中PDB MDC Ð=Ð，DB DP DC DM==\BPD △:MPCV\PB MC =Q 2BP =\MC =Q )PD PC PC PM ö-=-÷÷øQ PC PM MC-£)2PD PC PM -=-£=故答案为：2．解法2如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，B e 的半径为2\=2BP ，BDQBP BD在BD 上做点M ，使BM BP =BM MP 在BMP V 与BPD △中=MBP PBD ÐÐ，=BP BM BD BP\V BPD\PM PD PD Q 21==42BP BC 在BC 上做点N ，使1=2BN BP ，则=1BN ，连接NP 在BNP △与BPC △中=NBP PBC ÐÐ，=BN BP BP PC\BNP △:BPC△\1=2PN PC ，则=2PC PN \如图所示连接NM)2PD PN PN PM ---Q PN PM NM -£)PD PN PM --£在BMN V 与BCD △中=NBM DBC ÐÐ，BM BC BN BD \=BM BN BC BD\V BCD\MN CD Q CD\MN\2PD -£=故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．11．165【分析】如图，由题意可得：B ¢在A e 上，过B ¢作B H BC ¢^于H ，由点B 关于直线AE 的对称点B ¢，可得AB AB ¢=，BE B E ¢=，AEB AEB ¢Ð=Ð，ABE AB E ¢Ð=Ð，当DE 与A e 切于点B ¢时，BF 最大，此时DF AB ¢^，证明E ，F 重合，可得DAE AEB AEB ¢Ð=Ð=Ð，10AD DE ==，求解4BE B E ¢==，证明EB H EDC ¢V V ∽，可得EB B H ED CD¢¢=，从而可得答案．【详解】解：如图，由题意可得：B ¢在A e 上，过B ¢作B H BC ¢^于H ，∵点B 关于直线AE 的对称点B ¢，∴AB AB ¢=，BE B E ¢=，AEB AEB ¢Ð=Ð，ABE AB E ¢Ð=Ð，当DE 与A e 切于点B ¢时，BF 最大，此时DF AB ¢^，∴90ABE AB F ¢Ð=Ð=°，∴E ，F 重合，∴AEB AEB ¢Ð=Ð，∵矩形ABCD ，∴AD BC ∥，90C Ð=°，10AD BC ==，8AB CD ==，∴DAE AEB AEB ¢Ð=Ð=Ð，∴10AD DE ==，∴6CE ==，∴4BE B E ¢==，∵B H BC ¢^，90C Ð=°，∴B H CD ¢∥，∴EB H EDC ¢V V ∽，∴EB B H ED CD¢¢=，∴4108B H ¢=，∴165B H ¢=，∴点B ¢到BC 的距离是165．故答案为：165．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．12．A【分析】先证明90AEB Ð=°，即可得点E 在以AB 为直径的半圆上移动，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD PF =，则有：PE PD PE PF +=+，则线段EF 的长即为PE PD +的长度最小值，问题随之得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABC Ð=°，∴90ABE EBC Ð+Ð=°，∵EAB EBC Ð=Ð，∴90EAB EBA Ð+Ð=°，∴90AEB Ð=°，∴点E 在以AB 为直径的半圆上移动，如图，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD PF =，则有：PE PD PE PF +=+，则线段EF 的长即为PE PD +的长度最小值，E∵90G Ð=°，4FG BG AB ===，∴6OG =，2OA OB OE ===，∴OF ==∴2EF OF OE =-=，故PE PD +的长度最小值为2，故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键．13．3【分析】通过已知求得D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，12B D长为半径的圆上运动，再运用圆外一定点到圆上动点距离的最大值=定点与圆心的距离+圆的半径，求得CE的最大值．【详解】解：∵BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，∴BD＝2，∴112BD=．由题意可知，D在以B为圆心，BD长为半径的圆上运动，∵E为AD的中点，∴E在以BA中点为圆心，12B D长为半径的圆上运动，CE的最大值即C到BA中点的距离加上12B D长．∵90ACBÐ= ，30BACÐ= ，BC＝2，∴C到BA中点的距离即122AB=，又∵112BD=，∴CE的最大值即11213 22AB BD+=+=．故答案为3．【点睛】本题考查了与圆相关的动点问题，正确识别E点运动轨迹是解题的关键．14．【分析】如图所示，延长PB到D使得PB=DB，先证明△APD是等边三角形，从而推出ABP=90°，∠BAP =30°，以AO 为斜边在AC 下方作Rt △∠MAO =30°，连接CM ，过点M 作MH ⊥AC 于H ，解直角三角形得到AM AB AO AP =△AMB ∽△AOP ，得到BM AB OP AP ==BM =，则点B 在以M M 、B 、C 三点共线时，即点B 在点B ¢的位置时，BC 有最小值，据此求解即可．【详解】解：如图所示，延长PB 到D 使得PB =DB ，∵12BP AP =，∴2AP PD PB ==，又∵∠APB =60°，∴△APD 是等边三角形，∵B 为PD 的中点，∴AB ⊥DP ，即∠ABP =90°，∴∠BAP =30°，以AO 为斜边在AC 下方作Rt △AMO ，使得∠MAO =30°，连接CM ，过点M 作MH ⊥AC 于H ，∴cos OAM ∠同理可得AB AP ∵∠OAM =30°=∠PAB ，∴∠BAM =∠PAO又∵AM AB AO AP =∴△AMB ∽△AOP∴BM AB OP AP ==∵点P 到点O 的距离为2，即OP =2，∴BM =∴点B 在以M连接CM 交圆M B ¢，∴当M 、B 、C 三点共线时，即点B 在点B ¢的位置时，BC 有最小值，∵AC =2AO =8，∴AO =4，∴cos AM AO OAM =×∠∴cos 3AH AM MAH =×Ð=，=sin HM AM MAH ×∠∴5CH =，∴CM ==∴B C CM MB ¢¢=-=，∴BC 的最小值为故答案为：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握瓜豆模型即证明点B 在以M15．【分析】连接BC ¢，根据轴对称的性质可得,CB C B CF C F ¢¢==，进而可得,,A C C ¢在半径为2的B e 上，证明CC F ¢△是等边三角形，当CC ¢取得最大值时，CC F ¢△面积最大，根据圆的直径最大，进而得出CC ¢最大值为4，即可求解．【详解】解：如图所示，连接BC ¢，∵点C 关于BH 的对称点为C ¢，∴,CB C B CF C F ¢¢==，∵2AB BC ==，∴,,A C C ¢在半径为2的B e 上，在优弧 AC 上任取一点E ，连接,AE EC ,则1602AEC ABC Ð°=Ð=，∵120ABC Ð=°，∴11801801202AC C AEC ABC ¢Ð=°-Ð=°-Ð=°，∴60CC F ¢Ð=°，∴CC F ¢△是等边三角形，当CC ¢取得最大值时，CC F ¢△面积最大，∵C ¢在B e 上运动，则CC ¢4，则CC F ¢△24=故答案为：【点睛】本题考查了轴对称的性质，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，得出CC ¢最大值为4是解题的关键．16．1##1+【分析】作COE V ，使得90CEO Ð=°，60ECO Ð=°，则2CO CE =，OE =OCP ECD Ð=Ð，由COP CED ∽△△，推出2OP CP ED CD==，即112ED OP ==（定长），由点E 是定点，DE 是定长，点D 在半径为1的E e 上，由此即可解决问题．【详解】解：如图，作COE V ，使得90CEO Ð=°，60ECO Ð=°，则2CO CE =，OE =，OCP ECD Ð=Ð，90CDP Ð=°Q ，60DCP Ð=°，2CP CD \=，\2CO CP CE CD==，COP CED \V V ∽，\2OP CP ED CD==，即112ED OP ==（定长），Q 点E 是定点，DE 是定长，\点D 在半径为1的E e 上，1OD OE DE £+=Q ，OD \的最大值为1，故答案为：1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．17．A【分析】根据90BEC Ð=°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化即可求解．【详解】解：如图，设点O 为BC 的中点，由题意可知，点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动，作半圆O 关于AB 的对称图形（半圆'O ），点E 的对称点为1E ，连接1'O E ,则1PE PE =，∴当点D 、P 、1E 、'O 共线时，PD PE +的值最小，最小值为1DE 的长，如图所示，在Rt 'DCO V 中，8CD =，'=6CO ，'10DO \==，又1'2O E =Q ，11''8DE DO O E \=-=，即PD PE +的最小值为8，故选：A ．【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化时解题的关键．18．A【分析】以BC 为边向上作等边三角形BCM ，连接DM ，证明DCM ACB △≌△得到2DM AB ==，分析出点D 的运动轨迹是以点M 为圆心，DM 长为半径的圆，在求出点D 到线段BC 的最大距离，即可求出面积的最大值．【详解】解：如图，以BC 为边向上作等边三角形BCM ，连接DM ，∵60DCA MCB Ð=Ð=°，∴DCA ACM MCB ACM Ð-Ð=Ð-Ð，即DCM ACB =∠∠，在DCM △和ACB △中，DC AC DCM ACB MC BC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS DCM ACB △≌△，∴2DM AB ==，∴点D 的运动轨迹是以点M 为圆心，DM 长为半径的圆，要使BCD △的面积最大，则求出点D 到线段BC 的最大距离，∵BCM V 是边长为4的等边三角形，∴点M 到BC 的距离为∴点D 到BC 的最大距离为2，∴BCD △的面积最大值是()14242´´=，故选A ．【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D 的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值．19．3+3【分析】根据题意，证明CBE CAF V V ≌，进而得出F 点在射线AF 上运动，作点C 关于AF 的对称点C ¢，连接DC ¢，设CC ¢交AF 于点O ，则=90AOC Ð°，则当,,D F C ¢三点共线时，FC FD +取得最小值，即FC FD F C F D CD ¢¢¢¢+=+=，进而求得C D ¢，即可求解．【详解】解：∵E 为高BD 上的动点．∴1302CBE ABC Ð=Ð=°∵将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到CF ．ABC V 是边长为6的等边三角形，∴,60,CE CF ECF BCA BC AC=Ð=Ð=°=∴CBE CAFV V ≌∴30CAF CBE Ð=Ð=°，∴F 点在射线AF 上运动，如图所示，作点C 关于AF 的对称点C ¢，连接DC ¢，设CC ¢交AF 于点O ，则=90AOC Ð°在Rt AOC V 中，30CAO Ð=°，则132CO AC ==，则当,,D F C ¢三点共线时，FC FD +取得最小值，即FC FD F C F D CD ¢¢¢¢+=+=∵6CC AC ¢==，ACO C CD ¢Ð=Ð，CO CD=∴ACO C CD¢V V ≌∴90C DC AOC ¢Ð=Ð=°在C DC ¢V 中，C D ¢===∴CDF V 周长的最小值为3CD FC CD CD DC ¢++=+=+故答案为：3+【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键．20【分析】延长DE ，交AB 于点H ，确定点B 关于直线DE 的对称点F ，由点B ，D 关于直线AC 对称可知QD=QB ，求QD Q P ¢-最大，即求Q B Q P ¢-最大，点Q ，B ，P ¢共线时，Q D Q P Q B Q P B P ¢¢¢-=-=，根据“三角形两边之差小于第三边”可得BP ¢最大，当点P ¢与点F 重合时，得到最大值.连接BD ，即可求出CO ，EO ，再说明E OD D O C V :V ，可得DO ，根据勾股定理求出DE ，然后证明E O D B H D V :V ，可求BH ，即可得出答案．【详解】延长DE ，交AB 于点H ，∵AB CD P ，ED ⊥CD ，∴DH ⊥AB ．取FH=BH ，∴点P 的对称点在EF 上．由点B ，D 关于直线AC 对称，∴QD=QB ．要求QD Q P ¢-最大，即求Q B Q P ¢-最大，点Q ，B ，P ¢共线时，Q D Q P Q B Q P B P ¢¢¢-=-=，根据“三角形两边之差小于第三边”可得BP ¢最大，当点P ¢与点F 重合时，得到最大值BF ．连接BD ，与AC 交于点O ．∵AE=14,CE=18，∴AC=32，∴CO=16，EO=2．∵∠EDO+∠DEO=90°，∠EDO+∠CDO=90°，∴∠DEO=∠CDO．∵∠EOD=∠DOC，∴E O D D O CV:V，∴E O D O D O C O=，即221632D O=´=，解得DO=∴2B D D O==．在Rt△DEO中，6D E==．∵∠EDO=∠BDH，∠DOE=∠DHB，∴E O D B H DV:V，∴E O D EB H B D=，即2B H=解得B H∴B F=．【点睛】这是一道根据轴对称求线段差最大的问题，考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质和判定等，确定最大值是解题的关键．21．2【分析】如图，由EG＝2，确定E在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，再证明ADE CDF V V ≌（SAS ），可得，AE CF =可得当，，A E G 三点共线时，AE 最短，则CF 最短，再利用勾股定理可得答案．【详解】解：如图，由EG ＝2，可得E 在以G 为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE ，∵正方形ABCD ，∴,90，AD CD ADC =Ð=° 90，ADC EDF \Ð=Ð=°∴，ADE CDF Ð=Ð ∵DE =DF ，∴ADE CDF V V ≌（SAS ），∴，AE CF =∴当，，A E G 三点共线时，AE 最短，则CF 最短，∵G 位BC 中点，4，BC AB == ∴2，BG =此时AG ===此时2，AE =所以CF 的最小值为： 2.故答案为：2【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．22． 80 44【分析】利用SAS 证明△BDC ≌△AEC ，得到∠DBC =∠EAC =20°，据此可求得∠BAF 的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB =60°，推出A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，此时线段AF 长度有最小值，据此求解即可．【详解】解：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴AC =BC ，DC =EC ，∠BAC =∠ACB =∠DCE =60°，∴∠DCB +∠ACD =∠ECA +∠ACD =60°，即∠DCB =∠ECA ，在△BCD 和△ACE 中，CD CE BCD ACE BC AC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ACE ≌△BCD （ SAS ），∴∠EAC =∠DBC ，∵∠DBC =20°，∴∠EAC =20°，∴∠BAF =∠BAC +∠EAC =80°；设BF 与AC 相交于点H ，如图：∵△ACE ≌△BCD∴AE =BD ，∠EAC =∠DBC ，且∠AHF =∠BHC ，∴∠AFB =∠ACB =60°，∴A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，∵点D 在以C 为圆心，3为半径的圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，∴此时线段AF 长度有最小值，在Rt △BCD 中，BC =5，CD =3，∴BD =4，即AE =4，∴∠FDE =180°-90°-60°=30°，∵∠AFB =60°，∴∠FDE =∠FED =30°，∴FD =FE ，过点F 作FG ⊥DE 于点G ，∴DG =GE =32，∴FE =DF =cos30DG °∴AF =AE -FE故答案为：80；【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．23．43p 【分析】根据题意证得BFD DEA ≌V V ，推出∠BPE =60°，∠BPD =120°，得到C 、B 、P 、D 四点共圆，知点P 的运动路径长为BD n的长，利用弧长公式即可求解．【详解】连接BD ，∵菱形ABCD 中，60C Ð=°，∴∠C=∠A=60°，AB=BC=CD=AD ，∴△ABD 和△CBD 都为等边三角形，∴BD=AD ，∠BDF=∠DAE=60°，∵DF=AE ，∴BFD DEA ≌V V ，∴∠DBF=∠ADE ，∵∠BPE=∠BDP+∠DBF =∠BDP+∠ADE=∠BDF =60°，∴∠BPD=180°-∠BPE=120°，∵∠C=60°，∴∠C+∠BPD =180°，∴C 、B 、P 、D 四点共圆，即⊙O 是CBD △的外接圆，∴当点E 从点A 运动到点B 时，则点P 的运动路径长为BD n 的长，∴∠BOD =2∠BCD =120°，作OG ⊥BD 于G ，根据垂径定理得：BG=GD=12∠BOG =12∠BOD =60°，∵sin BOG BG OB Ð=，即sin 60°=，∴2OB =，从而P 点的路径长为212041801803n R p p p ´°×==°°．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹．24【分析】在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，PA ，CT ．证明PAT BAP V V ∽，推出PT PB ＝AP AB ＝12，推出PT ＝12PB ，推出12PB +CP ＝CP +PT ，根据PC +PT ≥TC ，求出CT 即可解决问题．【详解】解：在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，PA ，CT ．∵PA ＝2．AT ＝1，AB ＝4，∴PA 2＝4=AT •AB ，∴PA AT ＝AB PA ，∵∠PAT ＝∠PAB ，∴PAT BAPV V∽，∴PTPB＝APAB＝12，∴PT＝12PB，∴12PB+CP＝CP+PT，∵PC+PT≥TC，在Rt ACTV中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT，∴12PB+PC，∴12PB+PC．．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．。

2024年中考数学专题复习定值与最值问题

定值与最值问题1、平面几何最值问题：在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

线段最值问题的解决通常方法：应用几何性质．①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长．基本类型有：将军饮马、选址造桥、线段之差的最大值，隐圆最值，瓜豆原理，胡不归最值，阿氏圆等。

2、立体几何最值问题：展开平面图形，根据平面几何最值问题方法去做！3、代数最值问题：无非就是根据完全平方公式或者二次函数的知识去求解！例1．如图，A、B两个机离线l的距离分别是3米，5米，CD＝6米，若由l上一点分别向A，B连线，最短为()A．11米B．10米C．9米D．8米1．如图Rt△ABC中，AB＝BC＝4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED、EB，则△BDE周长的最小值为()A．2 5 B．2 3 C．25＋2 D．23＋22．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB 的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为__ ．3．直线l1、l2交于点O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从点P到l2上一点Q，再回到点B，求作P、Q两点，使四边形APQB周长最小．4．A、B是位于河流两旁的两个村庄，要在这条宽度为d的河上建一条垂直的桥，使得从A村到B村的距离之和最短．试着画出桥应该建在何处？例2．如图，AC⊥BC于C，连接AB，点D是AB上的动点，AC＝6，BC＝8，AB＝10，则点C到点D的最短距离是（）A．6 B．8 C．403D．2451．如图，点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（）A ．（0，0）B ．（21-，21-）C ．（22，22-）D ．（22-，22-） 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点A （﹣4，0）、B （0，4），⊙O 的半径为1，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为_________．例3．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠A ＝135°，点P 、M 、N 分别为对角线BD 及边BC ，CD 上的动点，则PM ＋PN 的最小值为__ ．1．如图，∠ABC ＝45°，BC ＝42，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，M 、N 分别是BD 和BC 上的动点(M 与B ，D 两点不重合，N 与B ，C 两点不重合)，则CM ＋MN 的最小值为__ ．2．如图，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一定点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA ，OB 上的动点，则△PQR 周长的最小值为__ ．例4．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于．1．如图所示，已知11(,)2A y ，2(2,)B y 为反比例函数1y x =图象上的两点，动点(,0)P x 在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（）A ．1(,0)2B ．(1,0)C ．3(,0)2D ．5(,0)22．点A 、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP *OQ = ．例5．在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC =2．设tan ∠BOC =m ，则m 的取值范围是_________．1．如图, △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，O 为AC 的中点，过O 作OE ⊥OF ，OE 、OF 分别交射线AB 、BC 于E 、F ，则EF 的最小值为．2．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF =90°，则EF 的最小值是_____________．例6．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+1．如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A ．13cmB ．12cmC ．10cmD ．8cm2．如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为 cm ．第1题第2题例7．求二次三项式2x 2x +3的最小值．1．求代数式﹣2x 2+3x +5的最大值．例9．如果P 是边长为2的正方形ABCD 的边CD 上任意一点且PE ⊥DB ，PF ⊥CA ，垂足分别为E ，F ，则PE ＋PF ＝__ __．1．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定2．如图，在平面直角坐标系x O y 中，矩形AOCD 的顶点A 的坐标是（0,4），现有两动点P 、Q ，点P 从点O 出发沿线段OC （不包括端点O ，C ）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点Q 从点C 出发沿线段CD （不包括端点C ，D ）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D 运动．点P ，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当t =2秒时PQ =52．（1）求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；（2）连接AQ 并延长交x 轴于点E ,把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F ,连接EF ，则△A EF 的面积S 是否随t 的变化而变化？若变化，求出S 与t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值．1．如图，在正方形ABCD 中，G 是正方形内一点，AD =4，P 是BC 的中点，且BG =BP ，则DG +12GC 的最小值是__________．（提示：考虑用相似转化，系数需要化成相同）。

2024成都中考数学二轮复习微专题利用两点之间线段最短解决最值问题(含答案)

2024成都中考数学二轮复习微专题利用两点之间线段最短解决最值问题模型一“一线两点”型(一个动点＋两个定点)类型一线段和最小值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．解题思路：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．模型演变问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．解题思路：将两定点同侧转化为异侧问题，同“模型分析”即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′，与直线l交于点P.注：也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l交于点P′.模型应用1.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC＝63，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD＋PE的最小值为________．第1题图S矩形ABCD，2.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是矩形内一动点，满足S△P AB＝13则PA＋PB的最小值为________．第2题图模型迁移3.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx的图象相交于A(3，5)、B(a，－3)两点，与x轴交于点C.第3题图(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P为y轴上的动点，当PB＋PC取最小值时，求△BPC的面积．4.如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．第4题图类型二线段差最大值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．解题思路：根据两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即AB的长，连接AB并延长，与直线l交于点P，点P即为所求．模型演变问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．解题思路：将两定点异侧转化为同侧问题，同“模型分析”即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′并延长与直线l交于点P.模型应用5.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，点P是EF上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．第5题图6.如图，在等边△ABC中，AB＝4，AD是中线，点E是AD的中点，点P是AC上一动点，则BP－EP的最大值为________．第6题图7.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC 边上，且BM＝6，P为对角线BD上一动点，则PM－PN的最大值为________．第7题图模型迁移8.已知抛物线y＝x2－2x－8与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，P 是抛物线对称轴上的一个动点，当|PB－PC|有最大值时，求点P的坐标．模型二“一点两线”型(两个动点＋一个定点)类型一两条线段的和最小值问题模型分析问题：点P是∠AOB的边OB上一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PM ＋MN的值最小．解题思路：要使PM＋MN的值最小，设法将PM、MN转化到同一条直线上，利用垂线段最短即可解决．作点P关于OA的对称点P′，过点P′作OB的垂线，分别与OA，OB交于点M、N.模型应用9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q 分别是AD，AC上的动点，则PC＋PQ的最小值为________．第9题图10.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝120°，点M，N分别为BD，CD上的动点，则CM＋MN的最小值为________．第10题图类型二周长最小值问题模型分析问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN 的周长最小．解题思路：要使△PMN的周长最小，即PM＋MN＋PN的值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可解决．分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″交OA、OB于点M、N.模型应用11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AB上一定点，点E，F分别为边AC，BC上的动点，当△DEF的周长最小时，则∠FDE＝________．第11题图12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上，且AD＝4，点E，F分别为边AC，AB上的动点，则△DEF周长的最小值为________．第12题图模型三“一定长＋两定点”型类型一异侧线段和最小值问题(“造桥”问题)模型分析问题：已知l1∥l2，l1，l2之间距离为d，在l1，l2上分别找M，N两点，使得MN⊥l1，且AM ＋MN＋NB的值最小．解题思路：要求AM＋MN＋NB的最小值，MN为定值，即要求AM＋NB的最小值，通过平移构造平行四边形，将AM、NB转化到同一条直线上．将点A向下平移d个单位到点A′，连接A′B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1于点M.模型应用13.如图，已知直线a∥b，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到直线b的距离为2，PQ＝241.在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，且PA ＋AB＋BQ最小，则PA＋BQ＝________．第13题图类型二同侧线段和最小值问题(平移型问题)模型应用14.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF＝1，则DE＋BF的最小值为________．第14题图15.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，BC＝12，∠ABC＝60°，点E、F是AD边上的动点，且EF＝2，则四边形BEFC周长的最小值为________．第15题图模型迁移16.如图，已知点A(3，1)，B(1，0)，PQ是直线y＝x上的一条动线段，且PQ＝2(点Q在点P的下方)，当AP＋PQ＋QB取得最小值时，求点Q的坐标．第16题图参考答案1.33【解析】如解图，连接DE ，则PD ＋PE ≥DE ，设DE 交AC 于点M ，当点P 与点M 重合时PD ＋PE 取得最小值，且最小值为DE .∵在菱形ABCD 中，AC ＝63，BD ＝6，∴AO ＝33，OD ＝3，AC ⊥BD ，∴AD ＝OA 2＋OD 2＝6，∴AD ＝BD ＝AB ，∴∠BAD ＝60°，∵点E 为AB 的中点，∴DE ⊥AB ，∴DE ＝AD ·sin60°＝3 3.第1题解图2.41【解析】如解图，设△PAB 底边AB 上的高为h ，∵S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，∴12AB ·h ＝13AB ·AD ，∴h ＝2，即h 为定值，在AD 上截取AE ＝2，作EF ∥AB ，交CB 于点F ，故点P 在直线EF 上运动，作点A 关于直线EF 的对称点A ′，连接A ′B ，交直线EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，即为A ′B 的长．由对称得AA ′＝2AE ＝4，∴A ′B ＝AA ′2＋AB 2＝42＋52＝41，即PA ＋PB 的最小值为41.第2题解图3.解：(1)把点A (3，5)代入y ＝m x可得m ＝3×5＝15，∴反比例函数的表达式为y ＝15x，把点B (a ，－3)代入y ＝15x，可得a ＝－5，∴B (－5，－3)．把点A (3，5)，B (－5，－3)代入y ＝kx ＋b k ＋b ＝55k ＋b ＝－3＝1＝2，∴一次函数的表达式为y ＝x ＋2；(2)∵一次函数的表达式为y ＝x ＋2，令y ＝0，则x ＝－2，∴C (－2，0)，如解图，作点C 关于y 轴的对称点C ′，则C ′(2，0)，即CC ′＝4，连接BC ′交y 轴于点P ，此时PC ＋PB 有最小值，最小值为BC ′，设直线BC ′的表达式为y ＝k ′x ＋b ′，5k ′＋b ′＝－3k ′＋b ′＝0，′＝37′＝－67，则BC ′的表达式为y ＝37x －67，∴P (0，－67)，即OP ＝67，此时S △BPC ＝S △BCC ′－S △PCC ′＝12×4×3－12×4×67＝307.第3题解图4.解：当y ＝0时，－x 2－2x ＋3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴点A 坐标为(－3，0)，点B 坐标为(1，0)．当x ＝0时，y ＝3，∴点C 坐标为(0，3)．∵△PBC 的周长为PB ＋PC ＋BC ，BC 为定值，∴当PB ＋PC 最小时，△PBC 的周长最小．∵点A ，点B 关于抛物线的对称轴l 对称，∴连接AC ，交l 于点P ，点P 即为所求的点．∵AP ＝BP ，∴PB ＋PC ＋BC ＝AC ＋BC .∵A (－3，0)，B (1，0)，C (0，3)，∴AC ＝32，BC ＝10，∴△PBC 周长的最小值为32＋10.5.3【解析】如解图，延长BA 交EF 于P ′，当点P 位于P ′处时|PA －PB |的值最大，∴|PA －PB |的最大值为AB ＝3.第5题解图6.7【解析】如解图，连接BE 并延长交AC 于点P ′，此时BP －EP 取得最大值为BE ，在等边△ABC 中，AD 是中线，∴BD ＝DC ＝2，∴AD ＝BD ·tan60°＝2×3＝23，∵E 为AD的中点，∴DE ＝12AD ＝3.∴在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝22＋（3）2＝7，∴BP －EP 的最大值为7.第6题解图7.2【解析】如解图，以BD 为对称轴作点N 的对称点N ′，连接MN ′并延长交BD 于点P ，连接NP ，根据轴对称性质可知PN ＝PN ′，∴PM －PN ＝PM －PN ′≤MN ′，当P ，M ，N ′三点共线时，PM －PN 取得最大值，最大值为MN ′的长，∵正方形的边长为8，∴AC ＝2AB ＝82，∵O 为AC 中点，∴AO ＝OC ＝42，∵N 为OA 中点，∴ON ＝22，∴ON ′＝CN ′＝22，∴AN ′＝62，∵BM ＝6，∴CM ＝AB －BM ＝8－6＝2，∴CM BM ＝CN ′AN ′＝13，∵∠MCN ′＝∠BCA ，∴△CMN ′∽△CBA ，∴∠CMN ′＝∠CBA ＝90°，∵∠N ′CM ＝45°，∴△N ′CM 为等腰直角三角形，∴MN ′＝CM ＝2，即PM －PN 的最大值为2.第7题解图8.解：如解图，连接PA ，则PA ＝PB ，当x ＝0时，y ＝x 2－2x －8＝－8，则C (0，－8)，当y ＝0时，x 2－2x －8＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4，则A (－2，0)，B (4，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴|PB －PC |＝|PA －PC |≤AC (当点A 、C 、P 共线时取等号)，延长AC 交直线x ＝1于点P ′，设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n (m ≠0)，把A (－2，0)，C (0，－8)代入得2m ＋n ＝0＝－8＝－4＝－8，∴直线AC 的解析式为y ＝－4x －8，当x ＝1时，y ＝－4－8＝－12，即P ′(1，－12)，∴当|PB －PC |有最大值时，点P 的坐标为(1，－12)．第8题解图9.245【解析】如解图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC 于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ＝PM，∴PC＋PQ＝PC＋PM＝CM，根据垂线段最短可知，此时PC＋PQ有最小值，即为CM，∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10，∵S△ABC＝12AB·CM＝12AC·BC，∴CM＝AC·BCAB＝6×810＝245.第9题解图10.33【解析】如解图，过点A作CD的垂线，垂足为N，与DB的交点记为M，∵四边形ABCD为菱形，∴点A与点C关于对角线BD对称，∴AM＝CM，∴CM＋MN＝AM＋MN ＝AN，根据垂线段最短可知，此时CM＋MN有最小值，最小值为AN.∵AB＝6，∠A＝120°，∴∠ADC＝60°，AD＝6，∴AN＝AD·sin60°＝33，∴CM＋MN的最小值为3 3.第10题解图11.90°【解析】如解图，作D关于AC的对称点D′，关于BC的对称点D″，连接D′D″交AC于点E，交BC于点F，此时，△DEF的周长最小，最小为D′D″，∵AB＝AC，∠BAC ＝90°，∴∠B＝45°，DD′⊥AC，DD″⊥BC，∴∠BDD′＝45°，∴∠D′DD″＝135°，∴∠D′＋∠D″＝45°，∵ED′＝ED，DF＝D″F，∴∠D′＝∠D′DE，∠D″＝∠D″DF，∴∠D″DF＋∠D′DE＝45°，∴∠FDE＝90°.第11题解图12.4【解析】如解图，作点D关于直线AC的对称点D′，点D关于直线AB的对称点D″，连接D′D″交AC于点E，交AB于点F，此时△DEF的周长最小，最小值为D′D″的长，连接AD′、AD″，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝30°，∵∠DAB＝∠D″AB，∠DAC＝∠D′AC，∴∠D′AD″＝2∠BAC＝60°，∵AD′＝AD，AD″＝AD，∴AD′＝AD″，∴△AD′D″是等边三角形，∴D′D″＝AD′＝AD＝4，∴△DEF的周长的最小值为4.第12题解图13.10【解析】如解图，过点P作PF⊥b交a于点E，交b于点F，在PF上截取PC＝4，连接QC交b于点B，过点B作BA⊥a于点A，此时PA＋AB＋BQ最短．过点Q作QD⊥PF 于点D.在Rt△PQD中，∵∠D＝90°，PQ＝241，PD＝10，∴DQ＝PQ2－PD2＝8，CD ＝PD－PC＝6，∵AB＝PC＝4，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA＝BC，∴PA ＋BQ＝CB＋BQ＝QC＝DQ2＋CD2＝10.第13题解图14.10【解析】如解图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于点F，连接BD，∵DM∥AC，∴∠BDM＝90°，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE＋BF＝FM＋FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE＋FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM＝12＋32＝10，∴DE＋BF的最小值为10.第14题解图15.14＋237【解析】如解图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B′，作点B′关于AD的对称点B″，连接CB″，交AD于点F，在AD上截取EF＝2，连接B′F，四边形EBB′F为平行四边形，则BE＝B′F，B″F＝B′F，此时四边形BEFC的周长为BE＋EF＋FC＋BC＝B″F＋EF＋FC＋BC＝B″C＋EF＋BC，当点C、F、B″三点共线时，四边形BEFC的周长最小．∵AB＝4，BB′＝2，∠ABC＝60°，∴B′B″经过点A.∴AB′＝2 3.∴B′B″＝4 3.∵BC＝12，∴B ′C ＝10.∴B ″C ＝B ′B ″2＋B ′C 2＝237.∴B ″C ＋EF ＋BC ＝14＋237.∴四边形BEFC 周长的最小值为14＋237.第15题解图16.解：如解图，过点A 作直线MN ∥直线y ＝x ，将点A (3，1)沿MN 向下平移2个单位后得到A ′(2，0)，作点B (1，0)关于直线y ＝x 的对称点B ′(0，1)，连接A ′B ′交直线y ＝x 于点Q .∵AA ′＝PQ ＝2，AA ′∥PQ ，∴四边形APQA ′是平行四边形，∴AP ＝A ′Q .∴AP ＋PQ ＋QB ＝A ′Q ＋PQ ＋B ′Q ，且PQ ＝2，∴当A ′Q ＋B ′Q 值最小时，AP ＋PQ ＋QB 值最小，根据两点之间线段最短，即A ′，Q ，B ′三点共线时A ′Q ＋B ′Q 值最小．∵B ′(0，1)，A ′(2，0)，∴直线A ′B ′的解析式y ＝－12x ＋1，＝x＝－12x ＋1，＝23＝23，∴点Q 的坐标为(23，23)．第16题解图。

2022年中考数学二轮专题复习-最值问题

1 最值问题知识点一：最值问题最值问题分代数最值和几何最值两类，其中代数最值主要考查方程与不等式及函数的性质，而几何最值涉及到图形的性质、图形的变化、图形与坐标多个维度. 解决几何最值问题的通常思路： 1. 两点之间线段最短2. 直线外一点到直线上，垂线段最短3. 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）解决代数最值问题的通常思路： 1. 利用非负数的性质 2. 利用不等式的性质 3. 利用函数的图像与性质【例1-1】如图，在直线MN 的异侧有A 、B 两点，按要求画图取点，并写出画图的依据．（1）在直线MN 上取一点C ，使线段AC 最短．依据是．（2）在直线MN 上取一点D ，使线段AD +BD 最短．依据是．【例1-2】如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = ．N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)Oyx【例1-3】如图，已知AB =10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为．A BCDPAB OPxy【例1-4】在平面直角坐标系中，抛物线()k x k x y --+=12与直线1+=kx y 交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧．（1）如图1，当1=k 时，直接写出A ，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点C 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，过点C 作x 轴的垂线，交于直线AB 于点D ，求CD 线段的最大值及此时点C 的坐标；（3）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标.举一反三1. 如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边上的中点，则MP +PN 的最小值是（）A ．21B ．1C ．2D ．2 2. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为 .F DCBA xy OE3. 如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，运动过程中，点P 到原点的最大距离是________.若将△ABP 中边PA 的长度改为22，另两边长度不变，则点P 到原点的最大距离变为_________．4. 如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M （0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标.知识点二：隐形圆借助“隐圆”解决几何最值问题的理论依据有两个：①定圆的所有弦中，直径最长；②圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长.这类最值问题，首先要判断动点是否在圆上运动，通常有两种判断方法：①无论动点在何处，动点到某一定点的距离不变，则可判断出该动点在以定点为圆心的圆上运动；②运动轨迹是圆，才能借助“隐圆”求最值.【例2-1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（）A．210-2 B.6 C.213-2 D.4【例2-2】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝D F，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长是2，则线段DH长度的最小值是.【例2-3】如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX 、OY 上移动，AB = 2，那么OC 的最大值为 .【例2-4】如图，△ABC 中，∠ABC ＝90°， AB ＝6，BC ＝8，O 为AC 的中点，过O 作OE ⊥OF ，OE 、OF 分别交射线AB 、BC 于E 、F ，则EF 的最小值为 .举一反三1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，P 是直线AB 上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B ′CP ，连接B ′A ，B ′A 长度的最小值是m ，B ′A 长度的最大值是n ，则m +n 的值等于．2. 如图，Rt △ABC 中，A B ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（）A ．23 B ．2 C ．13138 D ．131312 3. 已知A （2，0），B （4，0）是x 轴上的两点，点C 是y 轴上的动点，当∠ACB 最大时，则点C 的坐标为_____．4. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝6，点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点 (不与点B 、C 重合)，且DA ＝DE ，则AD 的取值范围是。

2024年九年级中考数学专题复习之最值问题课件

10．如图，边长为 2 的等边三角形 ABC 的两个顶点 A，B 分别在两条射线 OM，
ON 上滑动．若 OM⊥ON，则 OC 的最大值是________．
1＋ 3
解析：如图，取 AB 的中点 D，连 OD，DC， ∴OC≤OD＋DC. 当 O，D，C 共线时，OC 有最大值，最大值是 OD＋CD. ∵△ABC 为等边三角形，D 为 AB 的中点，BC＝AB＝2， ∴BD＝1，∴CD＝ BC2－BD2＝ 3. ∵△AOB 为直角三角形，D 为斜边 AB 的中点， ∴OD＝12AB＝1， ∴OD＋CD＝1＋ 3，即 OC 的最大值为 1＋ 3.
6．如图，这是一个棱长为 1 的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表
面，从顶点 A 爬到顶点 B 去觅食，则需要爬行的最短路程是( ) C
A． 3 C． 5
B．2 D．3
7．(逆等线问题)如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，AB＝10，E，F 是线段 AB 上的动点，且满足 AE＝BF，连接 CE 和 CF，则 CE＋CF 的最小值为__1_0_____．
14．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为 D，P
∴BC＝AB＝AC＝6，
∠ABD＝∠CBD，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
图1
∴∠CBD＝30°.
∵PE⊥BC，∴PE＝12PB，
∴MP＋12PB＝PM＋PE， ∴当点 M，P，E 共线且 ME⊥BC 时，PM＋PE 有最小值，为 ME，如图 2 所示． ∵AM＝2，AC＝6，∴MC＝4.
由垂线段最短可得，当 CP⊥AB 时，线段 DE 的值最小，此时，AP＝BP， ∴CP＝21AB＝3 2， ∴DE 的最小值为 3 2.

2024成都中考数学二轮复习专题：几何最值之将军饮马问题

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现．【抽象模型】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？【模型解析】作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）题型一：两定一动模型模型作法结论当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小．连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小．作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB'当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA PB-最大．连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA PB-的最大值为AB当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P，使得PA PB -最大．作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为AB '当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最小值为0【例1】如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值．【解析】解：解：（1）作A 关于x =3的对称点A′，连接A′B 交直线x =3与点C ．∵点A 与点A′关于x =3对称，∴AC=A′C ．∴AC+BC=A′C+BC ．当点B 、C 、A′在同一条直线上时，A′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值．∵点A 与点A′关于x =3对称，∴点A′的坐标为（6，3）．设直线BA′的解析式y =kx +b ，将点B 和点A′的坐标代入得：k ＝34，b ＝−32．∴y =34x -32．将x =3代入函数的解析式，∴y 的值为34【例2】如图，正方形ABCD 中，AB ＝7，M 是DC 上的一点，且DM ＝3，N 是AC 上的一动点，求|DN －MN |的最小值与最大值．【解析】解：当ND=NM 时，即N 点DM 的垂直平分线与AC 的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|≤DM ，当点N 运动到C 点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3【例3】如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1)A ，,(50)B ，,4(0)C ，．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC +的值为最小的点P 坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E ，使四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E 坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）【答案】（1）2545442y x x -+＝，函数的对称轴为：3x ＝；（2）点8(3)5P ，；（3）存在，点E 的坐标为12(2,5-或12,)5(4-．【解析】解：1（）根据点0(1)A ，,(50)B ，的坐标设二次函数表达式为：()()()21565y a x x a x x +--＝﹣＝，∵抛物线经过点4(0)C ，，则54a ＝，解得：45a ＝，抛物线的表达式为：()()2224416465345555245y x x x x x --+--+＝=＝，函数的对称轴为：3x ＝；2（）连接B C 、交对称轴于点P ，此时PA PC +的值为最小，设BC 的解析式为：y kx b +＝，将点B C 、的坐标代入一次函数表达式：y kx b +＝得：05,4k bb =+⎧⎨=⎩解得：4,54k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩直线BC 的表达式为：4y x 45=-+，当3x ＝时，85y ＝，故点835P （，）；3（）存在，理由：四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形，则512E E OEBF S OB y y ⨯⨯四边形＝＝＝，点E 在第四象限，故：则125E y ＝-，将该坐标代入二次函数表达式得：()24126555y x x -+＝＝-，解得：2x ＝或4，故点E 的坐标为122,5（-或12,5（4-）．题型二：一定两动模型模型作法结论点P 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得△PCD 周长最小．分别作点P 关于OA、OB 的对称点P ′、P ″，连接P ′P ″，交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．△PCD 周长的最小值为P ′P ″点P 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得PD ＋CD 最小．作点P 关于OB 的对称点P ′，过P ′作P ′C ⊥OA 交OB 于D ，点C 、点D 即为所求．PD ＋CD 的最小值为P ′C【例4】如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值为___________．【分析】△PMN 周长即PM +PN +MN 的最小值，此处M 、N 均为折点，分别作点P 关于OB 、OA 对称点P ’、P ’’，化PM +PN +MN 为P ’N +MN +P ’’M ．当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．【例5】如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．【例6】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E 作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【答案】（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为26．【详解】（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴DGCF=DEDC=12，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=52，552，DH=DE DGEG⋅5∴EH=2DH=25∴HM=DH EHDE⋅=2，∴=1，在Rt△DCK中，，∴△PCD的周长的最小值为．【例7】如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣16x2+56x+4；D点坐标为（3，5）；（2）M点的坐标为（0，169）或（0，119）；（3）AM+AN．【详解】（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得91504a a cc++=⎧⎨=⎩，解得164ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y=﹣16x2+56x+4；∵AC=BC，CO⊥AB，∴OB=OA=3，∴B（3，0），∵BD⊥x轴交抛物线于点D，∴D点的横坐标为3，当x=3时，y=﹣16×9+56×3+4=5，∴D点坐标为（3，5）；（2）在Rt△OBC中，=，设M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，∵∠MCN=∠OCB，∴当CM CNCO CB=时，△CMN∽△COB，则∠CMN=∠COB=90°，即4145m m-+=，解得m=169，此时M点坐标为（0，169）；当CM CNCB CO=时，△CMN∽△CBO，则∠CNM=∠COB=90°，即4154m m-+=，解得m=119，此时M点坐标为（0，119）；综上所述，M点的坐标为（0，169）或（0，119）；（3）连接DN，AD，如图，∵AC=BC，CO⊥AB，∴OC平分∠ACB，∴∠ACO=∠BCO，∵BD∥OC，∴∠BCO=∠DBC，∵DB=BC=AC=5，CM=BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN，而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），∴DN+AN的最小值==，∴AM+AN．题型三：两定两动模型模型作法结论点P 、Q 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得四边形PQDC 周长最小．分别作点P 、Q 关于OA 、OB 的对称点P ′、Q ′，连接P ′Q ′，分别交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．PC ＋CD ＋DQ 的最小值为P ′Q ′，所以四边形PQDC 周长的最小值为PQ ＋P ′Q ′【例8】如图，在矩形ABCD 中，4AB =，7BC =，E 为CD 的中点，若P Q 、为BC 边上的两个动点，且2PQ =，若想使得四边形APQE 的周长最小，则BP 的长度应为__________.【答案】103【详解】解：如图，在AD 上截取线段AF=DE=2，作F 点关于BC 的对称点G ，连接EG 与BC 交于一点即为Q 点，过A 点作FQ 的平行线交BC 于一点，即为P 点，过G 点作BC 的平行线交DC 的延长线于H 点．∵E 为CD 的中点，∴CE=2∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°，∵BC//GH∴QCE~GHE,∴CQ EC GH EH=,∴2 56 CQ=，∴CQ=5 3，∴BP=CB-PQ-CQ=7-2-510 33 =．故答案为10 3．【例9】如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=304，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______．【答案】16．【详解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案为16．题型四：两定点一定长正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2.当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标．【解析】如图，将点D向右平移2个单位得到D'(2，2)，作D'关于x轴的对称点D"(2，－2)，连接BD"交x轴于点F，将点F向左平移2个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，且四边形BDEF周长最小.理由：∵四边形BDEF的周长为BD＋DE＋EF＋BF，BD与EF是定值.∴BF＋DE最小时，四边形BDEF周长最小，∵BF ＋ED ＝BF ＋FD '＝BF ＋FD "＝BD "设直线BD "的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (6，4)，D "(2，－2)代入，得6k ＋b ＝4，2k ＋b ＝－2，解得k ＝32，b ＝－5，∴直线BD "的解析式为y ＝32x －5．令y ＝0，得x ＝103，∴点F 坐标为(103，0)．∴点E 坐标为(43，0)．【例11】村庄A 和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？ABl 2l 1【解答】设l 1和l 2为河岸，作BD ⊥l 2，取BB '等于河宽，连接AB '交l 1于C 1，作C 1C 2⊥l 2于C 2，则A →C 1→C 2→B 为最短路线，即A 与B 之间的距离最短.提分作业1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为()A ．3B ．4C ．33D ．3【解析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C’在AB上且在AB中点，化折线段CE+EF为C’E+EF，当C’、E、F共线时得最小值，C’F为CB的一半，故选C．2．如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是()A3B．2C．3D．4【解析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点，恰好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN’．因为M、N皆为动点，所以过点C作AB的垂线，可得最小值，选C．3．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．310B．103C．9D．92【答案】A【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=13CD=3，∴BE2293 =310．故选A．4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE 的最小值_____．【答案】10【详解】解：如图：连接DE交AC于点P，此时PD＝PB，PB+PE＝PD+PE＝DE为其最小值，∵四边形ABCD为正方形，且BE＝2，AB＝8，∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，在Rt△ADE中，根据勾股定理，得DE22AD AE+2286+＝10．∴PB+PE的最小值为10．故答案为10．5．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB 上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．【答案】（32，32）．【详解】解：作N 关于OA 的对称点N ′，连接N ′M 交OA 于P ，则此时，PM +PN 最小，∵OA 垂直平分NN ′，∴ON =ON ′，∠N ′ON =2∠AON =60°，∴△NON ′是等边三角形，∵点M 是ON 的中点，∴N ′M ⊥ON ，∵点N （3，0），∴ON =3，∵点M 是ON 的中点，∴OM =1.5，∴PM =2，∴P （32，2）．故答案为：（32，2）．6．如图，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若AE ＝2，当EF ＋CF 取得最小值时，则∠ECF 的度数为多少？【答案】∠ECF ＝30º【解析】过E 作EM ∥BC ，交AD 于N ，如图所示：∵AC ＝4，AE ＝2，∴EC ＝2＝AE ，∴AM ＝BM ＝2，∴AM ＝AE ，∵AD 是BC 边上的中线，△ABC 是等边三角形，∴AD ⊥BC ，∵EM ∥BC ，∴AD ⊥EM ，∵AM ＝AE ，∴E 和M 关于AD 对称，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，则此时EF ＋CF 的值最小，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60º，AC ＝BC ，∵AM ＝BM ，∴∠ECF ＝∠ACB ＝30º.7．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A (3，0)，B (0，4)，D 为边OB 的中点．（1）若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；（2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．【解析】(1)如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知△CDE 的周长最小．∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点，∴D (0，2)，C (3，4)，D '(0，－2).设直线CD '为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D '(0，－2)代入，得3k ＋b ＝4，b ＝－2，解得k ＝2，b ＝－2，∴直线CD '为y ＝2x －2.令y ＝0，得x ＝1，∴点E 的坐标为(1，0).∴OE ＝1，AE ＝2.利用勾股定理得CD ＝13，DE ＝5，CE ＝25，∴△CDE 周长的最小值为13＋35．(2)如图，将点D 向右平移1个单位得到D '(1，2)，作D '关于x 轴的对称点D ″(1，－2)，连接CD ″交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形CDEF 周长最小．理由：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值，∴DE ＋CF 最小时，四边形BDEF 周长最小，∴DE ＋CF ＝D 'F ＋CF ＝FD ″＋CF ＝CD ″，设直线CD ″的解析式为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D (1，－2)代入，得3k ＋b ＝4，k ＋b ＝－2，解得k ＝3，b ＝－5．∴直线CD ″的解析式为y ＝3x －5，令y ＝0，得x ＝53，∴点F 坐标为(53，0)，∴点E 坐标为(23，0)．8．如图所示抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC =（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点,D E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值；（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分，求点P 的坐标.【答案】（1）2y x 2x 3=-++，对称轴为直线1x =；（2）四边形ACDE 的周长最小值1；（3）12(4,5),(8,45)P P --【详解】（1）∵OB=OC ，∴点B （3，0），则抛物线的表达式为：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3）=ax 2-2ax-3a ，故-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x 2+2x+3…①；对称轴为：直线1x =（2）ACDE 的周长=AC+DE+CD+AE ，其中、DE=1是常数，故CD+AE 最小时，周长最小，取点C 关于函数对称点C （2，3），则CD=C′D ，取点A′（-1，1），则A′D=AE ，故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D 、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=；（3）如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3：5两部分，又∵S △PCB ：S △PCA =12EB×（y C -y P ）：12AE×（y C -y P ）=BE ：AE ，则BE ：AE ，=3：5或5：3，则AE=52或32，即：点E 的坐标为（32，0）或（12，0），将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直线CP 的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），故点P 的坐标为（4，-5）或（8，-45）．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边BC 交x 轴于点D ，AD x ⊥轴，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点A ，点D 的坐标为(3,0)，AB BD =．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P 为y 轴上一动点，当PA PB +的值最小时，求出点P 的坐标．【答案】（1）9y x =；（2）12(0,)5【详解】解：（1）∵OABC 是矩形，∴90B OAB ︒∠=∠=，∵AB DB =，∴45BAD ADB ︒∠=∠=，∴45OAD ∠=，又∵AD x ⊥轴，∴45OAD DOA ︒∠=∠=，∴OD AD =，∵(3,0)D ∴3OD AD ==，即(3,3)A 把点(3,3)A 代入的k y x=得，9k =∴反比例函数的解析式为：9y x=．答：反比例函数的解析式为：9y x =．（2）过点B 作BE AD ⊥垂足为E ，∵90B =∠，AB BD =，BE AD⊥∴1322AE ED AD ===，∴39322OD BE +=+=，∴93(,)22B ，则点B 关于y 轴的对称点193(,22B -，直线1AB 与y 轴的交点就是所求点P ，此时PA PB +最小，设直线AB 1的关系式为y kx b =+，将(3,3)A ,193(,)22B -，代入得，339322k b k +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得：15k =，125b =，∴直线1AB 的关系式为11255y x =+，当0x =时，125y =，∴点12 (0,)5 P答：点P的坐标为12 (0,)5．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.。

专题1.8 最值问题-将军饮马模型-2021年中考数学第二轮总复习课件(全国通用)

轴上的动点,则四边形ABCD周长的最小值为( B )
A.5 2 B.6 2 C.2 10 +2 2 D.8 2
A＇ y A
两个定点----两点之间线段最短
D
B
D
O CC
x
B＇
当堂训练
3.如图,抛物线y=0.5x²-4x+4与y轴交于点A,B是OA的中点.一个
动点G从点B出发,先经过x轴上的点M,再经过抛物线对称轴上的
典型例题
【例2】如图,一位将军骑马从驻地A出发,先牵马去河边l喝水, 再回到驻地B.问：这位将军怎样走路程最短？
A B
l P
B＇如图，点A-P-B即为所求的最短路程. 两个定点----两点之间线段最短
模型解读---将军饮马模型
两线段和最值
图形示例
模型分析
A
若点A,B位于直线l两侧,在直线l上求作点P,使
A,B的距离之和最小,求P点坐标。
y
B
P(1 ,0)
A
3
OP
x
A´
如图，点P即为所求的点.
两个定点----两点之间线段最短
当堂训练
2.如图,在直角坐标系中,点A、B的坐标分别是(1,4)和(3,0),点C
是y轴上的一个动点,且A、B、C三点不在同一条直线上,当△ABC
的周长最小时,点C的坐标是( D )
同侧
l 得PA+PB最小,则连接AB与直线l交于点P即可. P B 理由：两点之间线段最短
异侧
A
若点A,B位于直线l同侧,在直线l上求作点P,使
B 得PA+PB最小,则作点B关于直线l的对称点B´,
P l 连接AB´与直线l交于点P即可.