定积分习题及答案教学内容

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定积分习题与答案

第五章定积分(A)1．利用定积分定义计算由抛物线12+=x y ，两直线)(,a b b x a x >==与横轴所围成的图形的面积。

2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： 3．估计下列各积分的值4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ⎰21ln )1xdx 与dx x ⎰212)(ln dx e x⎰10)2与⎰+10)1(dx x5．计算下列各导数 6．计算下列极限7．当x 为何值时，函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？8．计算下列各积分⎰2)()8dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧+=2211)(x x x f11>≤x x9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： 10.计算下列定积分11.利用函数的奇偶性计算下列积分12．设f （x ）在[]b a ,上连续，证明：⎰⎰-+=ba ba dx xb a f dx x f )()(13．证明：)0(1111212>+=+⎰⎰x x dx x dx x x14．计算下列定积分15.判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值。

1）⎰∞+14xdx2）⎰+∞-0dx e ax ()0>a3）dx ee x x ⎰∞+-+014）⎰+∞->>0)0,0(sin ωωp tdt e pt5）⎰-121x xdx 6）⎰-211x xdx7）⎰∞+∞-++222x x dx8）()⎰-e x x dx 12ln 1 (B)1．填空： 1）________)12111(lim =++++++∞→nn n n n 。

2）估计定积分的值：_____sin 1____342≤+≤⎰ππx dx。

3）运用积分中值定理可得：⎰-→xa a x x f dt t f a x )(()(1lim 是连续函数）＝________，______)0(sin lim =>⎰+∞→a dx xxa n n n 。

17定积分与微积分基本定理(含答案)

17定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1 b －a nf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个□01常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，即⎠⎛abf (x )d x ＝lim n →∞ ∑ni ＝1b －an f (ξi )．其中f (x )称为□02被积函数，a 称为积分□03下限，b 称为积分□04上限． 2.定积分的几何意义性质1：⎠⎛a b kf (x )d x ＝□01k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)．性质2：⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝□02⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a b g (x )d x . 性质3：⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋□03⎠⎛c b f (x )d x . 4．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛abf (x )d x ＝□01F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F (b )－F (a )记为F (x )b a ，即⎠⎛abf (x )d x ＝F (x )b a ＝□02F (b )－F (a )． 5．定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S . (1)S ＝⎠⎛a b f (x )d x ；(2)S ＝□01－⎠⎛ab f (x )d x ； (3)S ＝□02⎠⎛ac f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x ； (4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x . 6．定积分与函数奇偶性的关系函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛a －a f (x )d x ＝0.练习1.如图，指数函数的图象过点E (2，9)，则图中阴影部分的面积等于( ) A.8ln 3 B ．8 C.9ln 3D ．9答案 A解析设指数函数为y ＝a x (a >0且a ≠1)，因为其过点E (2,9)，所以a 2＝9，解得a ＝3，所以图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛023x d x ＝＝8ln 3. 2.已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0 到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A ．10t 20 B ．5t 20 C.103t 20 D.53t 20 答案 B 解析3．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，则等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在答案 C 解析＝＝13x 310＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 221＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2－12×22－⎝⎛⎭⎪⎫2－12＝13＋4－2－2＋12＝56. 4. ＝( )A ．7 B.223 C.113 D ．4答案 C 解析＝＝⎝⎛⎭⎪⎫4x －x 3310＝4－13＝113.5. 的值为________．答案 2(e －1) 解析＝2⎠⎛01e x d x ＝2·e x 10＝2(e －1)．6．若f (x )＝3＋2x －x 2，则＝________.答案 π解析令y ＝3＋2x －x 2，则(x －1)2＋y 2＝4(y ≥0)，所以函数f (x )的图象是以(1,0)为圆心，2为半径的圆在x 轴上方(包括x 轴)的部分，所以＝14×π×22＝π7．如图，已知点A (0,1)，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上移动，过P 点作PB垂直x 轴于点B ，若图中阴影部分的面积是四边形AOBP 面积的13，则P 点的坐标为________．答案 (1,1)解析由题意，点P (x 0，y 0)，则梯形AOBP 的面积为12(1＋y 0)x 0＝12(1＋x 20)x 0，且阴影部分的面积为又阴影部分的面积是梯形AOBP 面积的13，∴13x 30＝13×12(1＋x 20)x 0，解得x 0＝0或x 0＝±1；取x 0＝1，则y 0＝1，∴P 点的坐标为(1,1)．8.如图，矩形OABC 中曲线的方程分别是y ＝sin x ，y ＝cos x .A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，C (0,1)，在矩形OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.43－1πB.42－1πC ．4(3－1)πD ．4(2－1)π答案 B解析由题可知图中阴影部分的面积故选C.9．如图，点M 在曲线y ＝x 上，若由曲线y ＝x 与直线OM 所围成的阴影部分的面积为16，则实数a 等于( )A.12B.13C ．1D ．2答案 C解析由题意，M (a ，a )，直线OM 的方程为y ＝xa，故所求图形的面积为得a ＝1，故选C.10．若函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(A >0，ω>0)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为________．答案2－32解析由图可知，A ＝1，T 2＝2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，T ＝2π，∴ω＝1，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴图中的阴影部分的面积为＝1－32＝2－32. 11．一物体做变速直线运动，其 v t 曲线如图所示，则该物体在12～6 s 间的运动路程为________ m.答案 494解析由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 0≤t <1，21≤t ≤3，13t ＋13<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得所以物体在12～6 s 间的运动路程是494m.12．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g答案 C解析由题意知电视塔高为＝2g －12g ＝32g .13.若则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1 答案 B 解析因为所以，S 2<S 1<S 3.14．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．5 3 C.323D.353答案 C解析联立⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝3－x 2，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－6，由图可知，阴影部分的面积可表示为＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13－1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×－3－13×－33－－32＝323. 15．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数的估计值为( )A ．5000B ．6667C ．7500D ．7854答案 B解析图中阴影部分的面积为⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 310＝23，又正方形的面积为1，则10000个点落入阴影部分个数估计为10000×23≈6667，故选B.16．若＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 A解析 ∵(x 2)′＝2x ，(ln x )′＝1x ，∴⎠⎛1a⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝＝(a 2－1)＋ln a ，由＝3＋ln 2(a>1)，所以(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2，所以a ＝2.17．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．－2答案 C解析由f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ，得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .∵x ＝0是原函数的一个极值点，∴f ′(0)＝b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，⎠⎛a 0(x 3－ax 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4－13ax 30a＝0－a 44＋a 43＝a 412＝112，∴a ＝±1.函数f (x )与x 轴的交点横坐标一个为0，另一个为a ，根据图形可知a <0，得a ＝－1.18．如图，由两条曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围成的图形的面积为________．答案4 3解析令y＝－1得到A(－2，－1)，B(－1，－1)，C(1，－1)，D(2，－1)．设围成的图形的面积为S，因为y轴两边的阴影部分关于y轴对称，所以。

定积分典型例题20例标准答案

定积分典型例题20例答案例1 求33322321lim(2)n n n n n®¥+++．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x nD =，然后把2111n n n =×的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim (2)n n n n n ®¥+++=333112lim ()n n n n nn ®¥+++=13034xdx =ò．例2 2202x x dx -ò=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -ò等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ³) 与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -ò=2p．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t pp-££），则，则222x x dx -ò=2221sin cos t tdt pp --ò=22021sin cos t tdt p-ò=2202cos tdt pò=2p例3 （1）若22()x t x f x e dt -=ò，则()f x ¢=___；（2）若0()()xf x xf t dt =ò，求()f x ¢=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ¢¢=-ò．解（1）()f x ¢=422x x xee---；（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =ò，则可得可得()f x ¢=()()xf t dt xf x +ò．例4 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=ò，则(26)f =_________．解对等式310()x f t dt x -=ò两边关于x 求导得求导得32(1)31f x x -×=，故321(1)3f x x-=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =．例5 函数11()(3)(0)xF x dt x t =->ò的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x ¢=-，令()0F x ¢<得13x>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．为所求．例6 求0()(1)arctan xf x t tdt =-ò的极值点．的极值点．解由题意先求驻点．于是()f x ¢=(1)arctan x x -．令()f x ¢=0，得1x =，0x =．列表如下：如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．为极小值点．例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=ò，[1,1]x Î-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n ®¥．分析两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ¢¢=．解由已知条件得由已知条件得2(0)(0)0tf g e dt -===ò，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x-=¢¢===-．故所求切线方程为y x =．而．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n®¥®¥-¢=×==-．例8 求 22sin lim(sin )x x x tdt t t t dt®-òò；分析该极限属于型未定式，可用洛必达法则．型未定式，可用洛必达法则．解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt ®-òò=2202(sin )lim(1)(sin )x x x x x x ®-××-=220()(2)lim sin x x x x ®-×-=304(2)lim 1cos x x x ®-×- =2012(2)lim sin x x x®-×=0．注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．x (,0)-¥(0,1)1 (1,)+¥()f x ¢-＋－例9 试求正数a 与b ，使等式2021lim1sin xx t dt x b x a t®=-+ò成立．成立．分析易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则．解 20201lim sin x x t dt x b x a t ®-+ò=220lim 1cos x x a x b x ®+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x ®®×-+201lim 11cos x x b xa ®==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x ®-=，得1b =．又由．又由 2012lim11cos x x xaa®==-，得4a =．即4a =，1b =为所求．为所求．例10 设sin 20()sin xf x t dt =ò，34()g x x x =+，则当0x ®时，()f x 是()g x 的（的（）． A ．等价无穷小．．等价无穷小． B ．同阶但非等价的无穷小．．同阶但非等价的无穷小． C ．高阶无穷小．．高阶无穷小．D ．低阶无穷小．解法1 由于由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x x g x x x ®®×=+ 2200cos sin(sin )lim lim 34x x x x x x ®®=×+ 22011lim 33x x x ®==．故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到的幂级数，再逐项积分，得到sin223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+ò，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f xg x x x x ®®®-+-+===++．例11 计算21||x dx -ò．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -ò＝0210()x dx xdx --+òò＝220210[][]22x x --+＝52．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时在使用牛顿－莱布尼兹公式时,,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=ò，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界积区间内无界. .例12 设()f x 是连续函数，且1()3()f x x f t dt =+ò，则()________f x =．分析本题只需要注意到定积分()baf x dx ò是常数（,a b 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而1()f t dt ò是常数，记1()f t dt a =ò，则，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==òò．所以所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=，从而14a =-，所以，所以 3()4f x x =-．例13 计算2112211x xdx x-++-ò．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解2112211x x dx x -++-ò=211112221111xxdx dx x x--++-+-òò．由于22211x x +-是偶函数，而211xx +-是奇函数，有112011x dx x-=+-ò, 于是于是 2112211x xdx x-++-ò=212411x dx x+-ò=2212(11)4x x dx x--ò=11200441dx x dx --òò由定积分的几何意义可知12014x dx p-=ò, 故2111022444411x xdx dx x p p -+=-×=-+-òò．例14 计算22()x d tf x t dt dx -ò，其中()f x 连续．连续．分析要求积分上限函数的导数，要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，因此不能直接求导，必须先换必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．，然后再求导．解由于由于220()xtf x t dt -ò=22201()2xf x t dt -ò．故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以，所以22()x tf x t dt -ò=201()()2xf u du -ò=21()2x f u du ò，故220()x d tf x t dt dx -ò=201[()]2x d f u du dx ò=21()22f x x ×=2()xf x ．错误解答 22()x d tf x t dt dx -ò22()(0)xf x x xf =-=．错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xa d x f t dt f x dx¢F ==ò中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．导，而应先换元．例15 计算3sin x xdx pò．分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解 3s i n x x d x pò3(c o s )x d x p=-ò330[(c o s )](co s )x x x d x pp=×---ò 30cos 6xdx pp=-+ò326p=-．例16 计算1200ln(1)(3)x dx x +-ò．分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-ò=101ln(1)()3x d x +-ò=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-×--+ò =101111ln 2()2413dx x x-++-ò 11ln 2ln324=-．例17 计算20sin x e xdx pò．分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解由于2sin xe xdx pò20sin xxde p=ò220[sin ]cos xxe x e xdx p p=-ò220cos xe e xdx p p=-ò，（1）而2cos xe xdx pò20cos xxde p=ò2200[cos ](sin )xxe x e x dx p p=-×-ò 2sin 1xe xdx p=-ò，（2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式可得）式可得2sin xe xdx pò220[sin 1]xe e xdx p p=--ò,故20sin xe xdx pò21(1)2e p=+．例18 计算10arcsin x xdx ò．分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解10arcsin x xdx ò210arcsin ()2x xd =ò221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =×-ò 21021421x dx x p=--ò．（1）令sin x t =，则，则2121x dx x-ò2202sin sin 1sin t d t tp =-ò220sin cos cos t tdt tp=×ò220sin tdt p=ò 201cos 22t dt p-==ò20sin 2[]24t t p-4p =．（2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式中得）式中得1arcsin x xdx =ò8p ．例19设()f x [0,]p 上具有二阶连续导数，()3f p ¢=且0[()()]cos 2f x f x xdx p¢¢+=ò，求(0)f ¢．分析分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解由于0[()()]cos f x f x xdx p ¢¢+ò00()sin cos ()f x d x xdf x p p¢=+òò[]0000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx pppp¢¢¢=-++òò()(0)2f f p ¢¢=--=．故 (0)f ¢=2()235f p ¢--=--=-．例20 计算2043dx x x +¥++ò．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解 2043dx x x +¥++ò=20lim 43t t dx x x ®+¥++ò=0111lim ()213t t dx x x ®+¥-++ò =011lim [ln ]23t t x x ®+¥++=111lim (ln ln )233t t t ®+¥+-+ =ln 32．。

定积分典型例题及习题答案

04 定积分习题答案及解析
习题一答案及解析
要点一
答案
$frac{1}{2}$
要点二
解析
根据定积分的几何意义，该积分表示一个半圆的面积，半径为1，因此结果为半圆的面积，即$frac{1}{2}$。
习题二答案及解析
答案：$0$
解析：由于函数$f(x) = x$在区间$[-1, 1]$上为奇函数，根据定积分的性质，奇函数在对称区间上的积分为0。
定积分的分部积分法
总结词
分Hale Waihona Puke 积分法是一种通过将两个函数的乘积进行求导来计算定积分的方法。
详细描述
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行求导来找到一个函数的定积分。具体来说，对于两个函数u(x)和v'(x)，其乘积的导数为u'v+uv'，其中u'表示u对x的导数。分部积分法可以表示为∫bau(x)v'(x)dx=∫bau'(x)v(x)dx+∫bau(x)v(x)dx，其中u'(x)和u(x)分别是u对x的导数和函
定积分典型例题及习题答案
目录
• 定积分的基本概念 • 定积分的计算方法 • 定积分典型例题解析 • 定积分习题答案及解析
01 定积分的基本概念
定积分的定义
总结词
定积分的定义是通过对函数进行分割、近似、求和、取极限等步骤来得到的。
详细描述
定积分定义为对于一个给定的函数f(x)，选择一个区间[a,b]，并将其分割为n个小区间，在每个小区间上选择一个代表点，并求出函数在这些点的近似值，然后将这些近似值进行求和，最后取这个和的极限。
数值。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转换为更简单的形式进行计算。

定积分题目及答案

定积分题目及答案定积分（DefiniteIntegral）是求解一定范围内函数值的积分，也就是说获得一定范围內函数的总和。

定积分可以用于计算曲线围成的面积，这就是经典地定积分公式，即：∫a b f(x)dx = F(b) - F(a)这里F(x)表示从x = a 到 x = b 的函数f(x)在任意取值时f(x)的积分，从数学上讲就是函数F(x)的反函数，叫做反积分，是微积分领域里最重要的概念之一。

解定积分问题，就要先根据函数的特性和定积分区间确定积分的类型，然后用定积分的几何形式和数学形式来求解。

一、几何形式法几何形式法在求由直线交织而成的函数的积分时特别有用，常见的几何形式有落圆式，锐角式，三角式，折线式，对称折线式等。

求几何形式法的定积分可以根据公式：∫a b f(x)dx = (b-a)hf(i)公式中，i表示定积分区间的分割点，h表示该分割点的步长，即f(i)表示该分割点处的函数值。

二、数学形式法将定积分的问题转化成数学形式，然后求得结果，就是用数学形式法求定积分。

数学形式法主要分三步：1）先要得到积分函数函数原函数 F（x）的易解形式；2）再利用这个易解形式，求出F（x）在指定范围内的积分 F（b）-F（a）；3）最后返回结果。

例题1：求函数f ( x )=3x3-2x2-x+（1）在区间［2,6］内的定积分解：F(x)=x^4-x^3-0.5*x^2+CF(6)-F(2)=1093/2-21+C∫2 6f ( x )dx=1093/2-21+C例题2：求函数 f ( x )=2x2-3x2+（1）在区间［0,1］内的定积分解：F(x)=-x^3+x^2+CF(1)-F(0)=-1+C∫0 1f ( x )dx=-1+C。

定积分试题及答案详解

定积分试题及答案详解1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$。

答案：首先，我们需要找到被积函数 $x^2$ 的原函数。

原函数为$\frac{1}{3}x^3$。

接下来，我们计算定积分：\[\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{3}(0)^3 = \frac{1}{3} - 0 =\frac{1}{3}\]所以，定积分的值为 $\frac{1}{3}$。

2. 求定积分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$。

答案：对于被积函数 $\frac{1}{x}$，其原函数为 $\ln|x|$。

计算定积分：\[\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_{1}^{2} = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2)\]因此，定积分的值为 $\ln(2)$。

3. 计算定积分 $\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx$。

答案：被积函数 $\sin(x)$ 的原函数是 $-\cos(x)$。

计算定积分：\[\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx = [-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2\]所以，定积分的值为 2。

4. 求定积分 $\int_{0}^{1} (2x + 3) dx$。

答案：被积函数 $2x + 3$ 的原函数为 $x^2 + 3x$。

计算定积分：\[\int_{0}^{1} (2x + 3) dx = [x^2 + 3x]_{0}^{1} = (1^2 + 3\cdot 1) - (0^2 + 3 \cdot 0) = 1 + 3 - 0 = 4\]因此，定积分的值为 4。

定积分习题及讲解

定积分习题及讲解第四部分定积分[选择题]容易题1—36，中等题37—86，难题87—117。

1．积分中值定理⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ,其中( ）。

(A ） ξ是],[b a 内任一点；（B ）。

ξ是],[b a 内必定存在的某一点； (C ）. ξ是],[b a 内唯一的某一点；（D ）。

ξ是],[b a 的中点.答B2．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎰=0,0,)()(2x cx x dt t tf x F x，其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续,则=c （）。

（A).0=c ; (B)。

1=c ; (C ）.c 不存在；（D)。

1-=c . 答A3．a dx x x I an nn (,1sin lim ⎰=+∞→为常数）由积分中值定理得⎰=+a n n a dx xx ξξ1sin 1sin ,则=I （）。

(A ）aa a a an 1sin1sinlim 1sinlim 2==→∞→ξξξξξ；定积分习题及讲解（B ）。

01sinlim 0=→ξξa ；(C)。

a a =∞→ξξξ1sinlim ;(D ）.∞=∞→ξξξ1sinlim a .答C4．设)(x f 在],[b a 连续，⎰=x a dt t f x )()(ϕ，则( ）。

(A).)(x ϕ是)(x f 在],[b a 上的一个原函数； (B)。

)(x f 是)(x ϕ的一个原函数； (C). )(x ϕ是)(x f 在],[b a 上唯一的原函数; (D)。

)(x f 是)(x ϕ在],[b a 上唯一的原函数.答A5．设0)(=⎰b a dx x f 且)(x f 在],[b a 连续，则（ ).(A).0)(≡x f ;(B ）。

必存在x 使0)(=x f ;（C).存在唯一的一点x 使0)(=x f ； (D ）。

不一定存在点x 使 0)(=x f 。

第6章定积分的应用习题集及答案

第六章习题定积分的应用一．选择题1．曲线x y ln =、a y ln =、b y ln =（b a <<0）和y 轴所围图形的面积为（ C ）（A ）⎰ba xdx ln ln ln ；（B ）⎰be a e xdx e ；（C ）⎰ba ydy e ln ln ；（D ）⎰ae b e xdx ln ．2．曲线x e y =下方与该曲线过原点的切线左方和y 轴右方所围图形的面积为（a ）（A ）⎰-10)(dx ex e x ；（B ）⎰-edy y y y 1)ln (ln ；（C ）⎰-e x x dx x e e 1)(；（D ）⎰-10)ln (ln dy y y y ．3．摆线)sin (t t a x -=、)cos 1(t a y -=（0>a ）的一拱（π20≤≤t ）与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为（ D ）（A ）⎰-ππ2022)cos 1(dt t a ；（B ）⎰--at t a d t a ππ2022)]sin ([)cos 1(；（C ）⎰-a dt t a ππ2022)cos 1(；（D ）⎰--ππ2022)]sin ([)cos 1(t t a d t a ． 4．曲线θρcos 2a =(0>a )所围图形的面积为（ D ）（A ）⎰22)cos 2(21πθθd a ；（B ）⎰-ππθθd a 2)cos 2(21；（C ）⎰πθθ202)cos 2(21d a ；（D ）⎰202)cos 2(212πθθd a ．5．连续曲线)(x f y =与直线a x =、b x =（b a <≤0）及x 轴围成的图形绕y 轴旋转一周生成的旋转体体积为（ B ）（A ）⎰ba dx x xf )(2π；（B ）⎰ba dx x f x )(2π；（C ）⎰ba dx x xf )(22π；（D ）⎰ba dx x f x )(22π． 6．半径为R 的半球形水池已装满水．要将水全部吸出水池，需做功的为（ C ）（A ）⎰-Rdy y R 022)(π；（B ）⎰Rdy y 02π；（C ）⎰-Rdy y R y 022)(π；（D ）⎰Rdy y 03π．二．计算题1．求曲线221x y =与822=+y x 所围图形（上半平面部分）的面积．解：易知：曲线221x y =与822=+y x 的交点为(2,2)±。

定积分习题答案

定积分习题答案定积分习题答案定积分是高等数学中的一个重要概念，它是对函数在一定区间上的面积进行求解的方法。

在学习定积分的过程中，我们经常会遇到各种各样的习题，需要通过计算来求解。

本文将为大家提供一些定积分习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

1. 计算定积分∫(0, 1) x^2 dx。

解：根据定积分的定义，我们需要求解函数x^2在区间[0, 1]上的面积。

由于函数x^2是一个二次函数，它在[0, 1]上是单调递增的，因此可以直接使用定积分的公式进行计算。

∫(0, 1) x^2 dx = [x^3/3] (0, 1) = 1/3 - 0 = 1/3。

所以，定积分∫(0, 1) x^2 dx的结果为1/3。

2. 计算定积分∫(1, 2) 2x dx。

解：根据定积分的定义，我们需要求解函数2x在区间[1, 2]上的面积。

由于函数2x是一个一次函数，它在[1, 2]上是单调递增的，因此可以直接使用定积分的公式进行计算。

∫(1, 2) 2x dx = [x^2] (1, 2) = 4 - 1 = 3。

所以，定积分∫(1, 2) 2x dx的结果为3。

3. 计算定积分∫(0, π/2) sin(x) dx。

解：根据定积分的定义，我们需要求解函数sin(x)在区间[0, π/2]上的面积。

由于函数sin(x)是一个周期为2π的函数，且在[0, π/2]上是单调递增的，因此可以直接使用定积分的公式进行计算。

∫(0, π/2) sin(x) dx = [-cos(x)] (0, π/2) = -cos(π/2) + cos(0) = -1 + 1 = 0。

所以，定积分∫(0, π/2) sin(x) dx的结果为0。

4. 计算定积分∫(0, 1) x^3 - 2x^2 + x dx。

解：根据定积分的定义，我们需要求解函数x^3 - 2x^2 + x在区间[0, 1]上的面积。

由于函数x^3 - 2x^2 + x是一个三次函数，它在[0, 1]上是单调递增的，因此可以直接使用定积分的公式进行计算。

（完整版）定积分习题及答案

第五章定积分(A 层次)1．203cos sin xdx x ；2．a dx x ax222；3．31221xxdx ；4．1145x xdx ；5．411xdx ；6．14311xdx ；7．21ln 1e xx dx ；8．02222xxdx ；9．dx x 02cos 1；10．dx x x sin 4；11．dx x 224cos 4；12．55242312sin dx xxx x ；13．342sin dx xx ；14．41ln dx xx ；15．1xarctgxdx ；16．202cosxdx e x ；17．dx x x 02sin ；18．dx x e 1ln sin ；19．243cos cos dx x x ；20．40sin 1sin dx x x ；21．dx xxx 02cos 1sin ；22．2111lndx xx x ；23．dx xx 4211；24．20sin ln xdx ；25．211dx xxdx0。

(B 层次)1．求由0cos 0x y ttdtdte 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。

2．当x 为何值时，函数x tdt tex I 02有极值？3．x xdt t dxd cos sin 2cos 。

4．设1,211,12xx x x xf ，求20dx x f 。

5．1lim22xdtarctgt xx 。

6．设其它,00,sin 21xx xf ，求x dt t f x。

7．设时当时当0,110,11xex xxf x，求201dx xf 。

8．2221limnn nnn。

9．求nk nknknnen e 12lim 。

10．设x f 是连续函数，且12dt t f x x f ，求x f 。

11．若2ln 261xtedt ，求x 。

12．证明：212121222dxeex。

13．已知axxx dx ex axa x 224lim，求常数a 。

定积分习题及答案

定积分习题及答案定积分习题及答案定积分是微积分中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

掌握定积分的计算方法和应用是学习微积分的关键。

在本文中，我们将介绍一些常见的定积分习题，并给出详细的解答。

1. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。

解答：根据定积分的定义，我们可以先求出x^2的不定积分，然后再进行定积分的计算。

x^2的不定积分为(1/3)x^3，所以∫(0 to 1) x^2 dx = (1/3)x^3 |(0 to1) = (1/3)(1^3 - 0^3) = 1/3。

2. 计算定积分∫(1 to 2) (2x + 1) dx。

解答：根据定积分的性质，我们可以将定积分拆分为两个部分：∫(1 to 2) 2x dx + ∫(1 to 2) 1 dx。

第一个部分的不定积分为x^2，第二个部分的不定积分为x。

所以∫(1 to 2) (2x + 1) dx = (x^2) |(1 to 2) + (x) |(1 to 2) = (2^2 - 1^2) + (2 - 1)= 4 - 1 + 1 = 4。

3. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。

解答：sin(x)的不定积分为-cos(x)，所以∫(0 to π) sin(x) dx = (-cos(x)) |(0 to π) = -cos(π) - (-cos(0)) = 1 - (-1) = 2。

4. 计算定积分∫(0 to 1) e^x dx。

解答：e^x的不定积分为e^x，所以∫(0 to 1) e^x dx = (e^x) |(0 to 1) = e^1 -e^0 = e - 1。

5. 计算定积分∫(0 to 2π) cos(x) dx。

解答：cos(x)的不定积分为sin(x)，所以∫(0 to 2π) cos(x) dx = (sin(x)) |(0 to 2π)= sin(2π) - sin(0) = 0。

(完整版)§定积分的应用习题与答案

第六章定积分的应用（A ）1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y =与822=+y x （两部分都要计算）2）xy 1=与直线x y =及2=x3）xe y =，xe y -=与直线1=x4）θρcos 2a =5）t a x 3cos =，t a y 3sin =１、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的面积２、求对数螺线θρae=()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积３、求由曲线x y sin =和它在2π=x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体的体积５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积６、计算曲线()x y -=333上对应于31≤≤x 的一段弧的长度７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ，计算所作的功９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0=x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功１０、设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？１１、有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力１２、设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力(B)1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 23=+ 所围成的平面图形为D 1）求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积2、求由抛物线2x y =及x y =2所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积3、求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2π=x 所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积4、求抛物线px y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积5、求曲线422+-=x x y 在点()4,0M 处的切线MT 与曲线()122-=x y 所围成图形的面积6、求由抛物线ax y 42=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积 1）θρcos 3=，θρcos 1+=2）θρsin a =，()θθρsin cos +=a ，0>a8、由曲线()16522=-+y x 所围成图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积9、求圆心在()b ,0半径为a ，()0>>a b 的圆，绕x 轴旋转而成的环状体的体积10、计算半立方抛物线()32132-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度(C)1、用积分方法证明半径为R 的球的高为H 的球缺的的体积为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H V π2、分别讨论函数x y sin =⎪⎭⎫⎝⎛≤≤20πx 在取何值时，阴影部分的面积1S ，2S 的和21S S S +=取最大值和最小值3、求曲线x y =()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围成的平面图形的面积最小4、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？第六章定积分应用习题答案（A ）1、1）342+π，346-π 2）2ln 23- 3）21-+ee 4）2a π 5）283a π2、23a π 3、()ππ2224--e e a 4、12-π，42π 5、7128π，564π 6、3334R 7、3432- 8、a 6 9、kJ 18.0 10、3732727a kc （其中k 为比例常数）11、()kJ 5.57697 12、()kN 14373 13、取y 轴经过细直棒⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2211t a aGmu F y 22t a a Gmu F x +-=λ(B)1、1）⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=pp p dy p y y p S 322316223 或()⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛+-++=20229231622322pp p p dx px x p dx px px S2）⎰⎰--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=pp p p p dy p y dy y p V 33322215272223πππ 2、()⎰=-=10231dx x x A ()()ππ⎰=⎪⎭⎫⎝⎛-=10222103dx x x V3、()()⎰⎰-=-+-=244222cos sin sin cos πππdx x x dx x x A()()()()()()⎰⎰=-+-=24224022cos sin sin cos πππππdx x x dx x x V4、抛物线在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线方程为： p y x 23=+，以下解法同第一题2316p A = 5、MT ：x y 24-=，切线MT 与曲线()122-=x y 的交点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛1,23，()2,3- ⎰-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=122491224dy y y A 6、提示：设过焦点()0,a 的弦的倾角为α则弦所在直线的方程为()a x y -=αtan由()a x y -=αtan ，ax y 42=得两交点纵坐标为()()21csc 2csc 2y ctg a ctg a y =+<-=αααα所以()()dy a y yctg a A y y ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2142αα ()()32222csc 34csc 4csc 4ααααa ctg a a -+=()()3232csc 34csc 4ααa a -=()32csc 38αa =因为πα<<0 当2πα=时 ()3csc α取得最小值为1所以当2πα=时过焦点的弦与抛物线ax y 42=所围成的图形面积()32csc 382απa A =⎪⎭⎫ ⎝⎛最小7、1）()()πθθθθπππ45cos 321cos 1212232302=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰d d A2）()()[]⎰⎰-=++=ππππθθθθθ22220241cos sin 21sin 21a d a d a A 8、()()⎰⎰------+=44442222165165dx xdx xV ππ()()⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----+=4422222160165165ππdx xx9、解法同题810、提示：()32132-=x y ，32x y = 联立得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,2，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-36,2 所求弧长()⎰+=212'12dx y s由()32132-=x y 得()yx y 2'1-=于是()()()()()1231321134222'-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x y x y于是得()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰12598123122321221dx x S(C)1、证明：此处球缺可看作由如图阴影（图222R y x =+的一部分）绕y 轴旋转而成所以()⎰⎰---==RHR RHR dy y R dy x V 222ππR HR R HR y yR ---=332ππ()[]()[]3323H R R H R R R -----=ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32H R H π2、解：()⎰-=tdx x t S 11sin sin ()⎰-=22sin sin πtdx t x S()()⎰-=tdx x t t S 1sin sin +()⎰-2sin sin πtdx t x=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛-+201sin 22cos 2ππt t t t ()0cos 22'=⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t S π，得驻点2421ππ==t t易知()()002''1''<>t S t S122max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴ππS S ，124min -=⎪⎭⎫⎝⎛=πS S3、解：设()00,y x 为曲线x y =()40≤≤x 上任一点，易得曲线于该点处的切线方程为：()00021x x x y y -=- 即0022x x y y +=得其与0=x ， 4=x 的交点分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,00y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+0022,4y y 于是由此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线x y =所围的平面图形面积为：3164222004000-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰x y dx x x x y S3164200-+=x x 问题即求31642-+=xx S ()40≤≤x 的最小值令022321=+=--xxS 得唯一驻点2=x 且为唯一极小值所以当2=x 时，S 最小即所求切线即为：2222+=x y 4、如图：以水中的球心为原点，上提方向作为坐标轴建立坐标系易知任意[]dx x x +,段薄片在提升过程中在水中行程为r －x ，而在水上的行程为2r －（r －x ）＝r ＋x因为求的密度与水相同，所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零，不做功，而在水面上提升时，做功微元为()()dx x r x r g dW +-=22π()()g r dx x r x r g dW W r r r r 42234ππ⎰⎰--=+-==。

定积分练习参考答案

第五章定积分一．判断题 1.定积分的定义=⎰badx x f )(ini ix x f i ∆∑=→∆)(10lim ξ说明[]b a ,可任意分法，iξ必须是[]i i x x ,1-的端点．（ ⨯ ） 2.定积分的几何意义是相应各曲边梯形的面积之和．（ ⨯ ） 3.xdx x xdx x 2sin 22sin 022⎰⎰=-πππ（ ⨯ ） 4. 定积分的值是一个确定的常数.（ √ ）5 若(),()f x g x 均可积，且()()f x g x <，则()()bbaaf x dxg x dx <⎰⎰ （ ⨯ ）6. 若()f x 在[],a b 上连续，且2()0baf x dx =⎰，则在[],a b 上()0f x ≡ （ √ ）7.若[][],,c d a b ⊂，则()()db caf x dx f x dx <⎰⎰ （ ⨯ ）8. 若()f x 在[],a b 上可积，则()f x 在[],a b 上有界（ √ ）9. 21111112-=-=--⎰xdx x ( × )10. ⎰⎰==+ππ20200cos 22cos 1xdx dx x ( × )11.()()1ln 2ln ln 11212---==----⎰x dx x ( × ) 12. 若被积函数是连续的奇函数，积分区间关于原点对称，则定积分值必为零。

( √ )二．选择题1.下列等式中正确的是(B )(A) ()()x f dx x f dx d ba =⎰ (B) ()()x f dx x f dxd =⎰ (C)()()()xa d f x dx f x f a dx=-⎰ (D) ()()x f dx x f ='⎰ 2.已知()dt t x f x⎰+=222,则()='1f ( A )(A)3- (B)36- (C)3 (D)63- 3.设函数()dt t y x⎰-=1,则y 有( B )(A) 极小值21 (B) 极小值21- (C) 极大值21(D)极大值21- 4.设b a ,为常数,若1sin 1lim 02220=+-⎰→dt ta t x bx x x ,则( B )(A)1,4==b a (B) 1,2==b a (C)0,4==b a (D)1,2==b a 5．1-=⎰（ B ）； A ．3π B ．23π C ．43π D ．53π6．524x dx -=⎰（ C ）； A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 7．设()f x '连续，则变上限积分()xa f t dt ⎰是（ C ）；A ．()f x '的一个原函数B ．()f x '的全体原函数C ．()f x 的一个原函数D ．()f x 的全体原函数8．设函数()f x 在[,]a b 上连续，则由曲线()y f x =与直线,,0x a x b y ===所围平面图形的面积为（ C ）；A ．()ba f x dx ⎰ B ．()baf x dx ⎰C ．()baf x dx ⎰D ．()(),f b a a b εε-<<9．定积分()baf x dx ⎰是（ A ）； A 、一个常数 B 、()f x 的的一个原函数 C 、一个函数族 D 、一个非负常数10．下列命题中正确的是（ D ）（其中()f x ，()g x 均为连续函数）。

大学高数定积分应用1(6-1--6-5)课后参考答案及知识总结

第六章定积分的应用内容概要课后习题全解习题6-2★ 1．求由曲线xy =与直线x y =所围图形的面积。

知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-1∵所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10，（或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210）∴⎰-=10)(dx x x S D61)2132(1223=-=x x （⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间[0，π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π，（或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010） ∴12)cos ()sin 1(202-=+=-=⎰πππx x dx x S D（ 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ， ∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为：2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（若用X-型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D Y ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰） ★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2=x 分别交于 21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121，∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342)342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ） ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做解：见图6-2-7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为（0，1），又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<-x x e y e x 10，∴2)()(1101-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做解：见图6-2-8∵在x ln 的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<ye x by a 0ln ln ， ∴a b edy e S b ay bayD-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y 轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为bx ax y +=2，（由于下弯，所以0<a），将（1，2）代入bx ax y +=2，得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩ ∴23223226)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：x e y =⇒xe y ='，∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e ey x x -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D Y =,见图6-2-10X-型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xey ex x 1∴222)(12110e e e x eedx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π，也可选择极坐标求面积的方法做。

定积分(辅导班、习题课)

例 32.（07.4）设函数 f(x)具有连续的一阶导数, 且满足
f ( x) x ( x 2 t 2 ) f (t)dt x 2 0
求 f(x)的表达公式.
15
例
33.（07.2）设
f(x)是区间[0,
4
] 上的单调、
可导函数，且满足
f (x) f 1(t)dt x t cos t sin tdt
1内至少
2
一点 ζ ，使 f (ζ ) f (ζ ) .
10
例 21.
求函数
f
(x)
x2
0
(2
t )e t dt
的最大值和最
小值。(95.3)
x t2
例 22. 已知函数 f ( x) 0 e 2 dt, x ，
求 f (x) ，并讨论 f ( x) 的单调性，奇偶性及函
数图形的凹凸性，并求 f (x) 的图形的拐点和水平渐近线。（88.4.5）
得
7.积分中值问题
解法思路: 通常是积分中值定理、介值定理和微分中值定理的联合使用。
23
例 41. 设在[a, b]上 f (x)连续.且满足
f (a) f ( x) f (b).证明:c [a, b]使
ab f ( x)dx f (a)(c a) f (b)(b c)
证：令 F( x) f (a)(x a) f (b)(b x)
解法思路:
一．变量代换公式和分部积分公式本身就是高度普遍性的积分等式，亦可用来推出其它积分等式；
二．视为变限积分函数问题，转化为导数的应用问题。
三．用中值定理
17
例 34.设 f ( x) 处处连续，证明：
a x3 f ( x2 )dx 1

定积分第五节习题答案

定积分第五节习题答案定积分是高等数学中的一个重要概念，它在数学和物理等领域都有广泛的应用。

在学习定积分的过程中，练习题是巩固知识的重要方式。

本文将为大家提供一些定积分的习题答案，帮助大家更好地理解和应用定积分。

1. 计算定积分∫(0, 1) x^2 dx。

解：根据定积分的定义，我们可以将积分区间[0, 1]分成无穷多个小区间，然后对每个小区间进行求和。

在这个例子中，我们可以将[0, 1]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(1-0)/n=1/n。

然后，我们可以用x_i表示每个小区间的左端点，即x_i=i/n，其中i=0, 1, 2, ..., n。

在每个小区间上，函数x^2的取值可以近似为x_i^2。

因此，我们可以将定积分∫(0, 1) x^2 dx近似为Σ(x_i^2 * Δx)，其中Σ表示求和。

根据上述近似，我们可以得到定积分的近似值为：∫(0, 1) x^2 dx ≈ Σ(x_i^2 * Δx)= Σ((i/n)^2 * (1/n))= (1/n^3) * Σ(i^2)= (1/n^3) * (1^2 + 2^2 + ... + n^2)我们可以利用等差数列的求和公式Σ(i^2)=n(n+1)(2n+1)/6，将上式进一步化简：∫(0, 1) x^2 dx ≈ (1/n^3) * (n(n+1)(2n+1)/6)= (n+1)(2n+1)/(6n^2)当n趋近于无穷大时，定积分的近似值也会趋近于真实值。

因此，我们可以得到定积分的真实值为：∫(0, 1) x^2 dx = lim(n→∞) [(n+1)(2n+1)/(6n^2)]= lim(n→∞) [(2+1/n)(1+1/n)/(6/n)]= 1/3所以，定积分∫(0, 1) x^2 dx的值为1/3。

2. 计算定积分∫(1, e) ln(x) dx。

解：同样地，我们可以将积分区间[1, e]分成无穷多个小区间，然后对每个小区间进行求和。

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定积分习题及答案第五章定积分(A 层次)1．⎰203cos sin πxdx x ； 2．⎰-adx x a x222； 3．⎰+31221xxdx ；4．⎰--1145x xdx ； 5．⎰+411x dx ； 6．⎰--14311x dx ；7．⎰+21ln 1e xx dx； 8．⎰-++02222x x dx； 9．dx x ⎰+π02cos 1； 10．dx x x ⎰-ππsin 4； 11．dx x ⎰-224cos 4ππ； 12．⎰-++55242312sin dx x x xx ； 13．⎰342sin ππdx x x； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰202cos πxdx e x ； 17．()dx x x ⎰π2sin ； 18．()dx x e⎰1ln sin ；19．⎰--243cos cos ππdx x x ； 20．⎰+4sin 1sin πdx xx ； 21．dx x xx ⎰+π02cos 1sin ；22．⎰-+2111ln dx xxx ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 4211； 24．⎰20sin ln πxdx ； 25．()()⎰∞+++0211dx x x dxα()0≥α。

(B 层次)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyttdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。

2．当x 为何值时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值？3．()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π。

4．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。

5．()1lim22+⎰+∞→x dt arctgt xx 。

6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ。

7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x，求()⎰-21dx x f 。

8．()2221limn n n n n +++∞→Λ。

9．求∑=∞→+nk nk n k n nen e12lim 。

10．设()x f 是连续函数，且()()⎰+=12dt t f x x f ，求()x f 。

11．若⎰=-2ln 261xte dt π，求x 。

12．证明：⎰---<<212121222dx e ex 。

13．已知⎰∞+-+∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a xxx dx e x a x a x 224lim ，求常数a 。

14．设()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-0,0,12x e x x x f x，求()⎰-312dx x f 。

15．设()x f 有一个原函数为x 2sin 1+，求()⎰'202πdx x f x 。

16．设()x b ax x f ln -+=，在[]3,1上()0≥x f ，求出常数a ，b 使()⎰31dxx f 最小。

17．已知()2x ex f -=，求()()⎰'''1dx x f x f 。

18．设()()()⎰⎰+-=1222dx x f dx x f x x x f ，求()x f 。

19．()()[]⎰'-π2sin cos cos cos dx x x f x x f 。

20．设0→x 时，()()()dt t f t x x F x ''-=⎰022的导数与2x 是等价无穷小，试求()0f ''。

(C 层次)1．设()x f 是任意的二次多项式，()x g 是某个二次多项式，已知()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎰12140611f f f dx x f ，求()dx xg b a ⎰。

2．设函数()x f 在闭区间[]b a ,上具有连续的二阶导数，则在()b a ,内存在ξ，使得()()()()ξf a b b a f a b dx x f ba''-+⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰32412。

3．()x f 在[]b a ,上二次可微，且()0>'x f ，()0>''x f 。

试证()()()()()()2a fb f a b dx x f a f a b ba +-<<-⎰。

4．设函数()x f 在[]b a ,上连续，()x f '在[]b a ,上存在且可积，()()0==b f a f ，试证()()dx x f x f ba⎰'≤21(b x a <<)。

5．设()x f 在[]1,0上连续，()01=⎰dx x f ，()11=⎰dx x xf ，求证存在一点x ，10≤≤x ，使()4>x f 。

6．设()x f 可微，()00=f ，()10='f ，()()d t t x tf x F x⎰-=022，求()4limx x F x →。

7．设()x f 在[]b a ,上连续可微，若()()0==b f a f ，则()()()x f dx x f a b bx a ba'≤-≤≤⎰max 42。

8．设()x f 在[]B A ,上连续，B b a A <<<，求证()()dx kx f k x f b ak ⎰-+→0lim()()a f b f -=。

()()()dt t f t x x F x⎰-=03，证明：(1)()x F 为奇函数；(2)()x F 在[)+∞,0上单调减少。

10．设()x f 可微且积分()()[]dt xt xf x f ⎰+10的结果与x 无关，试求()x f 。

11．若()x f ''在[]π,0连续，()20=f ，()1=πf ，证明：()()[]⎰=''+π3sin xdx x f x f 。

12．求曲线()()⎰--=xdt t t y 021在点(0,0)处的切线方程。

13．设()x f 为连续函数，对任意实数a 有()⎰+-=aadx x xf ππ0sin ，求证()()x f x f =-π2。

14．设方程()⎰-=--yx tdt y x tg x 02sec 2，求22dxyd 。

15．设()x f 在[]b a ,上连续，求证：()()[]()()a f x f dt t f h t f hxa h -=-+⎰+→1lim 0(b x a <<) 16．当0≥x 时，()x f 连续，且满足()()x dt t f x x =⎰+102，求()2f 。

17．设()x f 在[]1,0连续且递减，证明()()⎰⎰≤λλ010dx x f dx x f ，其中()1,0∈λ。

18．设()x f '连续，()()()dt t a f t f x F x-'=⎰20，()00=f ，()1=a f ，试证：()()122=-a F a F 。

19．设()x g 是[]b a ,上的连续函数，()()dt t g x f xa⎰=，试证在()b a ,内方程()()0=--ab b f x g 至少有一个根。

20．设()x f 在[]b a ,连续，且()0>x f ，又()()()dt t f dt t f x F xbxa⎰⎰+=1，证明：21．设()x f 在[]a 2,0上连续，则()()()[]⎰⎰-+=aa dx x a f x f dx x f 0202。

22．设()x f 是以π为周期的连续函数，证明：()()()()⎰⎰+=+πππ0202sin dx x f x dx x f x x 。

23．设()x f 在[]b a ,上正值，连续，则在[)b a ,内至少存在一点ξ，使()()()⎰⎰⎰==ba badx x f dx x f dx x f 21ξξ。

24．证明()()()()⎰⎰⎰++=+1001ln 1lnln du u f du u f u f dt t x f x 。

25．设()x f 在[]b a ,上连续且严格单调增加，则()()()⎰⎰<+ba b a dx x xf dx x f b a 2。

26．设()x f 在[]b a ,上可导，且()M x f ≤'，()0=a f ，则()()22a b Mdx x f b a-≤⎰。

27．设()x f 处处二阶可导，且()0≥''x f ，又()t u 为任一连续函数，则()()()⎪⎭⎫⎝⎛≥⎰⎰a a dt t u a f dt t u f a 0011，()0>a 。

28．设()x f 在[]b a ,上二阶可导，且()0<''x f ，则()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤⎰2b a f a b dx x f b a。

29．设()x f 在[]b a ,上连续，且()0≥x f ，()0≤⎰badx x f ，证明在[]b a ,上必有()0≡x f 。

30．()x f 在[]b a ,上连续，且对任何区间[][]b a ,,⊂βα有不等式()δβααβ+-≤⎰1M dx x f (M ，δ为正常数)，试证在[]b a ,上()0≡x f 。

第五章定积分(A)1．⎰203cos sin πxdx x解：原式41cos 41cos 204203=-=-=⎰ππx xdx2．⎰-adx x a x 0222解：令t a x sin =，则tdt a dx cos = 当0=x 时0=t ，当a x =时2π=t原式⎰⋅⋅=2022cos cos sin πtdt a t a t a()⎰⎰-==20420244cos 182sin 4ππdt t a tdt a42044164sin 41828a t a a πππ=-=3．⎰+31221xxdx解：令θtg x =，则θθd dx 2sec = 当1=x ，3时θ分别为4π，3π原式θθθθππd tg ⎰=3422sec sec()⎰-=342sin sin ππθθd3322-= 4．⎰--1145xxdx解：令u x =-45，则24145u x -=，udu dx 21-= 当1-=x ，1时，1,3=u原式()61581132=-=⎰du u 5．⎰+411x dx解：令t x =，tdt dx 2=当1=x 时，1=t ；当4=x 时，2=t 原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+=⎰⎰⎰2121211212t dt dt t tdt ()[]32ln221ln 22121+=+-=t t 6．⎰--14311x dx解：令u x =-1，则21u x -=，udu dx 2-= 当1,43=x 时0,21=u 原式2ln 21111212210021-=-+-=--=⎰⎰du u u du u u7．⎰+21ln 1e xx dx解：原式()⎰⎰++=+=2211ln 1ln 11ln ln 11e e x d xx d x232ln 1221-=+=e x8．⎰-++02222x x dx解：原式()()⎰--+=++=0222111x arctg x dx()24411πππ=+=--=arctg arctg9．dx x ⎰+π2cos 1解：原式⎰⎰==ππ2cos 2cos 2dx x dx x()⎰⎰-+=πππ220cos 2cos 2dx x xdx22sin sin 2220=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πππx x 10．dx x x ⎰-ππsin 4解：∵x x sin 4为奇函数∴⎰-=ππ0sin 4xdx x11．dx x ⎰-224cos 4ππ解：原式()⎰⎰=⋅=222204cos 22cos 24ππdx x xdx()()⎰⎰++=+=2022022cos 2cos 2122cos 12ππdx x x dx x()⎰⎰+++=2020204cos 12cos 22πππdx x xdx x⎰+++=202044cos 4122sin 2ππππx xd x πππ234sin 412320=+=x 12．⎰-++55242312sin dx x x xx 解：∵12sin 2423++x x xx 为奇函数 ∴012sin 552423=++⎰-dx x x xx 13．⎰342sin ππdx x x解：原式⎰-=34ππxdctgx⎰+-=3434ππππctgxdx xctgx34sin ln 9341πππx +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22ln 23ln 9341-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π 23ln 219341+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π 14．⎰41ln dx xx解：原式⎰=41ln 2x xd⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰4141ln ln 2x d x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰4112ln 42dx x x⎰--=412122ln 8dx x42ln 8-= 15．⎰10xarctgxdx解：原式⎰=10221arctgxdx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰1022102121dx x x arctgx x ⎰⎰++-=10210121218x dxdx π101021218arctgx x +-=π214-=π16．⎰202cos πxdx e x解：原式⎰=202sin πx d e x⎰⋅-=2022022sin sin ππdx e x xe x x⎰+=202cos 2ππx d e e x⎰⋅-+=2022022cos 2cos 2πππdx e x xe e x x⎰--=202cos 42ππxdx e e x故()251cos 202-=⎰ππe xdx e x 17．()dx x x ⎰π2sin 解：原式()⎰⎰-==ππ020222cos 1sin dx xx dx x x ⎰⎰-=ππ02022cos 2121xdx x dx x⎰-=ππ232sin 4161x d x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--=⎰πππ002322sin 2sin 416xdx x x x⎰-=ππ032cos 416x xd 462cos 2cos 4163003πππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰xdx x x 18．()dx x e⎰1ln sin解：原式()()⎰⋅-=e edx xx x x x 111ln cos ln sin()⎰-=edx x e 1ln cos 1sin()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-=⎰e e dx x x x x x e 111ln sin ln cos 1sin()⎰-+-=edx x e e 1ln sin 11cos 1sin故()()11cos 1sin 2ln sin 1+-=⎰edx x e19．⎰--243cos cos ππdx x x解：原式()⎰--=242cos 1cos ππdx x x()⎰⎰+-=-2004sin cos sin cos ππxdx x dx x x()()223423cos 32cos 32ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-x x32344-=20．⎰+4sin 1sin πdx xx解：原式()⎰--=42sin 1sin 1sin πdx xx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4022cos sin πdx x tg x x ()⎰⎰---=402421sec cos cos ππdx x xxd ()242cos 14040-+=--=πππx tgx x21．dx xxx ⎰+π02cos 1sin解：令t x -=2π，则原式⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2222cos 12sin 2πππππdt t t t⎰-+-+-=2222sin 1cos sin 1cos 2πππdt t t t t t()4sin sin 1cos 220202πππππ==+=⎰t arctg dt tt 22．⎰-+2111lndx xxx 解：原式⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2102211ln x d x x ()()()⎰--+--⋅+-⋅--+=210222102111111211ln 2dx x x x x x x x x x ⎰-+=210221ln 3ln 81dx x x ⎰⎰-++=210221013ln 81x dxdx21011ln 21213ln 81+-++=x x3ln 8321-=23．⎰∞+∞-++dx x x 4211 解：原式⎰⎰∞+∞+++=++=0222042111211dx x xx dx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞+x x d x x 1211202π221220=-=+∞+x x arctg24．⎰20sin ln πxdx解：原式()⎰⎰++⎪⎭⎫ ⎝⎛-==40220cos ln sin ln 2ln 22cos 2sin 2ln ππdt t t dx x x t x 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰4040cos ln sin ln 22ln 2πππtdt tdt⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎰⎰-=24402sin ln sin ln 22ln 2πππππudu tdt ut⎰+=20sin ln 22ln 2ππtdt故2ln 2sin ln 20ππ-=⎰xdx25．()()⎰∞+++0211αx x dx()0≥α解：令t x 1=，则dt tdx 21-=原式()()⎰⎰∞+∞+++=+⋅+-=020********ααααt t dt t tt t t dt t ∴()()()()()()⎰⎰⎰∞+∞+∞++++++=++0202021111112ααααxx dxx x x dx x x dx 21102π==+=∞+∞+⎰arctgx dx x故()()41102πα=++⎰∞+xx dx(B)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyt tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy。