凸函数与琴生不等式拉格朗日中值定理

凸函数与琴生不等式
一．知识部分
知识一、凸函数的概念
①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线 的弧的上方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凸的。

②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间
],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间
点))2
(,2(2
121
x x f x x ++的上方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凸的。

此定义说明函数在
区间上的凸性与不等式
)2
(2)()(2
121x x f x f x f +≥+的成立是等价的 推广1. 任意],[,,,21b a x x x n ∈ ，有
)()()()(2121n
x x x f n x f x f x f n
n +++≥+++ 推广2（琴生不等式） 对任意一列1,,,,2121=+++∈+n n a a a R a a a ，函数)(x f 是],[b a 上
的凸函数，有)()()()(22112211n n n n x f a x f a x f a x a x a x a f +++≤+++
说明：此时凸函数)(x f y =也指函数)(x f y =在区间],[b a 上是下凸函数
知识二、凹函数的概念
①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线的弧的下方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凹的。

②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间
],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2
)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的
中间点))2
(,2(2
121
x x f x x ++的下方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凹的。

此定义说明函数在
区间上的凹性与不等式
)2
(2)()(2
121x x f x f x f +≤+的成立是等价的 说明：凹函数)(x f y =也指函数)(x f y =在区间],[b a 上是上凸函数
推广1（琴生不等式）.
任意],[,,,21b a x x x n ∈ ，有)()()()(2121n
x x x f n x f x f x f n
n +++≤+++ ，当且仅
当n x x x ===...21时取等号
推广2（琴生不等式一般形式）. 对任意一列1,,,,2121=+++∈+
n n a a a R a a a ，函数)
(x f 是],[b a 上的凸函数，有)()()()(22112211n n n n x f a x f a x f a x a x a x a f +++≥+++
定理1：设函数)(x f 在开区间I 上存在二阶导数：
(1)若对任意I x ∈，有0)(>''x f ，则)(x f 在I 上为下凸函数;（)(/x f 递增即0)(>''x f ） (2)若对任意I x ∈，有0)(<''x f ，则)(x f 在I 上为上凸函数．（)(/x f 递减即0)(<''x f ） 定理2（拉格朗日中值定理）：若函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，则在区间
()b a ,内至少存在一点),(b a ∈ξ，使得a
b a f b f f --=
)
()()(/ξ（利用数形证明：割线平移与曲线相
切）
下面对于一些常用的的函数的凹凸性作一个探讨．（法一：定义法 法二：定理法）
（1）对数函数:)10(log ≠>=a a x y a 且
若10<<a ，则为下凸函数；若1>a ，则为上凸函数． （2）指数函数)1,0(≠>=a a a y x
且为下凸函数． （3）三角函数
sin (0,)(,23cos (,)(,2222
tan (,0)(022
y x x x y x x x y x x x ππππππππ
π
=∈∈=∈-∈=∈-
∈，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;，）是下凸函数.
（4）二次函数:)0(2
≠++=a c bx ax y
若0>a ，则为下凸函数；若0<a ，则为上凸函数．
（5）反比例函数:)0(≠=
k x
k
y 当0>k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为上凸函数；若),0(+∞∈x ，则为下凸函数． 当0<k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为下凸函数；若),0(+∞∈x ，则为上凸函数．
（6）双勾函数:)0,0(>>+
=b a x
b
ax y 当)0,(-∞∈x 时，为上凸函数；当),0(+∞∈x 时，为下凸函数．
二．例题部分
一．函数的凹凸性及琴生不等式
例1.已知0,1,2,,,2i a i n n >=≥ ,求证
12n
a a a n
+++≤
证明: 令()ln ,0f x x x =>,则()()///211
,0f x f x x x
==-<,故()f x 在()0,+∞上是凹函数.
由Jensen 不等式有：()12121
ln ln ln ln n n a a a a a a n n ++++++≤ 。

化简得12n
a a a n
+++≤ 。

【练习】1 在△ABC 中，证明：2
3
3sin sin sin ≤++C B A
时，取等号
当且仅当上是凸函数
在分析：最小值
的
，试求：为定值是一组实数，且若n n n n n n n a a a n
k a a a n
k n a a a a a a n x x f a a a k k a a a a a a ===≥
+++∴=+++≥+++∴+∞-∞=+++=+++ 2122
22212
22212
222122
2
22
12121)()(1),()()(,,.23 *,0,1,x y x y n N >+=∈，求证：22211
2
n n n x y -+≥
证明：构造函数n x y 2=，为上凸函数
'
sin 'sin 'sin sin sin sin )sin sin (sin '
sin 'sin 'sin sin sin sin 'sin sin 'sin sin 'sin sin ;'''30.42γβαγβαγβαγβαγβααγγββαγβαγβα=∴=⇒⎪⎭⎪
⎬⎫
====∠=∠=∠=∠=∠=∠︒∠∠∠∆PA PC PC PB PB PA PCB PBA PAC PCA PBC PAB PCA PBC PAB ABC P 依正弦定理有：、、，且、、证：设；于中至少有一个小于或等、、内任一点，求证为若
︒
<︒≥︒≤∴≤∴≤∴30150,3021sin ,)21(sin sin sin 3
γγβαααγβαγβα中必有一个满足、时，否则中必有一个角满足、、在
Q 3
sin sin sin 23
3sin sin sin 2
360sin )3sin()sin sin (sin 31),0(sin π
π=
====≤
++=︒=++≤++=C B A C B A C B A C B A C B A x y 666)
2
1()6'''(sin )
6
'sin 'sin 'sin sin sin sin (=+++++≤+++++≤γβαγβαγβαγβα
二．拉格朗日中值定理“下嫁”高考
一、证明
()f x a x >或()
f x a x
<成立（其中0x >） [2]
例：（2007年高考全国卷I 第20题）
设函数()x x f x e e -=-.
（Ⅰ）证明：()f x 的导数()'2f x ≥； （Ⅱ）证明：若对所有0x ≥，都有()f x ax ≥ ，则a 的取值范围是(,2]-∞.
（Ⅰ）略.
（Ⅱ）证明：（i ）当0x =时，对任意的a ，都有()f x ax ≥
(ii)当0x >时，问题即转化为x x e e a x
--≤对所有0x >恒成立.
令()()()00
x x
f x f e e G x x x ---==
-，由拉格朗日中值定理知()0,x 内至少存在一点ξ（从而0ξ>），使得()()()'
00
f x f f x ξ-=
-，即()()'
G x f
e e ξξξ-==+，由于
()()''000f e e e e ξξξξ--=-=->，故()'f ξ在()0,x 上是增函数，让0x → 得()()()''min 02G x f e e f ξξξ-==+≥=，所以a 的取值范围是(,2]-∞.
评注：第(2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令()()g x f x ax =-，再分2a
≤和
2a > 两种情况讨论.其中，2a
>又要去解方程()'0g x =.但这有两个缺点：首先，为什么a 的
取值范围要以2为分界展开.其次，方程()'
0g x =求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦. 二、证明()()()2(),2a b g a g b g b a b a λ+⎛⎫
+-<->
⎪⎝⎭
成立
例：（2004年四川卷第22题）
已知函数()()ln(1),ln f x x x g x x x =+-=.
（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；
（Ⅱ）设02a b a <<<，证明：()()2()ln 22a b g a g b g b a +⎛⎫
+-<- ⎪⎝⎭
.
（Ⅰ）略；
（Ⅱ）证明：依题意，有()'ln 1g x x =+
()()()()2222a b a b a b g a g b g g b g g g a ++⎛+⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
由拉格朗
日中值定理得，存在,
,,22a b a b a b λμ++⎛⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，使得 ()()()()()()''
ln ln 2222a b a b b a b a g b g g g a g g μλμλ+⎛+⎫--⎛⎫⎛⎫---=-∙=-∙ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()4ln
ln ln ln 2222
b a b b a a b a
b a a a μλ---=∙<∙<∙=-
评注：对于不等式中含有()()(),,2a b g a g b g a b +⎛⎫
<
⎪⎝⎭
的形式，我们往往可以把()2a b g g a +⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2a b g b g +⎛⎫- ⎪⎝⎭，分别对()2a b g g a +⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2a b g b g +⎛⎫
- ⎪⎝⎭
两次运用拉
格朗日中值定理.
三、证明()()()1212f x f x x x λ->-成立
[3][4]
例： (2OO6年四川卷理第22题)
已知函数()()2
2
ln (0),f x x a x x f x x
=+
+>的导函数是()'f x ，对任意两个不相等的正数12,x x ，证明：
（１）当0a ≤时，
()()
121
22
2f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭
（２）当4a ≤时，()()''
1212f x f x x x ->-.
证明：（１）不妨设12x x <，即证()()12122122x x x x f x f f f x ++⎛⎫⎛⎫
->-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．由拉格朗日中值定理知，存在12121122,
,,22x x x x x x ξξ++⎛
⎫⎛⎫
∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则12ξξ<且 ()1222x x f x f +⎛⎫
- ⎪⎝⎭()'2122x x f ξ-=∙，
()()'12211122x x x x f f x f ξ+-⎛⎫
-==∙ ⎪⎝⎭
又
'2
2()2a f x x x x
=-
+， ()''
3242a f x x x =+-.当0a ≤时，()''0f x ≥.所以'()f x 是一个单调递减函数，故()()''12f f ξξ<从而()()12122122x x x x f x f f f x ++⎛⎫⎛⎫
->-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
成立，因此命题获证．
（２）由()2
2ln f x x a x x =+
+得，'22()2a
f x x x x
=-+，令()()'g x f x =则由拉格朗日中值定理得：()()()'
1212()g x g x g x x λ-=-
下面只要证明：当4a ≤时，任意0λ>,都有()'1g λ>，则有()'
324g 21a x x x
=+
->，即证4a ≤时，24a x x <+
恒成立.这等价于证明2
4x x +的最小值大于4.
由于22
422x x x x x +=++≥当且仅当x =时取到最小值，又4a ≤<故4
a ≤时，32421a
x x +->恒成立.
所以由拉格朗日定理得：()()()()''12121212()g x g x g x x g x x x x λλ-=-=->-. 评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考
生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性.
四、证明()()()1212f x f x x x λ->-或()()()1212f x f x x x λ->-成立 例：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数()sin 2cos x
f x x
=+.
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围. （Ⅰ）略；
（Ⅱ）证明：当0x =时，显然对任何a ，都有()f x ax ≤；当0x >时，
()()()
00
f x f x f x x -=- 由拉格朗日中值定理，知存在()0,x ξ∈，使得
()()()
()'00
f x f x f f x x ξ-==-.由（Ⅰ）知()()
'2
2cos 1
2cos x f x x +=
+，从而()()()
()
''
2
2sin 2cos cos 12cos x x x f
x x +-=
+.令()''0f x ≥得，
()()21,22x k k ππ∈++⎡⎤⎣⎦；令()''
0f x ≤得，()2,21x k k ππ∈+⎡⎤⎣⎦.所以在
()()21,22k k ππ++⎡⎤⎣⎦上，()'f x 的最大值()()()''max 1223
f x f k π=+=在 ()2,21k k ππ+⎡⎤⎣⎦上，()'f x 的最大值()()'
'max 1
23
f
x f k π==
.从而函数()'f x 在()2,22k k ππ+⎡⎤⎣⎦上的最大值是()'
max
13f
x =.由k N ∈知，当0x >时，()'
f x 的最大值为()'max 13
f x =.所以，()'f ξ的最大值()'max 13f ξ=
.为了使()'f a ξ≤恒成立，应有()'max f a ξ≤.所以a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 评注：这道题的参考答案的解法是令()()g x ax f x =-,再去证明函数()g x 的最小值
()min 0g x ≥.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数a ,要对参数a 进行分类
讨论;其次为了判断()g x 的单调性,还要求()'
0g x ≥和()'
0g x ≤的解,这个求解涉及到反余弦
arccos3a ,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了高观点解题的
优越性.
五、证明()0,()f x x a >>成立，（其中()0f a =） 例：（2007年安徽卷18题）
设()()2
0,1ln 2ln 0a f x x x a x x ≥=--+>.
（Ⅰ）令()()'
F x xf
x =，讨论()F x 在()0,+∞内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2
ln 2ln 1x x a x >-+. （Ⅰ）略；
（Ⅱ）证明：即证()0f x >，由于1x >，则
()()()
111
f x f x f x x -=--.由拉格朗日中值定理得，存在
()1,x ξ∈，使得
()()()'11
f x f f x ξ-=-.由（Ⅰ）的解题过程知()'221ln a
f x x x x =-+，所以
()()''2222
2222ln ln 1a f x x x a x x x x
=-
+-=--.令()''0f x ≥得，1a x e +≥.令()''
0f x ≤得，11a x e +≤≤.故()'f x 在()1,x ∈+∞上最小值()()'1min a
f x f e
+=
()1111212210a a a a a a e e e e +++++-=-+=>.所以()()''min 0f f x ξ≥>.从而()01f x x >-.又1x >，则
()0f x >成立，从而当0x >时，2ln 2ln 1x x a x >-+成立.
评注：这道题的参考答案是用（Ⅰ）中()F x 在()0,+∞内的极小值()20F >得到
()()'0F x x f x =>.又1x >，所以()'0f x >.从而()f x 在()1,+∞上单调递增,故()f x 的最小值
()()min 10f x f >=，
所以2ln 2ln 1x x a x >-+.但是如果没有（Ⅰ），很难想到利用()()'
F x xf x =来判断()f x 的单调性.而用拉格朗日中值定理证明，就不存在这个问题.
六、证明()()1212f x f x x x λ->-或()()
1212
f x f x x x λ-<-（其中12x x ≠）
例：（2009年辽宁卷理21题） 已知函数2
1()(1)ln ,12
f x x ax a x a =
-+-> （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）证明：若5a <，则对任意()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，有1212
()()
1f x f x x x ->--.
（Ⅰ）略； （Ⅱ）
()'1212()()f x f x f x x ξ-=-.由（Ⅰ）得，()'1a f x x a x -=-+.所以要证
1212
()()
1f x f x x x ->--成立，即证()'
1
1a f
a ξξξ
-=-+
>-.下面即证之.
令()2
(1)1g a a ξξξ=--+-，则()()()()2
14115a a a a ∆=---=--.由于15a <<，所以
0∆<.从而()0g ξ>在R 恒成立.也即21a a ξξξ-+->-.又()12,x x ξ∈，()12,0,x x ∈+∞，故
0ξ>.则21
1a a ξξξ
-+->-，即()'11a f a ξξξ-=-+>-，也即1212()()1f x f x x x ->--. 评注：这道题（Ⅱ）小题存在两个难点：首先有两个变量12,x x ；其次a 的值是变化的.参考答案的解法是考虑函数()()g x f x x =+.为什么考虑函数()()g x f x x =+？很多考生一下子不易想到.而且()'g x 的放缩也不易想到.
拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理.是解决函数在某一点的导数的重要工具.近年来，
不少高考压轴题以导数命题，往往可以用拉格朗日中值定理求解.固然，这些压轴题用初等数学的方法也可以求解.但初等数学的方法往往计算量较大.这时，用拉格朗日中值定理交易解决.充分体现了高等数学的优越性，有力反驳了“高数无用论”的错误的想法.从而使学生感受到高等数学与初等数学的联系，增加学习的兴趣.
从以上六道题目与参考答案不同的解法中，我们可以感受到高等数学对初等数学具有居高临下的指导作用.近几年，高观点下的高考命题颇受命题者的青睐.因此加强对高等数学的研究就显得很有必要.
练习：已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值. （１）求实数m 的值；
（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，则存在
0(,)x a b ∈，使得0()()
()f b f a f x b a
-'=
-.试用这个结论证明：若121x x -<<，函数
121112
()()
()()()f x f x g x x x f x x x -=
-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；
（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，且
互
不
相
等
的
实
数
12,,,n
x x x L ，都有
1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .
解：（１）1()1f x m x '=
++. 由(0)0f '=，得1m =-，此时()1
x
f x x '=-+. 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 在区间(1,0)-上单调递增； 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减.
∴函数()f x 在0x =处取得极大值，故1m =-.…………………………3分
（２）令121112
()()
()()()()()()f x f x h x f x g x f x x x f x x x -=-=-
---，…………………4分
则1212
()()
()()f x f x h x f x x x -''=-
-.
Q 函数()f x 在12(,)x x x ∈上可导，∴存在012(,)x x x ∈，
使得12012
()()
()f x f x f x x x -'=
-.
1()11f x x '=
-+Q ，000011()()()11(1)(1)
x x h x f x f x x x x x -'''∴=-=-=++++ Q 当10(,)x x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，1()()0h x h x ∴>=； Q 当02(,)x x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，2()()0h x h x ∴>=；
故对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >.…………………………8分 （３）用数学归纳法证明.
①当2n =时，121λλ+=Q ，且10λ>，20λ>，
112212(,)x x x x λλ∴+∈，∴由（Ⅱ）得()()f x g x >，即
121122112211112212
()()
()()()()()f x f x f x x x x x f x f x f x x x λλλλλλ-+>
+-+=+-，
∴当2n =时，结论成立. …………………………9分
②假设当(
2)n k k =≥时结论成立，即当121k λλλ+++=L 时，
11
2
2
1122()()()()k
k k
k f x x x f x f x f x λλλλλλ+++>+++L L . 当1n k =+时，设正数
121
,,,k λλλ+L 满
足
121k λλλ+
+
+
+=L ，令
12k
m λλλ=+++L ，
1
2
12,,,k
k m m
m
λλλμμμ=
=
=L ， 则11k n m λ++=，且121k μμμ+++=L .
112211()k k k k f x x x x λλλλ++++++L
11 1111[()]k k k k f m x x x μμλ++=+++L
1111()()k k k k mf x x f x μμλ++>+++L
1111()()()k k k k m f x m f x f x μμλ++>+++L
1111()()()k k k k f x f x f x λλλ++=+++L …………………………13分 ∴当1n k =+时，结论也成立.
综上由①②，对任意2n ≥，n N ∈，结论恒成立. …………………………14分。