备战中考数学专题题库∶一元二次方程的综合题附详细答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．

己知函数2

22(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；

（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；

（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x

x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．

（2）见解析,

（3）AM 的解析式为112

y x =-

-． 【解析】

【分析】

（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；

（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式

【详解】

（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．

（2）令y=0，得△=

∴无论m 取何值，方程

总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．

（3）依题意有

，

由解得．

∴函数的解析式为

． 令y=0，解得

∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，

则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．

易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．

连结CB’，则∠BCD=45°

∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°

∴∠BCB’=90°

即B’（106-，）

设直线AB’的解析式为y kx b =+，则

20{106k b k b -+=+=-，解得112

k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =-

-， 即AM 的解析式为112

y x =--．

2．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．

【答案】（1）k ＞

34；（215 【解析】

【分析】

（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；

（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=522m n +，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.

【详解】

（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，

∴k ＞34

； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，

设方程的两个根为m ，n ，

∴m ＋n ＝5，mn ＝5，

∴

=

=.

【点睛】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．

3．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，

（1）解方程求两条线段的长。

（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。 （3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。

【答案】（1）2和6；（2）3）83

【解析】

【分析】

（1）求解该一元二次方程即可;

（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；

（3）设分为两段分别是x 和6x -，然后用勾股定理求出x ，最后求面积即可.

【详解】

解：（1）由题意得()()260x x --=，

即：2x =或6x =，

∴两条线段长为2和6；

（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3，

∴此等腰三角形面积为12

2

⨯⨯= （3）设分为x 及6x -两段

()22226x x +=-

∴83x =， ∴2823

x S ∆==， ∴面积为83

. 【点睛】

本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.

4．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析

【解析】

【分析】

根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.

【详解】

解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =，

∴8AB =．

∴BQ x =，82PB x =-；

假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622

x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=，

∵1632160=-=-<，

∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.

5．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根．

(1)求n 的取值范围；

(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．

【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．

【解析】

【分析】

(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.

【详解】