第1章 章末综合提升

[巩固层·知识整合][提升层·题型探究](教师独具)空间向量的线性运算和数量积CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．(2)已知正四面体OABC 的棱长为1，如图．求：①OA →·OB →；②(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； ③|OA →＋OB →＋OC →|.[思路探究] (1)利用向量共线定理证明． (2)利用数量积的定义及运算法则进行．[解] (1)证明：∵E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →. 则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →.∵FG →＝CG →－CF →＝23CD →－23CB →＝23(CD →－CB →)＝23BD →， ∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在EH 上，故四边形EFGH 是梯形． (2)在正四面体OABC 中，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1. 〈OA →，OB →〉＝〈OA →，OC →〉＝〈OB →，OC →〉＝60°. ①OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12. ②(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝OA 2→＋2OA →·OB →－2OA →·OC →＋OB →2－2O B →·OC →＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1. ③|OA →＋OB →＋OC →|＝OA →＋OB →＋OC→2＝12＋12＋12＋2×1×1×cos 60°×3＝ 6.1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉及其变式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a | ·|b |是两个重要公式．(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a 2＝|a |2，a 在b 上的投影a ·b|b |＝|a |·cos θ等．[跟进训练]1.如图，已知ABCD -A ′B ′C ′D ′是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，则α＋β＋γ＝________.32 [连接BD ，则M 为BD 的中点，MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋ 34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→. ∴α＝12，β＝14，γ＝34. ∴α＋β＋γ＝32.]空间向量基本定理空间的一个基底，则实数λ的值为( )A ．0B ．357C ．9D ．657(2)如图，已知空间四边形OABC ，对角线OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →.(1)D [∵a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，a ，b ，c 三个向量不能构成空间的一个基底， ∴a 与b 不平行，且a ，b ，c 三个向量共面， ∴存在实数X ，Y ，使得c ＝X a ＋Y b ，即⎩⎨⎧2X －Y ＝7，－X ＋4Y ＝5， 3X －2Y ＝λ，解得λ＝657.](2)[解] OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OB →＋OC→－12OA →＝12OA →＋13(OB →＋OC →)－13OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →.基底的判断方法判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．[跟进训练]2.如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N ＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．[解] (1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝13(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13c . (2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5， ∴|a ＋b ＋c |＝5，∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.空间向量的坐标表示【例3】 (1)已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是________． (2)已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)． ①当(λa ＋b )∥(a －3b )时，求实数λ的值； ②当(a －3b )⊥(λa ＋b )时，求实数λ的值．[思路探究] (1)利用|a |＝|a |2构建函数关系，再利用二次函数求最小值； (2)利用向量共线和垂直的充要条件，由坐标运算求解． (1)355 [由已知，得b －a ＝(2，t ，t )－(1－t,1－t ，t )＝(1＋t,2t －1,0)． ∴|b －a |＝1＋t2＋2t －12＋02＝5t 2－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95. ∴当t ＝15时，|b －a |的最小值为355.] (2)[解] ①∵a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)，∴a －3b ＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa ＋b ＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．∵(λa ＋b )∥(a －3b )， ∴λ－27＝5λ＋3－4＝－λ＋5－16，解得λ＝－13.②∵(a －3b )⊥(λa ＋b )，∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝1063.熟记空间向量的坐标运算公式 设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， (1)加减运算：a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2)． (2)数量积运算：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.(3)向量夹角：cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22.(4)向量长度：设M 1(x 1，y 1，z 1)，M 2(x 2，y 2，z 2)， 则|M 1M 2→|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.(5)a ∥b ⇔x 1＝λx 2且y 1＝λy 2且z 1＝λz 2.提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算．[跟进训练]3．已知O 为坐标原点，OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时Q 的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，34C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73C [设OQ →＝λOP →，则QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝OB －OQ →＝OB →－λOP →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－13.所以当λ＝43时，QA →·QB →最小，此时OQ →＝43OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83，即点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.]利用空间向量证明平行、垂直问题M 为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面P AD ；(2)平面P AD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定N 的位置；若不存在，说明理由．[思路探究] (1)证明向量BM →垂直于平面P AD 的一个法向量即可；(2)假设存在点N ，设出其坐标，利用MN →⊥BD →，MN →⊥PB →，列方程求其坐标即可．[解] (1)证明：以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，M (1，1,1)，∴BM →＝(0,1,1)，平面P AD 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， ∴BM →·n ＝0，即BM →⊥n ，又BM ⊄平面P AD ，∴BM ∥平面P AD . (2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)，假设平面P AD 内存在一点N ，使MN ⊥平面PBD . 设N (0，y ，z )，则MN →＝(－1，y －1，z －1)， 从而MN ⊥BD ，MN ⊥PB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧MN →·BD →＝0，MN →·PB →＝0，即⎩⎨⎧1＋2y －1＝0，－1－2z －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y＝12，z ＝12，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴在平面P AD 内存在一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，使MN ⊥平面PBD .利用空间向量证明空间中的位置关系 线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量. 线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直. 线面平行①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示.线面垂直①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. 面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题. 面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题.[跟进训练]4.如图所示，已知P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，P A ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面P AD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC .[证明] (1)如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A -xyz .设P A ＝AD ＝a ，AB ＝b .P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)． 因为M ，N 分别为AB ，PC 的中点， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，a 2，a 2.所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，又AP →＝(0,0，a )，AD →＝(0，a,0)， 所以MN →＝12AD →＋12AP →.又因为MN ⊄平面P AD ，所以MN ∥平面P AD .(2)由(1)可知P (0,0，a )，C (b ，a,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，D (0，a,0)．所以PC →＝(b ，a ，－a )，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，－a ，PD →＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·PC →＝0，n 1·PM →＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧bx 1＋ay 1－az 1＝0，b 2x 1－az 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1.令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b ) .设平面PDC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝0，n 2·PD →＝0，故⎩⎨⎧bx 2＋ay 2－az 2＝0，ay 2－az 2＝0， 所以⎩⎨⎧x 2＝0，y 2＝z 2，令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面PMC ⊥平面PDC .用空间向量求空间角和空间距离[探究问题]1．用法向量求直线与平面所成的角时，直线的方向向量和平面的法向量的夹角与线面角有什么关系？[提示] 不是线面角，而是它的余角(或补角的余角)，即设线面角为θ，直线与平面的法向量的夹角为〈a ，n 〉，则θ＝π2－〈a ，n 〉(〈a ，n 〉为锐角)或θ＝〈a ，n 〉－π2(〈a ，n 〉为钝角)．应注意到线面角为锐角或直角．2．平面与平面的夹角一定是锐角吗？[提示] 不一定，可以是锐角，也可以是直角．【例5】 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝6，AA 1＝4，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且|CP |＝2，Q 是DD 1的中点，求：(1)M 到直线PQ 的距离； (2)M 到平面AB 1P 的距离．[解] 如图，建立空间直角坐标系B -xyz ，则A (4,0,0)，M (2,3,4)，P (0,4,0)，Q (4,6,2)．(1)∵QM →＝(－2，－3,2)，QP →＝(－4，－2，－2)， ∴QM →在QP →上的射影的模＝|QM →·QP →||QP →|＝－2×－4＋－3×－2＋2×－2－42＋－22＋－22＝1024＝566.故M 到PQ 的距离为|QM →|2－⎝⎛⎭⎪⎫5662＝17－256＝4626.(2)设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1P 的某一法向量，则n ⊥AB 1→，n ⊥AP →， ∵AB 1→＝(－4,0,4)，AP →＝(－4,4,0)，∴⎩⎨⎧－4x ＋4z ＝0，－4x ＋4y ＝0，因此可取n ＝(1,1,1)，由于MA →＝(2，－3，－4)，那么点M 到平面AB 1P 的距离为d ＝|MA →·n ||n |＝|2×1＋－3×1＋－4×1|3＝533，故M 到平面AB 1P 的距离为533.1．本例中，把条件“∠BAD ＝120°”改为“∠BAD ＝90°，且P A ＝1”，其它条件不变，求点A 到平面PCB 的距离．[解] 如图，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,1)，C (1,1,0)，B (0,2,0)，∴AP →＝(0,0,1)，BP →＝(0，－2,1)，BC →＝(1，－1,0)． 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BP →＝0n ·BC →＝0即⎩⎨⎧－2y ＋z ＝0x －y ＝0. 令y ＝1，则x ＝1，z ＝2.∴n ＝(1,1,2)，∴A 点到平面PCB 的距离为 d ＝|AP →·n ||n |＝26＝63.2．在本例条件中加上“P A ＝1”，求直线P A 与平面PCB 所成角．[解] 根据题目所建立的平面直角坐标系可知A (0,0,0)，P (0,0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，B (0,2,0)，∴AP →＝(0,0,1)，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，0BP →＝(0，－2,1)，设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎨⎧m·BC→＝32x－32y＝0，m·BP→＝－2y＋z＝0，令y＝1，则m＝(3，1,2)，设P A与平面PCB的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈m，P A→〉|＝|m·P A→||m||P A→|＝21×22＝22，∴θ＝45°.故直线P A与平面PBC所成的角为45°.用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a 的方向向量a夹角的余弦cos〈n，a〉，易知θ＝〈n，a〉－π2或者π2－〈n，a〉．(3)平面与平面的夹角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补．[培优层·素养升华]【例】如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角M—P A—C为30°，求PC与平面P AM所成角的正弦值．[思路探究](1)首先利用等腰三角形的性质可得PO⊥AC，利用勾股定理可证得PO⊥OB，然后结合线面垂直的判定定理即可证得结果；(2)根据(1)中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出点M(含有参数)的坐标，根据已知条件求得此参数，然后求解即可．[解](1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2 3.如图，连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .(2)如图以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz .由已知得O (0,0,0)，B (2,0,0)，A (0，－2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,23)，AP →＝(0,2,23)．取平面P AC 的一个法向量OB →＝(2,0,0)．设M (a,2－a,0)(0＜a ≤2)，则AM →＝(a,4－a,0)． 设平面P AM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由AP →·n ＝0，AM →·n ＝0得⎩⎨⎧2y ＋23z ＝0，ax ＋4－a y ＝0，取y ＝3a ，则z ＝－a ，x ＝3(a －4)，可得n ＝(3(a －4)，3a ，－a )为平面P AM 的一个法向量，所以cos 〈OB →，n 〉＝23a －423a －42＋3a 2＋a 2.由已知可得|cos 〈OB →，n 〉|＝32， 所以23|a －4|23a －42＋3a 2＋a 2＝32，解得a ＝43，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，433，－43. 又PC →＝(0,2，－23)， 所以cos 〈PC →，n 〉＝34.所以PC 与平面P AM 所成角的正弦值为34.利用向量方法求空间角问题是每年高考的热点问题，无论是二面角、直线与平面所成的角，还是异面直线所成的角，最终都利用空间向量的夹角公式⎝ ⎛⎭⎪⎫即cos θ＝a·b |a ||b |来求解．不同的是求二面角时，所取的两个向量为两个平面的法向量；求直线与平面所成的角时，所取的向量为直线的方向向量与平面的法向量；求异面直线所成的角时，则只需取两条直线的方向向量即可．[跟进训练]如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.(1)证明：BE ⊥平面EB 1C 1；(2)若AE ＝A 1E ，求二面角B -EC -C 1的正弦值．[解] (1)证明：由已知得，B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故B 1C 1⊥BE .又BE ⊥EC 1，B 1C 1∩EC 1＝C 1， 所以BE ⊥平面EB 1C 1.(2)由(1)知∠BEB 1＝90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以∠AEB ＝45°，故AE ＝AB ，AA 1＝2AB . 以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，|DA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，E (1,0,1)，CB →＝(1,0,0)，CE →＝(1，－1,1)，CC 1→＝(0,0,2)． 设平面EBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧CB →·n ＝0，CE →·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＝0，x －y ＋z ＝0，所以可取n ＝(0，－1，－1)．设平面ECC 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧CC 1→·m ＝0，CE →·m ＝0，即⎩⎨⎧2z 1＝0，x 1－y 1＋z 1＝0，所以可取m ＝(1,1,0)．于是cos 〈n ，m 〉＝n·m|n ||m |＝－12. 所以，二面角B -EC -C 1的正弦值为32.。