初中数学常见辅助线的添加方法

中考数学复习专题
——几何论证题中辅助线的添加方法
例1： 如图：等腰梯形ADBC 中AB ∥CD ，底角∠ABC=450
对角线AC 、BD 交于点O ，且∠BOC=1200
求：
BC
AD 的值
分析：在已知条件中，底角∠ABC=450，有的同学想到延长两腰，出现一个
等腰直角三角形。

而在本题中这样添辅助线，反而增加解题困难，因为
∠BOC=1200 的条件不能很好的运用。

故本题添辅助线时，应考虑过上底顶点D （或A ）作对角线的平行线，把梯形问题转化为平行四边形及顶角为1200的等
腰三角形问题，而解等腰三角形时，常添的辅助线是作底上的高，这样不难求BC
AD 的比值。

证明：过D 点作DF ∥AC 交BC 的延长线于F ，作DE ⊥BC 于E
AD ∥BC AD=CF
AC ∥DF ⇒⇒ACFD 平行四边形
AC=DF 等腰梯形ABCD ⇒ DB=AC ⇒BD=DF
AC ∥DF ⇒∠BDF=∠BOC=1200
DE ⊥BF
∠BDE=600
⇒ BE=EF ⇒BE=EF=a 3
∠BED=900
设a DE =
DE ⊥BC a CE DE == a AD CF )13(-==
⇒ ⇒
∠BCD=450 EF=a 3 a CE BE BC )13(+=+=
⇒
32)13()13(-=+-=a a BC AD .
例 如图：已知直线PQ 是线段AB 的中垂线， C 是OQ 上的任意一点，若OD ⊥BC 于D ，M 是OD 的中点
求证：CM ⊥AD
分析：在已知条件中，PQ 是线段AB 的中垂线，同学们肯定想到连结AC
运用线段中垂线性质，但证明此题这样的添线与其它已知条件的应用没有多大关系，这种添线不能解答本题，而图中出现“母子三角形”，使我们想到能否运用三角形相似及线段成比例来解本题。

而要证CM ⊥AD ，从图中观察到如能证得∠1=∠A ，那么CM ⊥AD 即可成立；而∠A 除了在Rt △AON 中，它还在△AOD 中，若把∠1也放到与△AOD 相似的三角形中，结论就可成立。

因此构筑一个与△AOD 相似的三角形是本题解答的关键。

而已知条件M 是OD 的中点，想到
增添中点（或添平行线）的方法，故取OC 的中点为G ，想法证明△AOD ∽ △CGM 。

通过基本图形分析，发现∠2=∠3，故∠AOD=∠CGM 。

因此证：GM
CG OD AO =是本题又一关键。

证明：取OC 的中点为G ，连GM,
∵PQ 是AB 的中垂线,
∴∠BOC=900设OA=OB=a ，OD=b .
∵OD ⊥BC,
∴∠CDO=∠ODB=900
∵∠4+∠3=900，∠3+∠B=900 .
∴∠4=∠B ，△COD ∽△OBD .
∴b
a OD OB CD OC ==，G 、M 为OC 、OD 的中点. ∴OC=2CG ，CD=2GM..
∴OD
OA b a OD OB GM CG ===22，△AOD ∽△CGM . 1=∠A.
∵∠A+∠ANO=900
∴∠1+∠CNH=900
即∠NHC=900，CM ⊥AD.
例3：如图：正方形ABCD 中，E 、F 分别AB 、BC 的中点，
AF 和DE 交于点P
求证：CP=CD
图（1）
分析：要证明CP=CD ，因为CP 、CD 在同一三角形中，一般三种思路可证： 思路（1）：只要证对角相等，即证∠1=∠2。

如图（1）分别寻找∠1、∠2的等是正方形，∴AB ∥CD ，∠2=∠AEP ，∠1=？，延长CP 交AB 于G ，∴∠1=∠EPG 。

要证∠1、∠2只要证∠AEP=EPG ，由已知可知，E 、F 为AB 、BC 的中点可证：△AED ≌△BFA ，可得AF ⊥DE ，P 为垂足。

假设∠AEP=∠EPG ，G 可能为AE 的中点，因此证PG 为AE 的中线是本思路证题的关键。

本题出现“母子”三角形基本图形故不难，推得PA
PE AD AE ==21，设PE 为a ，PA 为2a ，PD 为4a ，因为AE ∥CD ，可推得PE:PD=EG:CD=1:4。

由此可证得G 为AE 的中点，PG 是AE 的中线，∠AEP=∠EPG 成立。

从分析的过程中得到思路
（2），CD PC AB AB AE PG PC PG CD EG PD PE ==∴=====,4
121,41 思路（3）：要证CP=CD ，只要证：C 在线段PD 的中垂线上，取AD 的中点，连AFCH 为平行四边形，由思路（1）可知，AF ⊥DE ，故CH ⊥DE ，再证：CH 平分PD ，通过Rt △APO 易证CH 平分PD 。

证明方法（1）：
∵E 、F 为AB 、BC 的中点，ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∠B=∠DAE ，BF=AE ∴△ADE ≌△BAF ，∴∠ADE=∠EAP
∵∠EAP+∠DAP=900，∴∠ADE+∠DAP=900，∴∠APD=∠APE=900， ∵∠ADE=∠EAP ，∴△APE ∽△DPA ，
∴a PE AP PE AD AE 为设,
21== ∴a PD PD PE AP a AP 4,,22=∴⋅== ，AB ∥CD
∴
===AB
AE PD PE CD EG ,411:2， ∴G 为AE 的中点，PG=EG
∵∠GEP=∠GPE ，
∵∠GPE=∠1，∠GEP=∠2
∴∠1=∠2，CP=CD
证明方法（2）（如图2）：
取AD 的中点为H ，连CH 、PH..
∵ABCD 是正方形，∴BC ∥AD ，BC=AD ，F 、H 为BC 、AD 的中点， ∴CF ∥AH ，CF=AH ，
∴AFCH 为平行四边形.
∴CH ∥AF ，由证明方法（1）可知AP ⊥DE ，故CH ⊥P.
在Rt △APO 中，PH 为斜边中线， ∴DH AD PH ==2
1，∴CH 垂直平分PD ，∴CP=CD.
例4：⊙O 1与⊙O 2相交于点A ，P 是O 1O 2的中点
（1）如图（1）如果AC 切⊙O 2于点A ，交⊙O 1于点C ，D 是AC 的中点
求证：PA=PD
（2）如图（2）如果过点A 作两圆的一条割线交⊙O 1于点C ，交⊙O 2于点B ，
点D 是BC 的中点，那么PA 与PD 是否相等？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由。

图（1） 图（2）
分析（1）：由已知可知，P 为O 1O 2的中点，D 为AC 的中点，AC 切于⊙O 2于点A 。

想到常用辅助线，连O 1D 、O 2A ，由O 1D ⊥AC ，O 2A ⊥AC ，得O 1D ∥O 2A ，作PG ∥O 2A 可证得G 为AD 中点，PG 垂直平分AD ，可证得PA=PD
分析（2）：通过观察发现PA=PD ，理由是什么？由已知条件，分别作O 1E ⊥AC ，PH ⊥BC ，O 2F ⊥AB ，P 为O 1O 2的中点，所以H 为EF 中点，要证：PD=PA ，只要证：DH=AH ，现在只要证DE=AF ，因为DE=CD —CE ，AF=EF —AE ，因为
CE=AE ，所以证CD=EF 是本题的关键，而BC CD 21=，所以只要证BC EF 2
1=即可。

证明（1）：在图（1）中连O 1D 、O 2A ，作PG ∥O 2A..
∵D 为AC 中点， ∴O 1D ⊥AC.
∵AC 切于⊙O 2于点A ，
∴O 2A ⊥AC.
∴O 2A ∥O 1D ∥PG ..
∵P 为O 1O 2的中点,
∴G 为AD 的中点，且PG ⊥AD.
∴PA=PD.
证明（2）：作O 1E ⊥BC 于E ，PH ⊥BC 于H ，O 2F ⊥BC 于F,
∴O 1E ∥PH ∥O 2.
∵P 为O 1O 2的中点,
∴H 为EF 的中点，E 为AC 的中点，F 为AB 的中点.
BC AB AC AB AC AF AE EF 2
1)(212121=+=+=+= , ∵BC CD 2
1=, ∴CD=EF ，AF=EF —AE ，DE=CD —CE.
∴AF=DE.
∵EH=PH,
∴DH=AH ，PH ⊥AD.
∴PA=PD.
从以上四例中，你是否有所收益，拿到几何题以后，应认真分析已知条件找出证题中有用的隐含条件，当直接用已知条件论证发生困难时，想到各题中隐含的常用辅助线，化繁就简，化难为易，在添辅助线时，切记要随题意，要充分运用每个已知条件。

有的在关键点上添辅助平行线，有的需增添线段中点，有的需倍长中线，有的只要延长某条线段等等，不要硬性添作，把简单的问题复杂化，反而误导论证思路。

希望我的分析给同学带来启发。