高中数学第二章数列习题课(1)课时作业新人教A版必修5

合集下载

浙江版2013年高中数学第二章 2.2等差数列(一)课时训练新人教A版必修5

一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0，则数列的通项a n 等于 ( )A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－nD ．3－n2．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项3．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26 B ．29 C ．39 D ．52 4．{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 011，则n 等于 ( ) A ．671B ．670C ．669D ．668 5．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是 ( )A ．－2B ．－3C ．－4D ．－6二、填空题 7．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a 、b 的等差中项是________． 8．一个等差数列{a n }中，a 1＝1，末项a n ＝100(n ≥3)，若公差为正整数，那么项数n 的取值有________种可能．9．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．三、解答题10．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．11．若1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．12.甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t (s) 1 2 3 … ？ … 60 距离s (cm)9.819.629.4…49…？(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？ (2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？四、探究与拓展13．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？试说明理由．(2)若a p ，a q (p ，q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由．答案1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C7. 3 8.5 9.43 10.5011．证明 ∵1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 是等差数列，∴1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a. ∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c )， ∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )，∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2＋c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2， ∴a 2＋c 2＝2b 2，∴a 2，b 2，c 2成等差数列．12．解 (1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a 1＝9.8，d ＝9.8，所以甲虫的爬行距离s 与时间t 的关系是s ＝9.8t .(2)当t ＝1(min)＝60(s)时，s ＝9.8t ＝9.8×60＝588(cm)．当s ＝49(cm)时，t ＝s 9.8＝494.8＝5(s)．13．解 a 1＝3，d ＝4，a n ＝a 1＋(n －1)d＝4n －1.(1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34， ∴135是数列{a n }中的第34项．令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N *. ∴4m ＋19是{a n }中的第m ＋5项． (2)∵a p ，a q 是{a n }中的项， ∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1. ∴2a p ＋3a q＝2(4p －1)＋3(4q －1) ＝8p ＋12q －5＝4(2p ＋3q －1)－1∈N *，∴2a p ＋3a q 是{a n }中的第2p ＋3q －1项．。

2019-2020学年高中数学人教A版必修5练习：第二章 2.2 等差数列第一课时等差数列的概念及通项公式课下检

一、选择题1．{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 011，则序号n 等于( ) A ．668 B ．669 C ．670D ．671解析：∵a n ＝a 1＋(n －1)·d ， ∴2 011＝1＋(n －1)×3，n ＝671. 答案：D2．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．a n ＝2n －2(n ∈N *) B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *) C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *) D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a2·a4＝12，a2＋a4＝8，d<0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a2＝6，a4＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a1＝8，d ＝－2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)(－2)．即a n ＝－2n ＋10. 答案：D3．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a 、b 的关系是( ) A ．a ＝－bB ．a ＝3bC ．a ＝－b 或a ＝3bD ．a ＝b ＝0解析：由等差中项的定义知：x ＝a ＋b 2，x 2＝a2－b22， ∴a2－b22＝(a ＋b 2)2，即a 2－2ab －3b 2＝0. 故a ＝－b 或a ＝3b . 答案：C4．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值是( ) A ．52 B ．51 C ．50D ．49解析：∵2a n ＋1＝2a n ＋1， ∴2(a n ＋1－a n )＝1.即a n ＋1－a n ＝12.∴{a n }是以12为公差的等差数列．a 101＝a 1＋(101－1)×d ＝2＋50＝52. 答案：A二、填空题5．等差数列1，－3，－7，－11，…的通项公式是________，它的第20项是________．解析：数列中a 2＝－3，a 1＝1，∴d ＝a 2－a 1＝－4. 通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝1＋(n －1)×(－4) ＝－4n ＋5， a 20＝－80＋5＝－75. 答案：a n ＝－4n ＋5 －756．已知等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，则其通项公式a n ＝________. 解析：∵由a 4＝8，a 8＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋3d ＝8，a1＋7d ＝4. ∴d ＝－1，a 1＝8－3d ＝11. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11－(n －1)＝12－n . 答案：12－n7．等差数列{a n }中，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为____________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a7＝a1＋6d ＞0，a8＝a1＋7d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧33＋6d ＞0，33＋7d ＜0，得：－336＜d ＜－337，又∵d ∈Z ，∴d ＝－5.∴a n ＝33＋(n －1)×(－5)＝38－5n . 答案：a n ＝38－5n (n ∈N *) 8．下表给出一个“等差矩阵”：其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数，那么a 45＝________. 解析：该等差数列第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)．第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a 2j ＝7＋5(j －1)．……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列．因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1) ＝2ij ＋i ＋j .故a 45＝49. 答案：49 三、解答题9．已知递减等差数列{a n }的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？解：法一：设等差数列{a n }的前三项分别为a 1，a 2，a 3.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a2＋a3＝18，a1·a2·a3＝66，∴错误!解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝11，d ＝－5.或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，d ＝5.∵数列{a n }是递减等差数列，∴d ＜0. 故取a 1＝11，d ＝－5，∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16 即等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－5n ＋16. 令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10. ∴－34是数列{a n }的项，且为第10项．法二：设等差数列{a n }的前三项依次为： a －d ，a ，a ＋d ，则错误!解得错误!又∵{a n }是递减等差数列，即d ＜0. ∴取a ＝6，d ＝－5.∴{a n }的首项a 1＝11，公差d ＝－5. ∴通项公式a n ＝11＋(n －1)·(－5)，即a n ＝－5n ＋16. 令a n ＝－34，解得n ＝10.即－34是数列{a n }的项，且为第10项．10．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，λ是常数． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在实数λ使数列{a n }为等差数列？若存在，求出λ及数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．解：(1)由于a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2，…)，且a 1＝1.所以当a 2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{a n}不可能为等差数列，证明如下：由a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在λ，使{a n}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.这与{a n}为等差数列矛盾．所以，不存在λ使{a n}是等差数列．。

新人教A版高中数学【必修5】第二章 2.4等比数列(一)课时作业练习含答案解析

§2.4 等比数列(一) 课时目标1．理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列．2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用．3．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式：a n ＝a 1q n －1. 3．等比中项的定义如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab .一、选择题1．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.3．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1± 2.∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2.∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9.5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( )A.53B.43C.32D.12答案 A解析设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25，∴这三个数45,75,125，公比q 为7545＝53.6．若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于() A.5－12 B.5＋12C.12 D ．不确定答案 A解析 a 3＋a 6＝2a 5，∴a 1q 2＋a 1q 5＝2a 1q 4，∴q 3－2q 2＋1＝0，∴(q －1)(q 2－q －1)＝0 (q ≠1)，∴q 2－q －1＝0，∴q ＝5＋12 (q ＝1－52<0舍)∴a 3＋a 5a 4＋a 6＝1q ＝5－12.二、填空题7．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________. 答案 4·(32)n －1解析由已知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32，∴a n ＝4·(32)n －1.8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则 a 6＋a 7＝________.答案 18解析由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3. ∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝(12＋32)×32＝18.9．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 答案 5解析设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4，得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5. 10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．答案 5－12解析设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12.较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12.三、解答题11．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3. 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．(1)解由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．能力提升13．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.答案－9解析由题意知等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－32，∴6q ＝－9.14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求a n 的表达式．(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.(2)解由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项a 1＋1＝2.∴a n＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n. ∴a n＝2n－1.。

高中数学第二章等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式达标检测含解析新人教A版必修5

新人教A 版高中数学必修5：等比数列的概念与通项公式A 级基础巩固一、选择题1．下列数列为等比数列的是( ) A ．0，0，0，0，… B ．22，42，62，82，…C ．q －1，(q －1)2，(q －1)3，(q －1)4，… D ．1a ，1a 2，1a 3，1a4，…解析：A 选项中，由于等比数列中的各项都不为0，所以该数列不是等比数列；B 选项中，4222≠6242，所以该数列不是等比数列；C 选项中，当q ＝1时，数列为0，0，0，…，不是等比数列；D 选项中的数列是首项为1a ，公比为1a的等比数列，故选D.答案：D2．(多选)已知等比数列{a n }中，满足a 1＝1，公比q ＝－2，则( ) A ．数列{2a n ＋a n ＋1}是等比数列 B ．数列{a n ＋1－a n }是等比数列 C ．数列{a n a n ＋1}是等比数列 D ．数列{log 2|a n |}是递减数列解析：因为{a n }是等比数列，所以a n ＋1＝－2a n ，2a n ＋a n ＋1＝0，故A 项错．a n ＝a 1·q n －1＝(－1)n －1·2n －1，a n ＋1＝(－1)n ·2n ，于是a n ＋1－a n ＝(－1)n·2n－(－1)n －1·2n －1＝3(－2)n －1，故{a n ＋1－a n }是等比数列，故B 项正确．a n a n ＋1＝(－1)n －1·2n －1·(－1)n ·2n ＝(－2)2n －1，故C 项正确．log 2|a n |＝log 22n －1＝n －1，是递增数列，故D 项错．答案：BC3．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23nD ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：由题意得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，故a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝32，a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：B4．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋1－2a n ＝0，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14B.13C.12D.1解析：a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，a 4＝8a 1，所以2a 1＋a 22a 3＋a 4＝4a 116a 1＝14.答案：A5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．15解析：因为log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，所以a n ＋1＝3a n ，又a n ≠0.所以数列{a n }是以3为公比的等比数列．所以a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9.所以a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3·(1＋q 2＋q 4)＝35. 所以log 1335＝－5.答案：A 二、填空题6．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝4，则数列{lg a n }的通项公式为____________．解析：因为a 5＝a 4q ，所以q ＝2，所以a 1＝a 4q 3＝14，所以a n ＝14·2n －1＝2n －3，所以lg a n ＝(n －3)lg 2.答案：lg a n ＝(n －3)lg 27．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．解析：因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，q 2＝－1(舍去)，所以a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.答案：48．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值为________．解析：因为－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，因为－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，所以b 22＝(－1)×(－4)＝4，所以b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，所以b 2＜0，所以b 2＝－2，所以a 2－a 1b 2＝－1－2＝12. 答案：12三、解答题9．在等比数列{a n }中． (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6； (2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n . 解：(1)由等比数列的通项公式得，a 6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1qn －1＝5×2n －1.10．在各项均为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827.(1)求证：{a n }是等比数列，并求出其通项． (2)试问－1681是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．(1)证明：因为2a n ＝3a n ＋1，所以a n ＋1a n ＝23. 又因为数列{a n }的各项均为负数，所以a 1≠0，所以数列{a n }是以23为公比的等比数列．所以a n ＝a 1·q n －1＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.所以a 2＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝23a 1， a 5＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫235－1＝1681a 1，又因为a 2·a 5＝23a 1·1681a 1＝827，所以a 21＝94.又因为a 1<0，所以a 1＝－32.所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2(n ∈N *)．(2)解：令a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2＝－1681，则n －2＝4，n ＝6∈N *，所以－1681是这个等比数列中的项，且是第6项．B 级能力提升1．(多选)已知数列{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，则以下一定是等比数列的是( )A ．{2a n }B ．{a 2n } C ．{a n ＋1·a n }D ．{a n ＋1＋a n }解析：因为数列{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，则a n ＋1a n＝q ，对于A 项，2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ，因为a n ＋1－a n 不是常数，故A 项错误．对于B 项，a 2n ＋1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝q 2，因为q 2为常数，故B 项正确．对于C 项，a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n＝q 2，因为q 2为常数，故C 项正确．对于D 项，若a n ＋1＋a n ＝0，即q ＝－1时，该数列不是等比数列，故D 项错误．答案：BC2．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝ 10a n ＋1，则公比q ＝________．解析：因为等比数列{a n }为递增数列，且a 1＝－2<0，所以0<q <1，又因为3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，两边同除a n ，可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13.而0<q <1，所以q ＝13.答案：133．设关于x 的二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列；(3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式及项的最大值．(1)解：根据根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝an ＋1a n，αβ＝1an.代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得6a n ＋1a n －2a n＝3.所以a n ＋1＝12a n ＋13.(2)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13，所以a n ＋1－23＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －23.若a n ＝23，则方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0可化为23x 2－23x ＋1＝0，即2x 2－2x ＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，所以a n ≠23，即a n －23≠0.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列．(3)解：当a 1＝76时，a 1－23＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以首项为12，公比为12的等比数列．所以a n －23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，n ＝1，2，3，…，即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，n ＝1，2，3，….由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上单调递减知，当n ＝1时，a n 的值最大，即最大值为a 1＝76.。

高中数学第二章数列训练卷(一)新人教A版必修5(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第二章数列训练卷（一）新人教A 版必修51 / 1312018-2019学年高中数学第二章数列训练卷（一）新人教A 版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第二章数列训练卷（一）新人教A 版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第二章数列训练卷（一）新人教A 版必修5的全部内容。

数列（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在数列{}na中，12=a，1=221n na a＋＋,则101a的值为( ）A．49 B．50 C．51D．522．已知等差数列{}na中,7916a a+=，41a=，则12a的值是（ ) A．15 B．30 C．31D．643．等比数列{}na中，29a=，5243a=，则{}n a的前4项和为( ）A．81 B．120 C．168D．1924．等差数列{}na中，12324a a a++=-，18192078a a a++=，则此数列前20项和等于（）A．160 B．180 C．200D．2205．数列{}na中,37 ()na n n+=∈N－，数列{}n b满足113b=,1(72)2n nb b n n+≥=∈N－且,若logn k na b+为常数，则满足条件的k值（）A．唯一存在,且为132 / 1323 / 133B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在6．等比数列{}n a 中，2a ，6a 是方程234640x x +=-的两根，则4a 等于（） A ．8 B ．8-C ．8±D ．以上都不对7．若{}n a 是等比数列,其公比是q ，且5a -，4a ，6a 成等差数列，则q 等于（） A ．1或2 B ．1或2- C．1-或2D ．1-或2-8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 等于( ) A ．3:4 B ．2:3 C．1:2D ．1:39．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠且1a ，3a ,9a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++等于（）A ．1514B ．1213C．1316D ．151610．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是( ） A ．21 B ．20 C．19D ．1811．设{}n a 是任意等比数列,它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ,Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是（）A ．2X Z Y +=B ．()()Y Y X Z Z X =--C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X =--12．已知数列1，12，21，13,22，31，14,23，32，41，…，则56是数列中的（） A ．第48项 B ．第49项 C ．第50项D ．第51项二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分，把正确答案填在题中横线上）1311的等比中项是________．4 / 13414．已知在等差数列{}n a 中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．15．“嫦娥奔月,举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是______秒．16．等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ,并且满足条件11a >，9910010a a ->,99100101a a -<-．给出下列结论：①01q <<;②9910110a a -<；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198．其中正确的结论是________．（填写所有正确的序号)三、解答题(本大题共6个小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-,60a =．（1)求{}n a 的通项公式；(2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式．5 / 13518．（12分）已知等差数列{}n a 中，3716a a =-，460a a +=，求{}n a 的前n 项和S n ．19．（12分）已知数列{}2log 1()() n a n *∈N －为等差数列,且13a =，39a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；6 / 136(2）证明：213211111n na a a a a a ++++<---．20．（12分)在数列{}n a 中，11a =,122n n n a a =+＋．（1）设12n n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和．7 / 13721．(12分）已知数列{}n a 的前n项和为n S ,且11a =,11,2,1(,)23n n a S n +==． (1）求数列{}n a 的通项公式； (2）当()132log 3n n b a =＋时，求证：数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1n T nn =+．8 / 13822．（12分)已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意n *∈N ,它的前n 项和n S 满足1()()612n n n S a a =++,并且2a ，4a ,9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；(2）设11()1n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T ．2018-2019学年必修五第二章训练卷数列（一）答案一、选择题 1．【答案】D【解析】由1=221n n a a ++得11=2n n a a -＋,∴{}n a 是等差数列首项12=a ，公差1=2d ，∴13212)2(n n a n =++-=，∴1011013522a +==．故选D ． 2．【答案】A【解析】在等差数列{}n a 中，79412a a a a +=+， ∴1216115a =-=．故选A ． 3．【答案】B【解析】由352a a q =得3q =．∴213a a q==,44411133120113q S a q --=⨯=--＝．故选B ． 4．【答案】B 【解析】∵123181920120219318()()()()()a a a a a a a a a a a a +++++=+++++120()3247854a a +=+=-=，∴12018a a +=．∴12020201802S a a +==．故选B ． 5．【答案】B【解析】依题意，133213111127333n n n n b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴32log 37log 11()3373l g 32o n n k n k ka b n n n -⎛⎫+== ⎪⎭+⎝-+-- 1133log 372log 3k k n ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭, ∵log n k n a b +是常数,∴133log 03k +=，即log 31k =，∴3k =．故选B ．6．【答案】A【解析】∵2634a a +=，2664a a ⋅=,∴2464a =, ∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8．故选A ． 7．【答案】C【解析】依题意有4652a a a =-,即24442a a q a q =-,而40a ≠，∴220q q --=,1)20()(q q +=-．∴1q =-或2q =．故选C ．8．【答案】A【解析】显然等比数列{}n a 的公比1q ≠，则由105510551111221S q q q S q -==+=⇒=--，故3155315555111132141112S q q S q q ⋅⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====⎛⎫---- ⎪⎝⎭．故选A ． 9．【答案】C【解析】因为1239a a a =⋅,所以2111()()28a d a a d +=⋅+．所以1a d =．所以1391241013101331316a a a a d a a a a d +++==+++．故选C ．10．【答案】B【解析】∵214365(())3)(a a a a a a d -+-+-=， ∴991053d -=．∴2d =-．又∵135136105a a a a d ++=+=，∴139a =． ∴()()221140204002n n n d n n na n S -=+=-+=--+．∴当20n =时,n S 有最大值．故选B ． 11．【答案】D【解析】由题意知n S X =,2n S Y =，3n S Z =．又∵{}n a 是等比数列,∴n S ,2n n S S －，32n n S S －为等比数列, 即X ,Y X -,Z Y -为等比数列， ∴2()()Y X X Z Y ⋅=--，即222Y XY X ZX XY +-=-， ∴22=Y XY ZX X --，即()()Y Y X X Z X =--．故选D ． 12．【答案】C【解析】将数列分为第1组一个，第2组二个,…，第n 组n 个，即11⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,21⎛⎫ ⎪⎝⎭,123,,321⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，12,,,11n n n ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,则第n 组中每个数分子分母的和为1n +，则56为第10组中的第5个,其项数为1239)550(++++=+．故选C ．二、填空题13．【答案】1±【解析】11的等比中项为a ，由等比中项的性质可知，)2111a ==，∴1a =±． 14．【答案】4- 【解析】由6723502360a d a d =+≥⎧⎨=+<⎩，解得232356d -≤<-，∵d ∈Z ，∴4d =-． 15．【答案】15【解析】设每一秒钟通过的路程依次为1a ，2a ,3a ,…，n a ，则数列{}n a 是首项12a =,公差2d =的等差数列，由求和公式得()112402n na n d -=＋，即(12)240n n n +-=，解得15n =． 16．【答案】①②④【解析】①中，()()9910099100111011a a a a a ⎧--<⎪>⎨⎪>⎩⇒99100101a a >⎧⎨<<⎩100990,1()q a a =∈⇒，∴①正确．②中,29910110010099101011a a a a a a ⎧=⎪⇒⎨<<⎪⎩<，∴②正确． ③中，100991001010090901T T a a T T =⎧⇒⎨<<<⎩，∴③错误．④中,()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a =>＝＝，()()199121981991199991011001T a a a a a a a a a ⋅<==，∴④正确．三、解答题17．【答案】（1）212n a n =-；（2)()413n n S =－．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵36a =-，60a =， ∴112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得110a =-,2d =．∴101()2212n a n n =-⨯=-=-．（2）设等比数列{}n b 的公比为q ．∵212324b a a a =++=-,18b =-,∴824q -=-，3q =．∴数列{}n b 的前n 项和公式为()111413n n nS q b q-==-－． 18．【答案】()9n S n n =-或(9)n S n n -=-．【解析】设{}n a 的公差为d ，则()()11112616350a d a d a d a d ++=-⎧⎪⎨+++=⎪⎩，即22111812164a da d a d⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩, 解得182a d =-⎧⎨=⎩，或182a d =⎧⎨=-⎩．因此8()19()n S n n n n n +-=-=-,或81()9()n S n n n n n ==----． 19．【答案】(1）21n n a =+；（2）见解析．【解析】（1）解设等差数列{}2(og )l 1 n a －的公差为d ．由13a =,39a =，得22log 91log 32()(1)d --=+,则1d =．所以2log 1111()()n a n n +-=⨯-=，即21n n a =+．（2)证明因为11111222n n nn n a a ++==--， ∴12321321111111111112221112222212n n n n n a a a a a a +-⨯+++=++++==-<----．20．【答案】（1）见解析；（2）1()21n n S n -⋅=+．【解析】（1）证明由已知122n n n a a =+＋，得1111122222nn n nn n n nn a b a b a +-++===+=+．∴11n n b b -=＋，又111b a ==．∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列．（2）解由（1）知，n b n =,12n n n n a b -==．∴12n n a n ⋅=－．∴121122322n n S n +⋅⋅+=⋅++－，两边乘以2得:()11221222122n n n S n n =++⋅+-⋅+⋅⋅－，两式相减得：12112222(21?221)1n n n n n n S n n n ++-=-=-++⋅---－＝，∴1()21n n S n -⋅=+．21．【答案】（1）21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩;（2)见解析．【解析】（1)解由已知()1112,212n nn n a S a Sn +-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩≥，得()1322n n a a n +≥=．∴数列{}n a 是以2a 为首项，以32为公比的等比数列．又121111222a S a ===，∴()22322n n a a n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭=⨯．∴21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩．（2）证明()11log 3lo 3333=2222g n n n n b a -⎡⎤⎛⎫=⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＋．∴()1111111n n b b n n n n +==-++． ∴12233411111111111111122334n n n T b b b b n b b b b n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+ 1111nn n=-=++． 22．【答案】（1）32,n a n n *=-∈N ；(2)22186n T n n -=-．【解析】(1)∵对任意n *∈N ，有1()()612n n n S a a =++，① ∴当1n =时，有1111112()()6S a a a ==++，解得11a =或2．当2n ≥时，有1111())62(1n n n S a a ---=++．② ①－②并整理得113()()0n n n n a a a a --+--=．而数列{}n a 的各项均为正数,∴13n n a a --=．当11a =时，(1313)2n a n n +-=-=，此时2249=a a a 成立；当12=a 时,23=(3=11)n a n n +--,此时2249=a a a 不成立,舍去． ∴32,n a n n *=-∈N ．（2)212212233445221n n n n T b b b a a a a a a a a a a =++=-+-++-＋21343522121()()()n n n a a a a a a a a a =-+-++-－＋242666n a a a --=-- 242(6)n a a a ++=-+246261862n nn n +-=-⨯-=-．。

2021年高中数学 2.2.1等差数列的概念与通项公式练习新人教A版必修5

2021年高中数学 2.2.1等差数列的概念与通项公式练习新人教A版必修5►基础梳理1．(1)等差数列的定义：____________________．定义的数学式表示为__________________________．(2)判断下列数列是不是等差数列．①2，4，6，8，10；②1，3，5，8，9，10.2．(1)首项为a1公差为d的等差数列{a n}的通项公式为____________．(2)写出下列数列的通项公式：①2，4，6，8，10；②0，5，10，15，20，….3．(1)等差中项的定义：______________________．(2)求下列各组数的等差中项：①2，4；②－3，9.4．(1)等差数列当公差______时，为递增数列；当公差______时，为递减数列．(2)判断下列数列是递增还是递减数列．①等差数列3，0，－3，…；②数列{a n}的通项公式为：a n＝2n－100(n∈N*)．5．等差数列的图象的特点是________________．基础梳理1．(1)从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数a n－a n－1＝d (与n无关的常数)，n≥2，n∈N*(2)①是②不是2．(1)a n＝a1＋(n－1)d，n∈N*(2)①a n＝2n，n＝1，2，3，4，5②a n＝5n－5，n∈N*3．(1)如果a，A，b成等差数列，则A叫a与b的等差中项(2)①所求等差中项为3 ②所求等差中项为34．(1)d>0 d<0(2)①递减数列②递增数列5．一条直线上的一群孤立点►自测自评1．下列数列不是等差数列的是( )A．a－d，a，a＋dB．2，4，6，…，2(n－1)，2nC．m，m＋n，m＋2n，2m＋n(m≠2n)D．数列{a n}满足a n－1＝a n－12(n∈N*，n＞1)2．等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式是( )A．a n＝a＋(n－1)d B．a n＝a＋(n－3)dC．a n＝a＋2(n－2)d D．a n＝a＋2nd3．已知数列{a n}对任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上，则{a n}为( ) A．公差为2的等差数列B．公差为1的等差数列C．公差为－2的等差数列D．非等差数列自测自评1．解析：利用定义判断，知A，B，D是等差数列；对于C，m＋n－m＝n，(2m＋n)－(m＋2n)＝m－n，且n≠m－n，∴该数列不是等差数列．故选C.答案：C2．解析：数列的首项为a－2d，公差为2d，∴a n＝(a－2d)＋(n－1)·2d＝a＋2(n－2)d.答案：C3．A►基础达标1．有穷等差数列5，8，11，…，3n＋11(n∈N*)的项数是( )A．n B．3n＋11C．n＋4 D．n＋31．解析：在3n＋11中令n＝1，结果为14，它是这个数列的第4项，前面还有5，8，11三项，故这个数列的项数为n＋3.故选D.答案：D2．若{a n }是等差数列，则由下列关系确定的数列{b n }也一定是等差数列的是( )A ．b n ＝a 2nB ．b n ＝a n ＋n 2C ．b n ＝a n ＋a n ＋1D ．b n ＝na n2．解析：{a n }是等差数列，设a n ＋1－a n ＝d ，则数列b n ＝a n ＋a n ＋1满足：b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝a n ＋2－a n ＝2d .故选C.答案：C3．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A. 3 B. 2 C.13 D.123．解析：a ，b 的等差中项为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2＋13－2＝12×(3－2＋3＋2)＝ 3. 答案：A4．下面数列中，是等差数列的有( )①4，5，6，7，8，… ②3，0，－3，0，－6，… ③0，0，0，0，…④110，210，310，410，… A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个4．C5．在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值是( )A ．49B ．50C ．5D ．525．解析：由2a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1－a n ＝12， ∴{a n }是等差数列，且公差为d ＝12，又a 1＝2， ∴a 101＝a 1＋(101－1)d ＝2＋100×12＝52.故选D. 答案：D►巩固提高6．若x ≠y ，且两个数列：x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各成等差数列，那么a 2－a 1b 2－b 1＝( )A.34B.43C.23D ．不能确定 6．解析：a 2－a 1＝13(y －x )，b 2－b 1＝14(y －x )， ∴a 2－a 1b 2－b 1＝43.故选B. 答案：B7．已知函数f (x )＝2x ，等差数列{a n }的公差为 2.若f (a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝4，则log 2[f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)]＝________．7．解析：∵f (a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝2a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝4，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝2.又∵a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝(a 2－d )＋(a 4－d )＋…＋(a 10－d )＝2－5d ＝－8，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝2＋(－8)＝－6.∴log 2[f (a 1)·f (a 2)·…·f (a 10)]＝log 2(2a 1＋a 2＋…＋a 10)＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝－6. 答案：－68．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________．8．解析：利用等差数列的通项公式求解．设等差数列公差为d ，则由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，∴d 2＝4，∴d ＝±2.由于该数列为递增数列，∴d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ∈N *)．答案：2n －1(n ∈N *)9．有四个数成等差数列，它们的平方和等于276，第一个数与第四个数之积比第二个数与第三个数之积少32，求这四个数．9．解析：设四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）2＋（a －d ）2＋（a ＋d ）2＋（a ＋3d ）2＝276，（a －d ）（a ＋d ）－（a －3d ）（a ＋3d ）＝32. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋5d 2＝69，d 2＝4.∴a ＝±7，d ＝±2. ∴所求的四个数依次为：1，5，9，13或13，9，5，1或－13，－9，－5，－1或－1，－5，－9，－13.10．已知函数f (x )＝x ax ＋b(a ，b 为常数，a ≠0)满足f (2)＝1，且f (x )＝x 有唯一解． (1)求f (x )的表达式；(2)若数列{x n }由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N *)且x 1＝1.①求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列； ②求数列{x n }的通项公式．10．(1)解析：由f (2)＝1，得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2. 由f (x )＝x ，得x ax ＋b＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有唯一解， ∴Δ＝(b －1)2＝0，∴b ＝1.∴a ＝12. ∴f (x )＝2x x ＋2. (2)①证明：当n ≥2时，x n ＝f (x n －1)＝2x n －1x n －1＋2. 又x 1＝1＞0，∴x n ＞0，即x n ≠0.∴1x n ＝x n －1＋22x n －1＝1x n －1＋12，即1x n －1x n －1＝12. 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是首项为1，公差为12的等差数列． ②解析：由①得1x n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12， ∴x n ＝2n ＋1(n ∈N *)．1．用好等差数列的定义与掌握好等差数列的通项公式是关键，写数列通项公式时注意n 的取值范围．2．注意等差数列与一次函数间的关系，如自测自评中第3题．3．题设中有三个数成等差数列时，一般设这三个数为a －d 、a 、a ＋d .若五个数成等差一般设为a －2d 、a －d 、a 、a ＋d 、a ＋2d .有时也直接设为等差数的通项形式，具体问题具体分析，设的目的是便于计算，要灵活选择设的方法．4．等差中项有广泛应用，要准确理解其含义．5．证明数列为等差数列的方法有：定义法、通项公式法、等差中项法．K29753 7439 琹35196 897C 襼.D27967 6D3F 洿40023 9C57 鱗34218 85AA 薪}l !I24395 5F4B 彋E。

高中数学第二章数列 2.4.1 等比数列的概念及通项公式练习新人教A版必修5-新人教A版高一必

第1课时等比数列的概念及通项公式课后篇巩固探究A组1.若a,b,c成等差数列,则一定()A.是等差数列B.是等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是,所以一定是等比数列.答案B2.在等比数列{a n}中,a2 017=-8a2 014,则公比q等于()A.2B.-2C.±2D.解析由a2 017=-8a2 014,得a1q2 016=-8a1q2 013,所以q3=-8,故q=-2.答案B3.在等比数列{a n}中,a n>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为()A.16B.27C.36D.81解析由a2=1-a1,a4=9-a3,得a1+a2=1,a4+a3=9.设公比为q,则q2==9.因为a n>0,所以q=3,于是a4+a5=(a1+a2)q3=27.答案B4.已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,∴=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.答案B5.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则S n=()A.2n-1B.C.D.解析由S n=2a n+1,得S n=2(S n+1-S n),即2S n+1=3S n,.又S1=a1=1,所以S n=,故选B.答案B6.已知等比数列{a n},a3=3,a10=384,则该数列的通项a n=.解析设公比为q.∵=q7==27,∴q=2.∴a n=a3q n-3=3·2n-3.答案3·2n-37.在数列{a n}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2a n+1-a n=0,则a n=.解析由2a n+1-a n=0,得,所以数列{a n}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以a n=3·.答案3·8.在等比数列{a n}中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是.解析依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.答案±49.导学号04994040已知数列{a n}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2b n=a n.(1)求证:数列{b n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.(1)证明由log2b n=a n,得b n=.因为数列{a n}是等差数列,不妨设公差为d,则=2d,2d是与n无关的常数,所以数列{b n}是等比数列.(2)解由已知,得解得于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列{b n}的通项公式b n=·16n-1.10.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n+(n∈N*).(1)求证:是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明∵a n+1=a n+,∴a n+1-a n+.∴.∴是首项为,公比为的等比数列.(2)解∵a n-,∴a n=.B组1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为()A.16B.15C.14D.12解析依题意,得解得答案D2.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12解析∵a m=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,∴m=11.答案C3.已知等比数列{a n},各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=()A.3+2B.1-C.1+D.3-2解析由a1,a3,2a2成等差数列,得a3=a1+2a2.在等比数列{a n}中,有a1q2=a1+2a1q,即q2=1+2q,得q=1+或1-(舍去),所以=q2=(1+)2=3+2.答案A4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则=. 解析由题意,得a2-a1==2,=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以=-1.答案-15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.解析依题意,得a n=a n+1+a n+2,所以a n=a n q+a n q2.因为a n>0,所以q2+q-1=0,解得q=(q=舍去).答案6.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=.解析由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.答案327.已知数列{a n}满足S n=4a n-1(n∈N*),求证:数列{a n}是等比数列,并求出其通项公式.解依题意,得当n≥2时,S n-1=4a n-1-1,所以a n=S n-S n-1=(4a n-1)-(4a n-1-1),即3a n=4a n-1,所以,故数列{a n}是公比为的等比数列.因为S1=4a1-1,即a1=4a1-1,所以a1=,故数列{a n}的通项公式是a n=.8.导学号04994041已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+1,(1)求证:{a n}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设b n=a n+1+2a n,求证:数列{b n}是等比数列.证明(1)∵S n=2a n+1,∴S n+1=2a n+1+1,S n+1-S n=a n+1=(2a n+1+1)-(2a n+1)=2a n+1-2a n,∴a n+1=2a n.由已知及上式可知a n≠0.∴由=2知{a n}是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴a n=-2n-1.(2)由(1)知,a n=-2n-1,∴b n=a n+1+2a n=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.∴数列{b n}是等比数列.。

2016-2017学年高中数学第二章数列习题课1求通项公式高效测评新人教A版必修5资料

第二章习题课求通项公式一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n－2(a 为常数，且a ≠0，a ≠1)，则数列{a n }( )A ．是等比数列B ．从第二项起的等比数列C ．是等差数列D ．从第二项起的等差数列解析：当n ≥2时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝a n ＋1－a n∴a n ＝S n －S n －1＝a n －an －1，则a n ＋1a n＝a . 又∵a 2＝S 2－S 1＝a 2－2－(a －2) ＝a 2－a ＝a (a －1)a 1＝S 1＝a －2.当a ＝2时，a 1＝0，当a ≠2时，a 2a 1＝a a －1a －2≠a .答案： B2．如果数列{a n }满足a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，则a 6＝( )A ．21 008B ．29 968C ．25 050D ．32 768解析： a 6＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a 6a 5＝1×2×22×…×25＝215＝32 768. 答案： D3．若数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2(n ∈N *)，则a 6＝( ) A ．95 B ．116C ．137D ．2 解析： a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋6a 6＝36，① a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋5a 5＝25，②①－②得6a 6＝11，所以a 6＝116. 答案： B4．在数列{a n }中，已知a n ＋1＝a n ＋n2，且a 1＝2，则a 99的值是( )A ．2 477B ．2 427C ．2 427.5D ．2 477.5解析： ∵a n ＋1－a n ＝n2，∴a n －a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝12[1＋2＋…＋(n －1)]＝14(n －1)n ， ∴a 99＝2＋14×98×99＝2 427.5.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)，则a n ＝______. 解析： a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝2×13×24×35×…×n －1n ＋1＝4n n ＋1.答案：4n n ＋16．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则a n ＝________. 解析： a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．又a 1＋1＝2.∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列． ∴a n ＋1＝2×3n －1.∴a n ＝2×3n －1－1.答案： 2×3n －1－1三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解析： (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ＞1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n －1个等式中等号两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋12.综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋12.8．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3(n ∈N *)．求数列{a n }的通项公式．解析： ∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3， ①∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13.②①－②，得3n －1a n ＝13，∴a n ＝13n .在①中，令n ＝1，得a 1＝13.∴a n ＝13n (n ∈N *)．尖子生题库☆☆☆9.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解析： (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－12.因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1，所以S n ＝2S n －1＋2n －1， ① 所以S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，②②－①得a n ＋1＝2a n ＋2. 所以a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2，所以当n ＝1时也满足上式．所以{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋2＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－2.。

等比数列习题(有答案)第一课时-数学高一必修5第二章数列2.4人教A版

第二章数列2.4等比数列测试题知识点一：等比数列的概念及等比中项的求解1．下面有四个结论：①由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；②常数列b ，…，b 一定为等比数列；③等比数列{a n }中，若公比q ＝1，则此数列各项相等；④等比数列中，各项与公比都不能为零．其中正确的结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32.2＋1与2－1，两数的等比中项是( )A ．1B ．－1C ．±1 D.123.对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列知识点二: 等比数列的通项公式及运算4．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312是此数列的第________项( )A ．2B ．4C ．6D ．85．(2014·东营高二检测)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 26．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是( )A.52B.1－52C.25D.5－12 7.若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 014，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 014×1010B ．2 014×1011C ．2 015×1010D ．2 015×10118．(2015·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)29.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.10．等比数列{a n }中，a 1＝98，a n ＝13，公比q ＝23，则n ＝________.11．数列{a n }为等比数列，a n ＞0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a n ＝________.知识点三: 等比数列通项的简单应用12．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．13.若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.14.在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．15．(2014·潍坊高二检测)在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？16．等比数列{a n }中，a 2＝32，a 8＝12，a n ＞a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a n ，求T n 的最大值．知识点四：等比数列的判断与证明17.已知等比数列{b n }与数列{a n }满足b n ＝3a n (n ∈N *)．(1)判断{a n }是何种数列，并给出证明；(2)若a 8＋a 13＝m ，求b 1·b 2·…·b 20.18．已知数列{a n }满足a 1＝78，且a n ＋1＝12a n ＋13，n ∈N *.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．19.数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，且{a n a n ＋1}是以3为公比的等比数列，记b n ＝a 2n －1＋a 2n (n ∈N *)．(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值；(2)求证：{b n }是等比数列．20．已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．【参考答案】。

新人教A版必修5高中数学2.2等差数列(1)学案(二)

高中数学 2.2等差数列（1）学案新人教A 版必修5学习目标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项.学习重难点1.重点：等差数列的通项公式2.难点：灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项一、课前准备（预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、试一试问题一：等差数列的概念1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它一项的等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的，常用字母表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数叫做数和的等差中项，用等式表示为A =问题二：等差数列的通项公式2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ，即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ ……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .※ 学习探究探究1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 探究 2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数. ※ 模仿练习练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==，求数列的首项与公差.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++.当堂检测1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝，b ＝ .课后作业1. 在等差数列{}n a 中，⑴已知12a =，d ＝3，n ＝10，求n a ； ⑵已知13a =，21n a =，d ＝2，求n ；⑶已知112a=，627a=，求d；⑷已知d＝－13，78a=，求1a.2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.课后反思。

2022年高中数学第二章数列1-1数列的概念与简单表示法练习含解析新人教A版必修

课时训练5　数列的概念与简单表示法一、数列的概念及分类1.下列叙述正确的是( )A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}C.数列0,1,0,1,…是常数列D.数列{n n+1}是递增数列答案:D解析:数列中的项是有序的,故A错;B中通项为{n-1};C中数列为摆动数列,故选D.2.数列5,4,3,m,…是递减数列,则m的取值范围是( )A.(-∞,3)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)答案:A解析:依据递减数列的定义,只要后面的项比它的前一项小即可,所以m的取值范围是(-∞,3).3.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( )A.1,12,13,14,…B.sinπ7,sin2π7,sin3π7,…C.-1,-12,-14,-18,…D.1,√2,√3,…,√21答案:C4.下面的数列中,哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?(1)1,2,3,4,5,6,7,…;(2)10,8,6,4,…;(3)1,0,1,0,1,0,…;(4)a,a,a,a,….解:(1)递增数列,因为从第2项起,每一项都大于它的前一项;(2)递减数列,因为从第2项起,每一项都小于它的前一项;(3)摆动数列,因为从第2项起,数列中有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项;(4)常数列.二、数列的通项公式及应用5.(2015河南南阳高二期中,1)已知数列√5,√11,√17,√23,√29,…,则5√5是它的第( )项.A.19B.20C.21D.22答案:C解析:数列√5,√11,√17,√23,√29,…中的各项可变形为√5,√5+6,√5+2×6,√5+3×6,√5+4×6,…,∴通项公式为a n=√5+6(n-1)=√6n-1,令√6n-1 =5√5,得n=21.故选C.6.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).则第7个三角形数是( )A.27B.28C.29D.30答案:B解析:由已知从第二项起,每一项与前一项的差是这一项的项数,即a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,以此规律得a6-a5=6,∴a7-a6=7.∴a7=7+a6=7+6+a5=13+15=28.7.数列{a n}的通项公式a n=则√10-3是此数列的第项.√n+√n+1答案:9√n+1−√n,解析:a n=√n+√n+1令n=9,则a 9=√10−√9=√10-3.∴√10-3是数列中第9项.8.已知数列的通项公式为a n =2n 2-n.(1)求这个数列的第8项,第10项;(2)试问:45是否是{a n }中的项?3是否是{a n }中的项?解:(1)∵a n =2n 2-n ,∴当n=8时,a 8=2×82-8=120;当n=10时,a 10=2×102-10=190.(2)a n =2n 2-n ,令a n =45,则有2n 2-n-45=0,解得n=5或n=-92(舍去),∴45是该数列的第5项.令a n =3,则有2n 2-n-3=0.该方程不存在正整数解,故3不是该数列中的项.9.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数.(1)a ,b ,a ,b ,…;(2)22-12,32-13,42-14,52-15,…;(3)-11×2,12×3,-13×4,14×5,…;(4)12,2,92,8,252,….解:(1)数列的奇数项为a ,偶数项为b ,因此通项公式可用分段形式来表示,记为a n ={a ,n ,为奇数b ,n ,为偶数也可记为a n =a +b 2+(-1)n+1·a -b 2.(2)这个数列的前4项分别为22-12,32-13,42-14,52-15,其分母都是序号n加上1,分子都是分母的平方减去1,故a n=(n+1)2-1n+1.(3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故a n=(-1)nn(n+1).(4)该数列的项中有的是分数,有的是整数,将各项都统一成分数为12,42,92,162,252,…,观察可知各项分母都是2,分子都是序号的平方,所以a n=n 22.(建议用时:30分钟) 1.数列√2,√5,2√2,√11,…,则2√5是该数列的( )A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项答案:B解析:由a n=√3n-1=2√5,解得n=7.2.数列0,13,12,35,23,…的通项公式为( )A.a n=n-2n B.a n=n-1nC.a n=n-1n+1D.a n=n-2n+2答案:C解析:原数列可变形为02,13,24,35,46,…,∴a n =n -1n +1.3.已知数列的通项公式a n ={3n +1,n ,为奇数2n -2,n ,为偶数则a 2a 3等于( )A.70B.28C.20D.8答案:C解析:由a n ={3n +1,n ,为奇数2n -2,n ,为偶数得a 2a 3=2×10=20.∴选C.4.已知数列{a n }满足:a 1>0,a n +1a n =12,则数列{a n }是( )A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.不确定答案:B解析:由已知数列各项为正,且从第二项起每一项是前一项的12,则数列{a n }是递减数列.5.在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为( )A.2B.6C.7D.8答案:C解析:数字为1的有1个,数字为2的有2个,数字为3的有3个,∴按照此规律.当数字为6时,共有1+2+3+4+5+6=21项,当数字为7时,共有1+2+3+4+5+6+7=28项.∴第25项为7.6.已知数列{a n },a n =a n +m (a<0,n ∈N *),满足a 1=2,a 2=4,则a 3= .答案:2解析:∵{2=a +m ,4=a 2+m ,∴{a =-1,m =3,∴a n =(-1)n +3,∴a 3=(-1)3+3=2.7.下列叙述中正确的为 .①数列a n=2是常数列;②数列{(-1)n·1n}是摆动数列;③数列{n2n+1}是递增数列;④若数列{a n}是递增数列,则数列{a n a n+1}也是递增数列.答案:①②③解析:①中每一项均为2,是常数列.②中项的符号由(-1)n调整,是摆动数列.③n2n+1可变形为12+1n,为递增数列.④中若a n=n-3,则a n a n+1=(n-3)(n-2)=n2-5n+6,不是递增数列.8.黑白两种颜色的正六边形地面砖按下图的规律拼成若干个图案,则第n个图案中有白色地面砖　块.答案:4n+2解析:第1个图案有白色地面砖6块,第2个图案有10块,第3个图案有14块,可以看出每个图案较前一个图案多4块白色的地面砖.∴第n个图案有6+4(n-1)=(4n+2)(块).9.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:(1)45,12,411,27,…;(2)1,3,6,10,15,…;(3)7,77,777,….分析:(1)注意前4项中有两项的分子为4,不妨把分子统一为4,即为45,48,411,414,…,于是它们的分母依次相差3,因而有a n=43n+2.(2)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明显,再把各项的分子和分母都乘以2,即1×2 2,2×32,3×42,4×52,5×62,…,因而有a n=n(n+1)2.(3)把各项除以7,得1,11,111,…,再乘以9,得9,99,999,…,因而有a n=79(10n-1).解:(1)a n=43n+2;(2)a n=n(n+1)2;(3)a n=79(10n-1).10.已知数列{a n}的通项公式a n=n+6n.(1)求a10.(2)5350是否是这个数列中的项?(3)这个数列中有多少整数项?(4)是否有等于序号的项?若有,求出该项;若没有,说明理由.解:(1)a10=10+610= 8 5.(2)令n+6n =5350,得n=100,故5350是这个数列的第100项.(3)∵a n=1+6n,∴当n=1,2,3,6时,a n为整数,故这个数列中有4项是整数项.(4)令n+6n=n得n2-n-6=0,解得n=3或n=-2(舍去),故该数列中有等于序号的项,即a3=3.。

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习(含解析)新人教A版必修5

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习（含解析）新人教A版必修51.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)248 (D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.5.等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{a n},易知{a n}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{a n}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又a n>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列{a n} 的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,求S n的值.解:因为S n=2a n+1,所以n≥2时,S n-1=2a n.因为a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n,所以3a n=2a n+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{a n}从第二项起是以为公比的等比数列.所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+=()n-1.13.知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3,所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)求证是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3(a n+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).故选B.16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为( B )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==q m+1=9,所以q m=8.所以==q m=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.故选B.17.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= .解析:依题意,知数列{a n}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{b n}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对于任意n∈N*均有+++…+=a n+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值. 解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此a n=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列{b n}是首项为1,公比为3的等比数列.因此b n=3n-1.(2)因为+++…+=a n+1,所以当n≥2时,+++…+=a n,两式作差得=a n+1-a n=d,又d=2,故c n=2×3n-1,又=a2,所以c1=3,因此数列c n=。

人教A版高中数学必修五河北省张家口第二章数列的概念与简单表示法课时作业

2.1数列的概念及简单的表示法(作业)一、选择题1.下面对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在*N 或它的有限子集上的函数；②数列的项数是无限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是（）A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①②③④2. 下列说法中，正确的是（）A ．数列1，3，5，7可表示为{}1,3,5,7B ．数列1，0，1-，2-与数列2-，1-，0，1是相同的数列C ．数列1n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第k 项为11k +D ．数列0，2，4，6，8，…可记为{}23. 若2n na n =+，则n a 与1n a +的大小关系是（） A ．1n n a a +> B ．1n n a a +< C ．1n n a a += D ．不能确定4. 数列1-，85，157-，249，…的一个通项公式是（）A ．()()1121nn n n a n +=-+B ．()()211nn n n a n +=-+C ．()()21111nn n a n ++=-+ D ．()22121nn n na n +=-+5．已知数列{n a }的通项公式是n a ＝252+n n (n ∈*N )，则数列的第5项为（）A.110B.16C.15D.126．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（） A ．11 B ．12 C ．13 D ．147. 在数列{}n a 中，113a =，()()1122nn n a a n -=-⋅≥，则5a =（）A ．163-B ．163C ．83-D ．83选择题题号1 2 3 4 5 6 7 答案二、填空题8．数列{}n a 中，21n a n =+，则2n a =________.9．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第______项.10、数列7，77，777，7777，77777，……的通项公式为_______________________．11．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第10个图案中有白色地面砖_________________块三、解答题 12．求数列,154,32-638,556-,…的通项公式．13.已知函数()22x xf x -=-，数列{}n a 满足2(log )2n af n =-，求数列{}n a 的通项公式.14．设数列{}n a 的通项公式为1n n a n =+. （1）求56,a a ；（2）0.96是该数列的第几项？（3）0.86是不是该数列的项？15. 数列通项公式为2n =n -5n+4a ，问：（1）数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，n a 有最小值？并求出最小值．。

高中数学第二章数列 2.2 等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式新人教A版必修5

• 已知数列的通项公式为an＝6n－1，问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？
• [解析] ∵an＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常数)， • ∴{an}是等差数列，其首项a1＝6×1－1＝5，公差为6.
命题方向2 ⇨等差数列的证明
列．
例题 2 已知1a，1b，1c成等差数列，求证：b＋a c，c＋b a，a＋c b也成等差数
新课标导学
数学
必修5 ·人教A版
第二章
数列 2.2 等差数列
第1课时等差数列的概念与通项公式
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
汉朝的天文著作《周髀算经》中有记载，大意如下：在平地
上立八尺高的土圭，日中测影，在二十四节气中，冬至影长1丈3
尺5寸，以后每一节气影长递减9寸9
• 『规律总结』定义法是判定数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为：
• (1)作差an＋1－an； • (2)对差式进行变形； • (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数
列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列 {an}不是等差数列．
• 〔跟踪练习1〕
a＋b ___2___.
1．下列数列是等差数列的是 A．13，15，17，19 C．1，－1,1，－1
B．1， 3， 5， 7 D．0,0,0,0
(D )
[解析] ∵15－13≠17－15，故排除A；∵ 3－1≠ 5－ 3，故排除B； ∵－1－1≠1－(－1)，故排除C，∴选向3 ⇨等差数列的通项公式
• 例题 3 在等差数列{an}中： • (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； • (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9. • [分析] 根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，由条

新版高中数学人教A版必修5习题：第二章数列习题课1(1)

习题课(一)求数列的通项公式课时过关·能力提升基础巩固1在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为().A.2B.6C.7D.8解析:1+2+3+4+…+n=n(n+1)2,当n=6时,共21项,故第25项为7.答案:C2在数列{a n}中,a1=2,a n+1=3a n+2,则a2 016的值为().A.32 015B.32 015-1C.32 016D.32 016-1答案:D3数列17,29,311,413,…的一个通项公式是().A.a n=n2n+3B.an=n2n-3C.a n=n2n+5D.an=n2n-5答案:C4已知数列{a n}满足a n+2=a n+1+a n,若a1=1,a5=8,则a3等于().A.1B.2C.3D.72解析:由a n+2=a n+1+a n ,a 1=1,a 5=8,得a 3=a 2+1,a 4=a 3+a 2,消去a 2得a 4=2a 3-1.又a 5=a 4+a 3=8,即8=3a 3-1,所以a 3=3.故选C . 答案:C5已知数列前n 项和S n =2n 2-3n+1,n ∈N *,则它的通项公式为 . 解析:当n=1时,a 1=S 1=0;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n 2-3n+1-[2(n-1)2-3(n-1)+1]=4n-5, 故a n ={0,n =1,4n -5,n ≥2.答案:a n ={0,n =1,4n -5,n ≥26在数列{a n }中,a 1=1,a 2=5,a n+2=a n+1-a n (n ∈N *),则a 2 016= . 解析:∵a 1=1,a 2=5,a n+2=a n+1-a n ,∴a 1=1,a 2=5,a 3=4,a 4=-1,a 5=-5,a 6=-4,a 7=1,a 8=5. ∴数列{a n }是周期数列,周期为6. ∴a 2016=a 6×336=a 6=-4.答案:-47在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +n+1,则通项a n = . 解析:∵a n+1=a n +n+1,∴a n+1-a n =n+1.∴a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,…,a n -a n-1=n ,各式相加得a n -a 1=2+3+4+…+n =(n+2)(n -1)2. 又a 1=2,∴a n =(n+2)(n -1)2+2=n 2+n+22.答案:n 2+n+228已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足log 2(S n +1)=n+1,则a n = . 解析:∵log 2(S n +1)=n+1,∴S n =2n+1-1.当n=1时,a 1=S 1=3;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n+1-2n =2n .∵当n=1时,上式不满足, ∴a n ={3,n =1,2n ,n ≥2.答案:{3,n =1,2n ,n ≥29根据下列条件,求数列的通项公式a n . (1)在数列{a n }中,a 1=1,a n+1=a n +2n ;(2)在数列{a n }中,a n+1=n+2n·a n ,a 1=4. 解(1)∵a n+1=a n +2n ,∴a n+1-a n =2n .∴a 2-a 1=2,a 3-a 2=22,a 4-a 3=23,…,a n -a n-1=2n-1,以上各式两边分别相加得a n -a 1=2+22+23+…+2n-1=2(1-2n -1)1-2=2n −2.又a 1=1,∴a n =2n -2+1=2n -1.(2)∵a n+1=n+2n ·a n ,∴a n+1a n=n+2n .∴a2a1=31,a3a2=42,a4a3=53,a5a4=64,…,a na n-1=n+1n-1.以上各式两边分别相乘得a n a1=n(n+1)1×2=n(n+1)2.又a1=4,∴a n=2n(n+1).10已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{b n}的前n项和.解(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2.所以数列{a n}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n=3n-1.(2)由(1)和a n b n+1+b n+1=nb n得b n+1=b n3,因此{b n}是首项为1,公比为13的等比数列.记{b n}的前n项和为S n,则S n=1-(13)n1-13=32−12×3n-1.能力提升1在数列{a n}中,a n+1=a n1+3a n,a1=2,则a4等于().A.165B.219C.85D.87答案:B2已知数列{a n}的前n项和S n=n2-2n,则a2+a18等于().A.36B.35C.34D.33解析:a2+a18=S2-S1+S18-S17=(22-2×2)-(12-2×1)+(182-2×18)-(172-2×17)=34.答案:C3已知n∈N*,给出4个表达式:①a n={0,n为奇数,1,n为偶数,②an=1+(-1)n2,③an=1+cosnπ2,④an=|sin nπ2|.其中能作为数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是().A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④解析:经检验知①②③都是所给数列的通项公式,故选A.答案:A4已知在数列{a n}中,a1=1,(2n+1)a n=(2n-3)a n-1(n≥2),则数列{a n}的通项公式为. 解析:由(2n+1)a n=(2n-3)a n-1,可得a na n-1=2n-32n+1(n≥2),所以a2a1=15,a3a2=37,a4a3=59,a5a4=711,…,a na n-1=2n-32n+1(n≥2).上述各式左右两边分别相乘得a na1=1×3(2n-1)(2n+1)(n≥2),故a n=3(2n-1)(2n+1)(n≥2).又a1=1满足上式,所以数列{a n}的通项公式为a n=3(2n-1)(2n+1)(n∈N*).答案:a n=3(2n-1)(2n+1)★5若数列{a n}满足a1=23,a2=2,3(an+1−2an+an−1)=2,则数列{an}的通项公式为.解析:由3(a n+1-2a n+a n-1)=2可得a n+1-2a n+a n-1=23,即(a n+1-a n)-(a n-a n-1)=23,所以数列{a n+1-a n}是以a2-a1=43为首项,23为公差的等差数列,所以a n+1-a n=43+23(n−1)=23(n+1).故a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)=a1+23(2+3+⋯+n)=13n(n+1).答案:a n=13n(n+1)6已知在数列{a n}中,a n+1=2a n+3·2n+1,且a1=2,则数列{a n}的通项公式为. 解析:∵a n+1=2a n+3·2n+1,∴a n+12n+1=a n2n+3,即a n+12n+1−a n2n=3.∴数列{a n2n}是公差为3的等差数列.又a12=1,∴a n2n=1+3(n−1),∴a n=(3n-2)·2n.答案:a n=(3n-2)·2n7已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)证明{a n+12}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)证明1a1+1a2+⋯+1a n<32.(1)解由a n+1=3a n+1,得a n+1+12=3(a n+12).又a1+12=32,所以{a n+12}是首项为32,公比为3的等比数列.a n+12=3n2,因此{a n}的通项公式为a n=3n-12.(2)证明由(1)知1a n =23n-1.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以13n-1≤12×3n-1.于是1a1+1a2+⋯+1a n≤1+13+⋯+13n-1=32(1-13n)<32.所以1a1+1a2+⋯+1a n<32.★8设数列{a n}的前n项和为S n,且S n=4a n-3(n=1,2,…).(1)证明:数列{a n}是等比数列;(2)若数列{b n}满足b n+1=a n+b n(n=1,2,…),b1=2,求数列{b n}的通项公式.(1)证明因为S n=4a n-3(n=1,2,…),所以S n-1=4a n-1-3(n=2,3,…),当n≥2时,a n=S n-S n-1=4a n-4a n-1,整理,得a na n-1=43.由S n=4a n-3,令n=1,得a1=4a1-3,解得a1=1.所以数列{a n }是首项为1,公比为43的等比数列.(2)解由(1)得a n =(43)n -1,由b n+1=a n +b n (n=1,2,…),得b n+1-b n =(43)n -1.则b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n-1)=2+1-(43)n -11-43=3×(43)n -1−1.。

高中数学第二章第一课时等比数列的前n项和学案含解析新人教A版必修596

第一课时等比数列的前n 项和[提出问题已知等比数列{a n }，公比为q ，S n 是其前n 项的和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1.问题1：若q ＝1，则S n 与a 1有何关系？提示：S n ＝na 1.问题2：若q ≠1，你能用a 1，q 直接表示S n 吗？如何表示？提示：能．∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①两边同乘以q ，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ，②①－②得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n， ∴当q ≠1时，S n ＝a 1－qn1－q.[导入新知]等比数列的前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝，a 1－q n1－qqS n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝，a 1－a n q1－qq[化解疑难]1．在运用等比数列的前n 项和公式时，一定要注意对公比q 的讨论(q ＝1或q ≠1)． 2．当q ≠1时，若已知a 1及q ，则用公式S n ＝a 1－qn1－q较好；若已知a n ，则用公式S n ＝a 1－a n q 1－q较好．[例n (1)若a 1＝1，a 5＝16，且q ＞0，求S 7； (2)若a 3＝32，S 3＝92，求a 1和公比q .[解] (1)∵{a n }为等比数列且a 1＝1，a 5＝16， ∴a 5＝a 1q 4. ∴16＝q 4. ∴q ＝2(负舍)． ∴S 7＝a 1－q 71－q＝1－271－2＝127. (2)①当q ≠1时，S 3＝a 1－q 31－q＝92，又a 3＝a 1·q 2＝32，∴a 1(1＋q ＋q 2)＝92，即32q 2(1＋q ＋q 2)＝92，解得q ＝－12(q ＝1舍去)，∴a 1＝6.②当q ＝1时，S 3＝3a 1， ∴a 1＝32.综上得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，q ＝－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝1.[类题通法]在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1与q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．[活学活用] 在等比数列{a n }中： (1)若q ＝2，S 4＝1，求S 8；(2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5.解：(1)设首项为a 1， ∵q ＝2，S 4＝1， ∴a 1－241－2＝1，即a 1＝115，∴S 8＝a 1－q 81－q＝115－281－2＝17.(2)设公比为q ，由通项公式及已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋q 2＝10， ①a 1q 3＋q 2＝54. ②∵a 1≠0,1＋q 2≠0，∴②÷①得q 3＝18，即q ＝12，∴a 1＝8.∴a 4＝a 1q 3＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1，S 5＝a 1－q 51－q＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝312.[例2] n n 481718＋a 19＋a 20的值． [解] 由等比数列前n 项和的性质，可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…，S 4n －S 4n －4，…成等比数列．由题意可知上面数列的首项为S 4＝2，公比为S 8－S 4S 4＝2，故S 4n －S 4n －4＝2n(n ≥2)，所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝25＝32. [类题通法]等比数列前n 项和的重要性质(1)等比数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…成等比数列(其中S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…均不为0)，这一性质可直接应用．(2)等比数列的项数是偶数时，S 偶S 奇＝q ；等比数列的项数是奇数时，S 奇－a 1S 偶＝q . [活学活用]1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64解析：选C 法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 若q ＝1，则有S n ＝na 1，显然不符合题意，故q ≠1.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝a 1－q21－q＝3，S 4＝a1－q 41－q＝15，两式相除得1＋q 2＝5，解得q 2＝4，故q ＝2或q ＝－2.若q ＝2，代入解得a 1＝1，此时S 6＝a 1－q 61－q＝－261－2＝63.若q ＝－2，代入解得a 1＝－3，此时S 6＝a 1－q 61－q＝－－－6]1－－＝63.故选C.法二：在等比数列{a n }中，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等比数列，故(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，则(15－3)2＝3(S 6－15)，解得S 6＝63.法三：设等比数列的公比为q .则S 2＝a 1＋a 2＝3，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋q 2)(a 1＋a 2)＝(1＋q 2)×3＝15，解得q 2＝4.故S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(1＋q 2＋q 4)(a 1＋a 2)＝(1＋4＋42)×3＝63.故选C. 2．等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160.∴公比q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 答案：2[例3] n n 132 (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .[解] (1)∵S 1，S 3，S 2成等差数列， ∴2S 3＝S 1＋S 2，显然{a n }的公比q ≠1，于是2a 1－q 31－q＝a 1＋a 1－q 21－q，即2(1＋q ＋q 2)＝2＋q ，整理得2q 2＋q ＝0， ∴q ＝－12(q ＝0舍去)．(2)∵q ＝－12，又a 1－a 3＝3，∴a 1－a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3，解得a 1＝4.于是S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . [类题通法]解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式是解决问题的关键．[活学活用]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －n 2，a n ＝log 5b n ，其中b n ＞0，求数列{b n }的前n 项和T n .解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －n 2)－[2(n －1)－(n －1)2]＝－2n ＋3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－12＝1也适合上式， ∴{a n }的通项公式a n ＝－2n ＋3(n ∈N *)．又a n ＝log 5b n ， ∴log 5b n ＝－2n ＋3，于是b n ＝5－2n ＋3，b n ＋1＝5－2n ＋1，∴b n ＋1b n ＝5－2n ＋15－2n ＋3＝5－2＝125. 因此{b n }是公比为125的等比数列，且b 1＝5－2＋3＝5，于是{b n }的前n 项和T n ＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫125n 1－125＝12524⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫125n.5.等比数列求和中的误区[典例] 设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，且S 3＝3a 3，求此数列的公比q . [解] 当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3，符合题目条件；当q ≠1时，a 1－q 31－q＝3a 1q 2，因为a 1≠0，所以1＋q ＋q 2＝3q 2， 2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12.综上所述，公比q 的值是1或－12.[易错防范]1．易忽视q ＝1这一情况，从而得出错解．2．在用等比数列求和公式求和前，先看公比q ，若其中含有字母，就应按q ＝0，q ＝1，q ≠0且q ≠1讨论．[成功破障]已知等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q . 解：若q ＝1，则S 3＝3a 1＝6，符合题意．此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式，得S 3＝a 1－q 31－q＝－q 31－q＝6，解得q ＝1(舍去)或q ＝－2. 此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8.[随堂即时演练]1．数列{2n －1}的前99项和为( )A ．2100－1 B ．1－2100C ．299－1 D ．1－299解析：选C 数列{2n －1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S 99＝1－2991－2＝299－1.2．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4D.14解析：选C a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，等式两边分别相减得a 4－a 3＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝4.3．已知等比数列{a n }中，q ＝2，n ＝5，S n ＝62，则a 1＝________. 解析：∵q ＝2，n ＝5，S n ＝62， ∴a 1－q n1－q＝62，即a 1－251－2＝62，∴a 1＝2. 答案：24．等比数列{a n }的前5项和S 5＝10，前10项和S 10＝50，则它的前15项和S 15＝________.解析：由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，故(S 10－S 5)2＝S 5(S 15－S 10)，即(50－10)2＝10(S 15－50)，解得S 15＝210. 答案：2105．在等比数列{a n }中： (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ；(2)若S n ＝189，a 1＝3，a n ＝96，求q 和n .解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋q ＝30，a 1＋q ＋q2＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56，从而S n ＝14×5n ＋1－54，或S n ＝1 080×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11.(2)∵等比数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝96，S n ＝189， ∴3－96q1－q＝189.∴q ＝2. ∴a n ＝a 1q n －1.∴96＝3×2n －1.∴n ＝5＋1＝6.[课时达标检测]一、选择题1．等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 项和S n 等于( ) A.1－a n1－a B.1－an －11－aC.⎩⎪⎨⎪⎧1－a n 1－a a n a ＝D.⎩⎪⎨⎪⎧1－a n －11－a a n a ＝解析：选C 注意对公比a 是否为1进行分类讨论，易知选C.2．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8等于( ) A ．135 B ．100 C ．95D ．80解析：选A 由等比数列的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32.∴a 7＋a 8＝40×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝135.3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5 C.3116 D.158解析：选C 易知公比q ≠1. 由9S 3＝S 6，得9·a 1－q 31－q＝a 1－q 61－q，解得q ＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列．∴其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n 等于( ) A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1解析：选B 由S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )得S n ＋1＝32S n ，所以{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.5．等比数列{a n }的公比q ＜0，已知a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋2a n ，则{a n }的前2 016项和等于( )A ．2 016B ．－1C ．1D ．0解析：选D 由a n ＋2＝a n ＋1＋2a n 得qn ＋1＝q n ＋2qn －1，即q 2－q －2＝0，又q ＜0，解得q ＝－1，又a 2＝1，∴a 1＝－1，S 2 016＝－1×[1－－ 2 016]1－－＝0.二、填空题6．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析：∵S 4＝a 1－q41－q，a 4＝a 1q 3，∴S 4a 4＝1－q 4q 3－q＝15. 答案：157．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，S 2n ＝a 1－q2n1－q，S 奇＝a 1[]1－q2n1－q 2.由题意得a 1－q 2n1－q＝3a 1－q 2n1－q2，∴1＋q ＝3，∴q ＝2. 答案：28．已知等比数列的前10项中，所有奇数项之和为8514，所有偶数项之和为17012，则S＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12的值为________．解析：设公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧S偶S 奇＝q ＝2，S奇＝a 1[]1－q 251－q2＝8514，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2.∴S ＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12＝a 3(1＋q 3＋q 6＋q 9) ＝a 1q 2·1－q121－q3＝585.答案：585 三、解答题9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1. 10．已知等差数列{a n }满足：a 4＝6，a 6＝10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }的各项均为正数，T n 为其前n 项和，若b 1＝1，b 3＝a 3，求T n . 解：(1)∵等差数列{a n }，∴设公差为d ，a 6－a 4＝2d ⇒2d ＝4⇒d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －2(n ∈N *)．(2)由(1)可知b 3＝a 3＝2×3－2＝4，又∵正项等比数列{b n }，∴q 2＝b 3b 1＝4⇒q ＝2，∴T n ＝－2n 1－2＝2n－1.11．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13. (1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n 2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ， S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n 2. (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋2. 所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋2.12．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9求数列的公比q . 解：法一：若q ＝1，则有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1，但a 1≠0，即S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，故q ≠1.同理可得q ≠－1，依题意S 3＋S 6＝2S 9.∴a 1－q 31－q ＋a 1－q 61－q ＝2×a 1－q 91－q .整理，得q 3(2q 6－q 3－1)＝0，由于q ≠0，得2q 6－q 3－1＝0. ∵q ≠－1，∴q 3≠－1，∴q 3＝－12，∴q ＝－342.法二：S 3＋S 6＝2S 9，∴S 3，S 9，S 6成等差数列．∴S 9－S 3＝S 6－S 9，∴a 1q 3＋a 1q 4＋…＋a 1q 8＝－a 1q 6－a 1q 7－a 1q 8，∴a 1q 3(1＋q ＋q 2)(2q 3＋1)＝0.∵a 1≠0，q ≠0,1＋q ＋q 2≠0，∴2q 3＋1＝0，q ＝－312＝－342.法三：∵S 3＋S 6＝2S 9，又S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列．∴由⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＋S 6＝2S 9，S 3S 9－S 6＝S 6－S 32.消去S 9，得S 3＝2S 6，又由法一知q ≠1，∴q 3＝S 6－S 3S 3＝－12，∴q ＝－342.敬请批评指正。

2020新人教A版高中数学必修5同步课件：第二章习题课(一) 求数列的通项公式

∴an=
2.
2�� -1
(2)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1).
又a1+1=2≠0,
∴数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列.
∴an+1=2·3n-1.
∴an=2·3n-1-1.
=
�� (�� -1)
22 .
反思已知数列的递推公式求通项,通常有以下几种情
形:(1)an+1-an=f(n),常用累加法求通项;(2)
�� +1 ��
=
��(n),常用累乘法求
通项;(3)an+1=pan+q,通常构造等比数列求通项.
习题课(一) 求数列的通项公式
1.巩固等差数列与等比数列的通项公式. 2.掌握求数列通项公式的常见方法,并能用这些方法解决一些简单的求数列通项公式的问题.
1.等差数列的通项公式
若数列{an}为等差数列,其首项为a1,公差为d,则an=a1+(n1)d=am+(n-m)d (n,m∈N*).
【做一做1】已知数列{an}是等差数列,且a2=6,a11=24,则
给项是分数,那么先把它们统一为相同的形式,再分子、分母分别
寻找规律.
题型一题型二题型三
【变式训练1】根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公
式.
பைடு நூலகம்
(1)1,1,
5 7
,
7 15
,
9 31
,
…
;
(2)2,22,222,2 222,…;
(3)3,0,-3,0,3,….