六年级奥数染色和覆盖
第三讲 染色与覆盖
第三讲染色与覆盖（补充练习）[练习1] 如图，在5×5方格的A格中有一只爬虫，它每次总是只朝上、下、左、右四个方向爬到相邻的方格中。
那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到A格中？答：如上右图，把5×5的方格黑白相间地染上颜色，黑格的邻格都是白格，白格的邻格都是黑格。
爬虫由黑格出发，下一站必是白格；由白格出发，下一站必是黑格；按照“黑→白→黑→白→黑→白→”的顺序爬行。
爬虫由A格（黑格）出发，不重复地爬遍每个方格再回到A格。
按照“A格（黑）→白→黑→白→……→黑→白”的顺序爬行，最后回到A格（黑），那么图中黑格与白格的数目应该相等，但图中黑格13个，白格12个，黑格与白格的个数不相等，所以这只爬虫不可能不重复地爬遍每个方格再回到A格。
[练习2] 棋盘由如下左图所示的9个小圆圈排列而成，用1～9编号。
在3号和9号小圆圈中各放一枚棋子，分别代表警察和小偷。
若两个小圆圈之间有线相连，则棋子可以从其中的一个走入另一个。
现在由警察先走，两人轮流，每人每次走一步，每步可以从一格走到有线相连的邻格之中。
如果在6步之内，警察走入小偷所在的格子之中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；如果警察走了6步还没抓住小偷，就算他失职而失败。
问：警察应如何取胜？答：如上右图，从9号小圆圈开始向左依次黑白相间地染上颜色。
这样，3号、6号、9号小圆圈都被染成了黑色，其它小圆圈都被染成了白色，并且1号和2号两个白色小圆圈相邻。
如果警察直逼小偷，发而抓不着小偷。
警察先走，小偷后走。
警察：3号（黑）→白→黑→白→黑→白→小偷：9号（黑）→白→黑→白→黑→白→双方走了相同的步数之后，必处于同色的小圆圈之中。
轮到警察走时，他只能走入另一种颜色的小圆圈（不是小偷所在的小圆圈的颜色），这样走的结果是警察永远抓不住小偷。
警察“以退为进”，一举抓获小偷。
警察要想抓住小偷，必须把它所在的小圆圈的颜色调整到与小偷所在的小圆圈的颜色相反才有可能。
染色与覆盖
第三讲 染色与覆盖本讲我们将一起学习染色与覆盖。
而这里所说的染色问题并不是要求如何染色，然后有多少种染色方法等数学问题。
而是一种解决逻辑推理题的一种方法，一种将研究对象分类的形象化的方法。
通过将要解决的问题适当的染色，可以使我们更形象的观察分析其中所蕴含的关系，在经过一定的推理从而得到问题的答案。
知识构架图：染色问题 座位问题（例 ）路径问题（例 ）结点问题（例 ）覆盖问题 一般覆盖（例 ） 特殊形状覆盖（例 ） 例题讲解一、 染色问题1、 座位染色问题例1：分析题中规定每个座位的前后左右都是他的邻座，那么35名同学每个人都恰好坐到它的邻座上能否办到？像这种问题我们该如何考虑呢？直接一步一步操作吗？很显然是很不现实的，那么有什么方法能让我们更直接的找到答案呢？染色。
我们将35个座位染成黑白相间的形式，一眼就能看出，每个黑色的座位都是白色座位的邻座，也就是说如果35名同学每个人都恰好能坐到它的邻座上，那么必然是，黑白位置对换，但从图中我们看到黑色17格，白色18格，黑白个数不相等，所以无法办到。
提高练习：（1）某影院有31排，每排29个座位，某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众，如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前后左右相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？提示：总共31×29=899个座位，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以办不到。
（2）五年级一班有49名同学，共分成7排，每排7个人。
新年到了，每个同学都准备了一个礼物送给自己前后左右相邻的某一个同学，那么有没有可能每个同学都刚好收到一个别人送的礼物？提示：总共49名同学，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以不可能。
2、 路径问题例2：分析如果一次次的操作的话很难看出是否能够按要求办到。
所以我们按例1的方法，将9个小格染成黑白相间的颜色，很明显就能看出是不能办到的。
因为从A 格出去，第一步不管往哪走都会走入黑格，接着第二步又都会走入黑格，即走奇数步后进黑格，偶数步后进白格，这个人若要从A 格出去又要回到A 格，必须走9个格，所以最后一格必为黑才可以，而A 格为白格，所以不可以。
小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解
小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解日字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由2个并排的正方形格子组成。
目字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个并排的正方形格子组成。
3-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个组成L形状的格子组成。
4-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成L形状的四个格子组成，一边长一边短。
凸字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“凸”字形状的四个格子组成。
田字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“田”字形状的四个格子组成。
完全覆盖的定义：用规定形状的标准单元去铺盖指定的方格棋盘，无重复无遗漏，则称该棋盘被所用的标准单元完全覆盖。
一系列的小题目，从易到难，慢慢培养解题水平。
更复杂的染色覆盖问题，往往需要涉及到用多种颜色实行染色，下面的题目仅有一个需要这种技巧。
题1：M×N的棋盘存有日形覆盖，当且仅当M,N中至少有一个为偶数。
题2：一个5×7的棋盘，去掉第二行第四列上的小方格之后，剩下部分有日形覆盖。
题3：如果m*n不能被3整除，则m*n的棋盘不可能有3-L覆盖。
题4：若M,N都是奇数，则去掉任何一个方格，剩余的部分不存有日字形覆盖。
题5：证明，一个8*8的棋盘不可能用15个凸形块和一个田字形块覆盖。
题6：证明，一个8*8的棋盘去掉左上角和右下角的两个方格后，剩下的62个方格不可能实现日形覆盖。
题7：一个3*7的棋盘，用红、蓝两种颜色染色，证明，总有四个同色的方格位于一个长方形的四个角上。
题8：一个3*7的棋盘不存有3-L覆盖。
提示：本题目需要用多种颜色染色。
题9：若m*n的棋盘能够实现4-L覆盖，证明m*n能够被8整除。
题10：7*9的棋盘中，挖去位于第四行，第六列的小方格，证明剩下的部分能够实现日形覆盖。
题11：在6*6的正方形棋盘上的各个小方格上，分别写上从1到36的36个数，要求相邻成“凸”字形的四个方格内的数字之和都为偶数，存有这种可能吗？题12：假定8*8的棋盘是用64个正方形马赛克组成，每个马赛克能够翻动，而且每个马赛克正反两面一个为白色，一个为黑色。
2020小学六年级奥数知识点：第十一讲 棋盘中的数学—棋盘覆盖的问题
解：图形（1）和（2）中各有11个方格，11不是3的倍数，因此不能用这两种图形拼成．
图形来拼．
只有图形（4）可以用这两种三个方格的图形来拼，具体拼法有多种，下图仅举出一种为例．
说明：排除图（1）与（2）的方法是很重要的．因为一个图形可以用这是“必要条件排除法”．但要注意，一个图形小方格数是3的倍数，也不表明的就是这种情况．
证明：用6种“方块”构成4×7棋盘已如上图所示．
下面我们证明不能用七种“方块”各一块构成4×7的长方形棋盘．
将长方形的28个小方格如右图黑、白相间进行染色，则黑、白格各为个白格1个黑格，而其余六种方块图形皆占据黑格、白格各2个．因此，7种方块图形占据的黑白格数必都是奇数，不会等于14．
这类问题，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆盖一个m×n的方格棋盘的问题．
定理1： m×n棋盘能被2×1骨牌覆盖的充分且必要的条件是m、n中至少有一个是偶数．
证明：①充分性：即已知m，n中至少有一个偶数，求证：m×n棋盘可被2×1骨牌覆盖．不失一般性，设m＝2k，则m×n＝2k×n＝k×
棋盘可被kn个2×1骨牌覆盖．
②必要性：即已知m×n棋盘可以被2×1骨牌覆盖．求证：m，n中至少有一个偶数．若m×n棋盘可被2×1骨牌覆盖，则必覆盖偶数个方格，即mn是个偶数，因此m、n中至少有一个是偶数．
例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？
第二步：不用1×1而只用2×2与3×3的正方形是拼不成的．将23×23的大正方形的1，4，7，10，13，16，19，22各行染红色，其余各行染蓝色如下图．任意2×2或3×3正方形都将包含偶数个蓝色小格，但蓝格总数是23×15，是个奇数，矛盾．所以不用1×1的小正方形是拼不成23×23棋盘的．
解决小学奥数问题的方法：染色分类法
一种解决数学问题的新方法：染色分类法【摘要】：在现实生活中，有一些判断能与否的数学问题涉及到的知识点很少，难以快速地找到解题思路。
本文主要介绍一种解决这类数学问题的新方法：染色分类法。
对研究对象进行染色，可以形象、直观地使某些隐蔽的条件显露，从而 获得简明的解答。
【关键字】：染色 分类 数学问题一、 用染色解决图形覆盖问题：在中学数学竞赛中，我们常常会碰到这样的题目：用多个几何图形去覆盖另一个几何图形，问能否实现。
如果我们每一种情况都去试，不仅花时间，而且容易因考虑不全而出错。
对于这一类问题，我们不妨对涉及到的几何对象进行染色，再来寻找解题思路。
问题一：能否用2个田字形和7个T 字形恰好覆盖一个6⨯6网格？分析：这道题看似简单，但是如果要穷尽每种情况去试一试，却不太可行。
考虑到网格中共有36个小方格，不妨通过染色把这36个小方格分成黑白两类，然后看用田字形能覆盖住多少个，T 字形能覆盖住多少个，从而判断该题是否有解。
解：由于用黑白两种颜色对6⨯6 网格进行染色（如图），可以看到图中有18个黑格，18个白格。
而用一个田字形，无论放在哪里，都能覆盖住一个黑格，一个白格；而T 字形能覆盖住1个或3个白格。
所以2个田字形和7个T 字形总共覆盖住奇数个白格，而6⨯6 网格中总共有18（偶数）个白格，所以不能完全覆盖住。
问题二 ：要用40块方形瓷砖铺设如图2所示图形的地面，但当时商店只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块，一人买了20块长方形瓷砖，结果弄来弄去始终无法完整铺设好，你能否用这20块瓷砖（不分割任何一块）帮他铺好地面？图2 图3分析：要得出这道题的答案并不难，但是如何从理论上证明却没那么简单。
这里，如果我们仿照问题一采用染色方法，不仅能更快得出答案，更能较好地说明理由，让读者一目了然。
解：在图形上黑、白相间地染色，如图3。
则共有19个白格和21个黑格。
一块长方形瓷砖只可盖住一白一黑两格。
为了把所有的白格都盖住，需要19块长方形瓷砖，但19块长方形瓷砖只能盖住19个黑格，还有两个黑格没有盖住。
六年级奥数染色和覆盖
六年级奥数染色和覆盖1、一个8×8国际象棋盘去掉对角上两格后，是否可以用31个2×1的“骨牌”，把象棋盘上的62个小格完全盖住？2、至少需要几种颜色，才能使右图中所有具有公共端点的线段涂上不同的颜色。
3、现有1，1，2，2，3，3，……，10，10共20个数。
问能否将这些数排一行并满足两个1之间有一个数，两个2之间有两个数，两个3之间有三个数，……，两个10之间有十个数？请说明理由。
4、下图是由14个方格组成的图形，试证明，不论怎么裁剪，总不能把它剪成7个由相邻两个方格组成的长方形。
[全讲综合训练]1、六（1）班同学毕业前，互相交换照片留念，那么全班用来交换的照片的总张数是奇数还是偶数？2、正方形的展览厅如下图，共分16个展室，每个展室之间相通，你能不能设计出一条线路使参观的人不重复地走完全部展室？3、将上题的入口改在A处，如下图，这条线路可能吗？4、把下图中的圆图任意涂上红色或蓝色。
有没有可能使每一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由？5、由14个1×1的正方形组成下图，用7个1×2的长方形能不能把这个图形都盖住？为什么？6、在黑板上写出三个自然数，然后擦去一个数，换成其它两数的和减1，这样一直进行下去，最后黑板上是17、1993、1997，问原来的三个数能否是8？7、一串数排成一行，它们的规律是前两个数都是1，从第三个数起，每个数都是前两个数的和，如下所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…这串数的前100个数（包括第100个数）中，有多少个偶数？8、象棋有棋盘上有一只马（马走“日”），跳了若干次，正次跳回到原来的位置，问马跳的步数是奇数还是偶数？9、有一批商品，每件都是长方体形状，它的尺寸是1×2×4。
现在有一批现成木箱，尺寸是6×6×6。
试问：能不能用这样的商品将木箱填满？10、能不能用8张1×3的长方形纸片完全盖住下面的图。
六年级下册数学试题奥数专练染色与覆盖(含)全国通用
染色与覆盖例 1右图是某一套房屋的平面图，共 12 个房间，每相邻两房间都有门相通。
请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗？例 2一个正方形的果园里，种有 63 棵果树，加上右下角的一间小屋，齐整地摆列成八行八列，如图⑴。
守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏 (不准斜走 )，最后又回到小屋，行吗？假如有 80 棵果树，如图⑵，连小屋排成九行九列呢？例 3右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马。
尽人皆知，马是走“日”字的。
请问：这只马可否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，而后回到出发点？例 49 个 1× 4 的长方形不可以拼成一个 6× 6 的正方形，请你说明原因！例 5有一批商品，每一件都是长方体形状，尺寸是 1× 2× 4。
现有一批现成的木箱，内空尺寸是6× 6× 6，问：为何不可以用这些商品将木箱装满？例 61 个 2×2 长方形和 15 个 4× 1 长方形不可以拼出 8× 8 的大正方形？请你说明原因！测试题1．一只电动老鼠从左下列图的 A 点出发，沿格线奔跑，而且每到一个格点不是向左转就是向右转。
当这只电动老鼠又回到 A 点时，甲说它共转了 81 次弯，乙说它共转了 82 次弯。
假如甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？2．如图⑴，对相邻的两格内的数同时加上 1 或同时减去 1 叫做一次操作。
经过若干次操作后由 1 变为图 2，则图 2 中 A 处的数是多少？3．右图是某一湖泊的平面图，图中全部曲线都是湖岸。
⑴假如 P 点在岸上，那么 A 点是在岸上仍是在水中？⑵某人过此湖泊，他下水时脱鞋，登岸时穿鞋。
假如他从 A 点出发走到某点 B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么 B 点是在岸上仍是在水中？为何？4．如右图，缺两格的 8× 8 方格有 62 个格，可否用 31 个图不重复地遮住它且不留缝隙？5．有一次车展共 6× 6＝36 个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，进口和出口以下图。
六年级奥数题染色问题
六年级奥数题染色问题年级 班 姓名 得分1，下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门，有人想从某个房间开始,六年级奥数题染色问题间,他的想法能实现吗?2，展览会有36个展室【如图】,每两相邻展室之间均有门相通，能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?3，图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通，问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线?4，下图是由4个小方格组成的“L ”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个4【n 的长方形,试证明:n 一定是偶数，5，中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”【“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况】，6，能否用一个田字和15个4【1矩形覆盖8【8棋盘?7，能否用1个田字和15个T 字纸片,拼成一个8【8的正方形棋盘?8，在8【8棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由，9，下面三个图形都是从4【4的正方形分别剪去两个1【1的小方格得到的,问可否把它们分别剪成1【2的七个小矩形?11，17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题，证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题，12，用一批1【2【4的长方体木块,能不能把一个容积为6【6【6的正方体木箱充塞填满?说明理由，13，在平面上有一个27【27的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个9【9的正方形，按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来，问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?14，12【12的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至3【4矩形的另一角【如图】，问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点【这种情况又称马有“回12 3———————————————答 案——————————————————————1， 不能，对房间染色,使最下面的两个房间染成黑色,与黑色相邻的房染成白色,则图中有7个黑色房间和5个白色房间，如果要想不重复地走过每一个房间,黑色与白色房间数应该相等，故题中的想法是不能实现的，2， 不能，对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的，此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同， 3， 不能，对这16个城市进行黑白相间的染色,一种颜色有9个,另一种颜色有7个，而要不重复地走遍这16个城市,黑色与白色的个数应该相等，4， 如图,对4【n 长方形的各列分别染上黑色和白色，任一L 形纸片所占第一类占3黑1白,第二类占3白1黑，设第一类有a 个,第二类有b 个,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有3b +a =3a +b ,即a =b ,也就是说第一类与第二类相等,因此各种颜色的方格数都是4的倍数,总数是8的倍数,从而n 是偶然，5， 将棋盘黑白相间染色,由“马”的走法可知,放在黑点上的“马”,只能吃放在某些白点上的马，整个棋盘上黑、白点的个数均为45,故可在45个黑点放上马,它们是不能互吃的，6， 如图的方式对棋盘染色，那么一个田字形盖住1个或3个白格,而一个4【1的矩形盖住2个白格，这样一来一个田字和15个4【1的矩形能盖住的白格数是一个奇数,但上图中的白格数是一个偶数,因此一个田字形和15个4【1n 个7，将棋盘里黑白相间涂色，一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个或1个白格，故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数，因此一个田字形和15个T字形不能盖住8【8的棋盘，8，将棋盘黑白相间地染色后,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色，棋盘上有32个白格与32个黑格,故马可能跳遍整个棋盘，图中给出了一种走法，9，先对4【4的棋盘黑白相间的涂色【如图】,这道题的实际问题是问7个1【2矩形能否分别复盖剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D的三个棋盘，若7个1【2矩形可以复盖剪残的棋盘,因为每个1【2矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等，都是7个，而剪去A格和C格的棋盘【2】有5个白格8个黑格,剪去A、D的棋盘【3】有5个白格8个黑格,因此【2矩形复盖,也就不能剪成7个1【2的矩形，棋盘【1:10，在第一行的7格中必有4格同色,不妨设这4格位于前4个位置,且均为红色，然后考虑前4列构成的3【4矩形，若第二行和第3行中出现2个或2个以上的红色格子，则该行的两个红色格子与第一行的红色格子就组成一个4角同为红色格子的矩形，若不然,则第2、3行中都至少有3个蓝格在前4列中,不妨设第2行前3格为蓝色,显然第三行中的前3格中至少有2个蓝格，故在二、三行的前4列中必存在四角都是蓝色的矩形，11， 将17个科学家用17个点代表,两点之间连结的线段表示两个科学家之间讨论的问题，用三种颜色给这些线段染色,表示三个问题,于是问题就变成:给17个点之间的所有连结线段用三种颜色染色,必有同色三角形，从任意一点,不妨设从A 向其他16点A 1,A 2,…A 16共可连成16条线段,用三种颜色染色,由抽屉原则可知,必有6条线段同色，设这6条线段为AA 1,AA 2,…AA 6且同为红色，考虑A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6这六点之间的连线,若有一条为红色,【如A 1A 2为红色】 ,则三角形AA 1A 2为红色的同色三角形，若这六点之间的连线中,没有一条是红色的,则它们之间只能涂两种颜色，考虑从A 1引出的五条线段A 1A 2 A 1A 3 A 1A 4 A 1A 5 A 1A 6,由抽屉原理知,其中必有三条是同色的，不妨设这三条为A 1A 2 A 1A 3 A 1A 4,且同为蓝色，若三角形A 2A 3A 4的三边中有一条为蓝色的,则有一个蓝色的三角形存在;若三角形A 2A 3A 4三边都不是蓝色的,则它的三边是同为第三色的同色三角形，12， 把正方体木箱分成27个小正方体,每个小正方体的体积为2【2【2=8，将这些正方体如右图黑白相间染上色，显然黑色2【2【2的正方体有14个,白色2【2【2小正方体有13个，每一个这样的正方体相当于8个1【1【1的小正方体，将1【2【4的长方体放入木箱,无论怎么放,每个长方体木块盖住8个边长为1的单位正方体,其中有4个黑色的,4个白色的，木箱共含6【6【6=216个单位正方体,26个长方体木块共盖住8【26=208个单位正方体,其中黑白各占104个,余下216-208=8个单位正方体是黑色的，但是第27个1【2【4长方体木块不管怎样放,也无法盖住这8个黑色单位正方体，13， 如图,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分，按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个,而第三种颜色的棋子数增加了一个，这表明每走一步,每个部AA 1 A 2A 3A 4A 5 A 6 A 1A 2 A 3 A4因为一开始时,81枚棋子摆成一个9【9的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的，如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分上的棋子数为奇数，这种结果是不可能出现的，14，用两种方法对超级棋盘染色，首先,将棋盘黑白相间染色,则马每跳一步,它所在的方格就要改变一次颜色，不妨设第奇数步跳入白格，其次,将棋盘的第3,4,5及8,9,10这六行染成黑色,其余六行染成白色，在此种染色方式下,马从白格一定跳入黑格，又因黑白格总数相同,马要遍历每一格恰一次又回到出发点,因此,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格，不妨设马第奇数步跳入白格，但是对于一种满足要求跳法,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的,这显然是不可能的,故题目要求的跳法是不存在的，准确值1，已知A，B，C都是非0自然数,的近似值是6，4,那么它的准确值是多少?。
6第四十六章 染色与覆盖问题
第四十六章染色与覆盖问题概念本讲我们将一起学习染色与覆盖。
而这里所说的染色问题并不是要求如何染色，然后有多少种染色方法等数学问题。
而是一种解决逻辑推理题的一种方法，一种将研究对象分类的形象化的方法。
9个小格染成黑白相间的颜色，很明显就能看出是不能办到的。
因为从A格出去，第一步不管往哪走都会走入黑格，接着第二步又都会走入黑格，即走奇数步后进黑格，偶数步后进白格，这个人若要从A格出去又要回到A格，必须走9个格，所以最后一格必为黑才可以，而A格为白格，所以不可以。
三、结点问题分析与路径问题相似，只不过我们这回染得不再是小格而是点，染成黑白相间的点。
我们会发现一共14个点，6个黑点8个白点，每次的路线仍是从黑点走到白点或者从白点走到黑点，所以若想每个点不重复的都走一遍的话必须黑白相等或相差1个，但本题黑白差2个，所以不可以。
四、一般覆盖将这14个小格染成黑白相间的，那么7个相邻两方格应该是一黑一白的，所以如果能覆盖的话，14为454，所以例题1.2.(第2×23.（29-4（2）.试证明mn必是8的倍数.4.（1947年匈牙利数学奥林匹克试题）世界上任何六个人中，一定有3个人或者互相认识或者互相都不认识.5.?（1953年美国普特南数学竞赛题）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.6.?(第6届国际数学奥林匹克试题)有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.7.8.段.9.?6格，形如的弯角板与1的矩形10.?11.?有九名数学家，每人至多会讲三种语言，每三名中至少有2名能通话，那么其中必有3名能用同一种语言通话.12.?如果把上题中的条件9名改为8名数学家，那么，这个结论还成立吗？为什么？13.?设n=6（r-2）+3（r≥3），求证：如果有n名科学家，每人至多会讲3种语言，每3名中至少有2名能通话，那么其中必有????r名能用同一种语言通话.14.?（1966年波兰数学竞赛题）大厅中会聚了100个客人，他们中每人至少认识67人，证明在这些客人中一定可以找到4人，他们之中任何两人都彼此相识.15.?（首届全国数学冬令营试题）用任意方式给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证：一定存在一个边长为1或的正三角形，它三个顶点是同色的.16.?为什么？17.(1)(2)18.19.20.所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来？21.在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？22.右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马.众所周知，马是走“日”字的.请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？23.右图是由14个大小相同的方格组成的图形.试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？24.右图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？25.26.用和27.28.929.30.31.右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上.开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0.然后转动圆盘，每次可以转动90°的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上.问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999？32.有7个苹果要平均分给12个小朋友，园长要求每个苹果最多分成5份．应该怎样分？33.有一位老人，他有三个儿子和十七匹马.他在临终前对他的儿子们说：“我已经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分.”老人去世后，三兄弟看到了遗嘱.遗嘱上写着：“我把十七匹马全都留给我的三个儿子.长子得1/2,次子得1/3,给幼子1/9,不许流血，不许杀马.你们必须遵从父亲的遗愿！”请你帮助他们分分马吧！34.8个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）？35.936.103斤油.要把这37.38..39.40.老师在黑板上画了9个点，要求同学们用一笔画出一条通过这9个点的折线(只许拐三个弯儿)．你能办到吗?41.如右图所示，将1～12顺次排成一圈.如果报出一个数a（在1～12之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置.例如a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置.问：a是多少时，可以走到7的位置？42.对于任意一个自然数n，当n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2，这算一次操作现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？43.一只电动老鼠从左下图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。
六年级上册奥数试题第19讲：简单染色问题_全国通用(含答案)
第19讲简单染色问题知识网络数学竞赛中的“染色”一般包括两个方面：染色问题和染色方法。
如果染色作为题目的条件给出，那么一般要考虑的是存在与否，有何性质以及有多少种染法等，这就是染色问题。
如果题目中没有提到染色，在解题中运用形象、直观的染色来进行分类，帮助解决问题这就是染色方法。
重点·难点我们在前面几讲中也涉及到染色问题。
一般来说，染色问题涉及分类、奇偶性、排列组合等多方面的知识。
因此如何应用这些相关的知识点解题，是很关键的。
在下面的例题中也可以看出，这些知识在解题中的应用。
学法指导染色作为一种数学思维方法，可以用来推证说理，使一些难以讲清楚的问题一目了然。
有时染色题可能很难想清楚，比如“四色问题”，但可以运用上面的知识点解决一些比较简单的染色问题。
经典例题[例1]如图1所示，一个长方形被分成6块区域，若给每一块区域都染色，并且要求相邻的区域颜色不同，请问至少需要多少种不同的颜色？思路剖析由于A、B、C两两相邻，所以要使相邻的区域颜色不同，至少A、B、C的颜色不能相同。
但是，仅有3种颜色够不够呢？对于区域较少的情形可以逐一试验，如果区域较多时，可以考虑取有多相邻区域的区域来先染色。
解答先考虑有最多相邻区域的A，染第1种颜色；其次考虑与A相邻的B、C、D、E中，有最多相邻区域的E，染第2种颜色；再考虑B，它与A、E都相邻，染第3种颜色。
由C 和E不相邻，故C可用第2种颜色，D与B不相邻，D可用第3种颜色，F和A不相邻，F 可染第一种颜色。
这样，用第一种颜色染在A和F上，用第二种颜色染在C和E上，用第三种颜色染在B和D上即可满足题意要求。
所以，满足条件的染色，至少需要三种颜色。
[例2]用红、黄、蓝三种颜色涂一个正方体的六个面，两个面涂一种颜色，那么共有几种涂法？思路剖析本题要用到分类和组合的一些思想，同进，在解题时要注意，如果两种所谓不同涂法的正方体经翻转或旋转之后得到同样的效果，它只能是一种涂法。
小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解
小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解日字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由2个并排的正方形格子组成。
目字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个并排的正方形格子组成。
3-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个组成L形状的格子组成。
4-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成L形状的四个格子组成，一边长一边短。
凸字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“凸”字形状的四个格子组成。
田字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“田”字形状的四个格子组成。
完全覆盖的定义：用规定形状的标准单元去铺盖指定的方格棋盘，无重复无遗漏，则称该棋盘被所用的标准单元完全覆盖。
一系列的小题目，从易到难，慢慢培养解题水平。
更复杂的染色覆盖问题，往往需要涉及到用多种颜色实行染色，下面的题目仅有一个需要这种技巧。
题1：M×N的棋盘存有日形覆盖，当且仅当M,N中至少有一个为偶数。
题2：一个5×7的棋盘，去掉第二行第四列上的小方格之后，剩下部分有日形覆盖。
题3：如果m*n不能被3整除，则m*n的棋盘不可能有3-L覆盖。
题4：若M,N都是奇数，则去掉任何一个方格，剩余的部分不存有日字形覆盖。
题5：证明，一个8*8的棋盘不可能用15个凸形块和一个田字形块覆盖。
题6：证明，一个8*8的棋盘去掉左上角和右下角的两个方格后，剩下的62个方格不可能实现日形覆盖。
题7：一个3*7的棋盘，用红、蓝两种颜色染色，证明，总有四个同色的方格位于一个长方形的四个角上。
题8：一个3*7的棋盘不存有3-L覆盖。
提示：本题目需要用多种颜色染色。
题9：若m*n的棋盘能够实现4-L覆盖，证明m*n能够被8整除。
题10：7*9的棋盘中，挖去位于第四行，第六列的小方格，证明剩下的部分能够实现日形覆盖。
题11：在6*6的正方形棋盘上的各个小方格上，分别写上从1到36的36个数，要求相邻成“凸”字形的四个方格内的数字之和都为偶数，存有这种可能吗？题12：假定8*8的棋盘是用64个正方形马赛克组成，每个马赛克能够翻动，而且每个马赛克正反两面一个为白色，一个为黑色。
小学奥数模块教程染色问题(一)
染色问题（一）染色问题是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。
因此，这里的染色问题指的是一种解题方法。
这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会集中典型的染色方法。
根据具体题目的研究对象，染色方法大致可以分为对点染色、对线段染色、对方格染色和对区域染色。
对方格染色常用的是黑白方格相间染色，也叫自然染色。
例1如右图，在5×5方格的A格中有一只爬虫，它每次总是朝上下左右方向爬到相邻的方格中。
那么他能否不重复的爬满每个方格再回A到A格中？解：有小虫的爬法，可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或白格爬到黑格。
所以它由A出发回到A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步。
而小方格为5×5=25个，每格爬过一次，就应该为25步，不是偶数。
于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到A格。
例2 有一次车展有6×6=36个展室，如图。
每格展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。
参观者能否从入口进去，不重复地参观完每格展室在从出口出来？解：如图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能冲黑格到白格或者从白格到黑格。
入口和出口都是白格，故线路黑白相间，首位都是白格，于是应该白格比合格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不能做到不重复走遍每个展室。
例3 右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两间房间都有门相通。
请问，你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗？解：如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个黑格、7个白格。
因为每次只能从黑到白或者白到黑，路线必然是黑白相间，显然应该从多的白格开始。
但路线上1白1黑......直至5白5黑后还多余2白格，不可能从白到黑。
故无法实现不重复地走遍每个房间。
小结：染色问题的解题技巧主要在于染色具体方案的构造，其基本原则是使题目条件出现一定的规律，以利于解题。
(完整版)六年级奥数专题01：染色问题.doc
二十染色问题(1)年级班姓名得分(编者按 : 由于内容本身的限制 ,本讲不设填空题 )1.某影院有 31 排,每排 29 个座位 .某天放映了两场电影 ,每个座位上都坐了一个观众 .如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他 (前、后、左、右 )相邻的某一观众交换座位 ,这样能办到吗 ?为什么 ?2.如图是一所房子的示意图 ,图中数字表示房间号码 ,每间房子都与隔壁的房间相通 .问能否从 1 号房间开始 ,不重复的走遍所有房间又回到 1 号房间 ?1 2 34 5 67 8 93.在一个正方形的果园里 ,种有 63 棵果树、加上右下角的一间小屋 ,整齐地排列成八行八列 (见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树 ,不重复也不遗漏 (不许斜走 ),最后又回到小屋 ,行吗 ?如果有 80 棵果树 ,连小屋在内排成九行九列 (图 (b)) 呢?(a) (b)4.一个 8 8 国际象棋 (下图 )去掉对角上两格后,是否可以用31 个 2 1 的“骨牌”(形如)把象棋盘上的62 个小格完全盖住?5.如果在中国象棋盘上放了多于45 只马 ,求证 :至少有两只马可以“互吃”.6.空间 6 个点 ,任三点不共线 ,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色 ,是否必有两个同色三角形 ?7.如图 ,把正方体分割成 27 个相等的小正方体 ,在中心的那个小正方体中有一只甲虫 ,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的 6 个小正方体中的任一个中去 .如果要求甲虫能走到每个小正方体一次 ,那么甲虫能走遍所有的正方体吗?8.中国象棋的马走“日”字 ,车走横线或竖线 ,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题 :A B一只马从起点出发 ,跳了 n 步又回到起点 .证明 :n 一定是偶数 .9.中国象棋的马走“日”字 ,车走横线或竖线 ,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题 :A B一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复 ,最后一步跳回起点 ?10.中国象棋的马走“日”字 ,车走横线或竖线 ,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题 :A B证明 :一只马不可能从位置 B 出发 ,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次 (不要求最后一步跳回起点 ).11.中国象棋的马走“日”字 ,车走横线或竖线 ,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题 :A B一只马能否从位置 B 出发 ,用 6 步跳到位置 A?为什么 ?12.中国象棋的马走“日”字 ,车走横线或竖线 ,下图是半张中国象棋盘 ,试回答下面的问题 :A B,走了若干步后到了位一只车从位置 A 出发 ,在这半张棋盘上走 ,每步走一格置 B.证明 :至少有一个格点没被走过或被走了不止一次.9 个 4 1 的长方13.8 8 的国际象棋棋盘能不能被剪成7 个 2 2 的正方形和形?如果可以 ,请给出一种剪法 ;如果不行 ,请说明理由 .14.(表1)是由数字 0,1 交替构成的 ,(表 2)是由 (表1)中任选、、三种形式组成的图形 ,并在每个小方格全部加 1 或减 1,如此反复多次进行形成的 , 试问 (表 2)中的 A 格上的数字是多少 ?并说明理由 .1 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 11 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 11 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 1表11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1表2———————————————答案——————————————————————1.把影院的座位画成黑白相的矩形 .(29 31),共有 899 个小方格 .不妨假定四角黑格 ,共有黑格 450 个,白格 449 个.要求看第二影 ,每位众必跟他相的某一众交位置 ,即要求每一黑白格必互 ,因黑白格的数不相等 ,因此是不可能的 .2.将号奇数的房染成黑色 ,号偶数的房染成白色 .从 1 号房出 ,只能按黑白黑白⋯⋯的次序,当走遍九个房在黑色房中 ,个房不与 1 号房相 ,故不能不重复地走遍所有房又回到 1 号房 .3.(a)行,走法如所示 .(a)(b)不行 ,将小屋染成黑色 ,果染成黑白相的色 ,(b)中有 41 个黑色的 ,40 个白色的 .从小屋出 ,按黑白黑白⋯⋯的次序,当走遍80 棵后 ,到达的的色是黑色,与小屋不相 ,故不可能最后回到小屋 .4. 不能 .原因是每一个 2 1 的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31 个的骨牌恰好盖住 31 个黑格和 31 个白格 .但是国象棋棋上角两格的色是相同的 ,把它去掉后剩下的是 30 个白格 ,32 个黑格 ,或 32 个白格 ,30 个黑格 ,因此不能盖住 .5.中国象棋棋上有 90个交叉点 ,把棋分成 10个小部分 ,每部分有 3 3=9 个交叉点 ,由抽原知 ,至少有一个小部分内含有 6 只 .将一小部分的 9 个交叉点分涂上黑色及白色 .有两只在不同色交叉点上 ,故一定有两只“互吃”.6.六个点 A 、 B、 C、D、E、F.我先明存在一个同色的三角形 : 考由 A 点引出的五条段 AB 、AC 、 AD 、 AE、 AF,其中必有三条被染成了相同的色 ,不妨 AB 、AC 、AD 三条同色 .再考三角形 BCD 的三 : 若其中有一条色 ,存在一个色三角形 ;若三条都不是色 ,三角形 BCD 色三角形 .BCAD下面再来明有两个同色三角形,不妨三角形 ABC 的三同色 .(1)若三角形 DEF 也是色三角形 ,存在两个同色三角形 .(2)若三角形 DEF 中有一条色 (不妨 DE), 下面考 DA 、 DB 、DC三条段，其中必有两条同色.①若其中有两条是色的 ,如 DA 、DB 是色的 ,三角形 DAB 第二个同色三角形( 1).D AE B C(1)②若其中有两条是色的 , DA 、 DB 色 ( 2).此在 EA、 EB 两条段中 ,若有一条色 ,存在一个色三角形 ;若两条都是色的 ,三角形 EAB 色三角形 .上所述 ,一定有两个同色三角形.D AE B C(2)7.甲虫不能走遍所有的立方体 .我将大正方体如分割成 27 个小正方体 ,涂上黑白相的两种色 ,使得中心的小正方体染成白色 ,再使两个相的小正方体染上不同的色 .然在 27 个小正文体中 ,14 个是黑的 ,13 个是白的 .甲虫从中的白色正方体出 ,每走一步 , 小正方体就改一种色 .故它走 27 步, 14 个白色的小正方体 ,13 个黑色的小正方体 .因此在 27 步中至少有一个白色的小正方体,甲虫去两次 .故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体 .8.将棋上的各点按黑白相的方式染上黑白二色.由“ 步”的行走 ,当“ ”从黑点出 ,下一步只能跳到白点 ,以后依次是黑、白、黑、白⋯⋯要回到原出点 (黑点 ),它必跳偶数步 .9.不能 .半象棋共有 45 个格点 ,从起点出跳遍半棋 ,起点与最后一步同色 .故不可能从最后一步跳回起点 .10.与 B 点同色的点 (白点 )有 22 个,异色的点 (黑色 )有 23 个.从 B 点出 ,跳了 42 步时 ,已经跳遍了所有的白色 ,还剩下两个黑点 ,但是马不能够连续跳过两个黑点 .11.不能 .因为 A、 B 两点异色 ,从 B 到 A 所跳的步数是一个奇数 .12.“车”每走一步 ,所在的格点就会改变一次颜色 .因 A、B 两点异色 ,故从 A 到B“车”走的步数是一个奇数 .但半张棋盘共有 45 个格点 ,不重复地走遍半张棋盘要 44 步，但 44 是一个偶数 .13.如图对 8 8 的棋盘染色 ,则每一个 4 1 的长方形能盖住 2 白 2 黑小方格 , 而每一个 2 2 的正方形能盖住 1 白 3 黑或 1 黑 3 白小方格 ,那么 7 个 2 2 的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数 ,但图中黑格数为 32 是一个偶数 .故这种剪法是不存在的 .+1 +1 - 1 - 1 +1 +1 +1+1 +1 - 1 - 1 +1 +1 +1+1 +1 - 1 - 1- 1 - 1 - 1 +1 +1 - 1 - 1- 1 - 1 - 1 +1 +1 - 1 - 114.如下图所示 ,将表 (1)黑白相间地染色 .表(1)本题条件允许如图所示的 6 个操作 ,这 6 个操作无论实行在那个位置上 ,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数 ,所以表 1 中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即 32,等于表 2 中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A)-32,于是 (31+A)-32=32, 故 A=33.二十染色问题(2)年级班姓名得分1.下图是一套房子的平面图 ,图中的方格代表房间 ,每个房间都有通向任何一个邻室的门 .有人想从某个房间开始 ,依次不重复地走遍每一个房间 ,他的想法能实现吗 ?2.展览会有 36 个展室 (如图 ),每两相邻展室之间均有门相通 .能不能从入口进去 ,不重复地参观完全部展室后 ,从出口出来呢 ?3.图中的 16 个点表示 16 个城市 ,两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通 .问能否找到一条不重复地走遍这 16 座城市的路线 ?4.下图是由 4 个小方格组成的“L”形硬纸片 ,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个 4 n 的长方形 ,试证明 :n 一定是偶数 .5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃” (马“”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况 ).6.能否用一个田字和15 个 4 1 矩形覆盖 8 8 棋盘 ?7.能否用 1 个田字和 15 个 T 字纸片 ,拼成一个 8 8 的正方形棋盘 ?8.在 8 8 棋盘上 ,马能否从左下角的方格出发 ,不重地走遍棋盘 ,最后回到起点 ? 若能请找出一条路 ,若不能 ,请说明理由 .9.下面三个图形都是从 4 4 的正方形分别剪去两个 1 1 的小方格得到的 ,问可否把它们分别剪成 1 2 的七个小矩形 ?(1)(2)(3)10.把三行七列的 21 个小格组成的矩形染色 ,每个小格染上红、蓝两种色中的一种 .求证 :总可以找到 4 个同色小方格 ,处于某个矩形的 4 个角上 (如图 ) 1红红红红2311.17个科学家互相通信 ,在他们的通信中共讨论 3 个问题 ,而任意两个科学家之间仅讨论 1 个问题 .证明 :至少有 3 个科学家 ,他们彼此通信讨论的是同一个问题 .12.用一批 1 2 4 的长方体木块 ,能不能把一个容积为 6 6 6 的正方体木箱充塞填满 ?说明理由 .13.在平面上有一个 27 27 的方格棋盘 ,在棋盘的正中间摆好 81 枚棋子 ,它们被罢成一个 9 9 的正方形 .按下面的规则进行游戏 :每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子 ,放进紧挨着这枚棋子的空格中 ,并把越过的这格棋子取出来 .问 :是否存在一种走法 ,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子 ?14.12 12 的超极棋盘上 ,一匹超级马每步跳至 3 4 矩形的另一角 (如图 ).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次 ,再回到出发点 (这种情况又称马有“回路”)?OO———————————————答案——————————————————————1.不能 .对房间染色 ,使最下面的两个房间染成黑色 ,与黑色相邻的房染成白色,则图中有 7 个黑色房间和 5 个白色房间 .如果要想不重复地走过每一个房间 , 黑色与白色房间数应该相等 .故题中的想法是不能实现的 .2.不能 .对展室进行染色 ,使相邻两房间分别是黑色和白色的 .此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36 个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同 .3.不能 .对这 16 个城市进行黑白相间的染色 ,一种颜色有 9 个,另一种颜色有7 个 .而要不重复地走遍这 16 个城市 ,黑色与白色的个数应该相等 .4.如图 ,对 4 n 长方形的各列分别染上黑色和白色 .任一 L 形纸片所占的方格只有两类 :第一类占 3 黑 1 白 ,第二类占 3 白 1 黑 .n个设第一类有 a 个 , 第二类有 b 个 ,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有3b+a=3a+b,即 a=b,也就是说第一类与第二类相等,因此各种颜色的方格数都是 4 的倍数 ,总数是 8 的倍数 ,从而 n 是偶然 .5.将棋盘黑白相间染色 ,由“马”的走法可知 ,放在黑点上的“马”,只能吃放在某些白点上的马 .整个棋盘上黑、白点的个数均为 45,故可在 45 个黑点放上马 ,它们是不能互吃的 .6.如图的方式对棋盘染色 .那么一个田字形盖住 1 个或 3 个白格 ,而一个 4 1 的矩形盖住 2 个白格 .这样一来一个田字和 15 个 4 1 的矩形能盖住的白格数是一个奇数 ,但上图中的白格数是一个偶数 ,因此一个田字形和 15 个 4 1 的矩形不能复盖8 8 的棋盘 .7.将棋盘里黑白相间涂色 .一个田字形盖住 2 个白格 ,一个 T 字形盖住 3 个或1 个白格 .故 1 个田字和 15 个 T 字盖住的白格数是一个奇数 ,但棋盘上的白格数是一个偶数 .因此一个田字形和 15 个 T 字形不能盖住 8 8 的棋盘 .8.将棋盘黑白相间地染色后 ,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色 .棋盘上有 32 个白格与 32 个黑格 ,故马可能跳遍整个棋盘 .图中给出了一种走法 .56 41 58 35 50 39 60 3347 44 55 40 59 34 51 3842 57 46 49 36 53 32 6145 48 43 54 31 62 37 5220 5 30 63 22 11 16 1329 64 21 4 17 14 25 106 19 2 278 23 12 151 28 7 18 3 26 9 249.先 4 4 的棋黑白相的涂色 (如 ),道的是 7 个 1 2 矩形能否分复盖剪去A、B；剪去 A、C；剪去 A、 D 的三个棋 .若 7 个 1 2 矩形可以复盖剪残的棋 ,因每个 12 矩形均可盖住一个白格和一个黑格 ,所以棋的白格与黑格数目相等 .都是 7 个.而剪去 A 格和 C 格的棋 (2)有 5 个白格8 个黑格 ,剪去 A、D 的棋 (3)有 5 个白格 8 个黑格 ,因此两个剪的棋均不能被7 个 1 2 矩形复盖 ,也就不能剪成 7 个 1 2 的矩形 .ABCD棋 (1)可以被 7 个 1 2 的矩形所复盖 .下面出一种剪法 :A 1 1 27 7 B 26 5 4 36 5 4 310.在第一行的 7 格中必有 4 格同色 ,不妨 4 格位于前 4 个位置 ,且均色 .然后考前 4 列构成的 3 4 矩形 .若第二行和第 3 行中出 2 个或 2 个以上的色格子 .行的两个色格子与第一行的色格子就成一个 4 角同色格子的矩形 .若不然 ,第 2、3 行中都至少有 3 个格在前 4 列中 ,不妨第 2 行前 3 格色 ,然第三行中的前 3 格中至少有 2 个格，故在二、三行的前 4 列中必存在四角都是色的矩形 .11.将 17 个科学家用 17 个点代表 ,两点之的段表示两个科学家之的 .用三种色些段染色 ,表示三个 ,于是就成 : 17个点之的所有段用三种色染色,必有同色三角形 .从任意一点 ,不妨从 A 向其他 16 点 A1,A2, ⋯A16共可成 16 条段 ,用三种色染色 ,由抽原可知 ,必有 6 条段同色 . 6 条段 AA1,AA2, ⋯AA6且同色 .考 A1,A2,A3,A4,A5,A6六点之的 ,若有一条色 ,(如 A1A2色 ) , 三角形 AA1A2色的同色三角形 .A1 A2A3A A4A 5A6若这六点之间的连线中 ,没有一条是红色的 ,则它们之间只能涂两种颜色.考虑从 A1引出的五条线段 1 21 3 1 41 51 6 由抽屉原理知其中必有三A A A A A A A A A A , , 的三条是同色的 .不妨设这三条为 A1 2 1 3 1 4 且同为蓝色若三角形 2 3 4A A A A A , . A A A边中有一条为蓝色的 ,则有一个蓝色的三角形存在 ;若三角形 A2A3A4三边都不是蓝色的 ,则它的三边是同为第三色的同色三角形 .A2A3A1A412.把正方体木箱分成 27 个小正方体 ,每个小正方体的体积为 2 2 2=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色 .显然黑色 2 2 2 的正方体有 14 个,白色 2 2 2小正方体有 13 个.每一个这样的正方体相当于8 个 1 1 1 的小正方体 .将1 2 4 的长方体放入木箱 ,无论怎么放 ,每个长方体木块盖住 8 个边长为 1 的单位正方体 ,其中有 4 个黑色的 ,4 个白色的 .木箱共含 6 6 6=216 个单位正方体,26 个长方体木块共盖住 8 26=208 个单位正方体 ,其中黑白各占 104 个 ,余下216-208=8 个单位正方体是黑色的 .但是第 27 个 1 2 4 长方体木块不管怎样放 , 也无法盖住这 8 个黑色单位正方体 .13.如图 ,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色 ,这种染色方式将棋盘分成了三个部分 .按照游戏规则 ,每走一步 ,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了 1 个,而第三种颜色的棋子数增加了一个 .这表明每走一步 ,每个部分的棋子的奇偶性要发生改变 .因为一开始时 ,81 枚棋子摆成一个 9 9 的正方形 ,显然三个部分的棋子数是相同的 ,从而每走一步 ,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的 .如果走了若干步以后 , 棋盘上恰好剩下一枚棋子 ,则两部分上的棋子数为偶数 ,而另一部分上的棋子数为奇数 .这种结果是不可能出现的 .14.用两种方法对超级棋盘染色 .首先 ,将棋盘黑白相间染色,则马每跳一步 ,它所在的方格就要改变一次颜色. 不妨设第奇数步跳入白格.其次 ,将棋盘的第 3,4,5 及 8,9,10 这六行染成黑色 ,其余六行染成白色 .在此种染色方式下 ,马从白格一定跳入黑格 .又因黑白格总数相同 ,马要遍历每一格恰一次又回到出发点 ,因此 ,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格 .不妨设马第奇数步跳入白格 .但是对于一种满足要求跳法 ,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的 ,这显然是不可能的 ,故题目要求的跳法是不存在的 .。
小学奥数——染色问题(答案)
第9讲 染色问题【知识要点】染色方法是一种对题目所研究的对象用直观形象的染色来进行分类的方法。
象国际象棋的棋盘那样，我们可以把研究的对象染上不同的颜色，使问题变得浅显明了、一目了然，有利于我们观察、分析对象之间的关系，再利用奇偶性、抽屉原理等多种知识对染色图形进行分析，从而达到对原问题的解决。
【典型例题】例1、教室中有7排位子，每排7张，每张位子上坐一个同学，如果一周后，每个同学都必须和他相邻的（前、后、左、右）某一个同学换位子，问：这种交换可能成功吗？为什么？ 解：如右图所示黑白相间涂色，白色共有25个，黑色24个，要实现题意要求，一个白色位置必须和一个黑色位置互换，黑白座位应该一样多才行，所以办不到。
例2、如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 解：如图所示每一个奇数号房间旁边一定是偶数号房间，反之亦然，那么奇数号房间一定走到偶数号，偶数号一定走到奇数号，从一号开始走奇数步一定是到偶数号房间，走偶数步一定是到奇数号房间，要不重复的走遍所有房间回到1号房间，共要走9步，应该走到偶数号房间，而1是奇数，所以办不到。
例3、一个8⨯8国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2⨯1的“骨牌” (形如 )把象棋盘上的62个小格完全盖住?解：任意一个2⨯1的“骨牌”一定是一白一黑的，所以若要用31个这样的骨牌覆盖这个棋盘，白黑格数应该一样多，而此棋盘中有32个黑格，30个白格，所以办不到。
例4、线段AB 的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色。
在此线段中任意插入2008个分点，每个分点任意涂上红色或蓝色，这样分得2009条不重叠的小线段，如果把两端涂色不同的线段叫做奥运线段，奥运线段的条数是奇数还是偶数？ 解：原本的线段AB 就是一条奥运线段，然后不管中间插入的点是什么颜色的，都会破坏原来的奥运线段从而变成一条两端同色一条奥运线段，再然后如果在一条奥运线段中间插入任意颜色的点，奥运线段会被破坏，但是又会生成一条较短的，那么奥运线段的数量总数不变；如果在一条两端同色的线段中间插入不同色 1 2 3 4 5 6 7 8 9的点，一下就增加2条奥运线段，不改变奥运线段数量的奇偶性。
六年级下册数学试题-小升初专题培优：染色与覆盖(含答案)全国通用
染色问题这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法。
染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。
这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性，逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色问题。
六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座。
如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸。
⑴如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？⑵某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋。
如果他从A点出发走到某点B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？为什么？右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通。
请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗？例2巩固例1染色与覆盖有一次车展共6×6＝36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。
参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来？在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图⑴。
守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图⑵，连小屋排成九行九列呢？右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马。
众所周知，马是走“日”字的。
请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？右图是由14个大小相同的方格组成的图形。
试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方例5例4例3巩固形？下图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？用11个和5个能否盖住8×8的大正方形？用若干个2×2和3×3的小正方形能不能拼成一个11×11的大正方形，请你说明理由！巩固例6巩固测试题1．某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)上去，问这能否办到？2．下面的三个图形都是从4×4的正方形纸片上剪去两个1×1的小方格后得到的. 问：能否把它们分别剪成1×2的七个小矩形？3．能否用9个所示的卡片拼成一个6×6的棋盘？4．一个正方形果园里种有48棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成七行七列(见图)。
六年级奥数染色和覆盖
六年级奥数染色和覆盖1、一个8×8国际象棋盘去掉对角上两格后，是否可以用31个2×1的“骨牌”，把象棋盘上的62个小格完全盖住？2、至少需要几种颜色，才能使右图中所有具有公共端点的线段涂上不同的颜色。
3、现有1，1，2，2，3，3，……，10，10共20个数。
问能否将这些数排一行并满足两个1之间有一个数，两个2之间有两个数，两个3之间有三个数，……，两个10之间有十个数？请说明理由。
4、下图是由14个方格组成的图形，试证明，不论怎么裁剪，总不能把它剪成7个由相邻两个方格组成的长方形。
[全讲综合训练]1、六（1）班同学毕业前，互相交换照片留念，那么全班用来交换的照片的总张数是奇数还是偶数？2、正方形的展览厅如下图，共分16个展室，每个展室之间相通，你能不能设计出一条线路使参观的人不重复地走完全部展室？3、将上题的入口改在A处，如下图，这条线路可能吗？4、把下图中的圆图任意涂上红色或蓝色。
有没有可能使每一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由？5、由14个1×1的正方形组成下图，用7个1×2的长方形能不能把这个图形都盖住？为什么？6、在黑板上写出三个自然数，然后擦去一个数，换成其它两数的和减1，这样一直进行下去，最后黑板上是17、1993、1997，问原来的三个数能否是8？7、一串数排成一行，它们的规律是前两个数都是1，从第三个数起，每个数都是前两个数的和，如下所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…这串数的前100个数（包括第100个数）中，有多少个偶数？8、象棋有棋盘上有一只马（马走“日”），跳了若干次，正次跳回到原来的位置，问马跳的步数是奇数还是偶数？9、有一批商品，每件都是长方体形状，它的尺寸是1×2×4。
现在有一批现成木箱，尺寸是6×6×6。
试问：能不能用这样的商品将木箱填满？10、能不能用8张1×3的长方形纸片完全盖住下面的图。
六年级上册奥数试题-第19讲 简单染色问题 全国通用(含答案)
第19讲简单染色问题知识网络数学竞赛中的“染色”一般包括两个方面：染色问题和染色方法。
如果染色作为题目的条件给出，那么一般要考虑的是存在与否，有何性质以及有多少种染法等，这就是染色问题。
如果题目中没有提到染色，在解题中运用形象、直观的染色来进行分类，帮助解决问题这就是染色方法。
重点·难点我们在前面几讲中也涉及到染色问题。
一般来说，染色问题涉及分类、奇偶性、排列组合等多方面的知识。
因此如何应用这些相关的知识点解题，是很关键的。
在下面的例题中也可以看出，这些知识在解题中的应用。
学法指导染色作为一种数学思维方法，可以用来推证说理，使一些难以讲清楚的问题一目了然。
有时染色题可能很难想清楚，比如“四色问题”，但可以运用上面的知识点解决一些比较简单的染色问题。
经典例题[例1]如图1所示，一个长方形被分成6块区域，若给每一块区域都染色，并且要求相邻的区域颜色不同，请问至少需要多少种不同的颜色？思路剖析由于A、B、C两两相邻，所以要使相邻的区域颜色不同，至少A、B、C的颜色不能相同。
但是，仅有3种颜色够不够呢？对于区域较少的情形可以逐一试验，如果区域较多时，可以考虑取有多相邻区域的区域来先染色。
解答先考虑有最多相邻区域的A，染第1种颜色；其次考虑与A相邻的B、C、D、E中，有最多相邻区域的E，染第2种颜色；再考虑B，它与A、E都相邻，染第3种颜色。
由C 和E不相邻，故C可用第2种颜色，D与B不相邻，D可用第3种颜色，F和A不相邻，F 可染第一种颜色。
这样，用第一种颜色染在A和F上，用第二种颜色染在C和E上，用第三种颜色染在B和D上即可满足题意要求。
所以，满足条件的染色，至少需要三种颜色。
[例2]用红、黄、蓝三种颜色涂一个正方体的六个面，两个面涂一种颜色，那么共有几种涂法？思路剖析本题要用到分类和组合的一些思想，同进，在解题时要注意，如果两种所谓不同涂法的正方体经翻转或旋转之后得到同样的效果，它只能是一种涂法。
小学数学奥数测试题染色与覆盖人教版
小学数学奥数测试题染色与覆盖人教版1．六年级一班全班有35名同砚，共分成5排，每排7人，坐在课堂里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座．要是要让这35名同砚各人都恰恰坐到他的邻座上去，能办到吗?为什么？2．右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.(1)要是P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？(2)某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.要是他从A点出发走到某点B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？为什么？3．某班有45名同砚按9行5列坐好．老师想让每位同砚都坐到他的邻座(前后左右)上去，问这能否办到?4．右图是某一套屋子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．讨教：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?5．有一次车展共6×6=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．观光者能否从入口进去，不重复地观光完每个展室再从出口出来? 6．在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发议决每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？要是有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？7．右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马. 众所周知，马是走“日”字的. 讨教：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？8．右图是由14个巨细相同的方格组成的图形. 试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？9．右图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？10．下面的三个图形都是从4×4的正方形纸片上剪去两个1×1的小方格后得到的. 问：能否把它们分别剪成1×2的七个小矩形.11．用11个和5个能否盖住8×8的大正方形?12．能否用9个所示的卡片拼成一个6×6的棋盘？13．9个1×4的长方形不能拼成一个6×6的正方形，请你说明理由！14．用多少个2×2和3×3的小正方形不能拼成一个11×11的大正方形，请你说明理由！15．敷衍表（1），每次使此中的恣意两个数减去或加上联合个数，能否议决多少次后（各次减去或加上的数可以不同），变为表（2）？为什么？16．右图是一个圆盘，中心轴稳定在黑板上.开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0.然后转动圆盘，每次可以转动90°的恣意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上.问：议决多少次后，黑板上的四个数是否可能都是999？17．有7个苹果要均匀分给12个小朋友，园长要求每个苹果最多分成5份．应该怎样分？18．有一位老人，他有三个儿子和十七匹马.他在临终前对他的儿子们说：“我已经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分.”老人去世后，三兄弟看到了遗嘱.遗嘱上写着：“我把十七匹马全都留给我的三个儿子.长子得12，次子得13，给幼子19.不许流血，不许杀马.你们必须遵从父亲的遗愿！”请你帮助他们分分马吧！第 1 页19．甲、乙、丙、丁分29头羊. 甲、乙、丙、丁分别得1111,,,25610，应怎样分？20．8个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?21．9个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?22．听说有一天，韩信骑马走在路上，望见两个别正在路边为分油忧愁.这两个别有一只容量10斤的篓子，里面装满了油；还有一只空的罐和一只空的葫芦，罐可装7斤油，葫芦可装3斤油.要把这10斤油中分，每人5斤. 但是谁也没有带秤，只能拿手头的三个容器倒来倒去.应该怎样分呢？23．大桶能装5千克油，小桶能装4千克油，你能用这两只桶量出6千克油吗?怎么量？24．有一个小朋友叫小满，他学会了韩信分油的要领，心里很是得意. 一天，他遇到了两位农妇. 两位农妇有两个各装满了10升奶的罐子，还有一个5升和一个4升的小桶，她们央求小满就用这些容器将罐子中的奶给两个小桶中各倒入2升奶.小满根据韩信分油的要领，略加变通，就将奶分好了！你说说具体的做法！25．有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，希望议决水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒频频水26．老师在黑板上画了9个点，要求同砚们用一笔画出一条议决这9个点的折线(只许拐三个弯儿)．你能办到吗?27．你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被混浊的药丸是没被混浊的重量＋1.只称量一次，怎样鉴别哪个罐子的药被混浊了？28．如右图所示，将1～12顺次排成一圈. 要是报出一个数a（在1～12之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置. 比方a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置抵达6的位置；a=11，就从11的位置顺时针走11个数的位置抵达10的位置. 问：a 是几多时，可以走到7的位置？29．敷衍恣意一个自然数 n，当 n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2，这算一次操纵现在对231一连举行这种操纵，在操纵历程中是否可能出现100？为什么？30．一只电动老鼠从左下图的A点出发，沿格线奔跑，而且每到一个格点不是向左转便是向右转。
染色覆盖
先定义几个小名词：日字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由2个并排的正方形格子组成。
目字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个并排的正方形格子组成。
3-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个组成L形状的格子组成。
4-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成L形状的四个格子组成，一边长一边短。
凸字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“凸”字形状的四个格子组成。
田字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“田”字形状的四个格子组成。
完全覆盖的定义：用规定形状的标准单元去铺盖指定的方格棋盘，无重复无遗漏，则称该棋盘被所用的标准单元完全覆盖。
染色覆盖问题应用最多的是黑白相间染色，利用奇偶性分析。
常见题型：交换座位环游会场（不重复）马步巡游是否能拼成正方形1.某个展览大厅是一个6*6的棋盘状，每个棋盘格子是一个展览室，相邻展览室之间有门相通。
现在有人想从入口开始，不重复不遗漏地走完所有的展览室。
已知该展览室的入口在左上角，出口在右下角，问，有无这种行走路径？2.一个2*8的棋盘，水平线和垂直线相交的部分称之为格点。
对格点用红蓝两种颜色染色。
证明：无论如何，一定存在两条水平线和两条垂直线，它们所形成的格点是同一种颜色。
在6*6的正方形棋盘上的各个小方格上，分别写上从1到36的36个数，要求相邻成“凸”字形的四个方格内的数字之和都为偶数，存在这种可能吗？3用15块大小是4×1的长方形和一块2×2的正方形，能不能恰好盖住8×8的正方形？说明理由。
（第二届全国部分省市数学通讯赛试题）讲析：解此题的关键，是先将小方格染色分类。
用间隔为两格，且与对角线平行的小方格染成黑色，显然，大正方形中黑、白各有32格。
（如图）每块4×1的长方形无论横盖或竖盖，也不论盖在何处，总是盖住2黑2白的。
又因为与对角线平行的斜线的格子同色，而与对角线平行的斜线上的相邻两格异色。
所以，不论怎样放置，一块2×2的正方形总是可盖住3黑1白，或3白1黑。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
染色和覆盖[同步巩固演练]1、某影院有座位31排，每排29个座。
某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众。
如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他（前、后、左、右）相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？为什么？2、（北京市第12届小学生迎春杯决赛试题）如图，把A、B、C、D、E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。
那么，这幅图一共有_____________种不同的着色方法。
4、下图，是一所房子的示意图，图中数字表示房间号码，每间房子都与隔壁的房间相通。
问能否从1号房间开始，不重复的走遍所有房间又回到1号房间？1 2 34 5 67 8 95、如图，由22块1×1的小正方形拼成，能不能用若干个2×1的矩形将这个图形不重复地全部覆盖？[能力拓展平台]1、有一个5×5的方格棋盘，如图所示，每一个小方格中有一只小甲虫，假设在同一时刻，所有小甲虫都爬到邻格中（横向与纵向的格，不能斜爬），问此时能否会出现空格？2、一个8×8国际象棋盘去掉对角上两格后，是否可以用31个2×1的“骨牌”，把象棋盘上的62个小格完全盖住？3、至少需要几种颜色，才能使右图中所有具有公共端点的线段涂上不同的颜色。
4、现有1，1，2，2，3，3，……，10，10共20个数。
问能否将这些数排一行并满足两个1之间有一个数，两个2之间有两个数，两个3之间有三个数，……，两个10之间有十个数？请说明理由。
5、下图是由14个方格组成的图形，试证明，不论怎么裁剪，总不能把它剪成7个由相邻两个方格组成的长方形。
[全讲综合训练]1、六（1）班同学毕业前，互相交换照片留念，那么全班用来交换的照片的总张数是奇数还是偶数？2、正方形的展览厅如下图，共分16个展室，每个展室之间相通，你能不能设计出一条线路使参观的人不重复地走完全部展室？3、将上题的入口改在A处，如下图，这条线路可能吗？4、把下图中的圆图任意涂上红色或蓝色。
有没有可能使每一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由？5、由14个1×1的正方形组成下图，用7个1×2的长方形能不能把这个图形都盖住？为什么？6、在黑板上写出三个自然数，然后擦去一个数，换成其它两数的和减1，这样一直进行下去，最后黑板上是17、1993、1997，问原来的三个数能否是8？7、一串数排成一行，它们的规律是前两个数都是1，从第三个数起，每个数都是前两个数的和，如下所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…这串数的前100个数（包括第100个数）中，有多少个偶数？8、象棋有棋盘上有一只马（马走“日”），跳了若干次，正次跳回到原来的位置，问马跳的步数是奇数还是偶数？9、有一批商品，每件都是长方体形状，它的尺寸是1×2×4。
现在有一批现成木箱，尺寸是6×6×6。
试问：能不能用这样的商品将木箱填满？10、能不能用8张1×3的长方形纸片完全盖住下面的图。
11、中国象棋的马走“日”字，车走横线或竖线，下图是半张中国象棋盘，试回答下面的问题：一只车从位置A出发，在这半张棋盘上走，每步走一格，走了若干步后到了位置B，证明：至少有一个格点没被走过或被走了不止一次。
12、在88的网格正方形中，用图形由三个的正方形组成的“”角片来覆盖，要求角片的割线落在正方形的网格线上。
为使所余部分不能再放下角片形状的图形，最少需要用角片的图形多少个？13、下图中的16个点表示16个城市，两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通。
问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线？14、在下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1算作一次操作，经过若干次操作后变为右下图，问：右下图中A 格的数字是几，为什么？15、有一个院子原来铺有40块方砖（如图），它们已经破损，需要全部更新，但是商店只有长方砖，每块大小等于方砖的两块，院主买了20块长方砖回来，想不割开任何一块长方砖而把院子铺满，问：能否做到？16、把三行七列的21个小格组成的矩形染色，每个小格染上红、蓝两种色中的一种。
求证：总可以找到4个同色小方格，处于某个矩形的4个角上。
17、如下左图是一个国际象棋棋盘，A 处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入，请问，蚂蚁能否从A 出发，经过每个格子最后返回到A 处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由。
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 红 红 红 红12318、一种骨牌是由形如■□的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4（D）4×5 （E）6×319、（武汉市小学数学竞赛试题）下面是俄罗斯方块中的七个图形；请你用它们拼出（A）图，再用它们拼出（B）图（每块只能用一次，并且不能翻过来用）。
如果能拼出来，就在图形上画出拼法，并写明七个图形的编号；如果不能拼出来，就说明理由。
20、在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的，恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？染色和覆盖参考答案[同步巩固演练]1、把影院的座位图画成黑白相间的矩形。
（29×31），共有899个小方格。
假定四角为黑格，则共有黑格450个，白格499个。
根据题意每一黑白格必须互换，因黑白格的总数不相等。
因此是不可能的。
2、96秒4×3×2×2×2=96（种）3、不能将编号为奇数的房间染成黑色，编号为偶数的房间染成白色。
从1号房间出发，只能按黑→白→黑→白→……的次序，当走遍九个房间时应在黑色房间中，这个房间不与1号房间相邻，故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间。
4、能[能力拓展平台]1、能分析初看这个总是似乎无从下手，但如果我们利用“染色”的手段，就会使问题简化，很轻松地得到正确答案。
将5×5棋盘用黑白两种颜色相间染色，如图所示，此时共有黑格13个，白色格12个。
当每个小格中的甲虫同时爬向邻格时，即黑格中的甲虫爬到白格中，白格中的甲虫爬到黑格中，由于黑格比白格多一格，则原来白格中的甲虫爬到黑格后必空一格，所以该题的答案是肯定的。
2、不能31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格。
但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的，把它们去掉后剩下的是30个白格，32个黑格，或32个白格，30个黑格，因此不能盖住。
3、4种4、不能两奇数之间要有奇数个数，说明两奇数所占的位置应为染色后颜色相同的两个位置。
同理，两偶数之间要有偶数个数，则两偶数所占的位置应为不同色的两个位置。
这样共需15个白色和5个黑色位置或15个黑色和5个白色位置。
与黑、白色位置各占10个相矛盾。
5、证明如下：将方格染色，白格6个，黑格8个，由相邻两个方块拼成的长方形中必是一黑一白，因此无法使黑格与白格全配对，即原图不能剪成由7个相邻两格组成的长方形。
[全讲综合训练]1、偶数2、不能3、能4、不能如果每条直线上的红圈数是奇数，则五条线上红圈个数总和是奇数；但由于每个圆圈是两条直线的交点，则每个圆圈都计算两次，因此，每个红圈都计算两次，总数应是偶数。
因为奇数≠偶数，所以每条直线上红圈数不可能都是奇数。
5、不能黑白相间染色，有8个黑格，6个白格，用1×2，形如的长方形覆盖，每次可盖住一黑格一白格，但现在黑、白数不等，所以不能用1×2的长方形把原图盖住。
6、不可能7、33个8、偶数把棋盘交点处按黑、白色染色，马从黑点出发，一定跳到白点，从白点出发一定跳到黑点，落点依次为白、黑、白、黑……，要跳回原出发点，必须跳偶数步。
9、不能这道题不能简单地理解为木箱的容积除以商品的体积，如果商是整数且没有余数，就能用商品将木箱填满。
现在木箱容积是6×6×6=216，商品的体积是1×2×4=8，216÷8=27，如果说每个木箱正好装27件商品，那就错了，实际上27件商品是无法全部装入木箱的。
我们用染色法来验证这个结论。
先把6×6×6的木箱分成216个1×1×1的小正方体，接着将8个1×1×1的小正方体组成一个2×2×2的正方体。
整个木箱有27个这样的正方体。
将这些棱长为2的正方体黑白相间的涂上颜色，如图所示，黑的有14个，白的有13个。
将商品放入木箱，不管怎么放，每件商品必须填充8个棱长为1的小正方体的空间。
其中黑、白必须各是4个。
现在白色的小正方体是8×13=104（个），配上104个黑色的小正方体，正好放入2×13=26（件）商品，这时木箱还余下8×（14－13）=8（个）黑色小正方体所占的空间。
8个黑色小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等，但是木箱中余下的8个小黑色正方体所占的空间无论如何是容纳不下一件商品的。
10、不能11、车”每一步，所在的格点就会改变一次颜色，因A、B两点异色，故从A到B“车”走的步数是一个奇数。
但半张棋盘共有45个格点，不重复地走遍半张棋盘要44步，44是一个偶数。
12、11个13、不能对这16个城市进行黑白相间的染色，一种颜色有9个，另一种颜色有7个，而要不重复地走遍这16个城市，黑色与白色的个数应该相等。
14、9原因如下：无论经过多少次操作，黑格中的数之和与白格中的数的和的差总是一个常数。
即（7+A）－8=8，解得A=9。
15、不可能16、在第一行的7格中必有4格同色，设这4格位于前4个位置，且均为红色。
然后考虑前4列构成的3×4矩形。
若第二行和第三行中出现2个或2个以上的红色格子。
则该行的两个红色格子与第一行的红色格子就组成一个4角同为红色格子的矩形。
若不然，则第二、三行中都至少有3个蓝格在前4列中，设第二行前3格为蓝色，显然第三行中的前3格中至少有2个蓝格，故在二、三行的前4列中必存在四角都是蓝色的矩形。
17、这种爬行路线是存在的。
具体的设计一条，如右图所示。
18、通过试验，很容易看到，应选择签字（B）。
19、不能拼出（A）图，可以拼出（B）图，拼法如右图20、48个染色后，由于黑白染色具有对称性，不难求出棋盘中共有1×3的长方形2×6×8=96个，这96个长方形中，包含两个白色小方格和一个黑色小方格的长方形恰占一半，为96÷2=48个。