6.第六章 期权定价公式
期权定价理论知识
z
t
t
➢ 由特征1知道， 本身也具有正态分布。均值为零，
标准差为 ，方差为 ；
➢ 由特征2知道，遵循标准布朗运动的变量具有独立增
量的性质；
普通布朗运动
➢ 我们先引入两个概念：漂移率和方差率；
➢ 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0.
股票与证券价格的变化
➢ 我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得 到变量x 的普通布朗运动：
dx adt bdz
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 ➢ 标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移率为0, 方差为1的普通布朗运动；
• 漂移率——单位时间内变量z均值的变化值； • 显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程; • adt 为确定项，漂移率a 意味着每单位时间内x 漂移a
期权定价理论
第六章 期权定价理论
第一节 BSM期权定价模型的思路 第二节 股票与证券价格的变化 第三节 BSM期权定价公式的推导 第四节 BSM模型的评价与应用
引言
1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black(费雪.布莱 克)和 Myron Scholes(梅隆.舒尔斯)发表了《期权与公司负债 定价》疑问，提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股 票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年， Robert C. Merton(罗伯特.莫顿)独立地提出了一个更为一般 化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济 学奖。
df
f S
S f
t
1 2
2 f S 2
2S
2
dt
f S
Sdz
观察得到，影响期权价格的中的dz上，即股票价格及其衍生产品——期权
期权及其定价
8
第一节 期权市场介绍
二.期权交易及合约 6.期权的常用记号（股票期权）（出售一股标的资产）
执行价格: X ； 到期时刻：T ； t 时刻标的资产价格：S(t) t 时刻美式看涨期权（买权）价格记为 C(t) t 时刻美式看跌期权（卖权）价格记为 P(t) t 时刻 欧式看涨期权（买权）价格记为 c(t) t 时刻欧式看跌期权（卖权）价格记为 p(t)
（3）期权的价值=内在价值+时间价值
在到期日，所有期权的时间价值都为零，期权价值
变为内在价值。
13
第二节 期权定价
一.期权定价导言 2.期权价值的决定因素（股票期权） （1）股票价格 （2）执行价格 （3）股票价格波动率：由于期权持有者最多损失有限的
期权费，但可能在股票价格的大幅波动中获利丰厚。所 以期权价值会随着股票价格波动率的上升而增加。 （4）到期期限：对美式期权和欧式期权的影响不同。由 于到期期限长的美式期权包含了到期期限短的美式期权 的获利机会，而且还有到期期限短的美式期权所没有的 获利机会，所以期期限长的美式期权价值总是不低于到 期期限短的美式期权的价值。而欧式期权由于只能到期 执行，到期期限的增加不一定能增加其价值。
（8）期权费（期权价格）：是买方为获取权利而向卖方
支付的费用，它是期权合约中的唯一变量，也就是期权
的市场价格，其大小取决于期权合约的性质、到期期限
及执行价格等各种因素，其确定颇费周折。注意，不管
期权有没有被执行，卖方始终持有期权费。
5
金融工程学 第六章
394
2.5×(355-350)
355 320
2.5×(320-350)
288 黄金价格可能走势: 上、上、下、上、上、下、下、下、下
2013-7-4
-100
22
价值估计
2.5(437 350)- 200 2.5(395 350) 5 6 1.034 1.034 2.5(355 350) 2.5(320 350) 7 8 1.034 1.034 2.5(288 350)- 100 9 1.034 所有路径下金矿的平均值称为当开业价410和 停业价290时金矿的最优估计值。
0
1月
2月
1.004
55.13
5.13 2.5
52.5
股票 50 47.5 49.88
c
0
0 0
13
45.13
2013-7-4
续
5.13 2.5
c
0 0 0
c
cu cd
cuu cud cdd
r d p 0.54 ud 1 cu pcuu 1 p cud 2.76 r cd 0
2013-7-4 10
风险中性概率
p
uS
S
1 c pcu 1 p cd r 其中 rd p ud — 风险中性概率
1-p
dS
按风险中性概率，股票到期期望收益为
puS 1 p dS rd r d uS 1 dS ud ud rS
2013-7-4
20
停业决策和开业决策
437 394 355 320 288 259 233
黄金价格二叉树 u=1.11, d=0.90
2013-7-4 21
期权价格计算公式
期权价格计算公式股票的价格变化遵循一维维纳过程，其微分方程如下 dz t s b dt t s a ds ),(),(+=式中：dz 的差分∆Z 满足如下条件的正态分布t z ∆=∈∆在一般情况下，ds 可用下式表示：sdz sdt ds σμ+=----------- （1）或表示为：dz dt sds σμ+= 式中：s μ股票价格的期望漂移率，μ 为一个恒定参数；2)(s σ为股票价格波动的方差， σ 为股票价格的波动率，可以通过观察股票价格的动态系列数据获得。
如果存在一个变量 G ，它是股票S 的一种衍生证卷，它的价格是S 和 t 的函数，G(s,t)，那么，S 和G 都受到同一个基本的不确定性因素的影响。
根据ITO 定理，函数G 的行为遵循如下微分方程描述的过程：Sdz S G dt S S G t G S S G dG σσμ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)21(2222 -------------（2）函数G 的漂移率为222221S SG t G S S G σμ∂∂+∂∂+∂∂ 方差为222)(S SG σ∂∂如果G 代表股票S 的一种期权，我们想用S 和G 构造一组风险中性的证卷组合。
为此，首先将公式（1）、（2）改写成对应的差分形式：z S t S S ∆+∆=∆σμ ---------------（3）z S SG t S G t G S S G G ∆∂∂+∆∂∂+∂∂+∂∂=∆σμ)21(22 ----------（4） 由于公式（3）、（4）中的z ∆t ∆=∈(）是相同的维纳过程，只要证卷数量的搭配合理，整卷组合就可以消除z ∆。
恰当的证卷组合是：-1； 卖空一个期权S G∂∂+；买入期权价值变化对股票价格的敏感度，也就是他的偏微分那样多的股票。
定义这个证卷组合的价值为∏，表达式为 S S G G ∏∂∂+-= ---------（5）t ∆时间后，这个证卷组合的价值变化为：S S G G ∆∂∂+∆-=∆∏ -----------（6）将（3）、（4）带入（6），消去z ∆，得：t S S G t G ∆∂∂-∂∂-=∆∏)21(2222σ ---------（7）由于这个证卷组合是风险中性的，所以，它的收益一定与任何一个无风险证卷的收益相同，就是∏∏∆=∆t r ---------（8）将（5）、（7）带入（8），得：t S SG G r t S S G t G ∆∂∂-=∆∂∂+∂∂)()21(2222σ 将上式进一步化简，得：rG S G S S G rS t G =∂∂+∂∂+∂∂222221σ --------（9）这就是获得诺贝尔奖的Black-Scholes 微分方程。
期权定价期权定价公式
期权定价—期权定价公式什么是期权定价？期权定价是指确定期权在市场上的合理价格的过程。
期权是一种金融工具，它授予买方在未来某一特定时间点购买或出售标的资产的权利，而不是义务。
期权的价格取决于多种因素，包括标的资产价格、行使价格、到期时间、无风险利率和波动率等。
期权定价的目标是确定一个公平的市场价格，使得买卖双方在交易中均获得合理回报。
对于买方来说，期权的价格应该对应于未来可能获得的收益；对于卖方来说，期权的价格应该对应于承担的风险以及可能获得的收益。
期权定价公式的重要性期权定价公式是用于计算期权合理价格的数学模型。
它基于一些假设和前提条件，通过对相关变量进行运算，得出期权的价格。
期权定价公式对于市场参与者来说具有重要意义，它为投资者提供了一个参考，可以帮助他们做出更明智的投资决策。
期权定价公式的提出可以追溯到20世纪70年代初，当时经济学家Fischer Black 和 Myron Scholes 提出了著名的Black-Scholes模型。
该模型基于一些假设，包括期权在到期前不支付股息、标的资产价格在特定时间内的变动是连续且满足几何布朗运动以及市场不存在无风险套利机会等。
Black-Scholes模型是第一个用于计算期权价格的理论模型，它提供了一个简单而有效的方法来评估期权的价格。
在此之后，许多其他的期权定价模型相继被提出，如Binomial模型、Trinomial模型、Monte Carlo模拟和Heston模型等。
这些模型都是基于不同的假设和计算方法，用于满足不同的情景和需求。
期权定价公式的基本要素期权定价公式通常包括以下几个基本要素：1.标的资产价格（S）：标的资产是期权所关联的基础资产，它可以是股票、商品、外汇等。
标的资产价格是期权定价的一个重要变量，它代表了期权的内在价值。
2.行使价格（X）：行使价格是期权合约约定的价格，买方可以在到期时基于该价格购买或者出售标的资产。
行使价格与标的资产价格之间的差异会影响期权的价值。
期权定价公式及其应用
企业风险管理
总结词
企业风险管理是期权定价公式的另一个重要应用领域，帮助企业识别、评估和管 理风险。
详细描述
期权定价公式在识别和管理企业风险方面发挥着重要作用。例如，通过使用期权 定价公式，企业可以评估和管理供应链风险、汇率风险和其他潜在风险。此外， 期权定价公式还可以帮助企业评估和管理投资项目的风险。
在房地产金融领域，二叉树模型被广 泛应用于可赎回房地产投资信托基金 （REITs）的定价。例如，某REIT发 行了一份额额为100万元的优先股， 并授予投资者在三年后以120万元赎 回的权利。投资者可以利用二叉树模 型计算该优先股在赎回日的市场价值 ，从而判断投资该REIT的潜在收益和 风险。
期权定价公式在投资决策中的应用案例
为了计算利率衍生品的价格，需要使用利率模型。常用的利率模型包括Vasicek模型、 Cox-Ingersoll-Ross模型等。这些模型可以模拟即期利率的动态变化，从而为利率衍生品 定价。
06
期权定价公式在实际操作 中的应用案例分析
基于Black-Scholes模型的期权定价案例
总结词
详细描述
应用案例
总结词
详细描述
应用案例
期权定价公式可以用于评估投资项目 的风险和潜在收益，指导投资者做出 更加明智的投资决策。
利用期权定价公式，投资者可以计算 出不同投资项目在不同时间点的预期 收益和风险。例如，对于一个具有重 大战略意义的项目，投资者可以选择 购买或出售相关资产的期权来对冲风 险。此外，投资者还可以利用期权定 价公式评估其他投资项目的潜在收益 和风险，如股票、债券、房地产等。
提高金融市场效率
期权定价公式的应用有助于提高 金融市场的信息传递和流通效率 ，使市场价格更及时、准确地反
6_期权定价的连续模型及BS公式
Black-Scholes方程的结果认为，由于在方程中消掉 了漂移项 ，而漂移项代表人们对证券价格未来变化的预期， 也即证券的风险期望收益率。因此，这意味着期权的价格与 人们对证券价格未来变化的预测无关，投资者的风险偏好并 不影响期权价格。
2020/11/28
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从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定公式中出 现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的 波动率（σ）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主 观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标 的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。
38
应该注意的是： 实际期权交易中，很多看涨期权是通过竞价市场而非
理论公式定价。
2020/11/28
39
习题： 若某日某股票的相关数据如下，求V
S0 80 X 100
0.8
r 0.05
期权定价公式及其应用
20世纪60年代末，两人开始合作研究期权的定价问 题,并找到了建立期权定价模型的关键突破点,即构造一 个由标的股票和无风险债券的适当组合(买入适当数量的 标的股票,同时按无风险利率借入适当金额的现金)。该 组合具有这样的特点,即无论未来标的资产价格如何变化, 其损益特征都能够完全再现期权在到期日的损益特征。
一、 标的资产价格变化对期权价值的一阶影响 通常用Delta来表示期权价值对标的资产价格St变动 的敏感性。
D e lta c C t S tN (d 1 )
从而 Deltac 可以近似地表示为：
C 0 e x p { r ( t 1 t 0 ) } C 1 S 0 e x p r ( t 1 t 0 ) S 1
(五) Black-Scholes 公式
定理 1 a)股票价格设所满足的方程（1）中的系数均为常数,
则期权价格由下式给出：
T
(t,St)EQ[et rsdsh(ST) t]
e h(Se ) r(Tt)
Tty(12r)(Tt)
2 t
1 2
y2
e 2dy
证明：a) (1)
由于
S
t
所满足的方程(1)中的系数为常数，
VegpaVegca
当期权处于平价状态时，其Vega值较大； 当期权处于较深的盈价或亏价状态时， 相应的Vega值较小。 因此，期权Vega随变化的曲线是一个倒U形。
五、到期时间长短对期权价值的影响
由于到期时间的临近,期权的时间价值下降,这就造成 期权的价格下降。
时间价值的消耗用Theta表示，买权Theta的定义为
第三，假设股票的期望报酬(即股价变化的平均值)为零， 这也违背了股票市场的实际情况。
(2) 斯普伦克莱 ( Sprenkle ,1961) 在Bachelier的研究基础上,人们对期权定价问题进行 了长期的研究。
6.期权定价(3)
467 676
807 900 -93
NPV(1982) =PV(inflows) -PV(investment) = 467 – 676 = 寻找类似的资产，也就是那些与投资机会具 有相似风险的可交易股票。使用这些参照资产收 益的平均标准差作为基准来评判投资机会的风险。 Q3：决策的原则是什么？ 进行闪电标号Ⅰ型项目就能得到对投资闪电 Ⅱ型项目的扩张项目，因此NPV=-46+55=9(百万 美元)。
Option Price
Stock Price
Option to Wait
More time = More value
Option Price
Stock Price
Eg： 鲱鱼加工厂期权的价值评估 决定投资1.8亿美元，那么就拥有了一个值2亿美元的项目。 1年后，如果市场低迷，项目现金流为1600万美元，项目 的价值就下降到1.6亿美元。如果市场需求旺盛，项目价 值提升到2.5亿美元。
第2步：计算 N (d1 ) N (d2 )
N (d1 ) 0.5775 N (d 2 ) 0.4633
第3步：利用B-S公式求期权价值
[ N (d1 ) P] [ N (d2 ) PV ( EX )] [0.5775 430] [0.4633 430 /1.015] 52.04(美元)
1983 100 0 50 60
Year 1984 159 0 100 59
1985 295 0 100 195
1986 185 0 -125 310
1987 0 0 -125 125
NPV at 20% = - $46.45, or about -$46 million
闪电计算机公司评估闪电标号Ⅰ型项目，未达到20%的门 槛收益率，且NPV=-4600美元。 考虑到战略价值，该项目带来的后续项目的看涨期权 具有很大的价值。 评估出闪电Ⅱ型项目看涨期权的价值为5500万美元， 闪电标号Ⅰ型项目净现值为-4600万美元，结果为900万美 元。 考虑到后续投资的价值，公司应该投资闪电标号Ⅰ型 项目。
期权定价公式
期权定价公式期权定价公式是：期权价格=内在价值+时间价值。
期权定价模型，由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出。
该模型认为，只有股价的当前值与未来的预测有关；变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关。
模型表明，期权价格的决定非常复杂，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。
期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品的选择权。
期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量，其高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题。
在国际衍生金融市场的形成发展过程中，期权的合理定价是困扰投资者的一大难题。
随着计算机、先进通讯技术的应用，复杂期权定价公式的运用成为可能。
简单期权定价模型。
我们把股价随机末态简化为两个等效的等概率量子态，要么50%的概率上涨到+1X的右边一个标准差处，要么50%的概率下跌到-1X的左边一个标准差处。
显然，对于认购期权，在-1X末态的行权收益是0；在+1X末态的行权收益是S*(1+σ)-K。
其中S是当前（初态）股价，K是到期日的行权价。
根据初态=末态期望值的原理，认购期权价格C=0.5*0+0.5*[S*(1+σ)-K]= 0.5*[S*(1+σ)-K]。
这对于平值和浅度虚值期权是适用的。
对于平值期权K=S，C=0.5*S*σ。
比如，当前股价S=3.3元，月波动率为σ=6%，那么行权价K=3.3元，剩余T=30天期限的平值认购期权价格就是，C=0.5*3.3*6%=0.0990元。
对于深度实值期权，当股价末态为-1X处，仍然会有行权收益。
所以，认购期权价格C=0.5*[S*(1-σ)-K]+0.5*[S*(1+σ)-K]=S-K。
比方说，对于深度实值期权实三K=3.0元，当股价从当前价S=3.3元下跌至末态（-1X处）ST=3.1元，仍然会有3.1-3.0=0.1元的行权收益。
所以，实三期权价格C=S-K=3.3-3.0=0.3元。
期权定价分析公式说明文档
2. 选定
, 代入 BS 公式计算期权价格得 。判断 是否成立， 若成立则 并且退出计算; 若不成立, 则继续 判断 是否成立，若成立，则赋值 ; 若不成立 则赋值 。 （波动率下限 , 波动率上限 ） 3. 把波动率上下限代入 BS 公式分别计算对应的期权价格， 记为 。 （其中我们采用边界条件： ） 4. 令 , 代入 BS 公式计算其相应 的期权价格，即为 , 判断 <0.001 是否成立，若成立则最后 ，并退出计算; 若不成立, 则判断 ，若成立，则进行赋 值 ， ；若不成立，则进行赋值 。然 后循环计算直到满足条件为止。
3.1.3 Gamma 的计算： Gamma 的定义为 . 以及二阶导数的近似公式为： 我们可以取 因此我们首先计算 最后得到： 情况下的值： , .
3.1.4 Vega 的计算： Vega 的定义为: 波动率值。选取 。同样的， 表示客户输入的 情况下，计算相应的 V 值记为
. 容易得到 vega 值为：
3.1.5 Rho 的计算： Rho 的定义为： . r 表示客户输入的无风险利
率。 同样选取不同的无风险利率： 0.9r, r, 1.1r, 用二叉树方法 计算相应的 V 值为： . 容易得到 Rho 值为：
3.2 BS 公式中的敏感性参数计算
BS 公式只能计算欧式期权，而且对于看涨看跌期权有不同 的敏感性参数计算公式。具体如下图所示：
5， 6，
表示二叉树中期权价格上涨的幅度，d 表示下跌的幅度。 表示风险中性概率 表示无风险利率, 表示标的价格的
波动率。上述两个 p 的表达式中，后者适用期货期权。 7， 表示时间步长，T 表示期权的到期日。以年为单位。
无红利的美式看跌期权的逆向递推公式为：
边界条件为：
布莱克-舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： ❖ 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 ❖ 允许卖空标的证券 ❖ 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 ❖ 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 ❖ 不存在无风险套利机会 ❖ 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 ❖ 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
❖ 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。
❖ 风险中性定价的一般程序：
所有资产的预期收益率都等于无风险利率 确定衍生工具的边界条件，计算到期日的期望值 把期望值按无风险利率贴现
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用：
S
(m, s) 表示均值为m ，标准差为s的正态分布
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖
但是，在一个较长的时间T后，
S S
不再具有正态分
布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
❖ 因此，尽管 t 是短期内股票价格百分比收益率 的标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。
❖ 在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b2T ，标准差b T 。
❖ 标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
❖ 假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函数
dx adt bdz
率进行贴现后的现值，即：
金融工程(6.14)第六章(一)
一、布莱克—斯科尔斯模型
• “布莱克—斯科尔斯模型”是一个对金融理论、 商业实践及经济运行及其他有关领域产生巨大影 响的模型。这在社会科学中是比较罕见的。
• 费谢尔·布莱克(Fisher Black)曾是芝加哥大学的 教授，后就职于高盛公司(Goldman Sachs)；迈 隆·斯科尔斯(Myron Scholes)原是斯坦福大学的 教 授 ， 后 加 盟 长 期 资 本 管 理 公 司 (Long-Term Capital Management, LTCM)。后者曾因此而获 得诺贝尔经济学奖。
且也不存在税收问题。
• 资产交易是连续的，价格变动也是连续的（连续 复利）
• 收益率呈对数正太分布 • 金融市场上的投资者都是风险中立者
4
C S N(d1 ) KerT N(d 2 )
d1
ln
S K
r T
2 2
T
d2
T
；d2
二、二叉树期权定价模型
• 二叉树期权定价模型就是将这一时期细分成 若干个时间区间，并假设在这一特定时段里 基础资产的价格运动将出现两种可能的结果， 然后在此基础上构筑现金流动的模式和推导 期权的价格。
12
二项式期权定价模型的假设
• 最基本的模型为不支付股利的欧式股票看 涨期权定价模型；
• 股票市场和期权市场是完全竞争的，市场 运行是非常具有效率的
d1
ln
S K
r T
2 2
T
ln
110 105
0.08 0.25
0.25 2
2 0.75
0.75
431金融学综合公式大全
431金融学综合公式大全金融学综合公式是金融学中非常重要的一部分，它们被广泛应用于金融市场的理论与实践中。
以下是一些常用的金融学综合公式：1.期货价格公式：期货价格=现货价格×(1+无风险利率-履约价格)2.期权定价公式（布莱克-斯科尔斯定价模型）：期权价格=现货价格×N(d1)-履约价格×e^(-r×T)×N(d2)其中，d1 = [ln(S/K) + (r + (σ^2)/2) × T] / (σ × √T)d2=d1-σ×√TS为现货价格，K为履约价格，r为无风险利率，σ为资产价格的年化波动率，T为期权到期时间，N为标准正态分布的累积函数。
3.股票估值模型（戴维·格拉恩贝格模型）：股票价格=[EPS×(1+g)]/(r-g)其中，EPS为每股收益，g为盈利增长率，r为资本成本。
4.资本资产定价模型（CAPM）：预期收益率=无风险利率+β×(市场风险溢价)其中，β为资产的贝塔系数，市场风险溢价为市场的平均收益率减去无风险利率。
5.黄金定价公式：黄金价格=客观价值+市场情绪+无风险利率6.黑-斯科尔斯模型（债券定价模型）：债券价格=[C×(1-(1/(1+r)^n))]/r+(F/(1+r)^n)其中，C为每期支付的利息，F为债券的面值，r为市场利率，n为剩余期限。
7.盈利质量指标（韦恩多尔夫盈余模型）：盈利质量=未经审核的盈余/未经审核的收益以上是一部分金融学综合公式，它们在金融学的理论与实践中起着重要的作用。
这些公式的应用可以帮助金融从业人员进行分析决策，对金融市场进行定价与估值，以及评估投资风险和回报。
当然，在实际应用过程中，还需要结合实际情况进行适当的调整和修正。
第六章期权定价理论
VT () V0 () (1 r)V0 ()
2024/1/11
25
由此得：
ST cT 0
（3.1)
由于在到期时刻股票价格有两种可能性，所以在组合的价值也有 两种可能性，但由于构造的是无风险组合，那么我们有
STu
cTu
S
d T
cTd
由（3.1）和（3.2），我们知：
2024/1/11
30
(t,t dt)
2、B—S微分方程
构造组合：
c S
选取适当的 ，使得在 (t,t dt) 时段内， 是无风险的。
利用无套利理论和ITO引理，即可得到著名的B——S微分方程
c t
rS
c S
1 2S2
2
2c S 2
rc
2024/1/11
31
3、B——S期权定价公式
2024/1/11
19
cT 45 40 5
根据期权到期时的收益
cT ST 40
由题设，在到期日，期权的价值亦有两种可能性：若股票价格上
扬，期权的收益为 cT 45 40 5；若股票价格下跌，则 cT 35 40 0 ，即期权一文不值。
基本思想：无套利定价法 在开始时刻，构造一个投资组合
32
根据欧式看涨看跌的平价公式，对于无收益资产的看跌期 权，其定价公式为：
pt Xe r(T t) N (d 2 ) SN (d1 )
2024/1/11
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例 已知A公司股票的价格 S(t)服从几何布朗运动，即满足随机方程：
dSt St
0.2dt 0.35dWt
公司股票现在的市价是$92，到期期限为50天、执行价格为$95的该公司 股票欧式看涨期权的价格是多少？（无风险利率为7.12%）
第六章 black-schols期权定价模型
的值
相互独立。
考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得:
（6.2）
N
z(T ) z(0) i t i 1
T i
(6.2)式t均值0为0，方差为
（ 是相互独立的 ）
当
时d，z我们就可dt以得到极限的标准布朗运动:
（6.3）
2.普通布朗运动
我们先引入两个概念: 漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
r( f
f S
S )t
布莱克——舒尔斯微分分程
化简为:
f rS f t S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
(6.18)
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它 适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生 证券的定价。
（二）风险中性定价原理
假设所有投资者都是风险中性的, 那么所有现金流量都可以通过无 风险利率进行贴现求得现值。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得到变量x 的 普通布朗运动:
dx adt bdz
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。
（6.4）
(三)伊藤过程 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若
把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的
函数，dx我们a可(以x,从t )公dt式(b6(.x4), 得t )d到z伊藤过程
S f
t
1 2
2 f S 2
2S
2
)dt
f S
Sdz
(6.10)
根据伊藤引理，衍生证券的价格 f 应遵循如
伊藤引理证明:
期权价格计算公式
期权价格计算公式
期权价格计算公式：
期权价值=内在价值+时间溢价
内在价值：是指期权立即执行产生的经济价值。
时间溢价：时间带来的“波动的价值”，是未来存在不确定性而产生的价值。
期权的内在价值的影响因素：
内在价值的大小，取决于期权标的资产的现行市价与期权执行价格的高低。
期权价值的影响因素：
股票市价、无风险利率：与看涨期权价值同向变动，看跌期权价值反向变动。
无风险利率越高，执行价格的现值越低。
执行价格、预期红利：与看涨期权价值反向变动，看跌期权价值同向变动。
期权有效期内预期红利发放，会降低股价。
到期期限：对于美式期权来说，到期期限越长，其价值越大；对于欧式期权来说，较长的时间不一定能增加期权价值。
股价波动率：股价的波动率增加会使期权价值增加。
在期权估值过程中，价格的变动性是最重要的因素。
如果一种股票的价格变动性很小，其期权也值不了多少钱。
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dG (
这个随机过程的特征： 普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方 差率。 在任意时间长度T之后，G的变化仍然服从 正态分布，均值为 ( 2 ) ，方差 2 为 (T t) 。标准差仍然可以表示为 ， 和时间长度平方根成正比。 T－t
§1 期权的基本概念
按期权买者执行期权的时限划分，期 权可分为欧式期权和美式期权。 欧式期权：只能在期权到期日执行； 美式期权：可以在有到期日和到期日 之前的任何时间执行； 修正的美式期权（百慕大期权或大西 洋期权）：可以在期权到期日之前的 一系列规定日期执行。
§1 期权的基本概念
按照期权合约的标的资产划分，金 融期权合约可分为利率期权、货币 期权（或称外汇期权）、股价指数 期权、股票期权以及金融期货期权。
§1 期权的基本概念
（三）期权的基本要素： 1、这种期权能够买（对于看涨期权而言）或者卖 （对于看跌期权而言）的对象，或者说，合约是 关于哪种资产的合约，我们称这种资产为标的物 (underlying asset)。 以股票为标的物的期权，每份期权通常包括 100份特定的股票。例如，持有一份以IBM公司 股票为标的物的看涨期权，是一份可以买100 份IBM公司股票的权利。
模型基本假设
无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市 场 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均 为无风险利率 股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的 标的股票 对卖空没有任何限制 标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗运 动
为什么研究证券价格变化的过程
期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源 就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资 产价格的影响。因此期权定价使用的是相对定价 法，即相对于证券价格的价格，因而要为期权定 价首先必须研究证券价格。 期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资 产价格与合约执行价格之间的预期差异变化，在 现实中，资产价格总是随机变化的。需要了解其 所遵循的随机过程。 研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在 特定时刻，变量取值的概率分布情况。
§1 期权的基本概念
（四）期权的特征
1、权利和义务的不对称性
期权的买者有权利无义务，到期日可选择执行 或不执行期权，卖方有配合买方执行期权的义 务。 作为给期权卖者承担义务的报酬，期权买者要 支付给期权卖者一定的费用，称为期权费 （Premium）或期权价格（Option Price）。 期权费视期权种类、期限、标的资产价格的易 变程度不同而不同。
2
2
)dt dz
G ~ [( 2 )(T t ), T t ]
2
两个重要结论（1）
标的资产价格
看跌期权的损益
对于欧式看跌期权而言，上述结果正好 反过来。假设一种看跌期权，它以某种 股票为标的物，该股票在时间t 的价格 以 St 表示，期权的执行价格为 K ，到期 日为 T，期权在时间 t 的价格为 p
看跌期权的损益
看跌期权的买方：
y max 0, K ST p K ST p
S 但是，在一个较长的时间T后， 不再具有 S
正态分布的性质：
多期收益率的乘积问题 因此，尽管σ 是短期内股票价格百分比收益率的 标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。股票价格的年波动率 并不是一年内股票价格百分比收益率变化的标准 差。
几何布朗运动的深入分析（3）
影响期权价格的因素
执行价格：在标的资产到期日价格相同的 条件下，执行价格越高，买入期权的价格 越低；卖出期权的价格越高。 标的资产价格：标的资产的市场价格越高， 买入期权的价格越高；卖出期权的价格越 低。 现金股利的影响：当期权不受现金股利保 护时，公司发放现金股利将降低股票买入 期权的价值，提高股票卖出期权的价值。
§1 期权的基本概念
2、执行价格
这个价格是执行期权合约时，可以 以此价格购买标的物的价格。对于 以IBM公司股票为标的物的看涨期权， 如果执行价格为150美元，则在执行 这种期权时，按每份股票150美元购 买。
§1 期权的基本概念
3、期权有效的时间区间由到期日来确定。 时间区间可以是一天、一个星期、或者一年。以 IBM公司股票为标的物的看涨期权，如果到期日 为六个月，则在这六个月里，权利都是有效的。 4、期权应该包括是否可以在到期日之前执行这种 权利。 如果在到期日之前的任何时间以及到期日都能执 行，我们称这种期权为美式期权。如果只能在到 期日执行，称为欧式期权。
期权定价方法
克服困难不确定性, 以便采用无套 利原理对期权进行定价: 二项式定价方法， 布莱克—舒尔斯定价方法, 蒙特卡罗模拟法。
影响期权价格的因素
距到期日的时间：距到期日的时间越长， 美式期权的价格越高，因为期权价格发生 有利于买方的机会越多。 标的资产价格的稳定性：标的资产的价格 波动越大，越不稳定，期权的价格越高。 市场利率：市场利率越高，买入期权未来 支付执行价的现值越低，其价值越高；卖 出期权未来执行时得到的收入的现值越低， 其价值也越低；
几何布朗运动的深入分析（1）
在很短的时间Δ t后，证券价格比率的变化值
S t S t
S S
为：
S 可见，在短时间内， S 具有正态分布特征
S ~ ( t , t ) S 其均值为 t ，标准差为 t ，方差为 2 t 。
几何布朗运动的深入分析（2）
§3 B-S公式的初步认识
本章的主要目的：如何确定以金融证券为标的物的 欧式期权的价格。 研究思路：价格是收益的现值 不考虑期权的价格，欧式看涨期权的收益：
SN K
其中
布
定价的公式。
§4 金融中的一些重要参数
§4 金融中的一些重要参数
§4 金融中的一些重要参数
期权是一种金融衍生工具。
§1 期权的基本概念
（二）期权合约的种类 按期权买者的权利划分，期权可分为看涨期权 （Call Option）和看跌期权（Put Option）。 看涨（认购）期权：到期日时买方有购买的 权利，卖方有出售的义务。交易者之所以买入看 涨期权，是因为他预期标的资产的价格会在合约 期限内上涨，如果判断正确，按协定价买入标的 资产并以市价卖出，就可以赚取其差额。 看跌（认沽）期权：到期日时买方有出售的 权利，卖方有购买的义务。
§4 金融中的一些重要参数
§4 金融中的一些重要参数
§5 期权定价的连续模型
Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖 模型基本假设8个
无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。 标的股票不支付红利 期权为欧式期权
期权卖方（期权的写者）：
y
( K c) S , S K c, S K
0, ST K c ST K y c max
期权的基本收益形式
看涨期权的买方 收益
S---标的资产价格；
K
K---执行价格；
-C
C---看涨期权价格。
看涨期权的卖方
收益
C
K
§1 期权的基本概念
2、损失有限特性
例1、A公司股票当前股价是40元，对 于三月到期的看涨期权，如果目前市 场价格是4元，则购买股票和股票期权 的损益如下表：
到期时 买进股票投资为40元 买进看涨期权投资为4元 的股价/元 利润 利润 利润率/% 利润率/%
30 35 40 45 50 55 60
看跌期权的卖方：
y p max 0, K ST p K ST
看跌期权的买方Hale Waihona Puke K-P收益K
标的资产价格
S---标的资产价格； K---执行价格；
-P
不考虑期权价格
R=K-S,S<K R=0, S>K
P---看跌期权价格。
看跌期权的卖方
收益
P
K
标的资产价格
-(K-P)
-10 -5 0 5
10 15 20
-25
-4 -4 -4 1
6 11 16
-12.5 0
12.5 25 37.5 50
-100 -100
-100
25 150 275 400
§1 期权的基本概念
3、杠杆性 购入买入期权：设某股票S＝38，K＝40。C＝4。 t＝3个月。则购入一份期权合约的支出是400。如果期 权有效期内股票价格始终小于40，买入者亏损400；如 果股票价格大于40，买入者开始收回投资，如果股票 价格大于44，买入者开始盈利。 如果股票价格升至48元，买入者盈利400元。而 如果投资者直接买入股票，400元只能购入10.5股股票， 每股获利10元，总计获利105元。另一方面，如果股票 价格仅升至41元，规模股票可盈利31.5元，而购买买 入期权则会发生亏损。 二者的差距反映了期权的杠杆效应。
第六章 期权定价公式
§1 期权的基本概念
§2 期权的损益
§3 B-S公式的初步认识 §4 金融中的一些重要参数 §5 期权定价的连续模型 §6 期权定价的离散模型 §7 B-S公式的统计分析
§1 期权的基本概念
（一）期权合约的定义 期权是指合约买方（期权的买者）向卖 方（期权的写者）支付一定的费用（称为 “期权费”或“期权价格”），买方在规 定期限内（或约定日期）按事先约定的价 格或执行价格向合约卖方购买或出售一定 数量某种产品（或标的资产）的权利的契 约。
证券价格的变化过程
目的：找到一个合适的随机过程表达式，来尽量 准确地描述证券价格的变动过程，同时尽量实现 数学处理上的简单性。 基本假设：证券价格所遵循的随机过程：