线性系统的根轨迹分析

K*
2）s
=
j
是根的点
Re[1 + G(jω)H(jω)] Im[1 + G(jω)H(jω)]
= =
0 0
s(s 1)( s 2)
D(s) s(s 1)( s 2) K * s3 3s2 2s K * 0
2
解法I ：Routh ：
解法II ：D( j ) j 3 3 2 j2 K * 0
注意
只有复数极点或复 数零点才需要计算 出射角/入射角。
出射角/入射角示例
1 G(s)
1 G(s) 0 G(s) 1
K*
G(s)
1
s p
G(s) (s p) (2k 1)
一般情况下
m
G( s) H ( s)
K *(s z1 )(s zm ) (s p1 )(s p2 )(s pn )
K * (s zi )
i 1 n
(s pj)
j 1
式中： K*——绘制根轨迹的可变参数，称为参变量；
相角条件：
1 1 2 3 4 (2k 1)1800
为了尽快把握绘制根轨迹的要领，请牢记并理解三句 话：绘制根轨迹——依据的是开环零极点分布，遵循 的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。
根轨迹规则的提出： 纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分 巨大的，而且对全貌的把握也很困难，于是人 们研究根轨迹图的基本规则，以便使根轨迹绘 图更快更准。
系统的闭环特征方程可以表示为：
K* > 0
1 + K* (s - z1 )(s - z2 )....(s - zm ) = 0 (s - p1 )(s - p2 )....(s - pn )
以K*为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足该方程，
相应地，我们称之为典型根轨迹方程。
将典型根轨迹方程可以写成幅值条件和相角条件：
§4 线性系统的根轨迹分析
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规 则 §4.3 特殊根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析控制系统性能
根轨迹法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点:
（1）图解方法，直观、形象。 （2）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统
性能的变化趋势。 （3）近似方法，不十分精确。
— 相角条件
i 1
j1
显然: K*的变动只影响幅值条件不影响相角条件，即K*
变动相角条件是不变的,简记为不变的相角条件。相角
条件为s点位于根轨迹上的充要条件。
对s平面上任意的点，总存在一个 K*，使其满足
模值条件，但该点不一定是根轨迹上的点。幅值条件
为必要条件。
例2 判定si是否为根轨迹上的点。
解.
N(s)
dD(s) ds
-
D(s)
dN(s) ds
=
0
d ds
D(s) N(s)
=
0
dK * = 0 ds
n 1
m1
i1 d pi j1 d z j
分离点的必要条件
m
K * (s zi )
n
(s pj)
G(s)H(s)
i 1 n
1 K *
j 1 m
(s pj)
(s zi )
基本法则（1）（2）——根轨迹的分支百度文库，对称性和连续性
法则1和2 根轨迹的分支数=开环极点数；根轨迹连续且
对称于实轴。
1+K
*
(s (s
z1 )(s p1 )(s
z2 ) p2 )
(s (s
zm ) pn )
0
(s p1)(s p2) (s pn) K*(s z1)(s z2) (s zm) 0
s
s
1 z1 1 zm
s zj
s
s
s
j 1, 2, m
基本法则（4）——根轨迹的渐近线
法则4 如果控制系统的开环零点数m 少于开环极点数n 时，渐近线有n-m 条，这些渐近线在实轴上交于一点。
渐近线为
n
m
pi zi
a
i 1
j 1
nm
a
(2k 1)
nm
渐近线
m
n
(s zi )
开环零点个数少于开环极点个数，则有 n-m 条根轨迹
终止于无穷远处。
K*
s p1 s pn s z1 s zm
snm 1 p1 1 pn
s
s
1 z1 1 zm
0
s
s
s pi
i 1, 2, n
K*
s p1 s pn s z1 s zm
snm 1 p1 1 pn
模值条件 相角条件
§4-2 绘制根轨迹的基本规则
以K*为参变量的根轨迹，是最基本、最常用的根轨迹，
称之为典型根轨迹。将系统开环传递函数表示为零极点
型式：
G(s)H(s) = K*(s - z1 )(s - z2 )....(s - zm ) (s - p1 )(s - p2 )....(s - pn )
j 1
i 1
dK * = 0
d
ds
ds
n
(s
pj
)
j 1 m
(s zi )
0
d
ln
ds
n
(s
pj
)
j 1 m
(s zi )
0
i1
i1
d
ds
n j 1
ln(s
pj
)
m i 1
ln(s
zi )
0
n1
m1
i1 d pi j1 d z j
法则8
基本法则（8）——出射角/入射角
G(s)H(s) =
K*(s - z1 )
(s - p1 )(s - p2 )(s - p3 )(s - p4 )
基于相角条件，在复平面上选足够多的试验点，对每
一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该点
在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最后将
在根轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图。
先在复平面上标出开环极点p1, p2, p3, p4和开环零点z 1如图。对试验点s，如果它在根轨迹上，就应当满足
smn (b1 a1 )smn1
1 K*
k ,s 做长除法并取高次项，得
1
s 1
b1
a1 mn s
1 K*
1 mn
由二项式定理
s
1
m
1
n
b1
s
a1
1 K*
1 mn
s
1
a1 s(n
b1 m)
K*
1
nm
s
a1
b1
K e 1 *nm
j (2k 1)
nm
nm
n
m
1)
arctan
1
1 1
+
2
=
1
1 1
2 4 4 2 2
( 2)2 2
2
2
定理：若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹， 则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。
基本法则（6）——与虚轴交点
1）系统临界稳定点
法则6 与虚轴交点：
[接例3] G(s)
j 1
j l 1
简记“加零去余极”
m
l 1
n
zl 180 (zl pi ) (zl z j ) (zl z j )
i 1
j 1
jl 1
简记为“加极去余零”
出射角/入射角示例
例4 单位反馈系统的开环传递函数为 G(s) K *(s 1.5)( s 2 j) ，绘制根轨迹。 s(s 2.5)( s 0.5 1.5)
ds
ds
ds
该方程只是必要条件而非充分条件，也就是说它的解不
一定是分离点，是否是分离点还要看是否满足相角条件。
分离点的必要条件
D(s) + K*N(s) = 0 K* = -D(s) / N(s)
dD(s) + K* dN(s) = dD(s) - D(s) dN(s) = 0
ds
ds
ds N(s) ds
设开环传递函数为
K*N(s) G(s)H(s) =
D(s)
特征方程为
f(s) = D(s) + K *N(s) = (s - s1 )2p(s)
df(s) ds
=
dD(s) ds
+
K*
dN(s) ds
=
2(s
-
s1 )p(s)
+
(s
-
s1 )2
dp(s) ds
df(s) = 0 ⇒ dD(s) + K * dN(s) = 0
G(s)H(s)
(s
K*(s p1 )(s
z1 )(s zm p2 )(s
) pn
)
1
m
G(s)H(s)
K * s z1 s zm s p1 s p2 s pn
K*
(s zi )
i 1 n
1 —
(s pj)
模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
m
G(s)H(s)
K * s z1 s zm s p1 s p2 s pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
j 1
— 模值条件
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相角条件
例:以下列4阶系统为例手工绘制根轨迹图.
出射角/入射角
i
n (s
1
pi
)
m (s
j1
z
j)
(2k
1)π
根轨迹从某个开环极点出发时的切线与实轴方向的夹
角称为出射角，根轨迹进入某个开环零点的切线与实
轴的正方向的夹角称为入射角。
m
l 1
n
pl 180 ( pl zi ) ( pl p j ) ( pl p j )
i 1
征根在s平面相应变化所描绘出来的轨迹。
§4.1.1 根轨迹示例
例1 系统结构图如图所示，分析 l 随开环增益K 变化的趋势。
解. G(s)
K
K* 2K
s(0.5s 1) s(s 2)
K : 开环增益 K*: 根轨迹增益
C(s)
K*
(s) R(s) s2 2s K *
D(s) s2 2s K * 0
s
p j zi
j 1
i 1
K e 1 *nm
j (2k 1) nm
nm
基本法则（5）——实轴上的根轨迹
法则5 实轴上根轨迹是那些在其右侧的开环实极点数 与开环实零点数的总数为奇数的线段。简记为“奇是 偶不是”。
m
n
G(s)H(s) (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i 1
j 1
2
ReD( j ) 3 2 K * 0
2
ImD( j) 3 2 0
K* 6
基本法则（7）——分离点 d
法则7 分离点 d： dK * = 0 或 ds
（对应重根）
n 1
m1
i1 d pi j1 d z j
当K*从0变到∞时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点
称分离点。分离点对应重闭环极点。
a1 pj
G(s)H(s) K*
i 1 n
j 1 m
(s pj )
b1 zi
j 1
i 1
K*
sm sn
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
1 G(s)H(s) 0
sm b1sm1 sn a1sn1
bm1s bm an1s an
1 K*
由长除法可得
实轴上的根轨迹示例
例3 某单位反馈系统的开环传递函数为 ，证明复平面的根轨迹为圆弧。
s = σ + jω
(s 2) s - (s 1)= (2k 1)
( 2 j) ( j) - ( 1 j)= (2k 1)
arctan
2
arctan
-
arctan
1
=
(2k
1)
+
arctan
2
=
(2k
根轨迹在s平面上的分支数等于控制系统特征方程的阶数 n，即根轨迹的分支数与开环极点的数目相同。
特征方程中的参数为实数且连续变化，特征方程的根
要么是实根要么是共轭复根（对称于实轴），同时特
征方程的根连续变化，则根轨迹连续且对称。
基本法则（3）——根轨迹的起点和终点
法则3 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果
l1,2 1 1 K *
§4.1.2 闭环零点与开环零、极点之间的关系
系统结构图如图所示，确定闭环零点
闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点 闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关
§4.1.3 绘制根轨迹方程—绘制根轨迹的两个条件
根轨迹方程及其含义
K* G(s)
(s) G(s)
s p
§4.1 根轨迹法的基本概念
系统的动态性能主要取决于闭环系统特征方程的 根—闭环极点，所以控制系统的动态设计，关键就 是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环 极点的常用办法。 1948年W.R.Evans提出了根轨迹法，它不直接求解 特征方程，而用图解法来确定系统的闭环特征根。
根轨迹：系统某一参数由0 → ∞变化时，闭环特
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点， 因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个 开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一 定有分离点。
当然，分离点也可以是复数，两个相邻的开环复极点（或零 点）之间可能有分离点。
复数分离点示例
p3
j
0
p2
p1
p4
分离点的必要条件
pj——(j=1,2,…,n) 为系统的开环极点； zi——(i=1,2,…,m) 为系统的开环零点；
(s) G(s) 1 G(s)H(s)
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) = K*(s - z1 ) (s - zm ) = 1 — 根轨迹方程 (s - p1 )(s - p2 ) (s - pn )