线性规划lingo实现示例
应用lingo软件实现线性规划和整数规划
一、 实验目的应用lingo 软件实现线性规划和整数规划。
二、 实验内容：1．线性规划方法的lingo 软件实现。
2．整数规划方法的Lingo 软件实现三、 实验环境：1 硬件要求：计算机一台2 操作系统：WindowsXP3 软件要求：lingo10四、实验步骤及程序编写：1．线性规划模型。
某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。
已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。
为完成此项任务的汽油消耗量限制为48000升、重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。
飞机携带重型炸弹时每升汽油可飞行2千米，带轻型炸弹时每升汽油可飞行3千米。
又知每架飞机每次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽为了使摧毁敌方军事目标的可能性最大，应如何确定飞机轰炸的方案。
解：设用了x 枚重型炸弹，用了y 枚轻型炸弹，攻击的是第i 个部位，再设一标志变量f 定义如下： ⎩⎨⎧=个部位不攻击第个部位攻击第i i f i 01目标函数为： ()[]∑=⨯⨯+⨯=41max i i li ih f p y px()()480002004/3/2004/2/≤++⨯+++⨯i i i i d d y d d x48≤x ,32≤y141=∑=i if2、整数规划模型。
某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9t ，电力4kw ，使用劳动力3个，获利70元；生产乙种产品每件消耗煤4t ，电力5kw ，使用劳动力10个，获利120元。
有一个生产日，这个厂可动用的煤是360t ，电力是200kw ，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少？ 解：模型建立：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<+<++=取整x x x x x x x x x x t s f 2121212121,3001032005436049..12070max五、程序调试及实验总结1．线性规划模型。
最优化方法(线性规划)——用Lingo对线性规划进行灵敏度分析
lingo 软件求解线性规划及灵敏度分析注：以目标函数最大化为例进行讨论，对求最小的问题，有类似的分析方法！所有程序运行环境为lingo10。
一、用lingo 软件求解线性规划例1：m a x 23..43103512,0z x ys t x y x y x y =++≤+≤≥在模型窗口输入：model:max=2*x+3*y;4*x+3*y<=10;3*x+5*y<12;! the optimal value is :7.454545 ;End如图所示：运行结果如下（点击 工具栏上的‘solve ’或点击菜单‘lingo ’下的‘solve ’即可）：Global optimal solution found. Objective value: 7.454545（最优解函数值）Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2（迭代次数）Variable （最优解） Value Reduced CostX 1.272727 0.000000Y 1.636364 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 7.454545 1.0000002 0.000000 0.9090909E-013 0.000000 0.5454545例2：12123124125m a x 54..39028045z x x s t x x x x x x x x x x =+++=++=++=≥在模型窗口输入：model:max=5*x1+4*x2;x1+3*x2+x3=90;2*x1+x2+x4=80;x1+x2+x5=45;end运行（solve ）结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 215.0000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 3Variable Value Reduced CostX1 35.00000 0.000000X2 10.00000 0.000000X3 25.00000 0.000000X4 0.000000 1.000000X5 0.000000 3.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 215.0000 1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 1.0000004 0.000000 3.000000例323123234235m in 2..22312z x x s t x x x x x x x x x x =-+-+=-+=-+=≥在模型窗口输入：model:min=-x2+2*x3;x1-2*x2+x3=2;x2-3*x3+x4=1;x2-x3+x5=2;end运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: -1.500000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX2 2.500000 0.000000X3 0.5000000 0.000000X1 6.500000 0.000000X4 0.000000 0.5000000X5 0.000000 0.5000000Row Slack or Surplus Dual Price1 -1.500000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.50000004 0.000000 0.5000000例4：（非线性）m in ..124x y zs t x y x z +++≤+= 在模型窗口输入：model :min =@abs (x)+@abs (y)+@abs (z);x+y<=1;2*x+z=4;@free (x);@free (y);@free(z);End求解器状态如下：（可看出是非线性模型！）运行结果为：Linearization components added:Constraints: 12Variables: 12Integers: 3Global optimal solution found.Objective value:（最优解函数值） 3.000000Objective bound: 3.000000 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 3Variable(最优解) Value Reduced Cost X 2.000000 0.000000Y -1.000000 0.000000 Z 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3.000000 -1.0000002 0.000000 1.0000003 0.000000 -1.000000二、用lingo软件进行灵敏度分析实例例5：m a x 603020864842 1.5202 1.50.585,,0S x y zx y z x y z x y z y x y z =++++≤++≤++≤≤≥ 在模型窗口输入：Lingo 模型：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z<48;4*x+2*y+1.5*z<20;2*x+1.5*y+0.5*z<8;y<5;end（一）求解报告（solution report ）通过菜单Lingo →Solve 可以得到求解报告（solution report ）如下：Global optimal solution found at iteration: 0Infeasibilities: 0.000000Objective value: 280.0000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX 2.000000 0.000000Y 0.000000 5.000000Z 8.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 280.0000 1.0000002 24.00000 0.0000003 0.000000 10.000004 0.000000 10.000005 5.000000 0.000000分析Value,Reduced Cost ，Slack or Surplus ，Dual Price 的意义如下：1、最优解和基变量的确定Value 所在列给出了问题的最优解。
用LINGO求解线性规划问题
实验1 用LINGO求解线性规划问题LINGO使用简介LINGO软件是美国的LINDO系统公司（Lindo System Inc）开发的一套用于求解最优化问题的软件包.LINGO除了能用于求解线性规划和二次规划外，还可以用于非线性规划求解以及一些线性和非线性方程（组）的求解.LINGO软件的最大特色在于它允许优化模型中的决策变量为整数，而且执行速度快.LINGO内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析结果，这里简单介绍LINGO的使用方法.LINGO可以求解线性规划、二次规划、非线性规划、整数规划、图论及网络优化和排队论模型中的最优化问题等.一个LINGO程序一般会包含集合段、数据输入段、优化目标和约束段、初始段和数据预处理段等部分，每一部分有其独特的作用和语法规则，读者可以通过查阅相关的参考书或者LINGO的HELP文件详细了解，这里就不展开介绍了.LINGO的主要功能特色为：既能求解线性规划问题，也有较强的求解非线性规划问题的能力；输入模型简练直观；运算速度快、计算能力强；内置建模语言，提供几十个内部函数，从而能以较少语句，较直观的方式描述大规模的优化模型；将集合的概念引入编程语言，很容易将实际问题转换为LINGO模型；并且能方便地与Excel、数据库等其他软件交换数据.LINGO的语法规定：（1）求目标函数的最大值或最小值分别用MAX=…或MIN=…来表示；（2）每个语句必须以分号“；”结束，每行可以有许多语句，语句可以跨行；（3）变量名称必须以字母（A~Z）开头，由字母、数字（0~9）和下划线所组成，长度不超过32个字符，不区分大小写；（4）可以给语句加上标号，例如[OBJ] MAX=200*X1+300*X2；（5）以惊叹号“！”开头，以分号“；”结束的语句是注释语句；（6）如果对变量的取值范围没有作特殊说明，则默认所有决策变量都非负；（7）LINGO模型以语句“MODEL：”开头，以“END”结束，对于比较简单的模型，这两个语句可以省略.实验目的1.对于给定的实际应用问题，正确的建立线性规划问题数学模型，并用LINGO求解；2.掌握灵敏度分析以及资源的影子价格的相关分析方法.实验数据与内容问题1.1某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品，已知生产单位产品所需设备台时及对甲、乙两种原材料的消耗，有关数据如表1.1.问：应如何安排生产计划，使工厂获利最大？.问题1.2 某公司饲养实验用的动物以供出售，已知这些动物的生长对饲料中3种营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每周至少需要蛋白质60g ，矿物质3g ，维生素8mg ，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg 所含各种营养成分和成本如表1.2所示，如果每个小动物每周食用饲料不超过52kg ，求既能满足动物生长需要，又使总成本最低的饲料配方.实验指导问题1.1设计划生产两种产品分别为，则建立线性规划问题数学模型B A ,21,x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,12416482.32max 21212121x x x x x x t s x x S 在LINGO 的MODEL 窗口内输入如下模型：model :max =2*x1+3*x2;x1+2*x2<=8;4*x1<=16;4*x2<=12;end选菜单Lingo|Solve(或按Ctrl+S),或用鼠标点击“求解”按纽，如果模型有语法错误，则弹出一个标题为“LINGO Error Message ”(错误信息)的窗口，指出在哪一行有怎样的错误，每一种错误都有一个编号（具体含义可查阅相关文献或LINGO 的Help ）.改正错误以后再求解，如果语法通过，LINGO 用内部所带的求解程序求出模型的解，然后弹出一个标题为“LINGO Solver Status ”（求解状态）的窗口，其内容为变量个数、约束条件个数、优化状态、耗费内存、所花时间等信息，点击Close 关闭窗口，屏幕上出现标题为“Solution Report ”（解的报告）的信息窗口，显示优化计算（线性规划中换基迭代）的步数、优化后的目标函数值、列出各变量的计算结果.求解结果：Global optimal solution found at iteration: 5Objective value: 14.00000Variable Value Reduced CostX1 4.000000 0.000000X2 2.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 14.00000 1.0000002 0.000000 1.5000003 0.000000 0.12500004 4.000000 0.000000该报告说明：运行5步找到全局最优解，目标函数值为14，变量值分别为.“Reduced Cost ”的含义是需缩减成本系数或需增加利润系数（最优解中取值非零的决策变量的Reduced Cost 值等于零）.“Row ”是输入模型中的行号，目标函数是第一行；“Slack or Surplus ”的意思是松弛或剩余，即约束条件左边与右边的差值，对于“124,2==x x ≤”的不等式，右边减左边的差值为Slack （松弛），对于“”的不等式，左边减右边的差值为Surplus （剩余），当约束条件两边相等时，松弛或剩余的值等于零.“Dual Price ”的意思是对偶价格（或称为影子价格），上述报告中Row2的松弛值为0，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需设备8台时已经饱和，对偶价格1.5的含义是：如果设备增加1台时，能使目标函数值增加1.5.报告中Row4的松弛值为4，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需原材料乙8公斤还剩余4公斤，因此增加原材料乙不会使目标函数值增加，所以对偶价格为0.≥问题1.2设需要饲料分别为 kg ，则建立线性规划数学模型：54321,,,,A A A A A 54321,,,,x x x x x 123451234512345123451234512345min 0.20.70.40.30.50.320.6 1.8600.10.050.020.20.0530.050.10.020.20.088.52,,,,0S x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++++++++≥⎧⎪++++⎪⎪≥++++⎨⎪++++≤⎪≥⎪⎩≥ 在LINGO 的MODEL 窗口内输入如下模型：Min=0.2*x1+0.7*x2+0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5;0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x5>60;0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.05*x5>3;0.05*x1+0.1*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.08*x5>8;x1+x2+x3+x4+x5<52;求解输出结果如下:Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 22.40000Variable Value Reduced CostX1 0.000000 0.7000000X2 12.00000 0.000000X3 0.000000 0.6166667X4 30.00000 0.000000X5 10.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 22.40000 -1.0000002 0.000000 -0.58333333 4.100000 0.0000004 0.000000 -4.1666675 0.000000 0.8833333因此,每周每个动物的配料为饲料、、分别为12、30和10kg ，合计为52，可使得饲养成本达到最小，最小成本为22.4元；不选用饲料和的原因是因为这两种饲料的价格太高了，没有竞争力.“Reduced Cost ”分别等于0.7和0.617，说明当这两种饲料的价格分别降低0.7元和0.62元以上时，不仅选用这两种饲料而且使得饲养成本降低.从“Slack or Surplus”可以看出，蛋白质和维生素刚达到最低标准，矿物质超过最低标准4.12A 4A 5A kg kg kg 1A 3A g ；从“Dual Price”可以得到降低标准蛋白质1单位可使饲养成本降低0.583元，降低标准维生素1单位可使饲养成本降低4.167元，但降低矿物质的标准不会降低饲养成本，如果动物的进食量减少，就必须选取精一些的饲料但要增加成本，大约进食量降低1可使得饲养成本增加0.88元.kg 对于目标函数系数和约束条件右端常数项的灵敏度分析，可以通过LINGO 软件求解的灵敏度分析给出.如果要看灵敏度分析结果，必须激活灵敏度计算功能才会在求解时给出灵敏度分析结果，默认情况下这项功能是关闭的.想要激活它，必须运行LINGO|Options …命令，选择Gengral Solver ，在Dual Computation 列表框中，选择Prices and Ranges 选项并确定.对于例1.1问题进行灵敏度分析，结果如下：以下是灵敏度分析的结果Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseX1 2.000000 INFINITY 0.5000000X2 3.000000 1.000000 3.000000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 8.000000 2.000000 4.0000003 16.00000 16.00000 8.0000004 12.00000 INFINITY 4.000000对于例1.2问题进行灵敏度分析，结果如下：Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseX1 0.2000000 INFINITY 0.7000000X2 0.7000000 INFINITY 0.1358974X3 0.4000000 INFINITY 0.6166667X4 0.3000000 1.400000 1.000000X5 0.5000000 0.1247059 INFINITYRighthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 60.00000 4.800000 4.8000003 3.000000 4.100000 INFINITY4 8.000000 0.3428571 0.48000005 52.00000 1.846154 1.411765思考题某投资公司拟制定今后5年的投资计划，初步考虑下面四个投资项目：项目A：从第1年到第4年每年年初可以投资，于次年年末收回成本，并可获利润15%；项目B：第3年年初可以投资，到第5年年末可以收回成本，并获得利润25%，但为了保证足够的资金流动，规定该项目的投资金额上限为不超过总金额的40%；项目C：第2年年初可以投资，到第5年年末可以收回成本，并获得利润40%，但公司规定该项目的最大投资金额不超过总金额的30%；项目D：5年内每年年初可以购买公债，于当年年末可以归还本金，并获利息6%.该公司现有投资金额100万元，请帮助该公司制定这些项目每年的投资计划，使公司到第5年年末核算这5年投资的收益率达到最大.建立线性规划问题的数学模型，并用LINGO求解.。
运用Lingo进行线性规划求解(实例)
LinDo
输入模型 求解
点击求解按钮 结果
即可
♂返回
!注释内容，可用中文
输
!目标函数：最大-max,最小-min,大小写不分
max 3 x1+5 x2+4 x3
入
!约束，以subject to开始
模
subject to
型
2 x1+3 x2<=1500
2 x2+4 x3<=800
3*x1+2*x2+5*x3<=2 000; end
注意与LinDo的区别
目标函数中加等号 变量与系数之间用“*” Model:-end可省略
♂返回
LinGo 模 式
Model: Sets: !定义集合
Endsets
Data:
！定义数据
Enddata 调用函数与计算
end
♂返回
model: ！开始
数
@sum(set(set_index_list)|condition:expressi
on)
@min(max)(set(set_index_list)|condition:ex pression)
♂返回
Global optimal solution found at
iteration:
3
结
Objective value: 2675.000
果
Variable Value
Reduced Cost
C( 1) 3.000000
0.000000
C( 2) 5.000000
0.000000
C( 3) 4.000000
0.000000
用lingo解线性规划问题
2. 所用原料钢管总根数最少
决策变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7)
目标1（总余量） Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
模 式 1 2 3 4 5 6 7 需 求 4米 根数 4 3 2 1 1 0 0 50 6米 根数 0 1 0 2 1 3 0 20 8米 根数 0 0 1 0 1 0 2 15 余 料 3 1 3 3 1 1 3
x1 x2 50
12x1 8x2 480
约束条件
劳动时间 加工能力 非负约束
3x1 100 x1 , x2 0
线性 规划 模型 (LP)
模型求解
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。
结果解释
Max＝ 72x1+64x2
2）x1+x2<50 3）12x1+8x2<480
解：直接在LINGO的模型窗口中输 入程序
LINDO/LINGO软件的求解过程
1. 确定常数
2. 识别类型
LINDO/LINGO预处理程序
LP QP NLP IP 全局优化(选) 分枝定界管理程序
ILP
线性优化求解程序 1. 单纯形算法 2. 内点算法(选)
IQP
INLP
非线性优化求解程序
LINDO和LINGO软件能求解的优化模型
钢管下料问题1
模式 1 2 3 4 5 6 7 4米钢管根数 4 3 2 1 1 0 0
合理切割模式
8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2 余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式 切割多少根原料钢管，最为节省？ 两种 标准 1. 原料钢管剩余总余量最小
用LINGO求解线性规划问题
实验1 用LINGO求解线性规划问题LINGO使用简介LINGO软件是美国的LINDO系统公司（Lindo System Inc）开发的一套用于求解最优化问题的软件包.LINGO除了能用于求解线性规划和二次规划外，还可以用于非线性规划求解以及一些线性和非线性方程（组）的求解.LINGO软件的最大特色在于它允许优化模型中的决策变量为整数，而且执行速度快.LINGO内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析结果，这里简单介绍LINGO的使用方法.LINGO可以求解线性规划、二次规划、非线性规划、整数规划、图论及网络优化和排队论模型中的最优化问题等.一个LINGO程序一般会包含集合段、数据输入段、优化目标和约束段、初始段和数据预处理段等部分，每一部分有其独特的作用和语法规则，读者可以通过查阅相关的参考书或者LINGO的HELP文件详细了解，这里就不展开介绍了.LINGO的主要功能特色为：既能求解线性规划问题，也有较强的求解非线性规划问题的能力；输入模型简练直观；运算速度快、计算能力强；内置建模语言，提供几十个内部函数，从而能以较少语句，较直观的方式描述大规模的优化模型；将集合的概念引入编程语言，很容易将实际问题转换为LINGO模型；并且能方便地与Excel、数据库等其他软件交换数据.LINGO的语法规定：（1）求目标函数的最大值或最小值分别用MAX=…或MIN=…来表示；（2）每个语句必须以分号“；”结束，每行可以有许多语句，语句可以跨行；（3）变量名称必须以字母（A~Z）开头，由字母、数字（0~9）和下划线所组成，长度不超过32个字符，不区分大小写；（4）可以给语句加上标号，例如[OBJ] MAX=200*X1+300*X2；（5）以惊叹号“！”开头，以分号“；”结束的语句是注释语句；（6）如果对变量的取值范围没有作特殊说明，则默认所有决策变量都非负；（7）LINGO模型以语句“MODEL：”开头，以“END”结束，对于比较简单的模型，这两个语句可以省略.实验目的1.对于给定的实际应用问题，正确的建立线性规划问题数学模型，并用LINGO求解；2.掌握灵敏度分析以及资源的影子价格的相关分析方法.实验数据与内容问题1.1某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品，已知生产单位产品所需设备台时及对甲、乙两种原材料的消耗，有关数据如表1.1.问：应如何安排生产计划，使工厂获利最大？.问题1.2 某公司饲养实验用的动物以供出售，已知这些动物的生长对饲料中3种营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每周至少需要蛋白质60g ，矿物质3g ，维生素8mg ，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg 所含各种营养成分和成本如表1.2所示，如果每个小动物每周食用饲料不超过52kg ，求既能满足动物生长需要，又使总成本最低的饲料配方.实验指导问题1.1设计划生产两种产品分别为，则建立线性规划问题数学模型B A ,21,x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,12416482.32max 21212121x x x x x x t s x x S 在LINGO 的MODEL 窗口内输入如下模型：model :max =2*x1+3*x2;x1+2*x2<=8;4*x1<=16;4*x2<=12;end选菜单Lingo|Solve(或按Ctrl+S),或用鼠标点击“求解”按纽，如果模型有语法错误，则弹出一个标题为“LINGO Error Message ”(错误信息)的窗口，指出在哪一行有怎样的错误，每一种错误都有一个编号（具体含义可查阅相关文献或LINGO 的Help ）.改正错误以后再求解，如果语法通过，LINGO 用内部所带的求解程序求出模型的解，然后弹出一个标题为“LINGO Solver Status ”（求解状态）的窗口，其内容为变量个数、约束条件个数、优化状态、耗费内存、所花时间等信息，点击Close 关闭窗口，屏幕上出现标题为“Solution Report ”（解的报告）的信息窗口，显示优化计算（线性规划中换基迭代）的步数、优化后的目标函数值、列出各变量的计算结果.求解结果：Global optimal solution found at iteration: 5Objective value: 14.00000Variable Value Reduced CostX1 4.000000 0.000000X2 2.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 14.00000 1.0000002 0.000000 1.5000003 0.000000 0.12500004 4.000000 0.000000该报告说明：运行5步找到全局最优解，目标函数值为14，变量值分别为.“Reduced Cost ”的含义是需缩减成本系数或需增加利润系数（最优解中取值非零的决策变量的Reduced Cost 值等于零）.“Row ”是输入模型中的行号，目标函数是第一行；“Slack or Surplus ”的意思是松弛或剩余，即约束条件左边与右边的差值，对于“124,2==x x ≤”的不等式，右边减左边的差值为Slack （松弛），对于“”的不等式，左边减右边的差值为Surplus （剩余），当约束条件两边相等时，松弛或剩余的值等于零.“Dual Price ”的意思是对偶价格（或称为影子价格），上述报告中Row2的松弛值为0，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需设备8台时已经饱和，对偶价格1.5的含义是：如果设备增加1台时，能使目标函数值增加1.5.报告中Row4的松弛值为4，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需原材料乙8公斤还剩余4公斤，因此增加原材料乙不会使目标函数值增加，所以对偶价格为0.≥问题1.2设需要饲料分别为 kg ，则建立线性规划数学模型：54321,,,,A A A A A 54321,,,,x x x x x 123451234512345123451234512345min 0.20.70.40.30.50.320.6 1.8600.10.050.020.20.0530.050.10.020.20.088.52,,,,0S x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++++++++≥⎧⎪++++⎪⎪≥++++⎨⎪++++≤⎪≥⎪⎩≥ 在LINGO 的MODEL 窗口内输入如下模型：Min=0.2*x1+0.7*x2+0.4*x3+0.3*x4+0.5*x5;0.3*x1+2*x2+x3+0.6*x4+1.8*x5>60;0.1*x1+0.05*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.05*x5>3;0.05*x1+0.1*x2+0.02*x3+0.2*x4+0.08*x5>8;x1+x2+x3+x4+x5<52;求解输出结果如下:Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 22.40000Variable Value Reduced CostX1 0.000000 0.7000000X2 12.00000 0.000000X3 0.000000 0.6166667X4 30.00000 0.000000X5 10.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 22.40000 -1.0000002 0.000000 -0.58333333 4.100000 0.0000004 0.000000 -4.1666675 0.000000 0.8833333因此,每周每个动物的配料为饲料、、分别为12、30和10kg ，合计为52，可使得饲养成本达到最小，最小成本为22.4元；不选用饲料和的原因是因为这两种饲料的价格太高了，没有竞争力.“Reduced Cost ”分别等于0.7和0.617，说明当这两种饲料的价格分别降低0.7元和0.62元以上时，不仅选用这两种饲料而且使得饲养成本降低.从“Slack or Surplus”可以看出，蛋白质和维生素刚达到最低标准，矿物质超过最低标准4.12A 4A 5A kg kg kg 1A 3A g ；从“Dual Price”可以得到降低标准蛋白质1单位可使饲养成本降低0.583元，降低标准维生素1单位可使饲养成本降低4.167元，但降低矿物质的标准不会降低饲养成本，如果动物的进食量减少，就必须选取精一些的饲料但要增加成本，大约进食量降低1可使得饲养成本增加0.88元.kg 对于目标函数系数和约束条件右端常数项的灵敏度分析，可以通过LINGO 软件求解的灵敏度分析给出.如果要看灵敏度分析结果，必须激活灵敏度计算功能才会在求解时给出灵敏度分析结果，默认情况下这项功能是关闭的.想要激活它，必须运行LINGO|Options …命令，选择Gengral Solver ，在Dual Computation 列表框中，选择Prices and Ranges 选项并确定.对于例1.1问题进行灵敏度分析，结果如下：以下是灵敏度分析的结果Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseX1 2.000000 INFINITY 0.5000000X2 3.000000 1.000000 3.000000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 8.000000 2.000000 4.0000003 16.00000 16.00000 8.0000004 12.00000 INFINITY 4.000000对于例1.2问题进行灵敏度分析，结果如下：Ranges in which the basis is unchanged:Objective Coefficient RangesCurrent Allowable AllowableVariable Coefficient Increase DecreaseX1 0.2000000 INFINITY 0.7000000X2 0.7000000 INFINITY 0.1358974X3 0.4000000 INFINITY 0.6166667X4 0.3000000 1.400000 1.000000X5 0.5000000 0.1247059 INFINITYRighthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 60.00000 4.800000 4.8000003 3.000000 4.100000 INFINITY4 8.000000 0.3428571 0.48000005 52.00000 1.846154 1.411765思考题某投资公司拟制定今后5年的投资计划，初步考虑下面四个投资项目：项目A：从第1年到第4年每年年初可以投资，于次年年末收回成本，并可获利润15%；项目B：第3年年初可以投资，到第5年年末可以收回成本，并获得利润25%，但为了保证足够的资金流动，规定该项目的投资金额上限为不超过总金额的40%；项目C：第2年年初可以投资，到第5年年末可以收回成本，并获得利润40%，但公司规定该项目的最大投资金额不超过总金额的30%；项目D：5年内每年年初可以购买公债，于当年年末可以归还本金，并获利息6%.该公司现有投资金额100万元，请帮助该公司制定这些项目每年的投资计划，使公司到第5年年末核算这5年投资的收益率达到最大.建立线性规划问题的数学模型，并用LINGO求解.。
用LINGO求解线性规划的例子
附1：用LINGO求解线性规划的例子一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。
根据市场需求，生产的A1、A2能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：1）若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？数学模型：设每天用x1桶牛奶生产A1 ，用x2桶牛奶生产A2目标函数：设每天获利为z元。
x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利24*3x1，x2桶牛奶可生产4*x2公斤A2，获利16*4x2，故z=72x1+64x2约束条件：原料供应：生产A1、A2的原料（牛奶）总量不超过每天的供应50桶，即x1+x2≤50劳动时间：生产A1、A2的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间480小时，即12x1+8x2≤480设备能力：A1的产量不得超过设备甲每天的加工能力100小时，即3x1≤100非负约束：x1、x2均不能为负值，即x1≥0，x2≥0综上所述可得max z=72x1+64x2s.t.x1+x2≤5012x1+8x2≤4803x1≤100x1≥0，x2≥0显然，目标函数和约束条件都是线性的，这是一个线性规划（LP），求出的最优解将给出使净利润最大的生产计划，要讨论的问题需要考虑参数的变化对最优解和影响，一般称为敏感性（或灵敏度）分析。
LINGO求解线性规划用LINGO求解线性规划时，首先在LINGO软件的模型窗口输入一个LP模型，模型以MAX或MIN 开始，按线性规划问题的自然形式输入（见下面例子所示）。
运用Lingo进行线性规划求解(实例)
LINGO
支持多种线性规划算法，包括单纯形法、网络算法等。
要点二
Gurobi
主要采用高级优化算法，如分支定界法、动态规划等。
LINGO与Gurobi的比较
LINGO
支持各种类型的约束条件，包括整数约束、非线性约束 等。
Gurobi
特别擅长处理大规模、非线性问题，但对线性问题的处 理能力稍弱。
LINGO
界面简洁，建模语言直观，易于学习和掌握。
Excel
需要结合多个函数和工具进行建模，对于复杂问题操作相对繁琐。
LINGO与Excel的比较
LINGO
针对优化问题进行了优化，求解速度 较快，精度较高。
Excel
求解速度较慢，对于大规模问题可能 无法得到满意的结果。
LINGO与Gurobi的比较
LINGO软件特点
高效求解
LINGO采用先进的求解算法，能够快速求解大规 模线性规划问题。
灵活建模
LINGO支持多种建模语言，用户可以根据需要选 择合适的语言进行建模。
图形界面
LINGO提供直观的图形界面，方便用户进行模型 设计和结果查看。
LINGO软件应用领域
生产计划
LINGO可用于制定生产计划，优化资源配置， 提高生产效率。
金融投资
LINGO可以用于金融投资组合优化，帮助投 资者实现风险和收益的平衡。
物流优化
LINGO可以帮助企业优化物流配送路线，降 低运输成本。
资源分配
LINGO可用于资源分配问题，如人员、设备、 资金的分配，以达到最优效果。
2023
PART 02
线性规划基本概念
REPORTING
线性规划定义
线性规划是数学优化技术的一种，它通过将问 题抽象为数学模型，利用数学方法来寻找最优 解。
用lingo求解规划问题实例
用lingo求解规划问题实例用Lingo求解规划问题实例问题一:某公司打算向它的3个营业区增设6个销售店，每个营业区至少增设一个。
从各区赚取的利润与增设的销售店个数有关，其数据如下表所示。
试求各区应分配几个增设的销售店，才能使总利润最大。
销售点增加数 0 1 2 3 4A区利润/万元 100 200 280 330 340B区利润/万元 200 210 220 225 230C区利润/万元 150 160 170 180 200分析:要设置集合zone/A,B,C/，表示三个地区。
因为获得的利润与地区和各地的销售点增加数均相关，所以可以仿照运输模型，用number/1..4/表示每个地区可选的销售点增加数，1，在i地区新增j个销售点,然后用一个派生集links(zone,number):c,profit，定义 c,,ij0，其他,profit(i,j)为在i地区新增j个销售点能获得的利润。
可写出约束条件为:4， c,1i,1,2,3,ijj,1c,0或1 ij34cj,6 ,,ijij,,11所求函数为max=@sum(links:c*profit);Lingo程序如下:model:sets:zone/A,B,C/; !A,B,C三个地区;number/1..4/; !各地区可选择新建的销售点数目，可选1~4中的一个数，通过links把zone和number联系起来;links(zone,number):c,profit; !若在i地区新建j个销售点，则c(i,j)=1,否则c(i,j)=0.profit(i,j)表示在i地区新建j个销售点的利润; endsets data:profit=200 280 330 340210 220 225 230160 170 180 200;enddatamax=@sum(links:c*profit);@for(zone(I):@sum(number(J):c(I,J))=1); !对于每一个地区，新建销售点的数目是一定的，c的和为1;@sum(zone(I):@sum(number(J):c(I,J)*J))=6; !三个地区新建的销售点总数为6;@for(links(i,j):@bin(c(i,j))); !每一个c(i,j)只能取0或1;end用Lingo求解，结果如下:Global optimal solution found.Objective value: 710.0000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostC( A, 1) 0.000000 -200.0000C( A, 2) 0.000000 -280.0000C( A, 3) 1.000000 -330.0000C( A, 4) 0.000000 -340.0000C( B, 1) 1.000000 -210.0000C( B, 2) 0.000000 -220.0000C( B, 3) 0.000000 -225.0000C( B, 4) 0.000000 -230.0000C( C, 1) 0.000000 -160.0000C( C, 2) 1.000000 -170.0000C( C, 3) 0.000000 -180.0000C( C, 4) 0.000000 -200.0000 则在A，B，C区域应分别新增3，1，2个销售点，可获得的最大利润为710万元。
LinGo：投资问题——线性规划
LinGo：投资问题——线性规划⼀.根据题⽬所给数据，建⽴⼀张表格⽅便查看项⽬A项⽬B项⽬C项⽬D可投资年1,2,3,4321,2,3,4,5收回本利年次年年末第5年第5年当年年末本利 1.06 1.15 1.20 1.02最⼤投资⾦额(万)-4030-⼆.设第i年投资第j个项⽬ X ij第j个项⽬的本利为r三.约束条件1.第⼀年投资的⾦额=100万x(1,1) + x(1,4) = 100;2.往后每年的投资⾦额要=今年年初回收的本利和x(2,1) + x(2,3) + x(2,4) = x(1,4) * r(4);x(3,1) + x(3,2) + x(3,4) = x(1,1) * r(1) + x(2,4) * r(4);x(4,1) + x(4,4) = x(2,1) * r(1) + x(3,4) * r(4);x(5,4) = x(3,1) * r(1) + x(4,4) * r(4);3.第2个项⽬的单次投资⾦额要<=40万x(3,2) <= 40;4.第3个项⽬的单次投资⾦额要<=30万x(2,3) <= 30;四．⽬标函数 : 第五年末的本利和max = r(1) * x(4,1) + r(2) * x(3,2) + r(3) * x(2,3) + r(4) * x(5,4);五．LINGO代码sets:row/1..5/;col/1..4/ : r;link(row,col) : x;endsetsdata:r = 1.06, 1.15, 1.20, 1.02;enddata!@for(link(i,j) : x(i,j) = 0);!1;x(1,1) + x(1,4) = 100;!2;x(2,1) + x(2,3) + x(2,4) = x(1,4) * r(4);!3;x(3,1) + x(3,2) + x(3,4) = x(1,1) * r(1) + x(2,4) * r(4);!4;x(4,1) + x(4,4) = x(2,1) * r(1) + x(3,4) * r(4);!5;x(5,4) = x(3,1) * r(1) + x(4,4) * r(4);x(3,2) <= 40;x(2,3) <= 30;[OBJ]max = r(1) * x(4,1) + r(2) * x(3,2) + r(3) * x(2,3) + r(4) * x(5,4);六．LINGO运算结果Global optimal solution found.Objective value: 119.6512Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 1Variable Value Reduced CostR( 1) 1.060000 0.000000R( 2) 1.150000 0.000000R( 3) 1.200000 0.000000R( 4) 1.020000 0.000000X( 1, 1) 70.58824 0.000000X( 1, 2) 0.000000 0.000000X( 1, 3) 0.000000 0.000000X( 1, 4) 29.41176 0.000000X( 2, 1) 0.000000 0.000000X( 2, 2) 0.000000 0.000000X( 2, 3) 30.00000 0.000000X( 2, 4) 0.000000 0.2077600E-01X( 3, 1) 0.000000 0.000000X( 3, 2) 40.00000 0.000000X( 3, 3) 0.000000 0.000000X( 3, 4) 34.82353 0.000000X( 4, 1) 35.52000 0.000000X( 4, 2) 0.000000 0.000000X( 4, 3) 0.000000 0.000000X( 4, 4) 0.000000 0.1960000E-01X( 5, 1) 0.000000 0.000000X( 5, 2) 0.000000 0.000000X( 5, 3) 0.000000 0.000000X( 5, 4) 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.000000 1.1460722 0.000000 1.1236003 0.000000 1.0812004 0.000000 1.0600005 0.000000 1.0200006 0.000000 0.6880000E-017 0.000000 0.7640000E-01OBJ 119.6512 1.000000结论：第⼀年：A:70.58824 D:29.41176第⼆年：C:30第三年：B:40 D:34.82353第四年：A:35.52第五年：不投资。
数学建模_线性规划_运输问题lingo程序
X56 0.000000 32.00000
X64 30.00000 0.000000
X65 0.000000 3.000000
X66 0.000000 7.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 1620.000 -1.000000
x12+x22+x32+x42+x52=50;
x13+x23+x33+x43+x53=40;
x14+x24+x34+x44+x54+x64=30;
x15+x25+x35+x45+x55+x65=30;
x16+x26+x36+x46+x56+x66=20;
LINGO求解结果：
Global optimal solution found.
供应限制：x11+x12+x13+x14+x15+x16=20
x21+x22+x23+x24+x25x+26=30
x31+x32+x33+x34+x35+x36=50
x41+x42+x43+x44+x45+x46=40
x52+x53+x54+x55+x56=30
x64+x65+x66=30
需求限制：x11+x21+x31+x41=30
10 0.000000 -10.00000
附1：用LINGO求解线性规划的例子 一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2
附1：用LINGO求解线性规划的例子一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2附1:用LINGO求解线性规划的例子一奶制品加工厂用牛奶生产A、A两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A，121或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A。
根据市场需求，生产的A、A能全部售出，且每公斤A获利212124元，每公斤A获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为4802 小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A，设备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制定一个生产计划，1使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题:1)若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资,若投资，每天最多购买多少桶牛奶,2)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元,3)由于市场需求变化，每公斤A的获利增加到30元，应否改变生产计划, 1数学模型:设每天用x桶牛奶生产A1 ，用x桶牛奶生产A2 12目标函数:设每天获利为z元。
x桶牛奶可生产3x公斤A1，获利24*3x，x桶牛奶可生产4*x公11122斤A2，获利16*4x，故z=72x+64x212约束条件:原料供应:生产A、A的原料(牛奶)总量不超过每天的供应50桶，即 12x+x?50 12劳动时间:生产A、A的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间480小时，即 1212x+8x?480 12设备能力:A的产量不得超过设备甲每天的加工能力100小时，即 13x?100 1非负约束:x、x均不能为负值，即x?0，x?0 2121综上所述可得max z=72x+64x 12s.t.x+x?50 1212x+8x?480 123x?100 1x?0，x?0 21显然，目标函数和约束条件都是线性的，这是一个线性规划(LP)，求出的最优解将给出使净利润最大的生产计划，要讨论的问题需要考虑参数的变化对最优解和影响，一般称为敏感性(或灵敏度)分析。
lingo
集循环函数
集循环函数遍历整个集进行操作。其语法为： @function(setname[(set_index_list)[|conditional_qualifier]]:e xpression_list);
Lingo的四个集循环函数： @for（x()、@min():求最大值、最小值。
Lingo程序结构 Lingo程序结构
集合段，定义集合
数据段，输入数据
数据初始化段，赋 予数据初值
!目标函数; min=@sum(links: cost*volume); !需求约束; @for(vendors(J): @sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); @for(warehouses(I): @sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I)); end
LINGO优化软件 LINGO优化软件
美国LINDO公司的主要产品： 公司的主要产品： 美国 公司的主要产品 LINDO: Linear INteractive and Discrete Optimizer (V6.1) LINGO: Linear INteractive General Optimizer (V10.0) LINDO API: LINDO Application Programming Interface (V5.0)
sets: product/A B/; machine/M N/; week/1..2/; allowed(product,machine,week):x; endsets 派生集成员：
定义了三个原 始集，allowed 为三个原始集 构成的派生集。 X为派生集的属 性。
(A,M,1) (A,M,2) (A,N,1) (A,N,2) 集成员按这个顺序排列。 (B,M,1) (B,M,2) (B,N,1) (B,N,2)
lingo解决线性规划问题的程序(经典)
Lingo12软件培训教案Lingo 主要用于求解线性规划，整数规划，非线性规划，V10以上版本可编程。
例1 一个简单的线性规划问题0 ,600 2100350 st.3 2max >=<=+=<<=++=y x y x x y x y x z !exam_1.lg4 源程序max = 2*x+3*y;[st_1] x+y<350;[st_2] x<100;2*x+y<600; !决策变量黙认为非负; <相当于<=; 大小写不区分当规划问题的规模很大时，需要定义数组(或称为矩阵)，以及下标集(set) 下面定义下标集和对应数组的三种方法，效果相同:：r1 = r2 = r3, a = b = c. sets :r1/1..3/:a;r2 : b;r3 : c;link2(r1,r2): x;link3(r1,r2,r3): y;endsetsdata :ALPHA = 0.7;a=11 12 13 ;r2 = 1..3;b = 11 12 13;c = 11 12 13;enddata例2 运输问题解： 设决策变量ij x = 第i 个发点到第j 个售点的运货量，i =1,2,…m; j =1,2,…n; 记为ij c =第i 个发点到第j 个售点的运输单价，i =1,2,…m; j =1,2,…n 记i s =第i 个发点的产量， i =1,2,…m; 记j d =第j 个售点的需求量， j =1,2,…n. 其中，m = 6; n = 8.设目标函数为总成本，约束条件为（1）产量约束；（2）需求约束。
于是形成如下规划问题：nj m i x n j d xm i s x x c ij j n i ij i mj ij m i nj ij ij ,...,2,1,,...,2,1,0 ,...,2,1,,...,2,1, st.z min 1111==>=<==<==∑∑∑∑====把上述程序翻译成LINGO 语言，编制程序如下：!exam_2.lg4 源程序model : !6发点8收点运输问题;sets :rows/1..6/: s; !发点的产量限制;cols/1..8/: d; !售点的需求限制;links(rows,cols): c, x; !运输单价，决策运输量;endsets!-------------------------------------;data:s = 60,55,51,43,41,52;d = 35 37 22 32 41 32 43 38;c = 6 2 6 7 4 2 9 54 95 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3;enddata!------------------------------------;min = @sum(links: c*x); !目标函数=运输总成本;@for(rows(i):@sum(cols(j): x(i,j))<=s(i) ); ! 产量约束;@for(cols(j):@sum(rows(i): x(i,j))=d(j) ); !需求约束;end例3把上述程序进行改进，引进运行子模块和打印运算结果的语句：!exam_3.lg4 源程序model: !6发点8收点运输问题;sets:rows/1..6/: s; !发点的产量限制;cols/1..8/: d; !售点的需求限制;links(rows,cols): c, x; !运输单价，决策运输量; endsets!==================================;data:s = 60,55,51,43,41,52;d = 35 37 22 32 41 32 43 38;c = 6 2 6 7 4 2 9 54 95 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3;enddata!==================================;submodel transfer:min = cost; ! 目标函数极小化;cost = @sum(links: c*x); !目标函数：运输总成本;@for(rows(i):@sum(cols(j): x(i,j)) < s(i) ); ! 产量约束;@for(cols(j):@sum(rows(i): x(i,j)) > d(j) ); !需求约束;endsubmodel!==================================;calc:@solve(transfer); !运行子模块（解线性规划）;@divert('transfer_out.txt');!向.txt文件按自定格式输出数据;@write('最小运输成本=',cost,@newline(1),'最优运输方案x=');@for(rows(i):@write(@newline(1));@writefor(cols(j): ' ',@format(x(i,j),'3.0f') ) );@divert(); !关闭输出文件;endcalcend打开transfer_out.txt文件，内容为：最小运输成本=664最优运输方案x=0 19 0 0 41 0 0 01 0 0 32 0 0 0 00 11 0 0 0 0 40 00 0 0 0 0 5 0 3834 7 0 0 0 0 0 00 0 22 0 0 27 3 0例4data段的编写技巧（1）：从txt文件中读取原始数据!exam_3.lg4 源程序中的data也可以写为：data:s = @file('transfer_data.txt');d = @file('transfer_data.txt');c = @file('transfer_data.txt');enddata其中，transfer_data.txt的内容为：!transfer.lg4程序的数据;!产量约束s= ;60,55,51,43,41,52 ~!需求约束d= ;35 37 22 32 41 32 43 38 ~!运输单价c= ;6 2 67 4 2 9 54 95 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3 ~!注：字符~是数据分割符,若无此符，视所有数据为一个数据块，只赋给一个变量;例5lingo程序的的3种输入和3种输出方法;!exam_5.lg4的源程序;sets:rows/1..3/: ;cols/1..4/: ;link(rows,cols): a, b, mat1, mat2;endsetsdata:b = 1,2,3,45,6,7,89,10,11,12; !程序内输入;a = @file('a.txt'); !外部txt文件输入;mat1 = @ole('d:\lingo12\data.xls',mat1); !EXcel文件输入;enddatacalc:@text('a_out.txt') = a; !列向量形式输出数据;@for(link: mat2 = 2*mat1);@ole('d:\lingo12\data.xls') = mat2 ;!把mat2输出到xls文件中的同名数据块;!向.txt文件按自定格式输出数据(参照前例);Endcalc例6程序段中的循环和选择结构举例!exam_6.lg4的源程序;sets:rows/1..5/:;cols/1..3/:;links(rows,cols):d;endsetsdata:d=0 2 34 3 21 3 24 7 22 1 6;enddatacalc:i=1;@while(i#le#5:a = d(i,1);b = d(i,2);c = d(i,3);@ifc(a#eq#0:@write('infeasible!',@newline(1));@elsedelta = b^2-4*a*c;sqrt = @sqrt(@if(delta#ge#0, delta,-delta));@ifc(delta#ge#0:@write('x1=',(-b+sqrt)/2/a,'x2=',(-b-sqrt)/2/a,@newline(1));@else@write('x1=',-b/2/a,'+',sqrt/2/a,'i','x2=',-b/2/a,'-',sqrt/2/a,'i',@newline(1));););i=i+1;);endcalc本程序中的循环结构也可以用@for(rows(i): 程序体);进行计算。
用lingo求解数学规划模型实例
1, 第i个部队分配第j种装备 设 xij 0, 第i个部队不分配第j种装备
目标函数： max aij xij
i 1 j1
9
9
xij 1 i 1 9 s .t . : x 1 ij j1 xij=0或1
（ i, j=1,2,…,9）
9
9
EQ1 EQ2 EQ3 EQ4 EQ5 EQ6 EQ7 EQ8 EQ9 AR1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 AR2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 AR3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 AR4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 AR5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 AR6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 AR7 0 0 0 0 0 0 0 1 0 AR8 0 0 1 0 0 0 0 0 0 AR9 0 1 0 0 0 0 0 0 0 装备 部队 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 0.24 0.31 0.31 0.49 0.63 0.45 0.45 0.32 0.33 B 0.42 0.04 0.24 0.06 0.15 0.02 0.07 0.24 0.56 C 0.15 0.60 0.08 0.28 0.31 0.37 0.26 0.58 0.41 D 0.46 0.69 0.14 0.13 0.60 0.14 0.15 0.64 0.13 E 0.34 0.11 0.54 0.65 0.06 0.69 0.18 0.43 0.65 F 0.69 0.24 0.61 0.41 0.41 0.29 0.43 0.45 0.07 G 0.03 0.45 0.37 0.55 0.47 0.61 0.55 0.09 0.22 H 0.57 0.35 0.48 0.25 0.19 0.18 0.66 0.05 0.46 I 0.69 0.27 0.34 0.36 0.31 0.46 0.08 0.20 0.11
lingo例题
LINGO是一个用于求解线性规划问题的优化软件。
以下是一个简单的LINGO例题：
问题描述：
某公司生产A、B两种产品，生产A产品需要10个单位劳动力和2个单位资本，生产B产品需要15个单位劳动力和3个单位资本。
该公司拥有劳动力200个单位和资本150个单位。
A产品的售价为20元，B产品的售价为30元。
目标：最大化总收入。
约束条件：
1.劳动力不超过200个单位。
2.资本不超过150个单位。
3.A产品的产量为整数。
4.B产品的产量为整数。
使用LINGO求解该问题，可以建立以下模型：
目标函数：最大化总收入
@max=20x+30y; // 总收入等于A产品售价乘以A产品产量加上B产品售价乘以B产品产量
约束条件：
@bin(x); // A产品产量为整数
@bin(y); // B产品产量为整数
10x+15y<=200; // 劳动力不超过200个单位
2x+3y<=150; // 资本不超过150个单位
x>=0; // A产品产量非负
y>=0; // B产品产量非负
在LINGO中输入以上模型，即可求解该问题。
数学建模：运用Lindolingo软件求解线性规划
数学建模：运用L i n d o l i n g o软件求解线性规划-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1、实验内容：对下面是实际问题建立相应的数学模型，并用数学软件包Lindo/lingo 对模型进行求解。
某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资.2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划.数学建模论文运用lindo/lingo软件求解线性规划运用lindo/lingo软件求解线性规划一、摘要本文要解决的问题是如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大。
首先，对问题进行重述明确题目的中心思想，做出合理的假设，对符号做简要的说明。
然后，对问题进行分析，根据题目的要求，建立合适的数学模型。
最后，运用lindo/lingo软件求出题目的解。
【关键词】最优解 lindo/lingo软件第二、问题的重述某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人20名,可获利9万元.今工厂共有原料60千克,工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大.进一步讨论:1)若投资0.8万元可增加原料1千克,问应否作这项投资。
2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,问应否改变生产计划。
第三、模型的基本假设1、每一箱饮料消耗的人力、物力相同。
2、每个人的能力相等。
3、生产设备对生产没有影响。
第四、符号说明1、x.....甲饮料2、y.....乙饮料3、z.....增加的原材料第五、问题分析根据题目要求：如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大，可知本题所求的是利润的最大值。
lingo用法
Lingo 是一种专门用于线性规划和整数规划的建模和求解语言。
它提供了一种简洁的方式来描述数学模型，并使用线性规划算法求解这些模型。
下面是Lingo 的一些基本用法示例：
1. 变量定义：
- 定义实数变量：`X = 0.5;`
- 定义整数变量：`INT_VAR Y;`
2. 目标函数定义：
- 最小化目标函数：`MIN = 2*X + 3*Y;`
- 最大化目标函数：`MAX = -X + 4*Y;`
3. 约束条件定义：
- 等式约束：`EQUATION C1: X + Y = 10;`
- 不等式约束：`INEQUATION C2: X >= 5;`
- 范围约束：`5 <= Y <= 20;`
4. 求解模型：
- 使用默认求解器求解：`SOLVE;`
- 指定求解器和参数：`SOLVE WITH LP_METHOD=3;` 以上是Lingo 的一些基本用法示例，实际上，Lingo 还提供了更多的功能和语法，用于描述更复杂的数学模型和问题。
它可以处理
线性规划、整数规划、混合整数规划等多种类型的问题，并提供了丰富的优化算法和工具来求解这些问题。
实验1用LINGO求解线性规划问题
实验用LINDO或LINGO求解线性规划问题实验目的1.对于给定的实际应用问题，正确的建立线性规划问题数学模型，并用LINDO或LINGO 求解；2.掌握灵敏度分析以及资源的影子价格的相关分析方法.问题1某工厂在计划期内要安排生产A、B两种产品，已知生产单位产品所需设备台时及对甲、乙两种原材料的消耗，有关数据如表1.1.问：应如何安排生产计划，使工厂获利最大？.LINDO输入语句：max 2x1+3x2stx1+2x2<=84x1<=164x2<=12end在LINGO的MODEL窗口内输入如下模型：model:max=2*x1+3*x2;x1+2*x2<=8;4*x1<=16;4*x2<=12;end选菜单Lingo|Solve(或按Ctrl+S),或用鼠标点击“求解”按纽，如果模型有语法错误，则弹出一个标题为“LINGO Error Message”(错误信息)的窗口，指出在哪一行有怎样的错误，每一种错误都有一个编号（具体含义可查阅相关文献或LINGO的Help）.改正错误以后再求解，如果语法通过，LINGO用内部所带的求解程序求出模型的解，然后弹出一个标题为“LINGO Solver Status”（求解状态）的窗口，其内容为变量个数、约束条件个数、优化状态、耗费内存、所花时间等信息，点击Close关闭窗口，屏幕上出现标题为“Solution Report”（解的报告）的信息窗口，显示优化计算（线性规划中换基迭代）的步数、优化后的目标函数值、列出各变量的计算结果.求解结果：Global optimal solution found at iteration: 5 Objective value: 14.00000Variable Value Reduced Cost X1 4.000000 0.000000 X2 2.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 14.00000 1.000000 2 0.000000 1.500000 3 0.000000 0.1250000 4 4.000000 0.000000该报告说明：运行5步找到全局最优解，目标函数值为14，变量值分别为124,2==x x .“Reduced Cost ”的含义是需缩减成本系数或需增加利润系数（最优解中取值非零的决策变量的Reduced Cost 值等于零）.“Row ”是输入模型中的行号，目标函数是第一行；“Slack or Surplus ”的意思是松弛或剩余，即约束条件左边与右边的差值，对于“≤”的不等式，右边减左边的差值为Slack （松弛），对于“≥”的不等式，左边减的右边差值为Surplus （剩余），当约束条件两边相等时，松弛或剩余的值等于零.“Dual Price ”的意思是对偶价格（或称为影子价格），上述报告中Row2的松弛值为0，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需设备8台时已经饱和，对偶价格1.5的含义是：如果设备增加1台时，能使目标函数值增加1.5.报告中Row4的松弛值为4，表明生产甲产品4单位、乙产品2单位，所需原材料乙8公斤还剩余4公斤，因此增加原材料乙不会使目标函数值增加，所以对偶价格为0.对于目标函数系数和约束条件右端常数项的灵敏度分析，可以通过LINGO 软件求解的灵敏度分析给出.如果要看灵敏度分析结果，必须激活灵敏度计算功能才会在求解时给出灵敏度分析结果，默认情况下这项功能是关闭的.想要激活它，必须运行LINGO|Options …命令，选择Gengral Solver ，在Dual Computation 列表框中，选择Prices and Ranges 选项并确定. 法一：打开command window ，输入range ；法二：LINGO ——options ——General Solver ——DualComputations ——Prices&Ranges ， 运行一遍，然后关掉，然后lingo-----range问题2 某公司饲养实验用的动物以供出售，已知这些动物的生长对饲料中3种营养成分（蛋白质、矿物质和维生素）特别敏感，每个动物每周至少需要蛋白质60g ，矿物质3g ，维生素8mg ，该公司能买到5种不同的饲料，每种饲料1kg 所含各种营养成分和成本如表1.2所示，如果每个小动物每周食用饲料不超过52kg ，求既能满足动物生长需要，又使总成本最低的饲料配方.问题3 设有四个化肥厂供应四个地区的农用化肥，假定等量的化肥在这些地区使用效果相同.已知各化肥厂年产量（单位：吨）、各地区年需要量以及从各化肥厂到各地区单位化肥的运价如表3.2.1所示（表中运价中“—”表示不适合）.试决定总的运费最节省的化肥调运方案.表3.2.1 化肥供应的平衡表与运价表问题4 某公司计划在东、西、南、北四个市区建立销售门市部，拟议中有10个位置(1,2,,10)j A j =可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，在东区由123,,A A A 三个点至多选择两个；在西区由45,A A 两个点中至少选一个；在南区由67,A A 两个点中至少选一个；在北区由8910,,A A A 三个点中至少选两个.j A 各点的设备投资及每年可获利润情况见表3.2.2所示 (单位：万元).但投资总额不能超过72万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?建立整数规划问题的数学模型，并用LINGO 求解.表3.2.2 四个市区的10个位置设备投资及每年利润表问题5 求解整数线性规划问题 12121212max 2535..436,0,379z x x x x s t x x x x =≤≤≥++⎧⎪+⎨⎪⎩全部为整数 思考题1.（1988年美国大学生数学建模竞赛试题）有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去.包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t,以厘米计）及重量（w ，以公斤计）是不同的.表3.2.4给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量.每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨.由于当地货运的限制，对567,,C C C 类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子在两辆平板车上所占的总空间（厚度）不能超过302.7厘米.试把包装箱（见表3.2.4）装到平板车上去使得浪费的空间最小.。
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加工奶制品的生产计划
问题 品加工厂用牛奶生产1A ，2A 两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲用12小时加工成3公斤1A ，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤2A 。
根据市场需求，生产的1A ，2A 全部能售出，且每公斤1A 获利24元，每公斤2A 获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间魏480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤1A ，设备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下三个附加问题：
1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？ 若投资，每天最多购买多少桶
牛奶？
2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？
3） 由于市场需求变化，每公斤1A 的获利增加到30元，应否改变生产计划？
问题分析 这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产1A ，用多少桶牛奶生产2A ，决策受到3个条件的限制：原料（牛奶）供应、劳动时间、设备甲的工作能力。
按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就得到下面的模型。
基本模型
决策变量：设每天用1x 桶牛奶生产1A ，用2x 桶牛奶生产2A 。
目标函数：设每天获利Z 元。
1x 桶牛奶可生产31x 公斤1A ，获利1324x ⨯，2x 桶牛奶可生产42x 公斤2A ，获利2416x ⨯，故Z=216472x x +.
约束条件
原料供应：生产1A ，2A 的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即1x +2x ≤50桶； 劳动时间：生产1A ，2A 的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即121x +82x ≤480小时；
设备能力：1A 的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即31x ≤100；
非负：1x ，2x 均不能为负值，即1x ≥0，2x ≥0。
综上可得 Max Z=216472x x + (1)
s.t. 1x +2x ≤50 (2)
121x +82x ≤480 (3)
31x ≤100； (4)
1x ≥0，2x ≥0 (5)
这就是该问题的基本模型。
由于目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的，所以称为线性规划（Linear Programming,简记作LP ）.
模型分析与假设
1）1A ，2A 两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A ，2A 的数量和所需时间是与它们各自产量无关的常数；
2）1A ，2A 每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A ，2A 的数量和所需的时间是与它们相互产量无关的常数；
3）加工1A ，2A 的牛奶的桶数可以是任意实数。
软件实现 求解线性规划有不少现成的数学软件，比如用LINDO 软件就可以很方便的实现。
在LINDO6.1版本下打开一个新文件，像书写模型（1）—（5）一样，直接输入：
max 72x1+64x2
st
2)x1+x2<50
3)12x1+8x2<480
4)3x1<100
end
注：LINDO 中已经规定所有的决策变量均为非负，故（5）式不必输入；乘号省略，式中不能有括号，右端不能有数学符号；模型中符号，≤，≥用<=,>=形式输入，它们与<,>等效；输入文件中第一行为目标函数，2），3），4）是为了标示个约束条件，便于从输出结果中查找相应信息；程序最后以end 结束。
将文件存储并命名后，选择菜单“solve ”并对提示“DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS ?”(灵敏性分析)回答“是”，即可得到如下输出：
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION V ALUE
1) 3360.000
VARIABLE V ALUE REDUCED COST
X1 20.000000 0.000000
X2 30.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 48.000000
3) 0.000000 2.000000
4) 40.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
V ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE
X1 72.000000 24.000000 8.000000
X2 64.000000 8.000000 16.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 50.000000 10.000000 6.666667
3 480.000000 53.333332 80.000000
4 100.000000 INFINITY 40.000000
上面结果的第3，5，6行明确告诉我们，这个线性规划的最优解为x1=20,x2=30,最优值为Z=3360，即用20桶牛奶生产1A ，30桶牛奶生产2A ，可获最大利润3360元。
结果分析
上面的输出中除了告诉我们问题的最优解和最优值以外，还有许多对分析结果有用的信息，下面结合题目中提出的3个附加问题给予说明。
（1）3个约束条件的右下端不妨看作3种“资源” ：原料、劳动时间、设备甲的加工能力。
输出第7~10行“SLACK OR SURPLUS ”给出这3种资源在最优解下是否有剩余：2）原料，3）劳动时间的剩余均为零，4）设备甲尚余40公斤加工能力。
一般称“资源”剩余为零的约束称为紧约束。
（2）目标函数可以看作“效益” ，成为紧约束的“资源”一旦增加，“效益” 必然跟着增长。
输出第7~10行“DUAL PRICE ”给出这3种资源在最优解下“资源”增加一个单位时“效益”的增量：2）原料增加1个单位（1桶牛奶）时利润增长48元，3）劳动时间增加一个单位（1小时）时利润增加2元，而增加非紧约束4）设备甲的能力显然不会使利润增长。
这里，“效益”的增量可以看作“资源”的潜在价值，经济学上称为影子价格，即1桶牛奶的影子价格为48元，1小时劳动的影子价格为2元，设备甲的影子价格为零。
可以用直接求解的方法验证上面的结论，即将输入文件中原料约束2）右端的50改为51，看看得到的最优值（利润）是否恰好增长48元。
用影子价格很容易回答附加问题1）：用35元可以买一桶牛奶，低于1桶牛奶的影子，当然应该作这项投资。
回答附加问题2）：聘用临时工人以增加劳动时间，付给的工资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润，所以工资最多是每小时2元。
（3）目标函数的系数发生变化时（假定约束条件不变），最优解和最优值会改变吗？这
个问题不能简单的回答。
上面输出的第13~17行“CURRENT COEF”的“ALLOWABLE INCREASE”和“ALLOWABLE DECREASE”给出了最优解不变条件下目标函数系数的允许变化范围：x1的系数为（72-8，72+24），即（64，96）；x2的系数为（64-16，64+8），即（48，72）。
注意：x1系数的允许范围需要x2 系数64不变，反之亦然。
A的获利增加到30元，则x1的系数变用这个结果很容易回答附加问题3）：若每公斤
1
=90，在允许范围内，所以不应该改变生产计划。
为303
（4）对“资源”的影子价格作进一步的分析。
影子价格的作用（即在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”的增量）是有限制的。
上面输出的第18~23行“CURRENT RHS”的“ALLOWABLE INCREASE”和“ALLOWABLE DECREASE”给出了影子价格有意义条件下约束右端的限制范围：2）原料最多增加10桶牛奶，3）劳动时间最多增加53小时。
现在可以回答附加问题1）的第2问：虽然应该批准用35元买一桶牛奶的投资，但每天最多购买10桶牛奶。
顺便指出，可以用低于每小时2元的工资聘用临时工人以增加劳动时间，但最多增加53小时。