2018高考数学理二轮专题复习课件 专题五 立体几何4.4.1 精品

则
22x＝2
22－2 x，∴x＝23
2 .
∴V
新工件＝x3＝1627
2 .
又 V 原工件＝13π×12×2 2＝2 32π，
16 2
∴V新工件＝ V原工件 2
272π＝98π，故选
A.
3
[答案] (1)A (2)B (3)A
[方法规律] 1.求解几何体的表面积及体积的技巧 (1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地 考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常 用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面 上． (2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不 规则几何体转化为规则几何体以易于求解．
答案：A
5．(热点二)已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝3，AC＝4， AB⊥AC，AA1＝2，则该三棱柱内切球 O1 的表面积与外接球 O2 的表面积的比值为( )
414 2 A.27 B.7 C.29 D.15
解析：由题意得 BC＝5，设外接球 O2 的半径为 R，则 R＝
B2C2＋A2A12＝ 522＋12＝ 229.因为 Rt△ABC 的内切圆的半 径为 1，且直三棱柱 ABC－A1B1C1 的高为 2，所以该直三棱柱的 内切球 O1 的半径 r＝1，所以SS球球OO21＝Rr22＝249.
答案：C
6．(热点二)已知地球的半径为 R，球面上 A，B 两点都在北
纬 45°圈上，它们的球面距离为π3R，A 点在东经 30°上，则 A，B 两点在其纬线圈上所对应的劣弧的长度为( )
2 A. 2 πR B. 2πR
2 C. 4 πR
D．2 2πR
解析：如图，设球心为 O，北纬 45°圈的中
形．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
二、重要公式
1．柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch(c 为底面周长，h 为高)
②S 锥侧＝12ch′(c 为底面周长，h′为斜高) ③S 台侧＝12(c＋c′)h′(c′，c 分别为上、下底面的周长，h′ 为斜高)
2．柱体、锥体、台体的体积公式 ①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高) ②V 锥体＝13Sh(S 为底面面积，h 为高) ③V 台体＝13(S＋ SS′＋S′)·h 3．球的表面积和体积公式 ①S 球＝4πR2
A.196π
B.2156π
49 C.16π
81 D.16π
(2)已知三棱锥 P－ABC 中，PA＝4，AC＝2 7，PB＝BC＝ 2 3，PA⊥平面 PBC，则三棱锥 P－ABC 的内切球的半径与外接 球的半径的比值为( )
2 32 32 2 A.16 B. 8 C. 16 D. 8
[自主解答] (1) 如图所示，连接 AC，BD 交于 G，连接 A1C1，B1D1 交于 G1，则 S，G，G1 三点共线，连接 SG1，设 O 为 该球的球心，OG1＝x，则 OB1＝SO＝2－x，又 B1G1 ＝ 22，则在直角三角形 OG1B1 中，OB12＝G1B21＋OG12，
何体的表面积为 16＋20π，则 r＝( ) A．1 B．2 C．4 D．8
(3)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成 一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原
工件的一个面内，则原工件材料的利用率为
材料利用率＝新原工工件件的的体体积积(
)
8
8
A.9π
B.27π
24 2－13 8 2－13
答案：C
4．(热点一)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体 积为( )
4575 A.3 B.2 C.3 D.3
解析：该几何体为三棱柱和三棱锥的组合体(如图所示)．三
棱柱的底面为等腰直角三角形，其面积为 S1＝12×1×2＝1，又高 为 1，所以三棱柱的体积 V1＝1×1＝1.又三棱锥的高为 1，所以 三棱锥的体积 V2＝13×1×1＝13，则该几何体的体积为 V1＋V2＝43. 故选 A.
的半径为 r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，则表面积 S＝12×4πr2 ＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.
又 S＝16＋20π， ∴(5π＋4)r2＝16＋20π， ∴r2＝4，r＝2，故选 B.
(3)由三视图知原工件为一圆锥，底面半径为 1，母线长为 3，
则高为 32－12＝2 2，设其内接正方体的棱长为 x，
答案：C
6．已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB＝90°，C 为该
球面上的动点．若三棱锥 O－ABC 体积的最大值为 36，则球 O
的表面积为( )
A．36π
B．64π C．144π
D．256π
解析：如图，设点 C 到平面 OAB 的距离为 h，球 O 的半径 为 R，因为∠AOB＝90°，所以 S△OAB＝12R2，要使 VO－ABC＝13·S△OAB·h 最大，则 OA，OB，OC 应两两垂直，且(VO－ABC)max＝13×12R2×R ＝16R3＝36，此时 R＝6，所以球 O 的表面积为 S 球＝4πR2＝144π. 故选 C.
C. π
D. π
[自主解答] (1)根据题意，三棱锥 P－BCD 的正视图是三角 形，且底边为正四棱柱的底面边长，高为正四棱柱的高；侧视图 是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长，高为正四棱柱的高．故 三棱锥 P－BCD 的正视图与侧视图的面积之比为 1∶1.
(2)如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球
答案：A
5．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则 剩余部分与挖去部分的体积之比为( )
A．3∶1 B．2∶1 C．1∶1 D．1∶2
解析：由三视图可知半球的半径为 2，圆锥底面圆的半径为
2，高为 2，所以 V 圆锥＝13×π×23＝83π，V 半球＝12×43π×23＝136π， 所以 V 剩余＝V － 半球 V ＝ 圆锥 83π，故剩余部分与挖去部分的体积之比 为 1∶1，故选 C.
答案：D
2．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的 体积是( )
A．8 cm3 B．12 cm3
32 C. 3
cm3
40 D. 3
cm3
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2
8 B.3
C．3
10 D. 3
解析：该几何体为一个横放的直三棱柱切去一个三棱锥后的
图形．原直三棱柱的体积为 V1＝12×2×2×2＝4，切去的三棱锥 的体积为 V2＝13×12×2×2×1＝23，则该几何体的体积为 V＝V1 －V2＝4－23＝130.故选 D.
4专能提升 1.(热点一)某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外 接球的表面积为( )
A．13π
B．16π
C．25π
D．27π
解析：三视图的直观图是底面为正方形的长方体，且底面正 方形对角线的长为 4，长方体的高为 3，故外接球的半径满足(2R)2 ＝42＋32＝25，故外接球的表面积为 4πR2＝25π.
第一讲 空间几何体的三视图、 表面积及体积
1高考巡航 高考对本讲知识的考查主要有： (1)三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题 的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三 视图想象直观图；二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算 等，均属低中档题． (2)空间几何体的表面积与体积的计算，通常以几何体为载 体与球进行交汇考查，或蕴含在两几何体的“接”或“切”形态 中，以小题形式出现，属低中档题.
即(2－x)2＝ 222＋x2，解得 x＝78，所以球的半径为 R＝OB1＝98， 所以该球的表面积为 S＝4πR2＝8116π，故选 D.
(2)如图 1，由已知及勾股定理得，AB＝2 7，PC＝2 3，所 以△PBC 为等边三角形，△ABC 为等腰三角形．所以三棱锥 P －ABC 的体积 VP－ABC＝13S△PBC×PA＝13×12×2 3×2 3× 23×4 ＝4 3，表面积 S 表面积＝12×2 3×4×2＋12×(2 3)2× 23＋12×2 3 ×5＝16 3，设内切球的半径为 r，则 VP－ABC＝13S 表面积·r，所以 4 3 ＝13×16 3r，r＝34.
如图 2，△PBC 的外接圆的直径 PD＝si2n630°＝4，因此外接 球的直径 2R＝ 42＋42＝4 2，R＝2 2，故内切球的半径与外接
3 球的半径的比值为242＝3162，选 C.
[答案] (1)D (2)C
[方法规律] 处理球与多面体切接问题的思路 (1)过球及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作面，化 空间问题为平面问题； (2)利用平面几何知识寻找几何体中元素间关系，确定球心 位置； (3)建立几何量间关系，求半径 r.
答案：D
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ()
A．20
B．18
C．14＋2 3 D．14＋2 2
解析：由三视图可得该几何体的直观图如图所示，其为一个 正方体截掉 4 个角后形成的几何体，故该几何体的表面积为 S＝
2×2＋ 2× 2＋4×12×2×2＋4×12× 2× 22＋12＝20.故选 A.
2核心梳理
一、基本概念
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[知识回顾]
1．棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱，直棱柱的各个 侧面是矩形．
2．正棱柱：侧棱与底面垂直，且底面为正多边形的棱柱叫 正棱柱；正棱柱的各个侧面是全等的矩形．
3．正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的投影是底面
的中心的棱锥是正棱锥．正棱锥的各个侧面是全等的等腰三角
答案：B
3．(热点一)如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线 画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面 积为( )
A．1 B．2 C．2 3 D．4 3