第1章 章末综合提升

[巩固层·知识整合]

[提升层·题型探究]

(教师独具)

空间向量的线性运算和数量积

CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →

.求证：四边形EFGH 是梯形．

(2)已知正四面体OABC 的棱长为1，如图．求：

①OA →·OB →；

②(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； ③|OA →＋OB →＋OC →|.

[思路探究] (1)利用向量共线定理证明． (2)利用数量积的定义及运算法则进行．

[解] (1)证明：∵E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →

. 则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →.

∵FG →＝CG →－CF →＝23CD →－23CB →＝23(CD →－CB →)＝23BD →， ∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.

又F 不在EH 上，故四边形EFGH 是梯形． (2)在正四面体OABC 中，|OA →|＝|OB →|＝|OC →

|＝1. 〈OA →，OB →〉＝〈OA →，OC →〉＝〈OB →，OC →

〉＝60°. ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12. ②(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)

＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)

＝OA 2→＋2OA →·OB →－2OA →·OC →＋OB →2－2O B →·OC →

＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1. ③|OA →＋OB →＋OC →|＝

OA →＋OB →＋OC

→2

＝12＋12＋12＋

2×1×1×cos 60°×3＝ 6.

1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．

2．空间向量的数量积

(1)空间向量的数量积的定义表达式a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉及其变式cos 〈a ，b 〉＝a ·b

|a | ·

|b |是两个重要公式．

(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a 2＝|a |2，a 在b 上的投影a ·b

|b |＝|a |·cos θ等．

[跟进训练]

1.如图，已知ABCD -A ′B ′C ′D ′是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→

，则α＋β＋γ＝________.

3

2 [连接BD ，则M 为BD 的中点，

MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋ 34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→. ∴α＝12，β＝14，γ＝34. ∴α＋β＋γ＝3

2.]

空间向量基本定理

空间的一个基底，则实数λ的值为( )

A ．0

B ．357

C ．9

D ．65

7

(2)如图，已知空间四边形OABC ，对角线OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →

.

(1)D [∵a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，a ，b ，c 三个向量不能构成空间的一个基底， ∴a 与b 不平行，且a ，b ，c 三个向量共面， ∴存在实数X ，Y ，使得c ＝X a ＋Y b ，

即⎩⎨⎧

2X －Y ＝7，－X ＋4Y ＝5， 3X －2Y ＝λ，

解得λ＝65

7.]

(2)[解] OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →

＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤12

OB →＋OC

→－12OA →

＝12OA →＋13(OB →＋OC →)－13OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →.

基底的判断方法

判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．

[跟进训练]

2.如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→

＝c .

(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →

；

(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．

[解] (1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝1

3(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13c . (2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×

1

2＝5， ∴|a ＋b ＋c |＝5，∴|MN →|＝1

3|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.

空间向量的坐标表示